2.2.11 Slvní úlhy veucí na lineární rvnice II Přepklay: 2210 Př. 1: Jara stává zaměstnavatele kažý měsíc k stravenek v hntě 50 Kč. Zapiš výrazem klik peněz může utratit za běy: a) kažý měsíc, b) tent měsíc, pku mu ještě 5 stravenek zbyl z minuléh měsíce, c) kažý měsíc, pku se hnta stravenek zvýší 10 Kč, ) kažý měsíc, pku se hnta stravenek zvýší 10 Kč a jejich pčet se sníží 3. a) kažý měsíc 50 k ( hnta stravenky pčet stravenek ) b) tent měsíc, pku mu ještě 5 stravenek zbyl z minuléh měsíce 50 k + 5 c) kažý měsíc, pku se hnta stravenek zvýší 10 Kč 50 + 10 k = 60k ) kažý měsíc, pku se hnta stravenek zvýší 10 Kč a jejich pčet se sníží 3 50 + 10 k 3 = 60 k 3 Př. 2: Otec s ceru šli na výlet. Otcův krk měří 80 cm, cera je ještě malá a jeen krk má luhý puze 50 cm. Jak luhý byl výlet, kyž cera ušla tři tisíce krků více než tec. Pčet krků tce k Pčet krků cery k + 3000 Vzálenst, kteru ušli v Otec ušel v = Dcera ušla v = ( k + 3000) = ( k + 3000) = k + 1500 0,3k = 1500 1500 k = = 5000 Otec ušel 5000 krků. 0,3 v = = 0,8 5000 = 4000 Výlet byl luhý 4000 m. Peaggická pznámka: Nejčastější chyba je uveena v násleujícím příklau jak b a). Někteří stuenti spčítají puze pčet krků a zapmenu z něj vypčítat ušlu vzálenst. Př. 3: Násleující rvnice jsu neúspěšnými pkusy vyřešení přechzíh příklau. Pkus se je interpretvat a prav chyby, které se v nich vyskytují. a) 3000 k = k + 3000 = + b) 1
c) k 3000 v + + = ) 0,8 ( 3000) e) = + 3000 k + k + = v a) = 3000 + k Pkus je pbný výše pužitému řešení. Výrazy a k mají význam vzálenstí (élka krku * pčet krků) a nemůžeme je sčítat s krky správně = 3000 + k. b) = ( k + 3000) Opět pkus klasické řešení, prvnáním vzálensti, kteru ušel tec a cera. Chyba vznikla asi snahu uělat va krky najenu. Správně: = 0, 5k (tec ušel stejně jak cera) ( k ) = + 3000 (cera uělala 3000 krků víc) c) + k + 3000 = v Něklik chyb: Opět se sčítá vzálenst s krky jak v prvním přípaě. Navíc rvnice neppisuje realitu, vzálenst, kteru výletníci, ušli pčítá jak sučet vzálensti, kteru ušel tec, a vzálensti, kteru ušla cera (nesmysl), ke které navíc přičítá pčet krků. Spíše než pkus lgické vyřešení příklau, je sestavení libvlné rvnice, která bsahuje všechny úaje ze zaání. + k + 3000 = v ) Dbře napsaná rvnice ppisující špatný přepkla: vzálenst ušlá tcem + vzálenst ušlá ceru = élka výletu. Správná úvaha: vzálenst ušlá tcem = vzálenst ušlá ceru = élka výletu. = k + 3000 = v e) = + 3000 Zajímavý nápa, umžňuje určit rvnu élku výletu. v v Výraz určuje pčet krků, které ušel tec,výraz pčet krků cery v rvnici 0,8 nemůže vystupvat výraz 3000 (vzálenst ušlá ceru při 3000 krcích), musí tam být puze pčet 3000 krků. Vztah mezi pčtem krků tce a cery je brácený: k + 3000 = k + 3000 =. Peaggická pznámka: Přechzí příkla má svůj význam. Právě fakt, že stuenti sestavují rvnice zcela trženě jakéhkliýznamu a bez jakékliv kntrly, vee k tmu, že slvní úlhy řešit neumějí. Snažím se je vést k tmu, že nejůležitější je sestavvat rvnice ple reality a umět zkntrlvat význam kažéh výrazu v nich. Dalším vítkem je v pstatě fyzikální pravil, že sčítat je mžné puze stejné věci (vzálensti mezi sebu, krky mezi sebu, ale ne bjí hrmay). Př. 4: V maturitním rčníku jsu vě tříy. Ve tříě A z 25 stuentů neuělal maturitu 8 %. Celkvě v rčníku při maturitách neuspěl 12,5 % stuentů? Klik prcent 2
stuentů neuspěl u maturit ve tříě 4.B, jestliže ní chil 23 žáků? Pkus se najít řešení, ve kterém nebueš určvat pčty prpaajících žáků v bu tříách. Pčet žáků prpaajících v tříě A 25 0, 08 Pčet žáků prpaajících ve škle 48 0,125 Pčet žáků prpaajících v tříě B 23 x Stuenti prpaající ve škle = stuenti prpaající v 4.A + stuenti prpaající v 4.B. 48 0,125 = 25 0, 08 + 23 x 48 0,125 25 0,08 x = = 0,174 23 Ve tříě 4.B prpal 17,4% stuentů. Řešení přechzíh příklau využívá Zákn zachvání prpalíků: Pčet prpaajících stuentů ve škle se zachvává, ať už jej určujeme sčítáním za jentlivé tříy neb za celu šklu najenu. Př. 5: Naji jiné vyjáření Zákna zachvání prpalíků. Pčet prpalíků ve škle získáme sečtením pčtu prpalíků v jentlivých tříách. K prpane ve své tříě, prpaá i ve své škle. Sehnáním tří hrmay se pčet prpalíků nezmění. Prpalíků je stejně v jentlivých tříách hrmay jak v celé škle. Zákn zachvání prpalíků je speciálním příklaem zákna zachvání něčeh během ávání (smíchávání) věcí (látek) hrmay. V takvém přípaě sečteme mnžství pře smícháním a získané celkvé mnžství se rvná mnžství p smíchání. Peaggická pznámka: Přechzí příkla a všechny zbývající v tét hině, jsu pstaveny na tm, že sleujeme mnžství něčeh, c zůstává p celu bu stejné ( prpalíků v přechzím příklau, čistých kyselin v násleujících). T je lgický pstup a snažím se h stuentům přeat. Napak bjuji prti pužívání směšvacích rvnic neb křížvých praviel. Oblast jejich pužití je z hleiska typlgie příklaů malá (i kyž tam spaá většina chemických aplikací), příns z hleiska lgickéh přemýšlení neb schpnsti řešit slvní úlhy nulvý (neb spíš pbně jak u vzrců pr prcenta záprný, nebť sugerují stuentům přestavu, že je správně něc pčítat a nevěět prč). Př. 6: Smícháním 6 litrů 50% kyseliny ctvé a 3 litrů 8% kyseliny ctvé vznikl nvý rztk tét kyseliny. Urči jeh kncentraci. Kncentrace výslenéh rztku x Čistá kyselina v 1. rztku + čistá kyselina v 2. rztku = čistá kyselina ve výsleném rztku: 6 + 3 0, 08 = 9x 3 + 0, 24 = 9x 3, 24 = 9x x = 0,36 3
Výslený rztk má kncentraci 36%. Peaggická pznámka: Opět nejčastější chyba 6 + 3 0, 08 = x. Je třeba trvat na tm, aby rvnice měla význam. Př. 7: Klik kg 96% rztku kyseliny sírvé musíme přilít k 9 kg 8% rztku tét kyseliny, abychm stali její 60% rztk? Hmtnst přilévanéh 96% rztku... k Hmtnst výslenéh 60% rztku v Hmtnst 96% rztku + hmtnst 8% rztku = hmtnst výslenéh 60% rztku: k + 9 = v. Čistá kyselina v 96% rztku + čistá kyselina v 8% rztku = čistá kyselina ve výsleném 60 % rztku: + 9 0, 08 = 0, 6v. Dsaíme za v ruhé rvnice: + 9 0,08 = 0,6 9 + k + 0,72 = 5,4 + 0,6k 0,6k = 5, 4 0,72 0,36k = 4, 68 k = 13 Je třeba přilít 13kg 96% rztku kyseliny sírvé. Peaggická pznámka: Většina stuentů sestaví ihne rvnici 9 0,08 0,6( 9 k ) cž je samzřejmě v přáku. + = +, Př. 8: Klika gramy vy musíme zřeit 300g 40% kyseliny usičné, aby zřeěná kyselina měla kncentraci 15%? Mnžství přilité vy v Mnžství výslenéh rztku r Hmtnst 30% rztku + hmtnst vy = hmtnst výslenéh rztku: 300 + v = r. Čistá kyselina v 30% rztku + čistá kyselina ve vě (0% rztk) = čistá kyselina ve 0, 4 300 + 0 v = 0,15 300 + v. výsleném 15 % rztku: 120 + 0 = 45 + 0,15v 0,15v = 75 v = 500 Kyselinu musíme zřeit 500g vy. Peaggická pznámka: Nejčastější chyba vypaá takt: 0, 4 300 1 v 0,15( 300 v) + = + - rvnice pr 100% čistu kyselinu se přiá va. Vysvětlujeme si, že je pět sčítání různých věcí hrmay. 4
Př. 9: Vyřeš přechzí příkla pmcí zachvání čisté vy během smíchávání (míst zachvání čisté kyseliny usičné. 40% rztk kyseliny ve vě = 60% rztk vy v kyselině 15% rztk kyseliny ve vě = 85% rztk vy v kyselině Čistá va v 30% rztku + čistá va ve vě (100% rztk) = čistá va ve výsleném 15 300 0, 6 + v 1 = 0,85 v + 300. % rztku: 180 + v = 0,85v + 255 v 0,85v = 255 180 0,15v = 75 v = 500 Kyselinu musíme zřeit 500g vy. Př. 10: Petákvá: strana 19/cvičení 55 strana 19/cvičení 56 strana 19/cvičení 57 Shrnutí: V rvnicích, které sestavujeme při řešení slvních úlh, můžeme sčítat a prvnávat puze členy se stejným významem. 5