MATEMATIKA Fahrenheit, Celsius a americk cent PAVLA PAVL KOV { JARMILA ROBOV { ANTON N SLAV K Matematicko-fyzik n fakulta UK, Praha C lem v uky matematiky na z kladn ch i st edn ch kol ch je nejen rozv jet a prohlubovat matematick v domosti a dovednosti k, ale tak jim p ibl it v znam matematiky jako u ite n ho n stroje k e en probl m z re ln ho sv ta. Tento aspekt matematick ho vzd l v n je ve kol ch realizov n r zn mi zp soby a metodami, nej ast ji b v ilustrov n prost ednictv m e en aplika n ch loh. V r zn ch u ebnic ch i sb rk ch se v ak objevuj p klady, kter se jako aplika n tv, ve skute nosti jsou ale odtr eny od reality a obsahuj ktivn i zkreslen daje. Vhodn zvolen aplika n loha p itom m e poslou it jako efektivn motiva n n stroj, kter u k vzbud z jem o dan probl m, a tedy i o matematiku. Se z m rem poskytnout u itel m a k m st edn ch kol re ln aplika n lohy z r zn ch oblast matematiky vznik na Kated e didaktiky matematiky MFF UK v Praze sb rka aplika n ch loh. Pr ce na sb rce je podporov na rozvojov m projektem M MT 1 a na jej tvorb se pod lej Jana Hromadov, Magdalena Hyk ov, Old ichodv rko, Pavla Pavl kov, Eli ka Pecinov, Jarmila Robov aanton n Slav k, (v abecedn m po ad ). Na p prav sb rky rovn intenzivn pracoval Ivan Saxl (y2009). Sb rkaby m la pokr vat nejd le it j partie st edo kolsk matematiky, a to zejm na z kladn pojmy (zvl t procenta a pom ry), rovnice, nerovnice a jejich soustavy, funkce, jejich grafy a vlastnosti, goniometrie, 1 Rozvojov projekt M MT. 14/38 (Podpora informa n ch center a spolupr ce se st edn mi kolami a ve ejnost na MFF UK). Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011 385
planimetrie a stereometrie, nan n matematika, diferenci ln a integr ln po et, kombinatorika, pravd podobnost a statistika. Ke ka d mu t matu jsou p ipravov ny podrobn e en vzorov p klady, za kter mi n sleduj ne e en cvi en obdobn ho charakteru n vody na jejich e en v etn v sledk budou k dispozici v z v re n sti p ipravovan sb rky. P ed vzorov mi p klady, jejich e en vy aduje konkr tn znalosti z dal ch obor, jako je nap klad fyzika, chemie i biologie, budou dopln ny kr tk vody do dan problematiky, aby u itel a ci nemuseli dohled vat pot ebn informace v jin ch zdroj ch. N sleduj c uk zky z p ipravovan sb rky obsahuj aplika n lohy zam en na line rn funkce, rovnice a nerovnice 2. 1. lohy o m en teploty Pro m en teploty se pou vaj r zn stupnice. U n s se pou v Celsiova stupnice, v USA d vaj p ednost Fahrenheitov stupnici. Pro p evod mezi ob ma stupnicemi plat vztah t F = 9 5 t C +32 kde t F je seln hodnota teploty ve stupn ch Fahrenheita a t C je seln hodnota teploty ve stupn ch Celsia. Souboj Celsius versus Fahrenheit Pro rychl p evody mezi ob ma stupnicemi se v b n m ivot m sto p evodn ho vztahu t F = 9 5 t C +32 pou v jednoduch aproximace t F =2 t C +30: 2 N kter uk zky ze sb rky ji byly prezentov ny na Setk n u itel matematiky v ech typ a stup kol v listopadu 2010, v ce viz Pavl kov P.: Aplika n lohy v matematice na st edn kole. In L vi ka M., Bastl B. (ed.): Setk n u itel matematiky v ech typ a stup kol 2010, Vydavatelsk servis, Plze, 2010, str. 203{205. 386 Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011
Dv eny p ev d ly nam enou teplotu na venkovn m teplom ru ve stupn ch Celsia na stupn Fahrenheita tak, e jedna z nich pou ila p evodn vztah a druh aproximaci. Ob z skaly stejn v sledek. Jak je to mo n? e en. Ob eny postupovaly podle r zn ch p edpis, ale z skaly stejn v sledek { teplotu ve stupn ch Fahrenheita. Tedy plat 9 5 t C +32=2 t C +30 odtud t C =10. Pro teplotu 10 C, resp. 50 F, d vaj ob metody stejn v sledek. e en p kladu lze ilustrovat i gracky, jak ukazuje n sleduj c obr zek. P esn nebo p ibli n? Vypo tejte, v jak m rozsahu teplot ve stupn ch Celsia je odchylka teplot ve stupn ch Fahrenheita ur en ch zaproxima n ho vztahu azp evodn ho vztahu mezi Fahrenheitovou a Celsiovou stupnic a) nejv e 1 F, b) nejv e 2 F, c) nejv e 3 F. e en. Plat t F = 9 5 t C +32 t F =2 t C +30 kde t C je seln hodnota teploty ve stupn ch Celsia, t F seln hodnota teploty ve stupn ch Fahrenheita ur en pomoc p evodn ho vztahu a t F seln hodnota teploty ve stupn ch Fahrenheita ur en pomoc aproxima n ho vztahu. Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011 387
a) Podle zad n m pro odchylku teplot t F a t F platit jt F t F j1: Odstran n m absolutn hodnoty dosp jeme k soustav nerovnic t F 1 t F 1+t F : Dosazen m za t F a t F pak z sk me soustavu nerovnic s nezn mou t C : pravou nerovnic dostaneme 9 5 t C +31 2 t C +30 9 5 t C +33 5 t C 15: Pro teploty zintervalu h5 C, 15 Ci je tedy odchylka teplot ve stupn ch Fahrenheita ur en ch z aproxima n ho a z p evodn ho vztahu nejv e 1 F. b) Postupujeme stejn jako v p edchoz m p pad a zjist me, e odchylka teplot je nejv e 2 F pro teploty zintervalu h0 C, 20 Ci. c) Odchylka teplot je nejv e 3 F pro teploty z intervalu h15 C, 25 Ci. Teplota, nebo hore ka? Norm ln teplota lidsk ho t la m en v podpa n jamce se pohybuje mezi 36 Ca 37 C. Teplota kol s b hem dne, nejni b v asn r no, nejvy naopak v podve er. Norm ln teplota: 36 C{37 C Zv en teplota: 37 C{38 C Hore ka: nad 38 C Vysok hore ka: nad 41 C. Obecn se doporu uje sni ovat teplotu, a kdy stoupne nad 38 C, nebo zv en teplota je jedn m z obrann ch mechanism lidsk ho t la. P i zv en teplot se zastavuje mno en bakteri a vir. Pan Caroline Smith, kter je na n v t v u sv nete e v Praze, onemocn la ch ipkou. Nete se domlouv se sv m praktick m l ka em dr. Topilem. { A kolik m teplotu? { k, e m na sv m teplom ru sto cel ch dev t. { Co je to za nesmysl? Je to opravdu nesmysl? 388 Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011
a) Vyj d ete selnou hodnotu teploty t C ve stupn ch Celsia pomoc t F. b) Jakou m pan Caroline teplotu ve stupn ch Celsia? M hore ku, nebo zv enou teplotu? e en. Nen to nesmysl, pan Caroline si na sv m teplom ru m ila teplotu ve stupn ch Fahrenheita. a) Z rovnosti t F = 9 5 t C + 32 vyj d me t C a z sk me vztah t C = 5 9 (t F 32): b) Dosad me-li do posledn ho vztahu t F = 100 9, zjist me, e teplota pan Caroline je p ibli n 38,3 C, tj. p ekro ila mez 38 C. Pan Caroline m tedy hore ku. 451 stup Fahrenheita Rom n 451 stup Fahrenheita je jedn m z nejzn m j ch d l americk ho spisovatele Raye Bradburyho. D j se odehr v v dalek budoucnosti, kdy spole nost ovl daj masov m dia, knihovny a knihy jsou zak z ny a p leny po rn ky. Ti maj ve znaku slo 451, nebo p i teplot 451 F se pap r vzn t a ho 3... Ur ete, jak by zn l n zev rom nuraye Bradburyho ve stupn ch Celsia. Zaokrouhlete na cel stupn. e en. Z p evodn ho vztahu t F = 9 5 t C +32 vyj d me t C = 5 9 (t F 32). Po dosazen t F = = 451 a zaokrouhlen t C na cel slo z sk me v sledek. N zev rom nu by zn l 233 stup Celsia. 2. lohy o americk m centu Americk cent, tj. jedna setina dolaru, se od ostatn ch americk ch minc odli uje svou typickou m d nou barvou ve skute nosti se jedn o slitinu 3 Teplota vzn cen pap ru z le na r zn ch faktorech, zejm na na jeho kvalit. Obvykle se ud v, e tato teplota za n od 185 C. Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011 389
m di a zinku. Mince m pr m r 19 mm a tlou ku 1,25 mm. A do roku 1982 byla hmotnost centu tvo ena z 95 procent m d a z 5 procent zinkem. Ceny m di na sv tov ch trz ch v ak rostly a hrozilo nebezpe, e v robn hodnota centu p es hne jeho nomin ln hodnotu. Proto se v roce 1982 zm nilo slo en centu a nyn obsahuje pouze 2,5 procenta m dia97,5procenta zinku (j dro mince je zinkov a pl m d n, tak e vn j vzhled je stejn jako u star mince). Kolik v cent? Jakou hmotnost m l cent p edrokem 1982 a jakou hmotnost m nyn? Hustota m di je 8 920 kg/m 3,hustota zinku je 7140 kg/m 3. e en. Nech, zna hustoty m di a zinku, d je pr m r mince a t jej tlou ka. Vypo t me objem mince pomoc vzorce pro objem v lce: d 2 V = t = : 354 mm 3 2 Nech a zna procentu ln hmotnostn pod l m di v minci vyj d en desetinn m slem z intervalu h0 1i hmotnostn pod l zinku je pak 1 a. Celkov objem je sou tem objem m d n a zinkov slo ky, tj. V = a m odkud vyj d me hmotnost mince (1 a) m + V m = : (1) a (1 a) + 390 Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011
: Dosazen m a =0 95 vypo teme p vodn hmotnost mince m 1 =3 1gramu, : zat mco a =0 025 d hmotnost nov mincem 2 =2 5 gramu. Kolik stoj cent? Jak jsou skute n hodnoty star ho centu a nov ho centu? Cena m di je v sou asn dob 6 77 dolaru za kilogram a cena zinku je 2 15 dolaru za kilogram. P edpokl dejte, e ostatn v robn n klady jsou zanedbateln. e en. Nech c a c jsou ceny m di a zinku v dolarech za kilogram. Skute nou hodnotu mince c dostaneme se ten m ceny m d n slo ky a zinkov slo ky, tj. c = a m c +(1 a) m c : (2) : Dosazen m a =0 95 vypo teme cenu star mince c 1 =0 02 dolaru, zat mco : a =0 025 d cenu nov mince c 2 =0 006 dolaru. Pod l m di v centu Jak by mohl b t maxim ln procentu ln pod l m di, aby p i sou- asn ch cen ch kov nep ekro ila skute n hodnota mince jej nomin ln hodnotu, tj. 0 01 dolaru? e en. Nech H =0 01 dolaru. Sta naj t hodnotu a 2h0 1i, pro kterou je cena mince c rovna H. Pou ijeme vztah (2) a e me rovnici a m c +(1 a) m c = H: Hmotnost m dosad me ze vztahu (1): a V c a + (1 a) + (1 a) V c a (1 a) + = H Po vyn soben jmenovatelem zlomk na lev stran dostaneme line rn rovnici a (1 a) a V c +(1 a) V c = H + odkud vypo teme a V c a V c H a a + H = H V c Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011 391
a = H V c V c V c H + H : =0 33: Maxim ln p pustn pod l m di je p ibli n 33 procent. Z vislost ceny mince na obsahu m di ukazuje n sleduj c obr zek. Z v r Uveden lohy ilustruj koncepci chystan sb rky i charakter loh, kter jsou do sb rky postupn za azov ny. Sdal mi lohami se m ete sezn mit ve voln navazuj c m p ipravovan m l nku, kter bude zam en na probl my sdopravn tematikou. Keltsk uzly a d litelnost KAREL PAZOUREK Gymn zium Praha 10, P poto n Vp edchoz m l nku [1] jsme uk zali souvislost keltsk ch uzl speci ln ho pravo heln kov ho tvaru, osov soum rnosti a d litelnosti p irozen ch sel. Zavedli jsme zna en a pojmy jako cesta, cyklus nebo roh uzlu. Jako matematick model n m poslou ilo sch ma vznikl z hlop ek tverc s t vepsan do pravo heln ku, jak je nazna eno na obr. 1. 392 Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011