Kmity a mechanické vlnění. neperiodický periodický

Transkript

1 rozdělení časově proměnných pohybů (dějů): Mechanické kmitání neperiodický periodický ne(an)harmonický harmonický vlastní kmity nucené kmity - je pohyb HB (tělesa), při němž HB nepřekročí konečnou vzdálenost od stabilní rovnovážné polohy. HB se pohybuje periodicky z jedné krajní polohy do druhé a zpět. Jakýkoliv kmitající objekt se nazývá oscilátor. - nestacionární děj (děj, jehož průběh charakterizují časově proměnné veličiny) - opakuje-li se průběh kmitavého pohybu po stejném časovém intervalu T (periodě), jedná se o kmitavý periodický pohyb, - charakteristické veličiny (okamžitá výchylka-elongace, rychlost, zrychlení apod.) lze vyjádřit vztahem ( ) ( ), y t = y t+ nt n Z - vztah mezi periodou (doba, po níž se děj opakuje) a frekvencí (počet opakování za s) je stejný jako u rovnoměrného pohybu po kružnici f = T - je-li řešením pohybové rovnice harmonická funkce (sin/cos), jedná se o harmonický pohyb - zákonitosti platné pro mechanické kmitání lze zobecnit na všechny fyzikální děje s harmonickým průběhem I.M.Hlaváčová Strana LS4

2 Lineární harmonické oscilace volný oscilátor - zdrojem kmitání je síla pružnosti, která periodicky vrací HB do rovnovážné polohy. F = ky Dle.NZ lze sílu vyjádřit pomocí zrychlení, takže po dosazení získáme d y d y k d y m = ky + y = + ω y = dt dt m dt charakteristiky oscilátoru jsou - tuhost pružiny k a hmotnost bodu m - jejich poměr určuje vlastní frekvenci oscilátoru ω Řešení rovnice určuje kinematické veličiny pohybu: y = y sin t+ = A sin t+ - výchylka ( ω ϕ ) ( ω ϕ ) dy v= = ω y ω t+ ϕ v = ω y dt dv a = = ω ysin ωt+ ϕ dt - rychlost cos( ) - zrychlení ( ) I.M.Hlaváčová Strana LS4

3 grafické vyjádření fázorový diagram časový diagram Znázornění pomocí fázorového diagramu využívá analogie kmitavého a rovnoměrného kruhového pohybu, časový diagram je rozvinutím fázorového diagramu na časovou osu. Fázor je vektor rotující kolem rovnovážné polohy, - jeho délka je rovna amplitudě zobrazované veličiny, - s kladnou vodorovnou poloosou svírá úhel rovný okamžité fázi zobrazované veličiny ( ϕ ωt ϕ - průmět do svislé osy je roven okamžité hodnotě veličiny. Obě grafická znázornění umožňují rychle a přehledně provádět skládání kmitů, za předpokladu, že se jedná o kmity se stejnou frekvencí, tj. izochronní kmity. = + ) I.M.Hlaváčová Strana 3 LS4

4 Základní pojmy amplituda fáze A sin( ω t+ ϕ ) fázový rozdíl ϕ rozdíl mezi hodnotami okamžité fáze různých veličin ve stejném čase ( t ) ( t ) ϕ = α β = ω + α ω + β = α β rozdíl mezi hodnotami okamžité fáze téže veličiny v různých časech ( ) ( ) ϕ = ϕ ϕ = ωt + ϕ ωt + ϕ = ω t rozdíl mezi hodnotami okamžité fáze téže veličiny dvou různých kmitání ve stejném čase ( t ) ( t ) ϕ = ϕ ϕ = ω + ϕ ω + ϕ = ϕ ϕ Podle hodnoty fázového rozdílu dvou různých kmitání rozlišujeme dva extrémní případy: ϕ je sudým násobkem π - kmitání probíhají se stejnou fází Při skládání dvou kmitání se stejnou fází je výsledná výchylka maximální. ϕ je lichým násobkem π - kmitání probíhají s opačnou fází Při skládání dvou kmitání s opačnou fází je výsledná výchylka minimální. I.M.Hlaváčová Strana 4 LS4

5 energie harmonických kmitů pro kinetickou energii hmotnosti m v čase t platí E = cos k mv m y ( t ) = ω ω + ϕ potenciální energie pružnosti = práce, kterou je třeba vykonat při vychýlení oscilátoru z rovnovážné polohy do výchylky y y y E p = Fd ξ = ( kξ)dξ = ky = mω y E p = ky sin ( ωt+ ϕ) Z obou výrazů je zřejmé, že u harmonických kmitů se periodicky mění kinetická energie v potenciální energii pružnosti a naopak. Součet obou energií přitom zůstává konstantní: E cos k + Ep = mω y ωt+ ϕ + ky ωt+ ϕ Platí zákon zachování mechanické energie: ( ) sin ( ) E = Ek + E p = mω y = ky = konst. I.M.Hlaváčová Strana 5 LS4

6 Tlumené harmonické kmitání Realita prostředí, v němž pohyb probíhá, se snaží pohyb brzdit. (Odporová (tlumící) síla přeměňuje část mechanické energie na teplo.) Při pohybu dochází k energetickým ztrátám, hodnota max. výchylky se průběžně zmenšuje, kmitání HB je tlumeno. Odporová síla bývá úměrná rychlosti, s níž se HB pohybuje, tj. dy Fr = rv = r dt rovnice tlumeného harmonického kmitání: d y r dy k d y dy + + y = + b + ω y = dt m dt m dt dt bt řešením rovnice je y A e sin( ω t ϕ ) = +. t t ω b Úhlová frekvence tlumených kmitů ω t je ω =, tlumení působí zpomalení kmitání oscilátoru (T t je delší). Podíl po sobě následujících maximálních výchylek na tutéž stranu je útlum ( ) bt y t Ae bt = bt ( T) = e, + y( t+ T) Ae jeho přirozený logaritmus - logaritmický dekrement útlumu. Relaxační doba amplitudy je doba, za kterou amplituda klesne na e-tinu bt A r Ae = btr = tr = e b I.M.Hlaváčová Strana 6 LS4

7 Nucené kmity Jestliže energii tlumených kmitů, která klesá vlivem odporu prostředí, periodicky doplňujeme, vznikají nucené kmity. Vnější sílu, která dodává energii, nazveme budící síla. Je-li tato síla harmonická, doplníme pohybovou rovnici tlumených kmitů pravou stranou, vyjadřující působení budící síly takto d y r dy k d y dy F + + y= + b + ω y= sin( Ωt+ Ψ ) dt m dt m dt dt m Řešením této pohybové rovnice je vztah pro okamžitou výchylku ve tvaru y = A e bt sin ω t+ ϕ + A sin Ωt+ Ψ ( ) ( ) t b I.M.Hlaváčová Strana 7 LS4

8 Hmotný bod koná v případě nucených kmitů vlastní tlumené kmity s frekvencí tlumených kmitů ω t jen zpočátku pohybu. Po určité době tyto kmity ustanou a převládnou kmity netlumené s amplitudou nucených kmitů A b, frekvencí nucených kmitů Ω a počáteční fází nucených kmitů Ψ. Vlastní kmity se uplatňují pouze v tzv. přechodovém stavu. Dosazením a použitím součtových vzorců pro sinus lze vyjádřit amplitudu nucených kmitů ve tvaru A v = Rezonance a ( ) ω Ω + 4b Ω F m bω Ψ ω Ω, kde a =, počáteční fáze je dána vztahem tan = Amplituda nucených kmitů mění svou velikost v závislosti na frekvenci nucených kmitů Ω. Při určité hodnotě, tzv. rezonanční frekvenci Ω r, je amplituda maximální. Měníme-li postupně frekvenci nucených kmitů Ω tak, že se blíží rezonanční frekvenci Ω r, amplituda nucených kmitů A v se postupně zvětšuje. V okamžiku rovnosti je největší, dalším zvyšováním frekvence Ω amplituda nucených kmitů opět klesá. Maxima amplituda dosáhne v případě, kdy výraz ve jmenovateli je nejmenší, rezonanční frekvenci tedy určíme z podmínky, že funkce pod odmocninou má první derivaci rovnu nule ( ω Ω ) ( Ω) + 4b Ω = ω + Ω + b = Odtud vychází rezonanční frekvence Ω = ω r b hodnota amplitudy při rezonanci je pak A = r bm I.M.Hlaváčová Strana 8 LS4 F ω Je-li frekvence nucených kmitů rovna frekvenci vlastního kmitání oscilátoru a tlumení je nulové, nastává tzv. pravá rezonance, při níž amplituda kmitání roste nade všechny meze. b.

9 Mechanické vlnění - vzniká šířením kmitání v elastickém látkovém prostředí (obsahujícím částice spojené pružnými vazbami) (ne vakuum!) - časově a prostorově proměnný děj ve spojitém prostředí - HB se harmonicky nebo obecně vrací do rovnovážné polohy. I.M.Hlaváčová Strana 9 LS4 postupné vlnění vlnění Dělení podle orientace podélné vlnění výchylky vlnění: stojaté vlnění příčné vlnění - Max. hodnoty výchylek z rovnovážné polohy jsou konečné. Vznik mechanického vlnění: rozkmitáme částici, díky vazbě se kmitavý rozruch šíří postupně řadou částic Postupné vlnění - otevřená kmitavá soustava (teoreticky nekonečných rozměrů) - nedochází ke zpětnému odrazu a superpozici vlnění - kmitavý rozruch se šíří od zdroje (generátoru) řadou HB - zdroj každá kmitající soustava pružně spřažená s nosným prostředím. - Kmitání každé částice je zpožděno proti č. předchozí. - Body kmitají se stejnou frekvencí ale různou fází. - v neabsorbujícím prostředí - stejná amplituda - Dochází k přenosu energie kmitavého pohybu zdroje prostředím. Nedochází k přenosu látky! Stojaté vlnění - probíhá v uzavřených kmitavých soustavách - superpozice dvou postupných vln šířících se proti sobě Nedochází k přenosu látky ani energie!

10 Fázová rychlost v ϕ, jednotka: m.s - : rychlost šíření kmitavého rozruchu (fáze vlnění) Vlnová délka, jednotka: m: v - vzdálenost, do které se dostane kmitavý rozruch za dobu jedné periody = vϕ T = f - vzdálenost dvou nejbližších bodů řady, které kmitají se stejnou fází Příčné (transverzální) vlny body kmitají kolmo ke směru šíření vlny - v tělesech pružných při změně tvaru - pevné látky, povrch kapalin Vlnění je dostatečně určeno pomocí příčné výchylky HB v čase t v jakémkoli místě o souřadnici x: y y (, ) u = u x t, Funkce u je vlnová funkce. ϕ Podélné (longitudinální) vlny - body kmitají ve směru šíření vlny - v prostředí v ϕ pružném při změně objemu - pevné látky, kapaliny, plyny - zhušťování a zřeďování bodů kolem míst s nulovou okamžitou výchylkou Vlnová funkce ux ( x, t ) má stejný tvar jako pro příčné vlnění. I.M.Hlaváčová Strana LS4

11 v Odvození vlnové funkce: Z Zdroj M Z vlnění kmitá v počátku zvolené souřadnicové soustavy, x jeho rovnice výchylky má tvar: y = Asinωt x Bod M ležící ve vzdálenosti x: kmitá se zpožděním τ =. π x t x = Asin t = Asin π T v ϕ T u( x, t) = Asinω( t τ) = = π π Asin ( vt ϕ x) = Asin ( vt ϕ x) Tvϕ x t x t π ϕ = ω = = v t x v π ϕ ϕ T Fázový rozdíl vlnění ve dvou bodech prostředí je dán jejich vzájemnou vzdáleností x v daném čase t: ϕ = π x Odraz vlnění - nastává na konci bodové řady: a) na pevném konci: poslední bod nemůže kmitat, reakcí vznikne síla, která změní výchylku posledního bodu v opačnou b) na volném konci: poslední bod řady se vychýlí a kmitání postupuje zpět se stejnou fází Fáze vlnění závisí na prostorových souřadnicích i na čase t: ( ) v ϕ I.M.Hlaváčová Strana LS4

12 Interference vln v přímé řadě - jestliže šíří-li se prostředím vlnění ze dvou nebo více zdrojů, vlnění postupují prostředím nezávisle - v místech, kde se setkávají, dochází ke skládání jednotlivých vlnění - kmitání bodu v daném místě je určeno superpozicí okamžitých výchylek jednotlivých vlnění - výsledné kmitání je dáno vektorovým součtem jednotlivých fázorů výchylek - nejjednodušší případ: koherentní vlnění stejná frekvence vlnění stálý fázový rozdíl ϕ algebraicky: u = u + u = A sin ωt ϕ + A sin ωt ϕ graficky: ( ) ( ) kde A = tgϕ = A A sinϕ + A cosϕ + + A + A A cos A sinϕ A cosϕ ( ϕ ϕ ) výsledné vlnění obecně charakterizuje funkce: u = Asin( ωt ϕ ) Interference.exe I.M.Hlaváčová Strana LS4

13 x x π π Fázový rozdíl ϕ ϕ = π π = ( x x) = x kde x = x x určuje velikost výsledné amplitudy, extrémní případy jsou stejné jako při skládání kmitání: a) je-li ϕ = kπ vlnění se setkala se stejnou fází je dráhový rozdíl ( ϕ ) cos ϕ = A = A + A = max. Podm. pro dráhový rozdíl: = = =, kde k Z x x x k k (je roven celočíselnému násobku vln) b) je-li ϕ ( k ) = + π vlnění se setkala s opačnou fází ϕ A= A A = min. ( ϕ ) = cos Podm. pro dráhový rozdíl: ( ) x= x x = k+, kde k Z(je roven lichému násobku půlvln) I.M.Hlaváčová Strana 3 LS4

14 Stojaté vlnění - vzniká superpozicí dvou izochronních postupných vln (podélných nebo příčných) šířících se proti sobě - ideální případ: vlny mají stejnou amplitudu A (úplně stojaté vlnění) x x u = Asin ωt π, u = Asin ωt + π x výsledná vlnová funkce je algebraickým součtem u = u + u u = A cos π sinωt - výsledné vlnění je harmonické - má stejnou frekvenci jako obě vlny - výsledná amplituda A A π x V = cos nezávisí na čase, pouze na souřadnici (tj. na poloze daného kmitajícího bodu) = kmitny a) maximální amplituda A V = max. = A pro: cos π x = max. = x k, kde k Z b) minimální amplituda A V = min. = jestliže: cos = min. = π x ( ) x = k +, kde k Z uzly 4 Vzdálenost sousedních kmiten (i uzlů): x x = ± ( k + ) ± k k + k = I.M.Hlaváčová Strana 4 LS4

15 Vlastnosti: - nedochází k přenosu látky ani energie - periodicky se mění potenciální energie pružnosti v kinetickou energii HB - body vyjma uzlů kmitají se stejnou fází, ale s různou amplitudou výchylky dle polohy bodu I.M.Hlaváčová Strana 5 LS4

16 Šíření vlnění v prostoru Huygensův Fresnelův princip: Dospěje-li vlnění do nějakého bodu prostoru, tento bod se stává zdrojem elementárního vlnění. Výsledná vlnoplocha je obalovou plochou elementárních vlnoploch ve směru šíření vlnění. c Popis vlnění v prostoru: uvažujme prostředí homogenní (stejnorodé) a izotropní (se stejnými fyzikálními vlastnostmi ve všech směrech) vlnění se šíří ve všech směrech stejnou fázovou rychlostí Vlnoplocha: - plocha tvořená body, do kterých vlnění dospělo za určitý časový interval - množina bodů kmitajících se stejnou fází Kulová vlnoplocha: - vlnění pocházející z bodového zdroje Rovinná vlnoplocha: - rovinný zdroj vlnění; - vlnění ve velké vzdálenosti od bodového zdroje Paprsek: kolmice k vlnoploše, charakterizuje směr šíření vlny I.M.Hlaváčová Strana 6 LS4

17 Energie vlnění - vlnění procházející pružným prostředím způsobuje pohyb a deformaci hmotných elementů prostředí - každý element má energii kinetickou a energii pružnosti (elastickou) - tato energie se přenáší od zdroje postupně z jednoho elementu prostředí na druhý ve směru šíření vlnění záření. Přenos energie kvantitativně vyjadřujeme prostřednictvím fyzikálních veličin tok energie a intenzita vlnění. de Tok energie (= výkon přenášený vlněním): Φ = watt (W) dt - energie, která projde zvolenou plochou S za jednotku času dφ Intenzita vlnění (= hustota zářivého toku): I = W.m - ds - energie, která prošla za jednotku času jednotkovou plochou kolmou ke směru šíření vlny Celková energie harmonického oscilátoru je E = m A ω při šíření vlnění připadá na objemovou jednotku prostředí energie w= E = m ω A = ρωa V V Hustota energie vlnění dφ de de dx de zároveň platí I = = = = v = w v I = ρω ds dt ds dt dxds dv ϕ ϕ Avϕ I.M.Hlaváčová Strana 7 LS4

18 Mechanické vlnění vzniká periodickým působením vazebných sil na částice prostředí, mezi tedy částicemi existuje určité napětí tzv. akustický tlak p a, který je periodicky proměnný a je úměrný velikosti amplitudy kmitání částic. Intenzita vlnění souvisí s akustickým tlakem vztahem I p. Šíří-li se energie ze zdroje do prostoru, průběh intenzity záleží na druhu vlny: a) bodový zdroj energie se rozprostře na větší plochu, plocha ( 4π r ) roste se čtvercem vzdálenosti intenzita klesá se čtvercem vzdálenosti b) rovinný zdroj plocha konstantní intenzita konstantní Absorpce postupného vlnění Šíří-li se postupná vlna v hmotném prostředí, dochází díky odporu prostředí k pohlcování energie. Proto i v případě rovinné vlny intenzita se vzdáleností od zdroje klesá. Úbytek intenzity je přímo úměrný její velikosti: di = α I, kde α je součinitel absorpce vlnění dx v absorbujícím prostředí x Řešení rovnice udává Lambertův zákon absorpce: I = I e α, kde I je intenzita zdroje záření Intenzita je úměrná čtverci amplitudy, amplituda (i akustický tlak) tedy klesá dvakrát pomaleji α x I A A= A e I.M.Hlaváčová Strana 8 LS4

19 Odraz a lom vlnění na rozhraní dvou prostředí Na rozhraní: část energie dopadajícího vlnění se odrazí, část projde do druhého prostředí, část se absorbuje. Zákon odrazu Snellův zákon lomu Rovina dopadu: je určena paprsky dopadajícího vlnění a kolmicí k rozhraní v místě dopadu. Odražený i lomený paprsek leží v rovině dopadu. Úplný odraz (totální reflexe): Při přechodu vlnění z prostředí s menší fázovou rychlostí do prostředí s větší fázovou rychlostí (při lomu od kolmice). π Vlna se láme do rozhraní, tj. α =, úhel dopadu je mezní úhel. sinα = I.M.Hlaváčová Strana 9 LS4 m v v ϕ ϕ n α m sinα v sinα = v k π α = ϕ ϕ

20 otázky Kmitavý pohyb netlumený Definice, působící síla, pohybová rovnice, perioda, rovnice kmitání, rychlost, zrychlení, popis veličin, fáze pohybu, grafické znázornění, fázory. Lineární harmonický oscilátor Definice, působící síla, pohybová rovnice, perioda, rovnice kmitání, rychlost, zrychlení, kinetická, potenciální a celková energie harmonického oscilátoru (odvození), příklady. Tlumené a nucené mechanické kmitání Energie kmitavého pohybu, vliv prostředí, působící síly, pohybová rovnice, perioda, rovnice tlumeného kmitání (odvození), útlum, logaritmický dekrement útlumu, relaxační doba amplitudy, budicí síla, přechodový jev, rezonance. Mechanické vlny vznik, podstata, vlnová délka, perioda, rychlost šíření vlnění, druhy vlnění, zvuk a akustika Šíření vlnění v prostoru Huygensův princip, vlnoplocha, paprsek, homogenní a izotropní prostředí, zákon odrazu a lomu, rovinná a kulová vlna, vlnová rovnice, Dopplerův efekt Interference vlnění Podmínky interference, koherence, podmínka zesílení a zeslabení Energie vlnění a související veličiny energie, tok energie, intenzita (definice, jednotky, vztahy mezi nimi), absorpce vlnění, hustota energie, absorpce vlnění Stojaté vlnění vznik, rozdíl mezi vlněním postupným a stojatým, uzel, kmitna, odraz vlnění na pevném a na volném konci, využití I.M.Hlaváčová Strana LS4