2.5.10 Přímá úměrost Předpoklady: 020508 Př. 1: 1 kwh hodia elektrické eergie stojí typicky 4,50 Kč. Doplň do tabulky kolik Kč stojí růzá možství objedaé elektrické eergie. Zkus v tabulce ajít zajímavé zákoitosti. cea [Kč] V druhém řádku eustále přičítáme stejé číslo. Každá druhá hodota v druhém řádku je celé číslo (avíc ásobek devíti). Dodatek: Cea elektrické eergie se počítá složitěji. Kromě platby za odebraé kwh (kterou se zabýváme v ašem příkladu) odběratelé platí i za odběré místo (poplatek za jistič), který je pravidelou měsíčí platbou ezávislou a odebraém možství elektrické eergie. Pedagogická pozámka: Zákoitosti, které žáci alezou, se většiou týkají pouze druhé řádky tabulky, většia z ich ehledá souvislosti s prví řádkou (která je tím, že obsahuje přirozeá čísla, ezajímavá). Úmyslě se je v tomto okamžiku esažím avádět a přímou úměrost, aby si zkusili ajít co ejvíce zajímavého sami. Pedagogická pozámka: Žákům rozdávám milimetrový papír, měřítko si volí samostatě, většia z ich zvolí za kwh velký čtvereček. Na svislé ose pak velký čtvereček představuje 4,50 Kč. 1
Př. 2: Narýsuj graf závislosti zaplaceých peěz a možství odebraých kwh. Odebraé kwh vyášej a vodorovou osu, zaplaceé peíze a svislou. Měřítko zvol tak, abys rozumě využil plochu grafu a zároveň zobrazil všechy hodoty v tabulce. Jak graf vypadá? Grafem je přímka. Všechy body leží v řadě. Př. 3: Když se možství odebraé eergie zvětšilo z 1 kwh a 2 kwh (tedy zvětšilo se dvakrát), zvětšila se dvakrát i zaplaceá eergie. Najdi jié dvojice sloupců, mezi kterými se možství eergie zvětšilo dvakrát a sleduj, kolikrát se zvětšila cea. Vždy, když se možství odebraé eergie zvětší dvakrát, zvětší se dvakrát i zaplaceá cea. 2
Př. 4: Kolikrát se zvětší cea, když se možství odebraé eergie zvětší třikrát? Jaký je vztah mezi tím kolikrát se zvětší (zmeší) možství eergie a kolikrát se zvětší zaplaceá cea? Když se možství eergie zvětší třikrát, zvětší se třikrát i zaplaceá cea. Obecě platí: Kolikrát se zvětší možství odebraé eergie, tolikrát se zvětší zaplaceá cea. Př. 5: Všechy sloupečky tabulky se shodují v jedé věci. Ve které? Přechod od jedoho sloupce ke druhému připomíá rozšiřováí (kráceí) zlomků všechy sloupce reprezetují stejý zlomek všechy sloupečky tabulky se shodují v poměru cea : eergie (a samozřejmě také eergie : cea ). cea : eergie 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 Cea zaplaceá za elektrickou eergii je přímo úměrá (ebo závislá přímo úměrě) a možství spotřebovaé eergie. Čím více eergie spotřebujeme, tím více za í musíme zaplatit. Závislost dvou přímo úměrých veliči ozačujeme jako přímo úměrost. Dvě veličiy jsou přímo úměré, jestliže platí, že kolikrát se zvětší jeda veličia, tolikrát se zvětší i druhá. Poměr obou veliči tak zůstává stálý. Pedagogická pozámka: Následující příklad je velmi důležitý. Pokud estiheme jeho kotrolu v hodiě, dostaou žáci jeho promyšleí za domácí úkol, který kotrolujeme a začátku hodiy příští. Rozebíráí podmíek, které musí být splěy, aby závislost byla přímou úměrostí, je pro příklad zásadí a budoucí řešeí trojčleek zásadí. Př. 6: Jsou uvedeé veličiy přímo úměré? Pokud jsou veličiy přímo úměré je za určitých podmíek, uveď za jakých. a) počet kusů akoupeého zboží stejého druhu a zaplaceá částka, b) věk a tělesá výška, c) spotřebovaý bezí a vzdáleost, kterou ujedeme, d) doba, po kterou jsme a výletě, a počet kolemjdoucích, které potkáme, e) délka stray rovostraého trojúhelíku a jeho obvod, f) počet kroků a vzdáleost, kterou ujdeme. a) počet akoupeého zboží stejého druhu a zaplaceá částka Pokud za každý kus zboží platíme stejou ceu (ejsou možsteví slevy), jsou obě veličiy přímo úměré (čím víc akoupíme, tím víc zaplatíme). 3
b) věk a tělesá výška Veličiy ejsou přímo úměré, od určitého věku lidé erostou (i před tím však rostou erovoměrě). Pokud by obě veličiy byly přímo úměré, museli by čtyřicátíci být dvakrát větší ež dvacátíci. c) spotřebovaý bezí a vzdáleost, kterou ujedeme Pokud jedem ve stejém teréu, stejým způsobem a eměí se okamžitá spotřeba automobilu, jsou obě veličiy přímo úměré. d) doba, po kterou jsme a výletě, a počet kolemjdoucích, které potkáme Veličiy ejsou přímo úměré, počet kolemjdoucích hodě závisí a tom, kde jdeme. O přímou úměrost by šlo v případě, že bychom se pohybovali v místech, kde je pořád stejě lidí (a potkávali bychom je pravidelě apříklad každých pět sekud jedoho). e) délka stray rovostraého trojúhelíku a jeho obvod Veličiy jsou přímo úměré. Obvod je trojásobek délky stray a kolikrát se zvětší délka stray, tolikrát se zvětší i obvod trojúhelíku. f) počet kroků a vzdáleost, kterou ujdeme. Pokud děláme stále stejě velké kroky, jsou obě veličiy přímo úměré (čím více kroků uděláme, tím větší vzdáleost ujdeme). Pedagogická pozámka: Následující příklad je pouze pro rychlejší žáky. Ai ho ve třídě společě ekotrolujeme. Řešeí si mohou výrazě ulehčit milimetrovým papírem, a který kreslili graf. Př. 7: Je dá pravoúhlý trojúhelík ABC s pravým úhlem γ. Straa AC má délku 1 cm. Délka stray BC se může měit. Je v tomto trojúhelíku délka stray AB přímo úměrá velikosti stray BC? Je délce stray BC přímo úměrá velikost úhlu α? Narýsujeme si ěkolik takových trojúhelíků (rýsováí můžeme obejít tím, že budeme měřit a milimetrovém papíru). BC 1 2 3 4 5 6 7 AB 1,4 2,2 3,2 4,1 5,1 6,1 7,1 Nemuseli jsme měřit tolik trojúhelíků, stačily by prví dva (ebo libovolé jié dva) sloupce. Mezi prvím a druhým sloupcem se délka stray BC zvětšila dvakrát, ale délka stray AB je 1,58 krát délka stray AB eí přímo úměrá délce stray BC. 4
Shrutí: Dvě veličiy, pro které platí, že kolikrát se zvětší jeda, tolikrát se zvětší i druhá, ozačujeme jako přímo úměré. 5