Bézierovy křivky Bohumír Bastl KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26
|
|
- Marcela Brožová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Bézierovy křivky Bohumír Bastl KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26
2 Opakování Spline křivky opakování Bézierovy křivky GPM 2 / 26
3 Opakování Interpolace vs. aproximace křivky mohou být určeny pomocí tzv. řídících nebo opěrných bodů, obvykle je nutné doplnit ještě další informace (okrajové podmínky apod.) existují dva různé přístupy k vytváření takových křivek: interpolace zadáváme opěrné body + obvykle okrajové podmínky, výsledná hladká křivka prochází všemi zadanými body aproximace zadáváme řídící body, výsledkem je typicky hladká křivka, která ale prochází pouze některými, příp. žádnými řídícími body typickými příklady je Lagrangeova interpolace, Hermitova interpolace, aproximace metodou nejmenších čtverců Bézierovy křivky GPM 3 / 26
4 Spline křivky Opakování... jsou většinou intuitivně chápány jako "po částech polynomické funkce se spojitou derivací co do nejvyššího řádu"... jsou matematickým modelem chování pružného lat kového křivítka, které v minulosti používali konstruktéři trupů lodí... jsou interpolačními křivkami daného stupně, které interpolují zadané opěrné body pro dané opěrné body P 0,..., P n a jim přiřazené číselné hodnoty (parametry) t 0,..., t n, má spline parametrické vyjádření pro které platí P i = P(t i), i = 0,..., n volba parametrů: P = P(t), t t 0, t n, uniformní parametrizace, kde t i+1 t i = konst. neuniformní, např. chordálová parametrizace, kde t i+1 = t i + k P i+1 P i nejčastěji se používají kubické spline křivky, kde základem pro výpočet jednotlivých oblouků je tzv. Fergusonova kubika Bézierovy křivky GPM 4 / 26
5 Fergusonova kubika Opakování vstupní data: body P i, P i+1, parametry t i, t i+1 a tečné vektory P i, P i+1 potom Fergusonova kubika je dána vztahem P(t) = H 0(t t i)p i + H 1(t t i)p i+1 + H 2(t t i)p i + H 3(t t i)p i+1, kde H i(s) jsou polynomy třetího stupně, které je možné najít z nutnosti splnění okrajových podmínek P(t i) = P i, P(t i+1) = P i+1, P (t i) = P i, P (t i+1) = P i+1 Bézierovy křivky GPM 5 / 26
6 Kubické spline křivky Opakování dáno: opěrné body P 0,..., P n, parametry t 0 < t 1 < < t n zadáním opěrných bodů P 0,..., P n a odpovídajících hodnot parametrů t 0,..., t n není kubická spline křivka určena jednoznačně, je nutné doplnit 2 okrajové podmínky dodatečné okrajové podmínky jsou zpravidla trojího typu: tečné vektory v počátečním a koncovém bodě vektory druhých derivací v počátečním a koncovém bodě, speciálním případem je podmínka "volného konce", kde jsou tyto derivace nulové podmínka uzavřenosti spline křivky kubická spline křivka je potom dána vektorovou funkcí P(t), t t 0, t n, jejíž složky jsou po částech kubické polynomy, splňuje interpolační podmínky P(t i) = P i, i = 0,..., n, splňuje okrajové podmínky a je třídy C 2 vlastní výpočet kubické spline křivky pak probíhá ve dvou krocích: 1 vypočteme tečné vektory ve všech opěrných bodech 2 jednotlivé oblouky kubické spline křivky vypočteme jako Fergusonovy kubiky Bézierovy křivky GPM 6 / 26
7 Kubické spline křivky Opakování výpočet tečných vektorů ve všech opěrných bodech z požadavku spojitosti druhé derivace kubické spline křivky a s využitím Fergusonovy kubiky dostáváme 1 i k P i + ( 2 + ) 2 i k i+1 k P i i+1 k P i+2 = = 3 P i+1 k 2 i+2 + ( ) 3 3 i k 2 i+1 k 2 Pi+1 3 P i k i, i = 0,..., n 2 2 doplníme-li jako okrajové podmínky zadané tečné vektory v počátečním a koncovém bodě, dostáváme soustavu n 1 rovnic pro n 1 neznámých P 1 P 2.. P n 2 P n 1 = 3(P 2 P 0) P 0 3(P 3 P 1). 3(P n 1 P n 3) 3(P n P n 2) P n po dopočtení tečných vektorů se jednotlivé oblouky spline křivky vypočtou jako příslušné Fergusonovy kubiky Bézierovy křivky GPM 7 / 26
8 Kubické spline křivky Opakování výpočet tečných vektorů ve všech opěrných bodech z požadavku spojitosti druhé derivace kubické spline křivky a s využitím Fergusonovy kubiky dostáváme 1 i k P i + ( 2 + ) 2 i k i+1 k P i i+1 k P i+2 = = 3 P i+1 k 2 i+2 + ( ) 3 3 i k 2 i+1 k 2 Pi+1 3 P i k i, i = 0,..., n 2 2 doplníme-li jako okrajové podmínky zadané vektory druhých derivací v počátečním a koncovém bodě, dostáváme soustavu n + 1 rovnic pro n + 1 neznámých P 0 P 1.. P n 1 P n = 3(P 1 P 0) A/2 3(P 2 P 0). 3(P n P n 2) 3(P n P n 1) + B/2 po dopočtení tečných vektorů se jednotlivé oblouky spline křivky vypočtou jako příslušné Fergusonovy kubiky Bézierovy křivky GPM 7 / 26
9 Kubické spline křivky Opakování výpočet tečných vektorů ve všech opěrných bodech z požadavku spojitosti druhé derivace kubické spline křivky a s využitím Fergusonovy kubiky dostáváme 1 i k P i + ( 2 + ) 2 i k i+1 k P i i+1 k P i+2 = = 3 P i+1 k 2 i+2 + ( ) 3 3 i k 2 i+1 k 2 Pi+1 3 P i k i, i = 0,..., n 2 2 doplníme-li jako okrajovou podmínku podmínku uzavřenosti spline křivky, dostáváme soustavu n + 1 rovnic pro n + 1 neznámých P 0 P 1.. P n 1 P n = 3(P 0 P n 1) 3(P 2 P 0). 3(P n P n 2) 3(P 1 P n) po dopočtení tečných vektorů se jednotlivé oblouky spline křivky vypočtou jako příslušné Fergusonovy kubiky Bézierovy křivky GPM 7 / 26
10 Kubické spline křivky Opakování výpočet tečných vektorů ve všech opěrných bodech z požadavku spojitosti druhé derivace kubické spline křivky a s využitím Fergusonovy kubiky dostáváme 1 i k P i + ( 2 + ) 2 i k i+1 k P i i+1 k P i+2 = = 3 P i+1 k 2 i+2 + ( ) 3 3 i k 2 i+1 k 2 Pi+1 3 P i k i, i = 0,..., n 2 2 doplníme-li jako okrajovou podmínku podmínku uzavřenosti spline křivky, dostáváme soustavu n + 1 rovnic pro n + 1 neznámých P 0 P 1.. P n 1 P n = 3(P 0 P n 1) 3(P 2 P 0). 3(P n P n 2) 3(P 1 P n) po dopočtení tečných vektorů se jednotlivé oblouky spline křivky vypočtou jako příslušné Fergusonovy kubiky Bézierovy křivky GPM 7 / 26
11 Spline křivky stupně d Opakování po částech polynomy stupně d, spojitost třídy C d 1 v praxi se nejčastěji používají spline křivky lichého stupně důvodem je symetrie okrajových podmínek kolik potřebujeme doplnit okrajových podmínek pro spline stupně d? pro opěrné body P 0,..., P n máme n oblouků spline křivky pro každý oblouk potřebujeme d + 1 koeficientů, celkem tedy (d + 1)n interpolační podmínky dávají n + 1 rovnic spojitost "nulté"až d 1 derivace poskytuje dalších d(n 1) podmínek celkem tedy máme (d + 1)n d + 1 podmínek musíme tedy doplnit vždy d 1 okrajových podmínek Věta Pro otevřenou spline křivku stupně d (d liché, d > 0) je nutné volit parametrizaci a dalších d 1 podmínek. Věta Uzavřená spline křivka stupně d (d liché, d > 0) je jednoznačně určena svými opěrnými body a parametrizací. Bézierovy křivky GPM 8 / 26
12 Bézierovy křivky Bézierovy křivky GPM 9 / 26
13 Bézierovy křivky Bézierovy křivky poprvé zavedli Paul de Casteljau (Citroen) v roce 1959 a nezávisle na něm Pierre Bézier (Renault) v roce 1962 dodnes se používá název Bézierovy křivky, jelikož právě P. Bézier mohl výsledky své práce jako první publikovat nicméně dodnes se pro generování bodů Bézierovy křivky používá de Casteljau algoritmus, který je založený na opakovaném použití lineární interpolace a zobecňuje speciální případ konstrukce paraboly pro křivky vyšších stupňů Bézierovy křivky jsou určeny řídícím polygonem lomenou čárou určenou polohovými vektory bodů P 0,..., P n Bézierovy křivky GPM 10 / 26
14 Bézierovy křivky Bézierovy křivky poprvé zavedli Paul de Casteljau (Citroen) v roce 1959 a nezávisle na něm Pierre Bézier (Renault) v roce 1962 dodnes se používá název Bézierovy křivky, jelikož právě P. Bézier mohl výsledky své práce jako první publikovat nicméně dodnes se pro generování bodů Bézierovy křivky používá de Casteljau algoritmus, který je založený na opakovaném použití lineární interpolace a zobecňuje speciální případ konstrukce paraboly pro křivky vyšších stupňů Bézierovy křivky jsou určeny řídícím polygonem lomenou čárou určenou polohovými vektory bodů P 0,..., P n Bézierovy křivky GPM 10 / 26
15 Bézierovy křivky Bézierovy křivky poprvé zavedli Paul de Casteljau (Citroen) v roce 1959 a nezávisle na něm Pierre Bézier (Renault) v roce 1962 dodnes se používá název Bézierovy křivky, jelikož právě P. Bézier mohl výsledky své práce jako první publikovat nicméně dodnes se pro generování bodů Bézierovy křivky používá de Casteljau algoritmus, který je založený na opakovaném použití lineární interpolace a zobecňuje speciální případ konstrukce paraboly pro křivky vyšších stupňů Bézierovy křivky jsou určeny řídícím polygonem lomenou čárou určenou polohovými vektory bodů P 0,..., P n Bézierovy křivky GPM 10 / 26
16 Bézierovy křivky Bézierovy křivky poprvé zavedli Paul de Casteljau (Citroen) v roce 1959 a nezávisle na něm Pierre Bézier (Renault) v roce 1962 dodnes se používá název Bézierovy křivky, jelikož právě P. Bézier mohl výsledky své práce jako první publikovat nicméně dodnes se pro generování bodů Bézierovy křivky používá de Casteljau algoritmus, který je založený na opakovaném použití lineární interpolace a zobecňuje speciální případ konstrukce paraboly pro křivky vyšších stupňů Bézierovy křivky jsou určeny řídícím polygonem lomenou čárou určenou polohovými vektory bodů P 0,..., P n Bézierovy křivky GPM 10 / 26
17 Algoritmus de Casteljau motivací byla provázková konstrukce paraboly nyní se podívejme na zobecnění této konstrukce začneme s řídícím polygonem o 4 bodech tyto řídící body mohou být v rovině nebo v prostoru, podle toho dostáváme bud rovinou nebo prostorovou Bézierovu křivku v dalším necht t je parametr z intervalu 0, 1 Bézierovy křivky GPM 11 / 26
18 Algoritmus de Casteljau v prvním kroku algoritmu provedeme lineární interpolaci podle následujících vztahů pro všechny dvojice po sobě jdoucích bodů a získáme nové body P 1 0(t) = (1 t)p 0 + tp 1, P 1 1(t) = (1 t)p 1 + tp 2, P 1 2(t) = (1 t)p 2 + tp 3 Bézierovy křivky GPM 12 / 26
19 Algoritmus de Casteljau ve druhém kroku postup opakujeme pro nově získané body v předchozím kroku algoritmu pro stejný parametr t, opět získáme nové body P 2 0(t) = (1 t)p tp 1 1, P 2 1(t) = (1 t)p tp 1 2 Bézierovy křivky GPM 13 / 26
20 Algoritmus de Casteljau postup ještě jednou opakujeme pro dva nové body z předchozího kroku opět se stejným parametrem t a dostáváme bod na Bézierově křivce P(t) = P 3 0(t) = (1 t)p tp 2 1 Bézierovy křivky GPM 14 / 26
21 Algoritmus de Casteljau abychom získali všechny body Bézierovy křivky, musíme postup opakovat pro všechna t 0, 1 protože P(0) = P 0 a P(1) = P 3, prochází Bézierova křivka vždy prvním a posledním bodem řídícího polygonu pokud postupně dosadíme do posledního vztahu algoritmu ze všech předcházejících, dostaneme ( ) 3 P(t) = (1 t) 3 P 0 + 3(1 t) 2 tp 1 + 3(1 t)t 2 P 2 + t 3 3 P 3 = (1 t) 3 i t i P i i jelikož stupeň parametru t je nejvýše 3, hovoříme o kubické Bézierově křivce je zřejmé, že opakování postupu lineární interpolace vytváří trojúhelníkové schéma P 0 P 1 P 1 0(t) P 2 P 1 1(t) P 2 0(t) P 3 P 1 2(t) P 2 1(t) P(t) i=0 Bézierovy křivky GPM 15 / 26
22 Algoritmus de Casteljau abychom získali všechny body Bézierovy křivky, musíme postup opakovat pro všechna t 0, 1 protože P(0) = P 0 a P(1) = P 3, prochází Bézierova křivka vždy prvním a posledním bodem řídícího polygonu pokud postupně dosadíme do posledního vztahu algoritmu ze všech předcházejících, dostaneme ( ) 3 P(t) = (1 t) 3 P 0 + 3(1 t) 2 tp 1 + 3(1 t)t 2 P 2 + t 3 3 P 3 = (1 t) 3 i t i P i i jelikož stupeň parametru t je nejvýše 3, hovoříme o kubické Bézierově křivce je zřejmé, že opakování postupu lineární interpolace vytváří trojúhelníkové schéma P 0 P 1 P 1 0(t) P 2 P 1 1(t) P 2 0(t) P 3 P 1 2(t) P 2 1(t) P(t) i=0 Bézierovy křivky GPM 15 / 26
23 Algoritmus de Casteljau abychom získali všechny body Bézierovy křivky, musíme postup opakovat pro všechna t 0, 1 protože P(0) = P 0 a P(1) = P 3, prochází Bézierova křivka vždy prvním a posledním bodem řídícího polygonu pokud postupně dosadíme do posledního vztahu algoritmu ze všech předcházejících, dostaneme ( ) 3 P(t) = (1 t) 3 P 0 + 3(1 t) 2 tp 1 + 3(1 t)t 2 P 2 + t 3 3 P 3 = (1 t) 3 i t i P i i jelikož stupeň parametru t je nejvýše 3, hovoříme o kubické Bézierově křivce je zřejmé, že opakování postupu lineární interpolace vytváří trojúhelníkové schéma P 0 P 1 P 1 0(t) P 2 P 1 1(t) P 2 0(t) P 3 P 1 2(t) P 2 1(t) P(t) i=0 Bézierovy křivky GPM 15 / 26
24 Algoritmus de Casteljau abychom získali všechny body Bézierovy křivky, musíme postup opakovat pro všechna t 0, 1 protože P(0) = P 0 a P(1) = P 3, prochází Bézierova křivka vždy prvním a posledním bodem řídícího polygonu pokud postupně dosadíme do posledního vztahu algoritmu ze všech předcházejících, dostaneme ( ) 3 P(t) = (1 t) 3 P 0 + 3(1 t) 2 tp 1 + 3(1 t)t 2 P 2 + t 3 3 P 3 = (1 t) 3 i t i P i i jelikož stupeň parametru t je nejvýše 3, hovoříme o kubické Bézierově křivce je zřejmé, že opakování postupu lineární interpolace vytváří trojúhelníkové schéma P 0 P 1 P 1 0(t) P 2 P 1 1(t) P 2 0(t) P 3 P 1 2(t) P 2 1(t) P(t) i=0 Bézierovy křivky GPM 15 / 26
25 Algoritmus de Casteljau abychom získali všechny body Bézierovy křivky, musíme postup opakovat pro všechna t 0, 1 protože P(0) = P 0 a P(1) = P 3, prochází Bézierova křivka vždy prvním a posledním bodem řídícího polygonu pokud postupně dosadíme do posledního vztahu algoritmu ze všech předcházejících, dostaneme ( ) 3 P(t) = (1 t) 3 P 0 + 3(1 t) 2 tp 1 + 3(1 t)t 2 P 2 + t 3 3 P 3 = (1 t) 3 i t i P i i jelikož stupeň parametru t je nejvýše 3, hovoříme o kubické Bézierově křivce je zřejmé, že opakování postupu lineární interpolace vytváří trojúhelníkové schéma P 0 P 1 P 1 0(t) P 2 P 1 1(t) P 2 0(t) P 3 P 1 2(t) P 2 1(t) P(t) i=0 Bézierovy křivky GPM 15 / 26
26 Algoritmus de Casteljau proces je možné zobecnit pro libovolný počet bodů řídícího polygonu pokud má řídící polygon n + 1 bodů, potom je nutné provést n kroků algoritmu, abychom získali bod na křivce Bézierova křivka je stupně n a její parametrizaci je možné získat ze vztahu ( ) n n P(t) = (1 t) n i t i P i i i=0 algoritmus de Casteljau také umožňuje najít tečnu Bézierovy křivky v daném bodě tečna v bodě P(t) je přímo určena body P n 1 0 (t) a P n 1 1 (t) podobně, tečna v bodě P 0, resp. P n je přímo určena první, resp. poslední hranou řídícího polygonu samozřejmě je tečný vektor Bézierovy křivky možné získat i početně derivací vztahu uvedeného výše pro kubickou B. křivku a její tečný vektor potom ihned dostáváme P (t) = 3(P 2 1(t) P 2 0(t)) P (0) = 3(P 1 P 0) P (1) = 3(P 3 P 2) Bézierovy křivky GPM 16 / 26
27 Algoritmus de Casteljau proces je možné zobecnit pro libovolný počet bodů řídícího polygonu pokud má řídící polygon n + 1 bodů, potom je nutné provést n kroků algoritmu, abychom získali bod na křivce Bézierova křivka je stupně n a její parametrizaci je možné získat ze vztahu ( ) n n P(t) = (1 t) n i t i P i i i=0 algoritmus de Casteljau také umožňuje najít tečnu Bézierovy křivky v daném bodě tečna v bodě P(t) je přímo určena body P n 1 0 (t) a P n 1 1 (t) podobně, tečna v bodě P 0, resp. P n je přímo určena první, resp. poslední hranou řídícího polygonu samozřejmě je tečný vektor Bézierovy křivky možné získat i početně derivací vztahu uvedeného výše pro kubickou B. křivku a její tečný vektor potom ihned dostáváme P (t) = 3(P 2 1(t) P 2 0(t)) P (0) = 3(P 1 P 0) P (1) = 3(P 3 P 2) Bézierovy křivky GPM 16 / 26
28 Algoritmus de Casteljau proces je možné zobecnit pro libovolný počet bodů řídícího polygonu pokud má řídící polygon n + 1 bodů, potom je nutné provést n kroků algoritmu, abychom získali bod na křivce Bézierova křivka je stupně n a její parametrizaci je možné získat ze vztahu ( ) n n P(t) = (1 t) n i t i P i i i=0 algoritmus de Casteljau také umožňuje najít tečnu Bézierovy křivky v daném bodě tečna v bodě P(t) je přímo určena body P n 1 0 (t) a P n 1 1 (t) podobně, tečna v bodě P 0, resp. P n je přímo určena první, resp. poslední hranou řídícího polygonu samozřejmě je tečný vektor Bézierovy křivky možné získat i početně derivací vztahu uvedeného výše pro kubickou B. křivku a její tečný vektor potom ihned dostáváme P (t) = 3(P 2 1(t) P 2 0(t)) P (0) = 3(P 1 P 0) P (1) = 3(P 3 P 2) Bézierovy křivky GPM 16 / 26
29 Algoritmus de Casteljau proces je možné zobecnit pro libovolný počet bodů řídícího polygonu pokud má řídící polygon n + 1 bodů, potom je nutné provést n kroků algoritmu, abychom získali bod na křivce Bézierova křivka je stupně n a její parametrizaci je možné získat ze vztahu ( ) n n P(t) = (1 t) n i t i P i i i=0 algoritmus de Casteljau také umožňuje najít tečnu Bézierovy křivky v daném bodě tečna v bodě P(t) je přímo určena body P n 1 0 (t) a P n 1 1 (t) podobně, tečna v bodě P 0, resp. P n je přímo určena první, resp. poslední hranou řídícího polygonu samozřejmě je tečný vektor Bézierovy křivky možné získat i početně derivací vztahu uvedeného výše pro kubickou B. křivku a její tečný vektor potom ihned dostáváme P (t) = 3(P 2 1(t) P 2 0(t)) P (0) = 3(P 1 P 0) P (1) = 3(P 3 P 2) Bézierovy křivky GPM 16 / 26
30 Algoritmus de Casteljau proces je možné zobecnit pro libovolný počet bodů řídícího polygonu pokud má řídící polygon n + 1 bodů, potom je nutné provést n kroků algoritmu, abychom získali bod na křivce Bézierova křivka je stupně n a její parametrizaci je možné získat ze vztahu ( ) n n P(t) = (1 t) n i t i P i i i=0 algoritmus de Casteljau také umožňuje najít tečnu Bézierovy křivky v daném bodě tečna v bodě P(t) je přímo určena body P n 1 0 (t) a P n 1 1 (t) podobně, tečna v bodě P 0, resp. P n je přímo určena první, resp. poslední hranou řídícího polygonu samozřejmě je tečný vektor Bézierovy křivky možné získat i početně derivací vztahu uvedeného výše pro kubickou B. křivku a její tečný vektor potom ihned dostáváme P (t) = 3(P 2 1(t) P 2 0(t)) P (0) = 3(P 1 P 0) P (1) = 3(P 3 P 2) Bézierovy křivky GPM 16 / 26
31 Algoritmus de Casteljau proces je možné zobecnit pro libovolný počet bodů řídícího polygonu pokud má řídící polygon n + 1 bodů, potom je nutné provést n kroků algoritmu, abychom získali bod na křivce Bézierova křivka je stupně n a její parametrizaci je možné získat ze vztahu ( ) n n P(t) = (1 t) n i t i P i i i=0 algoritmus de Casteljau také umožňuje najít tečnu Bézierovy křivky v daném bodě tečna v bodě P(t) je přímo určena body P n 1 0 (t) a P n 1 1 (t) podobně, tečna v bodě P 0, resp. P n je přímo určena první, resp. poslední hranou řídícího polygonu samozřejmě je tečný vektor Bézierovy křivky možné získat i početně derivací vztahu uvedeného výše pro kubickou B. křivku a její tečný vektor potom ihned dostáváme P (t) = 3(P 2 1(t) P 2 0(t)) P (0) = 3(P 1 P 0) P (1) = 3(P 3 P 2) Bézierovy křivky GPM 16 / 26
32 Bézierovy křivky a Bernsteinovy polynomy Bézierova křivka stupně n určená řídícím polygonem P 0,..., P n je dána vztahem ( ) n n P(t) = (1 t) n i t i P i, t 0, 1 i i=0 }{{} B i n(t) kde B n i (t) jsou tzv. Bernsteinovy polynomy stupně n Bernsteinovy polynomy stupně n tvoří bázi prostoru polynomů stupně n vlastnosti Bernsteinových polynomů: Bi n (t) 0 pro t 0, 1, i = 0,..., n Bernsteinovy polynomy je možné generovat rekurzivně pomocí vztahu platí: Bi n (t) = (1 t)b n 1 i (t) + tb n 1 i 1 (t) n Bi n (t) = 1, i=0 symetrie: B n i (t) = B n n i(1 t) t Bézierovy křivky GPM 17 / 26
33 Bézierovy křivky a Bernsteinovy polynomy Bézierova křivka stupně n určená řídícím polygonem P 0,..., P n je dána vztahem ( ) n n P(t) = (1 t) n i t i P i, t 0, 1 i i=0 }{{} B i n(t) kde B n i (t) jsou tzv. Bernsteinovy polynomy stupně n Bernsteinovy polynomy stupně n tvoří bázi prostoru polynomů stupně n vlastnosti Bernsteinových polynomů: Bi n (t) 0 pro t 0, 1, i = 0,..., n Bernsteinovy polynomy je možné generovat rekurzivně pomocí vztahu platí: Bi n (t) = (1 t)b n 1 i (t) + tb n 1 i 1 (t) n Bi n (t) = 1, i=0 symetrie: B n i (t) = B n n i(1 t) t Bézierovy křivky GPM 17 / 26
34 Bézierovy křivky a Bernsteinovy polynomy Bézierova křivka stupně n určená řídícím polygonem P 0,..., P n je dána vztahem ( ) n n P(t) = (1 t) n i t i P i, t 0, 1 i i=0 }{{} B i n(t) kde B n i (t) jsou tzv. Bernsteinovy polynomy stupně n Bernsteinovy polynomy stupně n tvoří bázi prostoru polynomů stupně n vlastnosti Bernsteinových polynomů: Bi n (t) 0 pro t 0, 1, i = 0,..., n Bernsteinovy polynomy je možné generovat rekurzivně pomocí vztahu platí: Bi n (t) = (1 t)b n 1 i (t) + tb n 1 i 1 (t) n Bi n (t) = 1, i=0 symetrie: B n i (t) = B n n i(1 t) t Bézierovy křivky GPM 17 / 26
35 Bézierovy křivky a Bernsteinovy polynomy Bézierova křivka stupně n určená řídícím polygonem P 0,..., P n je dána vztahem ( ) n n P(t) = (1 t) n i t i P i, t 0, 1 i i=0 }{{} B i n(t) kde B n i (t) jsou tzv. Bernsteinovy polynomy stupně n Bernsteinovy polynomy stupně n tvoří bázi prostoru polynomů stupně n vlastnosti Bernsteinových polynomů: Bi n (t) 0 pro t 0, 1, i = 0,..., n Bernsteinovy polynomy je možné generovat rekurzivně pomocí vztahu platí: Bi n (t) = (1 t)b n 1 i (t) + tb n 1 i 1 (t) n Bi n (t) = 1, i=0 symetrie: B n i (t) = B n n i(1 t) t Bézierovy křivky GPM 17 / 26
36 Bézierovy křivky a Bernsteinovy polynomy Bézierova křivka stupně n určená řídícím polygonem P 0,..., P n je dána vztahem ( ) n n P(t) = (1 t) n i t i P i, t 0, 1 i i=0 }{{} B i n(t) kde B n i (t) jsou tzv. Bernsteinovy polynomy stupně n Bernsteinovy polynomy stupně n tvoří bázi prostoru polynomů stupně n vlastnosti Bernsteinových polynomů: Bi n (t) 0 pro t 0, 1, i = 0,..., n Bernsteinovy polynomy je možné generovat rekurzivně pomocí vztahu platí: Bi n (t) = (1 t)b n 1 i (t) + tb n 1 i 1 (t) n Bi n (t) = 1, i=0 symetrie: B n i (t) = B n n i(1 t) t Bézierovy křivky GPM 17 / 26
37 Bézierovy křivky a Bernsteinovy polynomy Bézierova křivka stupně n určená řídícím polygonem P 0,..., P n je dána vztahem ( ) n n P(t) = (1 t) n i t i P i, t 0, 1 i i=0 }{{} B i n(t) kde B n i (t) jsou tzv. Bernsteinovy polynomy stupně n Bernsteinovy polynomy stupně n tvoří bázi prostoru polynomů stupně n vlastnosti Bernsteinových polynomů: Bi n (t) 0 pro t 0, 1, i = 0,..., n Bernsteinovy polynomy je možné generovat rekurzivně pomocí vztahu platí: Bi n (t) = (1 t)b n 1 i (t) + tb n 1 i 1 (t) n Bi n (t) = 1, i=0 symetrie: B n i (t) = B n n i(1 t) t Bézierovy křivky GPM 17 / 26
38 Vlastnosti Bézierových křivek počátečním bodem Bézierovy křivky je bod P 0 řídícího polygonu, koncovým bodem je bod P n řídícího polygonu Bézierova křivka se v počátečním bodě dotýká první strany řídícího polygonu, v koncovém bodě se dotýká poslední strany řídícího polygonu navíc platí: P (0) = n(p 1 P 0) a P (1) = n(p n P n 1) napojení Bézierových křivek: mějme dvě Bézierovy křivky P(t), určenou řídícím polygonem P 0,..., P n, a Q(t), určenou řídícím polygonem Q 0,..., Q m jestliže P n = Q 0, potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě C 0 pokud leží body P n 1, P n = Q 0, Q 1 na jedné přímce, potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě G 1 pokud navíc platí, že n(p n P n 1) = m(q 1 Q 0), potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě C 1 jelikož libovolný polynom stupně n je možné vyjádřit jako lineární kombinaci Bernsteinových polynomů, je možné libovolnou polynomiální parametrickou křivku vyjádřit jako Bézierovu křivku vzhledem k symetrii Bernsteinových polynomů je tvar Bézierovy křivky nezávislý na orientaci řídícího polygonu Bézierovy křivky GPM 18 / 26
39 Vlastnosti Bézierových křivek počátečním bodem Bézierovy křivky je bod P 0 řídícího polygonu, koncovým bodem je bod P n řídícího polygonu Bézierova křivka se v počátečním bodě dotýká první strany řídícího polygonu, v koncovém bodě se dotýká poslední strany řídícího polygonu navíc platí: P (0) = n(p 1 P 0) a P (1) = n(p n P n 1) napojení Bézierových křivek: mějme dvě Bézierovy křivky P(t), určenou řídícím polygonem P 0,..., P n, a Q(t), určenou řídícím polygonem Q 0,..., Q m jestliže P n = Q 0, potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě C 0 pokud leží body P n 1, P n = Q 0, Q 1 na jedné přímce, potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě G 1 pokud navíc platí, že n(p n P n 1) = m(q 1 Q 0), potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě C 1 jelikož libovolný polynom stupně n je možné vyjádřit jako lineární kombinaci Bernsteinových polynomů, je možné libovolnou polynomiální parametrickou křivku vyjádřit jako Bézierovu křivku vzhledem k symetrii Bernsteinových polynomů je tvar Bézierovy křivky nezávislý na orientaci řídícího polygonu Bézierovy křivky GPM 18 / 26
40 Vlastnosti Bézierových křivek počátečním bodem Bézierovy křivky je bod P 0 řídícího polygonu, koncovým bodem je bod P n řídícího polygonu Bézierova křivka se v počátečním bodě dotýká první strany řídícího polygonu, v koncovém bodě se dotýká poslední strany řídícího polygonu navíc platí: P (0) = n(p 1 P 0) a P (1) = n(p n P n 1) napojení Bézierových křivek: mějme dvě Bézierovy křivky P(t), určenou řídícím polygonem P 0,..., P n, a Q(t), určenou řídícím polygonem Q 0,..., Q m jestliže P n = Q 0, potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě C 0 pokud leží body P n 1, P n = Q 0, Q 1 na jedné přímce, potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě G 1 pokud navíc platí, že n(p n P n 1) = m(q 1 Q 0), potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě C 1 jelikož libovolný polynom stupně n je možné vyjádřit jako lineární kombinaci Bernsteinových polynomů, je možné libovolnou polynomiální parametrickou křivku vyjádřit jako Bézierovu křivku vzhledem k symetrii Bernsteinových polynomů je tvar Bézierovy křivky nezávislý na orientaci řídícího polygonu Bézierovy křivky GPM 18 / 26
41 Vlastnosti Bézierových křivek počátečním bodem Bézierovy křivky je bod P 0 řídícího polygonu, koncovým bodem je bod P n řídícího polygonu Bézierova křivka se v počátečním bodě dotýká první strany řídícího polygonu, v koncovém bodě se dotýká poslední strany řídícího polygonu navíc platí: P (0) = n(p 1 P 0) a P (1) = n(p n P n 1) napojení Bézierových křivek: mějme dvě Bézierovy křivky P(t), určenou řídícím polygonem P 0,..., P n, a Q(t), určenou řídícím polygonem Q 0,..., Q m jestliže P n = Q 0, potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě C 0 pokud leží body P n 1, P n = Q 0, Q 1 na jedné přímce, potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě G 1 pokud navíc platí, že n(p n P n 1) = m(q 1 Q 0), potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě C 1 jelikož libovolný polynom stupně n je možné vyjádřit jako lineární kombinaci Bernsteinových polynomů, je možné libovolnou polynomiální parametrickou křivku vyjádřit jako Bézierovu křivku vzhledem k symetrii Bernsteinových polynomů je tvar Bézierovy křivky nezávislý na orientaci řídícího polygonu Bézierovy křivky GPM 18 / 26
42 Vlastnosti Bézierových křivek počátečním bodem Bézierovy křivky je bod P 0 řídícího polygonu, koncovým bodem je bod P n řídícího polygonu Bézierova křivka se v počátečním bodě dotýká první strany řídícího polygonu, v koncovém bodě se dotýká poslední strany řídícího polygonu navíc platí: P (0) = n(p 1 P 0) a P (1) = n(p n P n 1) napojení Bézierových křivek: mějme dvě Bézierovy křivky P(t), určenou řídícím polygonem P 0,..., P n, a Q(t), určenou řídícím polygonem Q 0,..., Q m jestliže P n = Q 0, potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě C 0 pokud leží body P n 1, P n = Q 0, Q 1 na jedné přímce, potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě G 1 pokud navíc platí, že n(p n P n 1) = m(q 1 Q 0), potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě C 1 jelikož libovolný polynom stupně n je možné vyjádřit jako lineární kombinaci Bernsteinových polynomů, je možné libovolnou polynomiální parametrickou křivku vyjádřit jako Bézierovu křivku vzhledem k symetrii Bernsteinových polynomů je tvar Bézierovy křivky nezávislý na orientaci řídícího polygonu Bézierovy křivky GPM 18 / 26
43 Vlastnosti Bézierových křivek počátečním bodem Bézierovy křivky je bod P 0 řídícího polygonu, koncovým bodem je bod P n řídícího polygonu Bézierova křivka se v počátečním bodě dotýká první strany řídícího polygonu, v koncovém bodě se dotýká poslední strany řídícího polygonu navíc platí: P (0) = n(p 1 P 0) a P (1) = n(p n P n 1) napojení Bézierových křivek: mějme dvě Bézierovy křivky P(t), určenou řídícím polygonem P 0,..., P n, a Q(t), určenou řídícím polygonem Q 0,..., Q m jestliže P n = Q 0, potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě C 0 pokud leží body P n 1, P n = Q 0, Q 1 na jedné přímce, potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě G 1 pokud navíc platí, že n(p n P n 1) = m(q 1 Q 0), potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě C 1 jelikož libovolný polynom stupně n je možné vyjádřit jako lineární kombinaci Bernsteinových polynomů, je možné libovolnou polynomiální parametrickou křivku vyjádřit jako Bézierovu křivku vzhledem k symetrii Bernsteinových polynomů je tvar Bézierovy křivky nezávislý na orientaci řídícího polygonu Bézierovy křivky GPM 18 / 26
44 Vlastnosti Bézierových křivek počátečním bodem Bézierovy křivky je bod P 0 řídícího polygonu, koncovým bodem je bod P n řídícího polygonu Bézierova křivka se v počátečním bodě dotýká první strany řídícího polygonu, v koncovém bodě se dotýká poslední strany řídícího polygonu navíc platí: P (0) = n(p 1 P 0) a P (1) = n(p n P n 1) napojení Bézierových křivek: mějme dvě Bézierovy křivky P(t), určenou řídícím polygonem P 0,..., P n, a Q(t), určenou řídícím polygonem Q 0,..., Q m jestliže P n = Q 0, potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě C 0 pokud leží body P n 1, P n = Q 0, Q 1 na jedné přímce, potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě G 1 pokud navíc platí, že n(p n P n 1) = m(q 1 Q 0), potom jsou Bézierovy křivky napojeny ve třídě C 1 jelikož libovolný polynom stupně n je možné vyjádřit jako lineární kombinaci Bernsteinových polynomů, je možné libovolnou polynomiální parametrickou křivku vyjádřit jako Bézierovu křivku vzhledem k symetrii Bernsteinových polynomů je tvar Bézierovy křivky nezávislý na orientaci řídícího polygonu Bézierovy křivky GPM 18 / 26
45 Vlastnosti Bézierových křivek hodograf Bézierovy křivky určené řídícím polygonem P 0,..., P n je opět Bézierova křivka určená řídícími body D i = n(p i+1 P i), i = 0,..., n 1 podobně je možné získat i vyšší derivace Bézierovy křivky pokud hodograf prochází počátkem, obsahuje původní Bézierova křivka bod vratu Bézierovy křivky mohou obsahovat také smyčky smyčka lze automaticky identifikovat podle hledání bodů samoprůniku bod vratu je takový bod na křivce, pro který není dobře definován tečný vektor, resp. tečný vektor je zde nulový (lze bod vratu identifikovat pomocí algoritmu de Casteljau?) Bézierovy křivky GPM 19 / 26
46 Vlastnosti Bézierových křivek hodograf Bézierovy křivky určené řídícím polygonem P 0,..., P n je opět Bézierova křivka určená řídícími body D i = n(p i+1 P i), i = 0,..., n 1 podobně je možné získat i vyšší derivace Bézierovy křivky pokud hodograf prochází počátkem, obsahuje původní Bézierova křivka bod vratu Bézierovy křivky mohou obsahovat také smyčky smyčka lze automaticky identifikovat podle hledání bodů samoprůniku bod vratu je takový bod na křivce, pro který není dobře definován tečný vektor, resp. tečný vektor je zde nulový (lze bod vratu identifikovat pomocí algoritmu de Casteljau?) Bézierovy křivky GPM 19 / 26
47 Vlastnosti Bézierových křivek hodograf Bézierovy křivky určené řídícím polygonem P 0,..., P n je opět Bézierova křivka určená řídícími body D i = n(p i+1 P i), i = 0,..., n 1 podobně je možné získat i vyšší derivace Bézierovy křivky pokud hodograf prochází počátkem, obsahuje původní Bézierova křivka bod vratu Bézierovy křivky mohou obsahovat také smyčky smyčka lze automaticky identifikovat podle hledání bodů samoprůniku bod vratu je takový bod na křivce, pro který není dobře definován tečný vektor, resp. tečný vektor je zde nulový (lze bod vratu identifikovat pomocí algoritmu de Casteljau?) Bézierovy křivky GPM 19 / 26
48 Vlastnosti Bézierových křivek hodograf Bézierovy křivky určené řídícím polygonem P 0,..., P n je opět Bézierova křivka určená řídícími body D i = n(p i+1 P i), i = 0,..., n 1 podobně je možné získat i vyšší derivace Bézierovy křivky pokud hodograf prochází počátkem, obsahuje původní Bézierova křivka bod vratu Bézierovy křivky mohou obsahovat také smyčky smyčka lze automaticky identifikovat podle hledání bodů samoprůniku bod vratu je takový bod na křivce, pro který není dobře definován tečný vektor, resp. tečný vektor je zde nulový (lze bod vratu identifikovat pomocí algoritmu de Casteljau?) Bézierovy křivky GPM 19 / 26
49 Vlastnosti Bézierových křivek hodograf Bézierovy křivky určené řídícím polygonem P 0,..., P n je opět Bézierova křivka určená řídícími body D i = n(p i+1 P i), i = 0,..., n 1 podobně je možné získat i vyšší derivace Bézierovy křivky pokud hodograf prochází počátkem, obsahuje původní Bézierova křivka bod vratu Bézierovy křivky mohou obsahovat také smyčky smyčka lze automaticky identifikovat podle hledání bodů samoprůniku bod vratu je takový bod na křivce, pro který není dobře definován tečný vektor, resp. tečný vektor je zde nulový (lze bod vratu identifikovat pomocí algoritmu de Casteljau?) Bézierovy křivky GPM 19 / 26
50 Vlastnosti Bézierových křivek hodograf Bézierovy křivky určené řídícím polygonem P 0,..., P n je opět Bézierova křivka určená řídícími body D i = n(p i+1 P i), i = 0,..., n 1 podobně je možné získat i vyšší derivace Bézierovy křivky pokud hodograf prochází počátkem, obsahuje původní Bézierova křivka bod vratu Bézierovy křivky mohou obsahovat také smyčky smyčka lze automaticky identifikovat podle hledání bodů samoprůniku bod vratu je takový bod na křivce, pro který není dobře definován tečný vektor, resp. tečný vektor je zde nulový (lze bod vratu identifikovat pomocí algoritmu de Casteljau?) Bézierovy křivky GPM 19 / 26
51 Vlastnosti Bézierových křivek Bézierova křivka je vždy obsažena v konvexním obalu svého řídícího polygonu speciálním případem je tzv. linear precision pokud jsou řídící body na přímce a tvoří tak úsečku, pak je Bézierovou křivkou také tato úsečka afinní invariantnost je jedno, jestli afinně transformujeme Bézierovu křivku nebo její řídící polygon a vypočteme Bézierovu křivku pro tento transformovaný řídící polygon, v obou případech dostaneme to samé variation diminishing property počet průsečíků libovolné přímky/roviny s Bézierovou křivkou je nejvýše roven počtu průsečíků této přímky/roviny s řídícím polygonem Bézierovy křivky GPM 20 / 26
52 Vlastnosti Bézierových křivek Bézierova křivka je vždy obsažena v konvexním obalu svého řídícího polygonu speciálním případem je tzv. linear precision pokud jsou řídící body na přímce a tvoří tak úsečku, pak je Bézierovou křivkou také tato úsečka afinní invariantnost je jedno, jestli afinně transformujeme Bézierovu křivku nebo její řídící polygon a vypočteme Bézierovu křivku pro tento transformovaný řídící polygon, v obou případech dostaneme to samé variation diminishing property počet průsečíků libovolné přímky/roviny s Bézierovou křivkou je nejvýše roven počtu průsečíků této přímky/roviny s řídícím polygonem Bézierovy křivky GPM 20 / 26
53 Vlastnosti Bézierových křivek Bézierova křivka je vždy obsažena v konvexním obalu svého řídícího polygonu speciálním případem je tzv. linear precision pokud jsou řídící body na přímce a tvoří tak úsečku, pak je Bézierovou křivkou také tato úsečka afinní invariantnost je jedno, jestli afinně transformujeme Bézierovu křivku nebo její řídící polygon a vypočteme Bézierovu křivku pro tento transformovaný řídící polygon, v obou případech dostaneme to samé variation diminishing property počet průsečíků libovolné přímky/roviny s Bézierovou křivkou je nejvýše roven počtu průsečíků této přímky/roviny s řídícím polygonem Bézierovy křivky GPM 20 / 26
54 Vlastnosti Bézierových křivek algoritmus de Casteljau je možné také využít k rozdělení na dvě a více částí pokud proces rozdělení dostatečně dlouho opakujeme, dostaneme dobrou aproximaci odpovídající Bézierovy křivky po částech lineární křivkou (polygonem) tento proces se nazývá ořezávání rohů Bézierovy křivky GPM 21 / 26
55 Vlastnosti Bézierových křivek algoritmus de Casteljau je možné také využít k rozdělení na dvě a více částí pokud proces rozdělení dostatečně dlouho opakujeme, dostaneme dobrou aproximaci odpovídající Bézierovy křivky po částech lineární křivkou (polygonem) tento proces se nazývá ořezávání rohů Bézierovy křivky GPM 21 / 26
56 Vlastnosti Bézierových křivek algoritmus de Casteljau je možné také využít k rozdělení na dvě a více částí pokud proces rozdělení dostatečně dlouho opakujeme, dostaneme dobrou aproximaci odpovídající Bézierovy křivky po částech lineární křivkou (polygonem) tento proces se nazývá ořezávání rohů Bézierovy křivky GPM 21 / 26
57 Vlastnosti Bézierových křivek kvadratické a kubické Bézierovy křivky se používají pro popis TrueType a PostScript fontů jelikož pro řídící polygon o n + 1 bodech, je Bézierova křivka stupně n, jsou tyto křivky s rostoucím stupněm nepříliš praktické křivka je s rostucím stupněm stále více vzdálená od řídícího polygonu pokud přidáme nový řídící bod nebo změníme polohu některé řídícího bodu, změní se tvar celé křivky, což je z designérské hlediska nepříliš praktické Bézierovy křivky GPM 22 / 26
58 Zvýšení stupně Bézierovy křivky Bézierova křivka stupně n může být přesně reprezentována jako Bézierova křivka stupně n + 1 musíme jen najít příslušný řídící polygon n + 2 bodů, který odpovídá stejné křivce algoritmus výpočtu je založen na následujících vztazích: potom (1 t)bi n (t) = n + 1 i n + 1 Bn+1 i (t), tbi n (t) = i + 1 n + 1 Bn+1 i+1 (t) P(t) = ((1 t) + t) P(t) = n+1 i=0 (n + 1 i)p i + ip i 1 n + 1 } {{ } P i B n+1 i (t) tedy řídící body ekvivalentní Bézierovy křivky stupně n + 1 jsou dány vztahem P i = α ip i 1 + (1 α i)p i, α i = i n + 1 Bézierovy křivky GPM 23 / 26
59 Zvýšení stupně Bézierovy křivky Bézierova křivka stupně n může být přesně reprezentována jako Bézierova křivka stupně n + 1 musíme jen najít příslušný řídící polygon n + 2 bodů, který odpovídá stejné křivce algoritmus výpočtu je založen na následujících vztazích: potom (1 t)bi n (t) = n + 1 i n + 1 Bn+1 i (t), tbi n (t) = i + 1 n + 1 Bn+1 i+1 (t) P(t) = ((1 t) + t) P(t) = n+1 i=0 (n + 1 i)p i + ip i 1 n + 1 } {{ } P i B n+1 i (t) tedy řídící body ekvivalentní Bézierovy křivky stupně n + 1 jsou dány vztahem P i = α ip i 1 + (1 α i)p i, α i = i n + 1 Bézierovy křivky GPM 23 / 26
60 Zvýšení stupně Bézierovy křivky Bézierova křivka stupně n může být přesně reprezentována jako Bézierova křivka stupně n + 1 musíme jen najít příslušný řídící polygon n + 2 bodů, který odpovídá stejné křivce algoritmus výpočtu je založen na následujících vztazích: potom (1 t)bi n (t) = n + 1 i n + 1 Bn+1 i (t), tbi n (t) = i + 1 n + 1 Bn+1 i+1 (t) P(t) = ((1 t) + t) P(t) = n+1 i=0 (n + 1 i)p i + ip i 1 n + 1 } {{ } P i B n+1 i (t) tedy řídící body ekvivalentní Bézierovy křivky stupně n + 1 jsou dány vztahem P i = α ip i 1 + (1 α i)p i, α i = i n + 1 Bézierovy křivky GPM 23 / 26
61 Zvýšení stupně Bézierovy křivky Bézierova křivka stupně n může být přesně reprezentována jako Bézierova křivka stupně n + 1 musíme jen najít příslušný řídící polygon n + 2 bodů, který odpovídá stejné křivce algoritmus výpočtu je založen na následujících vztazích: potom (1 t)bi n (t) = n + 1 i n + 1 Bn+1 i (t), tbi n (t) = i + 1 n + 1 Bn+1 i+1 (t) P(t) = ((1 t) + t) P(t) = n+1 i=0 (n + 1 i)p i + ip i 1 n + 1 } {{ } P i B n+1 i (t) tedy řídící body ekvivalentní Bézierovy křivky stupně n + 1 jsou dány vztahem P i = α ip i 1 + (1 α i)p i, α i = i n + 1 Bézierovy křivky GPM 23 / 26
62 Konverze mezi polynomiálními bázemi již dříve jsme zmínili, že je možné každou křivku s polynomiální parametrizací vyjádřit jako Bézierovu křivku nyní se tedy zaměříme na konverzi Bézierovy křivky na odpovídající standardní polynomiální parametrizaci a naopak lze využít Taylorův rozvoj B(t) = B(0) + B (0)t + B (0) 2 t B(i) (0) i! t i potom P(t) B(t) právě tehdy, když P i = P(i) (0) i! = B(i) (0) i! koeficienty B (i) (0) je možné najít jednoduše pomocí tabulky diferencí založené na vztahu pro řídící body derivace Bézierovy křivky např. pro kubickou B. k. B 0 0 = B 0 = P 0 B 0 1 = B 1 B 0 2 = B 2 B 0 3 = B 3 B 1 0 = B 0 1 B 0 0 = P 1/3 B 1 1 = B 0 2 B 0 1 B 1 2 = B 0 3 B 0 2 B 2 0 = B 1 1 B 1 0 = P 2/3 B 2 1 = B 1 2 B 1 1 B 3 0 = B 2 1 B 2 0 = P 3 tedy obecně P i = ( n i) B i 0 pro opačný postup získáme rovnou levý sloupec tabulky, postupujeme opačně a Bézierovy koeficienty získáme v prvním řádku Bézierovy křivky GPM 24 / 26
63 Konverze mezi polynomiálními bázemi již dříve jsme zmínili, že je možné každou křivku s polynomiální parametrizací vyjádřit jako Bézierovu křivku nyní se tedy zaměříme na konverzi Bézierovy křivky na odpovídající standardní polynomiální parametrizaci a naopak lze využít Taylorův rozvoj B(t) = B(0) + B (0)t + B (0) 2 t B(i) (0) i! t i potom P(t) B(t) právě tehdy, když P i = P(i) (0) i! = B(i) (0) i! koeficienty B (i) (0) je možné najít jednoduše pomocí tabulky diferencí založené na vztahu pro řídící body derivace Bézierovy křivky např. pro kubickou B. k. B 0 0 = B 0 = P 0 B 0 1 = B 1 B 0 2 = B 2 B 0 3 = B 3 B 1 0 = B 0 1 B 0 0 = P 1/3 B 1 1 = B 0 2 B 0 1 B 1 2 = B 0 3 B 0 2 B 2 0 = B 1 1 B 1 0 = P 2/3 B 2 1 = B 1 2 B 1 1 B 3 0 = B 2 1 B 2 0 = P 3 tedy obecně P i = ( n i) B i 0 pro opačný postup získáme rovnou levý sloupec tabulky, postupujeme opačně a Bézierovy koeficienty získáme v prvním řádku Bézierovy křivky GPM 24 / 26
64 Konverze mezi polynomiálními bázemi již dříve jsme zmínili, že je možné každou křivku s polynomiální parametrizací vyjádřit jako Bézierovu křivku nyní se tedy zaměříme na konverzi Bézierovy křivky na odpovídající standardní polynomiální parametrizaci a naopak lze využít Taylorův rozvoj B(t) = B(0) + B (0)t + B (0) 2 t B(i) (0) i! t i potom P(t) B(t) právě tehdy, když P i = P(i) (0) i! = B(i) (0) i! koeficienty B (i) (0) je možné najít jednoduše pomocí tabulky diferencí založené na vztahu pro řídící body derivace Bézierovy křivky např. pro kubickou B. k. B 0 0 = B 0 = P 0 B 0 1 = B 1 B 0 2 = B 2 B 0 3 = B 3 B 1 0 = B 0 1 B 0 0 = P 1/3 B 1 1 = B 0 2 B 0 1 B 1 2 = B 0 3 B 0 2 B 2 0 = B 1 1 B 1 0 = P 2/3 B 2 1 = B 1 2 B 1 1 B 3 0 = B 2 1 B 2 0 = P 3 tedy obecně P i = ( n i) B i 0 pro opačný postup získáme rovnou levý sloupec tabulky, postupujeme opačně a Bézierovy koeficienty získáme v prvním řádku Bézierovy křivky GPM 24 / 26
65 Konverze mezi polynomiálními bázemi již dříve jsme zmínili, že je možné každou křivku s polynomiální parametrizací vyjádřit jako Bézierovu křivku nyní se tedy zaměříme na konverzi Bézierovy křivky na odpovídající standardní polynomiální parametrizaci a naopak lze využít Taylorův rozvoj B(t) = B(0) + B (0)t + B (0) 2 t B(i) (0) i! t i potom P(t) B(t) právě tehdy, když P i = P(i) (0) i! = B(i) (0) i! koeficienty B (i) (0) je možné najít jednoduše pomocí tabulky diferencí založené na vztahu pro řídící body derivace Bézierovy křivky např. pro kubickou B. k. B 0 0 = B 0 = P 0 B 0 1 = B 1 B 0 2 = B 2 B 0 3 = B 3 B 1 0 = B 0 1 B 0 0 = P 1/3 B 1 1 = B 0 2 B 0 1 B 1 2 = B 0 3 B 0 2 B 2 0 = B 1 1 B 1 0 = P 2/3 B 2 1 = B 1 2 B 1 1 B 3 0 = B 2 1 B 2 0 = P 3 tedy obecně P i = ( n i) B i 0 pro opačný postup získáme rovnou levý sloupec tabulky, postupujeme opačně a Bézierovy koeficienty získáme v prvním řádku Bézierovy křivky GPM 24 / 26
66 Konverze mezi polynomiálními bázemi již dříve jsme zmínili, že je možné každou křivku s polynomiální parametrizací vyjádřit jako Bézierovu křivku nyní se tedy zaměříme na konverzi Bézierovy křivky na odpovídající standardní polynomiální parametrizaci a naopak lze využít Taylorův rozvoj B(t) = B(0) + B (0)t + B (0) 2 t B(i) (0) i! t i potom P(t) B(t) právě tehdy, když P i = P(i) (0) i! = B(i) (0) i! koeficienty B (i) (0) je možné najít jednoduše pomocí tabulky diferencí založené na vztahu pro řídící body derivace Bézierovy křivky např. pro kubickou B. k. B 0 0 = B 0 = P 0 B 0 1 = B 1 B 0 2 = B 2 B 0 3 = B 3 B 1 0 = B 0 1 B 0 0 = P 1/3 B 1 1 = B 0 2 B 0 1 B 1 2 = B 0 3 B 0 2 B 2 0 = B 1 1 B 1 0 = P 2/3 B 2 1 = B 1 2 B 1 1 B 3 0 = B 2 1 B 2 0 = P 3 tedy obecně P i = ( n i) B i 0 pro opačný postup získáme rovnou levý sloupec tabulky, postupujeme opačně a Bézierovy koeficienty získáme v prvním řádku Bézierovy křivky GPM 24 / 26
67 Konverze kubické spline křivky na Bézierovy křivky kubická spline křivka je složena z Fergusonových kubik, určených F i, F i+1, F i, F i+1 každý oblouk spline křivky je možné reprezentovat jako kubickou B. k. pro nalezení řídících bodů této Bézierovy křivky máme 2 možnosti: 1 tečné vektory na začátku a konci Bézierovy křivky, určené P 0,..., P 3, jsou 3(P 1 P 0) a 3(P 3 P 2) odtud přímo P 0 = F i, P 1 = P F i, P 2 = P F i+1, P 3 = F i+1 2 můžeme využít algoritmus na konverzi mezi polynomiálními bázemi Bézierovy křivky GPM 25 / 26
68 Konverze kubické spline křivky na Bézierovy křivky kubická spline křivka je složena z Fergusonových kubik, určených F i, F i+1, F i, F i+1 každý oblouk spline křivky je možné reprezentovat jako kubickou B. k. pro nalezení řídících bodů této Bézierovy křivky máme 2 možnosti: 1 tečné vektory na začátku a konci Bézierovy křivky, určené P 0,..., P 3, jsou 3(P 1 P 0) a 3(P 3 P 2) odtud přímo P 0 = F i, P 1 = P F i, P 2 = P F i+1, P 3 = F i+1 2 můžeme využít algoritmus na konverzi mezi polynomiálními bázemi Bézierovy křivky GPM 25 / 26
69 Konverze kubické spline křivky na Bézierovy křivky kubická spline křivka je složena z Fergusonových kubik, určených F i, F i+1, F i, F i+1 každý oblouk spline křivky je možné reprezentovat jako kubickou B. k. pro nalezení řídících bodů této Bézierovy křivky máme 2 možnosti: 1 tečné vektory na začátku a konci Bézierovy křivky, určené P 0,..., P 3, jsou 3(P 1 P 0) a 3(P 3 P 2) odtud přímo P 0 = F i, P 1 = P F i, P 2 = P F i+1, P 3 = F i+1 2 můžeme využít algoritmus na konverzi mezi polynomiálními bázemi Bézierovy křivky GPM 25 / 26
70 Blossom moderní způsob popisu Bézierových křivek, jedná se o zobecnění algoritmu de Casteljau algoritmus de Casteljau neprovádíme pro fixní hodnotu parametru t, ale v každém kroku volíme obecně jiný parametr např. pro kubickou B. k. P 0 P 1 P 1 0(t 1) P 2 P 1 1(t 1) P 2 0(t 1, t 2) P 3 P 1 2(t 1) P 2 1(t 1, t 2) P 3 0(t 1, t 2, t 3) P 3 0(t 1, t 2, t 3) je funkcí 3 proměnných, kterou nazýváme blossom křivky P(t) jestliže t = t 1 = t 2 = t 3, je P 3 0(t, t, t) = P(t) body řídícího polygonu: P 3 0(0, 0, 0) = P 0, P 3 0(0, 0, 1) = P 1, P 3 0(0, 1, 1) = P 2, P 3 0(1, 1, 1) = P 3 podobně můžeme získat libovolný bod vygenerovaný v průběhu algoritmu de Casteljau jen vhodnou volbou parametrů blossomu, např. P 3 0(0, 0, t) = P 1 0 blossom je symetrický, tj. nezáleží na pořadí argumentů blossomu blossom je multiafinní, tj. platí P 3 0(αr + βs, t 2, t 3) = αp 3 0(r, t 2, t 3) + βp 3 0(s, t 2, t 3), α + β = 1 Bézierovy křivky GPM 26 / 26
71 Blossom moderní způsob popisu Bézierových křivek, jedná se o zobecnění algoritmu de Casteljau algoritmus de Casteljau neprovádíme pro fixní hodnotu parametru t, ale v každém kroku volíme obecně jiný parametr např. pro kubickou B. k. P 0 P 1 P 1 0(t 1) P 2 P 1 1(t 1) P 2 0(t 1, t 2) P 3 P 1 2(t 1) P 2 1(t 1, t 2) P 3 0(t 1, t 2, t 3) P 3 0(t 1, t 2, t 3) je funkcí 3 proměnných, kterou nazýváme blossom křivky P(t) jestliže t = t 1 = t 2 = t 3, je P 3 0(t, t, t) = P(t) body řídícího polygonu: P 3 0(0, 0, 0) = P 0, P 3 0(0, 0, 1) = P 1, P 3 0(0, 1, 1) = P 2, P 3 0(1, 1, 1) = P 3 podobně můžeme získat libovolný bod vygenerovaný v průběhu algoritmu de Casteljau jen vhodnou volbou parametrů blossomu, např. P 3 0(0, 0, t) = P 1 0 blossom je symetrický, tj. nezáleží na pořadí argumentů blossomu blossom je multiafinní, tj. platí P 3 0(αr + βs, t 2, t 3) = αp 3 0(r, t 2, t 3) + βp 3 0(s, t 2, t 3), α + β = 1 Bézierovy křivky GPM 26 / 26
72 Blossom moderní způsob popisu Bézierových křivek, jedná se o zobecnění algoritmu de Casteljau algoritmus de Casteljau neprovádíme pro fixní hodnotu parametru t, ale v každém kroku volíme obecně jiný parametr např. pro kubickou B. k. P 0 P 1 P 1 0(t 1) P 2 P 1 1(t 1) P 2 0(t 1, t 2) P 3 P 1 2(t 1) P 2 1(t 1, t 2) P 3 0(t 1, t 2, t 3) P 3 0(t 1, t 2, t 3) je funkcí 3 proměnných, kterou nazýváme blossom křivky P(t) jestliže t = t 1 = t 2 = t 3, je P 3 0(t, t, t) = P(t) body řídícího polygonu: P 3 0(0, 0, 0) = P 0, P 3 0(0, 0, 1) = P 1, P 3 0(0, 1, 1) = P 2, P 3 0(1, 1, 1) = P 3 podobně můžeme získat libovolný bod vygenerovaný v průběhu algoritmu de Casteljau jen vhodnou volbou parametrů blossomu, např. P 3 0(0, 0, t) = P 1 0 blossom je symetrický, tj. nezáleží na pořadí argumentů blossomu blossom je multiafinní, tj. platí P 3 0(αr + βs, t 2, t 3) = αp 3 0(r, t 2, t 3) + βp 3 0(s, t 2, t 3), α + β = 1 Bézierovy křivky GPM 26 / 26
73 Blossom moderní způsob popisu Bézierových křivek, jedná se o zobecnění algoritmu de Casteljau algoritmus de Casteljau neprovádíme pro fixní hodnotu parametru t, ale v každém kroku volíme obecně jiný parametr např. pro kubickou B. k. P 0 P 1 P 1 0(t 1) P 2 P 1 1(t 1) P 2 0(t 1, t 2) P 3 P 1 2(t 1) P 2 1(t 1, t 2) P 3 0(t 1, t 2, t 3) P 3 0(t 1, t 2, t 3) je funkcí 3 proměnných, kterou nazýváme blossom křivky P(t) jestliže t = t 1 = t 2 = t 3, je P 3 0(t, t, t) = P(t) body řídícího polygonu: P 3 0(0, 0, 0) = P 0, P 3 0(0, 0, 1) = P 1, P 3 0(0, 1, 1) = P 2, P 3 0(1, 1, 1) = P 3 podobně můžeme získat libovolný bod vygenerovaný v průběhu algoritmu de Casteljau jen vhodnou volbou parametrů blossomu, např. P 3 0(0, 0, t) = P 1 0 blossom je symetrický, tj. nezáleží na pořadí argumentů blossomu blossom je multiafinní, tj. platí P 3 0(αr + βs, t 2, t 3) = αp 3 0(r, t 2, t 3) + βp 3 0(s, t 2, t 3), α + β = 1 Bézierovy křivky GPM 26 / 26
74 Blossom moderní způsob popisu Bézierových křivek, jedná se o zobecnění algoritmu de Casteljau algoritmus de Casteljau neprovádíme pro fixní hodnotu parametru t, ale v každém kroku volíme obecně jiný parametr např. pro kubickou B. k. P 0 P 1 P 1 0(t 1) P 2 P 1 1(t 1) P 2 0(t 1, t 2) P 3 P 1 2(t 1) P 2 1(t 1, t 2) P 3 0(t 1, t 2, t 3) P 3 0(t 1, t 2, t 3) je funkcí 3 proměnných, kterou nazýváme blossom křivky P(t) jestliže t = t 1 = t 2 = t 3, je P 3 0(t, t, t) = P(t) body řídícího polygonu: P 3 0(0, 0, 0) = P 0, P 3 0(0, 0, 1) = P 1, P 3 0(0, 1, 1) = P 2, P 3 0(1, 1, 1) = P 3 podobně můžeme získat libovolný bod vygenerovaný v průběhu algoritmu de Casteljau jen vhodnou volbou parametrů blossomu, např. P 3 0(0, 0, t) = P 1 0 blossom je symetrický, tj. nezáleží na pořadí argumentů blossomu blossom je multiafinní, tj. platí P 3 0(αr + βs, t 2, t 3) = αp 3 0(r, t 2, t 3) + βp 3 0(s, t 2, t 3), α + β = 1 Bézierovy křivky GPM 26 / 26
15. listopadu Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta. Hermitovská interpolace
Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta Hermitovská interpolace 15. listopadu 2017 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 15. listopadu 2017 1 / 23 Hermiteovská
VíceJana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU
Počítačová grafika Křivky Jana Dannhoferová (jana.dannhoferova@mendelu.cz) Ústav informatiky, PEF MZLU Základní vlastnosti křivek křivka soustava parametrů nějaké rovnice, která je posléze generativně
VíceKMA/GPM Barycentrické souřadnice a
KMA/GPM Barycentrické souřadnice a trojúhelníkové pláty František Ježek jezek@kma.zcu.cz Katedra matematiky Západočeské univerzity v Plzni, 2008 19. dubna 2009 1 Trojúhelníkové pláty obecně 2 Barycentrické
VíceAproximační křivky. Trocha historie. geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 1944 Roy Liming
Trocha historie geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 944 Roy Liming analytik, North American Aviation (výrobce letadel) společně s konstruktérem a designérem Edgardem Schmuedem matematizace
VíceKristýna Bémová. 13. prosince 2007
Křivky v počítačové grafice Kristýna Bémová Univerzita Karlova v Praze 13. prosince 2007 Kristýna Bémová (MFF UK) Křivky v počítačové grafice 13. prosince 2007 1 / 36 Pojmy - křivky a jejich parametrické
VíceAproximační křivky. Trocha historie. geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 1944 Roy Liming
Trocha historie geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 944 Roy Liming analytik, North American Aviation (výrobce letadel) společně s konstruktérem a designérem Edgardem Schmuedem matematizace
VíceKřivky a plochy technické praxe
Kapitola 7 Křivky a plochy technické praxe V technické praxi se setkáváme s tím, že potřebujeme křivky a plochy, které se dají libovolně upravovat a zároveň je jejich matematické vyjádření jednoduché.
VícePlochy zadané okrajovými křivkami
Plochy zadané okrajovými křivkami Lineární plát plocha je určena dvěma okrajovými křivkami, pokud by pro tyto křivky byly intervaly, v nichž leží hodnoty parametru, různé, provedeme lineární transformaci
VícePolynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná
VíceZákladní vlastnosti křivek
křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VícePlochy počítačové grafiky II. Interpolační plochy Bezierovy pláty nad obdélníkovou a trojúhelníkovou sítí Recionální Bezierovy pláty B-spline NURBS
II Interpolační plochy Bezierovy pláty nad obdélníkovou a trojúhelníkovou sítí Recionální Bezierovy pláty B-spline NURBS Konstrukce a zadání plochy hraniční křivky sítí bodů Kinematicky vytvořené křivky
VíceInterpolace pomocí splajnu
Interpolace pomocí splajnu Interpolace pomocí splajnu Připomenutí U interpolace požadujeme, aby graf aproximující funkce procházel všemi uzlovými body. Interpolační polynom aproximující funkce je polynom
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Více5. Plochy v počítačové grafice. (Bézier, Coons)
5. PLOCHY V POČÍAČOVÉ GRAFICE Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět popsat plochy používané v počítačové grafice řešit příklady z praxe, kdy jsou použity plochy Výklad Interpolační plochy - plochy,
VíceKŘIVKY A PLOCHY. Obrázky (popř. slajdy) převzaty od
KŘIVKY A PLOCHY JANA ŠTANCLOVÁ jana.stanclova@ruk.cuni.cz Obrázky (popř. slajdy) převzaty od RNDr. Josef Pelikán, CSc., KSVI MFF UK Obsah matematický popis křivek a ploch křivky v rovině implicitní tvar
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceAproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.
Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceSubdivision křivky a plochy
Subdivision křivky a plochy KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie + KMA/GM1 Geometrické modelování 1 Subdivision křivky a plochy ITG 1 / 46 Plochy volného tvaru opakování Plochy volného
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceOffsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33
Offsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33 Motivace Motivace 3-osé obrábění motivaci k zavedení offsetů je možné hledat v obrábění. 3-osé obrábění je obrábění frézou,
VíceMatematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta
Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta 5. října 2016 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 5. října 2016 1 / 14 Obsah dnešní přednášky Co je to geometrické
VíceMatematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta
Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta 2. října 2018 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 2. října 2018 1 / 15 Obsah dnešní přednášky Co je to geometrické
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceInterpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012
Interpolace Lagrangeovy polynomy Michal Čihák 29. října 2012 Problematika interpolace V praxi máme často k dispozici údaje z různých měření tzv. data. Data mohou mít například podobu n uspořádaných dvojic
VíceInterpolace, aproximace
11 Interpolace, aproximace Metoda nejmenších čtverců 11.1 Interpolace Mějme body [x i,y i ], i =0, 1,...,n 1. Cílem interpolace je najít funkci f(x), jejíž graf prochází všemi těmito body, tj. f(x i )=y
VíceFERGUSONOVA KUBIKA. ( u) ( ) ( ) X s X s. Kubický spline C 2 má dva stupně volnosti Q 1 Q 2
FERGUSONOVA KUBIKA C F F F ( u) = Q F ( u) + Q F ( u) + Q F ( u) + Q F ( u), u F ( u) = u ( u) = u + ( u) = u u ( u) = u u u + u + u Q Q Q Q C napojení Fergusonových kubk Kubcký splne C má dva stupně volnost
VícePOČÍTAČOVÁ GRAFIKA - PGR 2012037 2014 2015 PROGRAM PŘEDNÁŠEK. Po 9:00-10:30, KN:A-214
PROGRAM PŘEDNÁŠEK Po 9:00-10:30, KN:A-214 1P 16. 2. Křivky definice, analytické vyjádření. Bézierova křivka definice, vlastnosti, odvození Bernsteinových polynomů, de Castejlau algoritmus. 2P 23. 2. Spojitost
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceČebyševovy aproximace
Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceTeorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
VíceNURBS REPREZENTACE KŘIVEK V MAPLE
25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Karolína Kundrátová NURBS REPREZENTACE KŘIVEK V MAPLE Abstrakt Parametrizace křivek jako NURBS (tj. neuniformní racionální B-spliny) patří k moderním postupům
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceMetamorfóza obrázků Josef Pelikán CGG MFF UK Praha
Metamorfóza obrázků 1998-2011 Josef Pelikán CGG MFF UK Praha pepca@cgg.mff.cuni.cz http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/ Morphing 2011 Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca 1 / 21 Metamorfóza obrázků -
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV POČÍTAČOVÉ GRAFIKY A MULTIMÉDIÍ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER GRAPHICS AND
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
VíceParametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
Více3. SB 3. SC. Kružnice nemá s úběžnicí žádný společný bod. Obraz nemá žádný nevlastní bod. Tímto obrazem je křivka zvaná elipsa.
Kružnice ve středové kolineaci v rovině. I AB o. IA ' 3. SB 4. B' SB IA'. II AC o. IIA ' 3. SC 4. C' SC IIA' Kružnice ve středové kolineaci v rovině Kružnice nemá s úběžnicí žádný společný bod. Obraz nemá
Víceúloh pro ODR jednokrokové metody
Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
Více12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VícePřehled. Motivace Úvod. Křivky a plochy počítačové grafiky. Závěr. Rozvoj počítačové grafiky Výpočetní geometrie
Vývoj výpočetní geometrie Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz Přehled Motivace Úvod Rozvoj počítačové grafiky Výpočetní geometrie Křivky a plochy počítačové
Vícena magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy
Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd
Více5. Statika poloha střediska sil
5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceKombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
VíceAproximace funkcí. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Aproximace funkcí Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Dělení Interpolace 1D Více dimenzí Minimalizace Důvody 1 Dělení Dělení - Získané data zadané data 2 Dělení - Získané data Obecně
VíceRekonstrukce ploch: Polygonální a analytická reprezentace Vybrané metody aproximace ploch
Rekonstrukce ploch: Polygonální a analytická reprezentace Vybrané metody aproximace ploch Petra Surynková Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova v Praze petra.surynkova@mff.cuni.cz Přehled (1)
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Více5. Interpolace a aproximace funkcí
5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceZobrazování 2D Nadpis křivek 2 Nadpis 3
IZG Nadpis Lab 04 1 Zobrazování 2D Nadpis křivek 2 Nadpis 3 Pavel Jméno Svoboda Příjmení Vysoké Vysoké učení technické učení technické v Brně, v Fakulta Brně, Fakulta informačních informačních technologií
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
Více7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.
7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň
VíceLingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceGEODETICKÉ VÝPOČTY I.
SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 2.ročník GEODETICKÉ VÝPOČTY I. TABELACE FUNKCE LINEÁRNÍ INTERPOLACE TABELACE FUNKCE Tabelace funkce se v minulosti často využívala z důvodu usnadnění
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
VícePŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceDefinice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
VíceDiferenciál a Taylorův polynom
Diferenciál a Taylorův polynom Základy vyšší matematiky lesnictví LDF MENDELU c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 1 / 11 Aproximace funkce v okoĺı bodu Danou funkci
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceMetoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012
Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012 Metoda nejmenších čtverců Matematicko-statistická metoda používaná zejména při zpracování nepřesných dat (typicky experimentálních empirických
VíceZákladní vlastnosti ploch
plocha zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky x v průběhu pohybu podél trajektorie
VíceÚvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018
Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic Přednáška první 12. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace 2 Soustavy lineárních rovnic 3 Matice Frobeniova věta Úvodní informace Olga Majlingová : Na Okraji, místnost
VíceKapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
Více