Přechodné děje 1. řádu v časové oblasti

Transkript

1 Přechodné děje 1. řádu v časové oblasti EO2 Přednáška 6 Pavel Máša

2 Pokud v obvodu dojde ke změně Připojení zdroje Odpojení zdroje Připojení nebo odpojení obvodového prvku (R, L, C, ) Změně velikosti některého z obvodových parametrů (R, L, C, zesílení, ) V obvodu musí dojít ke změně velikosti napětí a proudů Tato změna není přitom okamžitá Tyto změny budeme nazývat přechodnými ději S přechodnými ději se setkáváme zcela běžně, kdykoli je libovolná fyzikální soustava vychýlena ze své rovnovážné polohy, a síla, která tuto výchylku způsobila, pak přestane působit kmity kyvadla, houpání houpačky, kmity pružiny, tlumičů automobilu, Jak vypočítat časový průběh těchto přechodných dějů? Co vše přechodné děje ovlivňují? ÚVODEM Kolik forem mohou přechodné děje mít?

3 U ideálního rezistoru, ale i ideálního řízeného zdroje, kde je vztah mezi napětím a proudem určen násobením konstantou, jsou jakékoliv změny okamžité Nenulovou dobu trvají pouze jevy, spojené s dodávkou energie kdyby byly tyto děje nekonečně rychlé, musely by zdroje dodávat nekonečný okamžitý výkon Aby v obvodu došlo k přechodnému ději, musí obvod obsahovat prvky, akumulující energii C, L Řád přechodného děje Každý obvod můžeme popsat soustavou integro diferenciálních rovnic Eliminací obvodových veličin (postupným derivováním původních obvodových rovnic a dosazováním obvodových veličin a jejich derivací do ostatních rovnic) dostaneme pro vybranou obvodovou veličinu diferenciální rovnici n tého řádu d n y a n dt + a d n 1 y n n 1 dt + + a dy n 1 1 dt + a 0y = x(t) kde a 0 ;a 1 ;:::a n x(t) je lineární kombinací napětí a proudů nezávislých zdrojů a jejich derivací konstanty jsou kombinací R, L, C, M parametrů pasivních prvků a K, R, G, H parametrů řízených zdrojů Řád výsledné diferenciální rovnice (přechodného děje) je roven nejvýše počtu energii akumulujících prvků v obvodu (L, C) počtu neslučitelných induktorů a kapacitorů Oba rezistory i kapacitory mohou být sloučeny každý do jednoho prvku

4 OBECNÝ POSTUP ŘEŠENÍ PŘECHODNÝCH DĚJŮ V ČASOVÉ OBLASTI 1. Nalezení energetických počátečních podmínek (ustálený stav před změnou) 2. Eliminace proměnných 3. Nalezneme obecné řešení y 0 (t) homogenní rovnice d n y a n dt + a d n 1 y n n 1 dt + + a dy n 1 1 dt + a 0y =0 nejlépe řešením charakteristické rovnice a n n + a n 1 n a 1 + a 0 =0 obecné řešení se liší v závislosti na charakteru kořenů char. rovnice: kořeny Jednoduché reálné Násobný reálný (násobnost m) Komplexně sdružený y 0 (t) = nx A k e kt k=1 y 0m (t) = A 1 + A 2 t + A 3 t A m t 1;2 = j! m 1 e t K e 1t 1 + K e 2t 2 = e t (A sin!t + B cos!t) = = D sin (!t + Ã) Nezávisí na charakteru budících zdrojů, jen na prvcích obvodu λ < 0 (asymptoticky) stabilní obvod (pasivní vždy)

5 4. Komplementární řešení přechodného děje obsahuje dále partikulární řešení partikulární řešení je určeno charakterem zdrojů (je to ustálený stav po změně) zdroj y(t) =y o (t)+y p (t) x(t) 0 0 Stejnosměrný X 0 Y 0 Sin X m sin(!t + ') Y m sin(!t + Ã) PNUS P X Xmk X sin(k!t + ' k ) P Y Ymk Y sin(k!t + Ã k ) 5. Nalezení konstant A k Je nutné n zderivovat řešení rovnice (kde n je řád přechodného děje) k=1 Potřebujeme znát řešení rovnice v určitém čase ale my ho známe počáteční podmínky! Nejprve ale musíme najít řešení derivací komplementárního řešení matematické počáteční podmínky Nakonec řešíme n soustavu rovnic o n neznámých k=1 y p (t) y p (t)

6 Připojení zdroje ke kapacitoru bez energie Matematické řešení: OBVOD 1. ŘÁDU S KAPACITOREM Intuitivní popis chování obvodu: V okamžiku připojní zdroje je na rezistoru napětí zdroje U, protéká jím proud I = U R Za čas Δt proteče rezistorem náboj q = I Δt, napětí na kapacitoru vzroste o U = q C = I t Napětí na rezistoru ale o ΔU kleslo, takže se snížil proud, a tedy i rychlost nabíjení 1. Počáteční podmínka uvažujeme obvod bez energie 2. Obvodová rovnice MUN u c (0) = 0 pro obecné řešení by bylo možné použít i MSP, počáteční podmínka by ale nebyla spojitá C du c(t) + u c(t) U dt R =0 ) RC du c(t) + u c (t) =U dt 3. Charakteristická rovnice, a její řešení metodou variace konstant obecné řešení RC +1=0 ) = 1 RC u co = Ke t = Ke t RC 4. Ustálený stav v obvodu po odeznění přechodného děje partikulární řešení a) Stejnosměrný zdroj u cp = u c (1) =U C

7 5. Do komplementárního řešení dosadíme t = 0 počáteční podmínku a vypočítáme konstantu K u c (0) = Ke 0 + U = K + U ) 0=K + U ) K = U ³ u c (t) =U 1 e t RC Definujeme časovou konstantu obvodu = 1 = RC Přechodný děj sice teoreticky odezní po nekonečně dlouhé době, prakticky ale: čas % ustáleného stavu τ τ τ Přechodný děj obvykle považujeme za ukončený za dobu 3τ Časová konstanta je jedním z kritických faktorů, limitujících maximální frekvence zesilovačů, sběrnic a jiných obvodů Časová konstanta je průsečíkem tečny k časovému průběhu v počátku s ustáleným stavem

8 4. Ustálený stav v obvodu po odeznění přechodného děje partikulární řešení a) Sinusový zdroj Porovnejme řešení přechodného děje v RC obvodu v obvodu R = 850 Ω, C = 1 μf se a) Stejnosměrným buzením U = 90 V b) Harmonickým buzením u(t) =90sin(2¼ 5000 t)v Časová konstanta obvodu = RC = =0:85 ms ) = 1 Komplementární řešení SUS u p (t) =U HUS 1 UC bu C = b j!c U R + 1 j!c u c (t) =Ke 1176:47t + u p (t) u c (t) =90(1 e 1176:47t ) V u p (t) =3:37 sin(31416t 1:53) [V] nyní položíme t = 0 = b 1 U 1+j!RC = j 2¼ =K +3:37 sin( 1:53) ) K =3:37 : u c (t) =3:37e 1176:47t +3:37 sin(31416 t 1:53) V 0:00085 = 1176:47 =3:37e 1:53j 6

9 Maximální hodnota časového průběhu je ale zpočátku téměř dvojnásobná, nežli je pak ustálený stav Exponenciální průběh je reakcí obvodu na připojení zdroje; je charakteristickou vlastností daného obvodu, na časovém průběhu napětí zdroje vlastně nezáleží Amplituda této exponenciely závisí na počátečním stavu obvodu (jak byl nabit kapacitor a jaké napětí je na zdroji v okamžiku připojení u harmonického zdroje to může být cokoli v intervalu h U m ;U m i

10 Odpojení zdroje od kapacitoru Kapacitor je nabit, počáteční podmínka je nyní (většinou) nenulová předpokládejme ustálený stav v obvodu SUS HUS u c (t) u c (0) = U u p =0 90 = K +0 u c (t) =90e 1176:47t V t<0 t =0 t!1 u p = u(t) =3:37 sin(31416t 1:53) V u c (0) = 3:37 sin( 1:53) = : 3:37 V u c (t) = 3:37 e 1176:47t V t[s] x 10-3 SUS u c (t) t[s] x 10-3 HUS

11 Obecné řešení v RC obvodu u c (t) =[u C (0 + ) u p (0)] e t + u p (t) Napětí, na které byl nabit kapacitor před připojením / odpojením zdroje Ustálený stav zde je to stejnosměrno, sinusovka, nebo 0 Napětí ustáleného stavu na kapacitoru v okamžiku připojení / odpojení dáno fázovým posunem zdroje a napětí v obvodu Složitější obvod s jedním kapacitorem Obvod z hlediska svorek kapacitoru nahradíme Théveninovým náhradním obvodem řešení je pak stejné, jako výše

12 Příklad: Obvod podle obrázku je napájen z obdélníkového zdroje o napětí 2V. Za platnou úroveň logické 1 budeme považovat napětí větší jak 75% maximálního napětí. Přípustná doba náběhu na platnou úroveň logické 1 nechť je max. 20 % doby trvání hodinového impulsu. Jaká může být nejvyšší hodinová frekvence datové linky? V1 u(t) =U(1 e t ) 100 R1 C1 4p = RC = =400ps t = ln(1 u(t) U )= ln(1 1:5 2 )=554ps f = 1 =180:38 MHz 2 5 t

13 Příklad: USB sběrnice v režimu plné rychlosti (12 Mb/s) pracuje s napětím 1.8 V. Impedance linky je 90 Ω. Maximální povolená kapacitní zátěž je 18 pf. Maximální přípustná doba přeběhu z nízké na vysokou úroveň a zpět je 10 ns (z 0,45 na 1,35 V). Vyhovuje linka této specifikaci? ANO; =1:62 ns 1:35 1:8 z0.45vna1.35vp reb ehne za t = 1:65 ln =1:78 ns 0:45 1:8 Maximální povolená kapacitní zátěž vysokorychlostní (240 MHz, 480 Mb/s) USB sběrnice je 14 pf. Může tato sběrnice pracovat s napěťovým buzením? NE, časová konstanta je příliš velká Může tato sběrnice pracovat s buzením zdrojem proudu ma? q = I t t = CU I ANO, a pracuje proudový zdroj nabije kapacitu přes odpor rychleji U = q C = I t C = :9 17: =0:7ns

14 Obvod, ve kterém počítáme jinou obvodovou veličinu, nežli napětí na kapacitoru u c (0) i 1 (t) i 2 (t) u 2 (t) V obvodu na obrázku vypočítejte časový průběh napětí u 2 (t) po sepnutí a po rozepnutí spínače Řešení: Časový průběh napětí na rezistoru R 3 je dán protékajícím proudem i 2 (t) steným proudem, který protéká kapacitorem. Nejprve vypočítáme časový průběh napětí na kapacitoru. Sepnutí: u c (0) = 0 V U R i = u p = U =15 R 1 + R =10V i 2 (t) = 0 žádný úbytek napětí na rezistoru R 3, U R2 = U c R i = R 3 + R 1 R 2 = R 1 + R =1666:6Ð = R i C =1:6ms u c (t) =[0 10] e 600 t +10 i 2 (t) =C du c(t) = ( 600)e 600 t =6e 600 t ma dt u 2 (t) =R 3 i 2 (t) =6e 600 t V

15 Rozepnutí: u R c c(0) = U =15 R 1 + R =10V u p =0V R i = R 3 + R 2 = = 3000 Ð = R i C =3ms u c (t) =[10 0] e 333:3 t +0 i 2 (t) =C du c(t) h = (333:3)e 333:3 ti =3:3e 333:3 t ma dt u 2 (t) =R 3 i 2 (t) =3:3e 333:3 t V

16 RC obvod s řízeným zdrojem u x (t) U v = KU x V obvodu na obrázku vypočítejte časový průběh napětí u 2 (t) po připojení zdroje napětí U 1. Théveninův teorém U i U x ) U i + KU x U =0 U +0+U x =0 = R i C = RC(1 K) Uv U v U i = U(1 K) t u c (t) =[0 U(1 K)] e RC(1 K) + U(1 K) =U(1 K) h1 e I k I k = U R ) R i = U i U(1 K) = I U k t RC(1 K) i R = R(1 K) u x (t) =u c (t)+ku x (t) ) u x (t) (1 K) =u c (t) ) u x (t) =U ³ 1 e t RC(1 K)

17 2. Přímé řešení u c (0) = 0 V u c (0) + Ku x (0) u x (0) = 0 ) u x (0) = 0 V Počáteční podmínku je nutné s pomocí obvodových rovnic vypočítat U + R 0+u xp =0 ) u xp = u x (1) =U u x (t) U + C d R dt [u x(t) Ku x (t)] = 0 1 RC(1 K) +1=0 ) = RC(1 K) t t u x (t) =[0 U] e RC(1 K) + U = U ³1 e RC(1 K) u x (t) U v = KU x

18 Periodický obdélníkový zdroj integrační obvod =1ms T T =20ms R =1kÐ;C=1¹F! 0 = 100¼ U m =1V PNUS: 1X 2 u 1 (t) =0:5+ (2k 1)¼ sin(2k 1)! 0t ) U 01 =0:5, ^U1k = k= V tomto případě můžeme každou změnu napětí obdélníkového průběhu řešit jako samostatný přechodný děj napětí přechodného děje na konci půlperiody je počáteční podmínkou pro následující přechodný děj zde můžeme zanedbat (2k 1)¼ U 02 =0:5, ^U2k = ^U 1 1k 1+j(2k 1)! 0 RC = 2 (2k 1)¼ 1 1+j(2k 1)0:1¼ u 2 (t) =0:5+0:607 sin(314:16t 0:304) + 0:154 sin(942:48t 0:756) + 0:068 sin(1570:79t 1:004) + Přechodný děj: t 2 (0; 0:1) u 2 (t) =1 e 1000t t 2 (0:1; 0:2) t 2 (0:2; 0:3) u 2 (0:01) = 0: V u 2 (t) =0: e 1000(t 0:1) u 2 (0:02) = 0: V u 2 (t) =1 0: e 1000(t 0:2)

19 À T =1ms T =0:2ms R =1kÐ;C=1¹F! 0 = 10000¼ x PNUS: u 1 (t) = x X k= 1 ^U 1k e jk! 0t PNUS neřeší přechodný děj, pouze ustálenou složku ta je rovna střední hodnotě obdélníkového signálu Exponenciální trend odpovídá průběhu pomalého přechodného děje s časovou konstantou τ ) U 01 = U m t 0 =0:12, ^U1k = U m e jk! 0 t 0 1 = T jk2¼ U 02 = U 01, ^U2k = ^U 1 1k 1+jk! 0 RC = 1 e jk0:24¼ 1 1 jk2¼ 1+jk10¼ 1 e jk0:24¼ 1 jk2¼ k = 1;::: 1; 1 :::1

20 t 2 (0; 24 ¹s) u 2 (t) =1 e 1000t u 2 (24 ¹s) =0: V t 2 (24 ¹s; 200 ¹s) u 2 (t) =0: e 1000(t 0:000024) u 2 (200 ¹s) =0: V t 2 (200 ¹s; 224 ¹s) u 2 (t) =1 0: e 1000(t 0:0002) u 2 (224 ¹s) =0: V ::: Ustálený stav jak z rovnice přechodného děje určit napětí, mezi kterými časový průběh osciluje: u 2 u 1 24 μs 176 μs 1. úsek stoupající exponenciela u c (0) = u 1 ; u p =1; t =24¹s 2. úsek klesající exponenciela u c (0) = u 2 ; u p =0; t = 176 ¹s 2 e 0: e 0:176 " u1 u 2 # = u(24 ¹s) =u 2 =(u 1 1) e 0: u(176 ¹s) =u 1 = u 2 e 0:176 " e 0:024 # 1 0 Soustava rovnic ) u 1 = 0: u 2 = 0:130824

21 Kladná střední hodnota U max = 1 U min = 0 Nulová střední hodnota U max = 1 U min = 1 Záporná střední hodnota U max = 1 U min = 1 Kladná střední hodnota U max = 1 U min = 1

22 Periodický obdélníkový zdroj derivační obvod RC obvod se chová jako derivační, pouze pokud T T > T 2 T =20ms u 1 (t) =0:5+ 1X k=1 U 01 =0:5, ^U 1k = U 02 = 0! 0 = 100¼ R =1kÐ;C=1¹F =1ms 2 (2k 1)¼ sin(2k 1)! 0t 2 (2k 1)¼ ^U 2k = ^U j(2k 1)! 0 RC 1k 1+j(2k 1)! 0 RC = 2 (2k 1)¼ j(2k 1)0:1¼ 1+j(2k 1)0:1¼ u c (t) =[u c (0) u cp (0)] e t + u cp (t) U m =1V i(t) =C du c(t) = C [u c (0) u cp (0)] e t dt u 2 (t) = Ri(t) = RC [u c (0) u cp (0)] e t = [u cp (0) u c (0)] e t = u R (0) e t u cp (0) je partikulární řešení na kapacitoru střídavě 1 V (první půlperioda) a 0V u R (0) je kladné při náběžné hraně obdélníka, záporné při týlové u R (0) n = 1 u T R 2 n 1

23 À T derivační obvod =1ms T =0:2ms t 0 = 176 ¹s Napětí je téměř obdélníkové, pokud jsou doby trvání napětí U m : t 0 a 0: T t 0, pak má časový průběh t mezní napětí U 0 m a U m (1 t 0 T U m (1 t 0 T ) Amplituda skoků je stále rovna U m Pomalý exponenciální přechodný děj je obalovou křivkou časového průběhu Napětí na kondenzátoru má časový průběh výše studovaného integračního obvodu (součet obou napětí musí být v každém časovém okamžiku U m ).

24 OBVOD 1. ŘÁDU S INDUKTOREM Energetická počáteční podmínka proud tekoucí induktorem v čase t = 0. I kdybychom hledali napětí na induktoru, je vhodnější zvolit za počáteční podmínku proud je spojitý. obvodová rovnice metoda smyčkových proudů Ri(t)+L di(t) u(t) =0 dt Metodou variace konstant hledáme řešení obvodové rovnice L di(t) + i(t) = u(t) R dt R L R +1=0 ) = R ) L i Lo (t) =Ke t = Ke tr L i L (t) =[i L (0 + ) i p (0)] e t + i p (t) = L R Vypočítáme ustálený stav v obvodu po odeznění přechodného děje Dosazením za t = 0 vypočítáme integrační konstantu K

25 Napětí na induktoru I [A] Sepnutí spínače: i L (0) Ustálené stavy pro t < 0 a t > 0: Rovnice a její řešení: u L (t) R 1 =1kÐ;R 2 =1Ð;L=0:5H;U=1V Energetická počáteční podmínka je proud nejprve spočítáme proud, pak teprve napětí i L L(0) = 0; i p = U = 1 R 2 1 =1A Časová konstanta: = L = 0:5 R 2 1 =0:5s t = 0: Řešení pro proud: Řešení pro napětí: i(t) R 2 i(t)+l di(t) U =0 ) R 2 + L =0 ) = R 2 dt L i(t) =Ke t + i p i L (0) = K + i p ) K = i L (0) i p i(t) =1 e 2t u L (t) =L di(t) = L d 1 e 2t = e 2t dt dt u L (t) U [V ] t [s] t [s]

26 Rozepnutí spínače: Ustálené stavy pro t < 0 a t > 0: i L (0) = U = 1 R 2 1 =1A; i p =0 Rovnice a její řešení: (R 1 +R 2 ) i(t)+l di(t) =0 ) R 1 +R 2 +L =0 ) = R 1 + R 2 dt L Časová konstanta: = L = 0:5 =499:5 ¹s R 1 + R Řešení pro proud: Řešení pro napětí: I [A] U [V ] i(t) =e 2002t u L (t) =L di(t) = L d e 2002t = 1001 e 2002t V dt dt i(t) u L (t) t [ms] t [ms] Proud je spojitá veličina napětí vzroste na takovou hodnotu, aby proud prošel skrz libovolně velký odpor (teoreticky i nekonečné napětí) jiskra / oblouk při prostém odpojení cívky od zdroje!!!

27 Napětí na induktoru ochrana proti přepětí Rezistor paralelně zapojený k cívce R 2 po celou dobu, kdy je obvod zapnut spotřebovává výkon = nechtěné ztráty; čím je tento odpor větší, tím jsou sice ztráty menší, ale současně roste velikost přepětí při odpojení zdroje; u velkých cívek velký ztrátový výkon na tomto rezistoru!!! Rezistor paralelně zapojený k vypínači Takové řešení samozřejmě nemůže být použito pro bezpečné elektrické odpojení cívky od zdroje; dá se tedy použít pouze tam, kde proud tekoucí cívkou pouze omezujeme Kondenzátor paralelně zapojený k cívce Účinné omezení přepětí, kondenzátor může kompenzovat účiník obvodu, akumulovaná energie se změní na teplo ve vinutí cívky (R 1 ) Dioda paralelně zapojená k cívce Vhodná pouze pro stejnosměrné napájení např. ochrana vinutí relé; důležitý správný výběr diody (mezní proud), maximální proud případně omezit odporem