Přechodné děje 1. řádu aplikační příklady 1. Obvod pro vybavení airbagu je uspořádán tak, že v normálním stavu se udržuje kondenzátor 0.47μF nabitý na 20V. Při havárii může být baterie odpojena, ale kontakt akcelerometrického spínače vybije kondenzátor do roznětky vybavovacího zařízení. Zjistěte, za jak dlouho se v rezistoru roznětky 2Ω rozptýlí energie 50μJ potřebná k aktivaci. Teplotní závislost odporu roznětky airbagu zanedbejte (roznětka na bázi tenkých vrstev firmy Vishay s odporovou vrstvou Ta 2 N má například teplotní koeficient odporu 200 ppm, při teplotě vznícení směsi 400, což představuje změnu odporu o cca 2%). 1kΩ 20 V 0.47 μf R a 2 Ω 2. Obvod xenonového fotoblesku lze zjednodušeně modelovat R obvodem dle obrázku. Kapacitor je nabit na napětí, které nezpůsobí výboj. Vlastní výboj je spuštěn vysokonapěťovým impulsem, přivedeným na pomocnou startovací elektrodu. = 180 μf, = 330 V. Výboj pohasne, pokud napětí poklesne na 80 V. a. Z požadavků na velikost systému vychází maximální ztrátový výkon nabíjecího rezistoru 5 W. Vypočítejte odpor nabíjecího rezistoru, pokud nemá být maximální povolený ztrátový výkon v žádném okamžiku překročen. Odpor výbojky považujte za nekonečně velký. b. Vypočítejte dobu nabíjení, jestliže kapacitor byl před začátkem nabíjení zcela bez náboje. Nabíjení považujte za ukončené, pokud napětí na kapacitoru dosáhne 99% napájecího napětí. c. Vypočítejte energii, která je uložena v kapacitoru po dosažení napětí dle bodu b. d. Vypočítejte dobu vybíjení, pokud ekvivalentní odpor oblouku výbojky po aktivaci je 12 Ω. e. Jak dlouho trvá opětovné nabití kapacitoru z 80 V na 99% napájecího napětí? R 330 V 180 μf R F 3. Specifikace 1-wire sběrnice vyžaduje, aby doba přeběhu z logické 0 na logickou 1, resp. Z logické 1 na logickou 0 netrvala déle, jak 15 μs. Sběrnici můžeme modelovat jako R článek, viz obrázek. Jaká může být největší délka kabelu sběrnice, jestliže jeho kapacita je 24 pf/m? (uvažujte nabíjení kapacity kabelu, vnitřní odpor budiče sběrnice, modelovaný odporem R b je vždy řádově menší). R p 2.2 kω 5V R b 1
4. Zapojení podle obrázku představuje ovládací obvod elektromagnetického relé. Ovládací cívka relé se pomocí spínače S připojí v čase t = 0 na zdroj stejnosměrného napětí = 12 V, kotva relé přitáhne a dojde k sepnutí spínacích případně rozepnutí rozpínacích kontaktů relé. Vinutí ovládací cívky relé je modelováno sériovou kombinací induktoru L = 1,1 H (indukčnost vinutí) a rezistoru R L = 1 kω (odpor vodiče, kterým je vinutí navinuto). Paralelně k vinutí relé je připojen rezistor R = 82 kω, který má za úkol zabránit vzniku přepětí při rozpínání ovládacího obvodu (viz otázka d)). Parametry relé jsou s drobnými úpravami převzaty z katalogového listu výrobce (AXIOM), jedná se o miniaturní relé (typ P2 V23079) s rozměry 15x7,5x10 mm s dvojicí přepínacích kontaktů pro jmenovité napájecí napětí 12 V. (Maximální spínané napětí je 250 V, maximální trvalý proud kontaktem 2 A, přechodový odpor kontaktu menší než 50 mω.) Proud vinutí v ustáleném stavu pro jmenovité napájecí napětí je I jmen = 12 ma. Minimální proud potřebný pro přitažení kotvy relé je I přít = 9 ma, k odpadnutí kotvy relé dojde při poklesu proudu pod hodnotu I odp = 2 ma. K přítahu kotvy relé dojde se zpoždění t přít = 3 až 5 ms od okamžiku, kdy proud ovládací cívky dosáhne hodnoty I přít. K odpadnutí kotvy relé dojde se zpoždění t odp = 2 až 4 ms od okamžiku, kdy proud ovládací cívky klesne na hodnotu I odp. vedená zpoždění jsou způsobena mechanickými vlastnostmi systému relé. Popis chování relé je poněkud zjednodušený. Nebereme například v úvahu změnu indukčnosti vinutí relé při přítahu nebo odpadu kotvy. a) vypočítejte časový průběh proudu i L (t) tekoucího ovládacím vinutím relé po jeho připojení na zdroj stejnosměrného napětí = 12 V v čase t = 0. b) vypočítejte čas (zpoždění) t 1, ve kterém tento proud dosáhne hodnoty I přít = 9 ma potřebné pro přítah relé. Jaké bude výsledné zpoždění mezi sepnutím ovládacího spínače S a přitažením kotvy relé (přeložením jeho kontaktů)? Ovlivní elektrické zpoždění (vlivem konečné rychlosti nárůstu proudu v obvodu RL) podstatně celkové zpoždění přítahu relé? (Vzhledem k rozpojenému obvodu pro čas menší než 0 je pochopitelně počáteční proud cívkou vinutí a tedy i počáteční proud i L (0) induktorem L roven 0.) c) po přitažení relé vyčkáme dostatečně dlouho, aby se proud tekoucí vinutím relé ustálil (aby bylo dosaženo ustáleného stavu (SS)). Poté spínač S v ovládacím obvodu relé rozpojíme. Vypočítejte časový průběh proudu i(t) tekoucího vinutím relé po jeho odpojení od zdroje, vypočítejte časový průběh napětí u R (t) na vinutí relé a časový průběh napětí u S (t) mezi kontakty ovládacího spínaše S. Časové průběhy znázorněte graficky případně simulujte pomocí Microapu. (Pro usnadnění výpočtů položme nyní čas t = 0 do okamžiku rozepnutí spínače S. Budeme pak vlastně pracovat s novým časem posunutým oproti původnímu času uvažovanému při sepnutí spínače.) 2
d) změňte hodnotu rezistoru R tak, aby maximální absolutní hodnota napětí u R (t) na cívce relé nepřesáhla hodnotu 500 V (omezení opalování kontaktů při použití mechanického ovládacího spínače S) respektive 50 V (ochrana proti zničení polovodičového spínacího prvku při jeho použití namísto kontaktu S). Hodnoty rezistoru zvolte z běžně dostupné řady hodnot E12. Je možné přepětí vzniklé při rozpínání uvažovaného obvodu s induktorem potlačit zcela (na 0 V)? e) vypočítejte čas (zpoždění) t 2 (měřeno od okamžiku rozepnutí spínače S), ve kterém proud vinutí relé klesne na hodnotu I odp = 2 ma (proud odpadu relé). Jaké bude výsledné zpoždění mezi rozepnutím ovládacího spínače S a odpadnutím kotvy relé (přeložením jeho kontaktů do výchozí polohy) pro různé hodnoty odporu rezistoru R (pro přepětí menší než 500 V, menší než 50 V a pro 0 V)? Ovlivní elektrické zpoždění (vlivem konečné rychlosti poklesu proudu v obvodu RL) podstatně celkové zpoždění odpadu relé? 5. Integrovaný obvod 555, tzv. univerzální časovač, je určení pro generování jednorázových impulzů nebo periodického obdélníkového průběhu s definovanou frekvencí a střídou. Časové intervaly se generují na základě nabíjení a vybíjení kondenzáturu a porovnávání jeho napětí s definovanými komparačními úrovněmi. Funkci obvodu přibližuje zjednodušené blokové schéma na obrázku. Obvod obsahuje napěťový dělič, který vytváří dvě porovnávací napětí 1/3 N a 2/3 N odvozená z napájecího napětí obvodu N. S těmito napětími srovnávají svá vstupní napětí dva komparátory, které svými výstupy ovládají spínač určený pro vybíjení časovacího kondenzátoru. Pokud napětí na kapacitoru při jeho nabíjení překročí hodnotu 2/3 N, pak horní komparátor sepne spínač, který spojí jeden z vývodů obvodu 555 se zemí. Naopak pokud napětí na kapacitoru při jeho vybíjení poklesne pod hodnotu 1/3 N, pak dolní komparátor rozepne spínač (pokud byl předtím sepnut). Podle způsobu připojení vnějších součástek k obvodu 555 může pak nabíjení či vybíjení kapacitoru proběhnout jednorázově nebo se může periodicky opakovat. Zapojení podle obrázku je schopno generovat periodický obdélníkový signál. a) vypočítejte časový průběh napětí u (t) na kapacitoru a určete, jak dlouho (doba t 1 ) se bude kapacitor nabíjet z výchozí hodnoty napětí u (0) = 1/3 N na hodnotu u (t 1 ) = 2/3 N. Výpočet proveďte nejprve obecně a poté pro konkrétní číselné hodnoty prvků obvodu. Námi sledovaný přechodný děj začíná v čase t = 0, kdy dolní komparátor detekoval pokles napětí u (t) na hodnotu 1/3 N a rozpojil spínač S, čímž zahájil nabíjení kapacitoru. V čase t < 0 probíhal tedy předchozí přechodný děj (vybíjení kapacitoru), ze kterého je pro nás důležitá pouze hodnota u (0 ) = 1/3 N představující pro námi sledované nabíjení kapacitoru energetickou počáteční podmínku, tedy spojité napětí u (0 + ) = u (0 ) = u (0) = 1/3 N. Číselné hodnoty jsou N = 5 V, = 4 kω, = 1 kω, = 2,2 μf. 3
b) po dosažení napětí u (t 1 ) = 2/3 N při nabíjení kapacitoru zareaguje horní komparátor a sepne spínač S, čímž ukončí nabíjení kapacitoru a zahájí nový přechodný děj vybíjení kapacitoru. Vypočítejte časový průběh napětí u (t) na kapacitoru a určete, jak dlouho (doba t 2 ) se bude kapacitor vybíjet z výchozí hodnoty napětí u (t 1 ) = 2/3 N na hodnotu u (t 1 + t 2 ) = 1/3 N. Pro usnadnění výpočtů položíme nyní počátek času t * = 0 do okamžiku začátku vybíjení kapacitoru, tedy do času t = t 1. Aby bylo možné použít pro oba navazující přechodné jevy stejný počátek času t = 0, budeme tento přechodný děj pro usnadnění výpočtů počítat v posunutém časovém měřítku t * = t t 1. Přechodné děje 1. řádu obecné příklady 1. V obvodu na obrázku níže je v čase t = 0 sepnut spínač S. Před sepnutím spínače byl obvod v ustáleném stavu. Po 100 ms byl spínač opět rozepnut. a. Vypočítejte časový průběh proudu, tekoucího induktorem. b. Vypočítejte časový průběh napětí. c. Simulujte v programu Microcap periodické spínaní a rozepínání spínače s periodou T = 500 μs. Vysvětlete časový průběh proudu, tekoucího induktorem a napětí v tomto případě. I =15mA; =100Ð; =200Ð;L=0:5H S I L 4
2. V obvodu na obrázku níže je v čase t = 0 sepnut spínač S. Před sepnutím spínače byl obvod v ustáleném stavu. Po 100 ms byl spínač opět rozepnut. a. Vypočítejte časový průběh proudu, tekoucího induktorem. b. Vypočítejte časový průběh napětí. =15V; =100Ð; =200Ð;L=0:5H S L 3. Obvod na obrázku je napájen ze stejnosměrného zdroje proudu I = 2 ma. V čase t < 0 byl spínač S sepnutý. V čase t = 0 spínač rozepne na dobu 100 ms a pak opět sepne. a. Vypočítejte časový průběh napětí. b. Vypočítejte časový průběh napětí, je-li obvod napájen z harmonického zdroje proudu i(t) =2sin100t ma. R =10kÐ; =1¹F R I S 4. K obvodu na obrázku (stejný, jako příklad Frekvenční charakteristiky 2) je v čase t = 0 připojen stejnosměrný zdroj napětí = 16 V. Vypočítejte časový průběh napětí. = = 1 kω, = 1 μf. Jaká je zlomová frekvence frekvenční charakteristiky tohoto obvodu? 5. K obvodu na obrázku (stejný, jako příklad Frekvenční charakteristiky 3) je v čase t = 0 připojen stejnosměrný zdroj napětí = 16 V. Vypočítejte časový průběh napětí. = = 1 kω, = 1 μf. Jaká je zlomová frekvence frekvenční charakteristiky tohoto obvodu? 5
6. K obvodu na obrázku (stejný, jako příklad Frekvenční charakteristiky 4) je v čase t = 0 připojen stejnosměrný zdroj napětí = 16 V. Vypočítejte časový průběh napětí. = = 1 kω, L = 10 mh. Jaká je zlomová frekvence frekvenční charakteristiky tohoto obvodu? L 7. K obvodu na obrázku (stejný, jako příklad Frekvenční charakteristiky 1) je v čase t = 0 připojen stejnosměrný zdroj napětí = 16 V. Vypočítejte časový průběh napětí. R = 1 kω, = 1 μf, K = -10. Jak ovlivní řízený zdroj časovou konstantu obvodu?. Jaká je zlomová frekvence frekvenční charakteristiky tohoto obvodu? u 1 (t) R u v (t)=k 6