ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE VLNOVÉ JEVY (NEJEN) V TĚLESECH Vítězslav Adámek FAV, KME vadamek@kme.zcu.cz
Obsah přednášky: Obsah přednášky: Studium vlnových jevů motivace, aplikace Základní pojmy a vlastnosti vln Teorie šíření napěťových vln Typy lineárních elastických vln v neomezeném prostředí Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí vlnová rovnice v 1D postupná a stojatá vlna fázová rychlost, disperze, grupová rychlost Akustické vlny Dopplerův jev Seznam použité literatury 2/32
Motivace Co je to vlna? Kde se lze v praxi setkat s šířením vln? Vlna = rozruch, šířící se časem a prostorem (médiem), který přenáší energii. Tento rozruch se může šířit v libovolném médiu (pevné látky, plyny, kapaliny) a jeho rychlost závisí na vlastnostech daného prostředí. Teorie šíření vln nachází uplatnění v řadě reálných aplikací: seismologie zkoumání šíření vln při zemětřesení, lokalizace epicentra, předpovídání účinků zemětřesení, studium tsunami atd., geologie zkoumání vlastností a složení zemské kůry, důlní průmysl lokalizace ložisek ropy, uhlí apod. pomocí šíření, odrazu a lomu vln vyvolaných podzemními výbuchy nebo zdroji na zemském povrchu, stavebnictví využití znalosti rázových vln při odstřelu, ražení tunelů, odstřel hornin, stavba mostů a budov apod., zpracování kovů výbuchem tváření, svařování, zpevňování, lisování aj., detekce vad materiálů a konstrukcí nedestruktivní metody (ultrazvukové metody, akustická emise), studium dynamického porušování materiálů při rázovém zatížení, 3/32
Motivace Teorie šíření vln nachází uplatnění v řadě reálných aplikací: syntetizace výbuchem - výroba syntetických diamantů, syntetických nano-materiálů apod., studium odezvy materiálů při dopadu elektronových, laserových či rentgenových paprsků, určování dynamických vlastností materiálů, letectví studium rázových vln u nadzvukových letadel, rázy předmětů na části letadel apod., zbrojní průmysl studium účinků výbušnin, stanovení účinnosti a průraznosti střel, návrh pancéřování, studium šíření tlakových vln při detonaci výbušnin či jaderných explozích atd., výzkum vesmíru studium sluneční soustavy, předpovídání účinků dopadu meteoritů atd., optika studium lomu, odrazu a rozkladu světla atd., akustika hudební nástroje, sonar (echolokace ultrazvukem) apod., lékařství rentgen, magnetická rezonance, sonografie (zobrazování pomocí ultrazvuku), odstraňování močových kamenů atd., 4/32
Základní pojmy a vlastnosti vln Vlna - rozruch, šířící se časem a prostorem; přenáší energii; rychlost rozruchu závisí na vlastnostech prostředí (řádově 10 2-10 3 m/s) Rozruchem rozumíme změnu jisté fyzikální veličiny, např.: deformace (elastické, plastické) či napětí (vlny v deformovatelných tělesech), tlaku (akustické vlny), elektrické či magnetické intenzity (šíření vln v silových polích), elektrického potenciálu (vlny v elektrických obvodech), teploty (teplotní vlny v libovolném médiu),...! Při šíření vln daným prostředím nedochází k přenosu hmoty! 5/32
Základní pojmy a vlastnosti vln Vlny šířící se v hluboké vodě (hloubka > ) Rayleighovy povrchové vlny v tělese Animace převzaty z [7]. Při šíření rozruchu daným prostředím dochází pouze k vychylování částic z jejich rovnovážných poloh, nedochází k jejich přesunu ty následně ovlivňují sousední částice (díky nenulové setrvačnosti částic začíná pohyb sousedních částic vždy o něco později) rozruch se šíří médiem, ale nedochází k přenosu hmoty. Hranici mezi již pohybujícími se částicemi a částicemi nacházejícími se ve své původní rovnovážné poloze nazýváme čelo vlny a rychlost, kterou se šíří, pak rychlost vlny jedná se o rychlost šíření rozruchu daným médiem (tato rychlost však není totožná s rychlostí částic, částice kolem své rovnovážné polohy kmitají svojí vlastní rychlostí). 6/32
Základní pojmy a vlastnosti vln V následujícím se omezíme především na šíření vln v tělesech. V tomto případě hovoříme o tzv. napěťových vlnách, tj. šíření rozruchu odpovídá šíření změn napětí. Vysvětlení: při vychýlení částic z rovnovážných poloh nastává jejich relativní posuv vzniká deformace zároveň se mezi sousedními částicemi mění silové účinky (interakce) míra intenzity změny těchto sil = změna napětí, tj. rozruch = změna napětí. Ačkoliv se šíření rozruchu v tělesech odehrává na mikroskopické úrovni (částice = atomy), budeme se zabývat pouze fyzikou šíření napěťových vln, takže vlnové jevy budeme studovat z makroskopického pohledu. Vlastnosti materiálu (kontinua) budou v takovém případě popsány spojitými funkcemi či konstantami (např. E,,, ), které představují průměrné hodnoty mikroskopických veličin. 7/32
Teorie šíření napěťových vln Teorie šíření napěťových vln lze rozdělit do dvou skupin: 1. Teorie neuvažující vliv rychlosti deformace používají se tehdy, jsou-li fyzikální rovnice popisující vztah mezi složkami napětí a deformace nezávislé na rychlosti deformace nebo lze-li tento vliv zanedbat. Do této skupiny řadíme např. teorii lineárních elastických vln, teorii nelineárních elastických vln, teorii plastických vln aj.) 2. Teorie zahrnující vliv rychlosti deformace užívají se při řešení úloh, kdy již vliv rychlosti deformace na fyzikální rovnice nelze zanedbat (např. při řešení rázových úloh). Jedná se o teorii viskoelastických vln, elasto-visko-plastických vln atd. Rázové zatížení typické svým velmi krátkým časem působení, řádově v ms, s i ns; obvykle má tvar pulsu, příklady rázového zatížení: dopad střely zatížení o hodnotě 1 10GPa způsobené dopadem kulky letící rychlostí 10 2 10 3 m/s trvá několik desítek s, exploze na povrchu tělesa tlak vzroste na 10GPa během několika málo s, jaderná exploze tlak v centru vzroste na 10 3 10 4 GPa během několika málo s, při tomto typu zatížení dochází k velmi rychlým změnám (řádově v s) sledovaných veličin (napětí, deformace, ). Pozn: 10GPa je tlak, který vznikne při působení tělesa o hmotnosti 1t na plochu 1mm 2. 8/32
Typy lineárních elastických vln v neomezeném prostředí Základní dělení napěťových vln: 1. Podélné vlny (longitudinal waves) směr pohybu částic je totožný se směrem šíření vln 2. Příčné vlny (transverse waves) směr pohybu částic je kolmý na směr šíření vln Podle tvaru čela vlny rozlišujeme dále: rovinné vlny (plane waves) válcové vlny (cylindrical waves) kulové (sférické) vlny (spherical waves) Animace převzaty z [7]. 9/32
Typy lineárních elastických vln v neomezeném prostředí Základní typy podélných a příčných vln: 1. Dilatační (nerotační) vlny jedná se o podélné vlny, při nichž se tělesem šíří dilatace (dilatace představuje objemovou změnu), tj. při jejich pohybu dochází k objemovým změnám elementů tělesa; tyto vlny se často označují jako P-vlny (Primární vlny, neboť se šíří největší rychlostí). Pro jejich rychlost platí: kde je tzv. Laméova konstanta. 2. Rotační (ekvivolumetrické, smykové) vlny jedná se o příčné vlny, při nichž se tělesem šíří změna složek vektoru rotace, tj. při jejich pohybu dochází k tvarovým změnám elementů tělesa; často se označují jako S-vlny (Sekundární vlny, neboť jejich rychlost je menší než rychlost P-vln). Pro jejich rychlost platí: S-vlny se dále ještě dělí na: a) SH-vlny šíří se paralelně s volným povrchem (horizontálně polarizované S-vlny), b) SV-vlny šíří se ve směru kolmém k volnému povrchu (vertikálně polarizované S-vlny). 10/32
Typy lineárních elastických vln v neomezeném prostředí Základní typy podélných a příčných vln: Dilatační vlny (P-vlny) Rotační vlny (S-vlny) Detekce čel vln na seismografu: Animace převzaty z [8]. 11/32
Typy lineárních elastických vln v neomezeném prostředí Povrchové vlny Všechny dosud uvedené typy vln představovaly vlny šířící se uvnitř těles. Při interakci těchto vln s povrchem těles či s rozhraním mezi dvěma materiály dochází ke vzniku tzv. povrchových vln. Uveďme dva zástupce těchto vln: Rayleighovy vlny Loveovy vlny Tyto typy vln hraji významnou roli při zemětřesení. Platí c R = 0.9194 c 2. Animace převzaty z [8]. Dalšími typy povrchových vln jsou např. vlny Lambovy, Stoneleyovy aj. 12/32
Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Úlohy vln v 1D elastickém kontinuu: příčné vlnění strun podélné vlny v tenkých tyčích torzní vlny v tyčích Všechny tyto vlnové problémy v 1D lze formálně popsat stejnou rovnicí ve tvaru: tzv. vlnová rovnice (parciální diferenciální rovnice 2. řádu hyperbolického typu), kde c je rychlost šíření vlny a (x,t) funkce popisující příslušnou výchylku. Typ úlohy Význam funkce (x,t) Rychlost vlny vlnění struny příčná výchylka struny S osové napětí ve struně hmotnost jednotky délky podélné vlny v tenké tyči torzní vlny v tenké tyči osový posuv příčného řezu úhel pootočení řezu kolem osy tyče E modul pružnosti v tahu hustota materiálu tyče G modul pružnosti ve smyku hustota materiálu tyče Pozn: Rychlost podélných vln ocel c 0 = 5200 m/s, hliník c 0 = 5100 m/s, sklo c 0 = 5300 m/s. 13/32
Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Postupné vlny a jejich superpozice, stojatá vlna Postupná vlna = vlna, postupující daným prostředím; její rychlost závisí na vlastnostech prostředí; při jejím šíření dochází k přenosu energie. Stojatá vlna = vznikne superpozicí dvou proti sobě šířících se postupných vln stejné frekvence, nešíří se daným prostředím, nepřenáší energii (Pozn: vlastní mód = stojatá vlna). Animace převzata z [7]. 14/32
Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Postupné vlny a jejich superpozice, stojatá vlna (stojaté kmitání) Stojatá vlna vznikne také v případě superpozice postupných (primárních) a odražených (sekundárních) vln od volného či pevného konce. Volný konec odraz se stejnou fází Stojaté vlny Pevný konec odraz se opačnou fází Animace převzaty z [7]. 15/32
Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Fázová rychlost, disperze, grupová rychlost Fázová rychlost vlny v = rychlost, kterou se šíří libovolná fáze vlny prostorem (v konkrétním čase t odpovídá dané fázi jeden bod v místě x na křivce popisující tvar vlny, tento bod reprezentuje např. výchylku, napětí apod. v čase t a v místě x). w body ve stejné fázi v x Předpokládáme harmonickou vlnu ve tvaru body ve stejné fázi kde A je amplituda, vlnová délka, k vlnové číslo, kruhová frekvence vlny, v fázová rychlost a platí: (T perioda [s], f frekvence [Hz]) 16/32
Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Fázová rychlost, disperze, grupová rychlost Disperze = závislost velikosti fázové rychlosti harmonické vlny na její frekvenci; tato závislost se znázorňuje pomocí tzv. disperzní křivky. Struna, tenká tyč, tenká membrána a neomezené 3D elastické kontinuum jsou bezdisperzní prostředí, tj. fázové rychlosti šíření harmonických vln v těchto prostředích nezávisí na jejich frekvenci. Jako příklad disperzního prostředí uveďme např. tenký elastický nosník. Šíření ohybových vln v tomto tělese je dle Eulerovy-Bernoulliovy teorie popsáno rovnicí: kde (k 0 poloměr setrvačnosti průřezu) Uvedená rovnice není vlnová, parametr c nemá dokonce ani rozměr rychlosti, a po dosazení předpokládaného řešení ve tvaru dříve uvedené harmonické vlny, tj. dostáváme podmínku, za které se bude tato vlna šířit nosníkem, ve tvaru fázová rychlost závisí na vlnové délce, tj. i na frekvenci (vysokofrekvenční složky rozruchu se šíří v nosníku vyšší rychlostí) nastává disperze 17/32
Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Fázová rychlost, disperze, grupová rychlost Důsledek disperze při šíření vln složených z více frekvenčních složek disperzním prostředím dochází k jejich distorzi (změně tvaru) Distorze pulsu dochází ke snížení amplitudy a rozšíření pulsu Animace převzata z [7]. 18/32
Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Fázová rychlost, disperze, grupová rychlost Důsledek disperze při šíření vln složených z více frekvenčních složek disperzním prostředím dochází k jejich distorzi (změně tvaru) Šíření vlnového balíku v bezdisperzním prostředí Šíření vlnového balíku v disperzním prostředí Animace převzaty z [7]. Pozn: Rozlišujeme tzv. normální a anomální disperzi. Při normální disperzi se rychlost vln s rostoucí frekvencí, tj. s klesající vlnovou délkou, zmenšuje (např. vlny na hluboké vodě). Při anomální je tomu naopak. 19/32
Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Fázová rychlost, disperze, grupová rychlost Kde se v praxi s disperzí setkáme? Rozklad světla pomocí optického hranolu (Snellův zákon + disperze) skleněný hranol je disperzní prostředí, rychlost vlny odpovídající červené barvě (375 480THz) je větší než u barvy modré (700 750THz) Je vzduch disperzní prostředí? Animace převzata z [9]. Pozn: Dosud jsme mluvili o tzv. geometrické disperzi. Kromě ní existuje i tzv. materiálová disperze (např. viskoelastické materiály) a disperze způsobená prostorovou diskretizací při numerickém řešení vlnových jevů (MKP). 20/32
Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Fázová rychlost, disperze, grupová rychlost Grupová rychlost v g = rychlost šíření vlnového balíku (grupy), který vznikl superpozicí několika harmonických vln Pro jednoduchost uvažujme, že vlnový balík vznikne superpozicí pouze dvou harmonických vln stejných amplitud A a blízkých kruhových frekvencí 1 a 2 (tj. i blízkých vlnových čísel k 1 a k 2 ). Vlny předpokládejme ve tvaru: kde a Vlnový balík lze potom vyjádřit jako což lze upravit do tvaru 21/32
Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Fázová rychlost, disperze, grupová rychlost Znázornění vlnového balíku pro t = 0. obálka šířící se grupovou rychlostí oscilace šířící se fázovou rychlostí g g vlnová délka grupy 22/32
Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Fázová rychlost, disperze, grupová rychlost Pro grupovou rychlost balíku složeného z velkého počtu harmonických vln lze v limitě pro k 0 psát což po dosazení vztahu mezi a v vede na Z tohoto vztahu vyplývá, že mohou nastat následující případy: v g < v vlny v balíku mající vyšší frekvenci postupují rychleji (zdánlivě vznikají na konci balíku a zanikají na jeho čele) v g = v vlny v balíku a vlnový balík postupují stejnou rychlostí v g > v vlny v balíku mající vyšší frekvenci postupují pomaleji (zdánlivě vznikají na čele balíku a zanikají na jeho konci) Bezdisperzní prostředí, tj. v g = v (např. struna) Disperzní prostředí pro případ v g < v pohybuje se fázovou rychlostí pohybuje se grupovou rychlostí Animace převzaty z [9]. 23/32
Vlny v elastickém jednorozměrném prostředí Fázová rychlost, disperze, grupová rychlost Konkrétní příklady grupové rychlosti v disperzním prostředí: ohybové vlny v tenkém nosníku tzv. gravitační vlny (např. na hluboké vodě nebo v atmosféře) Snímky gravitačních vln na moři a v atmosféře: Fotky převzaty z [9]. 24/32
Akustické vlny Zvuk má vlastnosti vlnového jevu, např.: při šíření zvuku platí princip superpozice, lze slyšet naráz víc jak jeden zvuk; dochází k odrazu zvuku od překážek, při šíření zvuku nedochází k přenosu hmoty média, v němž se zvuk šíří (i když stojíme v těsné blízkosti reproduktoru, který vydává ohlušující zvuk, necítíme žádný vánek), rychlost zvuku závisí na médiu, v němž se šíří (c vzduch < c He < c voda ); nárůst energie přenášené zvukem způsobí nárůst jeho intenzity, nikoli jeho rychlosti. Akustické (zvukové) vlny Jedná se o mechanické vlny o malé amplitudě, které se šíří určitým pružným prostředím: v plynech (akustické vlny = podélné vlny), v kapalinách (akustické vlny = podélné vlny), v pevných látkách (akustické vlny = podélné i příčné vlny). 25/32
Akustické vlny Akustické vlny se dělí podle frekvence na: infrazvuk f < 20Hz, slyšitelný zvuk 20Hz f 20kHz, ultrazvuk f > 20kHz, hyperzvuk f > 1GHz. Zvuk = slyšitelné akustické vlny. Pozn: V některé literatuře jsou za hranice slyšitelného zvuku považovány frekvence 16Hz a 16kHz. Rychlost akustických vln podle typu prostředí: plyny kapaliny, kde Poissonova adiabatická konstanta (pro vzduch 1.4, c vzduch 340m/s), R univerzální plynová konstanta, M molární hmotnost, T absolutní teplota,, kde K objemový modul (popisuje pružné vlastnosti kapalin), c voda 1500 m/s, pevné látky závisí na typu vln a typu kontinua (c 0, c 1, c 2 viz dříve). 26/32
Akustické vlny ve vzduchu Zvuková vlna ve vzduchu = změna akustického tlaku p a šířící se vzduchem. Výsledný tlak vzduchu lze zapsat jako: akustický tlak (změna p a odpovídající akustické vlně p a 10-5 - 10 2 Pa) atmosferický (barometrický) tlak (p 0 10 5 Pa) Obrázek převzat z [10]. Druhy zvuku: periodické změny tlaku hudební zvuk; nejjednodušším typem je čistý tón = harmonická vlna, tj. obsahuje jen 1 frekvenci; lze vyvodit jen uměle (PC, syntetizátor); amplituda vlny hlasitost tónu, frekvence vlny výška tónu (c vzduch 340m/s pro nejhlubší tóny je = 17m, pro nejvyšší tóny je = 17mm), neperiodické změny tlaku nehudební zvuk (rána, skřípání, ), neperiodické i periodické změny tlaku hluk (bílý šum = hluk, v němž jsou zastoupeny všechny frekvence rovnoměrně analogie bílého světla). 27/32
Akustické vlny ve vzduchu Rychlost zvuku = rychlost změny akustického tlaku p a šířící se vzduchem. Platí: rychlost zvuku nezávisí ani na tlaku ani na hustotě, závisí zejména na teplotě a molární hmotnosti (ta závisí např. na relativní vlhkosti vzduchu vyšší vlhkost vyšší rychlost). Rychlosti zvuku v různých plynech a při různých teplotách: vzduch při teplotě 0 C c 330m/s, vzduch při teplotě 30 C c 350m/s, hélium c 1000m/s vodík c 1300m/s lehké plyny, oxid uhličitý c 259m/s - těžký plyn. Pozn: Hlasivky + helium hlas je významně vyšší Vysvětlení hlasivky uzpůsobeny modulaci zvuku ve vzduchu, jenže helium má přibližně 3x nižší molární hmotnost než vzduch c zvuku je přibližně 3x vyšší frekvence f = c/, která odpovídá výšce tónu, je také přibližně 3x větší. 28/32
Dopplerův jev Poprvé popsán v roce 1842 rakouským matematikem Christianem Dopplerem. Pohybuje-li se zdroj zvuku nebo jeho přijímač, zaznamenává přijímač jinou výšku tónu (frekvenci) než v případě, kdy jsou zdroj i přijímač v klidu. Uvažujme zdroj zvuku Z o frekvenci f Z a dva nehybné přijímače P 1 a P 2, které přijímají zvuk o frekvenci f P1 a f P2 : a) zdroj se nepohybuje v Z = 0 b) zdroj se pohybuje v Z > 0 P 2 Z P 1 P 2 Z P 1 f P1 = f P2 = f Z oba přijímače registrují zvuky o stejné frekvenci, jakou vysílá zdroj a registrují zvuky o jiné frekvenci, než vysílá zdroj přijímače Animace převzaty z [7]. 29/32
Dopplerův jev Pokud se v soustavě zdroj + přijímač pohybuje zdroj rychlostí v Z > 0 a přijímač rychlostí v P > 0 potom platí: Limitní případy: a) v P = 0 a v Z = c b) v P = 0 a v Z > c Všechny vlnoplochy dorazí k přijímači současně, dojde ke skokové změně tlaku vzniká rázová vlna Opět vzniká rázová vlna, přijímač (pozorovatel) nejprve zaznamená pohybující se zdroj a teprve potom rázovou vlnu. Dochází ke vzniku tzv. Machova kuželu s vrcholovým úhlem = arcsin(1/m), kde M = v Z /c je tzv. Machovo číslo Animace převzaty z [7]. 30/32
Dopplerův jev Dopplerův jev nastává nejen u zvuku, ale také u napěťových vln, světla či rádiových vln. Kde se s ním v praxi setkáme? metody přesného bezkontaktního měření rychlosti (vozidel, letadel, ponorek, krve v tepnách), vznik rázových vln u nadzvukových letadel, měnící se zvuk sirény projíždějící sanitky či zvuk motoru závodního automobilu, policejní radary, měření rychlosti hvězd či vzdálených galaxií (vzdalující se hvězda posun zaznamenaného světla k červené barvě, přibližující se hvězda posun k modré barvě) netopýři lokace hmyzu a jeho rychlosti 31/32
Seznam použité literatury 2/22 Reference: [1] Brepta, R.: Vlny napětí a rázové jevy v lineárně elastických a viskoelastických prostředích, LENAM, Liberec, 1997. [2] Crowell, B.: Vibrations and Waves, Fullerton, 2010 (http://www.lightandmatter.com). [3] French, A.P.: Vibrations and Waves, The M.I.T. Introductory Physics Series, W. W. Norton & Company, New York, 1971. [4] Graff, K.F.: Wave Motion in Elastic Solids, Clarendon Press, Oxford, 1975. [5] Rao, S.S.: Vibration of Continuous Systems, John Wiley & Sons, Inc., New Jersey, 2007. [6] Wang, L.-L.: Foundations of Stress Waves, Elsevier, Oxford, 2007. [7] Acoustics and Vibration Animations - Dan Russell, Grad. Prog. Acoustics, Penn State (http://www.acs.psu.edu/drussell/demos.html). [8] Michigan Technology University - internetové stránky (http://www.geo.mtu.edu/upseis/). [9] Wikipedie (http://en.wikipedia.org/wiki/). [10] Bajer, J.: Mechanika 3, chlup.net, Olomouc, 2012. [11] Kmity, vlny, akustika učební text VŠTE v Českých Budějovicích. 32/32