NUMERICKÉ MODELOVÁNÍ ZDIVA 1. Současný stav problematiky V současné době chybí přesné a obecně použitelné modely zdiva, které by výstižně vyjadřovaly jeho skutečné vlastnosti a přitom se daly snadno použít v praxi. Korektní popis jednotlivých složek cihel a malty je cílem zkoumání, experimentů a výpočtů. Provádět laboratorní měření u každého projektu je ovšem časově i finančně náročné, proto se jako výhodné řešení jeví prvotní kombinace experimentu a numerického modelu, který by se podle průběhu testování doladil tak, aby byl použitelných i v dalších případech, tentokrát už bez skutečného modelu. Pro získání komplexních výsledků je vhodné vytvářet jak modely ve velkém měřítku, na kterých se zkoumají velké celky zdiva, tak modely z malých vzorků nebo jen z jednotlivých materiálů. Při kontrole správnosti numerických modelů podle experimentálních měření se může uplatnit lineární i nelineární analýza konstrukce nebo její části. Nelineární výpočty se mohou využít jak při porušení podle mezního stavu únosnosti, tak při posouzení použitelnosti (vznik a vývoj trhlin, smršťování...), i když tato oblast je zatím z hlediska numerických simulací téměř neprobádaná. S ohledem na složité chování anizotropního zdiva není snadné zvolit vhodné numerické nástroje pro tvorbu věrohodného modelu. Zdivo je kompozit složený ze zdicích prvků (např. cihel) a malty. Vesměs existují dva základní principy pro modelování zdiva, které lze označit mikromodelování a makromodelování. Mikromodel znázorňuje samostatně jednotlivé cihly. Vzniká ovšem problém, jak vyřešit styčné plochy představující maltu mezi jednotlivými cihlami. Mikromodel může detailně reprezentovat skutečné složky zdiva; obvykle se jím řeší jen malý výřez zdiva, u kterého lze podrobně zkoumat chování cihel a malty. Tento model je vhodný spíše pro vědecké účely, v případě větších celků konstrukcí je nereálné vytvořit takto podrobný model, navíc musíme brát v úvahu příliš velký rozsah výpočtu. Makromodel je užitečnější pro praxi a projektanty. Přístup zde použitý je odlišný od detailního mikromodelu. Není už důležité přesné vyjádření rozhraní mezi cihlami, protože zdivo je znázorněno jako celek, jako kompaktní ortotropní materiál s příslušnou pevností v tlaku, tahu a ve smyku. Zájem se soustředí na celkové výsledné chování většího celku zdiva, které je často namáháno ve své nepružné oblasti. Makromodelování by mělo tedy co nejpřesněji postihovat fungování skutečné zděné konstrukce, použité nástroje musí ale zároveň umožnit jak snadnost při tvorbě modelu, tak rozumné nároky na operační paměť běžného počítače. Otázkou zůstává, jak zjistit nebo určit vhodné homogenizované vlastnosti modelu, které by co nejlépe odpovídaly chování skutečného zdiva. Existuje několik postupů či metod, kterými lze homogenizované vlastnosti získat, ale každá z nich má své nevýhody a obtíže.
V současné době se analýzy stavebních, tedy i zděných konstrukcí provádí nejčastěji pomocí numerických metod, a to převážně metodou konečných prvků. Metoda konečných prvků (MKP) se začala výrazněji rozvíjet od šedesátých let 20. století a nyní je na jejím principu založena řada počítačových programů využívaných ve stavařské praxi i ve výzkumu. K nejznámějším a nejčastěji využívaným softwarům patří např. ANSYS (www.ansys.com), Scia (www.scia-online.com/cs), Atena (www.cervenka.cz/products/atena) nebo RFEM (www.dlubal.cz/default.aspx). 2. Modelování a analýza zdiva Po celém světě pracují skupinky vědců, kteří se snaží nalézt univerzální a snadno použitelný model, jenž by mohl být uplatněn v běžné praxi. Existuje relativně velké množství přístupů či teorií, které byly s většími či menšími úspěchy vyzkoušeny jejich cílem je zformulovat účinné nástroje, které by spolehlivě předpověděly chování zdiva při a po porušení. Bohužel většina těchto postupů je zatím použitelná převážně pro akademické účely nebo je velmi náročná jak na čas potřebný pro modelování, tak na kapacitu počítače. Naprostá většina modelů využívá metody konečných prvků. Některé lineární i nelineární analýzy vcelku realisticky odpovídají skutečnému chování zdiva, zatím však není uspokojivě a plně znám např. způsob modelování po vzniku trhlin, po usmyknutí nebo po drcení. Obtížné je také modelovat vnášení předpětí do spínaných objektů, kdy navíc k modelům zdiva přibývá další materiál s odlišným chováním a s výraznými extrémy soustředěnými do malých ploch v místech kotevních desek. 2.1 Materiálový model Zdivo je anizotropní a heterogenní materiál, jehož základní složky cihly, resp. zdicí prvky, a malta mají různé složení a také odlišný způsob chování. Navíc se u posuzování stávajících konstrukcí přidává různorodost ve stupni opotřebení, druhu a množství poruch, použitém materiálu, což je u každé stavby individuální. Je proto obtížné sestavit vhodný model ať už jde o model respektující dvousložkovou charakteristiku zdiva, nebo o model s nahrazujícími homogenními vlastnostmi. Obtíže týkající se modelování zdiva souvisí s následujícími body: heterogenita, kompozitní materiál - naprosto odlišné materiálové charakteristiky a způsob chování jednotlivých složek zdiva (cihly/kámen a malta) rozdílnost vzájemných rozměrů (poměr tloušťky spár a rozměrů zdicích prvků) omezené rozměry malty (tloušťka vrstvy) různé druhy vazeb či geometrického uspořádání cihel různá vzájemná pevnost malty a cihel odlišná odezva v závislosti na směr či způsob namáhání konstrukce vzájemné působení mezi jednotlivými komponenty kvalita provedení i kvalita cihel a malty
okolní prostředí a vlivy Při podrobnějším rozboru je zřejmé, že o chování cihel, malty a o jejich vzájemném spolupůsobení vypovídají následující faktory: Mechanicko-fyzikální vlastnosti zdicích prvků např. pevnost a napjatost v tahu a tlaku, modul pružnosti, Poissonův součinitel, drsnost povrchu, nasákavost, vlhkost, objemová hmotnost, množství, tvar a rozměry otvorů aj. Mechanicko-fyzikální vlastnosti malty např. pevnost a napjatost v tahu a tlaku, modul pružnosti, Poissonův součinitel, dotvarování, přilnavost, kvalita provedení (rovnoměrné spáry se stejnou tloušťkou), přetvárné vlastnosti, množství zadržované vody aj. Konstrukční uspořádání např. geometrie a umístění jednotlivých cihel, výplň svislých spár, existence průběžné svislé spáry, vzájemný vztah mezi cihlou a maltou, rovnoměrné provedení spár aj. Zdicí prvky mají poměrně vysokou pevnost v tlaku, ale jsou obvykle velmi křehké. Chování cihel má v omezené oblasti zatěžování téměř lineární průběh. A to až do porušení, kdy se u tohoto materiálu může objevit křehký lom. Naproti tomu malta se chová podobně jako beton, takže při jejím modelování se často vychází z postupů zpracovaných pro analýzy betonových konstrukcí. V tlakové oblasti malta vykazuje nelineární chování už od velmi nízkých hodnot napětí, má relativně velkou duktilitu. Při namáhání tahem působí malta téměř lineárně, ale rychle dochází k rozvoji trhlin a tím i k poklesu vlastností materiálu. Kromě toho, že je nutné brát v úvahu výše zmíněné charakteristiky jednotlivých materiálů, je neméně důležité vhodně formulovat jejich vzájemný vztah na styčných plochách (třecí parametry), a také stanovit způsoby chování prvků po porušení. 2.2 Základní způsoby modelování Při výzkumu chování zděných konstrukcí již bylo vytvořeno množství nejrůznějších typů modelů, které můžeme rozdělit do několika skupin podle nejrůznějších kritérií. Nejčastěji jsou definovány tři základní strategie (Obr. 1) podle (Lourenco, 1996): A) detailní mikromodel: cihly i malta jsou modelovány jako dva odlišné materiály s jejich skutečnými rozměry i uspořádáním v konstrukci. Detailní mikromodel je užitečný pro lepší pochopení lokálního chování zdiva, pro modelování detailů, nebo může sloužit jako základ pro určování homogenizovaných vlastností. Berou se u něj v úvahu odlišné charakteristiky materiálů modul pružnosti, Poissonův součinitel a v ideálním případě i nepružné vlastnosti cihly a malty mohou být nadefinovány jako vstupní údaje. B) zjednodušený mikromodel: v modelu jsou použity rozšířené jednotky (bloky), které zahrnují cihlu a okolní maltové spáry; vlastnosti cihly a malty musí být zjednodušeny, je nutné vyřešit kontaktní plochy mezi jednotlivými bloky. Zjednodušený mikromodel je detailnímu částečně podobný, není ovšem tak přesný nejsou už zde totiž
uvažovány dva odlišné materiály. Styčné plochy rozhraní jsou umístěny do os maltových spár a vlastnosti obou materiálů jsou shrnuty do charakteristiky jakýchsi homogenních bloků. Geometrie ale odpovídá skutečnému uspořádání cihel. Největším problémem se stává určení vlastností rozhraní. C) makromodel: jednotlivé cihly, malta ani jejich rozhraní se neuvažují, model je tvořen homogenizovaným materiálem, u kterého je nutno určit jeho náhradní izotropní nebo anizotropní vlastnosti. Makromodel je tvořen jediným materiálem s homogenními vlastnostmi. Je nejméně náročný pro tvorbu modelů velkých konstrukcí i pro využití kapacity počítače. Tvoří často kompromis mezi přesností a efektivitou. Je ale nejméně přesný, neboť z něj není patrné uložení cihel, jejich rozměry, rozložení maltových spár apod. Důležitou úlohou je v tomto případě co nejpřesnější určení náhradních - homogenizovaných vlastností. Jednodušší verzí je přiřadit makromodelu izotropní vlastnosti, existuje ale také celá řada metod a teorií pro určení vlastností anizotropních, resp. ortotropních. Obr.1 Základní strategie pro modelování zděných konstrukcí: (a) detailní mikromodel; (b) zjednodušený mikromodel; (c) homogenní makromodel. Každý z těchto způsobů má své využití, výhody, nevýhody nebo omezení. Nelze tedy upřednostňovat mikromodel před makromodelem nebo naopak, může být ale výhodné vzájemně tyto modely kombinovat. 2.2.1 Mikromodely Detailní mikromodel sice vyjadřuje skladbu zdicích prvků nejpřesněji ze všech výše zmíněných modelů, ale je náročný jednak na výpočetní techniku, jednak je složité modelovat tímto způsobem větší části konstrukce nebo dokonce celou rozsáhlou stavbu. Tento model se často využívá hlavně pro akademické či vědecké účely, v praxi se uplatní jen jako vstupní model pro určení případných dalších vlastností. Zjednodušený mikromodel je složen z homogenních bloků, které zasahují přes rozměry cihly až do středu (osy) maltových spár obklopujících cihlu. V tomto modelu již nefigurují dva různé materiály, takže je nutné definovat vlastnosti bloku, který v sobě zahrnuje chování jak cihly, tak malty. Mnohem nesnadnější ovšem je správné určení vlastností rozhraní čili kontaktu dvou bloků (styčné plochy, případně linie nebo bodu). Právě na těchto kontaktních místech může dojít ke vzniku trhlin, ke smyku nebo drcení.
Obr. 2 Mechanismy porušení zdiva: (a) tvoření tahových trhlin v maltě; (b) usmyknutí; (c) svislé tahové trhliny v cihle; (d) diagonální trhliny v cihle; (e) drcení zdiva. Kontaktní prvky mezi jednotlivými bloky by v ideálním případě měly zahrnovat mechanismy porušení (Obr. 2), ke kterým u zdiva může dojít ve spárách (např. trhliny nebo usmyknutí v maltě), ve zdicím prvku (svislé tahové trhliny v cihle) nebo ve zdivu jako celku (drcení zdiva nebo vznik diagonálních trhlin v cihlách). Obvykle je obtížné najít takovou charakteristiku rozhraní, která by vystihovala všechny výše zmíněné poruchy. Dochází proto k mnohým zjednodušením, kdy se některý typ poruchy neuvažuje nebo se nahradí jednodušším schématem. 2.2.2 Makromodel a homogenizace zdiva Makromodel, který je vytvořen z homogenního materiálu, se dá s výhodou použít při modelování celých konstrukcí nebo jejich rozsáhlejších částí. U dlouhých zdí už je patrné rovnoměrné rozložení napětí, takže není nutné vykreslovat zvlášť každou cihlu nehledě na náročnost takového modelu. I přes všechna zjednodušení, která se u makromodelu zákonitě vyskytují, je tento typ modelu důležitý pro celkový přehled o působení napětí v celé konstrukci, pro zachycení interakcí mezi jednotlivými částmi konstrukce apod. Homogenní materiál makromodelu v jednodušších případech nerespektuje odlišné chování zdiva v různých směrech, model je pak ale výrazně zjednodušený. Většinou však existuje snaha o přesnější vyjádření ortotropie ve dvou přirozených směrech, ve kterých zdivo působí rovnoběžně a kolmo s ložnými spárami. V těchto dvou směrech má zdivo odlišnou pevnost, tuhost, třecí účinky, posuv podél rozevřených trhlin, nevratné tlakové deformace. Rozlišujeme makromodely s izotropními vlastnostmi s anizotropními (resp. ortotropními) vlastnostmi Makromodel (ať už 2D nebo 3D) je vytvořen jako kontinuum bez rozlišení základních materiálů cihel a malty. Tím se sice vyhneme řešení kontaktních ploch mezi jednotlivými prvky, ale vyskytuje se zde nový problém taková definice homogenního materiálu, aby jeho chování odpovídalo chování zdiva. V zásadě lze vyjít ze dvou základních přístupů pro tvorbu homogenního materiálu: použití konstitutivních vztahů, které reprezentují chování zdiva homogenizační proces vycházející z vlastností jednotlivých prvků (cihly a malty)
Konstitutivní vztahy model zdiva je přizpůsoben úpravou modelů pro beton; vychází se z předpokladu, že malta se chová podobně jako beton speciální modely vytvořené přímo na základě chování zdiva, snaží se postihnout nejen lineárně-pružné, ale i křehké chování zdiva: např. po dosažení poruchy se u zasažených elementů vypne reziduální tuhost a pevnost, nebo je definováno kritérium porušení s nulovou pevností v tahu Homogenizační techniky homogenizace zdiva může probíhat postupně (dojde nejprve ke sloučení vlastností v jednom směru nebo v jedné části konstrukce) nebo najednou (jedním krokem je přímo vytvořen homogenní materiál) na základě experimentálních měření a vyhodnocení velkého souboru vzorků se vytvoří empirické vztahy pro výpočet pevnosti nebo modulu pružnosti zdiva vytvoří se podrobný mikromodel s vlastnostmi jednotlivých složek a po jeho analýze se nadefinují vztahy pro pevnost zdiva, modul pružnosti apod.; (Lourenco, 1996) popisuje postupnou homogenizaci zdiva u dvojrozměrného modelu. V prvním kroku dojde k homogenizaci materiálu ve směru osy x, takže svislé spáry zaniknou. V dalším kroku se sloučí vlastnosti v ypsilonovém směru a dostáváme tak homogenní materiál bez svislých i ložných spár. Další varianta uvádí opačný postup nejprve se sjednotí vlastnosti ve směru osy y a pak teprve v x-ovém směru. Vzhledem k rozsahu většiny skutečných zděných konstrukcí je často vhodné analýzu statického působení rozdělit na dvě části: jednak na analýzu chování dílčích celků zdiva, kterou je třeba provádět na velmi podrobném modelu s respektování polohy a nelineárních vlastností jednotlivých zdicích prvků a malty, a jednak na analýzu relativně méně podrobného modelu celé konstrukce (nebo její podstatnější části), při které bude chování zdiva simulováno právě pomocí homogenizovaných vlastností, které se stanoví mimo jiné právě s pomocí předchozí podrobné analýzy. Výběr nejvhodnějšího modelu a určení ortotropních vlastností je vhodné zkombinovat s experimentem provedeným nejlépe na vzorcích konkrétní konstrukce, nebo lze požadované vlastnosti odvodit z mikromodelu, který se použije na malé části posuzované konstrukce pro prvotní numerické simulace, z nichž se pak použijí výsledky pro zjištění ortotropních vlastností. Literatura Lourenco, P. B. Computational strategies for masonry structures. Delft University Press, 1996
UKÁZKY MIKROMODEL: cihly + malta MAKROMODEL: homogenizované vlastnosti Průběhy svislých napětí mikromodel (před překročením pevnosti v tahu malty)