Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym

Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Zawodowa w Nowym S czu Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w ksztaªceniu powszechnym Tom 3 Pod redakcj Adama Pªockiego Nowy S cz 2013

Komitet Redakcyjny doc. dr Marek Reichel przewodnicz cy; prof. dr hab. in». Jarosªaw Fr czek; prof. dr hab. Leszek Rudnicki; dr hab. n. med. Ryszard Gajdosz, prof. nadzw.; dr hab. Zdzisªawa Zacªona, prof. nadzw.; dr hab. Magdalena Sitarz, prof. nadzw.; dr hab. Wanda Pilch, prof. nadzw.; mgr Agata Witrylak-Leszy«ska Redaktor Naczelny doc. dr Marek Reichel Sekretarz Redakcji dr Tamara Bolanowska-Bobrek Redaktor wydania prof. zw. dr hab. Adam Pªocki Skªad komputerowy (LA T EX) dr Marcin Mazur Recenzenci prof. RNDr. Ji i Cihla, CSc (Univerzita Jana E. Purkyn Usti nad Labem); doc. RNDr. Roman Fri, DrSc (Katolická univerzita Ruºomberok); RNDr. Alena Kopa ková, Ph.D. (Technická univerzita Liberec); prof. zw. dr hab. Andrzej Nowicki (Uniwersytet Mikoªaja Kopernika Toru«); prof. zw. dr hab Jerzy Ombach (Uniwersytet Jagiello«ski Kraków); doc. PaedDR. Jaroslav Perný, Ph.D. (Technická univerzita Liberec); dr hab. prof. nadzw. Ewa Swoboda (Uniwersytet Rzeszowski); prof. RNDr. Pavel Tlustý, CSc (Jiho eská univerzita ƒeské Bud jovice); dr hab. prof. nadzw. Edward Tutaj (Uniwersytet Jagiello«ski Kraków) Wydano za zgod JM Rektora PWSZ w Nowym S czu prof. dra hab. in». Zbigniewa lipka Autorzy ponosz odpowiedzialno± za poprawno± j zykow tekstu c Copyright by Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Zawodowa w Nowym S czu Nowy S cz 2013 ISBN 978-83-63196-46-2 Adres Redakcji 33-300 Nowy S cz, ul. Staszica 1 tel. 18 443 45 45, e-mail: briw@pwsz-ns.edu.pl Wydawca Wydawnictwo Naukowe Pa«stwowej Wy»szej Szkoªy Zawodowej w Nowym S czu 33-300 Nowy S cz, ul. Staszica 1 tel. 18 443 45 45, e-mail: briw@pwsz-ns.edu.pl Druk EXPOL P. Rybi«ski, J. D bek Spóªka Jawna 87-800 Wªocªawek, ul. Brzeska 4 tel. 54 232 37 23, 232 48 73, e-mail: sekretariat@expol.home.pl

Spis tre±ci Wst p 5 Kv toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar, Matematika v díle Albrechta Dürera 7 Eva Bártková, David Nocar, Kv toslav Bártek, Vyuºití algebraických hyperstruktur p i ur ování d di nosti krevních skupin 31 Bogumiªa Klemp-Dyczek, Mozaiki pªaszczyzny euklidesowej 41 Ivana Macha íková, Josef Molnár, roubovice v p írod a um ní 71 Marek Mokri², Príroda v úlohách z geometrie 93 Bronisªaw Pabich, Matematyka w muzyce ±wiat muzyki a matematyzacja 105 Ada Paªka, Tworzenie obrazów anamorcznych propozycja warsztatów 131 Zdzisªaw Pogoda, Matematyka szopki krakowskiej 145 Alena Prídavková, Modely pojmov teórie mnoºín s prírodovedným námetom 155 Jana P íhonská, Metody teorie graf p i e²ení problém s bludi- ²ti 167 Iveta Scholtzová, Miery v primárnej edukácii as 177 Darina Stachová, Milan Stacho, Magické ²tvorce vo výtvarnom umení 187 Radka t pánková, Pavel Tlustý, Propojení základních poznatk z genetiky a stochastiky na základní ²kole 203 Izabela Stronias, Czwarty wymiar w malarstwie i rze¹bie pocz tku XX wieku 209 Rastislav Telgársky, Mathematics without innity 223 Marián Trenkler, Kon²trukcie magických obd ºnikov 253 Vladimír Van k, Matematika a po así 261 Renata Zemanová, Radek Krpec, Lidové um ní inspirace elementární matematiky 273

Dzi kujemy Muzeum Historycznemu m. Krakowa za udost pnienie nam materiaªów ikonogra cznych zwi zanych z krakowskimi szopkami. Cz ± z nich prezentujemy na pustych stronach parzystych.

Wst p Szkolna matematyka jest od stuleci raczej izolowana od innych dziedzin wiedzy, a zwªaszcza od nauk przyrodniczych i humanistycznych. Jednym z powodów tego faktu, s obawy matematyków przed wulgaryzacj matematyki, ilekro prezentuje si j w kontek±cie realnego ±wiata. Obawy nierzadko sªuszne. Tymczasem j zyk matematyki, jej poj cia i twierdzenia wykorzystuje si w innych przedmiotach nauczania (idea wspóªrz dnych w geograi, konstrukcje przestrzenne na lekcjach wychowania technicznego), a ponadto matematyka rozwijaªa si i nadal rozwija tak»e dzi ki temu,»e jej poj cia i jej metody s narz dziami opisu realnych obiektów i towarzysz cych im stosunków ilo±ciowych i jako±ciowych (matematyzacja jako faza procesu stosowania matematyki), a przede wszystkim narz dziami rozwi zywania pozamatematycznych problemów. Zakªad Edukacji Matematyczno-Przyrodniczej PWSZ w Nowym S czu zorganizowaª w dniach 1617 maja 2013 r. trzeci mi dzynarodow konferencj Matematyka w przyrodzie i sztuce matematyka, przyroda i sztuka w kszta- ªceniu powszechnym, której tematem byªo miejsce przyrody i sztuki w matematycznej aktywizacji. Praca jest monogra, w której znalazªy si wybrane wyst pienia na tej konferencji. W dydaktyce matematyki wyró»nia si zasad integracji zewn trznej, w której chodzi o ekspansj matematycznych poj i twierdze«na inne przedmioty nauczania. Monograa dotyczy tak»e owej integracji w nauczaniu matematyki. O integracji zewn trznej mo»na mówi, gdy tworzymy matematyczny model procesu dziedziczenia cech zgodnie z prawami Mendla. W pracy analizuje si na gruncie matematyki dziedziczenie grupy krwi oraz koloru oczu w procesie panmiksji (jest to losowe kojarzenie osobników, którego rezultatem jest genotyp potomka). Cz ±ci wielu dzieª sztuki (rze¹by, obrazy) i architektury (budowle, plany miast, ogrody, czy place) s takie matematyczne obiekty, jak wielok ty, wielo±ciany (w tym bryªy plato«skie), kwadraty magiczne, zbiory, których moce s liczbami Fibonacciego, spirale Fibonacciego. W wielu tych ludzkich wytworach (zwªaszcza w architekturze) pojawiªy si geometryczne symetrie i osobliwe proporcje (zªoty podziaª odcinka). Te same obiekty odkryª czªowiek w wytworach przyrody (krysztaªy, kwiaty, drzewa, owoce, rogi zwierz t, skorupy ±limaków, proporcje czªowieka). Krzywa ±rubowa jako obiekt matematyczny pojawiªa si w ludzkich wytworach (spiralne schody, bi»uteria, spr»yny, wazony, ozdoby choinkowe, barokowe kolumny), ale ta krzywa wyst puje tak»e w przyrodzie (ukªad korzeni i gaª zi niektórych drzew, struktura molekuª DNA, mineraªy). W kontek±cie tych spiral pojawiaj si izometrie i ich rozmaite zªo»enia. O ciekawej geometrii mowa jest w kontek±cie tworzenia obrazów anamorcznych.

Symetria rozumiana najpierw jako przeksztaªcenie geometryczne na prostej, pªaszczy¹nie, czy w przestrzeni trójwymiarowej, pojawiªa si w malarstwie, rze¹bie, architekturze, ale tak»e w przyrodzie (krysztaªy) i w zyce. Poj ciu symetrii nadaje si dzi± szerszy, ogólniejszy sens. O symetriach mo»na mówi w muzyce. W stochastyce pojawiaj si osobliwe wnioskowania przez symetri (i nie jest to symetria geometryczna). Idea symetrii jest dzi± traktowana jako szczególne ¹ródªo interdyscyplinarnych poszukiwa«jedno±ci przyrody. Matematyka pojawia si w sztuce ludowej. W monograi opisujemy fenomen krakowskiej szopki, jej projektowanie i sklejanie zaliczaj c do aktywno±ci matematycznych. Wspominamy o ludowej architekturze, o ludowych haftach i wycinankach w Czechach. W Polsce mamy wiele regionów sªyn cych z ludowych haftów (Bobowa na S decczy¹nie, Koniaków na l sku Cieszy«skim), czy wycinanek (Kurpie, Šowicz). Symetrie w papierowej wycinance uzyskuje si poprzez odpowiednie zginanie papieru. W ten sposób ujawnia si o± symetrii lub jej ±rodek oraz ich rola w tym przeksztaªceniu. W monograi pojawiª si postulat, aby te wytwory sztuki ludowej o wyra¹nych matematycznych strukturach, wª cza do powszechnego ksztaªcenia matematycznego, ucz c przy tym pewnego lokalnego patriotyzmu (podziw dla tradycji naszych maªych ojczyzn, w których»yjemy). S to wi c tak»e wychowawcze aspekty integracji sztuki ludowej i matematyki. W monograi zebrano prace komentuj ce matematyk w przyrodzie i sztuce oraz prace dotycz ce matematyki, przyrody i sztuki w powszechnym ksztaªceniu matematycznym oraz w ksztaªceniu przez matematyk i sztuk. W tym sensie adresatem tej monograi jest tak»e nauczyciel (i to nie tylko nauczyciel matematyki). Zebrane w niej prace mog (i maj ) u±wiadomi nauczycielowi, a przede wszystkim pracownikom naukowym, którzy tych nauczycieli ksztaªc,»e wokóª nas jest sporo (nie zawsze dostrzeganej) ciekawej matematyki. Mamy tu na uwadze nowe spojrzenie na tre±ci i obiekty wykorzystywane w nauczaniu matematyki, w ksztaªceniu matematycznym, a przede wszystkim w ksztaªceniu poprzez matematyk. Prezentowane w tej monograi prace maj charakter interdyscyplinarny i potwierdzaj tez Hugona Steinhausa,»e matematyka peªni rol po±rednika mi dzy materi a duchem. Adam Pªocki Nowy S cz, w grudniu 2013 r.

Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy S cz 2013 Matematika v díle Albrechta Dürera Kv toslav Bártek 1, Eva Bártková 2, David Nocar 3 1 D kanát Pedagogická fakulta Univerzity Palackého v Olomouci šiºkovo nám. 5, 77140 Olomouc, ƒeská republika e-mail: kvetoslav.bartek@upol.cz 2 Katedra matematiky Pedagogická fakulta Univerzity Palackého v Olomouci šiºkovo nám. 5, 77140 Olomouc, ƒeská republika e-mail: eva.bartkova@upol.cz 3 Katedra matematiky Pedagogická fakulta Univerzity Palackého v Olomouci šiºkovo nám. 5, 77140 Olomouc, ƒeská republika e-mail: david.nocar@upol.cz Abstract The article attempts to give readers insight into Albrecht Dürer's relationship to mathematics in his art works of a painter, an engraver, an architect of city fortication system and perfect cities, and an author of art theory works. We try to show how mathematics inuenced Dürer's art works and how Dürer himself contributed to the development of mathematics. Abstrakt ƒlánek p edstavuje vztah Albrechta Dürera jako um lce s velmi blízkým vztahem k matematice a jejího vyuºití v malbách, rytinách, v architektonických návrzích m stských opevn ní a dokonalých m st. Pokusili jsme se nastínit, jak matematika ovlivnila Dürerovu um leckou tvorbu a jak on sám p isp l k rozvoji matematiky.

8 Kv toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar 1. Základní ºivotopis Albrecht Dürer (14711528), rodák z Norimberku, byl jedním z nejvýznamn j²ích um lc zaalpské renesance. Jeho otec byl významným norimberským zlatníkem, v jehoº ateliéru se mladý Dürer ²kolil a zde se také nau il technice m dirytu. Ve svých studiích pokra oval v díln Michaela Wolgemuta, u n jº se vytvá ely d evo ezy pro místní tiskárnu. Do této dílny nastoupil v 15ti letech roku 1486. Od roku 1490 cestoval po Evrop a seznamoval se s díly tehdej²ích významných mistr. Nejprve procestoval Porýní a poté pravd podobn i Nizozemsko. V roce 1494 se vydal p ²ky na první studijní cestu do Benátek. Zde studoval díla italských mistr, coº vyvolalo jeho zájem o ideální proporce lidského t la, které vyjad oval pomocí matematických vzorc ([16]). Obr. 1. A. Dürer (1484) Obr. 2. A. Dürer (1500) V roce 1505 se vydal na dal²í studijní cestu do Bologne a Florencie, kde se seznamoval s díly nap. da Vinciho. V Itálii poznal d leºitost matematiky v um ní, zejména v pot eb m ení kaºdé ásti lidského t la coby nutnosti k dosaºení p esnosti a také pot eby v decky se v novat perspektiv, aby mohla být správn nakreslená t la realisticky umíst na v prostoru. Jeho kreslí ský talent ve spojení s dokonale zvládnutou technikou práce s kovem, pe livostí a precizností se projevil v mnoha zachovaných

Matematika v díle Albrechta Dürera 9 m dirytinách, d evorytech, skicách, portrétech, krajinách atd. Jeho talent nez stal bez pov²imnutí jiº za jeho ºivota, stal se v roce 1512 dvorním malí em císa e Maxmiliána I., získal stipendium a tím i nan ní nezávislost ([16]). Byl asto kritizován za to, ºe mu práce na objednaných dílech trvá p íli² dlouho, on p itom pracoval na etných studiích a skicách ke kaºdému obrazu. Byl zastáncem v deckého p ístupu k um ní, svá díla d sledn a pe liv prom oval a v dílech se snaºil d sledn uplat ovat lineární perspektivu. 2. Díla výtvarná Dürer je autorem, mimo jiné, mnoha kreseb, 108 m dirytin a 246 d evo ez. Mezi m dirytiny, které tvo í vrcholná mistrovská díla v Dürerov tvorb, jsou azeny rytiny Rytí, Smrt a ábel (1513), Svatý Jeromým ve své pracovn (1514) a Melencolia I (1514). Obr. 3. Rytí, Smrt a ábel Obr. 4. Svatý Jeromým ve své pracovn Pravd podobn nejznám j²í a také m dirytinou vyvolávající nejv t²í diskuse a dohady je Melencolia I. Pat í mezi první um lecká díla, o kterých se ví, ºe byla skute n sestrojovaná (kruºítkem, pravítkem), a to v lineární perspektiv ([10], s. 67).

10 Kv toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar ƒasto se diskutuje o významu názvu této rytiny, zejména pro se v názvu vyskytuje ímská íslice jedna. Velmi pravd podobné se jeví být tvrzení o Dürerem zamý²leném cyklu, v n mº by zpracoval kompletní alegorii v²ech ty lidských temperament. Dochoval se v²ak pouze jediný dokon ený m diryt. Obr. 5. Melencolia I (A. Dürer 1514), viz [21] Rytina Melencolia I vznikla v roce 1514 1 a, jak bývá u Dürera zvykem, tvo í letopo et sou ást monogramu um lce. Tento letopo et v²ak v rytin nacházíme i na jiném míst, v pravé horní ásti na zdi domu je umíst n magický tverec 4 4 resp. ádu 4, v jehoº dolním ádku práv tento 1 Tento rok byl pro Dürera tragický z toho d vodu, ºe roku 1514 zem ela jeho matka. To velmi pravd podobn ovlivnilo nám t i zpracování celé rytiny.

Matematika v díle Albrechta Dürera 11 letopo et nacházíme. V dolním ádku se v²ak Dürerovi také poda ilo umístit i numerologické hodnoty svého monogramu tedy A = 1 a D = 4. N kdy je uvád n jako autor tohoto magického tverce práv A. Dürer, ale je skoro jisté, ºe magický tverec Dürer objevil ve spisech L. Pacioliho (viz [12]), s nimiº se p i svých studijních cestách do Itálie seznámil. Obr. 6. Magický tverec a monogram autora s rokem vzniku rytiny Melencolia I ƒím je zobrazený magický tverec tak zvlá²tní, ºe mu byla v nována celá ada pojednání a rozbor, nazna íme v dal²ích odstavcích. Magickým íslem tverce je íslo 34. ƒíslo 34 obdrºíme po se tení hodnot jak ve sloupcích, tak v ádcích a samoz ejm i v diagonálách. Dále sou et 34 obdrºíme, pokud se teme hodnoty ve v²ech rohových polích, které tvo í pomyslný tverec a také v jeho pooto eních, a dále v polích kolem st edu (viz obrázek 7). Obr. 7

12 Kv toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar Hodnotu sou tu 34 obdrºíme také v polích sousedících s rohovými poli (viz. obrázek 8) a také v mnoha dal²ích symetricky vytvá ených sou tech (obrázek 9). St edov ký pohled na sv t byl, jak známo, pon kud odli²ný od pohledu lov ka 21. století. Matematika byla provázána s dal²ími obory poznání alchymií a astrologií, které sou asnému pojetí v dy nevyhovují, ale utvá ely základ pro v dy sou asné chemii, fyziku a astronomii. V tomto pojetí byly ísl m, geometrickým obrazc m, t les m a r zným íselným schémat m p isuzovány symbolické a magické aº okultní významy. Magické tverce proto v této dob byly povaºovány za magické v pravém slova smyslu. Obr. 8 Heinrich Cornelius Agrippa ve svém latinsky psaném spisu Okultní lozoe (1534) v knize druhé hovo í o magických tvercích následovn... tabulka 2 náleºí Jupiterovi a jest tvercem ty ky. Obsahuje 16 ísel, v kaºdé ad po ty ech, jichº sou et v²emi sm ry jest t icet ty i a úhrnný sou et 136.... Jest zaznamenáno, ºe vyryjeme-li tabulku v dob, kdy Jupiter jest mocný a vládne do st íbrné desti ky, ºe p iná²í zisk, bohatství, vd k i lásku, mír a svornost lidí, ºe usmi uje nep átele, uchovává pocty a hodnosti a vnuká dobré rady; ru²í o arování, je-li vyryta do korálu. Magický tverec 3 3 pak byl p isouzen vlivu Saturnu, magickému tverci 5 5 vládl Mars. Magický tverec 6 6 náleºel Slunci, 7 7 Venu²i, 8 8 Merkuru a 9 9 M síci. N které výklady rytiny shledávají d vody pro umíst ní zmín ného tverce z d vodu st edov ké víry v magickou moc tohoto tverce, která 2 Jednu její obdobu pouºil Dürer ve své rytin ; v²ech 880 normálních magických tverc ádu 4 nalezl francouzský matematik Bernard Frénicle de Bessy (16051675), p ítel Pierra de Fermata ([9], poznámka autor )

Matematika v díle Albrechta Dürera 13 m la prosp ²n p sobit na jedince se sklony práv k melancholii. Obr. 9 3. Ikonografie rytiny Nejen znázorn ný magický tverec má sv j symbolický význam. A ani magický tverec nemá pouze jeden symbolický význam. Dürer v rytin zobrazil mnoho atribut, které byly jednak tematicky spjaté s my²lenkovým konceptem rytiny, mají v²ak i vztah k r zným oblastem matematiky. Rytina Melencolia I (obr. 5) je vyobrazením jednoho ze ty lidských temperament a ve st edov ku jí byly p ipisovány práv atributy zobrazené v rytin pes, kniha, m ²ec. Hlavní postava je obklopena kru- ºidlem, pravítkem, trojúhelníkem atributy geometrie (geometrie podléhá Saturnu, stejn tak je Saturn symbolicky spojen s vyobrazením psa a tesa skými nástroji hoblíkem, pilou, které odkazují na tesa e taktéº podléhající vlivu Saturnu). Kruºidlo i odpichovátko, které drºí postavy zobrazované v renesan ním um ní v ruce, ozna ují mo eplavce nebo stavitele p ípadn um lce (odkazuje na jeho znalosti geometrie a perspektivy). Kruºidlo, stejn jako pravítko i m idlo a trojúhelník, je v²ak také atributem geometrie jednoho ze sedmi svobodných um ní. Ta se d lila na trivium a kvadrivium. V dy trivia a kvadrivia byly odli²eny na jedné stran od lozoe a na stran druhé od technických i mechanických v d architektury

14 Kv toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar a zem d lství. Kvadrivium tvo ila geometrie, aritmetika, astronomie a musika; trivium pak gramatika, logika (resp. dialektika) a rétorika. Atribut knihy odkazuje na dal²í ze svobodných um ní rétoriku. Logika je zastoupena váhami nástroj na váºení pravdivého a nesprávného, atributem astronomie bývá koule i globus s vyzna enými souhv zdími. Kru- ºidlo a sextant bývají také atributy astronomie. Aritmetiku pak zastupuje tabulka pokrytá íslicemi, na niº obvykle pí²e zobrazovaná postava, zde se jedná o jiº zmín ný magický tverec (mén asto se zobrazuje také po ítadlo). Mohou ale mít zmi ované zobrazené p edm ty i jiný význam? 4. Konvexní útvar v rytin Dal²ím objektem, kterému byla v nována v literatu e velká pozornost a vyvolal snad i nejv t²í diskuse, je konvexní útvar v levé ásti rytiny. Byly publikovány mnohé práce zabývající se skute ným tvarem objektu, jeho p vodem a také hledající d vod stejn jako u magického tverce pro jej Dürer do kompozice umístil. Obr. 10. Dürerovo t leso v rytin Melencolia I Diskuse ohledn druhu zobrazeného mnohost nu se vedou jiº desítky let. Dle Schreibera ([17]) m l Dürer v úmyslu zobrazit t leso, jeº lze vepsat kulové plo²e tak, ºe v²ech 12 vrchol jí bude náleºet. M lo se dle

Matematika v díle Albrechta Dürera 15 Weitzela ([19]) jednat o Archimedovské t leso (3, 5, 5), nicmén výsledkem byl konvexní mnohost n na obrázku 10. Schreiber dosp l k záv ru, ºe se jedná o klenec rovnob ºnost n o shodných koso tvercových stranách s ostrým úhlem 72, který je, aby jej bylo moºno vepsat kulové plo²e, u obou vrchol leºících na del²í diagonále od ezán. Obr. 11. Bokorys a p dorys Dürerova klence dle Schreibera ([17]) Dürer mohl osv d enou metodou konstrukce p dorysu a bokorysu po- ºadované t leso zobrazit (obrázek 11). Umíst ním koule v pop edí a zobrazením nástroj slouºících k úprav d eva i kamene (pila, hoblík, m idla, úhelník, kruºidlo atd.) pak mohl nazna it vodítka k vytvo ení reálného t lesa postupným o ezáváním a úpravou koule. Vra me se k jiº popisovanému magickému tverci. Je moºné, ºe i jeho umíst ní v rytin souvisí s tímto mnohost nem? T. Lynch ([12]) se domnívá, ºe oba elementy (t leso i magický tverec) nemají pouze ikonologický význam, mohou být základním motivem celé rytiny d vodem ztvárn né melancholie. Obr. 12. Nárys Dürerova t lesa do tverce 4x4

16 Kv toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar Lynch ([12], s. 228) poukazuje, ºe nárys Dürerova t lesa se dá p esn vepsat do tverce tvo eného 16ti poli, tedy stejného schématu, jako bylo pouºito p i ztvárn ní magického tverce na rytin. Pomocí Brunelleschiho pr se né metody pak bylo moºno dosáhnout velmi dobrého výsledku rekonstrukce Dürerova t lesa. Obr. 13. P dorys a nárys Dürerova t lesa V esky psaných zdrojích k uvedené problematice stojí za prostudování práce Kup ákové ([10]). 5. Spisy a pojednání Období 14., 15. a 16. století znamená, trochu paradoxn, rozvoj a ²í- ení p írodních v d mj. také matematiky a nových matematických teorií a to díky rozvoji um ní a architektury ([8], s. 410). Práv v období renesance se architekti, inºený i, emeslnící a um lci zajímají o sv t kolem sebe, o jeho fungování a p esné znázorn ní. Rozvíjí se teorie proporcí, perspektiva a její vyuºívání v um ní. Zavád jí se pojmy úb ºník, hlavní bod obrazu, jsou rozpracovávány metody zobrazování t les v perspektiv podle jeho p dorysu a nárysu (nap. Brunelleschi). Zmi me jen n kolik nejzásadn j²ích d l z tohoto období, která mají vztah k tématu. Della pictura O malí ství vydáno 1511 v Benátkách, jehoº autorem je Leon Battista Alberti (14041472). Albertiho popisovaná idea konstrukce obrazu v perspektiv byla velmi jednoduchá pokud vidíme n jaký p edm t p es okno, m ºeme zachytit jeho správný

Matematika v díle Albrechta Dürera 17 obraz tak, ºe p eneseme kontury p edm tu na okenní tabuli. Zatímco p ená²íme kontury na okenní tabuli, sledujeme p edm t pouze jedním okem a není moºné pohnout hlavou ([6], s. 7172). Tento postup dále pouºívali i rozpracovávali nap. Leonardo da Vinci a, jak se zmíníme v dal²í ásti textu, také Albrecht Dürer. Obr. 14. Luca Pacioli De divina proportione Dal²ími, z dne²ního pohledu, zásadními díly té doby byly: spis De prospectiva pingendi (O perspektiv v malí ství ), 14741482, autorem je Piero de Franceschi (1416/171492); známý spis Luca Pacioliho De divina proportione (dopln ný kresbami Leonarda da Vinciho); Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita, vydaná v Benátkách v roce 1494. S t mito spisy byl Dürer seznámen a z nich vycházel ve svém vlastním pojednání Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen und gantzen corporen (v eském p ekladu Uvedení do m ení) vydaného v Norimberku v roce 1525. Na pojednání pracoval 16 let a jeho prost ednictvím zamý²lel um lc m p edat základní matematická pravidla a pou ky se základním výkladem uºité geometrie a stereometrie. Výklad za íná od elementárních geometrických pojm p ímky, k ivky, kruºnice, spirály, ²roubovice aº po sloºit j²í kon-

18 Kv toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar strukce a jejich vyuºití ve výtvarném um ní. Obr. 15. Dürerovy konstrukce ve spisu Underweysung... Nalezneme zde také popis sestrojení parabolických oblouk, ezy ku- ºel (hyperbolické, parabolické, eliptické i pouºití t etí pr m tny). Dürer tak bývá povaºován za p edch dce deskriptivní geometrie ([11], s. 233). Obr. 16. Dürerovy konstrukce ve spisu Underweysung...

Matematika v díle Albrechta Dürera 19 Konstrukce pravidelných konvexních mnohoúhelník kruºítkem vyu- ºívá Dürer pro sestrojování rozli ných kruºeb. Dürer se tak ve spisu zabývá i problémy konstrukcí pravidelných mnohoúhelník. Podívejme se na konstrukce p tiúhelník nalezení pravidelného p tiúhelníku vepsaného dané kruºnici k a podrobn ji na dopln ní p tiúhelníku k dané úse ce AB. Ve spisu je obsaºeno e²ení problému, které v²ak není p vodní, je obsaºeno jiº v n mecké u ebnici Geometria Deutsch (14891490). Obr. 17. Geometria Deutsch konstrukce pravidelného p tiúhelníku ke stran ab Konstrukci petiúhelníku uvádenou v Dürerove spisu jsme realizovali pomocí programu Cabri a její popis uvádíme pod obrázkem 18. Obr. 18. Kontrukce petiúhelníku v Cabri II Plus

20 Kv toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar Popis konstrukce: (1) AB, (2) k 1 ; k 1 (A, AB ), (3) k 2 ; k 2 (B, AB ), (4) P, Q; k l = {P, Q}, (5) k 3 ; k 3 (Q, AB ), (6) X, Y ; X = k 1 k 3, Y = k 2 k 3, (7) o; o = P Q, (8) Z; Z = o k 3, (9) XZ; Y Z, (10) E; E = k 1 Y Z, (11) C; C = k 2 XZ, (12) k 4 ; k 4 (C, AB ), (13) D; D = o k 4. Podrobn j²í analýzou v²ak m ºeme dojít k záv ru, ºe dané e²ení je pouze p ibliºné ([11], s. 239240). Pro pot eby tehdej²ích malí, rytc a architekt byla v²ak tato metoda dostate n p esná. Obr. 19 P i zv t²ení výsledného p tiúhelníku a dopln ní v programu Cabri II Plus o automaticky zkonstruovaný pravidelný p tiúhelník o stran AB je vid t, ºe se tyto p tiúhelníky nep ekrývají. Dürer v p tiúhelník (alový) má body E a C od sebe vzdáleny nepatrn více, neº je u pravidelného p tiúhelníku ( erného). Z toho plyne, ºe velikost úhlu u vrcholu A a stejn tak i u vrcholu B musí být u Dürerova p tiúhelníku o n co v t²í

Matematika v díle Albrechta Dürera 21 neº 108. Program Cabri II Plus tuto velikost úhlu vy íslil zaokrouhlen na jedno desetinné místo na hodnotu 108, 4. Kup áková a Royt vypo- ítali velikost tohoto odli²ného úhlu s p esností na ty i desetinná místa na hodnotu 108,3661 ([11], s. 239). Obr. 20 V dal²ích ástech spisu se m ºeme seznámit s Dürerovými návrhy parketáºí, v nuje se také konstrukcím sítí Platónských a Archimédovských t les nebo problematice osv tlení zobrazovaných objekt a vrºeným stínem. iroký záb r celého díla dopl ují Dürerovy konstrukce písma. Obr. 21

22 Kv toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar Dal²í oblastí, kterou se Dürer v Uvedení... zabývá, jsou malí ské zobrazovací techniky a pom cky. Obrázek 23 zachycuje Dürerem vylep- ²enou metodu sklen né desky. Sám vyrobil ([20]) z tehdy dostupných zem m i ských nástroj speciální nastavitelné za ízení, které umoº ovalo xovat polohu oka v jediném bod pomocí ukotveného pr hledu a tak popsanou metodou pracovat. Obr. 22 Dürer, pravd podobn i v tomto p ípad inspirován Albertiho spisem, v²ak metodu je²t dále rozpracoval pouºitím sklen né desky se tvercovou sítí umíst nou v pr m tné rovin (obrázek 24). Sí má také na pracovní desce stolu, sem pozorovaný pr m t p ená²í. Navíc lidské oko pozorovatele je v tomto systému nahrazeno o kem ukotveným v pevném bod (o ko ve zdi) a zorné paprsky nití i provázkem zatíºeným ol vkem. Pr m ty bod jsou pr se íky provázk - zorného paprsku a provázk,

Matematika v díle Albrechta Dürera 23 které jsou upevn ny na rámu okna. Po zav ení okna se bod jiº snadno p enese na médium umíst né v pr m tné rovin. Obr. 23 Dal²í Dürer v spis Vier Bücher von menschlicher Proportion (ƒty i knihy o lidské proporci) vydán poprvé v roce 1528 se ob²írn zaobírá typologií a proporcionalitou lidských postav a jednotlivých ástí lidského t la. Dürer zde, stejn jako v p edchozím spisu, kde pr kopnicky p istupuje k zobrazování t les pomocí nárys, p dorys a bokorys, zobrazuje stejným zp sobem lidské hlavy, tvary obli eje nebo celá lidská t la s jejich proporcemi. Otázkou matematického vyjád ení krásy se Dürer zabýval dlouhodob. V noval jí mimo ádnou pozornost a tzv. antropometrii chápal jako sou- ást geometrie. Zabýval se velmi pe liv a dlouhodob (od roku 1500 velmi intenzivn ) studiem proporcí lov ka a do²el k záv ru, ºe vý²ku postavy lze odvodit z vý²ky hlavy a ºe existuje plynulá ada gur vysokých od ²esti a p l vý²ky hlavy aº k postavám vysokým osminásobek

24 Kv toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar vý²ky hlavy. Vypracoval tedy kánon jiný, neº byly kánony Vitruvia i Leonarda da Vinci (viz [10]). Obr. 24 V roce 1500 p i²el z Benátek do Norimberku Jacopo de'barbari (aby zde pracoval pro císa e Maxmiliána I.) a jeho prost ednictvím se Dürer seznámil s antickými teoretiky, mj. práv s Vitruviem. Zájem o tuto problematiku v²ak projevoval je²t mnohem d íve, jiº za svého pobytu v Benátkách v roce 1494, kde se zajímal p eváºn o akt a ideály krásy, ale také o perspektivní podání prostoru. Tyto snahy vyústily práv ve vydání tohoto pojednání, které se jiº nedlouho poté do kalo p eklad do latiny, francouz²tiny, ital²tiny i holand²tiny. Obr. 25

Matematika v díle Albrechta Dürera 25 Mimo pojednání, o nichº jsme se jiº zmínili, je Dürer i autorem spisu, zabývajícím se architekturou a oblastí navrhování fortikací Etliche Underricht zu Befestigung der Stett, Schloss und Flecken. D vodem pro se touto problematikou Dürer zajímal, bylo rostoucí nebezpe í plynoucí z tureckých výboj v jihovýchodní Evrop (p ipome me rok 1526, kdy se konala bitva u Mohá e, v níº zahynul poslední eský král Ludvík Jagellonský). Dürer byl mezi prvními, rozhodn sepsal první n mecky psané pojednání ([18], s. 11), kte í na téma opev ování m st vydali spis - p ed ním to byl v Itálii nap. N. Machiavelli (mezi lety 1512 1527). Obr. 26. Dürerovy konstrukce ve spisu Vier Bücher von menschlicher Proportion P estoºe Dürerova práce m la pouze malý vliv v oboru opev ování, m ºeme v ní pozorovat zrod polygonální koncepce opevn ní, kterou pozd ji rozvíjel francouzský ²lechtic Montalembert (17141800). Dürerovo dílo v této oblasti p edstavuje spojovací lánek mezi starou koncepcí obrany m st a novou. Navrhuje nap íklad podstatn zesílit tehdej²í obranné v ºe, budování robustních hradeb a jeho jméno je spojováno s prvními návrhy výstavby d lost eleckých kasemat. Spis také obsahuje

26 Kv toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar návrhy moderních prvk obrany bastiony ([22]). Zajímavé jsou také návrhy dokonalých m st, které nalezneme v záv ru spisu. Obr. 27. Dokonalé m sto dle A. Dürera Dürerovy my²lenky také velmi pravd podobn ovlivnily tehdej²ího víde ského, císa ského architekta odpov dného za opev ování Turky ohro- ºovaných m st a Dürerova p ítele Jana ƒerta z významného brn nského ²lechtického rodu (v literatu e uvád n jako Johann Tschertte nebo Hans Czert; zem el 1552). Dürer a ƒert sdíleli zájem o geometrii ([18], s. 11), která pro n oba byla natolik d leºitá, ºe Dürer svému p íteli navrhl rodový znak, do n jº zakomponoval odkaz na jejich spole nou zálibu v podob schématického vyjád ení Pythagorovy v ty ([15]). Rodina ƒert tak má na náhrobním kameni znak, jehoº p edlohu vytvo il práv A. Dürer, hrobka se nachází v Brn v kostele sv. Jakuba. Zajímavou hypotézu p edkládá Mohelník. Doslova íká, ºe jejich spole ná záliba v geometrii nepochybn byla podn cována p edev²ím spole ným zájmem o architekturu, a nelze tedy vylou it její bezprost ední praktické vyuºití. Kompozi ní principy pouºité v Brn odpovídají svým

Matematika v díle Albrechta Dürera 27 charakterem specickým kompozi ním princip m uplatn ným v Dürerov malí ském díle. Jeho R ºencová slavnost má kompozici tém identickou s tím, co m ºeme najít v kompozici Brna. Navíc je zjevné, ºe Dürer na tomto obraze krom svého autoportrétu namaloval i Jana ƒerta jako uznání jeho podílu na matematickém a geometrickém základu díla ([14]). Obr. 28. Bastion dle A. Dürera nárys, p dorys, bo ní ez Práce s názvem R ºencová slavnost Rosenkranzfest (162 cm 192 cm, vytvo ena 15051507, viz obr. 30) je povaºována za vrcholnou Dürerovu malbu, jedná se o dílo s typickou renesan ní kompozicí denovanou rovnoramenným trojúhelníkem. K vid ní je v Národní galerii

28 Kv toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar v Praze. Do Prahy se dostala na základ sb ratelských aktivit císa e Rudolfa II. v 17. století. Obr. 29. Erb na náhrobku rodiny ƒert Obr. 30. A. Dürer R ºencová slavnost

Matematika v díle Albrechta Dürera 29 6. Záv r Albrecht Dürer bývá ozna ován otcem n mecké renesance, n kte í odborníci o n m hovo í dokonce jako o nejlep²ím n meckém um lci v²ech dob. Jak vidno Dürer byl vskutku lov kem renesan ním v dne²ním slova smyslu, jeho zaujetí (nejen mezi um lci) matematikou bylo na svou dobu neobvyklé a mnohé p ístupy k um ní i architektu e je moºné ozna it za pr kopnické. Reference [1] AGRIPPA J.C., Okultní lozoe, Trigon, Praha 1994. [2] DÜRER A., Etliche Underricht zu Befestigung der Stett, Schloss und Flecken, Norimberk, 1527. Dostupné online: http://www.e-rara.ch/doi/10. 3931/e-rara-9248 [3] DÜRER A., Vier Bucher von menschlicher Proportion durch Albrechten Durer von Nurerberg [sic.] erfunden und beschuben zu nutz allen denen so zu diser kunst lieb tragen, [online]: http://archive.org/details/ hierinnsindbegri00dure [4] FUCHS E., Magické tverce aneb od knihy I-t'ing k internetové sou asnosti, In Matematika, fyzika a vzdelávání, První. Brno, VUTIUM, 2004. s. 2963, 35 s. ISBN 80-214-2601-2. [5] HALL J., Slovník nám t a symbol ve výtvarném um ní, Mladá fronta, Praha 1991. [6] IVINS W. M., Art and Geometry. A Study In Space Intuitions, Dover Publications, Inc., New York 1964. [7] JOHNSON P., D jiny renesance, Barrister & Principal, Brno 2004. [8] JU KEVIƒ A. P., D jiny matematiky ve st edov ku, Academia, Praha 1978. [9] KATRNO KA F., K ÍšEK M., SOMER L., Magické tverce a sudoku, In Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 53 (2008), No. 2, 113-124. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/141848 [10] KUPƒÁKOVÁ M., Dürerova Melancholie aneb detektivní geometrie, In Eduard Fuchs: Matematika v prom nách v k. IV., Akademické nakladatelství CERM, Brno 2007. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/ 401055 [11] KUPƒÁKOVÁ M., ROYT J., Vzácný tisk Dürerova Pojednání v knihovn Ústavu pro d jiny um ní UK, In Pokroky matematiky, fyziky, a astronomie, Vol. 53 (2008), No. 3, 231-240. URL: http://dml.cz/dmlcz/ 141860 [12] LYNCH T., The Geometric Body in Dürer's Engraving Melencolia I In Journal of the Warburg and Courtauld Institutes, Published by: The

30 Kv toslav Bártek, Eva Bártková, David Nocar Warburg Institute., Vol. 45 (1982), p. 226-232. Dostupné online: http: //www.jstor.org/stable/750979 [cit. 10. 5. 2012] [13] MIK F., Gombrich. Tajemství obrazu a jazyk um ní, Barrister & Principal, Brno 2008. [14] MOHELNÍK L., Prostorová interpretace architektonického a urbanistického díla = Space interpretation of the architectural and urbanistic work zkrácená verze Ph.D. Thesis, VUTIUM, Brno 2005. [15] ROUƒKOVÁ B., Kostnice pod kostelem sv. Jakuba V t²ího v Brn [online] Dostupné z: http://is.muni.cz/th/96641/ff_m/ [cit. 2013-03-16]. [16] RICKETTS M., Renesance. Mist i sv tového malí ství, REBO, ƒestlice 2005. [17] SCHREIBER T., A New Hypothesis on Dürer's Enigmatic Polyhedron in His Copper Engraving Melencolia I, [online]: http://www.idealibrary. com [18] SMITH J. Ch., Albrecht Dürer and Eastern Europe, In Ars 42, no 1. p. 5-22. Institue of Art History of Slovak Academy of Sciences, Bratislava 2009. [19] WEITZEL H. A further hypothesis on the polyhedron of A. Dürer's engraving Melencolia I. In Historia Mathematica 3, 2004. [20] http://euler.fd.cvut.cz/predmety/geometrie/lp_malirstvi/ Renesanc.pdf [21] http://www.museum-joanneum.at/upload/file/duerer_ Melancholie.jpg [22] http://eb.tbicl.org/fortification-and-siegecraft/ [23] https://commons.wikimedia.org/wiki/category:geometria_ Deutsch