FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ MOV 1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE

Transkript

1 FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ MOV 1 SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Vypracoval: Lenka Novotná Studijní obor: K-Informační management ová adresa: lenka.novotna.1@uhk.cz Datum vypracování: Březen 2013

2 1 Obsah 1 Obsah Optimalizační úloha úloha výrobního plánování Ekonomický model Matematický model Řešení pomocí optimalizačního systému Lingo Interpretace získaných výsledků Maximalizační úloha LP Neorientovaný graf Orientovaný graf (metoda CPM) Exponenciální model Vícekriteriální hodnocení variant

3 2 Optimalizační úloha úloha výrobního plánování 2.1 Ekonomický model Malá soukromá firma se zabývá ruční výrobou hraček z přírodního materiálu. Plánuje uvést na trh pět nových hraček a to vláček, autíčko, traktor, kombajn a popelářské auto. Výroba uvedených hraček zahrnuje fázi hrubé opracování dřeva, broušení, montáž a barvení. Cílem je naplánovat měsíční výrobu tak, aby přinesla co největší zisk. Hračka/ Hrubé Broušení Prodejní Typ Montáž Barvení Fáze výroby opracování cena v Kč omezení Mašinka 2,0 1,2 1,5 2,1 230 Min. 100 Autíčko 1,5 1,0 1,2 1,1 200 Traktor 1,8 1,1 1,7 1,8 250 Min. 150 Kombajn 1,6 1,3 1,6 1,0 280 Max. 80 Popeláři 1,8 1,1 1,5 1,4 240 Max. 60 Max. hod/měsíc Mašinka: na jednotlivé fáze výroby jsou zapotřebí jednotky času 2,0; 1,2; 1,5; a 2,1. Prodejní cena je 230,- Kč/ks. S odběrateli jsou již uzavřené objednávka na 100 ks. Autíčko: na jednotlivé fáze výroby jsou zapotřebí jednotky času 1,5; 1,0; 1,2 a 1,1. Prodejní cena je 200,- Kč/ks. Traktor: na jednotlivé fáze výroby jsou zapotřebí jednotky času 1,8; 1,1; 1,7 a 1,8. Prodejní cena je 250,- Kč. S odběrateli jsou již uzavřené objednávky na 150 ks. Kombajn: na jednotlivé fáze výroby jsou zapotřebí jednotky času 1,6; 1,3; 1,6 a 1,0. Prodejní cena je 280,- Kč. Z důvodu skladových zásob sekacího zařízení ke kombajnu, je množství omezeno na max. 80 ks. Popeláři: na jednotlivé fáze výroby jsou zapotřebí jednotky času 1,8; 1,1; 1,5 a 1,4. Prodejní cena je 240,- Kč/ks. Z důvodu zvedacího zařízení u popelářského auta je množství omezeno na 60 ks. 3

4 2.2 Matematický model Proměnné: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5. Účelová (kriteriální) funkce: z = 230*x *x *x *x * x 5. (maximalizace zisku) Vlastní omezení: Hrubé opracování 2,0*x 1 + 1,5*x 2 + 1,8*x 3 + 1,6*x 4 + 1,8*x 5 <= 5000 ; Broušení 1,2*x 1 + 1,0*x 2 + 1,1*x 3 + 1,3*x 4 + 1,1*x 5 <= 3500 ; Montáž 1,5*x 1 + 1,2*x 2 + 1,7*x 3 + 1,6*x 4 + 1,5*x 5 <= 2500 ; Barvení 2,1*x 1 + 1,1*x 2 + 1,8*x 3 + 1,0*x 4 + 1,4*x 5 <= Mašinka x 1 >= 100 Traktor x 2 >= 150 Kombajn x 4 <= 80 Popeláři x 5 <= 60 Omezení nezápornosti: x 1 >= 0 x 2 >= 0 x 3 >= 0 x 4 >= 0 x 5 >= Řešení pomocí optimalizačního systému Lingo Zadaní v sytému Lingo bez podmínky celočíselnosti 4

5 Zadání v systému Lingo s podmínkou celočíselnosti Výsledek bez podmínky celočíselnosti 5

6 Výsledek s podmínkou celočíselnosti 2.4 Interpretace získaných výsledků Optimální řešení zadané úlohy získané pomocí systému Lingo je následující: Maximální zisk ,- Kč, při následující kombinaci výroby: Mašinka 100 ks, což je minimální potřebné množství, na které existující uzavřené objednávky. Autíčko ks, neomezenost výroby, významný produkt pro výrobu z důvodu ceny. Traktor ks, což je o 1483 ks více než jsou uzavřené objednávky, významný produkt pro výrobu z důvodu ceny. Kombajn 80 ks, což je maximální množství z důvodu skladových zásob sekacího zařízení ke kombajnu. Popelářské auto 0 ks. Tento produkt není výhodné vyrábět a to z důvodu jeho ceny. 6

7 Z výsledků bez podmínky celočíselnosti získáváme informace o využitých/nevyužitých časových kapacitách. Pro fáze výroby (proměnné) opracování a barvení byla využita veškerá časová kapacita. U fáze broušení nebylo využito 324,6389 hodin, u fáze montáž zůstává nevyužito 59,80556 hodin. Dle redukovaných cen bychom cenu popelářského auta museli zvýšit o 1,667 Kč, aby se vyplatilo tento výrobek vyrábět. Stínové ceny. Jedno opracování výrobku se podílí na zisku částkou 118,0556 Kč, jedno barvení výrobku se podílí na zisku částkou 20,83333 Kč. Na fáze výroby broušení a montáž je dostatek času, z toho důvodu nemají na výrobu vliv. 3 Maximalizační úloha LP Vymyslete si sami zadání maximalizační úlohy lineárního programování 2 strukturní proměnné a alespoň 3 omezující podmínky tak, aby množina přípustných řešení měla alespoň 5 krajních bodů. Zadání stačí vymyslet numericky, nemusí být k tomu věcná interpretace. Nalezněte graficky optimální řešení této úlohy. Dále vypočtěte souřadnice všech krajních bodů a vypočtěte hodnoty účelové funkce pro tyto krajní body. X 1 X 2 Omezení Funkce: Optimální řešení: K X 1 X 2 K K Zisk Údaje získány pomocí řešitele. Celková spotřeba: Účelová funkce: Podmínka nezápornosti: K1: 2x 1 +2x 2 <=60 MAX: z = 50x 1 +62x 2 = 0 x 1 0, x 2 1 K2: 2x 1 +4x 2 <=80 K3: 3x 2 <=48 Řešení proměnné zbytek (+) / nedostatek (-) Zisk MAX X1 X2 K1 K2 K3 řešení řešení řešení řešení řešení

8 Grafické znázornění: Hodnota účelové funkce je 1620,- Kč. Optimální řešení je znázorněno přímkou Z = Max, maximum účelové funkce je v bodě C. Citlivostní zpráva Měněné buňky Konečná Redukovaný Buňka Název hodnota Gradient $F$3 K1 X $G$3 K1 X Omezující podmínky Buňka Konečná Lagrangeův Název hodnota multiplikátor $E$3 K $E$4 K $E$5 K

9 4 Neorientovaný graf Hodnoty uzlů vypočítáme postupně dle pravidel tk = mini,j (ti + yij), kdy k=2,3,4,5,6,7, i=index uzlů, pro něž hodnotu ti známe a j je index uzlů, pro které tj neznáme, ale z uzlu i vede do uzlu j hrana s ohodnocením Yij. Hodnoty t znamenají délku nejkratší cesty z uzlu 1. i i t 0 t 0 7 j(y ij ) 2(7) 3(4) 2(4) 2(6) 2(2) 3(4) j(y ij ) 2(7) 3(4) 2(4) 2(6) 2(2) 3(4) 3(12) 4(6) 4(12) 3(12) 4(14) 4(9) 3(12) 4(6) 4(12) 3(12) 4(14) 4(9) 5(2) 6(4) 5(14) 6(6) 5(6) 5(2) 6(4) 5(14) 6(6) 5(6) 6(9) 7(6) 7(14) 6(9) 7(6) 7(14) i i t t j(y ij ) 2(7) 3(4) 2(4) 2(6) 2(2) 3(4) j(y ij ) 2(7) 3(4) 2(4) 2(6) 2(2) 3(4) 3(12) 4(6) 4(12) 3(12) 4(14) 4(9) 3(12) 4(6) 4(12) 3(12) 4(14) 4(9) 5(2) 6(4) 5(14) 6(6) 5(6) 5(2) 6(4) 5(14) 6(6) 5(6) 6(9) 7(6) 7(14) 6(9) 7(6) 7(14) i i t t j(y ij ) 2(7) 3(4) 2(4) 2(6) 2(2) 3(4) j(y ij ) 2(7) 3(4) 2(4) 2(6) 2(2) 3(4) 3(12) 4(6) 4(12) 3(12) 4(14) 4(9) 3(12) 4(6) 4(12) 3(12) 4(14) 4(9) 5(2) 6(4) 5(14) 6(6) 5(6) 5(2) 6(4) 5(14) 6(6) 5(6) 6(9) 7(6) 7(14) 6(9) 7(6) 7(14) Výsledek nejkratších cest grafu je popsán následující tabulkou: 9

10 5 Orientovaný graf (metoda CPM) Výpočet kritické cesty pomocí minimálně možné cesty provádíme z výchozího uzlu 1 do koncového uzlu 7. Výpočet má 3-4 fáze. 1. Fáze Výpočet nejdříve možných začátků a konců provádění činností. Vzorec: t j0 = max i (t i0 + y ij). 0 kde t 1 = 0 (výchozí hodnota uzlu 1) y ij je doba činnosti z uzlu i do uzlu j. Hodnota T = t 70 je nejkratší možná doba, za jakou můžeme projekt uskutečnit (délka nejdelší cesty z uzlu 1 do uzlu 7), v níže uvedeném příkladě je T=47. 10

11 2. Fáze Nejpozději přípustné začátky a konce provádění činností. Vzorec: t j1 = min i (t i1 + y ij). i = 7, t 7 1 = 0 (výchozí hodnota uzlu 7) y ij je doba činnosti z uzlu i do uzlu j. 3. Fáze Jedná se o výpočet celkových časových rezerv. To je rozdíl mezi nejpozději přípustným koncem, nejdříve možným začátkem a dobou trvání činnosti podle vzorce CR ij = T 1 j t 0 i y ij. Časové rezervy jsou uvedeny v závorkách u jednotlivých dob činností. Kritická cesta je znázorněna červenou barvou. Jedná se o posloupnost činností, jejichž hodnota rezervy je nulová, tedy minimální. Kritická cesta je Doba trvání je 58 časových jednotek. 11

12 4. Fáze Rozvržení činností 6 Exponenciální model Model hromadné obsluhy M/M/1 s parametry: 1 pracovnice, DD/2 = 14 turistů za hodinu (intervaly mezi příchody jsou exponenciálně rozděleny). Doba obsluhy průměrně 3 minuty exponenciální rozdělení. Vypočítat: Průměrný počet jednotek v systému a ve frontě Průměrný čas stráveny v systému a ve frontě Pravděpodobnost, že ve frontě budou 3 a více turistů. = 14 počet příchodů za časovou jednotku (hod) 1/ = 1/14 = 0,07 střední doba mezi příchody v hod 4,285 střední doba mezi příchody v min 0,05 střední doba obsluhy v hod 3 střední doba obsluhy v min = 1/0,05= 20 počet odbavených turistů za hod Průměrný počet jednotek v systému (N) N = T = / ( - ) N = 2,33 hod Průměrný počet jednotek ve frontě (N f ) N f = T f = 2 / ( - ) N f = 1,63 hod Průměrný čas strávený v systému T = 1 / ( - ) T = 0,166 hod 12

13 Průměrný čas strávený ve frontě T f = T (1 / ) = / ( - ) T f = 0,116 hod Pravděpodobnost, že ve frontě budou 3 a více turistů P = / < 1 podmínka stabilizace (0,7 < 1) = splňuje podmínku. V centru bude 1 turista u přepážky a 3 a více ve frontě. N > = 4 p = / - 0,7 (pravděpodobnost, že v systému je alespoň jeden požadavek. P n = p0 p n = (1 p) * p n (pravděpodobnost, že jeden požadavek je obsluhován a (n-1) je ve frontě. Pravděpodobnost, že ve frontě budou 3 a více turistů je 0,23 až 0,24 %. 7 Vícekriteriální hodnocení variant Cílem je výběr automatické pračky. Následující tabulka zobrazuje modely. U každé pračky hodnotíme největšími váhami cenu, poté spotřebu energie a vody, dále pak hlučnost a v poslední řadě počet otáček za minutu při procesu odstřeďování a náplň prádla. Údaje jsou převzaty z nabídky firmy Electroworld. Y zadání: Výrobce Cena (v Kč) energie (kw/rok) vody (l/rok) Hlučnost (db) Počet otáček /min Náplň (kg) MIN/MAX MIN MIN MIN MIN MAX MAX Váhy Candy AEG Whirpool Eletrolux LG Bosch ,5 13

14 Y max: Výrobce Cena (v Kč) energie (kw/rok) vody (l/rok) Hlučnost (db) Počet otáček /min Náplň (kg) min/max max* max* max* MIN MAX MAX Váhy Candy AEG Whirpool Eletrolux LG Bosch ,5 Transformace vah na jednotkový součet (součet původních vah 38): Váhy původní Váhy transformované 0,211 0,184 0,184 0,158 0,132 0,132 Přepočtení vah: Výrobce Cena (v Kč) energie (kw/rok) vody (l/rok) Hlučnost (db) Počet otáček /min Náplň (kg) min/max max* max* max* MIN MAX MAX Váhy 0,211 0,184 0,184 0,158 0,132 0,132 Candy 0,973 0,000 0, ,6 AEG 0,000 0,592 0, ,0 Whirpool 0,730 1,000 0, ,6 Eletrolux 0,486 0,592 0, ,6 LG 1,000 0,633 0, ,2 Bosch 0,486 0,898 0, ,0 14

15 Výsledek hodnocení metody váženého součtu: Výrobce Cena (v Kč) energie (kw/rok) vody (l/rok) Hlučnost (db) Počet otáček /min Náplň (kg) min/max max* max* max* MIN MAX MAX Váhy 0,211 0,184 0,184 0,158 0,132 0,132 u (Xi) Candy 0,205 0,000 0,018 0,000 0,000 0,079 0,302 AEG 0,000 0,109 0,000 0,158 0,132 0,132 0,530 Whirpool 0,154 0,184 0,144 0,158 0,000 0,079 0,719 Eletrolux 0,102 0,109 0,038 0,000 0,132 0,079 0,460 LG 0,211 0,117 0,018 0,158 0,000 0,026 0,529 Bosch 0,102 0,165 0,018 0,158 0,000 0,000 0,444 Jako nejlepší byla vyhodnocena pračka od firmy následuje poté dále pak Whirpool, AEG, LG, Eletrolux předposlední Bosch a poslední Candy; (čím více se číslo blíží 1, tím produkt více vyhovuje zvoleným vahám podmínek). 15