UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky ZLOMKY V UČIVU ZÁKLADNÍ ŠKOLY

Transkript

1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Bc. Milena Houfová 2. ročník prezenční studium Obor: Učitelství matematiky pro 2. stupeň základních škol a Učitelství základů společenských věd a občanské výchovy pro střední školy a 2. stupeň základních škol ZLOMKY V UČIVU ZÁKLADNÍ ŠKOLY DIPLOMOVÁ PRÁCE Vedoucí diplomové práce: Mgr. Eva Bártková., Ph.D. OLOMOUC 203

2 Prohlašuji, ţe jsem diplomovou práci s názvem Zlomky v učivu základní školy zpracovala samostatně za pouţití literatury a dalších zdrojů uvedených v seznamu. V Olomouci dne: Podpis

3 Na tomto místě bych chtěla poděkovat Mgr. Evě Bártkové, Ph.D. za její odborné vedení, cenné rady a připomínky, stejně jako za věnovaný čas v průběhu vzniku této práce.

4 Obsah Úvod...6 TEORETICKÁ ČÁST. Historie zlomků Mezopotámie Egypt Řecko Řím Indie Středověká Evropa Řešené historické úlohy se zlomky Zlomky v RVP ZV Racionální čísla Konstrukce oboru racionálních čísel Těleso racionálních čísel jako rozšíření oboru integrity čísel celých Zlomky v učivu základní školy Zlomek jako část celku Zlomek jako operátor Definice zlomku Zobrazení zlomku na číselné ose Rozšiřování a krácení zlomku Rovnost zlomků, porovnávání zlomků Základní pojmy Nula ve zlomku Početní operace se zlomky Sčítání zlomků Odčítání zlomků Násobení zlomků Dělení zlomků Sloţený zlomek Zápis zlomku desetinným číslem Zlomky ve vyučování... 45

5 EMPIRICKÁ ČÁST 7. Didaktický test Úloha Úloha Úloha Úloha Úloha Úloha Úloha Úloha Testování hypotézy Závěr empirické části Závěr Prameny a literatura Elektronické zdroje Seznam obrázků Seznam příloh ANOTACE

6 Úvod Zlomek patří mezi náročné pojmy školské matematiky a mezi ţáky patří počítání se zlomky spíše k méně oblíbeným činnostem. Téma své závěrečné práce Zlomky v učivu základní školy jsem si vybrala hlavně díky ţákům, se kterými mám moţnost se setkávat během individuálních hodin doučování matematiky. Ţáci mnohdy nemají představu ani o těch nejjednodušších zlomcích. Svědčí o tom i odpověď Dvě čtvrtiny., které se mi nedávno dostalo na otázku Kolik je jedna polovina plus jedna polovina? Ţáci mají s uchopením tohoto pojmu problémy. Zlomek je moţné chápat jako veličinu či jako operátor, a to u ţáků můţe způsobovat neporozumění. Děti se se zlomky setkávají jiţ v předškolním věku a později se s nimi blíţe seznamují jako ţáci na prvním stupni základní školy. Tematický celek Zlomek je jako hlavní téma zařazen do 7. ročníku. Ţáci se s pojmem zlomek nejprve seznamují jako s částí z určitého celku. Od chápání zlomku jako části z celku se postupně připravují k pochopení pojmu zlomek jako reprezentant racionálního čísla. Neţ ţáci správně pochopí zlomek jako číslo, je třeba vyuţít mnoho manipulativních činností, různých modelů a příkladů z běţného ţivota, aby se u nich pojem racionálního čísla správně vytvořil. Poznatky, ke kterým se ţák dopracuje svou vlastní činností, jsou nepřenosné a mají trvalejší hodnotu neţ poznatky získané pouze zprostředkovaně. Cílem diplomové práce je vytvořit souhrnný přehled základních pojmů týkající se tematického celku Zlomek. Vytvořit nestandardizovaný didaktický test obsahující základní úlohy se zlomky a na vzorku ţáků ze 7. ročníků základní školy a 2. ročníků osmiletého gymnázia zjistit úroveň jejich znalostí v této oblasti a porovnat jejich výsledky. Diplomová práce je rozdělena na dvě části: teoretickou a empirickou. Teoretická část práce je rozčleněna do šesti kapitol. První kapitola pojednává o historickém vývoji zlomků a způsobů jejich zápisu. Ve druhé kapitole jsou představeny a vyřešeny některé historické úlohy se zlomky, které mohou slouţit jako motivační činitel při výuce zlomků ve školské matematice. Třetí kapitola obsahuje informace o postavení racionálních čísel a učiva o zlomcích na druhém stupni základního vzdělávání v Rámcovém vzdělávacím programu pro základní vzdělávání. 6

7 Čtvrtá kapitola je zaměřena na konstrukci oboru racionálních čísel. Jsou zde mj. popsány důvody, které stály za potřebou zavedení racionálních čísel. Pátá kapitola se věnuje několika tématům a základním pojmům vztahující se k učivu o zlomcích. V úvodních podkapitolách je představen zlomek jako část celku a zlomek jako číselný operátor. Další podkapitoly jsou věnovány definici zlomku, krácení a rozšiřování zlomku, porovnávání zlomků a početním operacím se zlomky. V poslední podkapitole je zmíněn postup, pomocí kterého lze zapsat zlomek desetinným číslem. Šestá kapitola představuje některé pomůcky, didaktické hry, zajímavé úlohy či úlohy s netradičním zadáním apod., které by měly ţáky v hodinách zaujmout a motivovat. Empirická část se věnuje vyhodnocení nestandardizovaného didaktického testu, analýze ţákovských řešení a vyvozuje závěry, zda jsou mezi výsledky vzorku ţáků základní školy a osmiletého gymnázia statisticky významné rozdíly. 7

8 TEORETICKÁ ČÁST 8

9 . Historie zlomků V evropské literatuře se termín zlomek objevuje jako překlad arabského kasr (z kasara = rozbíjet, lámat). V překladu aritmetického spisu al-chwárízmího se zlomek nazývá fractio (z lat. frangere = lámat, rozbíjet, rozdrobovat). Vznik zlomků a počítání s nimi souvisí s rostoucími hospodářskými potřebami. Zlomky začali uţívat ty národy, které přešly k usedlému způsobu ţivota a zajímaly je tudíţ praktické problémy jako měření polí, objem nádob, dělení úrody apod. Pojem zlomku se postupně vyvíjel a prošel různými podobami. 2. Mezopotámie O způsobu počítání ve starověké Mezopotámii se dovídáme z nalezených tabulek s matematickými texty, jichţ nejvíce se jich dochovalo z 2. tisíciletí př. n. l. V této době nahrazuje poziční šedesátková soustava při zápisu čísel soustavu desítkovou a šedesátkově desítkovou. 3 V Mezopotámii pouţívali klínové písmo, které ryli do hliněných tabulek. Čísla od do 59 zapisovali nepozičně. 4 Pro číslo byl stejný znak jako pro číslo 60, tj. malý svislý klín. Velký vodorovný klín byl uţíván pro číslo 0. Způsob zápisu čísel nebyl jednoznačný. Znak mohl značit i 3600, atd. Skutečná hodnota čísla se tak 3600 určovala z kontextu úlohy. Zvláštní znaky existovaly pro zlomky: 5 2 = = = Šedesátinný způsob zapisování zlomků se pouţíval aţ do konce středověku a předcházel počítání s desetinnými zlomky. 6.2 Egypt Poznatky o egyptských matematických znalostech můţeme získat z dochovaných textů psaných na papyru. Mezi nejrozsáhlejší a nejznámější matematické texty BEČVÁŘ, J. Matematika ve středověké Evropě, s BALADA, F. Z dějin elementární matematiky, s POTŮČEK, J. Historie matematiky pro učitele, 7. 4 Tamtéţ, s KOLMAN, A. Dějiny matematiky ve starověku, s BALADA, F. Z dějin elementární matematiky, s

10 ze starého Egypta patří Rhindův (9 st. př. n. l.) a Moskevský papyrus (8 st. př. n. l.). Oba papyry obsahují řešené úlohy hospodářského rázu a nechávají nám nahlédnout do způsobu tehdejšího počítání. Staří Egypťané pouţívali desítkovou soustavu. 7 Egyptské zlomky vznikly při dělení plochy pole na části. Pro zlomky existovaly zvláštní symboly, z nichţ se však později pouţívaly jen 2 a , 2 2,,, Pro egyptskou matematiku je typické počítání s tzv. kmennými zlomky (tj. zlomky 3 4 ve tvaru ra ). Při zápisu v hieroglyfickém písmu se nad jmenovatelem zapsal znak n. V hieratickém písmu byl znak ra nahrazen tečkou. Všechny ostatní zlomky se převáděly na součet kmenných zlomků a popř. zlomku Symbolické značení zlomků nebylo vţdy uţíváno důsledně. Znak neznamenal 2, ale 3 2. Znak nepředstavoval, ale zlomek 3. Symbol značil 4 3 a později 3. 0 Při dělení celých čísel vyuţívali Egypťané tabulky s rozklady zlomků n 2 na součet kmenných zlomků a 3 2. Pokud bylo n sudé, zlomek ve tvaru n 2 se zkrátil. Pro lichá n byly sestaveny speciální tabulky. Jednu takovou můţeme nalézt v Rhindově papyru, který obsahuje tabulku pro všechna lichá n od 3 do 0. Zlomek n 2 lze rozloţit mnoha různými způsoby, ale nejčastěji se pouţíval rozklad podle vzorce Např. n n n( n ) Následující příklad ukazuje, jak se postupovalo při dělení podle schématu půlení. 7 POTŮČEK, J. Historie matematiky pro učitele, s Tamtéţ, s KOLMAN, A. Dějiny matematiky ve starověku, s BALADA, F. Z dějin elementární matematiky, s. 63. KOLMAN, A. Dějiny matematiky ve starověku, s

11 Příklad: 28:5 Egypťané začali sestavovat tabulku podle předchozího vzoru: / / V ní našli, ţe , coţ je menší neţ 28. Tedy součet odpovídajících čísel v levém sloupci 4 5 nebyl ještě hledaným výsledkem. Nyní místo dalšího zdvojnásobování v pravém sloupci (coţ by bylo zbytečné) napsali v levém sloupci, 5 pak 2 2, pro které našli v rozkladu zlomků 5 n ţe pokračovali v tabulce: / 5 rozklad. To znamená, 3 5 / Kdyţ pak sečetli všechna označená čísla v levém sloupci (místo psali ), získali hledaný podíl K dalšímu rozvoji počítání se zlomky přispěly i výpočty týkající se kalendáře. Egypťané dělili rok na 2 měsíců po 30 dnech a po jejich uplynutí přidávali 5 dní. Data dnů v měsíci vyjadřovali pomocí částí měsíce. Tzn. první den =,, dvacátý den =,, dvacátý čtvrtý den = (v kmenných zlomcích ) atd Způsob egyptského počítání s kmennými zlomky později převzali Řekové, Římané a Arabové. Počátkem 3. století se způsob počítání s kmennými zlomky objevuje díky spisům Leonarda Pisánského ve středověkých evropských učebnicích. 4 2 KOLMAN, A. Dějiny matematiky ve starověku, s POTŮČEK, J. Historie matematiky pro učitele, s BALADA, F. Z dějin elementární matematiky, s. 64.

12 .3 Řecko V Řecku nebylo nikdy zavedeno počítání s desetinnými zlomky. S desetinnými zlomky se blíţe seznamují aţ v období evropské renesance a ani v 9. století se neobjevily ve všech učebnicích. Řecký systém počítání se zlomky nebyl jednotný. Počítali jak s egyptskými kmennými zlomky, tak s šedesátinnými zlomky, tak také se zlomky připomínající tvarem náš zápis. 5 Nejvíce pouţívali egyptské kmenné zlomky. Kaţdému zlomku n odpovídal jeho doplňkový zlomek n, jejichţ součet je roven jedné. Kmenné zlomky nejprve n zapisovali slovně, později s pouţitím symbolů. Např. 3 =,,. Obecné zlomky tvaru m n byly povaţovány za m-násobky kmenných zlomků n nebo za naznačené dělení m: n. Zápis obecných zlomků byl nejednotný. Nejdokonalejší zápis byl ten, kdy se jmenovatel psal nad čitatele. Např. = 65. Přiblíţili se tak 9 našemu označování zlomků, které pravděpodobně vzniklo u starých Indů. 6.4 Řím Římané se většinou zabývali jen těmi matematickými problémy, které souvisely s praktickými otázkami týkající se dědického práva, úrokového počtu, obchodu, zeměměřičství a stavitelství. Při počítání se zlomky vycházeli z rozdělení své peněţní jednotky as na dvanáct uncií. Při výpočtech uţívali zlomky se jmenovatelem dvanáct či se jmenovateli, jeţ byli násobky dvanácti. 5 STRUIK, D. J. Dějiny matematiky, s KOLMAN, A. Dějiny matematiky ve starověku, s

13 Jednotlivé části asu měli svůj název, který ale s postupem času ztrácel svůj konkrétní význam. Např. = jeden as, = deunx, = dextans, = triens (třetina), = quadrans (čtvrtina), = scriptulum, = ceratus (odtud náš název pro karát). 7.5 Indie V indických spisech z 500 př. n. l. v tzv. Súlvasútrech nalezneme mj. speciální případy Pythagorovy věty zároveň s několika pozoruhodnými aproximacemi vyjádřenými kmennými zlomky. Např. 2 (=, 44256) V Indii má své historické kořeny nynější obecný pojem zlomku. I oni nejdříve počítali s kmennými zlomky, ale jiţ v 4. st. př. n. l. přešli k počítání se zlomky i s jinými čitateli. Početní operace se zlomky prováděli přibliţně v té podobě, v jaké je známe dnes. Prostřednictvím Arabů (Al Chovarizmiho) proniká indická nauka o zlomcích do děl Leonarda Pisánského i jiných matematiků 3. století. Indové zapisovali zlomky takřka shodným způsobem s naším, jen chyběla zlomková čára. Odlišné bylo i zapisování čísel smíšených. Např by zapsali takto: Se zlomkovou čarou pracoval Leonardo Pisánský a nazýval jí virgula. Poznal ji u arabských matematiků. Zlomková čára však byla všeobecně zavedena aţ 6. století Středověká Evropa Výrok Bedy Venerabilise svědčí o obtíţnosti středověkého počítání se zlomky: Kdo umí dělit, tomu se ţádná záleţitost nebude zdát těţká. Já znám hodně sloţitých věcí, ale nic není sloţitější neţ operace se zlomky. 2 V Evropě se aţ do 2. st. udrţel římský způsob počítání se zlomky, který jiţ ale nebyl schopen dalšího rozvoje. Výpočty byly zdlouhavé a zbytečně komplikované. 7 BALADA, F. Z dějin elementární matematiky, s STRUIK, D. J. Dějiny matematiky, s BALADA, F. Z dějin elementární matematiky, s Tamtéţ, s KONFOROVIČ, A. G. Významné matematické úlohy, s

14 Začínají se pouţívat zlomky desetinné, které se zapisovaly pomocí výrazné tečky. Např Počítání se zlomky bylo pro tehdejší ţáky obtíţné. Například i profesor matematiky Luca Pacioli z Florencie se divil tomu, jak při násobení zlomkem menším neţ je výsledek menší neţ násobenec. Byl ovlivněn citátem z bible: Rosteţ a mnoţte se a naplňte Zemi! V té době chápali sloveso mnoţit se jako násobení. 23 Zajímavý, ale v tehdejší době obtíţně srozumitelný způsob dělení zlomků doporučoval Jordanus Nemorarius. Nemorarius doporučoval dělit čitatele prvního zlomku čitatelem zlomku druhého a výsledek dělit podílem jmenovatelů prvního a druhého zlomku. Jestliţe tento postup nebylo moţno pouţít, pak doporučoval násobit čitatele i jmenovatele prvního zlomku součinem čitatele a jmenovatele zlomku druhého (tj. rozšířit první zlomek) a teprve potom provést výše uvedený úkon. 24 Např.: 3 5 : : Při počítání se zlomky bylo novinkou určování nejmenšího společného jmenovatele. Je nutno poznamenat, ţe k všeobecnému rozšíření této metody došlo aţ v 7. století. Společně s desetinnými zlomky se pouţívaly i zlomky šedesátinné, které se uţívaly zejména v astronomii. Jinak se v Evropě příliš velké oblibě netěšily. V 6. století vydal nizozemský matematik Simon Stevin knihu Arithmétique (585), která představovala první, stručný a přehledný souhrn vědomostí o zlomcích a operacích s nimi. 25 Co se týče krácení a rozšiřování zlomků to bylo známo jiţ velmi dávno. Ale aţ na některé výjimky nebyla ve středověkých učebnicích ţádná zmínka o tom, ţe násobením nebo dělením čitatele i jmenovatele stejným číslem se velikost zlomku nezmění. V jednom francouzském rukopisu z roku 484 se objevil moderní způsob krácení a rozšiřování zlomků. Společný dělitel při krácení zlomku byl stanoven známým Eukleidovým algoritmem. Populární německý matematik Adam Ries (6. st.) radil, aby se zlomek krátil tak, ţe se nejdříve zkrátí dvěma (pokud to jde u obou čísel), pak třemi, pěti atd BEČVÁŘ, J. Matematika ve středověké Evropě, s BALADA, F. Z dějin elementární matematiky, s BEČVÁŘ, J. Matematika ve středověké Evropě, s Tamtéţ, s

15 2. Řešené historické úlohy se zlomky Historické poznámky jsou pro řadu ţáků při vyučování přitaţlivé. V následující kapitole proto představím několik netradičních úloh. Úloha č. : Egypťané uţívali jen zlomků s čitatelem jedna (kmenné zlomky). Přesvědčte se, zda dobře vyjádřili zlomky s čitatelem 2 či 7 součtem kmenných zlomků. 27 a) 2 29 Řešení: b) 7 29 Řešení: Úloha č. 2: Sečtěte následující zlomky způsobem, kterého uţívali staří indičtí matematikové. Společným jmenovatelem byl součin všech jmenovatelů. Proveďte sčítání indickým i naším způsobem a ověřte si, zda je uvedený společný jmenovatel správný Ověření: Ano, uvedený společný jmenovatel je správný. 26 BALADA, F. Z dějin elementární matematiky, s MALÁČ, J. Sbírka náročnějších úloh z matematiky pro ročník základní devítileté školy, s Tamtéţ, s

16 Řešení: Indický způsob: Společný jmenovatel je nejmenší společný násobek jmenovatelů: Úloha č. 3: Krácení zlomků prováděli staří čínští matematikové podle tohoto předpisu: Co můţeš rozdělit dvěma, rozděl; nelze-li dělit dvěma, odčítej od většího menší. Odčítej vzájemně tak dlouho, aţ dostaneš stejná čísla. Tím stejným číslem zkrať zlomek. Ověřte si správnost předpisu např. pro zlomky: a) 245 Řešení: = : : b) = = = = = = 35 tzn. zlomek zkrátíme 35 Řešení: = : : = = 73 tzn. zlomek zkrátíme MALÁČ, J. Sbírka náročnějších úloh z matematiky pro ročník základní devítileté školy, s

17 Úloha č. 4: Římský spisovatel Plinius (. stol. n. l.) uvádí velikosti tří tehdy známých světadílů ve srovnání s velikostí zemské pevniny takto: Evropa ; Asie ; Afrika Představují uvedené kmenné zlomky celek? 30 Řešení: Evropa: Asie: 4 Afrika: Evropa + Asie + Afrika = 3 60 Uvedené kmenné zlomky nepředstavují celek MALÁČ, J. Sbírka náročnějších úloh z matematiky pro ročník základní devítileté školy, s

18 3. Zlomky v RVP ZV Se zlomky se ţáci seznamují jiţ na prvním stupni základní školy, ale jako hlavní téma jsou do výuky zařazeny v 7. ročníku základní školy (2. ročníku osmiletého gymnázia), coţ plně koresponduje s Rámcovým vzdělávacím programem pro základní vzdělávání, kde učivo o zlomcích spadá do vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace a jejího tematického okruhu Číslo a proměnná. Tematický okruh Číslo a proměnná obsahuje několik očekávaných výstupů, jeţ se vztahují přímo k učivu o zlomcích, potaţmo k učivu o racionálních číslech. Ţák: - provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; uţívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu; - zaokrouhluje a provádí odhady s danou přesností, účelně vyuţívá kalkulátor - modeluje a řeší situace s vyuţitím dělitelnosti v oboru přirozených čísel; - užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek část (přirozeným číslem, poměrem, zlomkem, desetinným číslem, procentem); - řeší modelováním a výpočtem situace vyjádřené poměrem; pracuje s měřítky map a plánů; - řeší aplikační úlohy na procenta (i pro případ, ţe procentová část je větší neţ celek); - matematizuje jednoduché reálné situace s vyuţitím proměnných; určí hodnotu výrazu, sčítá a násobí mnohočleny, provádí rozklad mnohočlenu na součin pomocí vzorců a vytýkáním; - formuluje a řeší reálnou situaci pomocí rovnic a jejich soustav; - analyzuje a řeší jednoduché problémy, modeluje konkrétní situace, v nichž využívá matematický aparát v oboru celých a racionálních čísel. 3 Učivo: - dělitelnost přirozených čísel prvočíslo, číslo sloţené, násobek, dělitel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel, kritéria dělitelnosti; - celá čísla čísla navzájem opačná, číselná osa; 3 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. [online]. Praha: Výzkumný ústav pedagogický v Praze, s. [cit ]. Dostupné z www: < s

19 - desetinná čísla, zlomky rozvinutý zápis čísla v desítkové soustavě; převrácené číslo, smíšené číslo, složený zlomek; - poměr měřítko, úměra, trojčlenka; - procenta procento, promile; základ, procentová část, počet procent; jednoduché úrokování; - mocniny a odmocniny druhá mocnina a odmocnina; - výrazy číselný výraz a jeho hodnota; proměnná, výrazy s proměnnými, mnohočleny; - rovnice lineární rovnice, soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými. 32 Učivo o nezáporných zlomcích je na 2. stupni základních škol nejčastěji zařazeno v prvním pololetí sedmého ročníku po učivu o desetinných a popř. celých číslech. Poté následuje učivo: celá čísla, racionální čísla (záporné zlomky a záporná desetinná čísla), poměr, přímá a nepřímá úměrnost a procenta. 33 V RVP ZV jsou očekávané výstupy i učivo charakterizovány stručněji a obecněji neţ v ŠVP jednotlivých škol. 34 Od nového školního roku 203/204 bude platit nový vzdělávací program pro základní vzdělávání, na jehoţ základě je učivo o zlomcích a desetinných číslech přesunuto na první stupeň, odkud před osmi lety vypadlo. Tuto změnu schválilo Ministerstvo školství a tělovýchovy i na doporučení Jednoty českých matematiků a fyziků. Od vyučování zlomků a desetinných čísel na prvním stupni základní školy si ministerstvo slibuje zlepšení znalostí dětí z matematiky a jejich výsledků v mezinárodních průzkumech, ve kterých jim do této doby dělaly zlomky a desetinná čísla největší problémy Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. [online]. Praha: Výzkumný ústav pedagogický v Praze, s. [cit ]. Dostupné z www: < s ODVÁRKO, O. Kníţka pro učitele ke školním vzdělávacím programům na druhém stupni ZŠ: matematika a její aplikace, s Tamtéţ, s LUKÁŠ, I. (ČT 24) Zlomky jsou zpět na prvním stupni, děti budou dělit pizzu nebo čokoládu. [online]. [cit ]. Dostupné z www: < 9

20 4. Racionální čísla Na základní škole se ţáci setkávají nejdříve s čísly přirozenými (N). Kaţdá dvě přirozená čísla můţeme sečíst i vynásobit a výsledek je opět číslo přirozené. Problém nastane při odčítání přirozených čísel. Aby bylo moţné odečíst dvě sobě rovná čísla, bylo zavedeno další číslo, číslo nula. A aby bylo moţné odečíst větší přirozené číslo od menšího, byl obor přirozených čísel s nulou rozšířen o čísla záporná. 36 Přirozená čísla, číslo nula a čísla záporná tvoří obor celých čísel (C 37 ). V oboru celých čísel však není vţdy proveditelné dělení. Při dělení dvou celých čísel (za předpokladu ţe se dělitel nerovná nule) nemusí existovat celé číslo, které by bylo jejich podílem. Proto vyvstala potřeba rozšířit obor celých čísel o další čísla racionální necelá. Nejčastěji je vyjadřujeme ve tvaru zlomku. Celá čísla a čísla racionální necelá tvoří obor racionálních čísel (Q). 38 Zlomky mají v matematice nezastupitelný význam, jelikoţ umoţňují matematizovat celou řadu různých praktických problémů. Takovou typickou úlohou je dělení celku na libovolný konečný počet rovných částí, který se v praxi velmi často vyskytuje a jehoţ řešení není celočíselné. 39 Poznámka: Název pro racionální čísla je odvozen z latinského slova ratio [ráció], které do češtiny překládáme jako poměr. Racionální čísla Q jsou tedy čísla, která se dají vyjádřit jako poměr, tj. podíl dvou celých čísel Konstrukce oboru racionálních čísel Při konstruování oboru racionálních čísel můţeme postupovat dvěma způsoby. První, historický postup spočívá v rozšiřování mnoţiny všech přirozených čísel. Jsou zavedena čísla kladná racionální a k nim poté čísla opačná. Celá čísla jsou pak tudíţ zahrnuta v mnoţině všech čísel racionálních. Druhý postup spočívá nejprve v zavedení čísel celých a poté racionálních. Kaţdý z těchto způsobů zavedení má své výhody i nevýhody. Mezi odborníky v teorii 36 KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy, s.. 37 V současné době se pro označení mnoţiny celých čísel pouţívá písmeno Z. V zájmu zachování struktury textu se ale budu drţet značení, které je uvedeno v odborné literatuře, ze které jsem čerpala. 38 KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy, s DRÁBEK, J. a kol. Základy elementární aritmetiky pro učitelství. stupně ZŠ, s ABZ slovník cizích slov. [online]. Pojem ratio. [cit ]. Dostupné z www: < >. 20

21 vyučování matematiky existují spory v přístupu k tomuto tématu, ale v současné době má druhý přístup ke konstrukci racionálních čísel více zastánců Těleso racionálních čísel jako rozšíření oboru integrity čísel celých Karol Křiţalkovič v Základy elementární matematiky postupuje při budování nové matematické struktury, tělesa racionálních čísel (Q; +,.), následovně: - v mnoţině přirozených čísel nelze bez omezení odčítat a dělit; - polookruh (N; +,.) je rozšířen na obor integrity (C; +,.); - v oboru celých čísel (C; +,.) neexistuje podíl a:b pro kaţdá dvě čísla a,b C (b 0), tudíţ je obor celých čísel doplněn o nové prvky tak, aby v nové algebraické struktuře všech racionálních čísel bylo moţné dělit bez omezení. Těleso všech racionálních čísel (Q; +,.) bylo vybudováno tak, aby mělo následující vlastnosti: - aby se v něm počítalo podle stejných pravidel jako v (C; +,.); - abychom mohli celá čísla povaţovat za čísla racionální; - aby se kaţdé racionální číslo dalo vyjádřit pomocí čísel celých. 42 Komutativní těleso (Q; +,.) nazveme komutativním tělesem racionálních čísel právě tehdy, kdyţ platí: a) Existuje podobor integrity (C*; +,.) komutativního tělesa (Q; +,.), který je izomorfní s oborem integrity (C; +,.) všech celých čísel. b) Kaţdý prvek komutativního tělesa (Q; +,.) je moţné vyjádřit jako podíl dvou prvků z podoboru integrity (C*; +,.). Mnoţina Q se nazývá mnoţina racionálních čísel a její prvky racionální čísla. 43 Racionální číslo je mnoţina všech navzájem ekvivalentních zlomků, tj. zlomků, které se sobě rovnají Například {,,,,,...} DRÁBEK, J. a kol. Základy elementární aritmetiky pro učitelství. stupně ZŠ, s Tamtéţ, s Tamtéţ, s DIVÍŠEK, J. Didaktika matematiky pro učitelství. stupně ZŠ, s

22 5. Zlomky v učivu základní školy V praktických výpočtech v současné době převaţuje počítání s desetinnými čísly oproti vyuţívání zlomků (i díky moţnosti vyuţít technickou podporu v podobě kalkulátoru). Existují ale i situace, kdy se člověk bez aplikace zlomků neobejde, nebo mu alespoň jejich uţití usnadňuje práci. Znalosti týkající se tematického celku Zlomek ţáci ve školské matematice vyuţijí například pro zvládnutí úprav lomených algebraických výrazů. 45 Ţáci se se zlomky (polovina, čtvrtina) setkávají jiţ v předškolním věku. Po nástupu do školy s nimi pracují například při čtení hodin (určování času). Při kaţdém rozdělování celku na stejné části ţáci intuitivně pracují s polovinou, třetinou a čtvrtinou. Ţáci pojem zlomek chápou nejprve jako část celku. Teprve později pracují se zlomky jako s čísly Zlomek jako část celku Ţáci se se zlomkem jako částí celku seznamují prostřednictvím manipulativních činností. Překládají papír, vybarvují různé obrazce. Tematicky celek Zlomek by měl být budován za pomocí konkrétních situací z praktického ţivota, jako je krájení dortu či rozdělování čokolády. 47 Ţáci mohou řešit například úlohu: Rozdělte čtverec na osm stejných částí. Vybarvěte pět částí. Zapište zlomkem jaká část čtverce je vybarvena. Při řešení úloh je nezbytné, abychom ţáky vhodnými otázkami směřovali k aktivnímu pouţívání základních pojmů: Na kolik stejných částí jsme čtverec rozdělili? Kolik částí jsme vybarvili? Jak zapíšeme, ţe jsme vybarvili pět částí z osmi? TICHÁ, M. Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice, s DIVÍŠEK, J. Didaktika matematiky pro učitelství. stupně ZŠ, s BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice II, s Tamtéţ, s

23 Obměna předchozí úlohy: Zapiš zlomkem, jaká část obrázku je vybarvená. 5.2 Zlomek jako operátor Chápeme-li zlomek jako číselný operátor, díváme se na něj jako na návod k provedení konkrétní činnosti, při které je přirozené číslo (celek) přeměněno na jiné přirozené číslo (část) Schematicky můţeme problém ( z 2 = 24 ) znázornit takto: 4 Obrázek : Zlomek jako operátor. Převzato z: DIVÍŠEK, J. Didaktika matematiky pro učitelství. stupně ZŠ. Z uvedeného schématu vyplývá, ţe můţeme řešit tři typy úloh o zlomcích podle toho, která ze tří informací je neznámá: celek (C), část (č), zlomek (z). 50 S úlohami, v rámci jejichţ řešení hledáme operátor nebo část, se běţně setkáváme v praktickém ţivotě. Úlohy na hledání celku jsou svým způsobem umělé a setkáváme se s nimi hlavně ve školských úlohách. 5 3 Příklad: Petra vyrazila na výlet na kole. Ujela 8 km, tj. z 24 km dlouhé 4 plánované trasy. Pokud známe dva z těchto údajů, můţeme dopočítat údaj třetí: 3 - Petra ujela z plánovaných 24 km. Kolik km zatím ujela? 4 49 DIVÍŠEK, J. Didaktika matematiky pro učitelství. stupně ZŠ, s Tamtéţ, s HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2, s

24 č z C 3 č 24 4 č 8 Petra zatím ujela 8 km. - Petra ujela 8km. Jakou část z plánovaných 24 km ujela? č z C 8 z z Petra ujela 4 3 z plánované trasy. - Petra ujela 8 km, coţ byly 4 3 její plánované trasy. Jak dlouhá je její trasa? č C z 8 C 3 4 C 8 Petřina trasa je dlouhá 24 km. K řešení úloh, ve kterých chápeme zlomek jako operátor, nemusíme znát předpis č z C. Je vhodné, abychom úlohy tohoto typu s ţáky nejprve podrobně rozebrali, situaci znázornili na obrázku a teprve poté odvodili daný předpis. 6 Slovní úloha: Kolik je ve třídě celkem ţáků, jestliţe tvoří děvčata a ve třídě 8 je 6 chlapců? Řešení: Danou situaci si graficky znázorníme: Na kolik částí byl celek (počet ţáků) rozdělen? Na 8 částí. Kolik částí z celku (počtu ţáků) představují chlapci? 2 části. Kolik ţáků odpovídá jedné části? 6 : 2 3 ţáci. Kolik částí z celku tvoří děvčata? 6 částí. Kolik děvčat je ve třídě? děvčat. 24

25 Obdobný postup řešení mají úlohy typu: Kolik minut jsou 3 2 hodiny? Kolik cm je 5 metru? Kolik hodin je čtvrtina dne? 52 4 Úlohu Kolik minut jsou 2 hodiny? řešíme následovně: celek (60 minut) byl 3 rozdělen na 3 stejné části (na třetiny, 60 :3 20 minut), z těchto částí vezmeme jen dvě ( minut). 5.3 Definice zlomku Zlomek je uspořádaná dvojice celých čísel a a, b. Zapisuje se ve tvaru, kde b b Jmenovatel zlomku udává, na kolik stejných dílů je celek rozdělen. Čitatel sděluje, kolik těchto dílů zlomek obsahuje. 54 Zlomek zapisujeme tak, ţe nejdříve napíšeme zlomkovou čáru, potom čitatele a nakonec jmenovatele. Při zápisech početních výkonů se zlomky se píší zlomkové čáry na stejné úrovni jako početní znaménka: : BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice II, s DIVÍŠEK, J. Didaktika matematiky pro učitelství. stupně ZŠ, s ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy [], s KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy., s

26 Při čtení zlomku vyslovíme, kolik částí vyjádřených jmenovatelem zlomek obsahuje. Například tři sedminy, šestnáct dvaadvacetin apod. Pokud je vyslovování obtíţné, pouţijeme slova lomeno. Například pět lomeno stodvěma. 56 Zlomek je tedy pojmenován podle svého jmenovatele, tj. na kolik částí je celek rozdělen. Např. tři třetina, sedm sedmina, čtyřicet čtyřicetina. Je zajímavé, ţe jen jeden zlomek polovina, tvoří vyjímku. Není pojmenován podle svého jmenovatele (dva dvojina). Zlomek jedna polovina má název od dělení rozlamování celku na dvě části, coţ člověk dělal daleko dříve, neţ poznal zlomky Zobrazení zlomku na číselné ose Pro znázorňování kladných (popř. záporných, opačných) zlomků je vhodné mít předem na číselné ose vyznačeny obrazy čísel přirozených (popř. celých). Celek (tzn. úsečku mezi 0-, -2, atd.) rozdělujeme na tolik částí, kolik udává číslo ve jmenovateli daného zlomku. Například pokud máme na číselné ose zobrazit obrazy zlomků by řešení takto: 4, 5 2, 5 7 5, vypadalo Při znázorňování zlomků na číselné ose je nutné respektovat skutečnost, ţe obrazem čísla na číselné ose je bod, nikoliv interval, tedy např. obrazem čísla 2 a všech zlomků s tímto zlomkem ekvivalentních je bod, nikoliv úsečka nebo obdélník, jak to ţáci někdy činí Rozšiřování a krácení zlomku Rozšiřovat zlomek znamená násobit čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly. Hodnota zlomku se rozšiřováním nemění. 59 Např n n 56 KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy, s BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice II s Tamtéţ, s MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s

27 Rozšiřování i krácení zlomku lze dobře ilustrovat dělením téhoţ celku na různý počet stejných dílů. Právě ilustrace pomůţe ţákům pochopit, ţe rozšiřováním ani krácením se hodnota zlomku nemění Obrázek 2: Rozšiřování zlomku. Převzato z: KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy. V učebnici matematiky pro 7. ročník ZŠ od nakladatelství Prometheus mne zaujala pěkná ilustrace vztahující se k rozšiřování zlomků: Obrázek 3: Rozšiřování zlomků. Převzato z: ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy []. Krátit zlomek znamená dělit čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly. Hodnota zlomku se krácením nemění Rovnost zlomků, porovnávání zlomků Rovnost zlomků b a a d c je definována takto: 27 a b c ad bc. d Tato definice se však ve školské matematice příliš nepouţívá. Vhodnější je vysvětlit rovnost zlomků pomocí grafického znázornění: ODVÁRKO, O. Kníţka pro učitele ke školním vzdělávacím programům na druhém stupni ZŠ: matematika a její aplikace, s MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s. 26.

28 Obrázek 4: Rovnost zlomků. Převzato z: BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice II. Pokud nechceme pouţívat výše uvedenou definici pro rovnost zlomků, stačí oba zlomky rozšířit tak, aby měli stejného jmenovatele, a odtud uţ snadno poznáme, zda se sobě zlomky rovnají: Obrázek 5: Porovnávání zlomků. Převzato z: ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy []. Zlomky můţeme porovnávat různými způsoby. Někdy je jeden způsob výhodnější neţ ostatní. Výběr metody pro porovnávání závisí na podobě zlomků, které chceme porovnat. ) Zlomky můţeme porovnávat na číselné ose. Ze dvou znázorněných zlomků je větší ten, jehoţ obraz je více vpravo. 63 2) Při porovnávání zlomků se stejnými jmenovateli je větší ten, který má většího čitatele. 64 3) Při porovnávání zlomků s různými jmenovateli můţeme postupovat dvěma způsoby: a c a) Pouţijeme tzv. šipkové pravidlo: ad bc. 65 b d b) Zlomky převedeme na společného jmenovatele. Rozšířené zlomky porovnáme. Stejná nerovnost platí i mezi původními zlomky BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice II, s Tamtéţ, s ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy [], s BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice II, s

29 9 20 4) Zlomky můţeme porovnávat vzhledem k jedné. Např. je menší neţ, 20 2 jelikoţ do jedné celé chybí v prvním zlomku více ( ) neţ ve druhém zlomku ( ) Učivo o porovnávání zlomků můţeme ţákům přiblíţit i nespočetnými příklady z reálného ţivota. Např. hodiny, pizza, čokoláda Jistě si velmi rychle uvědomí, ţe nechtějí být ošizeni a raději od kamaráda dostanou jednu třetinu místo jedné čtvrtiny čokolády. 5.7 Základní pojmy Základní tvar zlomku Zlomek je v základním tvaru, jestliţe ho nemůţeme krátit, tzn. čitatel a jmenovatel jsou nesoudělná čísla (jejich největší společný dělitel je jedna). 68 Zlomek se rovná, jestliţe jeho čitatel je roven jmenovateli Např. ;. 4 Zlomek je roven celému číslu, jeţ je v čitateli, pokud je jmenovatelem zlomku Např. 2; 0. Společný jmenovatel Nejmenší společný násobek jmenovatelů zlomků je jejich společný jmenovatel. 7 Pravý zlomek Zlomek, jehoţ čitatel je menší neţ jmenovatel, se nazývá pravý zlomek. 72 Pravý zlomek je tedy menší neţ. Např. Nepravý zlomek ; 4 2 ; 5 Zlomek, jehoţ čitatel je větší nebo roven jmenovateli, se nazývá nepravý zlomek. 73 Nepravý zlomek je tedy větší nebo roven. Např ; ; ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy [], s BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice II, s MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy, s Tamtéţ, s MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy, s MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s

30 Smíšené číslo je číslo sloţené z celého čísla a zlomku menšího neţ jedna. Např. Dané smíšené číslo čteme dvě a jedna třetina. Platí, ţe kaţdé smíšené číslo můţeme převést na nepravý zlomek a naopak, kaţdý nepravý zlomek můţeme převést na smíšené číslo, popřípadě na celé Převod nepravého zlomku na smíšené číslo: Převod smíšeného čísla na zlomek: Obrázek 6: Smíšené číslo. Převzato z: ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy []. Opačný zlomek ke zlomku b a je zlomek a. 75 b a b Převrácený zlomek ke zlomku ( a 0 ) je zlomek. 76 b a V učebnici matematiky pro 7. ročník ZŠ od nakladatelství Prometheus mne opět zaujala následující ilustrace, která popisuje problematiku převráceného zlomku: 77 Obrázek 7: Převrácený zlomek. Převzato z: ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy []. 74 KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy, s BINTEROVÁ, H. Matematika 7. Aritmetika. Pracovní sešit pro základní školy a víceletá gymnázia, s. 40c. 76 KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy, s ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy [], s

31 Kmenný zlomek je zlomek ve tvaru n. 78 Např. Ve vyučování však kmenovému zlomku věnujeme malou pozornost. Současný způsob zavedení pojmu zlomek ve škole pouţije pojem kmenového zlomku, ale jen jako předstupeň pojmu zlomek. Pojem zlomku je totiţ zaloţen na konstrukci: Desetinný zlomek ; 2 ; 7 m m. 79 n n n Zlomek, jehoţ jmenovatel je mocnina čísla 0, je desetinný. 80 Např. Kaţdý takovýto zlomek lze zapsat jako desetinné číslo ; ; Nula ve zlomku Nula v čitateli Pokud je čitatel zlomku roven nule, rovná se zlomek nule Např. 0; Nula ve jmenovateli Kaţdý určitě několikrát během školní docházky slyšet větu: Nulou dělit nelze. Proč tomu tak je? Například pokud by platil podíl 5 : 0 = x, musel by existovat součin x. 0 = 5. Ale součin jakéhokoliv čísla s nulou je roven nule. Neexistuje ani podíl 0 : 0 = x. Podílem by mohlo být kterékoli číslo, protoţe např = 0,. 0 = 0 atd. Tato skutečnost by ale byla v rozporu s definicí binární operace, ze které vyplývá, ţe pro kaţdé dva prvky existuje v binární operaci nejvýše jeden výsledek. 82 Profesor Milan Hejný uvádí v Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky pěkný příběh o tom, proč nejen ţe nulou nelze dělit, ale ţe je tento poţadavek i nesmyslný Po několika neúspěšných pokusech jsme nakonec objevili způsob, jak vnitřní rozpornost dělení nulou otevřít ţákům. Trik spočíval v tom, ţe jsme úlohu rozdělit spravedlivě 2 jahod mezi 0 dětí vloţili do série dobře řešitelných úloh: rozdělit 78 KOLMAN, A. Dějiny matematiky ve starověku, s HEJNÝ, M. Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky, s ŢENATÁ, E. Přehled učiva matematiky, s KINDL, K. Matematika. Přehled učiva základní školy, s BĚLÍK, M. Celá a racionální čísla, s

32 spravedlivě 2 jahod mezi n dětí, kde n bylo postupně 4, 3, 2 a. Případy 4, 3 a 2 byly bez problémů. Případ n = vyvolal diskuzi, protoţe jaké pak dělení, kdyţ všechno dostane jedno dítě. Ale případ n = 0 byl po kratší třídní diskuzi všemi prohlášen za nesmysl. Asi po měsíci jeden ţák přinesl učebnici, ve které bylo v rámečku napsáno NULOU SE NESMÍ DĚLIT. Řekl, ţe by tam mělo být DĚLENÍ NULOU JE NESMYSLNÉ. Právě poznání nesmyslnosti této operace je poznáním příčiny onoho často opakovaného pravidla o dělení nulou Početní operace se zlomky Výpočty se zlomky provádíme na základě následujících pravidel 84 : Sčítání Odčítání a c ad bc Násobení b d bd a b c d ad bc bd Dělení a b c d ac bd a c a d ad : ( c 0) b d b c bc Z ilustrací i zkušenosti víme, ţe pro mnoho ţáků je zlomek jako objekt aritmetických operací pouze uspořádaná dvojice čísel. Pravidla pro práci se zlomky ţák uchovává v paměti, ale nedovede: - pouţít jazyk zlomků při modelování reálných situací např. určit hmotnost cihly, 2 kdyţ víme ţe váţí kg plus půl cihly, nebo určit celek, kdyţ z něj je 00 Kč; 7 - ze známých pravidel vyvodit další pravidla např. z pravidla pro součet zlomků vyvodit pravidlo pro rozdíl zlomků nebo pro součet zlomku a přirozeného čísla Sčítání zlomků Zlomky se stejnými jmenovateli sečteme tak, ţe sečteme čitatele zlomků a jmenovatele opíšeme HEJNÝ, M. Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky, s DIVÍŠEK, J. Didaktika matematiky pro učitelství. stupně ZŠ, s HEJNÝ, M. Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky, s MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s

33 Zlomky s různými jmenovateli nejprve převedeme na společného jmenovatele, poté čitatele sečteme a jmenovatele opíšeme. 87 Postup při sčítání zlomků s různými jmenovateli můţeme schematicky znázornit následujícím způsobem: 88 Obrázek 8: Schéma sčítání zlomků. Převzato z: ODVÁRKO, O. Kníţka pro učitele k učebnicím matematiky pro 7. ročník základní školy. Smíšená čísla můţeme sčítat dvěma způsoby: ) Nejprve sečteme celky, poté zlomky. Součet upravíme a přičteme k celkům: ) Smíšená čísla vyjádříme ve tvaru zlomku a poté postupujeme jako při sčítání zlomků: Součet zlomků Tyčový model lze graficky znázornit na třech geometrických modelech: 3 4 Při konstrukci budeme postupovat takto: - Tyč rozdělíme na třetiny a čtvrtiny. - Nejmenší dílek ohraničený těmito body tvoří úsečku. - Tuto úsečku naneseme po celé délce tyče a zjistíme, ţe se vejde dvanáctkrát = 4 dílky, = 3 dílky, = 7 dílků tzn MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s ODVÁRKO, O. Kníţka pro učitele ke školním vzdělávacím programům na druhém stupni ZŠ: matematika a její aplikace, s MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s HEJNÝ, M. a kol. Teória vyučovania matematiky 2, s

34 Kruhový model Obrázek 9: Tyčový model sčítání zlomků. Převzato z: HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2. Při konstrukci budeme postupovat takto: - Kruh rozdělíme na třetiny a čtvrtiny tak, aby jeden řez byl společný. - Podle velikosti dvou nejmenších výseků rozdělíme celý kruh. - Do obrázku vyznačíme 3 a 4. Celkem jsme vyznačili 7 výseků, čili Obrázek 0: Kruhový model sčítání zlomků. Převzato z: HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2. Obdélníkový model Při konstrukci budeme postupovat takto: - Nakreslíme obdélník a rozdělíme ho na 2 čtverečků (3 čtverečky na výšku, 4 na délku). - Vybarvíme 4 a 3 čtverečky, dohromady tedy 7 čtverečků, coţ odpovídá Obrázek : Obdélníkový model násobení zlomků. Převzato z: HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2. 9 HEJNÝ, M. a kol. Teória vyučovania matematiky 2, s Tamtéţ, s

35 V učebnicích matematiky se často objevují nesprávná grafická znázornění sčítání zlomků. Je nutné si uvědomit, ţe při práci s modely nesčítáme modely, ale pouze jejich počet, tedy části celku k sobě přidáváme, přisouváme, ale nesčítáme je, sčítáme pouze čísla, kterými počet částí zapíšeme. 93 Správné grafické znázornění sčítání zlomků: Obrázek 2: Správné grafické znázornění sčítání zlomků. Převzato z: MOLNÁR, J. Matematika 7, učebnice s komentářem pro učitele. Nesprávné grafické znázornění sčítání zlomků: Obrázek 3: Nesprávné grafické znázornění sčítání zlomků. Převzato z: ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy []. Toto grafické znázornění je chybné z těchto důvodů: - nemůţeme sčítat konkrétní předměty, ale pouze jejich počet, - je porušen princip rovnosti mnoţin a ekvivalence mnoţin, - ke znázornění příkladu je třeba dvakrát tolik prvků Odčítání zlomků Metodický postup při odčítání zlomků je velmi podobný postupu uvedeného při sčítání zlomků. Grafická znázornění jsou při odčítání poněkud sloţitější, proto je vhodné při výkladu vyuţívat motivační úlohy zaloţené spíše na manipulativní činnosti s konkrétními předměty či modely BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice III, s Tamtéţ, s Tamtéţ, s

36 Pokud úlohy vycházejí z praktických činností běţného ţivota, ţáci si danou situaci lépe představí. Např.: Snědla jsem 8 5 pizzy, jaká část pizzy zůstala na talíři? S ţáky můţeme řešit i slovní úlohu typu: V termosce bylo 2 l čaje. Jirka si nalil l, Tereza l čaje, Milan l 4 čaje a Pepík Zápis: l čaje. Kolik litrů čaje v termosce zůstalo? 96 2 v termosce bylo. postupně bylo odlito.. Kolik litrů čaje zůstalo v termosce? Řešení: Zkouška: 2 l čaje 2 l, l, l, a l čaje ( ) Odpověď: V termosce zůstalo 2 l čaje. 2 V učebnicích matematiky se často objevují nesprávná grafická znázornění i odčítání zlomků. Nesprávné grafické znázornění odčítání zlomků: 2 Obrázek 4: Nesprávné grafické znázornění odčítání zlomků. Převzato z: ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy. 96 MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s

37 Správné grafické znázornění odčítání zlomků: Obrázek 5: Správné grafické znázornění odčítání zlomků. Převzato z: BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice III Násobení zlomků Násobení zlomku přirozeným číslem Ve školské matematice se násobení zlomků zavádí a demonstruje nejprve na příkladech násobení zlomku přirozeným číslem. To se, podobně jako násobení přirozených čísel, ukazuje nejprve na základě sčítání několika stejných sčítanců. 97 Např Daný příklad můţe ilustrovat např. úloha: Pizza je rozdělena na pětiny. Sním tři kousky. Jakou část pizzy jsem snědl? Dostatek motivačních a aplikačních úloh podpoří správné pochopení věty o násobení zlomku přirozeným číslem: Zlomek násobíme přirozeným číslem tak, ţe tímto číslem vynásobíme čitatel zlomku a jmenovatel opíšeme Např Násobení smíšeného čísla přirozeným číslem můţeme znázornit schematickým náčrtem. Zde by se mohlo jednat o úlohu, kdy je třeba vypočítat obsah obdélníkové podlahy o daných rozměrech (2 m, 3 4 m) Obrázek 6: Násobení smíšeného čísla přirozeným číslem. Převzato z: BINTEROVÁ, H. Matematika 7. Příručka učitele pro základní školy a víceletá gymnázia. 97 BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice IV, s ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy [], s BINTEROVÁ, H. Matematika 7. Příručka učitele pro základní školy a víceletá gymnázia, s. A

38 Násobení zlomku zlomkem Zlomek vynásobíme zlomkem tak, ţe vynásobíme čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. 00 Při násobení můţeme zlomky krátit. Krátit můţeme jak jednotlivé zlomky (pokud jiţ nejsou v základním tvaru), tak i mezi sebou (tzv. krácení kříţem). Ţáky upozorníme i na případy, kdy krátit nelze: Lze krátit Nelze krátit Násobení zlomku zlomkem můţeme zobrazit na různých ilustračních modelech: Model součinu jako obsahu Příklad: Obrázek je spojením tyčového a obdélníkového modelu (celkově jde o obdélníkový model, ale kaţdá strana obdélníka se chápe jako tyčový model). Z obdélníka 4x3, který reprezentuje zlomek 5 4, jsme vybrali jeho spodní dva řádky, tj Obrázek 7: Model součinu jako obsahu. Převzato z: HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky ODVÁRKO, O. Matematika pro 7. ročník základní školy [], s BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice IV, s HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2, s

39 Model součinu jako část z části Příklad: Součin chápeme jako nalezení dvou třetin z jedné čtvrtiny kruhu. Danou 3 4 situaci můţeme graficky znázornit takto: 03 Obrázek 8: Model součinu jako část z části. Převzato z: HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2. Příklad: Znázorněte graficky jednu polovinu ze čtyř sedmin. 04 Ţáci by měli pochopit, ţe součin zlomků je část z části. Při násobení zlomků bychom měli vést ţáky k tomu, aby dané zlomky před samotným násobením zkrátili Dělení zlomků Dělení zlomku přirozeným číslem Dělení zlomku přirozeným číslem ukáţeme na praktických úlohách. Příklad: ) 2 3 : : HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2, s ŠAROUNOVÁ, A. Matematika 7.. díl, s ODVÁRKO, O. Kníţka pro učitele ke školním vzdělávacím programům na druhém stupni ZŠ: matematika a její aplikace, s

40 2) 3) 3 : : : : Tyto příklady na dělení zlomků přirozeným číslem můţeme znázornit i graficky, přičemţ budeme vycházet z praktických úloh. ) Dvě třetiny dortu rozdělit na dvě části. Obrázek 9: Grafické znázornění dělení celku. Převzato z: BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice IV: 2) Tři čtvrtiny litru mléka rozdělit na tři části. Obrázek 20: Grafické znázornění dělení celku. Převzato z: BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice IV. 3) Tři čtvrtiny pizzy rozdělit na dvě části. 06 Obrázek 2: Grafické znázornění dělení celku. Převzato z: BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice IV. Dělení přirozeného čísla zlomkem Je vhodné nejprve uvést příklady, na kterých ţáci snadno pochopí princip dělení přirozeného čísla zlomkem. 07 Například chceme-li rozlít 5 litrů moštu do lahví o objemu litr, potřebujeme jich 5, neboť 5: 5. Pokud však chceme pouţít láhve 06 BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice IV, s Tamtéţ, s

41 o objemu l, budeme jich potřebovat 30, neboť 5 : 30. Analogicky můţeme dále pokračovat (rozlévat mošt do lahví o objemu l, l, l, l apod.). Získané údaje můţeme shrnout do tabulky. 08 Počet litrů moštu Objem jedné lahve [l] Počet lahví [ks] Z tabulky je patrné, ţe 5: 30. Víme, ţe , tedy 5: Pokud bychom chtěli plnit do lahví o objemu l, spotřebovali bychom jich 60, 4 4 protoţe 5: Pokud bychom měli k dispozici lahve o objemu l, spotřebovali bychom jich 0, protoţe 5: Z těchto uvedených příkladů lze vyvodit pravidlo, ţe přirozené číslo dělíme zlomkem tak, ţe jej vynásobíme zlomkem převráceným. 09 Dělení zlomku zlomkem Operaci dělení budeme chápat jako operaci inverzní k násobení. Úloha 6 2 : 5 3 znamená nalézt takové číslo, které po vynásobení zlomkem 2 6 dá součin, nebo najít 3 5 takové číslo, aby 3 2 toho čísla bylo 5 6. Tedy: 3 2 hledaného čísla je 5 6, 3 hledaného čísla je , hledané číslo je BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice IV, s Tamtéţ, s HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2, s

42 Zlomek zlomkem dělíme tak, ţe jej vynásobíme zlomkem převráceným k druhému zlomku. Příklad: Hasiči pouţili na vyčerpání vody ze zatopeného sklepa čerpadlo, které vyčerpalo za minutu? 2 Zápis: Řešení: Zkouška: 6 minuty 4 výkon čerpadla.. 20 m 3 vody. Kolik m 3 vody vyčerpá toto čerpadlo za 4 20 m 3 vody.. za 4 Kolik m 3 vody vyčerpá čerpadlo za minutu? :6 : Odpověď: Čerpadlo za minutu vyčerpá 5.0 Sloţený zlomek 6 3 m 3 vody. 25 Sloţený zlomek má v čitateli nebo ve jmenovateli zlomek. 6 minuty 4 a Při zjednodušování sloţeného zlomku b ( c 0, d 0) můţeme postupovat několika c d způsoby: 3 Zlomek v čitateli dělíme zlomkem ve jmenovateli: : Celé číslo v čitateli (nebo ve jmenovateli) zapíšeme ve tvaru zlomku a pokračujeme jako v předchozím případě: : : BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice IV, s ŠAROUNOVÁ, A. Matematika 7.. díl, s MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s

43 Při úpravě sloţeného zlomku můţeme postupovat i takto: 4 5. Zápis zlomku desetinným číslem Právě všechna racionální čísla lze zapsat jako čísla s ukončeným nebo neukončeným periodickým desetinným rozvojem. 5 Při zapisování zlomku desetinným číslem lze postupovat dvěma způsoby: - zlomek upravíme na desetinný zlomek a pak vyjádříme desetinným číslem, - čitatele dělíme jmenovatelem. 6 Všechny zlomky nelze zapsat ve tvaru desetinného zlomku. Zlomek lze převést do tvaru desetinného zlomku jen tehdy, kdyţ rozklad na prvočinitele jeho jmenovatele v základním tvaru je sloţen jen z prvočísel 2 nebo 5. 7 Desetinné číslo, jeţ obdrţíme po vydělení čitatele jmenovatelem, můţe být: a) Číslo s ukončeným desetinným rozvojem. Dělení je ukončené (beze zbytku). Tento případ nastane, pokud lze zlomek rozšířit tak, aby ve jmenovateli zlomku 25 byla mocnina čísla 0, např. 0, b) Číslo s ryze periodickým desetinným rozvojem. Dělení je neukončené a hned za desetinnou čárkou se opakuje jedno číslo nebo skupina čísel. Číslo nebo skupinu čísel, které se opakují, nazýváme periodou a značíme ji vodorovnou čarou, např. 0, , 3. 3 c) Číslo s neryze periodickým desetinným rozvojem. Dělení je neukončené, ale periodu předchází číslo nebo skupina čísel (tzv. předperioda), která se neopakuje, např. 0, , BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice IV, s MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s ŠAROUNOVÁ, A. Matematika 7.. díl, s DIVÍŠEK, J. Didaktika matematiky pro učitelství. stupně ZŠ, s MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s

44 Perioda můţe začínat na libovolném desetinném místě a můţe být libovolně dlouhá. Při dělení se tedy můţe stát, ţe perioda začíná tak pozdě, ţe se k ní vůbec nemusíme dopracovat. Při kaţdém dělení ale perioda dříve či později nastane. S problematikou čísel, která mají zápis nekonečný a neperiodický (např. 0, ) se ţáci seznamují později. Jsou to čísla iracionální, která nelze zapsat ţádným zlomkem. 9 Příklad: Periodické číslo, 45 lze převést na zlomek následující způsobem: 20 x, ,45 00x 45,45 99x 44 x x / : 99 / x 9 BINTEROVÁ, H. Matematika 7. Příručka učitele pro základní školy a víceletá gymnázia, s. A HAVRLANT, L. Racionální čísla. In Matematika polopatě [online]. [cit ] Dostupné z www: < 44

45 6. Zlomky ve vyučování Zlomky pouţíváme v běţném hovoru denně v rozličných tématech. Sport, nakupování, vaření, cestování atd. Ţáci vědí, ţe fotbalové utkání má dva poločasy a hokejové utkání se dělí na třetiny. 2 V obchodě si můţou koupit půlku chleba, kilo a půl jablek, osminku másla či čtvrt litru mléka. V restauraci si i mohou objednat třetinu litru limonády a číšník jim přinese do tři čtvrtě hodiny hlavní chod. Takovéto příklady ze ţivota můţeme s výhodou vyuţít při výuce zlomků, konkrétně při určování části z celku (příklady s vyuţitím převodů jednotek). Vhodná pomůcka při výuce zlomků je tzv. zlomkovnice. Nejčastěji ji tvoří šest kruhů odlišných barev. Zlomkovnice mohou být z různých materiálů, ale pro ţáky jsou nejdostupnější ty z papíru. Kaţdý ţák si pod vedením učitele můţe vytvořit svoji vlastní tak, ţe jeden kruh nechá celý a zbylých pět rozstříhá na poloviny, třetiny, čtvrtiny, šestiny a osminy Z důvodu rychlé kontroly je lepší předem se domluvit na barvě kaţdého z kruhů (např. zelený kruh bude rozdělen na poloviny atd.). Zlomkovnici vyuţijeme při zavedení pojmu zlomek (ţáci vidí, jak zlomky vznikají dělením celku, stříháním), při porovnávání zlomků, rozšiřování a krácení, k vytvoření pojmu smíšené číslo apod. 22 Ţáci mohou pracovat i s barevnými kostkami a upravovat daný model (stavbu) tak, aby např. jedna třetina kostek byla modrých. 23 Stavbu z kostek mohou také dokončit, pokud vědí, ţe je zatím postavena polovina, pětina apod. Obrázek 22: Stavba z kostek. Převzato z: TICHÁ, M. Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice. Dobré vyuţití má při výuce zlomků čtverečkový papír. Ţáci řeší úlohy typu Urči zlomkem, jakou část obdélníku tvoří vybarvený obrazec: 24 2 MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s METODICKÝ PORTÁL RVP. Výroba a vyuţití zlomkovnice. [online]. [cit ]. Dostupné z www: < 23 TICHÁ, M. Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice, s HUSAR, P. Matematikou krok za krokem k přijímacím zkouškám, s

46 Obrázek 23: Část z celku. Převzato z: HUSAR, P. Matematikou krok za krokem k přijímacím zkouškám. Jiné vyuţití čtverečkového papíru je takové, ţe se na něm vyznačí čtverec (obdélník) a ţáci vybarvují jeho polovinu, čtvrtinu. Úloha se dá řešit různými způsoby a někteří ţáci mohou přijít i na nezvyklá řešení: 25 Pokud nemáme k dispozici čtverečkový papír, můţeme pouţít i obyčejný. Jednou z činností můţe být, ţe ţáci ho několikrát přeloţí, poté rozloţí, vybarví jednotlivé části dvěma či více barvami (mohou vytvořit vzory) a poté odpovídají na otázky typu: Jaká část je vybarvena? Jaká část není vybarvena? Jaká část je vybarvena jen červeně, zeleně atd.? 26 Ţáci si svá řešení mohou kontrolovat i navzájem mezi sebou v lavici. Ţáci ke kontrole správnosti výpočtu u jednoduchých příkladů mohou pouţívat tzv. tabulku se samokontrolou. Jedná se o schéma se čtyřmi zlomky, které se sečtou v řádcích a sloupcích a součty takto vzniklých zlomků se sobě rovnají. 27 Tabulku můţeme pouţít i při násobení zlomků. Obrázek 24: Tabulka se samokontrolou. Převzato z: BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice III. 25 FUCHS, E. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání, s Tamtéţ, s BLAŢKOVÁ, R. Co, proč a jak ve školské matematice III, s

47 Nedílnou součástí nejen tematického celku Zlomek jsou slovní úlohy či slovní zadání příkladů. Ţáky jistě zaujme úloha typu: Spravedlivě rozděl tři koláče čtyřem dětem. Ţáci mohou nacházet různá řešení a jejich pravdivost poté obhajovat. 28 Aktivitu ţáků podněcuje úloha, kdy mají vytvořit slovní úlohu k výpočtu Např. Utvoř slovní úlohu k zadání. 3 5 Neméně zajímavou činností je vytváření slovních úloh k obrázku. 30 Např. Napište znění slovní úlohy, jejíţ řešení mohlo být zaznamenáno tímto obrázkem: Obrázek 25: Zadání slovní úlohy obrázkem. Převzato z: TICHÁ, M. Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice. Jako pomůcka při výuce mohou poslouţit i obyčejné papírové hodiny ţáci zapisují ve zlomcích, jakou část z 2 hodin ukazují ručičky hodin na ciferníku. 3 Obrázek 26: Hodiny. Převzato z: BINTEROVÁ, H. Matematika 7. Aritmetika. Pracovní sešit pro základní školy a víceletá gymnázia. Tvrzení, ţe při rozšiřování zlomku se jeho hodnota nemění, můţeme dokázat pomocí překládání prouţku papíru na potřebný počet stejných dílů. 32 Např. bychom dovedli názorně předvést, ţe nebo Při výuce zlomků můţeme vyuţít mezipředmětový vztah s hudební výchovou. Ţáci znají noty půlové, čtvrťové, osminové atd. Mohou jejich délky zapsat zlomkem a jednotlivé noty doplňovat do notového zápisu tak, aby byl zachován dvoučtvrťový, tříčtvrťový či čtyřčtvrťový takt TICHÁ, M. Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice, s Tamtéţ, s Tamtéţ, s MOLNÁR, J. Matematika 7. Učebnice s komentářem pro učitele, s Tamtéţ, s Tamtéţ, s

48 Úlohu Vyjádřit zlomkem vybarvenou část z obrazce. známe všichni. Můţe být ale zadána i poněkud netradičně, a to vzhledem k podobě celku. Takové zadání můţe vypadat např. takto: 34 Obrázek 27: Netradiční zadání podle S. Lamon. Převzato z: TICHÁ, M. Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice. Historickou poznámku o kmenných zlomcích doplníme i o zajímavé úlohy, jako jsou tzv. egyptské trojúhelníky či egyptské čtverce. Ke stranám trojúhelníku (čtverce) jsou napsány různé kmenné zlomky. Daný trojúhelník (čtverec) je egyptský, jestliţe součty zlomků na stranách (které zapíšeme k vrcholům odpovídajících si stran) jsou téţ kmenné zlomky. 35 Obrázek 28: Příklad neegyptského trojúhelníku. Převzato z: TICHÁ, M.: Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice. Myslím si, ţe je zajímavé ţákům představit i poněkud sloţitější sloţené zlomky: 2 Při řešení těchto sloţitějších sloţených zlomků si mnozí ţáci procvičí svoji trpělivost a schopnost udrţet přehlednost ve svém zápisu během řešení. 34 TICHÁ, M. Rozvoj pojmu zlomek ve vyučování matematice, s Tamtéţ, s

49 Oţivení hodin a běţného počítání se zlomky přináší vyuţití tzv. logických pyramid. Logický klíč, podle kterého doplňují chybějící čísla do pyramidy, ţáci objevují sami. 36 Obrázek 29: Logická pyramida. Převzato z: HUSAR, P. Matematikou krok za krokem k přijímacím zkouškám. Podobně lze v hodinách vyuţít i tzv. magické čtverce. Ţáci doplňují čísla do čtverečků tak, aby součet ve všech řádcích, sloupcích a úhlopříčkách byl např. 2. Zlomky zapisují v základním tvaru. 37 Obrázek 30: Magický čtverec. Převzato z: HUSAR, P. Matematikou krok za krokem k přijímacím zkouškám. Zadávání početních hádanek pomáhá ţákům upevňovat základní pojmy a procvičovat početní operace se zlomky: Jaké číslo si myslím: a) přičtu-li k němu jeho třetinu a dostanu číslo 6, b) zmenším-li ho o jeho pětinu a dostanu číslo 6, c) zvětším-li ho o jeho tři sedminy a dostanu číslo 20? Kdyţ z celku odebereme jeho patnáctin, dostaneme číslo 20. Urči velikost celku. Kdyţ k celku přidáme jeho 4 pětiny, dostaneme číslo 08. Urči velikost celku HUSAR, P. Matematikou krok za krokem k přijímacím zkouškám, s Tamtéţ, s Tamtéţ, s

50 Ţáky baví i různé tematicky zaměřené hry. Mezi nejznámější patří zlomkové domino, pexeso či Riskuj. Náměty můţeme vţdy obměnit podle toho, kterou dovednost si ţáci potřebují upevnit. Porovnávání zlomků si ţáci procvičí ve hře Porovnej. Pomůckou jsou kartičky, na kterých jsou zapsána buď čísla nebo výrazy s čísly (kladné zlomky, racionální čísla, součiny, součty, mocniny, odmocniny, ) vţdy podle toho, jaké učivo je třeba procvičit. Kartičky se promíchají, dají na kupičku, soupeři si berou vţdy po jedné kartě a poloţí je vedle sebe. Kdo má vyšší hodnotu, obě kartičky bere. Je li hodnota stejná, přidají oba hráči další 2 karty a porovnají hodnoty posledních karet. Hra končí buď vyčerpáním časového limitu, nebo získá-li jeden ze soupeřů všechny karty. Je lépe, hrají-li proti sobě dvojice, neboť je více zajištěna správnost rozhodnutí o větší hodnotě karty. Jde o hru s prvky náhody, vyhrát můţe i slabší hráč, coţ můţe zlepšit jeho vztah k matematice. 39 Při výuce můţeme vyuţít počítačové programy zaměřené na jednoduché procvičování učiva. Ţák je motivován především atraktivní animací a bezprostřední zpětnou vazbou na svůj výkon. Mnoho odkazů na pěkné výukové programy (v angličtině) týkající se zlomků nalezneme např. na: 39 VÁVROVÁ, A. Hry ve vyučování matematice jako významná strategie vedoucí k rozvoji klíčových kompetencí ţáků, s

51 EMPIRICKÁ ČÁST 5

52 7. Didaktický test Jedním s cílů mé diplomové práce je zjistit aktuální úroveň znalostí ţáků týkající se zlomků. K naplnění tohoto cíle jsem se rozhodla vyuţít výsledků získaných z nestandardizovaného didaktického testu, který jsem sama vytvořila. Test byl zadán vzorku ţáků ze 7. ročníku základní školy a vzorku ţáků z 2. ročníku osmiletého gymnázia s cílem zjistit úroveň jejich znalostí v této oblasti a porovnat jejich výsledky. V souvislosti s porovnáním výsledků ţáků dvou typů škol jsem formulovala věcnou hypotézu, která je na základě statistických hypotéz ověřována v jedné podkapitole empirické části diplomové práce. Didaktický test na zlomky vyplnilo celkem 06 ţáků, z toho 42 testů vyplnili ţáci FZŠ a MŠ Holečkova 0, Olomouc a 64 testů vyplnili ţáci osmiletého Slovanského gymnázia, Pasteurova 9, Olomouc (po dvou třídách na kaţdé škole). Na vypracování měli ţáci všech čtyř tříd cca 40min (byl zadáván v běţné vyučovací hodině). Ţáci ZŠ Holečkova probírali zlomky nedávno, bylo to pro ně tedy opakování. Ţáci sekundy probírali zlomky na konci primy, čili jim byla písemná práce na toto téma předem oznámena s tím, aby si učivo zopakovali. Celé zadání didaktického testu je uvedeno v Příloze č.. Kaţdý ţák dostal test na samostatném listu papíru formátu A4 (potištěný z obou stan). Kalkulačky nebyly dovoleny. Veškeré pomocné výpočty, řešení i výsledky psali ţáci přímo do zadání. Didaktický test obsahuje 8 testových úloh, jedná se o otevřené úlohy se stručnou odpovědí (produkční i doplňovací). Didaktický test je objektivně skórovatelný a monotematický. Mým záměrem bylo otestovat základní znalosti a dovednosti týkající se učiva o zlomcích. Bodování a vyhodnocení testu Ţáci mohli celkem získat 32 bodů, z toho 6 bodů na první stránce za: grafické znázornění zlomku jako části z celku, vyznačení zlomku na číselné ose, porovnávání zlomků, uţití znalosti rozšiřování a krácení zlomku a početní operace se zlomky. Na druhé straně testu mohli ţáci získat bodů za tři slovní úlohy s gradující obtíţností. Maximum bodů, které mohli ţáci získat za jednotlivé příklady, je uvedeno v následující tabulce: Číslo úlohy A) 5.B) 5.C) Celkem Maximum bodů

53 Kaţdou testovou úlohu vyhodnocuji v samostatné kapitole, kde je uvedeno originální znění úlohy, bodování, tabulka s výsledky (četnost jednotlivých bodů v jednotlivých třídách, průměrné počty bodů, procentuální úspěšnost ţáků při řešení) a sloupcový graf s tabulkou dat znázorňující procentuální zastoupení ţáků s danými body v jednotlivých třídách. Při analýze ţákovských řešení mne nezajímala pouze správná řešení, ale zaměřila jsem se hlavně na chybná řešení. Pokud se v ţákovských řešeních objevila určitá chyba vícekrát, uvádím tuto skutečnost v přehledné tabulce s hodnotami pro kaţdou třídu. V rámci vyhodnocování testových úloh přikládám také ukázky konkrétních ţákovských řešení. U kaţdého obrázku ţákovského řešení je uvedeno, zda se jedná o řešení ţáka základní školy (ZŠ) nebo zda se jedná o řešení ţáka osmiletého gymnázia (G). 7. Úloha První úloha je zaměřena na určení části z celku. Celek (kruh) je rozdělen na dvanáctiny a ţáci musí správně vybarvit jeho jednu šestinu a jednu třetinu. Zadání ) Do obrázku vyznač barevnou tuţkou a jinou barvou do stejného obrázku. 6 3 Jaká část z celku zůstala nevybarvena? Bodování Dohromady mohli ţáci získat 3 body: bod za vyznačení jedné třetiny, bod za vyznačení jedné šestiny a bod za správnou odpověď. Tabulka s výsledky Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Celkem ţáků Počet bodů Počet ţáků s danými body Průměrný počet b.,95,96 2,65 2,42 Úspěšnost při řešení 65 % 65,3 % 88,3% 80,7 % 53

54 Počet ţáků (%) Zastoupení ţáků s danými body 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 0% 0% A 3,6% 42,% 5,8% 0,5% 7.B 47,8% 2,7% 8,7% 2,7% 2.A8 74,2% 9,4% 3,2% 3,2% 2.B8 60,6% 27,3% 6,% 6,6% První úlohu vyřešilo bezchybně 40,5% ţáků ZŠ (7 ţáků ze 42) a 67,2% ţáků osmiletého gymnázia (43 ţáků z 64). Nejlepšího výsledku dosáhli ţáci 2.A8 osmiletého gymnázia. Ţáci 7.A ZŠ při řešení první úlohy často zapomínali napsat odpověď, coţ se projevilo i v celkovém hodnocení. Ţákovská řešení Správná řešení První úlohu řešila většina ţáků zpaměti. Jen několik ţáků na gymnáziu uvedlo početní postup (jak přišli na to, kolik částí vybarvit), nebo postup, jímţ zjistili odpověď (jaká část z celku zůstala nevybarvena). V následující tabulce je uveden počet ţáků, kteří uvedli postup při řešení: Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Uvedlo postup řešení (G) 54

55 (G) Pokud ţáci nezapomněli napsat odpověď, odpověděli buď jedním slovem, tj. 2 nebo celou větou, tj. Zůstala 2. nebo Zůstala nevybarvena 2. Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Počet odpovědí Jednoslovné odpovědi Odpovědi ve větě (ZŠ) (G) 55

56 Ne všichni ţáci popsali, která vybarvená část značí 3 a 6 kruhu. Počet ţáků, kteří uvedli popis částí kruhu je uveden v následující tabulce: Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Počet ţáků (ZŠ) (G) (G) Chybná řešení Nejčastější chybou bylo, ţe ţák vybarvil tři a šest políček. Tuto chybu jsem předem předpokládala, a tudíţ pro mě bylo překvapením, ţe se jí dopustilo poměrně málo ţáků. V následující tabulce je vidět, ţe nejvíce takto chybujících ţáků bylo v 7.B: 56

57 Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Počet chybných řešení 5 (ZŠ) (ZŠ) (G) Dvakrát se objevila chyba, kdy ţák správně vyznačil části kruhu, ale uvedl chybnou odpověď. Daná chyba je vidět na následujících obrázcích řešení ţáků: 57

58 (ZŠ) (G) Ţáci při řešení první úlohy zapomínali na odpověď. Šlo o poměrně častou chybu, kterou jsem spíše neočekávala. Myslím si, ţe byla způsobena nepozorností ţáků. Zadání úlohy si například nepřečetli aţ do konce nebo se k zadání po vyřešení úlohy jiţ nevrátili, aby zkontrolovali, zda splnili vše, co je poţadováno. Následující tabulka udává počet ţáků, kteří nenapsali odpověď: Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Bez odpovědi Úloha 2 Druhá úloha testuje, jak se ţáci orientují na číselné ose, a zda jsou na ní schopni přesně vyznačit obraz daného zlomku jako reprezentanta racionálního čísla. Zadání 2 2) Na číselné ose vyznač zlomek. 5 58

59 Počet ţáků (%) Bodování Druhý úkol byl za 2 body. Při chybném řešení ţáci získali 0 bodů. Tabulka s výsledky Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Celkem ţáků Počet bodů Počet ţáků s danými body Průměrný počet b.,95,22,8,64 Úspěšnost při řešení 97,5 % 6 % 90,5 % 82 % 00% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 0% 0% Zastoupení ţáků s danými body A 94,7% 5,3% 7.B 60,9% 39,% 2.A8 90,3% 9,7% 2.B8 8,8% 8,2% Druhou úlohu vyřešilo bezchybně 76,2% ţáků ZŠ (32 ţáků ze 42) a 86% ţáků osmiletého gymnázia (55 ţáků z 64). Aţ na třídu 7.B ZŠ byla úspěšnost při řešení druhé úlohy mezi třídami poměrně vyrovnaná. Nejlepšího výsledku dosáhli ţáci 7.A ZŠ. Ţákovská řešení: Interval 0- na číselné ose měli ţáci předem rozdělený na desetiny. Jejich úkolem 2 4 tedy bylo zjistit, ţe a daný zlomek tak měli správně přiřadit ke čtvrté čárce 5 0 na číselné ose. Správná řešení Někteří ţáci vyznačili zlomek dvě pětiny jako část z celku (interval). Pravděpodobně předpokládali, ţe druhá úloha se řeší podobně jako předchozí. I přestoţe byl můj záměr jiný, dostali ţáci za tuto odpověď plný počet bodů, protoţe dvě pětiny správně přiřadili ke čtvrté čárce na číselné ose. V následující tabulce je uveden počet ţáků, kteří danou 59

60 úlohu vyřešili správně a také počet těch, kteří znázornili obraz zlomku na číselné ose jako interval i jako bod: Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Správně řešilo Vyznačení intervalem (ZŠ) (ZŠ) (G) (G) Jeden ţák základní školy a tři ţáci osmiletého gymnázia řešili druhou úlohu tak, ţe zlomek 5 2 převedli na desetinné číslo: (ZŠ) (G) 60

61 Chybná řešení U tří ţáků základní školy pravděpodobně došlo k zaměnění zlomku 5 2 za desetinné číslo 2, 5 a toto desetinné číslo na číselnou osu vyznačili i přes to, ţe na ní byl jasně vyznačen pouze interval 0-: (ZŠ) (ZŠ) Objevila se i takováto chybná řešení: (G) (G) Na tomto obrázku je uveden i postup, kterým ţák dospěl k chybnému řešení: (G) 7.3 Úloha 3 Třetí úloha prověřuje znalosti a dovednosti ţáků při porovnávání zlomků. Zadání 3) Doplň znaménka <, >, =

62 Počet ţáků (%) Bodování Dohromady mohli ţáci získat 3 body: za kaţdé správně umístěné znaménko bod. Tabulka s výsledky Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Celkem ţáků Počet bodů Počet ţáků s danými body Průměrný počet b. 2,32 2,22 2,97 2,88 Úspěšnost při řešení 77,3 % 74 % 99 % 96 % 20% 00% 80% 60% 40% 20% 0% Z uvedené tabulky a grafu vyplývá, ţe v porovnávání zlomků jsou zběhlejší ţáci osmiletého gymnázia. Třetí úlohu vyřešilo bezchybně 54,8% ţáků ZŠ (23 ţáků ze 42) a 95,3% osmiletého gymnázia (6 ţáků z 64). Téměř stoprocentního úspěchu dosáhli ţáci 2.A8 osmiletého gymnázia. Zastoupení ţáků s danými body A 57,9% 2,% 5,8% 5,3% 7.B 52,2% 2,7% 2,7% 4,3% 2.A8 96,8% 3,2% 0,0% 0,0% 2.B8 93,9% 0,0% 6,% 0,0% Ţákovská řešení: Vybrané tři příklady na porovnávání zlomků nejsou těţké. Všechny se daly řešit 5 6 pomocí šipkového pravidla. U prvního příkladu ( ) se ţáci mohli orientovat dle toho, zda se jedná o pravý nebo nepravý zlomek, mohli převést zlomek na smíšené 5 číslo, oba zlomky mohli upravit na společného jmenovatele apod. U druhého příkladu ( ) mohli ţáci zkrátit zlomek nebo opět převést oba zlomky

63 na společného jmenovatele. Zlomky v posledním, třetím příkladu ( ) si ţáci opět 3 4 mohli převést na společného jmenovatele. Ţáci si také mohli například poloţit otázku: Co je víc? nebo čokolády? Třetí příklad jsem do testu zařadila schválně, jelikoţ 3 4 v něm ţáci často chybují (ví, ţe 4 > 3 a podle toho doplní i znaménko nerovnosti). Správná řešení Výsledky psali ţáci obou škol většinou přímo hned do zadání (bez pomocných výpočtů). Jen několik ţáků si ověřovalo správnost svého úsudku převedením zlomků na společného jmenovatele. Následující tabulka udává počet ţáků, kteří třetí úlohu řešili pomocí převedení zlomků na společného jmenovatele: Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Počet ţáků (G) Jen jediný ţák (ZŠ) si pomohl převedením nepravého zlomku na smíšené číslo: Chybná řešení (ZŠ) Následující tabulka udává počet chyb u daných příkladů: Třída Příklad 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Počet chyb Z uvedené tabulky vyplývá, ţe nejčastěji ţáci chybovali u třetího příkladu a nejméně u prvního příkladu. 63

64 (ZŠ) (G) Z řešení několika ţáků ZŠ je zřejmé, ţe umístění znamének nerovnosti pravděpodobně tipovali: Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Tipovalo (ZŠ) 7.4 Úloha 4 Čtvrtá úloha se týká rovnosti zlomků a rozšiřování zlomků. Ţáci zjišťují, jakým číslem byl zlomek rozšířen, aby platila naznačená rovnost. Zadání 4) Doplň tak, aby platila rovnost. 7 8 Bodování 56 Za správnou odpověď ţáci získali bod. Tabulka s výsledky Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Celkem ţáků Počet bodů Počet ţáků s danými body Průměrný počet b. 0,78 0,94 0,97 Úspěšnost při řešení 00 % 78 % 94 % 97 % 64

65 Počet ţáků (%) 20,0% 00,0% 80,0% 60,0% 40,0% 20,0% 0,0% Čtvrtou úlohu vyřešilo bezchybně 88,% ţáků ZŠ (37 ţáků ze 42) a 95,3% ţáků osmiletého gymnázia (6 ţáků z 64). Stojí za zmínku, ţe nejlepšího (stoprocentního) výsledku dosáhli ţáci 7.A ZŠ. Zastoupení ţáků s danými body 0 7.A 00,0% 0,0% 7.B 78,3% 2,7% 2.A8 93,5% 6,5% 2.B8 97,0% 3,0% Ţákovská řešení: Ţáci si museli uvědomit či spočítat, ţe zlomek 8 7 byl rozšířen číslem 8, jelikoţ musí platit rovnost 7 56 a 56 : Správná řešení Většina ţáků napsala správný výsledek hned přímo do zadání, někteří si připsali pomocný výpočet: Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Počet řešení s pomocným výpočtem (ZŠ) (G) (G) 65

66 (G) Sloţitým, ale správným pomocným výpočtem přišel ţák osmiletého gymnázia na správné řešení čtvrté úlohy. Pravděpodobně vycházel z definice pro rovnost zlomků: a b c d ad cb. Jeho řešení můţeme vidět na obrázku níţe: (G) Chybná řešení K chybnému řešení mohli ţáci dospět různými způsoby. Některé chyby vycházely z nepochopení úlohy (rovnost zlomků) a některé vznikly jako numerická chyba při násobení: (ZŠ) (ZŠ) (ZŠ) (G) (G) U jednoho ţáka ZŠ i u jednoho ţáka osmiletého gymnázia se objevila tato numerická chyba: (ZŠ) 66

67 7.5 Úloha 5 V rámci páté úlohy ţáci řešili tři příklady, které měly prověřit jejich dovednosti při provádění početních operací se zlomky. Příklady jsou sestavené tak, aby ţáci ukázali, ţe umí: určovat společného jmenovatele zlomků, rozšiřovat zlomky, sčítat zlomky, krátit zlomky ve tvaru součinu i zlomky samy o sobě. Ţáci také převáděli smíšené číslo na zlomek a zapisovali přirozené číslo ve tvaru zlomku. V posledním příkladu ţáci upravovali sloţený zlomek. Zadání 5) Vypočítej. Výsledek zapiš v základním tvaru či jako smíšené číslo A) B) 5 : C) Zadání 5.A) A) Bodování Ţáci mohli celkem získat 4 body: bod za správně určeného společného jmenovatele, 0,5 bodu za správně rozšířené čitatele, 0,5 bodu za správně sečtené čitatele, bod za správné zkrácení, bod za výsledek v základním tvaru. Za nesprávný postup při výpočtu jsem strhávala bod pokud ţáci nejprve sečetli 5 zlomky v závorce a aţ v závěru řešení k tomuto součtu připsali zlomek, aby jím 28 tento součet násobili. Jak uvádí následující tabulka, nejčastěji se tento nesprávný postup objevil v řešeních ţáků třídy 7.B základní školy: Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Nesprávný postup 8 0 (ZŠ) 67

68 Počet ţáků (%) V jednom případě měl tento nesprávný postup za následek i například to, ţe ţák 5 na násobení zlomkem zapomněl a při výpočtu příkladu ho vynechal úplně: 28 (ZŠ) Tabulka s výsledky Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Celkem ţáků Počet bodů Počet ţáků s danými body Průměrný počet b. 2,9 2,6 3,48 3,27 Úspěšnost při řešení 72,5 % 65,3 % 87 % 8,8 % 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 0% 0% Zastoupení ţáků s danými body A 47,4% 0,0% 47,4% 0,0% 5,5% 7.B 47,8% 8,7% 2,7% 0,0% 2,7% 2.A8 7,0% 6,0% 6,5% 3,2% 3,2% 2.B8 60,6% 5,2% 5,2% 9,% 0,0% Příklad A) v páté úloze vyřešilo bezchybně 47,6% ţáků ZŠ (20 ţáků ze 42) a 65,6% ţáků osmiletého gymnázia (42 ţáků z 64). Ţákům osmiletého gymnázia dělalo největší problémy zkrátit výsledek na základní tvar. Pokud v průběhu výpočtu zlomky v součinovém tvaru nezkrátili, dospěli sice ke správnému výsledku, jenţ byl ale zlomek s velkými čísly v čitateli a jmenovateli a tudíţ šel obtíţně krátit. S největší úspěšností tento příklad řešili ţáci 2.A8 osmiletého gymnázia. Největší problémy s tímto příkladem měli ţáci 7.B ZŠ. 68

69 Ţákovská řešení Správná řešení (G) Chybná řešení (ZŠ) Ţáci v tomto příkladě chybovali různými způsoby. Nejčastější společná chyba byla taková, ţe zapomněli uvést výsledek v základním tvaru: Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Výsledek není uveden v základním tvaru (G) (G) Pro některé ţáky bylo obtíţné krácení zlomků v součinovém tvaru (tzv. kříţem): (G) (G) Ţáci při převádění zlomků na společného jmenovatele chybně rozšířili jejich čitatele. Tato chyba se objevila pouze u čtyř ţáků gymnázia: (G) (G) 69

70 Vyskytly se i numerické chyby, popř. chyby z nepozornosti: (G) (G) (ZŠ) Jeden ţák krátil zlomky v součtovém tvaru a poté zlomky i nesprávně sečetl: (ZŠ) Zadání 5.B) 8 B) 5 : 9 3 Bodování Ţáci mohli celkem získat 5 bodů: bod za převod smíšeného čísla na zlomek, bod za správně určeného společného jmenovatele, 0,5 bodu za správně rozšířené čitatele, 0,5 bodu za správně odečtené čitatele, 0,5 bodu za zapsání čísla ve tvaru zlomku, 0,5 bodu za násobení převráceným zlomkem, bod za výsledek v základním tvaru. Za nesprávný postup jsem strhávala bod tímto postupem myslím takový, kdy ţáci nejprve vypočítali rozdíl smíšeného čísla a zlomku v závorce a teprvé poté k tomuto rozdílu připsali konec zadání čili :. Tento postup se objevil u několika ţáků ZŠ i u dvou ţáků osmiletého gymnázia: Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Nesprávný postup (G) 70

71 Počet ţáků (%) Tento nesprávný postup vedl k tomu, ţe tři ţáci ZŠ na dělení jedenácti zapomněli úplně: (ZŠ) Tabulka s výsledky Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Celkem ţáků Počet bodů Počet ţáků s danými body Průměrný počet b. 3,68 2,6 4, 4,8 Úspěšnost při řešení 73,6 % 52 % 82 % 83,6 % 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 0% 0% Zastoupení ţáků s danými body A 42,0% 26,3% 5,3% 5,8% 5,3% 5,3% 7.B 34,8% 4,3% 8,7% 7,4% 4,3% 30,4% 2.A8 58,% 6,5% 25,8% 6,5% 3,2% 0,0% 2.B8 66,7% 9,% 3,0% 8,2% 3,0% 0,0% Příklad B) v páté úloze vyřešilo bezchybně 38,% ţáků ZŠ (6 ţáků ze 42) a 62,5% ţáků osmiletého gymnázia (40 ţáků z 64). Největší potíţe činil tento příklad ţákům 7.B ZŠ. Ţáci dvou tříd osmiletého gymnázia tento příklad řešili s téměř stejnou úspěšností. 7

72 Ţákovská řešení Správná řešení (ZŠ) (G) Chybná řešení V této úloze ţáci chybovali různě. Ţádná chyba se neopakovala ve větším počtu. Nejčastější byly chyby numerické. Myslím si, ţe pro některé ţáky byl příklad náročnější vzhledem k počtu kroků, které museli vykonat (převést smíšené číslo na zlomek, upravit zlomky v závorce na společného jmenovatele a odečíst je, převést přirozené číslo na zlomek, dělit zlomkem tak, ţe násobíme zlomkem převráceným atd.). Většina ţáků nedělala chyby při převádění smíšeného čísla na zlomek. Počet ţáků, kteří v tomto kroku udělali chybu, je uveden v následující tabulce: Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Chybně převedené sloţené číslo na zlomek (G) V následující ukázce ţákovského řešení si ţák pravděpodobně spletl smíšené číslo 5 s násobením přirozeného čísla zlomkem 5 : 9 9 (G) V další ukázce ţákovského řešení si můţeme všimnout, ţe ţák umí převádět smíšené číslo na zlomek, posléze ale převede i poněkud bez rozmyslu také pravý zlomek na smíšené číslo: (ZŠ) 72

73 Počet ţáků (%) Dva ţáci ZŠ se snaţili příklad vyřešit bez převedení smíšeného čísla na zlomek: (ZŠ) (ZŠ) C) Zadání 5.C) Bodování Ţáci mohli celkem získat 3 body: bod za převedení sloţeného zlomku na násobení zlomků, 0,5 bodu za správné zkrácení, 0,5 bodu za výsledek, bod za výsledek ve smíšeném čísle. Tabulka s výsledky Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Celkem ţáků Počet bodů Počet ţáků s danými body Průměrný počet b.,84,65 2,03 2,33 Úspěšnost při řešení 6,3 % 55 % 67,7 % 77,7 % 60% 50% 40% 30% 20% 0% 0% Zastoupení ţáků s danými body A 52,6% 5,3% 5,8% 26,3% 7.B 34,8% 2,7% 7,4% 26,% 2.A8 25,8% 54,8% 6,% 3,2% 2.B8 5,5% 33,3% 2,% 3,0% 73

74 Příklad C) v páté úloze vyřešilo bezchybně 42,9% ţáků ZŠ (8 ţáků ze 42) a 39,% ţáků osmiletého gymnázia (25 ţáků z 64). Ačkoli by se mohlo zdát, ţe ţáci základní školy byli při řešení tohoto příkladu téměř stejně úspěšní jako ţáci osmiletého gymnázia, není tomu tak. Do hodnocení tohoto příkladu se projevila chyba, které jsem se dopustila ve formulaci zadání pátého příkladu. Podoba této chyby je nastíněna v dalším odstavci. Největšího průměrného počtu bodů dosáhli ţáci 2.B8 osmiletého gymnázia. Naopak největší potíţe činil tento příklad ţákům 7.B ZŠ. Ţákovská řešení V páté úloze jsem měla lépe formulovat zadání. Má chyba se projevila právě v tomto příkladě C), jelikoţ ţáci (převáţně z gymnázia) zapomínali převést nepravý zlomek na smíšené číslo a získali tak o jeden bod méně. Zadání zní: Vypočítej. Výsledek zapiš v základním tvaru či jako smíšené číslo. Zadání mělo znít: Vypočítej. Výsledek zapiš v základním tvaru, nebo pokud lze, jako smíšené číslo. Při bodování této úlohy jsem se drţela své původní představy a původního bodování, jelikoţ většina ţáků základní školy nepravý zlomek na smíšené číslo převedla. Následující tabulka udává počet správných řešení a počet řešení, kde byl správný výsledek uveden ve smíšeném čísle: Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Celkem ţáků Správný výsledek Výsledek ve smíšeném čísle Ţáci tedy vyřešili příklad správně, výsledek napsali ve tvaru zlomku v základním tvaru, ale jiţ ho nepřevedli na smíšené číslo: (G) Oproti předchozím dvěma příkladům z páté úlohy byl tento příklad častěji vynecháván. Jak je vidět z následující tabulky - zejména na ZŠ: Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Neřešilo

75 Správná řešení (ZŠ) (G) Následující řešení mne příjemně překvapilo. Ţák krátil jiţ ve tvaru sloţeného zlomku: (G) Chybná řešení Ţáci nejčastěji špatně převedli sloţený zlomek do tvaru podílu dvou zlomků či do tvaru součinu dvou zlomků. Objevily se i numerické chyby při krácení zlomků a chyby v zápisu smíšeného čísla: (ZŠ) (G) Někteří ţáci převáděli zlomek na smíšené číslo, i kdyţ ten nebyl v základním tvaru. V získaném smíšeném čísle mohli ţáci tedy ještě krátit. Někteří to však neudělali a výsledek vypadal například takto: Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B Výsledek ve tvaru:,,,

76 (G) V následujícím ţákovském řešení je vidět chyba způsobená nesprávným uţitím algoritmu pro dělení zlomků. Ţák věděl, ţe dělení zlomků převádíme na násobení převráceným zlomkem, ale převrátil dělenec (zlomek v čitateli sloţeného zlomku): (ZŠ) V další ukázce nesprávného ţákovského řešení ţák začal počítat správně (správně upravil sloţený zlomek na násobení zlomků) a jmenovatele zlomků vynásobil. Pak jeho postup začíná být matoucí, jelikoţ čitatele zlomků rozšířil, jako kdyby chtěl zlomky sčítat, a ve výsledku čitatele stejně vynásobí: (G) 7.6 Úloha 6 Tuto slovní úlohu jsem do testu vybírala s úmyslem, aby se jí povedlo vyřešit co největšímu počtu ţáků. Úloha byla primárně určena pro řešitele soutěţe Matematický klokan 20 obtíţnost kategorie Klokánek měla odpovídat znalostem ţákům ve čtvrté páté třídě. Při řešení mohli ţáci vyuţít svoji představivost nebo si danou situaci ilustrovat obrázkem. Zadání 6) Na oslavě byl kaţdý ze dvou shodných dortů rozdělen na 4 shodné díly. Poté byl kaţdý z dílů ještě rozdělen na 3 stejné dílky. Takový dílek dostal kaţdý z účastníků oslavy a 3 dílky ještě zbyly. Kolik lidí bylo na oslavě? Bodování Ţáci mohli celkem získat 4 body: 2 body za postup při zjištění počtu dílků dortu, bod za výpočet výsledku a bod za odpověď. 76

77 Počet ţáků (%) Tabulka s výsledky Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Celkem ţáků Počet bodů Počet ţáků s danými body Průměrný počet b. 2,63 3,35 3,97 3,79 Úspěšnost při řešení 65,8 % 83,8 % 99,3 % 94,8 % 20% 00% 80% 60% 40% 20% 0% Zastoupení ţáků s danými body A 47,4% 5,8% 0,5% 5,3% 2,% 7.B 73,9% 8,7% 0,0% 3,0% 4,3% 2.A8 96,8% 3,2% 0,0% 0,0% 0,0% 2.B8 93,9% 0,0% 0,0% 3,0% 3,0% Šestou úlohu vyřešilo bezchybně 6,9% ţáků ZŠ (26 ţáků ze 42) a 95,3% ţáků osmiletého gymnázia (6 ţáků z 64). Tato slovní úloha tedy podle mých předpokladů nečinila ţákům větší obtíţe. Nejlepšími řešiteli byli ţáci 2.A8 osmiletého gymnázia. Oproti ostatním třídám byli výrazně nejneúspěšnějšími řešiteli ţáci 7.A ZŠ. Ţákovská řešení Úlohu ţáci řešili aţ na vyjímky úspěšně. Něktěří ţáci si pomohli více či méně zdařilým obrázkem, jiní se snaţili dojít ke správné odpovědi pouze přes výpočet např , 83 24, Následující tabulka uvádí počet ţáků, kteří šestou úlohu řešili s obrázkem nebo bez obrázku (ilustrace situace popsané v zadání úlohy): Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Celkem ţáků Řešení s obrázkem Řešení bez obrázku

78 Správná řešení Z výše uvedené tabulky (Tabulka s výsledky pro šestou úlohu) vyplývá, ţe šestá úloha nedělala ţákům osmiletého gymnázia větší problémy. Na ZŠ tuto úlohu řešilo úspěšně přibliţně 60% ţáků (5 ţáků ji neřešilo vůbec). (ZŠ) (G) U některých správných řešení jsem chápala myšlenkový pochod ţáků, avšak výpočet počtu dílků dortu nebyl zcela matematicky v pořádku: (ZŠ) Chybná řešení Dva ţáci základní školy a dva ţáci osmiletého gymnázia postupovali při řešení úlohy správně, zapomněli však, ţe na oslavě byly dorty dva: 78

79 (ZŠ) (G) Několika ţákům činilo potíţe nakreslit si ilustrační obrázek k dané situaci: (ZŠ) (ZŠ) 7.7 Úloha 7 Sedmou úlohu jsem převzala z učebnice matematiky pro 7. ročník od autorů Odvárko O. a Kadleček J. (nakladatelství Prometheus). Daná úloha měla prověřit, jak se v takovéto typové slovní úloze ţáci orientují a zda jsou schopni vypočítat hodnotu části z určitého celku. 79

80 Počet ţáků (%) Zadání 7) Jirka si šetří na horské kolo. To, které si vyhlídl, stojí 6000 Kč. Má uspořenou teprve čtvrtinu. Kolik korun musí ještě ušetřit? Bodování Ţáci mohli celkem získat 3 body: bod za výpočet hodnoty čtvrtiny z celku (z ceny kola), bod za výpočet výsledku (kolik korun musí ještě Jirka ušetřit) a bod za odpověď. Tabulka s výsledky 20% 00% 80% 60% 40% 20% 0% Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Celkem ţáků Počet bodů Počet ţáků s danými body Průměrný počet b. 2, 2,22 2,87 2,94 Úspěšnost při řešení 70,3 % 74 % 95,7 % 98 % Zastoupení ţáků s danými body Sedmou úlohu vyřešilo bezchybně 6,9% ţáků ZŠ (26 ţáků ze 42) a 95,3% ţáků osmiletého gymnázia (6 ţáků z 64). Nejúspěšnějšími řešiteli byli ţáci 2.B8 osmiletého gymnázia. Nejméně úspěšnými byli ţáci 7.A ZŠ. U této úlohy je zajímavé, ţe obě paralelní třídy (7.A a 7.B, 2.A8 a 2.B8) dosáhli téměř stejné úspěšnosti. Z výsledků úlohy by se tedy dalo usoudit, ţe se opravdu jedná o typovou popř. vzorovou slovní úlohu, se kterou se ţáci všech čtyř tříd jistě setkali A 63,2% 0,0% 2,% 5,8% 7.B 60,9% 3,0% 3,0% 3,0% 2.A8 93,5% 0,0% 6,5% 0,0% 2.B8 97,0% 0,0% 3,0% 0,0% 80

81 Ţákovská řešení Správná řešení (G) (ZŠ) Někteří ţáci úlohu řešili aniţ by si předem sestavili stručný zápis úlohy - co je dáno, co se má vypočítat apod. Počet ţákovských řešení bez zápisu udává následující tabulka: Chybná řešení Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Bez zápisu V kaţdé třídě alespoň jeden ţák napsal odpověď: Jirka musí ještě ušetřit 500Kč. Tato chyba mohla být způsobena nepozorným čtením textu zadání úlohy. Ţáci mohli také danou slovní úlohu vnímat ve zjednodušené podobě - kdyţ v zadání úlohy rozpoznali zlomek jako číselný operátor (čtvrtina) a číslo (6000 Kč) a určovali pouze část (čtvrtinu) z celku (z ceny kola). Následující tabulka uvádí četnost tohoto chybného řešení: Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Musí ušetřit 500 Kč. 2 (G) 8

82 U dvou ţáků (ţák ZŠ a ţák osmiletého gymnázia) se objevil chybný úsudek, ţe 4 z 6000Kč jsou 2000 Kč: (G) 7.8 Úloha 8 Osmou úlohu jsem převzala z učebnice matematiky pro 7. ročník od nakladatelství Prodos (autor J. Molnár). Úloha je poněkud netradiční. Ţáci si museli zadání pořádně 9 přečíst, aby si uvědomili, ţe údaj 70 cm neodpovídá uvedeným šály. 6 Zadání 8) Petra plete tatínkovi šálu. Jak dlouhá bude šála, má-li upleteno 70 cm a chybí 9 ještě. šály? 6 Bodování 7 Ţáci mohli celkem získat 4 body: bod za zjištění, ţe Petra má nyní upleteno 6 šály, coţ odpovídá 70 cm; bod za výpočet délky 6 šály (= 0 cm); bod za výpočet 6 délky celé šály ( 60 cm) a bod za odpověď. 6 Tabulka s výsledky Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Celkem ţáků Počet bodů Počet ţáků s danými body Průměrný počet b. 2,35 3,52 2,94 Úspěšnost při řešení 66,7 33, ,5 82

83 Počet ţáků (%) Zastoupení ţáků s danými body 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 0% 0% A 3,6% 0,0% 3,6% 0,5% 26,3% 7.B 2,7% 0,0% 0,0% 47,8% 30,4% 2.A8 83,9% 0,0% 3,2% 9,7% 3,2% 2.B8 63,6% 0,0% 3,0% 33,3% 0,0% Osmou úlohu vyřešilo bezchybně 26,2% ţáků ZŠ ( ţáků ze 42) a 73,4% ţáků osmiletého gymnázia (47 ţáků z 64). Nejúspěšnějšími řešiteli byli ţáci 2.A8 osmiletého gymnázia. Nejméně úspěšnými byli ţáci 7.B ZŠ. U této úlohy se projevily patrné rozdíly v úspěšnosti jak mezi ţáky ZŠ a osmiletého gymnázia, tak rozdíly mezi paralelními dvojicemi třídy (7.A x 7.B, 2.A8 x 2.B8). Z předchozího grafu je zřejmé, ţe tři body nezískal ţádný z ţáků. Je to dáno tím, ţe pokud uţ ţák danou úlohu správně vyřešil, nezapomněl k ní připsat i správnou odpověď. Ţákovská řešení S touto slovní úlohou měli ţáci největší potíţe. Nekteří ţáci ZŠ ji neřešili: Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Celkem ţáků Neřešilo Při řešení této slovní úlohy mohl ţákům pomoci její stručný zápis shrnutí hlavních informací, které získali ze zadání. Avšak jak uţ tomu napovídá předchozí úloha, ne všichni ţáci si zápis napsali. Je ale pravdou, ţe pokud si ţáci přečetli zadání úlohy bez porozumění a bez porozumění si vytvořili i zápis, ani ten jim při řešení příliš nepomohl. Následující tabulka uvádí počet řešených úloh a počet řešení bez zápisu: Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Úlohu řešilo Bez zápisu

84 Správná řešení (G) (ZŠ) Chybná řešení Někteří ţáci si důsledně nepřečetli zadání slovní úlohy a odpovídali na otázku: Kolik šály ještě chybí uplést? Někteří ţáci odpovídali na správnou odpověď, svůj výpočet však nedovedli do zdárného konce, a tak odpovídali chybně: Třída 7.A 7.B 2.A8 2.B8 Celkem ţáků Řešilo Odpověď Chybí uplést. 3 4 Odpověď Šála bude dlouhá 90cm (ZŠ) Řešení ţáků základní školy bylo více chaotické a nepřehledné neţ řešení ţáků osmiletého gymnázia. Někteří ţáci nedokázali správně roztřídit údaje uvedené v úloze a bez rozmyslu tyto údaje začali sčítat, násobit či dělit. Za kaţdou cenu se snaţili něco vypočítat: 84

85 (ZŠ) (ZŠ) (ZŠ) (ZŠ) 85

86 (ZŠ) (ZŠ) 7.9 Testování hypotézy Didaktický test na zlomky byl zadán dvěma skupinám ţáků. První skupinu tvoří 42 ţáků 7. ročníku FZŠ a MŠ Holečkova 0, Olomouc. Druhou skupinu ţáků tvoří 64 ţáků 2. ročníku osmiletého Slovanského gymnázia, Pasteurova 9, Olomouc. V souvislosti s vyhodnocením testu jsem formulovala věcnou hypotézu: H V : Rozhoduji, zda mezi výsledky dvou skupin ţáků v didaktickém testu na zlomky jsou rozdíly. Za účelem ověření hypotézy pomocí statistických metod jsem dále formulovala statistické hypotézy (nulovou a alternativní): H 0 Mezi výsledky ţáků v obou skupinách nejsou statisticky významné rozdíly. H A Mezi výsledky obou skupin ţáků jsou statisticky významné rozdíly. Pro testování hypotézy pouţiji neparametrický statistický test U-test Manna a Whitneyho pro větší skupiny mohu pouţít v případech, kdy chci rozhodnout, zda dva výběry mohou pocházet ze stejného základního souboru, tj. zda mají stejné rozdělení četností. 86

87 Pomocí U-testu ověřím, zda jsou mezi výsledky daných dvou skupin ţáků v didaktickém testu statisticky významné rozdíly. Ověření hypotézy: V tabulce (Příloha č. 2) jsou uvedeny výsledky obou skupin seřazené podle velikosti a jednotlivým výsledkům je podle velikosti přiřazeno pořadí. Zvolená hladina významnosti 0, 05. Testové kritérium U (resp. U ): n ( n ) 42(42 ) U n n2 R , n2 ( n2 ) 64(64 ) U n n2 R , n = četnost první skupiny (Z) n 2 = četnost druhé skupiny (G) R = součet pořadí v první skupině (Z) R 2 = součet pořadí v druhé skupině (G) Testovým kritériem je menší z obou vypočítaných hodnot, tj. U 656. U-test je vhodný zejména pro testování menších skupin (do 20). Mann a Whitney dokázali, ţe pro velké skupiny (větší neţ 20) má testové kritérium přibliţně normální rozdělení. Nulovou hypotézu lze potom testovat pomocí normované normální veličiny: u n n2 U 2 n n2 ( n n ) (42 64 ) 2 4,44 Vypočítanou hodnotu u srovnáme s kritickou hodnotou u, 96 0,05 pro hladinu významnosti 0,05. Protoţe vypočítaná hodnota u je větší neţ hodnota kritická pro hladinu významnosti 0,05, odmítáme nulovou hypotézu a přijímáme hypotézu alternativní. 40 Mezi výsledky obou skupin ţáků jsou statisticky významné rozdíly. 40 CHRÁSKA, M. Metody pedagogického výzkumu, s

88 Jestliţe se ve srovnávaných skupinách některé hodnoty opakují, můţe být vypočítaná hodnota u poněkud zkreslená. V těchto případech se doporučuje počítat normovanou normální veličinu podle upraveného vzorce: 4 u n n U 2 3 n n2 n n n ( n ) r r 2 u =korigovaná absolutní hodnota normované náhodné veličiny n n n 2 r = počet hodnot, které se opakují Následující tabulka obsahuje počet hodnot, které se opakují (r) a hodnoty pomocného výpočtu 3 r r : 2 Hodnota Počet opakování r r Hodnota Počet opakování r 3 r 2 3 r r , , , , , Potom: 3 r r 2 862,5 u n n2 U 2 3 n n2 n n n ( n ) 2 r 3 r ,5 06(06 ) 2 4,78 4 CHRÁSKA, M. Metody pedagogického výzkumu, s

89 Procentuální úspešnost Výsledky obou výpočtů se příliš neliší a vedou ke stejnému závěru. Mezi výsledky vzorku ţáků dvou tříd 7. ročníku základní školy Holečkova a vzorku ţáků dvou tříd 2. ročníku osmiletého Slovanského gymnázia jsou statisticky významné rozdíly a jak vyplývá z hodnocení a analýzy ţákovských řešení v didaktickém testu byli úspěšnější ţáci Slovanského gymnázia. 7.0 Závěr empirické části Následující tabulka udává procentuální úspěšnost a průměrný počet bodů, kterého dosáhli ţáci první (ZŠ) a druhé (G) skupiny v jednotlivých úlohách: Příklad č./max. bodů Celkový průměr ZŠ Úspěšnost Celkový průměr G Úspěšnost./3 b.,96 65,3 % 2,54 84,7 % 2./2 b.,56 78 %,73 86,5 % 3./ 3b. 2,27 75,7 % 2,93 97,7 % 4./ b. 0,89 89 % 0,95 95 % 5. A)/ 4b. 2,76 69 % 3,38 84,5 % 5. B)/ 5b. 3,4 62,8 % 4,4 82,8 % 5. C)/ 3b.,75 58,3 % 2,8 72,7 % 6./ 4b. 2,99 74,8 % 3,88 97 % 7./ 3b. 2,7 72,3 % 2,9 97 % 8./ 4b.,68 42 % 3,23 80,8 % Procentuální úspěšnost ţáků v jednotlivých úlohách uvádím pro lepší přehlednost ještě v následujícím sloupcovém grafu: 20 Úspěšnost ţáků v jednotlivých úlohách ZŠ G A) 5.B) 5.C) Úloha č. Z tabulky a z grafického znázornění úspěšnosti ţáků v jednotlivých úlohách vyplývá, ţe ţáci základní školy byli nejúspěšnější v úloze č. 4 (rozšiřování zlomku) a největší potíţe pro ně představovala úloha č. 8 (slovní úloha). 89