Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Aritmetická posloupnost MATN3 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR 1
Aritmetická posloupnost 1. Aritmetická posloupnost a její vlastnosti Nejdříve se seznámíme s aritmetickou posloupností zadanou rekurentně a vyjádříme ji pak pomocí vzorce pro -tý člen, uvedeme některé vlastnosti aritmetické posloupnosti. Příklad 1 Rychlost šíření zvuku ve vzduchu při 0 je přibližně 331. S rostoucí teplotou vzrůstá rychlost zvuku o 0,6 na každý stupeň. Jaká je rychlost zvuku při 5? Řešení: Označíme číslo vyjadřující číselnou hodnotu rychlosti zvuku při teplotě 1. Postupně zjistíme Při 0 331 Při 1 0,6 331 0,6 Při 2 0,6 2 0,6 331 2 0,6 Při 3 0,6 3 0,6 331 3 0,6 Při 4 0,6 4 0,6 331 4 0,6 Při 5 0,6 5 0,6 331 5 0,6 Rychlost zvuku ve vzduchu při 5 je přibližně 334 Seznámili jsme se s prvními členy posloupnosti, pro kterou platí: každý její člen počínaje druhým získáme tak, že k předchozímu členu přičteme číslo 0,6. Jinak řečeno, rozdíl každých dvou bezprostředně po sobě následujících členů této posloupnosti je konstantní. Zkoumaná posloupnost je příkladem aritmetické posloupnosti. 2
Arithmetische Folge 1. Arithmetische Folge und ihre Eigenschaften Zuerst lernen wir die arithmetische Folge, die wiederkehrend eingegeben ist, kennen und drücken wir sie dann mit Hilfe von der Formel für das n-te Element aus, wir führen einige Eigenschaften der arithmetischen Folge an. Beispiel 1 Die Geschwindigkeit der Schallausbreitung in der Luft bei 0 ist ungefähr 331. Mit der wachsenden Temperatur erhöht sich die Schallgeschwindigkeit um 0,6 auf jeden Grad. Wie ist die Schallgeschwindigkeit bei 5? Lösung: Wir bezeichnen die Zahl, die den numerischen Wert der Schallgeschwindigkeit bei der Temperatur 1 ausdrückt. Wir stellen schrittweise fest: bei 0 331 bei 1 0,6 331 0,6 bei 2 0,6 2 0,6 331 2 0,6 bei 3 0,6 3 0,6 331 3 0,6 bei 4 0,6 4 0,6 331 4 0,6 bei 5 0,6 5 0,6 331 5 0,6 Die Schallgeschwindigkeit in der Luft bei 5 ist ungefähr 334 Wir lernten die ersten Mitglieder der Folge kennen, für die gilt: Jedes ihr Mitglied ab dem zweiten gewinnen wir so, dass man zu dem vorgegangenen Mitglied die Zahl 0,6 fügt. Anders gesagt, die Differenz aller zwei unmittelbar folgenden Mitglieder dieser Folge ist konstant. Die untersuchte Folge ist ein Beispiel für eine arithmetische Folge. 3
Posloupnost se nazývá aritmetická, právě když existuje takové reálné číslo, že pro každé přirozené číslo n platí neboli Číslo se nazývá diference aritmetické posloupnost. Příklad 2 Zjistěte, zda posloupnost, 2 4, je aritmetická. Řešení: Naším úkolem je zjistit, zda existuje takové číslo, že pro všechna platí. V posloupnosti je 2 4, 2 1 4 2 2 Je tedy čili 2 2 Posloupnost 2 4 je aritmetická, její diference je 2. člen? Aritmetická posloupnost je zadána rekurentně. Dá se také vyjádřit vzorcem pro n-tý Vrátíme se nejprve k příkladu 1. Podíváme-li se pozorně na vyjádření až pomocí a diference 0,6, můžeme vyslovit domněnku, že pro každé přirozené číslo n platí: 1 0,6 n-tý člen první člen diference 4
Die Folge heißt arithmetische, falls es so eine reale Zahl gibt, dass für jede natürliche Zahl n gilt oder die Zahl nennt man Differenz der arithmetischen Folge. Beispiel 2 Stellen Sie fest, ob die Folge, 2 4 arithmetisch ist. Lösung: Unsere Aufgabe ist festzustellen, ob es so eine Zahl gibt, dass für alle gilt. In der Folge ist 2 4, 2 1 4 2 2 Ist also oder 2 2 Die Folge 2 4 ist arithmetisch, ihre Differenz ist 2. Die arithmetische ist wiederkehrend eingegeben. Kann man sie auch mit der Formel für das n-te Mitglied ausdrücken? Wir kehren zuerst zum Beispiel 1 zurück. Wenn wir aufmerksam den Ausdruck až mit Hilfe von und Differenz 0,6 ansehen, können wir die Vermutung aussprechen, dass für jede natürlichr Zahl n gilt: 1 0,6 dass n-te Element der erste Element Differenz 5
Dokažme tuto větu: Důkaz: V aritmetické posloupnosti s diferencí platí pro každé 1. 2... 2 2 1. Uvedeme ještě jednu větu, která vyjadřuje vztah mezi r-tým členem a s-tým členem aritmetické posloupnosti. V aritmetické posloupnosti s diferencí platí pro všechny r,. Důkaz podle předcházející věty 1 1 Odtud dostáváme 6
Beweisen wir mit diesem Satz: Beweis: In der arithmetischen Folge mit der Differenz gilt für jede 1. 2... 2 2 1. Wir führen noch einen Satz an, der die Beziehung zwischen dem r-ten Element und dem s-ten Element der arithmetischen Folge ausdrückt. In der arithmetischen Folge mit der Differenz gilt für jede r,. Der Bewies nach dem vorgegangenen Satz 1 1 Damit erhalten wir 7
Příklad 3 V aritmetické posloupnosti jsou dány členy 5, 15. Určete diferenci a členy,. Řešení: Ke zjištění diference užijeme vztah mezi r-tým členem a s-tým členem aritmetické posloupnosti: 8 3 15 5 5 5 K výpočtu a využijeme vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti: 1 2 2 1 16 33 V dané posloupnosti je 2, 1, 33. Nyní se budeme věnovat vlastnostem aritmetické posloupnosti. 8
Beispiel 3 In der arithmetischen Folge sind Elemente 5, 15 gegeben. Bestimmen Sie die Differenz und Elemente,. Lösung: Zur Feststellung der Differenz nutzen wir die Beziehung zwischen dem r-ten Element und dem s-ten Element der arithmetischen Folge: 8 3 15 5 5 5 Zur Berechnung a nutzen wir die Formel für das n-te Element der arithmetischen Folge: 1 2 2 1 16 33 In der gegebenen Folge ist 2, 1, 33. Jetzt widmen wir uns den Eigenschaften der arithmetischen Folge. 9
Příklad 4 Zapište vzorcem pro n-tý člen aritmetickou posloupnost a), jejíž první člen je 2 a diference je -0,5, b), jejíž první člen je -1 a diference je 1,5, c), jejíž první člen je 0,8 a diference je 0. Zobrazte pak prvních pět členů posloupnosti v soustavě souřadnic v rovině. Řešení: a) 2 1 0,5 Obr.1.1 b) 1 1 1,5 Obr.1.2 c) 0,8 1 0 Obr.1.3 Bude nás teď zajímat, kdy je aritmetická posloupnost rostoucí, kdy je klesající a kdy není ani rostoucí ani klesající. Na čem to bude záviset? 10
Beispiel 4 Schreiben Sie die Formel für das n-te Element der arithmetischen Folge a), deren erstes Element ist 2 und die Differenz ist -0,5, b), deren erstes Element ist -1 und die Differenz ist 1,5, c), deren erstes Element ist 0,8 und die Differenz ist 0. Stellen Sie dann die ersten fünf Elemente der Folge in dem Koordinatensystem in der Ebene dar. Lösung: a) 2 1 0,5 Bild. 1.1 b) 1 1 1,5 c) 0,8 1 0 Bild. 1.2 Bild. 1.3 Es wird uns jetzt interessieren, wann die arithmetische Folge steigt, wann sie senkt und wann sie weder steigt noch senkt. Wovon wird das abhängen? 11
Aritmetická posloupnost s diferencí d je rostoucí pro 0, je klesající pro 0, není rostoucí ani klesající pro 0. Důkaz si můžete provést sami; využijete vztah. Podívejme se ještě na to, jak je tomu s omezeností aritmetických posloupností. Pro aritmetickou posloupnost s diferencí d platí: a) je-li 0, pak je zdola omezená, ale není shora omezená; b) je-li 0, pak je shora omezená, ale není zdola omezená; c) je -li 0, pak je shora omezená i zdola omezená. Cvičení 1. Vypište prvních osm členů aritmetické posloupnosti, ve které a) 4, 1, b) 0,5, 3, c) 7, 5, d) 6, 2, e) 7, 11, f) 10, 22, 2. Rohodněte, která z čísel 71, 100 jsou členy aritmetické posloupnosti, v níž je 10, 4,5. 12
Die arithmetische Folge mit der Differenz d steigt für 0, senkt für 0, weder steigt noch senkt für 0. Den Beweis können wir allein durchführen; Sie nutzen die Beziehung. Sehen wir uns das noch so, wie es bei den Begrenztheiten der arithmetischen Folge ist. Für die arithmetische Folge mit der Differenz d gilt: a) wenn 0, dann ist sie von unten begrenzt, aber ist nicht von oben begrenzt; b) wenn 0, dann ist sie von oben begrenzt aber ist nicht von unten begrenzt; c) wenn 0, dann ist sie von oben und von unten begrenzt. Übungen 1. Schreiben sie die ersten acht Elemente der arithmetischen Folge, in der a) 4, 1, b) 0,5, 3, c) 7, 5, d) 6, 2, e) 7, 11, f) 10, 22, 2. Entscheiden Sie, welche der Zahlen 71, 100 die Elemente der arithmetische Folge sind, in der 10, 4,5 sind. 13
3. Teploty Země přibývá do hloubky přibližně o 1 na 33m. Jaká je teplotka dně dolu 1015 m hlubokého, je-li v hloubce 25 m teplota 9? 4. Dokažte větu: V aritmetické posloupnosti pro každé přirozené číslo 2 platí 5. Na základě informací, které jsou dány o aritmetické posloupnosti, rozhodněte, zda je tato posloupnost rostoucí, či klesající: a) 7, 2 b) 2 c) d) 6. Vraťte se k aritmetickým posloupnostem ze cvičení 5 a pro každou z nich rozhodně, zda je shora omezená, zdola omezena, omezená. 2. Užití aritmetických posloupností V tomto článku se nejprve seznámíme se vzorce pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti a pak si ukážeme užití tohoto vzorce a vzorce pro n-tý člen aritmetické posloupnosti na několika příkladech. O slavném německém matematikovi K. F. Gaussovi se vypráví tato příhoda. Když byl Gauss malým žáčkem, zadal jeho učitel při hodině matematiky namáhavý a dlouhý úkol: vypočítat součet všech přirozených čísel od 1 do 100. Žák Gauss prý ale vzápětí prohlásil: Je to 5050. Ukážeme si, jak asi Gauss při řešení úlohy postupoval; využijeme při tom své znalosti o posloupnostech. 14
3. Die Erdtemperatur steigt in die Tiefe ungefähr um 1 auf 33m. wie ist die Temperatur am Boden der Mine, die 1015 m tief ist, wenn in der Tiefe von 25 m die Temperatur von 9 ist? 4.Beweisen Sie den Satz: In der arithmetischen Folge für jede natürliche Zahl 2 gilt 5. Auf Grund der Informationen, die über die arithmetische Folge gegeben sind, entscheiden Sie, ob diese Folge steigt oder senkt: a) 7, 2 b) 2 c) d) 6. Kehren Sie zu den arithmetischen Folgen aus der Übung 5 zurück und entscheiden Sie für jede von ihnen, ob sie von oben, von unten oder von unten und auch von oben begrenzt sind. 2. Verwendung von arithmetischen Folgen In diesem Artikel machen wir uns zuerst bekannt mit der Formel für die Gesamtzahl von ersten n Elementen der arithmetischen Folge und dann zeigen wir uns die Verwendung dieser Formel und der Formel für das n-te Element der arithmetischen Folge auf ein paar Bespielen. Über dem berühmten deutschen Mathematiker K. F. Gauss wird diese Geschichte erzählt. Als Gauss ein kleiner Schüler war, vergab sein Lehrer in der Mathematikstunde eine anstrengende und lange Aufgabe, damit seine Schüler die Gesamtzahl aller natürlichen Zahlen von 1 bis 100 ausrechnen. Der Schüler Gauss soll unmittelbar danach gesagt haben: Es ist 5050. Wir zeigen uns, wie wahrscheinlich Gauss bei dem Lösen dieser Aufgabe vorgegangen ist; wir nutzen dabei unsere Kenntnisse über Folgen. 15
Příklad 5 Určete součet prvních 100 členů posupnosti. Řešení: Posloupnosti je aritmetická; její první člen je 1, diference d 1. Naším úkolem je najít číslo 1 2... 99 100 (1) Napíšeme sčítance ve vztahu (1) opačném pořadí: Sečtením (1) a (2) dostaneme 100 99... 2 1 (2) 2 1 100 2 99... 99 2 100 1. Na pravé straně tohoto výrazu se vyskytuje 100 sčítanců, z nich každý je roven číslu 101. To znamená, že 2 100 101, 101 5050. Součet prvních 100 členů posloupnosti je roven 5050. Všimněte si, že číslo 100 vyjadřuje počet členů posloupnosti, které sčítáme, číslo 101 je rovno součtu těchto členů, uvažované posloupnosti, pro něž 101 (tj. např., atd.). Pro součet sn prvních n členů aritmetické posloupnosti, tj. pro..., platí 2. 16
Beispiel 5 Bestimmen Sie die Gesamtzahl der ersten 100 Elementen der Folge. Lösung: Die Folge ist arithmetisch; ihr erstes Element ist 1, die Differenz d 1. Unsere Aufgabe ist die Zahl zu suchen 1 2... 99 100 (1) Wir schreiben die Summanden in der Beziehung (1) in der umgekehrten Reihenfolge: 100 99... 2 1 (2) Durch das Addieren von (1) und (2) erhalten wir 2 1 100 2 99... 99 2 100 1. Auf der rechten Seite dieses Ausdruckes treten 100 Summanden auf, jeder von ihnen ist gleich der Zahl 101. Das bedeutet, dass 2 100 101, 101 5050. Die Gesamtzahl der ersten 100 Elementen der Folge ist gleich der Zahl 5050. Merken Sie, dass die Zahl 100 die Anzahl der Folgenelemente, die wir addieren, ausdrückt, die Zahl 101 ist gleich der Gesamtzahl dieser Elemente, der geplanten Folgen, für die 101 gilt (d.h. z.b., usw.). Für die Gesamtzahl sn der ersten n Elemente der arithmetischen Folge, d.h. für..., gilt 2. 17
Příklad 6 Vypočítejte součet všech sudých trojciferných přirozených čísel. Řešení: Máme zjistit součet čísel 100, 102, 104,, 996, 998, tj. vypočítat 100+102+104+ +996+998. Rozdíl mezi každými dvěma po sobě následujícími sčítanci je 2. Pro určení hledaného součtu bychom mohli užít vzorec pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti, tj. vzorec První ze sčítanců je 100, tedy 100, posledním je 998 čili 998. Ale čemu je rovno n? Využijeme vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti: 1 Známe, i, neznámá je : 998 100 1 2 1 2 898 1 449 450 A nyní už můžeme vypočítat : 2 450 2 100 998 247050 Součet všech sudých trojciferných přirozených čísel je 247050. 18
Beispiel 6 Berechnen Sie die Gesamtzahl aller geraden natürlichen Dreizifferzahlen. Lösung: Wir sollen die Gesamtzahl der Zahlen 100, 102, 104,, 996, 998 finden, d.h. berechnen 100+102+104+ +996+998. Der Unterschied zwischen jeden zwei nacheinander folgenden Summanden ist 2. Für die Bestimmung der gesuchten Gesamtzahl könnten wir die Formel für die Gesamtzahl von ersten n Elementen der arithmetischen Folge nutzen, d.h. die Formel Der ersten von Summanden ist also 100, der letzte ist 998 also 998. Aber was ist gleich n? Wir verwenden die Formel für das n-te Element der arithmetischen Folge: Wir kennen, i, die Unbekannte ist : Und jetzt können wir berechnen: 1 998 100 1 2 1 2 898 1 449 450 2 450 2 100 998 247050 Die Gesamtzahl aller geraden natürlichen Dreizifferzahlen ist 247050. 19
Příklad 7 Část střechy domu má tvar lichoběžníku a je třeba jí pokrýt taškami. Víme, že do řady u hřebenu se vejde 85 tašek, do spodní řady při okapu 102 tašek. Přitom tašky budou srovnány do řad tak, že v každé řadě bude o jednu tašku více než v řadě předchozí. Kolik tašek je třeba koupit? Počítejte 50 tašek jako rezervu navíc. Řešení: Počty tašek v řadách směrem od hřebenu k okapu přibývají vždy o jednu. To znamená, že počty tašek v jednotlivých řadách tvoří členy aritmetické posloupnosti, jejíž diference je 1. Naším úkolem je určit počet tašek, které stačí k pokrytí střechy. K tomuto budeme moci využít vzorec pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti: 2 Víme že 85, 102, neznáme však ještě n (které v našem případě označuje počet řad). K výpočtu neznámého n využijeme vzorec 1 Po dosazení dostaneme: 102 85 1 1 18 Máme už všechny potřebné údaje pro výpočet : 18 2 85 102 1683 Na pokrytí části střechy je nutno nakoupit 1733 tašek. 20
Beispiel 7 Ein Teil eines Daches hat eine Trapezform und es ist nötig, sie mit Dachziegeln bedecken. Wir wissen, dass man in die Reihe beim First 85 Dachziegel und in die untere Reihe bei der Dachrinne 102 hineingeben kann. Die Dachziegel sind dabei so in die Reihen geordnet, dass es in jeder Reihe um einen Dachziegel mehr als in der vorgegangenen Reihe gibt. Wie viele Dachziegeln ist es nötig zu kaufen? Rechnen Sie 50 Dachziegeln extra als Reserve. Lösung: Die Anzahl der Dachziegel in den Reihen in der Richtung von dem Fritz zu der Dachrinne immer um eine mehren. Das bedeutet, dass die Anzahlen der Dachziegel in einzelnen Reihen die Elemente der arithmetischen Folge bilden, deren Differenz 1 ist. Unsere Aufgabe ist die Anzahl der Dachziegel zu bestimmen, die zum Bedecken des Daches reichen. Zu dies können wir die Formel für die Gesamtzahl der ersten n Elemente der arithmetischen Folge nutzen: 2 Wir wissen, dass 85, 102, wir kennen noch n (das in unserem Fall die Reihenanzahl bezeichnet) nicht. Zu der Berechnung des unbekannten n nutzen wir die Formel Nach dem Einsetzen bekommen wir: 1 102 85 1 1 18 Wir haben schon alle nötige Angaben für die Berechnung : 18 2 85 102 1683 Zum Bedecken des Dachteiles ist es nötig 1733 Dachziegel zu kaufen. 21
Cvičení 1. Určete součet prvních dvanácti členů aritmetické posloupnosti, pro kterou platí: a) 6, 28 b) 0, 1,5 c) 2, 19 d) 7, 1 2. Zjistěte, o kolik je větší součet prvních 100 přirozených sudých čísel než součet prvních 100 přirozených lichých čísel. 3. Určete součet prvních 100 přirozených čísel, jejichž zbytek při dělení číslem 5 je 1. 4. Vypočítejte součet všech dvojciferných přirozených čísel. 5. Pětistupňový kotouč pro převody rychlosti má mít krajní poloměry 100 mm a 340 mm. Vypočtěte poloměry zbývajících stupňů. (Tloušťky všech stupňů se sobě rovnají.) Obr.2.1. 6. Dělník obsluhuje 16 poloautomatických tkalcovských stavů. Výkon každého stavu je s metrů látky za jednu hodinu. První stav uvede dělník do chodu na začátku osmihodinové směny, každý další uvádí do činnosti vždy po dvou minutách. Kolik metrů látky vyrobí dělník na každém stavu v první hodině směny? Kolik metrů látky vyrobí za směnu celkem? (Nepředpokládáme žádné poruchy stavů.) 22
Übungen 1. Bestimmen Sie die Gesamtzahl der ersten 12 Elemente der arithmetischen Folge, für die gilt: a) 6, 28 b) 0, 1,5 c) 2, 19 d) 7, 1 2. Stellen Sie fest, wie viel größer ist die Gesamtzahl der ersten 100 natürlichen geraden Zahlen als die Gesamtzahl der ersten 100 natürlichen ungeraden Zahlen. 3. Bestimmen Sie die Gesamtzahl der ersten 100 natürlichen Zahlen, deren Rest beim Dividieren durch die Zahl 5 ist 1. 4. Berechnen Sie die Gesamtzahl aller natürlichen Zweizifferzahlen. 5. Eine Fünfgradscheibe für die Geschwindigkeitsüberführung soll Außenradien 100 mm und 340 mm haben. Berechnen Sie die Radien der restlichen Grade. (alle Gradbreiten sind gleich.) Bild.2.1 6. Ein Arbeiter bedient 16 halbautomatische Webstühle. Die Leistung jedes Stuhles ist s Meter des Stoffes in einer Stunde. Den ersten Stuhl legt der Arbeiter in den Gang am Anfang seiner Acht-Stunden-Schicht, jeden weiteren Stuhl legt er in Gang immer nach zwei Minuten. Wie viele Meter des Stoffes stellt der Arbeiter an jedem Stuhl in der ersten 23
Schichtstunde her? Wie viele Meter stellt er in der Schicht insgesamt? (Wir setzen keine Stuhlpannen voraus.) 7. Ocelové roury se skládají do vrstev tak, že roury každé horní vrstvy zapadají do mezer dolní vrstvy. Do kolika vrstev se složí 90 rour, jsou-li v nejhořejší vrstvě dvě roury? Kolik rour je v nejspodnější vrstvě? 8. Prodejna obdržela nejnovější druh nealkoholické nápoje v plechovkách. Za účelem jeho propagace bude z plechovek při volné stěně jednoho regálu sestaven rovnoramenný trojúhelník : do nejnižší vrstvy tohoto trojúhelníku se postaví vedle sebe 25 plechovek, do každé vyšší o jednu plechovku méně, v nejvyšší vrstvě bude jedna plechovka. Kolik plechovek musí učeň Pepa pro tuto stavbu ze skladu přivézt? 9. Ve městě se buduje hlediště letního kina přibližně pro 1200 diváků. Do první řady se plánováno 40 sedadel, do každé následující řady postupně o 4 sedadla více. Kolik řad sedadel bude hlediště mít? Literatura: doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc.:Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, Posloupnosti a finanční matematika 24
7. Stahlröhren werden so in Schichten zusammengesetzt, dass die Röhren jeder oberen Schicht in die Spaten der unteren Schicht untergehen. In wie viele Schichten werden 90 Röhren zusammengestellt, wenn in der obersten Schicht 2 Röhren sind? Wie viele Röhren sind in der untersten Schicht? 8. Ein Geschäft hat die neueste Art eines alkoholfreien Getränkes in Dosen erhalten. Zum Zweck seiner Propagation wird aus den Dosen bei einer freien Wand im Regal ein gleichschenkliges Dreieck zusammengestellt sein: in die unterste Schicht dieses Dreiecks werden nebeneinander 25 Dosen gestellt, in jede höhere Schicht werden dann immer um eine Dose weniger Dosen gestellt, in der obersten Schichtwird nur eine Dose sein. Wie viele Dosen muss der Lehrling Pepa für diesen Bau vom Lager bringen? 9. In der Stadt wird ein Zuschauerraum eines Sommerkinos ungefähr für 1200 Zuschauer aufgebaut. In die erste Reihe sind 40 Sitze geplant, in jede folgende Reihe stufenweise um 4 Sitze mehr. Wie viele Reihen wird der Zuschauerraum haben? Literatura: doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc.:Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, Posloupnosti a finanční matematika 25