Pružnost a pevnost. zimní semestr 2013/14

Transkript

1 Pružnost a pevnost zimní semestr 2013/14

2 Organizace předmětu Přednášející: Prof. Milan Jirásek, B322 Konzultace: pondělí 10:00-10:45 nebo dle dohody Webové stránky předmětu: (domácí úkoly, pokyny, podklady k přednáškám) Speciální cvičení pro motivované student(k)y: Doc. Jan Zeman, čas a místo dle domluvy

3 Organizace předmětu Podmínky pro udělení zápočtu: 10 domácích úkolů 2 testy v semestru, zisk aspoň 17 bodů z 34 možných Hodnocení zkoušky: započítávají se body ze zápočtových testů... ma 34 zkouškový test... ma 30 příklady ma 36 případně ústní pohovor Literatura: Šejnoha J., Bittnarová J.: Pružnost a pevnost, ES ČVUT, 2004 Bittnarová J. a kol.: Pružnost a pevnost - příklady, ES ČVUT, 2007 (dotisk)

4 Náplň předmětu Pružné pruty namáhané tahem nebo tlakem jednoduchým ohybem šikmým ohybem kombinací ohybu a tahu nebo tlaku smykem za ohybu kroucením vzpěrným tlakem Pružnoplastické pruty Stěny Trojrozměrná tělesa

5 Pružnost a pevnost 1. přednáška, 23. září ) Úvod základní pojmy, veličiny a rovnice 2) Prut namáhaný tahem nebo tlakem

6 Pružnost a pevnost Pružnost = schopnost materiálu deformovat se tak, aby v něm nedocházelo k nevratným změnám. Veškerá deformace pružného tělesa má vratný charakter, po odtížení se těleso vrátí do původního stavu. Pevnost = schopnost materiálu přenášet napětí, aniž by došlo k jeho porušení.

7 Jednoosá tahová zkouška L L F F

8 Pracovní diagramy tahová zkouška F F lineárně pružné chování: síla je úměrná protažení nelineárně pružné chování: síla je funkcí protažení (deformace je vratná) L L F pružnoplastické chování: vznik trvalých deformací F vliv poškození: snížení tuhosti (patrné při odtěžování) L L

9 Teorie pružnosti Teorie pružnosti podává matematický popis mechanického chování těles z pružného materiálu. Základní úloha: určit, jak se těleso zdeformuje a jaké vnitřní síly v něm vzniknou v důsledku daného zatížení.

10 Základní pojmy Zkoumané těleso je popsáno svým tvarem, rozměry a způsobem podepření, a dále vlastnostmi materiálu, ze kterého je vytvořeno. Zatížení silové objemové síly povrchové síly nesilové teplotní změny předepsané přemístění podpor

11 Příklad

12 Příklad objemové síly povrchové síly oteplení podepření

13 Základní veličiny pod vlivem zatížení přemístění přetvoření vnitřní síly (napětí)

14 Statické rovnice předepsané i neznámé síly, kterými působí okolní prostředí na zkoumané těleso podmínky rovnováhy jednotlivých částí zkoumaného tělesa neznámé síly, kterými působí na sebe navzájem sousedící části zkoumaného tělesa vnější síly statické rce. vnitřní síly

15 Geometrické rovnice přemístění geometrické rovnice přetvoření změna polohy jednotlivých bodů zkoumaného tělesa rovnice popisující, jak rozdílné pohyby jednotlivých bodů tělesa způsobují jeho přetvoření změna velikosti a tvaru jednotlivých částí zkoumaného tělesa

16 Materiálové rovnice rovnice popisující, jakými vnitřními silami materiál klade odpor proti přetvoření přetvoření materiálové rovnice vnitřní síly

17 Základní veličiny a rovnice přemístění vnější síly geometrické rovnice statické rovnice přetvoření materiálové rovnice (fyzikální, konstitutivní) vnitřní síly

18 Model kontinua Kontinuum = spojité prostředí. Látka vyplňující těleso je považována za dokonale spojitou (tj. neuvažuje se částicová struktura hmoty na úrovni atomů a molekul).

19 Model kontinua Těleso myšleně rozdělíme na nekonečně malé kostičky (elementární kvádry). napětí

20 Model prutu y lokální soustava souřadnic (pravoúhlá, pravotočivá) průřez z těžiště průřezu střednice prutu (spojuje těžiště všech průřezů) Prut = nosný prvek podlouhlého tvaru (jeden rozměr výrazně převyšuje dva zbývající)

21 Vztah napětí a vnitřních sil na prutu model kontinua model prutu základní jednotkou je elementární kvádr základní jednotkou je elementární segment prutu mezi dvěma nekonečně blízkými průřezy

22 Vztah napětí a vnitřních sil na prutu model kontinua model prutu interakce základních jednotek popsána složkami napětí interakce základních jednotek popsána vnitřními silami

23 Vztah napětí a vnitřních sil na prutu model kontinua model prutu vnitřní síly jsou výslednice napětí v průřezu

24 Základní typy namáhání prutů tah (tlak)

25 Základní typy namáhání prutů ohyb (doprovázený smykem)

26 Základní typy namáhání prutů kroucení

27 Rovnoměrně tažený prut konstantní průřez vnější síly pouze na koncích F L L F L L L protažení (absolutní) poměrné protažení (relativní) F A napětí

28 Základní veličiny a rovnice pro rovnoměrně tažený prut L F EA L/ L F A L L tuhost prutu v tahu-tlaku F E

29 Tažený prut popis přemístění výchozí stav u stav po zatížení u posunutí ve směru osy prutu

30 Tažený prut popis přetvoření výchozí stav u u stav po zatížení původní délka segmentu u u nová délka segmentu

31 Tažený prut popis přetvoření původní délka segmentu u u nová délka segmentu u u pro nekonečně malý segment: du absolutní protažení segmentu relativní protažení segmentu geometrická rovnice d u du lim 0 d u

32 Tažený prut napětí a vnitřní síly pro lineárně pružný materiál za jednoosého tahu nebo tlaku je napětí přímo úměrné relativnímu protažení E Hookeův zákon (materiálová rovnice) Youngův modul pružnosti (charakterizuje tuhost materiálu)

33 Tažený prut napětí a vnitřní síly pro lineárně pružný materiál za jednoosého tahu nebo tlaku je napětí přímo úměrné relativnímu protažení E Hookeův zákon (materiálová rovnice) normálová síla se obecně vypočte integrací normálového napětí po průřezu: N, y, z dydz A za jednoosého tahu/tlaku je N dd y z A A

34 Tažený prut napětí a vnitřní síly N A EA normálová tuhost průřezu (tuhost průřezu v tahu/tlaku) N EA zobecněná materiálová rovnice (zahrnuje i vliv průřezu)

35 Rovnice rovnováhy pro segment prutu vnější síly: f N N / 2 N N f / 2 0 N N f / 2 0 dn d f 0

36 Základní rovnice (prut namáhaný tahem-tlakem) u ( ) d d EA du d f f () du d dn d f ( ) N EA N( )

37 Základní rovnice (prut namáhaný tahem-tlakem) d d du EA d obyčejná diferenciální rovnice 2. řádu, lineární na každém konci prutu 1 okrajová podmínka f volný konec předepsaná normálová síla statická o.p. podepřený konec předepsaný posun geometrická o.p.

38 Okrajové podmínky (prut namáhaný tahem-tlakem) L z u0 0 ul 0 u0 0 u' L F / EAL F F u' 0 F/ EA 0 ul 0 mechanismus

39 Příklad sloup zatížený vlastní tíhou z L 10m b h E 0,5m 0,8m 20GPa kg / m Vypočtěte zkrácení sloupu způsobené vlastní tíhou. d d du EA d u' 0 0 f ul 0 EA Ebh 8GN f ga gbh 10kN / m

40 Příklad sloup zatížený vlastní tíhou z d du EA f u' 0 0 ul 0 d d První integrace (výpočet vnitřních sil): dn f d N 0 0 du EA N f d u L 0 N Druhá integrace (výpočet posunutí): f 2 f u C EA f L f L u L C 0... C EA 2 2EA

41 z d d Příklad sloup zatížený du EA d vlastní tíhou Výsledný průběh posunutí: 2 2 f f L f 2 2 u L EA 2 2EA 2EA Celkové protažení prutu: f f L L ul u L 2EA 2EA f u' 0 0 ul ,5 m

42 Vliv teplotních změn při oteplení má materiál tendenci se roztahovat pokud je tomu bráněno, vzniká v něm napětí celková deformace T T E deformace od napětí E T N EA T T deformace od teploty T

43 Vliv teplotních změn Pokud se prut ohřeje rovnoměrně a je tažen rovnoměrně, je napětí a deformace v celém prutu konstantní. Prut se roztáhne, ale zůstane přímý. protažení prutu: L L N L T T EA celkové protažení protažení od normálové síly protažení od teplotní změny EA N L L L Jsou-li konce prutu pevně upnuty, je L 0 a v prutu vznikne normálová síla N EAT T EAT T T T L L T

44 Základní rovnice pro rovnoměrně tažený prut L EA F L L L L/ L F A T L T T T T F E T

45 Základní rovnice pro tažený (nebo tlačený) prut u ( ) ( ) du d d d EA du d T vliv teploty vliv teploty N EA T f f () dn d f N( )

46 Příklad prut proměnného průřezu zatížený změnou teploty L b h h 1 2 E 4m 0,2m 0,2m 0,4m 20GPa K T 20K 6 1 Vypočtěte rozložení normálových sil, napětí, deformací a posunů způsobené rovnoměrným oteplením prutu s lineárně proměnnou průřezovou plochou.

47 Příklad prut proměnného průřezu zatížený změnou teploty