NUMERICKÁ ANALÝZA ŠÍŘENÍ SVĚTELNÝCH PAPRSKŮ V IZOTROPNÍM OPTICKÉM PROSTŘEDÍ A Volfová J Nová ČVUT v Paze Fala savebí aea fyzy Čláe se zabývá aalýzo půcho papsů obecě ehomogeím zoopím opcým posřeím V pác jso zvoley olšé ypy mecých meo po řešeí feecálí ovce paps a yo meoy jso vyžy po řešeí éo ovce a zvoleých přípaech ehomogeího posřeí Výsley mecých meo byly vzájemě poováy a byla éž poveea vzalzace půcho paps zvoleým posřeím s vyžím výpočeího posřeí MATLAB Úvo V pax se lze velm časo sea s opcy ehomogeím posřeím ve eém se ex lom měí s poloho a papsy íž obecě ejso přímam jao je om v opcy homogeím posřeí ale obecým posoovým řvam Tao vlasos posřeí se v echcých aplacích pojevje bď egavím způsobem ebo je aopa po čé aplace s výhoo vyžíváa Naposo ejběžějším a velm ůležým přílaem opcy ehomogeího posřeí je vzch Iex lom vzch př aé vlové élce svěla závsí a emoyamcých savových paameech v jeolvých boech poso a a jeho chemcém složeí Uveeá závslos se epřízvě pojevje zejméa opcých měřcích a zobazovacích přísojů a meo Napříla geoecých měřeí je o pováě složé oečí výpočy po zísáí spávých hoo měřeých vzáleosí úhlů apo V sočasé obě se po měřeí v žeýsé geoéz savebcví a sojíesví požívají převážě bezoaí opcé měřící meoy a jejchž zálaě byla zosováa řaa přísojů jao apř eooly velačí přísoje laseové sysémy a Tyo měřící přísoje jso založey a přepola že svělo se šíří posřeím přímočaře a eochází ovlvňováí jeho půcho amosféo Poo je é chceme-l osáho čé přesos měřeí povés aalýz vlv opcy ehomogeího posřeí ve eém se měřeí sečňje a přesos pováěého měřeí Užím feecálí ovce paps lze poom povés počíačovo smlac poces měřeí v aém mísě a přeem č za jaých pomíe lze osáho požaovaé přesos měřeí Ncméě vhoě zvoleé posoové závslos ex lom opcého posřeí se aopa s výhoo vyžívá v oblas gaeí opy e jso aové opcé pvy požíváy po specalzovaé účely apř jao gaeí opcá vláa č čočy Úolem éo páce bylo poveeí mecé aalýzy půcho papsů ehomogeím zoopím opcým posřeím V pác byly zvoley olšé ypy mecých meo po řešeí feecálí ovce paps a yo meoy byly požy po řešeí éo ovce a zvoleých přípaech ehomogeího posřeí Výsley meo byly vzájemě poováy a byla éž poveea vzalzace půcho paps zvoleým posřeím s vyžím výpočeího posřeí MATLAB Dfeecálí ovce paps Pole Maxwellovy eleomagecé eoe je svělo eleomagecé vlěí eé lze popsa pomocí zv vlové ovce [-] U x y z U x y z v jež je zálaí ovcí po šířeí vl v poso V ovc fce U x y z chaaezje vlové pole v poso a čase v je ychlos šířeí vlěí v aém posřeí a je čas V přípaě ové moochomacé vly má fce U x y z áslející va
Ux yz ω τ Ax yze e Axyz je ampla a ϕ ω τ fáze vlěí Plochy osaí fáze ϕos azýváme vloplochy V zoopím opcém posřeí jso papsy omálam vloploše Za čas τ azí svěelý ozch šířící se v posřeí o ex lom ychlosí v áh L Plaí ey L L S τ v c c e c je ychlos šířeí vlěí ve va Dosaíme-l za τ o vzah poom obžíme Sxyz ω c Ux yz Ax yze Fce Sxyz se obvyle azývá chaaesco fcí esp eoálem [] Po fáz vlěí ey plaí Sx yz ϕ ω c Jeslže ve vzah beme považova ϕ os poom ám eo vzah ává časovo změ va a polohy opcé vly Považjeme-l omě oho aé čas za osaí j ϕos os poom je ovcí vloplochy po aé hooy ϕ a Jso-l ey hooy ϕ ω a c osaí msí bý pole hooa S os Plochy efovaé ovcí Sxyz os jso ey oožé s vloplocham Položíme-l ve vzah ϕ os poé osáváme feecací ohoo vzah S c Nechť začí Σ vloploch v čase V čase zajme vloplocha v poso poloh Σ Šířeí svěla se ěje pole přepolaů geomecé opy ve smě omál vloplochám Nechť LL je jea z ěcho omál Ozačíme-l L eoečě malo áh eo svělo azlo mez vloplocham Σ a Σ za čas osáváme c L v S L Ja jsme s vša jž říve řel važjeme papsy jao omály vloploše Je ey S/L evací ve smě omály a plaí po í vzah S L ga S esp ga S s e s je ečý veo paps Jeocho úpavo zísáme vzah S x S y S z 5 po eoálovo ovc [] eá je zálaí ovcí geomecé opy Eoál S má fameálí výzam př vyšeřováí šířeí vloploch posřeím a př jejch asfomac př přecho vlěí ozhaím vo ůzých posřeí Přechozí ovc je možo éž ovo ůzým jým způsoby apř přímo z Maxwellových ovc ebo z Femaova pcp [-]
Papse se efje jao posoová řva jejíž eča v lbovolém boě řvy má smě Poygova veo j je olmá a vloploch S os Po šířeí paps ehomogeím zoopím posřeím lze z eoálové ovce pomocí zámých pavel veoového a feecálího poč ovo [-] s s Tao ovce se azývá ovcí paps šířícího se opcy ehomogeím zoopím posřeím o ex lom Rovc paps můžeme přepsa o jého va a sce zaveeím ové poměé jý paame řvy eý jž eí obloem sbscí s Rovce pa be mí va g 7 Přechozí feecálí ovc popsjící půcho paps zoopím posřeím je možé vyží po pacé moelováí šířeí papsů aovým opcým posřeím Rovc je možo řeš bď aalycy ebo mecy Aalycé řešeí feecálí ovce paps příla Aalycé řešeí ovce paps v zoopím posřeí je možo aléz poze po ěeé maemacy jeoché posoové závslos ex lom posřeí Po osaí přípay y by výpoče aalycého řešeí byl přílš složý ebo přímo emožý lze poží mecých meo Avša ež se psíme o řešeí pomocí mecých meo je obé mí přesav aol jso yo meoy přesé a efeví po poží v ějaém výpočeím sofwa Je sce možé poží apříla je z ejzálaějších meo zv Eleov meo avša poče eací osažeí požaovaé přesos by mohl bý velm vysoý a ey po výpočeí sofwae zbyečě zaěžjící esp velos o zvoleého meoy by byla zbyečě malá Nasííme s ey více možých meo a jejch efev a přesos ásleě zhooíme pole aalycého řešeí Koéí přípa eý po eo poblém požjeme be zv Lebgova čoča [] Lebgova čoča je přípa specálí lové čočy z ehomogeího zoopího maeál jejíž posoové ozložeí hooy ex lom je sfécy symecé j plaí 8 C δ R e xyz je polohový veo C je hooa ex lom ve sře čočy R je polomě lové čočy a δ je oefce eý vyjařje úbye ex lom směem o sře čočy jejím oajům Po gae ozložeí ex lom vypočeme δ K R e jsme ozačl K δ / R Poom feecálí ovce paps 7 abývá v ašem přípaě va K 0 9 což je obyčejá homogeí feecálí ovce hého řá s osaím oefcey [5] jejíž řešeí lze aléz ve va
α Ce α Ce C C C C C C C 0 C e α ± K jso ořey zvchaaescé ovce příslšé aé homogeí feecálí ovc Požjeme-l obře zámého Eleova vzah [5] e ± K poom zísaé řešeí můžeme zapsa jao cos K ± s K C C cos K C C s K AsQcos K AcosQs K As K Q AK cos K Q e A A A Q ϕ ϕ A ϕ jso veoy osa Beme-l chí zjs jao řv v poso přesavje přechozí záps řešeí msíme vyloč paame z přechozích vzahů Zísáme a řv popsao ovcí z A x y s ϕ ϕ s ϕ ϕ s ϕ ϕ A A což je obecý va ovce elpsy v poso V přípaě že papse be pocháze ovo x-y z 0 poom be mí elpsa áslející va x y x y s ϕ ϕ cos ϕ ϕ A A A A a hlaví osa éo elpsy be aočea vůč ose x o úhel A A ϕ ϕ a ϕ cos A A Jao příla s yí vypočeme řešeí feecálí ovce paps po Lebgov čoč za počáečích pomíe x y 00 x R 0 0 0 0 0 z0 0 0 0 y0 c a K Dosazeím ěcho počáečích pomíe o vzahů po sořace x a y osáváme Úpavo přechozích vzahů obžíme A 0 A s K 0 Q 0 AK cos K0 Q x0 / K aca Kx0 ϕ A y0 ϕ π/ Přecházející vzahy ám ávají aalycé řešeí ovce paps po eo specálí přípa Na ob je zázoě cho papsů v Lebgově čočce v přípaě opa ovoběžého svaz papsů vypočeý pole zísaých vzahů 0
Ob: Cho svaz papsů Lebgova čoča a jejch počáečí poloha Nmecé řešeí feecálí ovce paps V éo čás páce se zaměříme a pops a aalýz vybaých jeooových mecých meo po řešeí ovce paps v zoopím posřeí Jeolvé meoy jso lsováy a veeém příla posoového ozložeí ex lom opcého posřeí eý byl aalycy vyřeše v přechozí čás Jso ze aalyzováy poze jeooové mecé meoy meoa Tayloova ozvoje a Rge-Kovy meoy po řešeí obyčejých feecálích ovc ve veoovém va Meoa Tayloova ozvoje po řešeí ovce paps Pví meoa [-0] spočívá v om že se hleá řešeí feecálí ovce 7 ve va Tayloovy řay j 0 Po směový veo paps a jeho evace lze ovo v ašem přípaě áslející vzahy: K L ] [ K M
Omezíme-l se v Tayloově ozvoj a čley o čvého řá poom mecé řešeí ovce paps má áslející va K L M K L M Čím přesější meo bychom vyžaoval ím bychom msel zísáva vyšší spě evací polohového veo pole paame Posp by byl aalogcý Po ejjeošší přípa Tayloova ozvoje zv Eleova meoa osáváme mecé řešeí ve va K K Př mecém výpoč je o č hooy fce ex lom jejího gae a vyšších posoových evací Přesos popsaých mecých meo závsí a volbě o změy paame Čím meší zvolíme o hoo ím vyšší přesos výpoč osáheme ovšem za ce elší výpočeí oby Nevýhoy meo Tayloova ozvoje spočívají přeevším v om že po jejch aplac msíme mě vypočía hooy příslšých evací což může bý v moha pacých přípaech vysoce výpočeě áočé Rge-Kovy meoy po řešeí ovce paps Nyí s popíšeme olšý yp mecých meo po řešeí feecálí ovce paps eé ovšem vycházejí z poobé myšley jao meoa Tayloova ozvoje Tyo meoy se azývají Rge-Kovy meoy a v pax jso mez jeooovým meoam řešeí obyčejých feecálích ovc časo vyžíváy [-0] Po áš přípa veoové feecálí ovce hého řá moho bý zvoley v zásaě va příspy Pví přípa spočívá v řešeí sosavy vo obyčejých ovc pvího řá aplací lascých Rge-Kových meo esp mofací ěcho algomů a veoový přípa a ovozeí specálích meo přímo po feecálí ovc hého řá Z eoe obyčejých feecálích ovc [5-0] je zámo že ažo veoovo feecálí hého řá lze vhoo sbscí převés a vě veoové feecálí ovce řá: g Řešeí veeé sosavy feecálích ovc lze poé hlea ěeo ze zámých mecých meo po obyčejé feecálí ovce Požjeme-l lascé Rge-Kovy vzahy [-] a poveeme mecé řešeí sejým způsobem po obě ovce pvího řá poze oefcey v ěcho vzazích se změí a veoy vzhleem veoovém řešeé feecálí ovce Nmecé řešeí s vyžím lascé Rge-Kovy meoy řá be vypaa ásleově: m g m / m g / m / m g / m m g m m m m
Obobým způsobem lze pospova ále meo jého řá Tj lze poží ovozeé algomy meo yp Rge-Ka a převés je o veoového va Ncméě př pacých výpočech se azje že alší zvyšováí řá meo vyšších řáů jž eí a efeví ja je om algomů žších řáů př míém zvýšeí přesos výpoč ochází e začém zvyšováí výpočeí áočos Uveeé Rge-Kovy algomy po sosav vo ovc lze ješě přepsa po přímé poží po řešeí feecálí ovce hého řá Tím můžeme ále opmalzova výpočeí algoms Napříla po lasco meo Rge-Ka řá a zísáme g g / g / / g / Obobě bychom mohl zísa vzahy po jé řáy Rge-Kových meo Jým způsobem zísáí algomů po přímé poží a řešeí veoové feecálí ovce hého řá může bý vyží specálích meo yp Rge-Ka [] Napříla po meo řá osáváme g g / / 8 g / /8 g / Je samozřejmě možé ovo velé možsví výpočeích algomů meo Rge-Ka ůzého řá Po aalýz v éo pác byly ovozey a požy Rge-Kovy meoy hého až páého řá eé jso př pacých výpočech ejčasěj žíváy Aalýza mecých meo po řešeí ovce paps Přesos popsaých mecých meo závsí a volbě o změy paame Čím meší zvolíme o hoo ím vyšší přesos výpoč osáheme ovšem za ce elší výpočeí oby Uveďme s ze výsley aalýzy po přípa ehomogeího zoopího posřeí eý jsme zmíl v přechozí čás éo páce Meoy byly poováváy a zálaě osažeé maxmálí absolí hooy chyby E a velos eačího o Hooa chyby je počíáa jao ozíl přesého aalycého a přblžého řešeí Půběh závslos absolí hooy chyby př velos o 0 po poovávaé meoy Rge-Ka -5 řá ozačey RK-RK5 Eleovy meoy ozačea EUL a meoy Tayloova ozvoje spě T je zobaze a ob - 7
Ob : Hooa chyb v Eleově meoě Ob : Hooa chyb v Rge-Kově meoě řá Ob : Hooa chyb v Rge-Kově meoě řá
Ob 5: Hooa chyb v Rge-Kově meoě řá Ob : Hooa chyb v Rge-Kově meoě 5 řá Ob 7: Hooa chyb ve smě sořaých os v meoě Tayloova ozvoje spě
Velos maxmálí absolí hooy chyby E v závslos a velos egačího o je po jeolvé važovaé meoy ázáa v ablce Dále bylo poveeo sováí jeolvých mecých algomů pole časové áočos výpoč a sejý poče oů N Relaví časovo áočos meo v poceech je veea v ablce přčemž Eleova meoa je báa jao zála 00% Tab: Maxmálí absolí hooa chyby mecých meo Nmecé meoy o RK RK RK RK5 EUL T 00 e-005 e-008 87e-0 e-0 78e-00 77e-005 00 9e-005 5e-007 e-009 70e-0 5e-00 7e-00 00 e-00 8e-00 70e-009 5e-0 e-00 0e-00 005 58e-00 8e-00 5e-008 9e-00 8e-00 e-00 007 e-00 e-005 0e-007 7e-009 5e-00 0e-00 00 e-00 5e-005 8e-007 e-008 7e-00 8e-00 05 5e-00 e-00 e-00 7e-007 e-00 e-00 00 9e-00 50e-00 e-005 5e-007 e-00 59e-00 5 Závě Tab: Relaví časová áočos meo % Nmecé meoy RK RK RK RK5 EUL T 7 55 8 00 V příspěv byl sčě asíě eoecý pops aalýzy půcho papsů ehomogeím zoopím opcým posřeím V pác byly zvoley olšé ypy mecých meo po řešeí feecálí ovce paps a yo meoy jso vyžy po řešeí éo ovce a zvoleém přípa opcého posřeí sfécá čoča z gaeího opcého maeál Výsley mecých meo byly vzájemě poováy a byla poveea vzalzace půcho paps zvoleým posřeím s vyžím výpočeího posřeí MATLAB Leaa [] AMš: Aplovaá opa 0 - Geomecá a vlová opa Vyavaelsví ČVUT Paha 000 [] MBo EWolf: Pcples of opcs h e Pegamo Pess New Yo 980 [] BEASaleh CMTech: Zálay fooy Mafyzpess Paha 99 [] RKLebg: Mahemacal heoy of opcs Uvesy of Calfoa Pess 9 [5] KReoys a ol: Přehle žé maemay Pomehes Paha 995 [] B PDěmovč I AMao: Zálay mecé maemay SNTL Paha 9 [7] ARalso: Zálay mecé maemay Acaema Paha 978 [8] PPřyl: Nmecé meoy maemacé aalýzy Nal ech l Paha 985 [9] EVáse: Nmecé meoy Nal ech l Paha 987 [0] EVáse: Zálay eoe mecých meo po řešeí feecálích ovc Acaema Paha 99 [] MAbamowz IASeg: Haboo of Mahemacal Fcos wh Fomlas Gaphs a Mahemacal Tables Dove New Yo 95 Aéla Volfová FSv ČVUT v Paze Tháova 7 9 Paha emal: volfovaaela@sezamcz IgJří Nová PhD aea fyzy FSv ČVUT v Paze Tháova 7 9 Paha emal: ovaj@fsvcvcz