9. přednáška z předmětu GIS1 Digitální model reliéfu a odvozené povrchy Vyučující: Ing. Jan Pacina, Ph.D. e-mail: jan.pacina@ujep.cz
Lehký úvod Digitální modely terénu jsou dnes v geoinformačních systémech hojně využívány pro různé účely. Naměřená terénní data jsou často zpracována do podoby DMR použitím prostorové interpolace. K dispozici máme mnoho interpolačních algoritmů.
1. Způsoby reprezentace povrchu
2. Úvod k základním způsobům reprezentace povrchu Pravidelný čtvercový rastr Vrstevnicový model Matematická funkce Triangulated irregular networks (TIN)
Pravidelný čtvercový rastr Struktura která specifikuje hodnoty v pravidelné čtvercové mřížce. V počítači je uložená jako dvoj-dimenzionální pole. Pro každý čtverec pravidelné mřížky je určena pouze jedna hodnota elevace.
Význam rastrové reprezentace Elevace uložená v buňce určuje hodnotu elevace pro každý bod této buňky. Elevace může reprezentovat výšku středu buňky, nebo průměrnou hodnotu elevace celé buňky
Vrstevnicový model
Význam vrstevnicové reprezentace Je dána množina výškových dat, a v modelu je reprezentována každá vrstevnice s jednou z těchto elevací. Vrstevnice je obvykle uložena jako sekvence bodů s x- a y- souřadnicí.
Matematická funkce Velmi důležité při popisu povrchů. Můžou být použité k interpolaci mezi vstupními známými body (zajišťují odhady v mezilehlých bodech). Zaměříme se na spline povrchy.
Triangulated irregular networks (TIN) Universální způsob jak zobrazit povrch je triangulovat vstupní body do podoby TINu. Výsledné trojúhelníky (plošky) TINu se (většinou) považují za rovinné a proto tvoří plně definovaný, spojitý model povrchu. Výhody: Mohou zahrnout vstupní měření (body), na rozdíl od pravidelného rastru, které jsou interpolovány ze vstupních dat a proto jsou náchylnější k chybám. Hustota vzorkování je adaptibilní vzhledem ke vstupním datům. Proto můžeme mít oblast hustě pokrytou body s malými trojúhelníky tam, kde je terén členitý, zatímco jinde je pokrytí vstupními body řídké, s velkými trojúhelníky, v oblastech konstantního sklonu.
Triangulated irregular networks (TIN) V datovém modelu TINu je uložena množina bodů spolu se svými výškovými daty. Body nejsou uloženy v mřížce a mají rozdílnou hustotu - na těchto bodech proběhne rovinná triangulace. Pokud bod neleží ve vrcholu, tak je jeho výška získána lineární interpolací (ze dvou bodů, pokud leží na hraně, ze tří, pokud leží uvnitř trojúhelníku) = po částech lineární model, který může být ve 3-d vizualizován jako jednoduše pospojovaná množina trojúhelníků. TIN je spojitý, ale nediferencovatelný po celé oblasti.
3. Konverze mezi typy reprezentací Vstupní výškový data mohou být do GIS zadány vrůzných formátech. Často se používají vrstevnice digitalizace papírových map. Data ve formě rastru data z dálkového průzkumu. Data ve formě rastru zabírají běžně hodně místa, což vede k velkým nárokům na paměť a k časové složitosti algoritmů.
Delaunay triangulation Při triangulaci množiny bodů je snaha o vytvoření trojúhelníků, které jsou co nejvíce rovnostranné. Potom jsou jednotlivé trojúhelníky lokálně reprezentují hodnoty povrchu. Triangulace vytvoří vždy stejný výsledek bez závislosti na počáteční bod a orientaci množiny bodů = výsledek bude předvídatelný a jednoduše opakovatelný (existuje ovšem konfigurace vstupních dat, při které může lokálně docházet k rozdílným výsledkům).
Krátký popis algoritmu Delaunayho triangulce souvisí s Dirichletovou mozaikou množiny bodů, která je rozdělí specifickou množinou polygonů, které se nazývají Thiessenovy polygony, nebo Voroniovy diagramy. Thiessenovy polygony uzavřou každý vstupní bod oblastí tak, že každý bod z této oblasti je blíže k tomuto vstupnímu bodu, než k okolním vstupním bodům. Každá hrana polygonu je kolmá osa, která rozděluje oblast mezi sousedními body. Pokud jsou všechny sousední body propojeny takovýmito hranami, Delaunayho triangulace končí.
Od vstupních bodů ke 3-D povrchu Běžně se používá Delaunayho triangulace vytváří dobře tvarované trojúhelníky. Pokud není vhodné použití D. triangulace můžeme použít jednu z progresivnějších interpolačních metod: - interpolace z přirozených sousedů (natural neighbour interpolation), - weighted moving averages (IDW), - spline, -kriging.
Triangulace z bodů
Triangulace z vrstevnic Výšková data jsou většinou získána digitalizováním vrstevnicových map. Vrstevnicová mapa je vektorová datová struktura. Převod vrstevnic na TIN = triangulace mezi vrstvnicemi. Při triangulaci se použije takový algoritmus, který produkuje dobře tvarované trojúhelníky, jako např. Delaunayho triangulace.
Triangulace z vrstevnic
Triangulace z bodů a vrstevnic Pro nejlepší výsledky triangulace použít body a vrstevnice.
Další interpolační algoritmy Kriging Interpolace z přirozených sousedů IDW Spline
Kriging Pokročilý interpolační algoritmus, který vypočítá odhad povrchu z izolovaných vstupních bodů. Používá prostorovou korelaci mezi vstupními body. Kriging je založen na teorii, která předpokládá, že prostorová změna zkoumaného jevu reprezentovaná z- tovou hodnotou je statisticky homogenní v průběhu celého povrchu; to znamená, že stejná změna jevu může být pozorována ve všech vstupních bodech. Pro správné použití algoritmu je nutná důkladná znalost prostorové statistiky (spatial statistics).
Theissen IDW Kriging Arthur J. Lembo, Jr. Cornell University
Vstupní data
Interpolace z přirozených sousedů
IDW IDW je tzv. přesný interpolátor Vliv vstupního (opěrného) bodu na interpolovaný povrch je všesměrový; vliv vstupního bodu na interpolovanou hodnotu je závislý na vzdálenosti. IDW nezachovává hrany. Nejlepší výsledky z interpolace IDW jsou dosaženy, pokud je dostatečná hustota vstupních bodů pro řešenou úlohu. Pokud je pokrytí vstupními body řídké, nebo jsou body nerovnoměrně rozloženy, tak výsledný povrch nemusí uspokojivě reprezentovat požadovaný povrch. Paul Bolstad, GIS Fundamentals Arthur J. Lembo, Jr. Cornell University
IDW
Spline Spline funkce jsou matematickým ekvivalentem ohebného pravítka. Generuje povrch s minimální křivostí, který prochází (co nejpřesněji) vstupními body = to odpovídá ohýbání gumového plátu přes vstupní body, při minimalizování křivosti výsledného povrchu. Výhody: Rychlý výpočet díky segmentaci. Esteticky líbivý. Vhodné pro vyhlazování. Arthur J. Lembo, Jr. Cornell University Paul Bolstad, GIS Fundamentals