MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Zlomek v učivu matematiky. stupně základní školy DIPLOMOVÁ PRÁCE BRNO Vedoucí diplomové práce RNDr. Růžena Blažková, CSc. Vypracovala Karolina Janczyková
Bibliografický záznam JANCZYKOVÁ, Karolina. Zlomek v učivu matematiky. stupně základní školy : diplomová práce. Brno : Masarykova univerzita, Pedagogická fakulta, Katedra matematiky,. 8 l., 8 l. příl. Vedoucí diplomové práce RNDr. Růžena Blažková, CSc. / 8
Anotace V diplomové práci je zpracována problematika výuky zlomků na druhém stupni základní školy. V první části jsou uvedeny nezbytné teoretické poznatky k tomuto tématu související s budováním tělesa všech racionálních čísel. Ve druhé části je uveden jeden z možných didaktických přístupů k výuce učiva o zlomcích na základní škole. Poslední část diplomové práce uvádí výsledky statistického šetření, které bylo provedeno na základních školách. Klíčová slova Racionální číslo, zlomek, početní operace se zlomky, výzkumné šetření, didaktický test. Annotation The thesis is dedicated to the matter of teaching fractions at junior high school. In the first part of the work, you can find the necessary theoretical findings on this topic pertaining to the construction of the field of rational numbers. In the second part, a possible didactic approach to teaching fractions at the primary school is described. The last part of the thesis comprises of the results of a statistical survey performed at primary high schools. Keywords Rational number, fraction, mathematical operations with fractions, experimental examination, didactic test / 8
Prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci zpracovala samostatně a použila jen prameny uvedené v seznamu literatury. Souhlasím, aby práce byla uložena na Masarykově univerzitě v Brně v knihovně Pedagogické fakulty a zpřístupněna ke studijním účelům. V Brně. dubna... Karolina Janczyková / 8
Poděkování Na tomto místě chci poděkovat RNDr. Růženě Blažkové, Csc. za odborné vedení práce a poskytnutou pomoc při zpracování diplomové práce. Dále děkuji učitelkám Mgr. Vieře Grendárové, PaeDr. Libuši Sekaninové a Mgr. Aleně Jemelkové za pomoc s výzkumným šetřením, cenné připomínky a rady. Děkuji rodičům, Tomášovi a všem přátelům za jejich podporu a pomoc během studia. / 8
Obsah Úvod...8 Obor racionálních čísel.... Operace sčítání.... Operace násobení... Historie pojmu zlomek.... Egypt.... Mezopotámie...8. Řím...8. Indie...9. Vývoj zápisu a početních operací se zlomky... Rámcový vzdělávací program.... Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace.... Vzdělávací cíle.... Číslo a proměnná.... Klíčové kompetence..... Kompetence k učení..... Kompetence k řešení problémů...7.. Kompetence komunikativní...7.. Kompetence sociální a personální...8.. Kompetence občanské...9.. Kompetence pracovní...9 Zlomky.... Zlomek jako část celku.... Numerace..... Krácení a rozšiřování zlomků..... Rovnost zlomků, porovnávání zlomků..... Smíšené číslo.... Zlomek jako naznačené dělení.... Početní operace se zlomky..... Sčítání zlomků..... Odčítání zlomků..... Násobení zlomků..... Dělení zlomků..... Vlastnosti operací sčítání a násobení racionálních čísel.... Pomůcky a didaktické hry...8 Výzkumné šetření.... Cíl výzkumného šetření.... Charakteristika statistického souboru.... Metody výzkumu.... Hypotézy šetření.... Výsledky výzkumného šetření..... Úloha č. : Rovnost desetinných čísel a zlomků... / 8
.. Úloha č. : Porovnávání zlomků..... Úloha č..a: Početní operace se zlomky...7.. Úloha č..b: Úprava složeného zlomku...8.. Úloha č. : Slovní úloha...7.. Celkové hodnocení...7. Závěry...7 Závěr...7 Použitá literatura...78 Seznam příloh...8 7 / 8
Úvod Učivo o zlomcích je na základní škole jednou ze stěžejních částí tématického okruhu Číslo a proměnná. K pochopení pojmu zlomek jako racionálního čísla je třeba dlouhého časového úseku a postupného přechodu od konkrétních modelů zlomku jako části celku k pojmu zlomku jako reprezentantu racionálního čísla. Během výukové praxe jsem se já sama setkala s obtížemi, které činí žákům početní operace se zlomky, pochopení základních vztahů a souvislostí s desetinnými čísly, proto jsem se rozhodla zaměřit se ve své závěrečné práci na tuto oblast školské matematiky. Závěrečná práce je rozdělena do pěti kapitol. V první kapitole své práce popisuji obor racionálních čísel. Zabývám se zavedením množiny racionálních čísel z algebraického hlediska, vlastnostmi této množiny reflexivitou, symetričností, tranzitivitou. Dále popisuji početní operace sčítání a násobení v této množině a zabývám se jejich vlastnostmi komutativitou, asociativitou, distributivitou, zda v množině racionálních čísel existuje neutrální prvek vzhledem k operaci sčítání, násobení, zda existuje inverzní prvek vzhledem k operaci sčítání a násobení. Druhá kapitola mé práce se týká historie zlomků. V této části popisuji čtyři významná období, která výrazně ovlivnily vývoj pojmu zlomek, dále se zabývám vývojem početních operací se zlomky. Třetí kapitola obsahuje informace o Rámcovém vzdělávacím programu, o vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace, o tématickém okruhu Číslo a proměnná v souvislosti učiva o zlomcích na druhém stupni základního vzdělávání. V dané části jsou popsány klíčové kompetence, které by měla vzdělávací oblast Matematika a její aplikace rozvíjet, dále jsou zde popsány výukové cíle, zvláště ty, které souvisí s učivem o racionálních číslech. Ve čtvrté kapitole popisuji význam zlomku zlomek jako část celku, zlomek jako naznačené dělení, zlomek jako reprezentant racionálního čísla. Dále se zabývám numerací a početními operacemi se zlomky. Jsou zde uvedeny motivační úlohy a manipulativní 8 / 8
činnosti vedoucí k uvedení daného učiva, dále v jedné z podkapitol popisuji různé metody, pomůcky a didaktické hry, které mohou žáky zaujmout a motivovat. Některé z uvedených činností mohou být použity k opakování matematických vědomostí a dovedností týkajících se zlomků. V páté kapitole své práce vyhodnucuji pedagogický výzkum, jenž jsem uskutečnila na třech základních školách v Brně. V této části práce je uveden cíl výzkumného šetření, charakteristika statistického souboru, stanovené hypotézy a jejich potvrzení či vyvrácení. V rámci výzkumu jsem sestavila didaktický test obsahující elementární příklady se zlomky. Čerpala jsem z dostupné literatury odborných článků a skript, ze školských učebnic pro sedmé třídy základních škol. 9 / 8
Obor racionálních čísel V historii se nejprve pracovalo s čísly přirozenými a s operací sčítání. Ve vývoji se v algebře vybudovala algebraická struktura - polookruh všech přirozených čísel ( ℕ, +, ). V množině všech přirozených čísel není možné bez omezení odčítat a dělit. Je potřeba danou algebraickou strukturu dále rozšířit na obor integrity všech celých čísel ( ℤ, +, ). V oboru integrity všech celých čísel lze bez omezení odčítat. V této struktuře však nelze bez omezení dělit, proto je nutné tuto algebraickou strukturu dále rozšířit na těleso všech racionálních čísel ( ℚ,+, ). V této struktuře již můžeme bez omezení dělit s výjimkou dělení nulou. Těleso všech racionálních čísel ( ℚ,+, ) bylo vybudováno tak, aby mělo následující vlastnosti: aby se v něm počítalo podle stejných pravidel jako v oboru integrity ( ℤ, +, ), aby bylo možné považovat celá čísla za čísla racionální, aby bylo možnévyjádřit každé racionální číslo pomocí čísel celých. Komutativní těleso ( ℚ,+, ) nazveme komutativním tělesem racionálních čísel právě tehdy, když platí: existuje podobor integrity ( ℤ,+, ) komutativního tělesa ( ℚ,+, ), který je izomorfní s oborem integrity ( ℤ, +, ) všech celých čísel. Každý prvek komutativního tělesa ( ℚ,+, ) je možné vyjádřit jako podíl dvou prvků z podoboru integrity ( ℤ,+, ). Množina ℚ se nazývá množina racionálních čísel a její prvky racionální čísla. Uvažujme dvě uspořádané dvojice α = [a, b], β = [c, d ] ℤ x ℤ {} a definujme relaci α β a d = b c. srv. DRÁBEK, Jaroslav; VIKTORA, Václav. Základy elementární aritmetiky : pro učitelství. stupně ZŠ. Str. 8 DRÁBEK, Jaroslav; VIKTORA, Václav. Základy elementární aritmetiky : pro učitelství. stupně ZŠ. Str. 8 KUČERA, Radan; SKULA, Ladislav. Číselné obory. Str. / 8
Dokážeme, že tato relace je reflexivní, symetrická a tranzitivní. Reflexivní: [a, b] ℤ x ℤ : [a, b] [a, b] a b=a b Symetrická: [a, b],[c, d ] ℤ x ℤ : [a, b] [c, d ] [c, d ] [a, b] (a d =b c) (c b=d a) Tranzitivní: [a, b],[c, d ], [e, f ] ℤ x ℤ : ([a, b] [c, d ] [c, d ] [e, f ]) [a, b] [e, f ]. Pokud platí a d =b c a zároveň platí c f =d e, potom platí a f =b e. Aby byla zachována rovnost, tak platí a d c f =b c d e. Jelikož můžeme použít zákon o krácení, platí a f =b e a daná rovnost platí právě tehdy, když platí a f =b e [a,b] [e, f ]. Relace tedy definuje rozklad množiny ℤ x ℤ { } na třídy ekvivalence. Každou třídu ekvivalence nazveme racionálním číslem. V následující části této kapitoly se budeme se nyní zabývat operacemi sčítání a násobení a také jejich vlastnostmi.. Operace sčítání Na třídách ekvivalence definujeme užitím jejich reprezentantů operaci sčítání: [a, b]+[c, d ] [a d+b c, b d ]. Komutativita sčítání [a, b], [c, d ] ℤ x ℤ { } : [a, b]+[c, d ] = [c, d ]+[a,b] Součet uspořádaných dvojic [a, b] + [c, d ] je ekvivalentní s [a d+b c, b d ]. Součet uspořádaných dvojic [c, d ] + [a, b] je ekvivalentní s [c b+d a, d b]. Jelikož je operace sčítání v množině celých čísel komutativní, proto platí [c b+d a, d b] [b c+a d, b d ]. Operace sčítání v množině ℤ x ℤ je komutativní. KUČERA, Radan; SKULA, Ladislav. Číselné obory. Str. / 8
Asociativita sčítání [a, b],[c, d ], [e, f ] ℤ x ℤ : [a, b] + ([c, d ] +[e, f ]) = ([a, b] + [c, d ]) + [e, f ] Součet uspořádaných dvojic [a, b]+[c f +d e, d f ] Součet je ekvivalentní se součtem. Daný součet lze dále sečíst a získáme [a d f +b c f +b d e,b d f ]. uspořádaných [a d+b c, b d ]+[e, f ] [a, b]+([c, d ]+[e, f ]) dvojic ([a, b]+[c, d ])+[e, f ] je ekvivalentní se součtem, po sečtení získáváme [a d f +b c f +b d e,b d f ]. Operace sčítání v množině ℤ x ℤ je asociativní. Neutrální prvek [e, f ] ℤ x ℤ { } : [a, b] ℤ x ℤ { } : [a, b]+[e, f ]=[e, f ]+[a, b]=[a, b]. Uspořádaná dvojice [e, f ] reprezentuje neutrální prvek vzhledem k operaci sčítání. Součet uspořádaných dvojic [a, b ]+[e, f ] má být ekvivalentní s uspořádanou dvojicí [a, b], čili má platit následující ekvivalence [a f +b e,b f ] [a, b]. Aby tato ekvivalence platila, musí platit podle předpisu, kterým je definovaná ekvivalence v množině ℤ x ℤ, následující rovnost b b e=b a f b a f b b e+b a f =b a f. Danou rovnost můžeme upravit na tvar, jelikož množina celých čísel je uzavřená vzhledem k operaci odčítání. Z toho plyne, že b b e=, kde b ℤ { }, tj. nemůže být nulové, tím pádem je e=. Neutrálním prvkem vzhledem k operaci sčítání v množině ℤ x ℤ { } je třída uspořádaných dvojic [, f ], kde první složka je nulá a f. Inverzní prvek [a, b] ℤ x ℤ { } [i, j] ℤ x ℤ { } : [a,b]+[i, j]=[i, j ]+[a, b]=[, f ] Uspořádaná dvojice [i, j] reprezentuje inverzní prvek vzhledem k operaci sčítání. Uspořádaná dvojice [, f ] reprezentuje neutrální prvek vzhledem k operaci sčítání. / 8
Součet uspořádaných dvojic [a, b]+[i, j ] má být ekvivalentní s neutrálním prvkem, tj. platí ekvivalence [a j+b i,b j ] [, f ]. Aby byla tato ekvivalence platila, musí platit následující rovnost f a j + f b i=b j. Danou rovnost upravíme na tvar f a j= f b i. Jelikož je f nenulové, můžeme použít zákon o krácení a dostáváme rovnost a j= b i. Aby byla daná rovnost zachována, musí se a rovnat i zároveň b se musí rovnat -j nebo se a musí rovnat -i a b se musí rovnat j. Z toho vyplývá, že inverzní prvek má tvar [ a, b] nebo [a, b ]. Dokažme, že platí: [ a, b ] [a, b]. [ a, b] [a, b] ( a) ( b)=a b a b= a b. Operace násobení Na třídách ekvivalence množiny ℤ x ℤ { } definujeme užitím jejich reprezentantů operaci násobení: [a, b] [c, d ] [a c, b d ]. Komutativita násobení [a, b],[c, d ] ℤ x ℤ { } : [a, b] [c, d ]=[a, b] [c, d ] Součin uspořádaných dvojic [a, b] [c, d ] je ekvivalentní s [a c, b d ]. Součin uspořádaných dvojic [c, d ] [a, b ] je ekvivalentní s [c a, d b ] [a c, b d ]. Operace násobení je v množině ℤ x ℤ { } komutativní. Asociativita násobení [a, b],[c, d ], [e, f ] ℤ x ℤ { } : [a, b] ([c, d ] [e, f ]) = ([a, b] [c, d ]) [e, f ] Součin uspořádaných dvojic [a, b] [c e, d f ] Součin je ekvivalentní se součinem. Daný součin je ekvivalentní s [a c e, b d f ]. uspořádaných [a c, b d ] [e, f ] [a, b] ([c, d ] [e, f ]) dvojic ([a, b] [c, d ]) [e, f ] je ekvivalentní se součinem. Daný součin je ekvivalentní s [a c e, b d f ]. / 8
Operace násobení v množině ℤ x ℤ { } je asociativní. Neutrální prvek [e, f ] ℤ x ℤ { } : [a, b] ℤ x ℤ { } : [a, b] [e, f ] = [e, f ] [a, b] = [a, b] Součin [a, b] [e, f ] má být ekvivalentní s uspořádanou dvojicí [a, b], tj. [a e, b f ] Je ekvivalentní s uspořádanou dvojicí [a, b]. Daná ekvivalence platí pouze v případě, když platí rovnost a e b=b f a. Z té vyplývá, že e= f. V množině ℤ x ℤ { } existuje neutrální prvek vzhledem k operaci násobení. Je to třída, která má obě dvě složky stejné: {[,], [,],[,] } je neutrálním prvkem vzhledem k operaci násobení v množině ℤ x ℤ { }. Inverzní prvek [a, b] ℤ x ℤ { } [i, j] ℤ x ℤ { } : [a, b] [i, j ] = [i, j] [a,b] = [,] Uspořádaná dvojice [i, j] reprezentuje inverzní prvek vzhledem k násobení. Uspořádaná dvojice [,] reprezentuje neutrální prvek vzhledem k násobení. Součin [a, b] [i, j] je ekvivalentní s neutrálním prvkem. Aby tato ekvivalence platila, musí platit následující rovnost i =b { ℤ { } }, j= a {ℤ { }} a i =b j, tj. a i=b j. Z toho vyplývá, že. Inverzní prvek k prvku [a, b] vzhledem k operaci násobení v množině ℤ x ℤ { } má tvar [b, a], a ℤ { }. Inverzní prvek neexistuje ke třídě [,b]. Distributivní zákon [a, b], [c, d ],[e, f ] ℤ x ℤ { }:[a, b] ([c, d ]+[e, f ])=[a, b] [c, d ]+[a, b] [e, f ] Součin [a, b ] ([c, d ]+[e, f ]) je ekvivalentní s [a c f +a d e, b d f ]. Součet [a, b] [c, d ]+[a, b] [e, f ] je ekvivalentní s [a b c f +a b d e,b b d f ]. Budeme se nyní zabývat otázkou, zda jsou tyto dvě uspořádané dvojice ekvivalentní. Pokud má platit [a c f + a d e, b d f ] [a c b f +b d a e, b d b f ], musí platit následující rovnost, která vyplývá z definice ekvivalence: / 8
(a c f +a d e) b b d f =b d f (a c b f +b d a e). Jelikož složky b, d, f jsou celá čísla různá od nuly, můžeme použít zákon o krácení a dostaneme a b c f +a b d e=a b c f +a b d e. Jelikož je operace sčítání v množině ℤ x ℤ { } komutativní, daná rovnost platí. Vzhledem k tomu, že operace násobení je komutativní, stačí ověřit platnost jednoho z distributivních zákonů. / 8
Historie pojmu zlomek Vznik zlomků je spojen s hospodářským rozvojem civilizací. Se zlomky se setkáváme nejdříve u kultur, které přešly k usedlému způsobu života. Společnost začala potřebovat jednotky měřící velikost a obsah pole, objem nádob a sýpek, jednotky vážící různé předměty. Vznikla potřeba vyjadřovat nejen počet celistvých předmětů, ale bylo potřeba počítat s částmi celku. Pojem zlomku se postupně vyvíjel, stejně jako například pojem přirozených čísel. Postupně vznikaly nejrůznější zlomky. Nejstarším zlomkem je zlomek, zřídkakdy se můžeme v historii setkat již se zlomky nebo. Rozvoj pojmu zlomek se váže se čtyřmi historicky významnými obdobími.. Egypt Informace o úrovni vědomostí v oblasti matematiky starověkých Egypťanů se dozvídáme z několika málo textů, které se dochovaly, především papyrů. Dané texty obsahují vědomosti týkající se základních matematických operací, metod algebraických a geometrických výpočtů. Většinou jsou sepsány jako sbírky úloh a obsahují vyřešené úlohy.7 Nejznámějším a nejrozsáhlejším textem, který se dochoval, je Rhindův papyrus, který obsahuje 8 úloh. Je to promyšlená sbírka úloh, ve které jsou jednotlivé příklady rozděleny do několika oddílů. První z nich se věnuje procvičování se zlomky. Ve starověkém Egyptě se používaly zlomky, avšak specifickým způsobem. Egypťané vyjadřovali zlomek jako součet kmenných zlomků, tj. zlomků s čitatelem rovným jedné. srv. STRUIK, Dirk Jan. Dějiny matematiky. Str. srv. BALADA, František. Z dějin elementární matematiky. Str. 7 srv. VYMAZALOVÁ, Hana. Staroegyptská matematika: hieratické matematické texty. Str. / 8
Například zlomek vyjádřovali Egypťané jako součet a. Výjimku tvořil zlomek, který vyjadřovali jako rozdíl a.8 Egypťané používali desítkovou soustavu. Příklady se zlomky jsou v Rhindově papyru rozděleny do několika skupin. První skupinu výpočtů se zlomky tvoří tzv. Tabulka n, která obsahuje dvojnásobky zlomků s lichým jmenovatelem od do. 9 Tabulka udává rozklad zlomku n na kmenné zlomky pro všechna lichá n od do, například: 97 = + 79 + 77. V Ahmesově papyru můžeme nalézt tabulku zlomků ve tvaru n +, pro n z množiny přirozených čísel a n vyjádřených jakou součty kmenových zlomků s různými jmenovateli. Například: = 8 + + nebo 7 = + 8. Druhá skupina příkladů se zlomky v Rhindově papyru obsahuje šest aplikačních úloh týkajících se přerozdělování obilí. Dané úlohy obsahují zadání, výsledek a zkoušku. Zkouška procvičuje násobení zlomků. Egypťané častokrát řešili úlohu, ve které měli m předmětů rozdělit mezi n lidí. Egypťané chápali dělení jako proces a ne jako koncept, jak zlomek chápeme v současnosti. Ve třetí skupině příkladů se nachází ůlohy sekem. 8 9 srv. STRUIK, Dirk Jan. Dějiny matematiky. Str. VYMAZALOVÁ, Hana. Staroegyptská matematika: hieratické matematické texty. Str. srv. STRUIK, Dirk Jan. Dějiny matematiky. Str. srv. HEJNÝ, Milan; NOVOTNÁ, Jarmila; STEHLÍKOVÁ, Naďa. Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. Str. 7 7 / 8
Jedná se o skupinu výpočtů určujících ze zadaného zlomků jeho dvě části (a to buď a nebo a ) a jejich celkový součet. Způsob počítání se zlomky převzali od Egypťanů Řekové, Římané a Arabové. Počátkem. století se vyjádření zlomků pomocí součtu kmenných zlomků s různý- mi jmenovateli dostává do Evropy.. Mezopotámie Mezopotamská matematika byla na vyšší úrovni než matematika v Egyptě. Nejstarší texty ze sumerského období obsahují multiplikační tabulky, ve kterých je desítková soustava doplněna dobře propracovanou šedesátkovou soustavou. Můžeme v těchto textech nalézt symboly čísel,, a také nebo. V Mezopotamii se používala šedesátková číselná soustava. To se zachovalo i při počítání se zlomky, které bylo založeno na šedesátinném dělení. Tento způsob počítání se zlomky se používal až do konce středověku a předcházel počítání s desetinnými zlomky.. Řím Římané přejali od Egypťanů počítání se zlomky vyjádřenými součtem kmenných zlomků s různými jmenovateli. Sami však také přispěli velkou měrou k rozvoji pojmu zlomek. Římský přínos v rozvoji pojmu zlomek a početních operací se zlomky se týkal zvláště praktického využití souvisejícího s právními úkony, jakými byly dědické právo, úrokový počet, obchodní, zeměměřičské či stavitelské činnosti. Římané rozdělili peněžní jednotku as na dvanáct částí. Počítali se zlomky se jmenovatelem rovným dvanácti nebo násobky dvanácti. Tyto zlomky vyjadřovaly srv. VYMAZALOVÁ, Hana. Staroegyptská matematika: hieratické matematické texty. Str. srv. BALADA, František. Z dějin elementární matematiky. Str. - srv. STRUIK, Dirk Jan. Dějiny matematiky. Str. srv. BALADA, František. Z dějin elementární matematiky. Str. srv. BALADA, František. Z dějin elementární matematiky. Str. 8 / 8
rozdělení asu. Některé názvy zlomků vyjadřující část asu zůstaly dodnes, například třetinu triens označoval zlomek, quadrans čili čtvrtinu označoval zlomek. Římský spisovatel Plinius vyjadřuje pomocí součtu kmenných zlomků velikost světa dílů (dle poznatků známých v dané době), např. velikost Evropy jako součet + 8, ve likost Asie jako součet + nebo velikost Afriky jako součet +. Další vývoj pojmu zlomku však v této civilizaci nenastal.7 Římský systém počítání se zlomky ovládal praktické počítání středověku až do XII. století. 8. Indie Historické kořeny obecného pojmu zlomek, tak, jak ho známe v dnešní době, nalezneme v Indii. Již ve. století před naším letopočtem počítali Indové se zlomky s čitatelem různým od jedné. Dále již používali všechny početní operace se zlomky. Indická matematika se díky Arabům a jejich spisům dostává v. století do Evropy. Ve svých dílech se o ní také zmiňují někteří matematici, například Leonard Pisánský. Indové zapisovali zlomky podobně jako se zapisují v současnosti, chyběla pouze zlomková čára. Celá čísla v zápisu smíšených čísel se nadpisovala, např. zlomek se v Indii zapisoval takto:.9 V indických spisech tzv. Súlvasútra, které z části vznikly let před naším letopočtem, nalezneme speciální případy Pythagorovy věty zároveň s několika aproxima cemi vyjádřenými kmenovými zlomky, například: = + + +. 7 8 9 srv. BALADA, František. Z dějin elementární matematiky. Str. BALADA, František. Z dějin elementární matematiky. Str. srv. BALADA, František. Z dějin elementární matematiky. Str. srv. STRUIK, Dirk Jan. Dějiny matematiky. Str. 9 9 / 8
. Vývoj zápisu a početních operací se zlomky Egypťané, Arabové, Římané již bez problémů sčítali a odčítali zlomky. Příklad: Římský spisovatel Plinius (. stol. n. l.) uvádí velikosti tří tehdy známých světadí lů ve srovnání s velikostí zemské pevniny takto: Evropa + 8 ; Asie + ; Afrika +. Představují uvedené kmenné zlomky celek? Řešení: 8 + Evropa: + 8 = = 7+ 9 Asie: + = 8 = 8 + Afrika: + = = 9 Součet: 8 + 8 + = 8 7 + 8 8 + 9 7 79 = = 8 Uvedené kmenné zlomky nepředstavují celek. Německý matematik Jordanus Nemorarius doporučoval při dělení zlomků násobit čitatele i jmenovatele zlomků, který představuje dělence, součinem utvořeným z čitatele a jmenovatele dělitele. V daném případě lze dělení zlomků vždy provádět. 7 7 Například: : 7 = 7 : 7 = S pojmem zlomková čára se setkáváme v dílech Leonarda Pisánského, který ji nazývá virgula a patrně ji přejal od arabských matematiků. Zlomková čára byla obecně zavedena až v. století. První souhrn vědomostí týkajících se počítání se zlomky nalezneme ve spise Arithmétique Simona Stevina, který se v této knize obracel pouze na vědecky školené čtenáře, neboť počítání se zlomky bylo jednou z nejtěžších oblastí matematiky. MALÁČ, Jaromír. Sbírka náročnějších úloh z matematiky pro. - 9. ročník. Str. / 8
Chápání početních operací bylo ovlivněno mimo jiné i biblickými představami a citacemi z Bible, která byla v dané době podkladem pro veškeré učení. Například františkánský mnich Luca Pacioli, florentský profesor matematiky se pozastavuje nad tím, proč je při násobení zlomkem menším než jedna výsledek menší než násobenec a oproti tomu staví citát: Rostež a množte se.. V té době bylo sloveso množit synonymem slovesa násobit. Početní operace se zlomky se rovněž vyvíjely. Leonardo Pisánský, stejně jako Arabové a Řekové, násobí zlomky tak, že vynásobí jednotlivé čitatele a jejich součin následně dělí nejdříve jedním, pak druhým jmenovatelem. Ve francouzském rukopise z r. 8 nalezneme v příkladu při krácení zlomku Euklidův algoritmus, kterým byl určen například největší společný dělitel. Německý matematik Adam Ries doporučuje jiný způsob aby se čitatel a jmenovatel nejdříve dělil dvěma tak dlouho, dokud to půjde, pak třemi, pěti, atd. Toto jednoduché řešení bylo motivováno nedostatečnými matematickými schopnostmi většiny společnosti. Ve většině středověkých učebnic nenalezneme zmínku o tom, že násobení či dělení čitatele a jmenovatele stejným číslem nemění velikost zlomku. Příklady byly tvořeny tak, aby výsledky byly velmi jednoduché, například příklad indického matematika Mahavira: + + 8 + + + + + + 8 =. Příklad: Sečtěte následující zlomky způsobem, kterého užívali staří indčtí matematikové. Společným jmenovatelem byl součin všech jmenovatelů. Proveďte sčítání indickým i našim způsobem a ověřte, zda je uvedený společný jmenovatel správný. + + + + + + + = 8 8 8 8 8. Řešení: Indický způsob: 79 9 + 97 9 8 + + + + + + + + = 8 8 8 8 8 MALÁČ, Jaromír. Sbírka náročnějších úloh z matematiky pro. - 9. ročník. Str. / 8
+ 7 897 + 98 98 + 79 9 + 9 99 + 99 8 + 8 8 8 + 9 9 8 8 8 = = 8 8 8 8 8 8 Sčítání zlomků pomocí určení nejmenšího společného násobků jmenovatelů: 9 + + 9 + + + + + + + + + + + = + 8 8 8 = + 8 7 + = = = 8 7 7 S případy, kdy žák převádí zlomky na společný jmenovatel ne použitím společného dělitele obou jmenovatelů, nýbrž jejich součinu, se můžeme setkat již v Indii u matematiků Aryabhaty a Bráhmagupty. V. století se můžeme ještě v české zemi setkat s nejednoznačností zápisu čísel. Používaly se zápisy pomocí římských číslic, ale také zápisy složené z indických číslic, které do Evropy přiváželi především kupci. Ve středověku se postupně nahrazovalo počítání s šedesátkovými zlomky počítáním s desetinnými zlomky. Francois Viéte poukázal na vhodnost počítání s desetinnými zlomky. Sám rozlišoval celek od desetinného místa tak, že celek psal větší a desetinné místo oddělil svislou čarou. Se zavedením metrického systému během Velké francouzské revoluce dochází k rozšíření počítání s desetinnými zlomky i mezi obyvatele především díky obchodníkům a řemeslníkům. srv. BALADA, František. Z dějin elementární matematiky. Str. - srv. ŠEDIVÝ, Ondrej; KRIŽALKOVIČ, Karol. Didaktika matematiky pre štúdium učitel'stva I. stupňa ZŠ. str. 8 / 8
Rámcový vzdělávací program Matematika má v základním vzdělávání nezastupitelné místo. V základním vzdělávání je tato oblast založena především na aktivních činnostech, které jsou typické pro práci s matematickými objekty a pro užití matematiky v reálných situacích. Poskytuje vědomosti a dovednosti potřebné v praktickém životě a umožňuje tak získávat matematickou gramotnost. Matematické vzdělávání má rozvíjet abstraktní, kauzální, exaktní a analyticko-syntetické myšlení, logické a kritické usuzování, učit srozumitelné, přesné a věcné argumentaci. Žáci by si měli v rámci matematiky během základního vzdělávání osvojit základní myšlenkové postupy, základní pojmy, vzájemné vztahy, porozumět jim a umět je aplikovat v praxi. Žáci si postupně osvojují některé pojmy, algoritmy, terminologii, symboliku a způsoby jejich užití. 7. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace V Rámcovém vzdělávacím programu nalezneme vzdělávací oblast Matematika a její aplikace. Vzdělávací oblast je rozdělena na prvním stupni základního vzdělávání do následujících tématických okruhů: ) Číslo a početní operace ) Závislosti, vztahy a práce s daty ) Geometrie v rovině a v prostoru ) Nestandardní aplikační úlohy a problémy. FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. 7 FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. 7 7 srv. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. 9 / 8
Na druhém stupni je vzdělávací oblast Matematika a její aplikace rozdělena do těchto tématických okruhů: ) Číslo a proměnná ) Závislosti, vztahy a práce s daty ) Geometrie v rovině a v prostoru ) Nestandardní aplikační úlohy a problémy. 8 Na druhém stupni základního vzdělávání si žák osvojuje vědomosti a dovednosti týkající se zlomků a racionálních čísel uvedené v tématickém okruhu Číslo a proměnná.. Vzdělávací cíle V RVP ZV nalezneme jednotlivé vzdělávací cíle, jejichž naplnění by se mělo během základního vzdělávání realizovat. Vzdělávání ve vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace má vést žáka k: využívání matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech odhady, měření a porovnávání velikostí a vzdáleností, orientace rozvíjení paměti žáků prostřednictvím numerických výpočtů a osvojováním si nezbytných matematických vzorců a algoritmů rozvíjení abstraktního a exaktního myšlení osvojováním si a využíváním základních matematických pojmů a vztahů, k poznávání jejich charakteristických vlastností a na základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů vytváření zásoby matematických nástrojů (početních operací, algoritmů, metod řešení úloh) a k efektivnímu využívání osvojeného matematického aparátu vnímání složitosti reálného světa a jeho porozumění; k rozvíjení zkušenosti s matematickým modelováním (matematizací reálných situací), k vyhodnocování matematického modelu a hranic jeho použití; k poznání, že realita je složitější 8 srv. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. 9 / 8
než její matematický model, že daný model může být vhodný pro různorodé situace a jedna situace může být vyjádřena různými modely provádění rozboru problému a plánu řešení, odhadování výsledků, volbě správného postupu k vyřešení problému a vyhodnocování správnosti výsledku vzhledem k podmínkám úlohy nebo problému. 9. Číslo a proměnná Tématický okruh Číslo a proměnná obsahuje následující očekávané výstupy: Žák: provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu zaokrouhluje a provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor modeluje a řeší situace s využitím dělitelnosti v oboru přirozených čísel užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek část (přirozeným číslem, poměrem, zlomkem, desetinným číslem, procentem) řeší modelováním a výpočtem situace vyjádřené poměrem; pracuje s měřítky map a plánů řeší aplikační úlohy na procenta (i pro případ, že procentová část je větší než celek) matematizuje jednoduché reálné situace s využitím proměnných; určí hodnotu výrazu, sčítá a násobí mnohočleny, provádí rozklad mnohočlenu na součin pomocí vzorců a vytýkáním formuluje a řeší reálnou situaci pomocí rovnic a jejich soustav analyzuje a řeší jednoduché problémy, modeluje konkrétní situace, v nichž využívá matematický aparát v oboru celých a racionálních čísel. 9 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. 9 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. / 8
S tématickým okruhem Číslo a proměnná souvisí následující učivo: dělitelnost přirozených čísel prvočíslo, číslo složené, násobek, dělitel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel, kritéria dělitelnosti celá čísla čísla navzájem opačná, číselná osa desetinná čísla, zlomky rozvinutý zápis čísla v desítkové soustavě; převrácené číslo, smíšené číslo, složený zlomek poměr měřítko, úměra, trojčlenka procenta procento, promile; základ, procentová část, počet procent; jednoduché úrokování mocniny a odmocniny druhá mocnina a odmocnina výrazy číselný výraz a jeho hodnota; proměnná, výrazy s proměnnými, mnohočleny rovnice lineární rovnice, soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými. Základní vlastnosti a početní operace s racionálními čísly žáci využívají během dalších ročníků základní školy a v další etapě vzdělávání například při práci s lomenými výrazy, přímou a nepřímou úměrností, funkcemi.. Klíčové kompetence Obsah vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace by měl vést u žáků k rozvoji následujících klíčových kompetencí... Kompetence k učení Kompetence k učení ( učit se učit ) postupně rozvíjí žákovy schopnosti řídit vlastní učení (ať už samostatně nebo ve skupině), aby byl schopen získávat, zpracovávat, hodnotit a integrovat nové znalosti. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. / 8
Na konci základního vzdělávání žák operuje s obecně užívanými termíny, znaky a symboly, uvádí věci do souvislostí, propojuje do širších celků poznatky z různých vzdělávacích oblastí a na základě toho si vytváří komplexnější pohled na matematické, přírodní, společenské a kulturní jevy; vybírá a využívá pro efektivní učení vhodné způsoby, metody a strategie, plánuje, organizuje a řídí vlastní učení, projevuje ochotu věnovat se dalšímu studiu a celoživotnímu učení... Kompetence k řešení problémů Na konci základního vzdělávání žák samostatně řeší problémy; volí vhodné způsoby řešení; užívá při řešení problémů logické, matematické a empirické postupy; vyhledá informace vhodné k řešení problému, nachází jejich shodné, podobné a odlišné znaky, využívá získané vědomosti a dovednosti k objevování různých variant řešení, nenechá se odradit případným nezdarem a vytrvale hledá konečné řešení problému, ověřuje prakticky správnost řešení problémů a osvědčené postupy aplikuje při řešení obdobných nebo nových problémových situací, sleduje vlastní pokrok při zdolávání problémů. K rozvoji této kompetence je nutné vytvořit vhodné podmínky vedoucí k rozvoji žákovy tvořivosti, logického myšlení a vlastní kreativity. Úlohy proto mají více výsledků, vedou ke kauzálnímu myšlení, k vnímání vztahů, zákonitostí a souvislostí, podporují žákovu přirozenou tvořivost. Úlohy mají určitou náročnost a problémovost. Žák při řešení úloh zkouší různé postupy řešení a samostatně svá řešení hodnotí a kontroluje... Kompetence komunikativní Na konci základního vzdělávání žák formuluje a vyjadřuje své myšlenky a názory v logickém sledu, vyjadřuje se výstižně, souvisle a kultivovaně v písemném i ústním projevu; rozumí různým typům textů a záznamů, obrazových materiálů, běžně užívaných gest, zvuků a jiných informačních a komunikačních prostředků, přemýšlí o nich, reaguje na ně a tvořivě je využívá ke svému rozvoji a k aktivnímu zapojení se do společenského dění. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. srv. FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. 7 / 8
Žák věcně argumentuje, komunikuje při řešení úloh a popisuje postupy řešení matematickými pojmy, naslouchá ostatním návrhům řešení. Žák používá ve svém výstupu matematickou symboliku. Důležitou součástí řešení úloh je čtení s porozuměním, proto by měl být žák schopen rozumět různým textům.7.. Kompetence sociální a personální Na konci základního vzdělávání žák účinně spolupracuje ve skupině, podílí se společně s pedagogy na vytváření pravidel práce v týmu, na základě poznání nebo přijetí nové role v pracovní činnosti pozitivně ovlivňuje kvalitu společné práce; přispívá k diskusi v malé skupině i k debatě celé třídy, chápe potřebu efektivně spolupracovat s druhými při řešení daného úkolu, oceňuje zkušenosti druhých lidí, respektuje různá hlediska a čerpá poučení z toho, co si druzí lidé myslí, říkají a dělají; vytváří si pozitivní představu o sobě samém, která podporuje jeho sebedůvěru a samostatný rozvoj; ovládá a řídí svoje jednání a chování tak, aby dosáhl pocitu sebeuspokojení a sebeúcty. 8 Kompetence sociální a personální zahrnují všechny formy jednání, které si žák musí osvojit, aby byl schopen efektivně a konstruktivně se podílet na dění ve společnosti a dokázal řešit problémy v kontextu osobním, rodinném i veřejném. 9 Žák spolupracuje ve skupině s ostatními žáky při řešení úloh, projektů, hodnotí podíl své vlastní práce a podíl práce ostatních při společném řešení na dané úloze, žák respektuje názory ostatních. 7 srv. FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. 8 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. 9 FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. srv. FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. 8 / 8
.. Kompetence občanské Na konci základního vzdělávání žák chápe základní principy, na nichž spočívají zákony a společenské normy, je si vědom svých práv a povinností ve škole i mimo školu; rozhoduje se zodpovědně podle dané situace, poskytne dle svých možností účinnou pomoc a chová se zodpovědně v krizových situacích ohrožujících život a zdraví člověka. Kompetence občanské vedou k tomu, aby se žáci cítili jako svobodné a zodpovědné osobnosti, uplatňující svá práva a plnící své povinnosti. Žáci i pedagogové dodržují dohodnutá pravidla, respektují vzájemná práva, plní svědomitě své povinnosti, ověřují svá řešení, zodpovídají za ně, jsou zodpovědni za svou práci... Kompetence pracovní Na konci základního vzdělávání žák používá bezpečně a účinně materiály, nástroje a vybavení, dodržuje vymezená pravidla, plní povinnosti a závazky, adaptuje se na změněné nebo nové pracovní podmínky; přistupuje k výsledkům pracovní činnosti nejen z hlediska kvality, funkčnosti, hospodárnosti a společenského významu, ale i z hlediska ochrany svého zdraví i zdraví druhých, ochrany životního prostředí i ochrany kulturních a společenských hodnot; využívá znalosti a zkušenosti získané v jednotlivých vzdělávacích oblastech v zájmu vlastního rozvoje i své přípravy na budoucnost, činí podložená rozhodnutí o dalším vzdělávání a profesním zaměření. Žáci se učí trpělivosti a prohlubují své volní vlastnosti, protože při řešení některých matematických úloh je nutné intenzivní pracovní nasazení; v hodinách matematiky je pracovní atmosféra; pasivita žáků se netoleruje. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. srv. FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. 7 FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. 9 / 8
Rozvíjení klíčových kompetencí závisí na podmínkách, které v dané hodině pedagog vytvoří. Pokud bude učitel žákům vědomosti předkládat, aniž by žáci dané vědomosti plně pochopili a vytvořili si určitý pojem pomocí manipulativních činností a příkladů z reálného života, tak rozvíjení daných kompetencí a pochopení vztahů a souvislostí nemůže být naplněno. / 8
Zlomky Žák se se zlomky setkává již dříve, než se o nich učí v rámci vzdělávání na základní škole. Z běžného života již zná pojmy polovina, třetina, čtvrtina. Na prvním stupni základní školy se opět setkává s těmito pojmy, např. polovina, třetina, čtvrtina, zlomek. K upevňování a pochopení těchto pojmů však dochází až na druhém stupni základní školy. Žáci si nejdříve osvojují pojem zlomku jako část celku, v sedmém ročníku si osvojují pojem zlomek jako reprezentant racionálního čísla anebo pojem zlomku jako jiný zápis dělení.. Zlomek jako část celku Žáci se nejdříve seznamují se zlomkem jako částí celku. Žáci dělí konkrétní předměty na části, potom se seznamují s jednotlivými částmi zlomku čitatelem, jmenovatelem, zlomkovou čarou a dalšími pojmy. Při vyučování zlomků je důležité věnovat dostatečný čas na pochopení základních pojmů, důležitá je manipulativní činnost, během které má žák dostatek času a prostor pro pochopení, co zlomek vyjadřuje, co vyjadřuje čitatel, co vyjadřuje jmenovatel, jaké jsou rozdíly mezi pravým a nepravým zlomkem. Důležitou roli hraje také propojení učiva o zlomcích s reálným životem a zkušenostmi, které již žáci mají. V motivační části se osvědčují různé přímé aktivity, jakými jsou skládání papíru, rozstřihování provázku, rozstřihování papíru, lámání zápalek, vybarvování obrazců, apod. Žák si pomocí těchto aktivit utváří pojem zlomek jako vyjádření části celku. K utvoření a upevnění tohoto významu pomáhají dotazy: Na kolik částí jsme složili / rozstřihli papír? Jakou část představuje jeden čtvereček/ obdélník/ kus? BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice II. Zlomky. Matematika, fyzika, informatika. str. 9 / 8
Po úvodní motivaci se žáci seznamují se základními pojmy. K pochopení se učitel opírá o model, který si se žáky vytvořili poskládaný papír, různé délky provázku a provázek původní, rozdělené obrazce s vybarvenými částmi, apod. Ve vyučování můžeme využít různé modely, které jsou žákům blízké dělení koláče, čokolády, dělení tyče, odměřování mléka a podobně. Předpokládáme, že děti již mají s těmi činnostmi zkušenosti. Skúsenosti, ktoré dieťa so zlomkami nadobudne před ich preberanim v škole, maju veľký vplyv na úspešnosť porozumenia zlomkov v škole. 7 Modely tyč, koláč, tabulka čokolády reprezentují úsečku, kruh a obdélník či čtverec. Neměli bychom opomenout i další obrazce, nejen kruh, čtverec či obdélník, ale také bychom měli se žáky procvičovat rozdělování trojúhelníku, šestiúhelníku či jiných obrazců na n dílů. Tyto činnosti by měly přispět k tomu, aby žáci pochopili, že při vytváření pojmu zlomku nezáleží na objektech, jejich velikostech, tvaru či materiálu, ale na tom, na kolik stejných částí celek dělíme a kolik částí uvažujeme. 8 U základních pojmů je potřeba žákům zdůrazňovat důležité vlastnosti a informace. Čitatel vyjadřuje počet částí z celku, se kterými počítáme /operujeme. Jmenovatel vyjadřuje počet stejných částí, na který jsme daný celek rozdělili. Pokud je jmenovatel roven nule, zlomek nemá smysl. Pokud se čitatel rovná jmenovateli, rovná se zlomek jedné. Pokud je čitatel roven nule, celý zlomek se rovná nule. a, b ℤ, a =, b : a = = b b Např.: = ; = ; 89 = Žáci se také seznamují s pojmy pravý zlomek, nepravý zlomek. 7 HEJNÝ, Milan. Teória vyučovania matematiky.. Str. 9 8 BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice II. Zlomky. Matematika, fyzika, informatika. str. 9 / 8
Pravý zlomek je takový zlomek, ve kterém je čitatel menší než jmenovatel. a, a<b b a, b ℤ, b : 7 Např.: ; ;. Nepravý zlomek je takový zlomek, ve kterém je čitatel větší než jmenovatel. 7 7 Např.: ; ; ; Je důležité při zavedení částí zlomku čitatele, jmenovatele a zlomkové čáry se žáky neustále opakovat, co vyjadřuje čitatel, co vyjadřuje jmenovatel, neboť při pozdějším zavádění převráceného zlomku a algoritmů početních operací se žáci o pojmy čitatel a jmenovatel opírají. Žáci se učí zlomky zapisovat nejen pomocí různých obrázků, které mají určitou část vybarvenou, ale mohou mít také název zlomků zapsán slovně a ten přepsat symbolicky. Pedagog by neměl opomenout pojem kmenný zlomek. Současný způsob zavedení pojmu zlomek ve škole použije pojem kmenného zlomku, ale jen jako předstupně pojmu zlomek. Pojem zlomku je totiž založen na konstrukci m m n n n. 9 Hejný () považuje kmenný zlomek ne pouze za předstupeň zlomku s čitatelem různým od jedné, ale za důležitou vývojovou etapu. Řešení problémů, které mají žáci s pochopením pojmu zlomek, vidí ve větším důrazu na pochopení pojmu kmenný zlomek a pochopení operací s kmenovými zlomky. 9 HEJNÝ, Milan; NOVOTNÁ, Jarmila; STEHLÍKOVÁ, Naďa. Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. str. 8 srv. HEJNÝ, Milan; NOVOTNÁ, Jarmila; STEHLÍKOVÁ, Naďa. Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. str. 8 / 8
. Numerace Žáci se nejdříve seznámili se zlomkem jako částí celku. Je potřeba, aby se žáci oprostili od vnímání zlomku jako konkrétních částí předmětů, ale aby začali vnímat a pracovat se zlomkem jako s číslem. Ústřední postavení mají opět tři modely tyč, koláč, čokoláda - představující úsečku, kruh, čtverec nebo obdélník. Žáci dělí dané modely na požadovaný počet částí poloviny, čtvrtiny, osminy, v pozdější fázi například na třetiny, pětiny, sedminy (liché dělení je problémovější). Dále vybarvují požadovaný počet částí v daném modelu. V další fázi se žáci učí zapisovat zlomky, přečíst správně symbolicky zapsaný zlomek, zapsat symbolicky zlomek, jehož název slyší, apod. Je důležité dbát na správné čtení zlomků a na správný zápis zlomků. Během těchto činností dochází k upevňování základních pojmů, se kterými se již žáci setkali a to s pojmy čitatel, jmenovatel, zlomek... Krácení a rozšiřování zlomků K utváření chápání zlomku jako reprezentanta racionálního čísla dochází pomocí rozšiřování a krácení zlomků. Zlomek rozšíříme, když čitatele a jmenovatele zlomku vynásobíme stejným celým číslem různým od nuly. a, b, c ℤ, b, c : a c b c Příklad: Rozšiřte sedmi zlomek 8. Řešení: 7 7 = = 8 8 7 Zlomek zkrátíme, když čitatele a jmenovatele zlomku vydělíme týmž celým číslem různým od nuly. Po krácení získáváme opět zlomek. ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Přehled matematiky pro základní školy a víceletá gymnázia. Str. 7 srv. ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Přehled matematiky pro základní školy a víceletá gymnázia. / 8
a, b, c ℤ, b, c : a:c b:c Žáci si na modelech, se kterými pracovali při zavádění zlomku jako částí celku, přibližují rozšiřování a naopak krácení zlomku. Učí se, že např. zlomek zapsat pomocí ekvivalentních zlomků,, 8, mohou také. Precizní uvedení tohoto učiva zabrání v budoucnu chybám, kdy žáci obtížně rozlišují situace: a) zápis smíšeného čísla pomocí zlomku, např. = zapisují chybně jako = b) násobení zlomku přirozeným číslem, např. = násobí chybně jako =. Klademe důraz na pojem zlomek v základním tvaru. Zlomek je zlomkem v základním tvaru, jestliže absolutní hodnota čitatele a absolutní hodnota jmenovatele jsou nesoudělná čísla. Např. ; ; ; 7. Žáci se také učí znázorňovat zlomky na číselné ose. Při znázorňování zlomků na číselné ose je vhodné zobrazit na číselné ose obrazy přirozených čísel. Při znázornění zlomků na číselné ose je nutné respektovat skutečnost, že obrazem čísla na číselné ose je bod, nikoliv interval, tedy např. obrazem čísla a všech zlomků s tímto zlomkem ekvivalentních je bod, úsečka nebo obdélník, jak někdy žáci znázorňují. Str. 9 BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice II. Zlomky. Matematika, fyzika, informatika. str. 98 ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Přehled matematiky pro základní školy a víceletá gymnázia. Str. 9 BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice II. Zlomky. Matematika, fyzika, informatika. str. 98 / 8
Ilustrace : Znázornění zlomků na číselné ose... Rovnost zlomků, porovnávání zlomků Rovnost zlomků zavádíme pomocí modelů, například pomocí skládání listu papíru, 8 kdy můžeme žákům názorně ukázat, že = = = 8 =. Porovnávání zlomků zavádíme v několika krocích:. Porovnáváme zlomky pomocí číselné osy. Žáci porovnávají zlomky na číselné ose s jednoznačně vyznačenou stupnicí. Pokud porovnáváme zlomky pomoci číselné osy, měly by být na ose zaznačeny obrazy celých čísel. Větší zlomek z porovnávaných zlomků je ten, jehož obraz je na číselné ose více vpravo. Menší zlomek je na číselné ose znázorněn vlevo od většího zlomku. 7 7 Příklad: Porovnej zlomky, 8, pomocí číselné osy. BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice II. Zlomky. Matematika, fyzika, informatika. str. 98 7 ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Matematika pro 7. ročník základní školy. str. / 8
Řešení: Ilustrace : Porovnávání zlomků na číselné ose 7 Z číselné osy vyčteme, že < < 8.. Porovnáváme zlomky se stejným jmenovatelem. Porovnávání zlomků se stejným jmenovatelem provádíme pomocí modelu. Žáci si při porovnávání zlomků se stejným jmenovatelem pomáhají modely, které již znají, např. kruh, obdélník, čtverec, úsečka, na kterým vyznačují dané části a porovnávají je. Z manipulativní činnosti jsou žáci schopni vyvodit následující pravidlo pro porovnávání zlomků se stejným jmenovatelem: Ze dvou zlomků se stejnými jmenovateli je větší ten, který má většího čitatele. 8 7 < 7 < 7 9 Př. Porovnejte následující dvojice zlomků: a, a, a.9 Illustration : Porovnávání zlomků. Převzato z: HERMAN, Jiří. Matematika : racionální čísla, procenta. 8 ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Matematika pro 7. ročník základní školy. str. 9 srv. HERMAN, Jiří. Matematika: racionální čísla, procenta. str. 9 7 / 8
. Porovnáváme zlomky, v nichž první jmenovatel je násobkem druhého. Pokud je jmenovatel prvního z porovnávaných zlomků násobkem jmenovatele druhého porovnávaného zlomku, rozšíříme zlomek s menším jmenovatelem a dále porovnáváme zlomky se stejnými jmenovateli. Příklad: Porovnejte zlomky a 8. Řešení: 8 ( ) ( ) 8 8 8 > 8 8. Porovnáváme zlomky, jejichž jmenovatele jsou čísla nesoudělná. Zlomky s nesoudělnými jmenovateli porovnáváme tak, že převedeme zlomky na zlomky se společným jmenovatelem a následně je porovnáme. a b Zlomky nejmenšího a c d převedeme na zlomek se společným jmenovatele buďto pomocí společného násobku jednotlivých jmenovatelů n(b, d ) anebo hledaný jmenovatel získáme vynásobením jednotlivých jmenovatelů. Žáci se seznamují s pojmy: společný jmenovatel, nejmenší společný jmenovatel a s algoritmem převádění zlomků na zlomky se společným jmenovatelem. Příklad: Porovnejte zlomky a. Řešení: n(,) = > > 8 / 8
. Porovnáváme zlomky, jejichž jmenovatelé jsou čísla soudělná, ale jmenovatel prvního zlomku není násobkem jmenovatele druhého zlomku. Žáci při porovnávání zlomků, jejichž jmenovatelé jsou čísla soudělná, ale ne násobek, hledají nejmenší společný násobek obou čísel ve jmenovatelích a později převádí zlomky na zlomky se společným jmenovatelem. 7 Příklad: Porovnejte zlomky 8 a. Řešení: 7 8 n(8,) = 7 8 > 9 > 8. Porovnáváme zlomky pomocí šipkového pravidla. Šipkové pravidlo vychází přímo z definice porovnávání zlomků, tj. jestliže ad < bc, a c potom b < d. Příklad: Užitím šipkového pravidla porovnejte zlomky a 7. Řešení: 7 7 > > 7 Po porovnávání zlomků s různými jmenovateli by žáci měli být schopni vyvodit obecné pravidlo pro porovnávání zlomků, tj.: porovnáváme-li dva zlomky s různými jmenovateli a různými čitateli, větší zlomek je ten, jehož jmenovatel je menší. srv. BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice II. Zlomky. Matematika, fyzika, informatika. str. 99 srv. BLAŽKOVÁ, Růžena. Texty k přednášce Didaktika matematiky I, PdF Brno, 9 / 8
.. Smíšené číslo Žáci se také seznamují se zápisem nepravého zlomku formou smíšeného čísla. Smíšené číslo vyjadřuje zápis nepravého zlomku. 7 7 8 Např.: = ; = ; = Smíšené číslo je zkrácený zápis součtu celého čísla různého od nuly a zlomku, který je různý od nuly a jehož absolutní hodnota je menší než. 7 7 8 Např.: = + ; = + ; = + Každé smíšené číslo lze zapsat jako zlomek a každý zlomek s absolutní hodnotou větší než jedna lze zapsat pomocí smíšeného čísla. Smíšené číslo se skládá z celého čísla (celku) a zlomku.. Zlomek jako naznačené dělení V případě zlomku jako naznačeného dělení mohou nastat následující situace: dělení je ukončené nebo dělení je neukončené. Pokud je dělení neukončené, zavádíme periodická čísla. Ta mohou být ryze periodická, tj. jedno číslo nebo skupina čísel se opakují, nebo neperiodická, tj. opakující se číslo nebo skupinu čísel předchází číslo nebo skupina čísel, která se neopakuje. Příklad: a) Ukončené dělení: = : =, ; = : 7 = 7 b) Ryze periodické číslo: = : =,... =, c) Neryze periodické číslo: = : =,9... =,9 ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Přehled matematiky pro základní školy a víceletá gymnázia. Str. srv. BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice II. Zlomky. Matematika, fyzika, informatika. str. / 8