Určeno pro posluchače všech bakalářských studijních programů FS

Transkript

1 rčeno pro posluchače všech bakalářských studijních programů FS. STEJNOSMĚNÉ OBVODY pravil ng. Vítězslav Stýskala, Ph D. září 005 Příklad. (výpočet obvodových veličin metodou postupného zjednodušováni a užitím O. Z.): V následujícím obvodě určete metodou postupného zjednodušování hodnoty zadaných proudů, napětí a výkonů. uzel a) P = 0 V 4 = 60 Ω = 0 Ω 5 = 90 Ω = 40 Ω 6 = 0 Ω uzel b) = 40 Ω Schéma. rčit: celkový odpor a) C, b),,,, 4, 5, c) a,b, d) výkon P 6 (na rezistoru 6 ) Řešení: Ad a) ezistory a 4 jsou spojeny paralelně, vypočítáme jejich výsledný odpor: 4 = = = 4 Ω ezistory 5 a 6 jsou zapojeny sériově, jejich výsledný odpor: = = = 0 Ω Schéma. Obvod se nám pak zjednoduší na schéma. Dále vidíme, že rezistory 4 a 56 jsou paralelně, jejich výsledný odpor: 456 = = = 0 Ω Tím se nám obvod dále zjednoduší na následující schéma : ezistory 456 a jsou zapojeny sériově, jejich výsledný odpor: 456 = = = 60 Ω Obvod se tímto krokem dále zjednoduší (schéma 4): Schéma Schéma 4.

2 ezistory a 456 jsou zapojeny paralelně, jejich výsledný odpor C je zároveň celkový odpor vzhledem ke svorkám zdroje: C = = = 0 Ω C Obvod se nám zjednoduší na konečné schéma (schéma 5): Ad b) Schéma 5. Při řešení jednotlivých veličin v obvodě nyní postupujeme pozpátku po jednotlivých zjednodušených schématech a vypočítáváme jednotlivé veličiny. Z 0 Vypočítáme celkový proud z Ohmova zákona (podle schématu 5): = = = 5, A C 0 Dále proudy a podle schématu 4: = Z 0 = 0 = A = Z 0 = 60 = 0, 5 A Ad c) V dalším kroku se vrátíme ke schématu. a vypočítáme : a,b = 456 = 0,5 0 = 0 V Ve schématu. vidíme, že napětí je na rezistoru 56, kterým protéká proud 5 : a,b 0 5 = = = 0,08 A 0 56 Vrátíme-li se k původnímu schématu vidíme také, že napětí je zároveň napětím na rezistorech a 4, proudy těmito rezistory můžeme tedy vypočítat jako: a,b 0 a,b 0 = = = 0,5 A 4 = = = 0,667 A Ad d) Výkon na rezistoru 6 můžeme vypočítat z proudu tímto rezistorem a jeho odporu: P 6 = 6 6 = 0 0,08 = 0,08 W Příklad. (řešení pomocí metody Kirchhoffových rovnic) : Máme dvě paralelně spojené autobaterie, každá má určité vnitřní napětí i a vnitřní odpor i. Připojovací kabely mají odpor V. Vypočítejte napětí a proudy v obvodě. rčit: i = V i =, V a),, b) i = 0,08 Ω i = 0, Ω V = 0,06 Ω V = 0,04 Ω Z = 0,5 Ω

3 Ad a) K řešení použijeme metodu Kirchhoffovývh rovnic. V Pro obvod sestavíme tři rovnice, dvě podle. Z Kirchhoffova zákona (pro napětí ve smyčkách) a i jednu podle. Kirchhoffova zákona (pro proudy Z i v uzlu). Neznámými budou proudy. V Z Napětí, která jsou ve směru šipek uvnitř smyčky budeme považovat za kladná, proudy vtékající do uzlu za kladné. Napětí na odporech vyjádříme z Ohmova zákona jako. ovnice podle. Kirchhoffova zákona pro levou smyčku: - i + i + V + Z Z + V = 0 ovnice podle. Kirchhoffova zákona pro pravou smyčku: - Z Z - V - i + i - V = 0 ovnice podle. Kirchhoffova zákona pro horní uzel: + - Z = 0 ovnice upravíme: ( i + V + V ) + Z Z = i V V i i - Z Z + (- V - i - V ) = - i + - Z = 0 Do rovnic dosadíme konkrétní čísla a vyčíslíme závorky: 0, + 0,5 Z = 0,5 Z + 0,8 =, + - Z = 0 Tuto soustavu rovnic můžeme řešit jakýmkoli způsobem, v tomto řešeném příkladě použijeme dosazovací metodu, ale možná by byla i jakákoli jiná. Vyjádříme si Z Z = +, toto dosadíme do prvních dvou rovnic: 0, + 0,5 ( + ) = 0,5 ( + ) + 0,8 =, Po úpravě: 0,55 + 0,5 = 0,5 + 0,7 =, Z první rovnice vyjádříme : 0, 5 = =, 64 0, 66 0, 55 Dosadíme do druhé rovnice: 0,5 (,64-0,66 ) + 0,7 =,

4 Po úpravě: 0,5074 =,96 Z toho =, = 5,, 767 A Proud =,64-0,66 =,64-0,66 5,767 = 9,97 A Proud zátěží Z = + = 5, ,97 = 5,79 A Ad b) Napětí na zátěži bude = Z Z = 0,5 5,79 = 9,009 V Příklad. (napájení trakčního vedení ze dvou míst, výpočet veličin a efektivnosti): Úsek stejnosměrné železniční tratě je napájen ze dvou stran, jak ukazuje obrázek. S uvažováním úbytků napětí na vedení i kolejnicích vypočítejte napětí na lokomotivě, její příkon, ztráty výkonu při přenosu a účinnost přenosu energie. vnitřní napětí napájecí stanice : = 600 vnitřní napětí napájecí stanice : = 00 V V délka úseku : l = 8000 m délka úseku : l = 000 m vnitřní odpor napájecí stanice : i = 0, Ω vnitřní odpor napájecí stanice : i = 0,5 Ω odpor trolejového vedení : v = 0,7 Ω odpor trolejového vedení : v = 0,96 Ω odpor kolejnic : k = 0,5 Ω odpor kolejnic : k = 0, Ω náhradní odpor lokomotivy: L = 4,5 Ω rčit: a) L, b) P L, P, c)η trolejové vedení napájecí stanice + + kolejnice - - napájecí stanice l l Obr.. Nákres skutečné trakční situace Ad a) Pro výpočet vyjdeme z náhradního schématu na obr.. K řešení použijeme metodu Kirchhoffovývh rovnic. Sestavíme tři rovnice, dvě podle. Kirchhoffova zákona a jednu podle. Kirchhoffova zákona. Neznámými budou proudy. Napětí, která jsou ve směru šipek uvnitř smyčky budeme považovat za kladná, proudy vtékající do uzlu za kladné. Napětí na odporech vyjádříme z Ohmova zákona jako. i v v L L L k k Obr.. Náhradní schéma i ovnice podle. Kirchhoffova zákona pro levou 4

5 smyčku: - + i + v + L L + k = 0 ovnice podle. Kirchhoffova zákona pro pravou smyčku: - k - L L - v - i = 0 ovnice podle. Kirchhoffova zákona pro proudy: + - L = 0 Po dosazení do rovnic: , + 0,7 + 4,5 L + 0,5 = , - 4,5 L - 0,96-0,5 = L = 0 Po úpravě a dosazení L = + : 0, + 0,7 + 4,5 ( + ) + 0,5 = 600-0, - 4,5 ( + ) - 0,96-0,5 = -00 Po úpravě: 5,45 + 4,5 = 600 4,5 + 5,8 = 00 5,45/4,5 Dostaneme: 5,45 + 4,5 = 600 (*) 5,45 + 7,048 = 996,667 ovnice odečteme a dostaneme: -,548 = -96,667 Z toho: = 55,678 A Z rovnice (*) potom: 600 4,5 55,678 = = 5,0 A 5,45 Dále L = + = 55, ,0 = 687,688 A Napětí na lokomotivě L = L L = 4,5 687,688 = 094,596 V Ad b) Příkon lokomotivy P L = L L = 094, ,688 = 8 6,54 W Ztráty výkonu vypočítáme z rozdílu výkonů napájecích stanic a výkonu lokomotivy. Výkony napájecích stanic: P = = 600 5,0 = 95 6 W P = = 00 55,678 = 5 77,4 W 5

6 Ztráty výkonu při přenosu energie: P = P + P - P L = ,4-8 6,54 = ,866 W Ad c) Účinnost přenosu: PL 86,54 η = = = 0,876, η (%) =η 00 = 0, = 87,6 % P + P ,4 Příklad.4 (napájení spotřebičů z jednoho zdroje, úbytky napětí na vedení): Ze stejnosměrného zdroje jsou dvouvodičovým vedením z hliníku, zadané délky a průřezu, napájeny tři spotřebiče, jejichž odpor je známý. Vypočítejte a) napětí na spotřebičích, b) proud tekoucí ze zdroje a c) proudy jednotlivými spotřebiči, přitom uvažujte úbytky napětí na vedení! = 0 V Z = 00 Ω l = 80 m Z Z Z = 00 Ω l = 65 m Z = 40 Ω l = 40 m l l S = mm ρ Al = 0, Ω m l Z rčit:,,,,,, Řešení: Nejdříve vypočítáme odpory jednotlivých vedení: V V V l 6 80 = ρ = 0, S 0 = 4, 86 Ω l 6 65 = ρ = 0, S 0 =, 76 Ω l 6 40 = ρ = 0, S 0 =, 78 Ω Náhradní schéma obvodu bude potom podle následujícího schématu (). ezistory V a Z jsou zapojeny do série, rezistory V a Z také. Vypočítáme výsledné hodnoty sériových kombinací: = V + Z =,78+40=47,56 Ω V Z V V Z Z = V + Z =,76+00=0,5 Ω V V V Schéma. 6

7 Zapojení se nám zjednoduší podle následujícího schématu (), rezistory Z, a jsou zapojeny paralelně, jejich výsledný odpor nazveme X. V Z V X = = Z 00 0, 5 47, 56 = 46, 64 Ω schéma. Zapojení se nám dále zjednoduší, jak ukazuje schéma (). Výsledný odpor tří do série zapojených rezistorů bude: = V + X = 4,86+46,64 = 56,6 Ω Proud ze zdroje bude: 0 = = =, 90 A 56, 6 Ze schématu () je vidět, že napětí můžeme vypočítat jako: = X = 46,64,90 = 8,0 V V V schéma X Ze schématu () je vidět, že proudy, a můžeme vypočítat jako: X 8, 0 = = = 0, 9 A 00 Z X 8, 0 = = =, 758 A 0, 5 X 8, 0 = = =, 4 A 47, 56 Ze schématu () je vidět, že napětí a můžeme vypočítat jako: = Z = 00,758 = 75,8 V = Z = 40,4 = 7,8 V Příklad.5 (napájení ze dvou stran, úbytky napětí na vedení): V předchozím příkladě nám vyšly úbytky napětí v místě spotřebičů příliš velké. Předpokládejme, že situace se dá vylepšit tím, že k síti by se připojil ještě jeden zdroj, (napětí obou napájecích zdrojů nebudou zcela stejná). Vypočítejte napětí na spotřebičích a proudy, tekoucí v jednotlivých místech sítě. 7

8 A V B A Z Z B l l l 4 l Z rčit: A = 0 V,,, A, B, V,,, B = 0 V l 4 = 50 m Z = 00 Ω l = 80 m Z = 00 Ω l = 65 m Z = 40 Ω l = 40 m S = mm ρ Al = 0, Ω m Řešení: Odpory prvních tří vedení známe z minulého příkladu: V = 4,86 Ω; V =,76 Ω; V =,78 Ω l V4 = ρ = 0, = 4, 05Ω S 0 Protože jsou v obvodu dva zdroje, jejichž napětí nemůžeme jednoduše sečíst, použijeme k řešení metodu Kirchhoffových rovnic.náhradní schéma je na obrázku.pro zjednodušení výpočtu nahradíme prvky Z, V a Z jedním náhradním rezistorem X (obrázek ). A A A V V V V Z Z V V V V obr.. V V V4 B Z B V4 V4 B Proudy, a napětí dopočítáme obdobně, jako při metodě postupného zjednodušování. A X X V V obr.. Z V4 B 8

9 = V + Z =,78+40=47,56 Ω X = = + Z = 84, 9Ω , Pro obvod podle obrázku, sestavíme tři rovnice podle. Kirchhoffova zákona (součty napětí ve smyčkách se rovnají nule) a dvě podle. Kirchhoffova zákona (součty proudů v uzlech se rovnají nule). Šipkami jsou ve smyčkách naznačeny směry, ve kterých budeme napětí sčítat, (napětí ve směru šipek jako kladná, proti směru jako záporná). Úbytky napětí na odporech vyjádříme jako. Také musíme mít na paměti, že např. rezistorem V v horní větvi i v dolní větvi protéká stejný proud V. Pro první smyčku: -A + V A + X X + V A = 0 Pro druhou smyčku: - X X + V + Z + V = 0 Pro třetí smyčku: - Z - V4 B + B - V4 B = 0 Pro první uzel: A - V - X = 0 Pro druhý uzel: V + B - = 0 Pro řešení soustavy rovnic můžeme použít libovolnou metodu. Zde použijeme metodu dosazovací. Tzn. do rovnic dosadíme číselné hodnoty a konstanty převedeme na pravou stranu: 4,86 A + 84,9 X = 0-84,9 X +,76 V + 00 V = ,05 B = -0 A - V - X = 0 A = V + X (A) V + B - = 0 B = - V (B) Do prvních dvou rovnic dosadíme za A a B. 9,7 ( V + X ) + 84,9 X = 0-84,9 X +,5 V + 00 = , ( - V ) = -0 Dále upravíme: 94,6 X + 9,7 V = 0 (C) 00-84,9 X +,5 V = 0 (D) -08, + 8, V = -0 Z rovnice (E) vyjádříme proud : =, ,0749 V Tento proud dosadíme do rovnice (D): (E) (F) 9

10 00 (, ,00749 ) - 84,9 X +,5 V = 0 ovnici dále upravíme a spolu s rovnicí (C) máme nyní dvě rovnice o dvou neznámých: -84,9 X +,0 V = -94,6 94,6 X + 9,7 V = 0 Z první rovnice si vyjádříme proud V : V = -7,64 + 7,7 X Tento proud dosadíme do druhé rovnice: 94,6 X + 9,7 (-7,64 + 7,7 X ) = 0 Po úpravě: 69,59 X = 9,46 Z toho: X =,08 A Dosazením do vztahu (G) dostaneme: Dosazením do vztahu (F) dostaneme: Dosazením do vztahu (A) dostaneme: (G) V = -7,64 + 7,7,08 = 0,6 A =, ,0749 0,6 =,955 A A = 0,6 +,08 =,47 A Dosazením do vztahu (B): B =,955-0,6 =,79A Podle schématu na obrázku můžeme vypočítat : = X X = 84,9,08 = 95,97 V Podle schématu na obrázku můžeme vypočítat proudy a. X 95, 97 = = = 0, 9798 A Z 00 X 95, 97 = = =, 8 A 47, 56 Dále určíme napětí a : = Z = 00,955 = 95,5 V = Z = 40,8 = 85,9 V Závěr: Srovnáme-li tyto výsledky s výsledky z minulého příkladu (kdy byla síť napájená pouze z jednoho zdroje) vidíme, že napětí na spotřebičích je o něco vyšší, i když úbytky jsou stále příliš velké. Příklad.6 (změna odporu vlivem oteplení procházejícím proudem): Je potřeba určit teplotu vinutí asynchronního motoru při dlouhodobém provozu (vinutí se vlivem ztrát zahřívá). K zjištění teploty bylo použito měření odporu vinutí za studena a za tepla Ohmovou metodou (připojením stejnosměrného zdroje 6 V a změřením proudu). stejnosměrné napětí = 6 V stejnosměrný proud za studena 0 = 4,4 A Stejnosměrný proud po zahřátí =,5 A teplota okolí ϑ 0 = 0 C materiál vinutí měď, koeficient teplotní 0

11 rčit: Teplotu vinutí za provozu (po zahřátí) ϑ. závislosti odporu α Cu = 0,008 K - Řešení: V náhradním schématu (které je pouze pro jednu fázi) vidíme, že vinutí motoru má indukčnost a odpor. Při napájení stejnosměrným proudem v ustáleném stavu se indukčnost neuplatní. Proud je dán pouze velikostí stejnosměrného napětí a odporu vinutí. Vypočítáme tedy odpor vinutí za studena, zde předpokládáme, že vinutí má teplotu okolí a po zahřátí. Ze vztahu pro teplotní závislost odporu kovových materiálů určíme teplotu vinutí za provozu. 6 Odpor za studena 0 = = =, 67 Ω, 0 4, 4 6 odpor po oteplení = = =, 74 Ω., 5 Vztah pro změnu teploty s odporem ϑ ϑ 0 = 0 ( + α ϑ ) ϑ =, α za odpor ϑ dosadíme odpor za provozu. 0, 74, 67 Potom ϑ = = = 66, 79 C, 0 α, 67 0, 008 Vypočítané oteplení je oteplení oproti počáteční teplotě, tedy teplotě okolí. Skutečná teplota vinutí za provozu tedy bude: ϑ = ϑ + ϑ 0 = 66, = 86, 79 C 0 L Náhradní schéma Příklad.7 (určení potřebného napájecího napětí s respektováním úbytku na vedení): Máme zvonek připojený k baterii relativně dlouhým dvouvodičovým vedením, vypočítejte potřebné napětí napájecí baterie, jsou-li zadány následující parametry: B B vedení l skutečné schéma zapojení V V V V náhradní schéma zvonek Z Z Jmenovité napětí zvonku = 6 V Jmenovitý proud zvonku Z = 0,6 A Délka vedení l = 70 m Průřez vodiče S = 0,5 mm Měrný odpor mědi ρ Cu = 0, Ω m rčit: Potřebné napětí baterie B. Řešení: Jak je vidět v náhradním schématu, nahradili jsme oba přívodní vodiče jejich odpory V a zvonek jeho odporem Z. Na odporech přívodních vodičů vzniknou úbytky napětí V.

12 Odpor zvonku Z nepotřebujeme znát ( známe jeho jiné jmenovité veličiny), vypočítáme tedy l 6 70 odpor vodiče: V = ρ Cu = 0, =, 45Ω S 0, 5 0 Bude-li obvodem procházet jmenovitý proud zvonku, bude na jednom vodiči úbytek napětí: V = Z V = 0,6,45 =,47 V Potřebné napětí baterie bude B = + V = 6 +,47 = 8,94 V. Příklad.8 (určení hodnot - předřadného rezistoru a bočníku pro elektrodynamické měřidlo) : Elektrodynamický měřicí systém analogového měřícího přístroje, jehož napětí a proud při maximální výchylce (rozsahu) je 0, V a ma. m = 0, V, m = ma rčete: a) Parametry ( P a P P ) předřadného rezistoru, chceme-li z měřicího systému postavit voltmetr s rozsahem 0 V. b) Parametry ( B a P B ) bočníku (rezistoru), chceme-li z měřicího systému postavit ampérmetr s rozsahem 0 A. Řešení: Měřicí systém je základem analogového měřicího přístroje. Může být použit jak pro měření proudu, tak i napětí. V našem případě můžeme použít samotný systém k měření proudů do ma, nebo napětí do 0, V. Připojíme-li k měřicímu systému sériově předřadný rezistor, získáme voltmetr s vyšším rozsahem, připojíme-li k němu paralelně rezistor (zvaný bočník), získáme ampérmetr s vyšším rozsahem. Ad a) Odpor předřadného rezistoru musíme navrhnout tak, aby když bude napětí = 0 V bylo na měřicím systému přesně napětí m = 0, V. p = - m = 0-0, = 9,7 V Předřadným rezistorem i měřicím systémem protéká stejný proud, při plné výchylce je to proud m = ma. p 9,7 p = = = 9700 Ω m 0,00 Výkon na předřadném rezistoru (při měřeném napětí 0 V): m p p m měřicí systém P p = p m = 9,7 0,00 = 0,0097 W = 9,7 mw.

13 Ad b) Odpor bočníku musíme navrhnout tak, aby při proudu = 0 A protékal měřicím systémem proud ma. b = - m = 0-0,00 = 9,999 A. Na bočníku i na měřicím systému je stejné napětí, při plné výchylce je to napětí m = 0, V. m 0, b = = = 0, 0 Ω b 9,999 P b = m b = 0, 9,999 = W b b m m měřicí systém