FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Modely operačního výzkumu 1 Vypracoval: Studijní obor: Emailová adresa: Datum vypracování: Jana Pospíšilová IM2-KF Jana.Pospisilova@uhk.cz 11. února
Obsah 1. Zadání seminární práce... 3 2. 1. příklad Optimalizační úloha Výrobní plánování... 5 2.1. Zadání... 5 2.2. Matematický model úlohy... 6 2.3. Optimalizační systém Lingo... 7 2.3.1 Model bez podmínky celočíselnosti... 7 2.3.2 Model s podmínkou celočíselnosti... 7 2.3.2 Výsledek bez podmínky celočíselnosti... 8 2.3.2 Výsledek s podmínkou celočíselnosti... 8 2.4. Interpretace získaných výsledků... 9 3. 2. příklad maximalizační úloha LP... 10 4. 3. příklad definovaný neorientovaný graf... 11 5. 4. příklad orientovaný graf... 12 6. 5. příklad Jednoduchý exponenciální model... 15 7. 6. příklad Úloha vícekriteriálního hodnocení variant... 16
1. Zadání seminární práce 2. Vymyslete si vlastní zadání optimalizační úlohy jednoho z následujících typů: úloha výrobního plánování, směšovací problém, úloha o dělení materiálu, tak, aby to vedlo na matematický model alespoň s pěti strukturními proměnnými a třemi omezujícími podmínkami (do tohoto počtu se nezahrnují případné dolní a horní meze proměnných, tj. omezující podmínky typu, že proměnná má být větší nebo naopak menší než zadaná hodnota). Udělejte následující: formulujte matematický model úlohy, vyřešte model na počítači pomocí některého optimalizačního systému (Excel, Lingo), podrobně interpretujte získané výsledky (včetně stínových a redukovaných cen). max. 8 b. 2. Vymyslete si sami zadání maximalizační úlohy lineárního programování 2 strukturní proměnné a alespoň 3 omezující podmínky tak, aby množina přípustných řešení měla alespoň 5 krajních bodů. Zadání stačí vymyslet numericky, nemusí být k tomu věcná interpretace. Nalezněte graficky optimální řešení této úlohy. Dále vypočtěte souřadnice všech krajních bodů a vypočtěte hodnoty účelové funkce pro tyto krajní body. max. 6 b. 3. V následující tabulce je definovaný neorientovaný graf vždy počáteční uzel, koncový uzel a ohodnocení hrany: max. 6 b. 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 2 3 3 4 5 4 6 5 6 6 7 7 7 MM 4 6 2 12 4 DD/2 9 6 MM/2 14 Vypočtěte vhodným algoritmem nejkratší cestu mezi prvním uzlem a všemi ostatními uzly. Pozn. DD a MM je číslo odpovídající Vašemu dni a měsíci narození případné výrazy zaokrouhlete na celé hodnoty nahoru. 4. V grafu, který je definovaný ve výše uvedené tabulce, uvažujte orientované hrany (orientace vždy z uzlu s nižším indexem do uzlu s vyšším indexem). Na tomto grafu vypočtěte kritickou cestu metodou CPM a navrhněte rozvržení činností. max. 6 b. 5. Do městského informačního centra, kde je jedna pracovnice, přichází průměrně DD/2 (den narození/2 zaokrouhlený na celá čísla nahoru) informací chtivých turistů za hodinu (intervaly mezi příchody mají exponenciální rozdělení). Doba obsluhy každého z nich je průměrně 3 minuty (exponenciální rozdělení). Vypočtěte základní charakteristiky
(průměrný počet jednotek v systému a ve frontě a průměrný čas strávený v systému a frontě) a dále pravděpodobnost, že ve frontě budou tři a více turistů. max. 6 b. 6. Definujte si vlastní reálnou úlohy vícekriteriálního hodnocení variant (součin počtu variant a počtu kritérií musí být alespoň 30) a uspořádejte varianty metodou váženého součtu váhy kritérií si stanovte sami podle svých preferencí. max. 8 b. Práci je třeba poslat elektronicky na adresu jablon@vse.cz alespoň týden před termínem zkoušky. Ke zkoušce potom přinést práci vytištěnou.
2. 1. příklad Optimalizační úloha Výrobní plánování 2.1. Zadání Firma Nábytek s.r.o. je truhlářská firma, která se zabývá výrobou menšího nábytku: kuchyňský stůl, noční stolek, tv stůl, psací stůl 1 se 2 šuplíky, psací stůl 2 se 4 šuplíky, Pc stůl. K výrobě těchto produktů je potřeba rozvrhnout časovou jednotku výroby na několik fází. První fází je zpracování dřeva tz. příprava konstrukce pro další použití. Druhou fází je broušení, 3. fází je sestavení a poslední fází je čištění a lakování. Popis tabulky: Kuchyňský stůl=x 1 : Na výrobu jednoho kuchyňského stolu jsou potřeba 2 jednotky času na první fázi zpracování dřeva, na druhou fázi broušení 1,1 jednotek času, na sestavení 2,5 jednotek času a na konečnou fázi čistění a lakování je potřeba 1 jednotka času. Zisk z jednoho prodaného kusu činí 1000Kč. Vzhledem k odbytu je výroba omezená na 100 kusů za měsíc. Noční stolek=x 2 : Na výrobu jednoho nočního stolku je potřeba 1,5 jednotek času na první fázi zpracování dřeva, na druhou fázi broušení 0,5 jednotek času, na sestavení 2 jednotky času a na konečnou fázi čistění a lakování je potřeba 0,8 jednotek času. Zisk z jednoho prodaného kusu činí 500Kč. Na tento výrobek je uzavřená závazná objednávka s odběratelem na 60 kusů za měsíc. Druh nábytku / Fáze výroby Tv stůl=x 3 : zpracování dřeva broušení sestavení čištění a lakování zisk v Kč závazné objednávky omezení výroby kuchyňský stůl 2 1,1 2,5 1 1000 100 noční stolek 1,5 0,5 2 0,8 500 60 Tv stůl 2,3 1,7 3 2 1200 psací stůl 1-2zásuvky 1,8 1,2 2,2 1,5 1000 80 psací stůl 2-4zásuvky 2,3 1,7 3,5 2 1200 30 Pc stůl 2,7 1,9 3,4 2,2 1300 70 max.počet hodin na jednotlivé fáze za měsíc 8000 5000 9000 6000 Na výrobu jednoho televizního stolu jsou potřeba 2,3 jednotky času na první fázi zpracování dřeva, na druhou fázi broušení 1,7 jednotek času, na sestavení 3 jednotky času a na
konečnou fázi čistění a lakování jsou potřeba 2 jednotky času. Zisk z jednoho prodaného kusu činí 1200Kč. Psací stůl 1 2zásuvky =x 4 : Na výrobu jednoho psacího stolu č. 1 je potřeba 1,8 jednotek času na první fázi zpracování dřeva, na druhou fázi broušení 1,2 jednotek času, na sestavení 2,2 jednotek času a na konečnou fázi čistění a lakování je potřeba 1,5 jednotek času. Zisk z jednoho prodaného kusu činí 1000Kč. Vzhledem k odbytu je výroba omezená na 80 kusů za měsíc. Psací stůl 2 4zásuvky =x 5 : Na výrobu jednoho psacího stolu č. 2 je potřeba 2,3 jednotky času na první fázi zpracování dřeva, na druhou fázi broušení 1,7 jednotek času, na sestavení 3,5 jednotek času a na konečnou fázi čistění a lakování jsou potřeba 2 jednotky času. Zisk z jednoho prodaného kusu činí 1200Kč. Na tento výrobek je uzavřená závazná objednávka s odběratelem na 30 kusů za měsíc. PC stůl=x 6 : Na výrobu jednoho PC stolu je potřeba 2,7 jednotek času na první fázi zpracování dřeva, na druhou fázi broušení 1,9 jednotek času, na sestavení 3,4 jednotek času a na konečnou fázi čistění a lakování je potřeba 2,2 jednotek času. Zisk z jednoho prodaného kusu činí 1300Kč. Vzhledem k odbytu je výroba omezená na 70 kusů za měsíc. 2.2. Matematický model úlohy Proměnné: x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6 Účelová funkce: Max. zisku = 1000*x 1 + 500*x 2 + 1200*x 3 + 1000*x 4 + 1200*x 5 + 1300*x 6 Strukturální omezení: Zpracování 2*x 1 + 1,5*x 2 + 2,3*x 3 + 1,8*x 4 + 2,3*x 5 + 2,7*x 6 Broušení 1,1*x 1 + 0,5*x 2 + 1,7*x 3 + 1,2*x 4 + 1,7*x 5 + 1,9*x 6 Sestavení 2,5*x 1 + 2*x 2 + 3*x 3 + 2,2*x 4 + 3,5*x 5 + 3,4*x 6 Čištění a lakování 1*x 1 + 0,8*x 2 + 2*x 3 + 1,5*x 4 + 2*x 5 + 2,2*x 6
Kuchyňský stůl x 1 <=100 Psací stůl1 x 4 <= 80 PC stůl x 6 <= 70 Noční stolek x 2 >= 60 Psací stůl2 x 5 >= 30 Podmínky nezápornosti: X1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x5>=0 x6>=0 2.3. Optimalizační systém Lingo 2.3.1 Model bez podmínky celočíselnosti 2.3.2 Model s podmínkou celočíselnosti
2.3.2 Výsledek bez podmínky celočíselnosti 2.3.2 Výsledek s podmínkou celočíselnosti
2.4. Interpretace získaných výsledků Z výsledků, které jsme získali pomocí programu Lingo, jsme došli k optimálnímu řešení při maximálním zisku 3 576 900Kč měsíčně. Při kombinaci výroby: Kuchyňský stůl: 100ks, což je omezené množství výroby. Noční stolek: 88ks, což je 28ks nad potřebnou minimální výrobu. TV stůl: 2 763ks, je pro firmu nejvýhodnější vyrábět, z důvodu neomezenosti výroby, vzhledem k ceně a odbytu je pro firmu velice významným. Psací stůl 1: 80ks, což je zároveň omezené množství výroby. Psací stůl2: 30ks, jedná se pouze o výrobu na závaznou objednávku. PC stůl: 1ks, jedná se o téměř zanedbatelnou výrobu, mělo by se zde uvažovat, zda je vůbec výhodné tento produkt vyrábět. Proměnné: Pro proměnné broušení a sestavení byla využita veškerá časová kapacita. U proměnné zpracování dřeva bylo nevyužito 1097.053hodin a u poslední fáze výrobku čištění a lakování nebylo využito 121.2421 hodin. Tyto výsledky jsou interpretovány z výsledků bez podmínky celočíselnosti. Redukované ceny: Jelikož tato firma bude vyrábět všechny druhy výrobků, nejsou v tomto případě uvedeny žádné redukované ceny. Stínové ceny: Jedno broušení se podílí na zisku částkou 473,6842 Kč a jedno sestavení částkou 131,5789 Kč. Na zpracování dřeva a konečné čistění a lakování je k dispozici dostatek času, z toho důvodu nemají na výrobu žádný vliv.
3. 2. příklad maximalizační úloha LP Výroba dvou výrobků x1 a x2, maximální počet výrobků x2 je 30ks. Souřadnice krajních bodů přípustné oblasti zjistíme vždy pomocí řešení soustavy 2rovnic, které vycházejí z omezujících podmínek. výroba x1 (hod/ks) x2 (hod/ks) K 1 3 1 99 K 2 1 2 80 K 3 -limit - 1 30 zisk 30 Kč 22 Kč řešení výroby proměnné ks x 1 x 2 1 0 0 2 0 30 3 20 32 4 23,6 28,2 5 33,00 0 Kapacita (hod) hodnota (z) 0 Kč 660 Kč 1 304 Kč 1 328,4 Kč 825 Kč Optimální řešení Hodnota účelové funkce x1 = 24 z = 1336 x2 = 28 Účelová kriteriální funkce z = 30x 1 + 22x 2 =0 Celková spotřeba K 1 3x 1 + x 2 99 K 2 x 1 + 2x 2 80 K 3 x 2 30 Podmínka nezápornosti x 1 0, x 2 1 Údaje získány pomocí řešitele 3 1 0 30 x 1 = 23,6 1 2 1 22 x 2 = 28,2 max 99 80 30 návrh 99 80 28,2 Hodnota účelové 1328,4 x 2 100 89 3x1 + x2 99 50 40 30 x 2 30 0 20 33 70 100 x 1 z=0 z=1328 x1 + 2x2 80 Hodnota účelové funkce je 1328,4, vzhledem v nutnosti celočíselného zpracování musíme optimální řešení (na grafu znázorněno přímkou z) zaokrouhlit na celé ks výrobků X1=24, x2=28 hodnota účelové funkce je 1336,- Kč.
4. 3. příklad definovaný neorientovaný graf i 1 2 3 4 5 6 7 i 1 2 3 4 5 6 7 t i 0 t i 0 7 j (y ij ) 2(7) 3(4) 2(4) 2(6) 2(2) 3(4) j (y ij ) 2(7) 3(4) 2(4) 2(6) 2(2) 3(4) 3(12) 4(6) 4(12) 3(12) 4(3) 4(9) 3(12) 4(6) 4(12) 3(12) 4(3) 4(9) 5(2) 6(4) 5(3) 6(6) 5(6) 5(2) 6(4) 5(3) 6(6) 5(6) 6(9) 7(6) 7(14) 6(9) 7(6) 7(14) i 1 2 3 4 5 6 7 i 1 2 3 4 5 6 7 t i 0 7 11 t i 0 7 11 12 j (y ij ) 2(7) 3(4) 2(4) 2(6) 2(2) 3(4) j (y ij ) 2(7) 3(4) 2(4) 2(6) 2(2) 3(4) 3(12) 4(6) 4(12) 3(12) 4(3) 4(9) 3(12) 4(6) 4(12) 3(12) 4(3) 4(9) 5(2) 6(4) 5(3) 6(6) 5(6) 5(2) 6(4) 5(3) 6(6) 5(6) 6(9) 7(6) 7(14) 6(9) 7(6) 7(14) i 1 2 3 4 5 6 7 i 1 2 3 4 5 6 7 t i 0 7 11 12 9 t i 0 7 11 12 9 15 15 j (y ) ij 2(7) 3(4) 2(4) 2(6) 2(2) 3(4) j (y ) ij 2(7) 3(4) 2(4) 2(6) 2(2) 3(4) 3(12) 4(6) 4(12) 3(12) 4(3) 4(9) 3(12) 4(6) 4(12) 3(12) 4(3) 4(9) 5(2) 6(4) 5(3) 6(6) 5(6) 5(2) 6(4) 5(3) 6(6) 5(6) 6(9) 7(6) 7(14) 6(9) 7(6) 7(14)
Jako výchozí hodnotu t 1 =0 si zvolíme uzel 1. Výchozí uzly hran najdeme v tabulce pod označením i=1,2,3,4,5,6,7. Dále pod nimi nalezneme koncové uzly hran. Hodnoty uzlů vypočítáme postupně dle pravidel t k = min i,j (t i + y ij ), kdy k=2,3,4,5,6,7, i=index uzlů, pro něž hodnotu ti známe a j je index uzlů, pro které t j neznáme, ale z uzlu i vede do uzlu j hrana s ohodnocením Y ij. Hodnoty t znamenají délku nejkratší cesty z uzlu 1. Výsledek nejkratších cest z grafu můžeme zapsat do následující tabulky. cesta délka trasa 1 2 7 1 2 1 3 12 1 3 1 4 13 1 2 4 1 5 9 1 2 5 1 6 16 1 3 6 1 7 15 1 2 5 7 cesta= jednotlivé cesty z uzlů 1 do dalších uzlů délka=délka cesty trasa=posloupnost uzlů při cestě 5. 4. příklad orientovaný graf Výpočet kritické cesty pomocí metody CPM Výpočet kritické cesty neboli minimálně možné cesty provádíme z výchozího uzlu 1 do koncového uzlu 7. Tato metoda se skládá ze 4 fází.
1. Fáze Jedná se o výpočet nejdříve možných začátků a konců provádění činností, který je 0 0 dán vzorcem t j max ( ti yij). t 0 1 = 0 vstupní hodnota uzlu i y ij - doba činností z u uzlu i do j T = t 0 n nejkratší možná doba, ve které lze projekt realizovat -současně se jedná o ohodnocení nejdelší cesty, v našem případě T = 47 2. Fáze Tato fáze obsahuje nejpozději přípustné začátky a konce provádění činností dle 1 1 vzorce: ti min ( t j yij. ) j i=7 tj. t 7 1 - výchozí hodnota uzlu 7 yij - doba činnosti z uzlu i do j
3. Fáze Souvisí se samotným výpočtem celkových časových rezerv, což je rozdíl mezi nejpozději přípustným koncem, nejdříve možným začátkem a dobou trvání činnosti podle 1 0 vzorce: CRij t j ti yij. Časové rezervy jsou uvedeny v závorkách u jednotlivých dob činností. Kritická cesta je na grafu znázorněna červeně. Jedná se o posloupnost činností, jejichž hodnota časové rezervy je minimální tedy nulová. činnost 1 3 3 4 4 6 6 7 1 2 2 3 2 4 2 5 3 6 4 5 5 6 5 7 Kritická cesta je 1-3-4-6-7, jejíž doba trvání je T=47. 4. Fáze Rozvržení činností 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 posloup. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 1 1-3 3-4 4-6 6-7 2 1-2 2-3 3-6 4-5 5-6 3 2-5 2-4 5-7
6. 5. příklad Jednoduchý exponenciální model Jedná se o model hromadné obsluhy typu M/M/I. Zadání: 1 pracovnice, průměrně DD/2=3turisti/hodinu, doba obsluhy průměrně 3minuty exponenciální rozdělení. a)průměrný počet jednotek v systému a ve frontě b)průměrný čas strávený v systému a ve frontě c)pravděpodobnost, že ve frontě budou 3 a více turistů = 3 (průměrný počet příchodů za hodinu) E(X) = 1/3 = 0,33 ( střední hodnota intervalů mezi příchody v hodinách) EX) = 20 (střední doba mezi příchody v minutách) E(X) = 3 (střední doba obsluhy v minutách) E(X) = 0,05 (střední doba obsluhy v hodinách) μ= 1/0,05 = 20 (počet odbavených turistů za hodinu) a) Průměrný čas strávený v systému (T) a ve frontě (Tf) T 1 Tf T T= 1/20-3 = 0,06 hod 1 ( ) Tf = 0,06-1/20= 0,01 hod b) Průměrný počet jednotek (požadavků) v systému (N) a ve frontě (Nf) N T N= 0,18 N f Tf 2 ( ) Nf=0,03 c)pravděpodobnost 3 a více turistů ve frontě = / < 1 podmínka stabilizace (0,15<1) = splňuje podmínku Počet turistů 1 u přepážky, 3 a více ve frontě n>=4 = / - 0,15 (pravděpodobnost, že v systému je alespoň jeden požadavek) pn = p0 n = (1 ) n (pravděpodobnost, že v1požadavek je obsluhován a (n-1) je ve frontě n pn n+náledující 4 0,0430% 0,0430% 5 6 7 8 0,0065% 0,0010% 0,0001% 0,0000% 0,0495% 0,0505% 0,0506% 0,0506% 9 10 11 12 13 0,0000% 0,0000% 0,0000% 0,0000% 0,0000% 0,0506% 0,0506% 0,0506% 0,0506% 0,0506% Pravděpodobnost, že ve frontě budou 3 a více turistů je okolo 0,05%.
7. 6. příklad Úloha vícekriteriálního hodnocení variant Firma chce nakoupit notebook pro kancelářskou činnost, z tohoto důvodu nemá vysoké nároky na technické parametry. V následující tabulce můžeme vidět značky notebooků HP, Packart Bell, Lenovo, Acer, Asus a Toshiba. Podle rozvržených vah můžeme vidět jak jsou pro nás důležité maximalizační a minimalizační kritéria. Metoda váženého součtu - WSA Y zadaná= cena v Kč paměť (GB) výdrž baterie (hod) hmotnost (kg) velikost (úlopříčka) MIN/MAX MIN MAX MAX MIN MIN Váhy 8 8 6 7 5 HP 6600 320 6 2.45 15.6 Packart Bell 6680 320 4.5 2.5 15.6 Lenovo 8000 500 4 2.6 15.6 Acer 7000 320 4 1.38 11.6 Asus 7000 320 3 2.4 15.6 Toshiba 8 500 500 6 2.1 15.6 Ymax= cena v Kč paměť (GB) výdrž baterie (hod) hmotnost (kg) velikost (úlopříčka) min/max max* max max max* max* HP 1900 320 6 0.15 0 Packart Bell 1820 320 4.5 0.1 0 Lenovo 500 500 4 0 0 Acer 1500 320 4 1.22 4 Asus 1500 320 3 0.2 0 Toshiba 0 500 6 0.5 0 Z důvodu, že součet vah není roven jedné, je potřeba tyto váhy transformovat na jednotkový součet. Stačí váhy vydělit číslem 34(součtem původních vah). Váhy-původní 8 8 6 7 5 Váhy-transformované 0.235 0.235 0.176 0.206 0.147
Výsledky úlohy vícekriteriálního hodnocení variant V následující tabulce můžeme vidět výsledky hodnocení podle metody váženého součtu. Tato metoda je založena na hodnocení na stupnici od 0 do 1. Čím více se číslo přibližuje k 1, tím více užitku nám přináší. Jako nejlepší varianta je varianta nákupu notebooku Acer, poté Toshiba, HP, Lenovo, Packart Bell a na posledním místě je notebook značky Asus. cena v Kč paměť (GB) výdrž baterie (hod) hmotnost (kg) velikost (úlopříčka) u(xi) Váhy 0.235 0.235 0.176 0.206 0.147 HP 1 0 1 0.123 0 0.4370 Packart Bell 0.958 0 0.5 0.082 0 0.3305 Lenovo 0.263 1 0.333 0 0 0.3560 Acer 0.789 0 0.333 1 1 0.5975 Asus 0.789 0 0 0.164 0 0.2195 Toshiba 0 1 1 0.41 0 0.4961