VLIV MODIFIKACE MAICE HMONOSI NA VÝSLEDKY MODÁLNÍ ANALÝZY omáš Brzobohatý, Alxadros Markopoulos Fakulta strojí, katdra mchaiky VŠB-U Ostrava, řída 7. listopadu, 78 Abstrakt Při řší dyamických úloh mtodou kočých prvků j potřba sstaví jméě dvou matic. K matici tuhosti z základí strukturálí aalýzy j uté přidat matici, ktrá bud postihovat strvačé účiky zkoumaé oblasti, matici hmotosti. Důlžitým rozdílm mzi maticí hmotosti a tuhosti j možost použití diagoálí matic hmotosti. V programu MALAB byla provda modálí aalýza s čtyřmi modifikacmi matic hmotosti a kočoprvkové síti vytvořé v programu ANSYS. Dosažé výsldky v MALABu byly srováy s výsldky ANSYSu.. Úvod V programu MALAB byla provda modálí aalýza s použitím mtody kočých prvků. Aalýza byla provda pro tři typy kočých lmtů (tyčový, osíkový, D hxahdral). U každého modlu byl výpočt provd pro tři růzé modifikac kozisttí matic hmotosti. Pro D aalýzu bylo využito programového prostřdí ANSYS, v ktrém byla vytvořa gomtri kočoprvkové sítě, ktrá byla ásldě xportováa do MALABu. Importovaá data byla použita při sstaví potřbých matic pro modálí aalýzu. Výhodou tohoto postupu j možost srováí dosažých výsldku s vědomím použití idtických sítí použitých jak v ANSYSu tak v MALABu. Při řší problémů dyamiky pomocí mtody kočých prvků, j zapotřbí k matici tuhosti zámé z základí strukturálí aalýzy přidat matici, ktrá bud postihovat strvačé účiky zkoumaé oblasti, tdy matici hmotosti. Matic hmotosti j složa z hmotostích příspěvků jdotlivých lmtů a pro jjí kostrukci j možé použít ěkolik zámých mtod: diskrtizac pricipm virtuálích prací kozisttí matic hmotosti přímá diskrtizac - matic soustřdých hmotostí diagoalizac kombiovaá mtoda Posldí z uvdých možostí diskrtizac kotiua j obcější vzhldm k tomu, ž obsahuj oba přdchozí typy. Prví dva typy diskrtizac jsou stadardm v mtodě kočých prvků a jsou implmtováy v většiě softwaru pro aalýzu MKP..
. Pricip virtuálích prací kozisttí formulac Jako příklad uvažujm jdoduchý dvou-uzlový tyčový prvk délky l, plochy příčého průřzu A a hustoty ρ, ktrý s můž posouvat pouz v směru x. Clková hmotost lmtu j m = ρal. Vytvoří matic hmotosti j založo a variačí formulaci. Kitická rgi lmtu s měrou hmotostí ρ a oblasti Ω a s polm rychlostí v j = dω. (.) ρ ( v ) v Ω Pol rychlostí oblasti Ω j itrpolováo tvarovou fukcí, v = Nvu kd u jsou uzlové rychlosti a N v j matic tvarových fukcí. Dosazím této itrpolac do rovic (.) a vytkutím uzlových rychlostí přd itgrál dostávám kitickou rgii v tvaru = ( u ) ρ ( v) vdω = ( ) N N u u M u, (.) Ω z ktré tdy ply kozisttí matic hmotosti v tvaru M N N = = ρ ( v) vdω u u Ω (.) x xi Pro dvou-uzlový tyčový prvk jsou tvarové fukc Ni = = ζ a l x xi N j = = ζ. Dosazím do (.) za přdpokladu dx = ldζ tdy dostávám kozisttí l matici hmotosti v tvaru l ζ M C = ρa( ) dx ρa ζ ζ N N = ldζ = ρal ζ 6 (.). Přímá diagoalizac matic hmotosti uto matici obdržím přímým rozdělím clkové hmotosti lmtu do jdotlivých uzlů. Diagoálí matici soustřdých hmotostí lz získat i z kozisttí matic, a to sčtím řádků bo sloupců matic hmotosti, a ásldém ahrazí diagoálích prvků těmito součty. Ozačím-li matici hmotosti vstupující do algoritmu M, j postup tvorby diagoálí matic hmotosti ásldující: a) určím kozisttí matici hmotosti b) určím jdotlivé součty S (i) () i M ( ij, ) j = S = pro i =,... kd j počt stupňů volosti daého lmtu. c) ahrazí původích prvků matic hmotosti prvky podl schéma M ( ij, ) = pro i j M ( ) () i ii, = S pro i =,...
. Kombiovaá mtoda ato mtoda j zobcělá mtoda kombiující dvě přdchozí, a to vyjádřím matic hmotosti jako liárí kombiac růzých matic hmotosti. M = μim i (.) i= Podl toho, jaké složky matic hmotosti M i použijm, a jaký závislý paramtr μ i staovím, vyplývají možé variaty sstaví matic hmotosti. Njzámější schéma sstaví matic hmotosti j založo a použití vážého průměru kozisttí a diagoálí matic soustřdých hmotostí M = ( μ) M + μm, (.6) k C L kd μ j tdy závislý skalárí paramtr. uto matici hmotosti můžm tdy azvat apř. vážou maticí hmotosti. Pokud bud μ = bo μ =, bud tato kombiac rdukováa zpět a kozisttí bo diagoálí tvar matic hmotosti. Pro dfiovaý dvou-uzlový tyčový prvk dostávám při použití této mtody matici hmotosti v tvaru + μ μ Mk = ( μ) ρal + μ ρal = ρal. (.7) 6 6 μ + μ Z hldiska miimalizac rozptylu ižších frkvcí s jako jlpší volba závislé kostaty μ jví μ =... diagoalizac matic hmotosti Za krátkým ázvm této mtody s skrývají počátčí písma jm autorů této mtody. Člák z roku 976, Hito E., Rock. ad Zikiwicz, O, A ot o mass lumpig ad rlatd procsss i th fiit lmt mthod, doporučuj počátčí matici hmotosti, ktrá j obvykl kozisttí, upravit a diagoálí tvar přs vhodý čiitl, ktrý zachová clkovou strvačou rgii prvku. Mtoda j mtodou ověřou a má přijatlou fyzikálí odzvu. Algoritmus mtody j podobý mtodě v přdcházjící kapitol. Dochází zd k výpočtu clkové hmotosti lmtu, ktrá j ásldově poděla součtm vybraých diagoálích prvků matic hmotosti. Ozačím-li matici hmotosti vstupující do algoritmu M, j postup tvorby diagoálí matic hmotosti ásldující: a) určím kozisttí matici hmotosti podl (.). b) určím jdotlivé součty podl daého schéma S = M ( ii, ) i= j= ( ij, ) D = M i= kd j počt stupňů volosti. c) ahrazí původích prvků matic hmotosti prvky podl schéma S M ( ij, ) = pro i j M ( ii, ) = M ( ii, ) pro i =,... D
. Vlastosti matic hmotosti tyčového prvku Jako prví porovám tři již dřív dfiovaé typy matic hmotosti jdoduchého dvouuzlového tyčového prvku. Porováí jdotlivých typů provdm a výpočtu volého kmitáí tyč. Provdm tdy výpočt vlastích frkvcí a tvarů kmitáí pro jdotlivé typy matic hmotosti. V grafch. jsou zázorěy vlastí frkvc tké tyč modlovaé dvou-uzlovým tyčovým lmtm a to dvěma prvky v případě a), prvky v případě b) a akoc prvky v případě c). Dál byla urča rlativí chyba mtody kočých prvků vzhldm k aalytickému odvozí vlikosti vlastích frkvcí volé tyč. Aalyticky MKP Graf. Vlastí frkvc tké tyč ε = Aalyticky, kozistti 6 kozistti kozistti,8 Frkvc [Hz],6 Frkvc [Hz] Frkvc [Hz],,,, V grafch.a), b) j vysa rlativí chyba pro diskrcizovaou soustavu prvky a pro soustavu tvořou prvky. Z grafu.a) j paré, ž pod hraici % s dostává jak pro kozisttí tak i pro diagoálí matici hmotosti pouz jda frkvc. Při použití liárí kombiac s pod staovou hraici vjdou hd čtyři frkvc. Při diskrtizaci kotiua větším počtm lmtů (graf.b)), j pod staovou, z ižýrského hldiska přijatlou, hraicí chyby řší (%) 7 9 Rlativi chyba [%],,, kozistti 7 9 Rlativi chyba [%] a) b) c) Graf. Rlativí chyba MKP řší,,,,,, kozistti frkvcí pro kozisttí a diagoálí matic hmotosti, frkvcí pro kombiovaou formulaci. J tdy jasé, ž jlpších výsldků z hldiska kovrgc vlastích frkvcí dosahuj systém s použitím kombiovaé matic hmotosti.
Jak již bylo uvdo, j z hldiska miimalizac rozptylu ižších frkvcí jlpší astaví závislé kostaty μ a hodotu μ =.. V grafu. jsou hodoty vlastích frkvcí pro tři růzé kostaty μ (.,.,.8). Při porováí rlativí chyby řší, pro tři růzá astaví kostaty μ při tvorbě matic hmotosti, j z grafu. patré chováí kovrgc k přsému řší. Njpřsějších výsldků dosahuj matic hmotosti vyjádřá jako liárí kombiac diagoálí a kozisttí formulac s závislou kostatou μ =.. Spojitý modl tké tyč má Graf. Vlastí frkvc Graf. Rlativí chyba MKP kočý počt stupňů volosti a jjí spktrum j tdy omzé....8...8 Z tohoto ply kočý počt vlastích frkvcí a závislost 9 fázové rychlosti a frkvci. 8 Diskrtizací kotiuálího modlu 7 s fázová rychlost tké tyč sta 6 závislou a frkvci (kočý, počt stupňů volosti). Jd o tzv. disprzí modl. Na grafu. jsou, zázorěy disprzí vlastosti tké tyč modlovaé uzlovým, tyčovým lmtm pro tři dfiovaé formulac matic Frkvc [Hz] 6 6 Rlativi chyba [%], 6 6 hmotosti. Z grafu.b) j patré, ž rychlost šíří vly kozisttí formulac j vždy rychljší žli v kotiuálím modlu. Kozisttí modl propouští vyšší frkvc žli modl diagoálí. Kombiovaá formulac má podobé disprzí vlastosti jako matic soustřdých hmotostí. Pouz s prodlužuj itrval, v ktrém jsou frkvc a rychlosti stjé jako v spojitém modlu. V grafu.c) j zazamáa závislost fázové rychlosti a frkvci. Pro kozisttí formulaci má tato závislost přvážě stoupající charaktr, aopak diagoálí a kombiovaá formulac má charaktr klsající. Víc o disprzích vlastostch tké tyč lz alézt apříklad v [] bo []. Graf. Disprzí vlastosti tké tyč kozistti, kozistti, kozistti,,,,, Frkvc,, Fazov rychlosti,9 Fazov rychlosti,9,8,8,,7,7,6,6 6 6 6 6 6 6 Frkvc a) b) c)
. Vlastosti matic hmotosti osíkového prvku Uvažujm dvou-uzlový osíkový lmt délky l, plochy příčého průřzu A a hustoty ρ. V kitické rgii prvku í zahrut momt strvačosti. Pokud budm uvažovat uspořádáí stupňů volosti u = [ r, ϕ, r, ϕ] a použijm-li kubické tovarové fukc, dostávám kozisttí matici hmotosti osíkového lmtu v tvaru 6 l l ρal l l l l MC = ρa l( N ) N dζ = l 6 l l l l l kd, l j jakobiá J = dx/ dζ. Diagoálí matici hmotosti osíkového prvku dostávám, pokud stjě jako u tyčového prvku rozdělím clkovou hmotost do dvou krajích uzlů. Dál j uté zachovat rotačí stupě volosti prvku. Diagoálí matic hmotosti s rspktováím atáčí j M L αl ρal = αl M ( ij, ) ρ D M ( ii, ) i= j= i= S = = m = Al kd α j záporá kostata. Pokud j α =, í v matici hmotosti rspktováo atočí uzlů. V ašm případě zvolím kostatu α = 7,. Další možostí sstaví diagoálí matic hmotosti osíkového prvku j diagoalizac mtodou. Njprv s určí clková hmotost lmtu S, a dál součt diagoálích prvků příslušjících pouz k stupňům volosti posuvého charaktru (přskakují s atočí). = = Na grafch. jsou zázorěy vlastí frkvc jdostraě vtkutého osíku modlovaého a) prvky, b) prvky, c) prvky. K stjým výsldkům, jako při použití matic, dospějm při použití diagoálí matic hmotosti s kostatou α, mší ž j přdchozí volba 7,. Na grafch. jsou zobrazy rlativí chyby kmitáí krakorcového osíku pro růzé dělí kotiua a kočé prvky. Graf. Vlastí frkvc vtkutého osíku isíc 6 diagoal/7, kozistti isíc 6 /7, kozistti isíc /7, 6 kozistti Frkvc [Hz] Frkvc [Hz] 8 6 Frkvc [Hz] 7 6 9 6 6 6 6 a) b) c)
Graf. Rlativí chyba MKP kozistti /7, kozistti /7, kozistti /7, Rlativi chyba [%] Rlativi chyba [%],, Rlativi chyba [%],,,,,,,,,, 6 6, a) b) c) Další možostí vytvoří matic hmotosti j použití kombiovaé formulac, tdy staoví matic hmotosti jako liárí kombiac kozisttí a diagoálí matic. M = ( μ) M + μm k C L Na grafu. jsou zázorěy vlastí frkvc krakorcového osíku pro kombiovaou formulaci matic hmotosti. Frkvc byly vypočty pro tři růzé kostaty μ při astaví paramtru α v matici hmotosti a 7, a v jdom případě a hodotu. Při astaví α=., μ=7., dochází k jmší rlativí chybě řší. Většia počítaých frkvcí si drží chybu pod třmi procty. Pokud zdvojásobím při tomto astaví počt použitých prvků, dostává s chyba řší u všch srovávaých frkvcí pod hraici tří proct. V srováí s průběhm chyby řší dřív dfiovaých formulací matic hmotosti j průběh této formulac odlišý, al dochází k zpřsěí frkvcí v clém rozsahu daého spktra. Při použití této matic hmotosti ztrácím jistotu kovrgc vlastích frkvcí shora. Graf.. Vlasti frkvc isíc kombi7,/, kombi7,/, kombi7,/,9 kombi/, Graf.. Rlativí chyba MKP kombi7,/, kombi7,/, kombi7,/,9 kombi/, kombi7,/./xp Frkvc [Hz] 8 6 Rlativi chyba [%],, 7 6 9 6 6
. Matic hmotosti šstistěu Pro prostorové úlohy byl použit šstistěý prvk s třmi zobcělými posuvy v každém z jho osmi uzlů.,,,,,,,, z y ζ η 7 8 x 6 ξ ζ η 7 8 ξ 6 varové fukc jsou dfiováy v tvaru 8 ξ ζ pro 8 Bázové fukc pro popis posuvů v přirozém souřadém systému jsou kd,, jsou posuvy uzlových bodů. Aalogickým způsobm jsou dfiováy trasformačí vztahy kd,, jsou souřadic uzlových bodů. Jakobiá trasformac pro dfiovaý prvk j / / / / / / / / / Kozisttí matic hmotosti j dáa vztahm kd j objm prvku. akto dfiovaá kozisttí matic hmotosti byla dál modifikováa podl výš uvdých postupů a diagoálí a kombiovaou formu.
. Export FE modlu z programu ANSYS do txtového souboru formátu ASCII S využitím jazyka APDL lz sado a rychl (v závislosti a dostupé paměti počítač) vyxportovat z systému ANSYS data popisující jdak síť kočých prvků a jdak FE atributy jako jsou apříklad okrajové podmíky. Exportovaá data uložá do txtových souborů, popisující kočoprvkový modl, ktrý j vytvoř v prostřdí systému ANSYS, j možé využít pro ásldý import do vybraého systému. Jako příklad lz uvést právě program MALAB, v ktrém lz sado a rychl sstavit potřbé matic pro jakoukoli MKP aalýzu. Lz tdy tstovat úlohy řšé odlišými mtodami, ž poskytuj systém ANSYS, a to a stjých FE sítích. Možostí jak xportovat požadovaá data v určitém formátu j jistě ěkolik. My s v tomto čláku budm zabývat pouz jdím typm, a to zápism dfiovaých vliči do ěkolika txtových souborů prostřdictvím makra, ktré bylo vytvořého jazykm APDL (ANSYS Paramtric Dsig Laguag víc iformací viz Rlas. Documtatio for ANSYS). Export kočo-prvkového modlu byl rozděl do čtyř základích oblastí: xport gomtri sítě (souřadic uzlů + szam lmtů) xport okrajových podmík Dirichltova typu (szam uzlů + vlikost posuutí) xport sil dfiovaých a uzly, (szam uzlů + vlikost sil) xport szamu xtrích stra lmtů (stray příslušjící xtrím plochám) Každá z těchto čtyř částí produkuj jd txtový soubor formátu ASCII s vličiami příslušjícími daé oblasti. Jazyk APDL j silým ástrojm programu ANSYS, pomocí ktrého lz automatizovat a doplňovat tvorbu FE modlu bo prováděý výpočt. Makro, jž j popsáo v [6], umožňuj xportovat iformac o FE modlu do txtových souborů formátu ASCII v požadovaém tvaru bz jakékoli hlavičky bo adbytčých číslých iformací pro sadý import do vybraého programového prostřdí. Všchy xportovaá data samozřjmě obsahuj soubor typu CDB, ovšm formát tohoto souboru j rlativě komplikovaý z hldiska importu do systému MALAB, pro ěž bylo makro vytvořo. MKP aalýzu řšou v Matlabu odlišými mtodami ž používá ANSYS, j možé jdoduš srovat s výsldky, ktré poskytuj ANSYS. oto srováí s dá provést a idtické síti kočých prvků což j praktické z hldiska srováí chyby řší. oto j hlaví výhodou zvolého postupu.
. Modálí aalýza s použitím D prvku Jako tstovací ůloha byla zvola mtrová tyč rozdělá a prvků. Na takto diskrtizovaém kotiuu byla provda aalýza pro tři modifikac kozisttí matic hmotosti. V grafu. jsou výsldky modálí aalýzy provdé v programu ANSYS, a to pro kozisttí a diagoálí matici hmotosti. V grafu. jsou výsldky aalýzy v MALABu. Kombiovaá matic hmotosti vykazuj v druhé poloviě zkoumaého spktra odlyšý charaktr ž j tomu u kozisttí matic. Graf. zázorňuj rlativí chybu frkvcí při použití jdotlivých modifikací matic hmotosti vzhldm k výsldkům programu ANSYS. Graf. Výsldky z ANSYSu Graf. Výsldky z MALABu Graf. Rlativí chyba ANSYS Cosist ANSYS Diagoal Cosist Diagoal Combi mi=. Combi m=. Diagoal Cosist Diagoal Diagoal Frkvc [Hz] Frkvc [Hz] Rlativ rr [%]..... Frkvc [Hz] ANSYS lmts Matlab Combi mi=. 8 6 8 6 Coutr Graf. Srováí dvou formulací Matlab l Coutr Rlativ rr [%]. Combi l Coutr l Coutr. Coutr Stjá úloha byla řša i pro jmější dělí kotiua ( lmtů). U tohoto dělí s frkvc zkoumaého itrvalu spktra rlativě shodují pro všchy modifikac matic hmotosti. V grafu. j spktrum pro diagoálí matici a kombiovaou matici hmotosti sstavou v MALABu pro dělí a prvků a spktrum vypočté programm ANSYS při dělí a prvku, vdl pak chyba vztažá a spktrum určé ANSYSm. Níž jsou zobrazy tři příklady vlastích tvarů kmitáí.
. Závěr Smyslm tohoto příspěvku j ukázat možost srováí výsldků jakékoli MKP aalýzy provdé v systému MALAB s programm ANSYS, a to a stjě diskrtizovaých součástch. Jako příklad bylo uvdo vlastí kmitáí s možostí použití modifikovaé matic hmotosti. Diagoalizac matic hmotosti j důlžitou součástí MKP výpočtů při aplikaci trasitích aalýz z hldiska urychlí výpočtu s zachováím potřbé přsosti výpočtu. Na obrázcích íž jsou a závěr zobrazy ěktré vlastí tvary kmitáí vypočté spktrálím rozkladm v MALABu a importovaých kočoprvkových sítích z ANSYSu. Obr.. Vlastí tvary třtiového víka Obr.. Vlastí tvary lopatky parí turbíy Jako další možé využití tohoto postupu lz uvést xport sítí z ANSYSu dělé a suboblasti a ásldé použití programu MALAB pro mtody rozloží oblastí FEI, bo jjí modifikací (FEI, DP-FEI), pro výpočt součástí s vlkým počtm stupňů volosti bo pro výpočt kotaktích úloh založých a FEI. Použitá litratura [] Z.Bittar, J.Šjoha.: Numrické mtody mchaiky,. ČVU, Praha, 99. [] Z.Bittar, P.Řřicha.: Mtoda kočých prvků v dyamic kostrukcí. SNL, Praha, 98. [] R.Brpta, L.Půst, F. urk.: Mchaické kmitáí. Sobotáls, Praha, 99. [] V.Kolář, I.Němc, V.Kaický.: FEM Pricipy a prax mtody kočých prvků. Computr Prss, Praha, 997. [] V. Stjskal, M.Okrouhlík.: Kmitáí s Matlabm, ČVU, Praha,. [6]. Brzobohatý, A. Markopoulos.: Export gomtri kočoprvkové sítě a ěktrých okrajových podmík do txtového souboru formátu ASCII,. ANSYS Usrs' Mtig, 7. Ig. omáš BRZOBOHAÝ.: Dpartmt of Mchaics of Matrials, FS VŠB-U Ostrava, řída 7.listopadu, Ostrava, 78, Czch Rpublic, tl.: + 977, fax: + 9787, -mail: tomas.brzobohaty.st@vsb.cz.