Triangulace. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta.

Transkript

1 11 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz

2 Význam triangulace trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy příklad triangulace Počítačová geometrie

3 Počítačová geometrie Definice T nad množinou bodů P { p1, p2,..., pn} v rovině představuje takové planární rozdělení, které vytvoří soubor trojúhelníků T { t, t,..., t } s vrcholy z množiny P, přičemž platí libovolné dva trojúhelníky mají společnou nejvýše hranu nebo vrchol t, t T, i j i j m 1 2 sjednocení trojúhelníků je souvislá množina ve 2D (obecně nemusí být konvexní a může obsahovat díry) uvnitř žádného trojúhelníku neleží žádný další bod z P m

4 Počítačová geometrie ukázky vzájemných poloh trojúhelníků, které tato definice vylučuje

5 Počítačová geometrie Pro triangulaci T nad množinou bodů P { p, p,..., p } v rovině platí 1 2 n m 2n n 2n 2 KO n 3n n 3n 3 D H KO D m - počet trojúhelníků n H n KO n D - počet hran - počet vrcholů konvexní obálky - počet děr vztahy lze odvodit z Eulerovy formule

6 Nejčastější aplikace triangulací kartografie tvorba digitálního modelu terénu aproximace ploch zpracování obrazu segmentace, rozpoznávání vzoru tvorba prostorových modelů z dat laserového skenování počítačová grafika vizualizace prostorových dat ve scénách kartografická generalizace modelování přírodních jevů eroze interpolační techniky biometrie detekce otisků prstů předzpracování pro jiné algoritmy Počítačová geometrie

7 Počítačová geometrie Nejčastější aplikace triangulací rekonstrukce terénu z dat leteckého laserového skenování

8 Počítačová geometrie Nejčastější aplikace triangulací

9 Počítačová geometrie Nejčastější aplikace triangulací výšková mapa

10 Počítačová geometrie Nejčastější aplikace triangulací výšková mapa rtom/

11 Počítačová geometrie Nejčastější aplikace triangulací triangulace povrchu

12 Počítačová geometrie Nejčastější aplikace triangulací triangulace povrchu

13 Kritéria kvality triangulace jednoduchost algoritmu, snadná implementace převod do vyšších dimenzí optimální tvar trojúhelníkové sítě malá citlivost na singulární případy, kdy triangulace není jednoznačná nebo ji nelze sestrojit triangulace by měla produkovat pravidelné trojúhelníky vhodných tvarů (blížící se rovnostranným) některé požadavky v kontrastu triangulační algoritmy patří mezi jedny z nejvíce teoreticky rozpracované postupy Počítačová geometrie

14 Volba triangulace co je nutné zohlednit tvar trojúhelníků triangulace by měla produkovat pravidelné trojúhelníky (důležité při tvorbě digitálního modelu terénu) povinné hrany možnost vkládat povinné hrany a modifikovat tvar triangulace triangulace nekonvexní oblasti nebo oblasti obsahující díry v mapách se triangulace neprovádí např. pro vodní plochy, budovy, Počítačová geometrie

15 Dělení triangulací podle geometrické konstrukce Delaunay triangulace Greedy triangulace MWT Minimum Weight Triangulation triangulace s povinnými hranami Constrained Triangulation datově závislé triangulace podle použitých kritérií lokálně optimální triangulace globálně optimální triangulace multikriteriálně optimalizované triangulace vlastnosti triangulace se posuzují ve vztahu k těmto kritériím Počítačová geometrie

16 Lokálně optimální triangulace každý čtyřúhelník tvořený dvojicí trojúhelníků se společnou stranou je triangularizován optimálně vzhledem k zadanému kritériu pro danou množinu bodů v rovině existuje více lokálně optimálních triangulací, každá z nich optimalizuje jiné kritérium Globálně optimální triangulace všechny trojúhelníky triangulace jsou optimální vzhledem k zadanému kritériu neexistuje jiná triangulace, která by dosáhla alespoň u jednoho trojúhelníku lepší hodnoty posuzovaného kritéria je současně lokálně optimální Multikriteriálně optimalizované triangulace kombinace několika lokálních či globálních kritérií doposud nejsou známy efektivní algoritmy, dlouhé výpočetní časy Počítačová geometrie

17 Počítačová geometrie Př. 4 body v rovině (všechny leží na konvexní obálce) a jejich možné triangulace existují pouze dvě různé triangulace vzhledem k posuzovanému kritériu je jedna z triangulací optimální

18 Lokální kritéria jsou založeny na geometrických zákonitostech nejčastěji užívaná kritéria minimální/maximální úhel v trojúhelníku minimální/maximální výška v trojúhelníku minimální/maximální poloměr vepsané kružnice minimální/maximální poloměr opsané kružnice minimální/maximální plocha trojúhelníku úhel mezi normálami sousedních trojúhelníků nejčastěji užíváno první kritérium Počítačová geometrie

19 Počítačová geometrie Lokální kritéria hodnota nejmenšího úhlu trojúhelníky by neměly mít malé úhly, tzv. max-min úhlové kritérium je optimální jsou možné triangulace triangulace je vzhledem k tomuto kritériu na rozdíl od optimální, je-li nejmenší úhel generovaný triangulací triangulací ( T) T * ( T*) ( Ti), Ti T * T * T i T i větší než nejmenší úhel generovaný hodnota maximálního úhlu trojúhelníky by neměly mít tupé úhly, tzv. min-max úhlové kritérium je optimální jsou možné triangulace triangulace je vzhledem k tomuto kritériu na rozdíl od optimální, je-li největší úhel generovaný triangulací triangulací ( T) T * ( T*) ( Ti), Ti T * T * T i T i menší než největší úhel generovaný

20 Globální kritéria optimalizují geometrické parametry všech trojúhelníků v triangulaci nejčastěji užívaná kritéria součet délek hran povinné hrany Počítačová geometrie

21 Globální kritéria Součet délek hran součet délek hran minimální triangulace minimalizující součet délek hran MWT (Minimal Weight Triangulation) Povinné hrany předem definované hrany uvnitř triangulace Constrained Triangulation taková triangulace není lokálně optimální při tvorbě digitálního modelu terénu lze do takové triangulace zadat charakteristické terénní tvary a vylepšit tak modelování terénu Počítačová geometrie

22 Greedy triangulace hladová triangulace triangulace složená z nejkratších možných neprotínajících se hran vlastnosti GT jednoznačné za předpokladu, že neexistují stejně dlouhé hrany necitlivá na úhlová kritéria vytváří trojúhelníky s nejkratšími stranami, trojúhelníky tak nemusí splňovat žádnou speciální geometrickou podmínku síť trojúhelníků není z tvarového hlediska optimalizována do triangulace tak mohou být přidány tvarově nevhodné trojúhelníky jednoduchá implementace výsledná triangulace se blíží MWT Počítačová geometrie

23 Počítačová geometrie Greedy triangulace algoritmus vytvoří všechny potenciální hrany setřídí vzestupně hrany podle délky seznam hran nn ( 1)/ 2 do výsledné triangulace se postupně přidávají hrany začíná se nejkratší dokud seznam hran není prázdný nebo dokud počet hran v triangulaci je menší než 3n 6 hrana ze seznamu se do triangulace přidá, pokud neprotíná žádnou hranu, která už v triangulaci je

24 Počítačová geometrie n 6 6(6 1)/ 2 15 hran všechny potenciální hrany 1. přidávaná hrana - nejkratší

25 Počítačová geometrie postupně přidáváme hrany do triangulace

26 Počítačová geometrie postupně přidáváme hrany do triangulace

27 Počítačová geometrie postupně přidáváme hrany do triangulace

28 Počítačová geometrie postupně přidáváme hrany do triangulace

29 Počítačová geometrie postupně přidáváme hrany do triangulace nelze přidat, protíná hrany v triangulaci nelze přidat, protíná hrany v triangulaci

30 Počítačová geometrie postupně přidáváme hrany do triangulace nelze přidat, protíná hrany v triangulaci poslední přidaná hrana, další by protínaly hrany v triangulaci

31 Počítačová geometrie Delaunay triangulace nejčastěji používaná triangulace existuje i ve 3D Delaunay tetrahedronizace vlastnosti DT uvnitř kružnice opsané libovolnému trojúhelníku i neleží žádný jiný bod z množiny P { p, p,..., p } 1 2 maximalizuje minimální úhel, avšak neminimalizuje maximální úhel je lokálně optimální i globálně optimální vůči kritériu minimálního úhlu je jednoznačná, pokud žádné čtyři body neleží na kružnici hranice je konvexní obálka n T výsledné trojúhelníky se v porovnání se všemi známými triangulacemi nejvíce blíží rovnostranným trojúhelníkům t

32 Počítačová geometrie Delaunay triangulace opsaná kružnice libovolnému trojúhelníku neobsahuje žádný jiný bod

33 Delaunay triangulace algoritmy metoda lokálního zlepšování prohazováním hran algoritmus radiálního zametání inkrementální vkládání metoda rozděl a panuj (nepřímá konstrukce pomocí Voronoi diagramu) Počítačová geometrie

34 Delaunay triangulace Metoda lokálního zlepšování metoda je použitelná pouze ve 2D, obtížně převeditelné do vyšší dimenze vychází se z libovolné triangulace provádí se tzv. legalizace modifikují se hrany sdílené dvojicí trojúhelníků tvořících konvexní čtyřúhelník tak, aby bylo splněno úhlové kritérium maximalizace minimálního úhlu = prohození diagonál = odstranění nelegálních hran výsledkem je stav, kdy jsou oba trojúhelníky legální, tj. lokálně optimální vzhledem ke kritériu vnitřního úhlu Počítačová geometrie

35 Delaunay triangulace Metoda lokálního zlepšování uvnitř opsané kružnice neleží žádný jiný vrchol Počítačová geometrie

36 Počítačová geometrie Delaunay triangulace Platí Nechť hrana inciduje s trojúhelníkem tvořeným vrcholy a trojúhelníkem tvořeným vrcholy. Kružnice prochází body. Hrana je nelegální právě tehdy, když bod p l pi, p t j p, p, p 1 t p, p, p 2 leží uvnitř kružnice. i j l p, p, p p, p i j k i j i j k Pokud body pi, p j, pk p, p p, p tvoří konvexní čtyřúhelník a neleží na opsané kružnici, pak jedna z hran nebo je nelegální. i j k l

37 Delaunay triangulace Algoritmus radiálního zametání spojení bodu vstupní množiny s bodem uvnitř doplnění obrysových hran Počítačová geometrie

38 Delaunay triangulace Algoritmus radiálního zametání konvexní obálka lokální optimalizace Počítačová geometrie

39 Počítačová geometrie Delaunay triangulace Inkrementální vkládání často používaná metoda, lze použít i ve 3D klasický případ rekurzivní úlohy fáze legalizace princip algoritmu zjednodušeně konstrukce obalujícího trojúhelníku (simplexu) body obsahuje všechny body vstupní množiny (může být i konvexní obálka, ale přidává čas navíc a komplikuje algoritmus) hledání počátečního simplexu může být komplikovaná úloha žádný z bodů vstupní množiny neleží vně obalujícího simplexu p, p, p DT konstruujeme nad sjednocením množin vstupní množiny a vrcholů simplexu vrcholy simplexu musí být dostatečně daleko od bodů vstupní množiny, aby neovlivňovaly trojúhelníky vznikající nad body vstupní množiny

40 Počítačová geometrie Delaunay triangulace Inkrementální vkládání p, p, p souřadnice vrcholů simplexu se odvozují od min-max boxu v teoretických popisech leží tyto body v nekonečnu v praxi mohou být zvoleny například takto p ( s Kd, s ), p ( s, s Kd), p ( s Kd, s Kd) 3 x y 2 x y 1 x y S d K x y [ s, s ] je střed min-max boxu je nejdelší hrana min-max boxu je konstanta velmi těžké odhadnout, pokud je tato konstanta příliš malá, může být hranice triangulace po odebrání vrcholů simplexu nekonvexní, pokud je příliš velká, trpí numerická stabilita experimenty ukazují, že tato hodnota bývá volena mezi 10 a 20

41 Delaunay triangulace Inkrementální vkládání konstrukce obklopujícího trojúhelníku p 2 p 3 p 1 Počítačová geometrie

42 Delaunay triangulace opakujeme, dokud v triangulaci nejsou všechny body Inkrementální vkládání přidání bodu do triangulace nalezení trojúhelníku, se kterým přidávaný bod inciduje legalizace nově vytvořené triangulace odstranění obklopujícího trojúhelníku oříznutí na konvexní obálku Počítačová geometrie

43 Delaunay triangulace Inkrementální vkládání přidání bodu do triangulace a nalezení trojúhelníku, se kterým přidávaný bod inciduje nalezení trojúhelníku, se kterým přidávaný bod inciduje, je kritická pasáž algoritmu, výpočetně nejnáročnější krok vyhledání musí být rychlé, nelze prohledávat všechny trojúhelníky, množství procházených trojúhelníku nutno minimalizovat dvě nejčastěji používané metody vyhledávání incidujícího trojúhelníku metoda procházky procházením okolních trojúhelníku se postupně blížíme k hledanému trojúhelníku DAG Tree (konstrukce ternárního stromu) Počítačová geometrie

44 Počítačová geometrie Delaunay triangulace

45 Počítačová geometrie Delaunay triangulace

46 Počítačová geometrie Delaunay triangulace

47 Delaunay triangulace Inkrementální vkládání přidání bodu do triangulace a nalezení trojúhelníku, se kterým přidávaný bod inciduje existují tři polohy bod leží ve vrcholu je zanedbán, již vytvořenou triangulaci neovlivní bod leží na straně oba incidující trojúhelníky, v jejichž společné hraně přidávaný bod leží, jsou rozděleny dvojicí úseček jdoucích z přidávaného bodu do protilehlých vrcholů vzniknou čtyři trojúhelníky se společným vrcholem bod leží uvnitř trojúhelníku bod je spojen s jeho vrcholy vzniknou tři trojúhelníky dále legalizace někdy ovlivní již vytvořené trojúhelníky nutné překontrolovat, nutné rozlišit případy Počítačová geometrie

48 Delaunay triangulace Inkrementální vkládání ukázka vkládání bodů p 1 obklopující trojúhelník postupné vkládání bodů Počítačová geometrie

49 Delaunay triangulace Inkrementální vkládání p 2 p 2 p 1 p 1 p 3 postupné vkládání bodů Počítačová geometrie

50 Delaunay triangulace Inkrementální vkládání p 2 p 2 p 1 p 3 p 1 p 3 legalizace po přidání bodu klasický případ rekurzivní úlohy Počítačová geometrie

51 Delaunay triangulace Inkrementální vkládání p 2 p 2 p 1 p 3 p 1 p 3 legalizace po přidání bodu klasický případ rekurzivní úlohy Počítačová geometrie

52 Delaunay triangulace Inkrementální vkládání legalizace nově vytvořené triangulace testuje se pomocí opsané kružnice všechny vnější hrany nově vzniklých trojúhelníků - zda vrchol sousedního trojúhelníku neleží uvnitř kružnice pokud neleží, testování v tomto směru nepokračuje, pokud leží, triangulace musí být opravena = prohazování hran v síti se objeví nové trojúhelníky a ověřování platnosti hran musí pokračovat opět se ověřují všechny vnější hrany (může dojít ke změně celé triangulace) Počítačová geometrie

53 Delaunay triangulace Inkrementální vkládání odstranění simplexových hran Počítačová geometrie

54 Delaunay triangulace Inkrementální vkládání výsledná DT Počítačová geometrie

55 Delaunay triangulace ve 3D - tetrahedronizace definuje se analogicky koule opsaná libovolnému tetrahedronu neobsahuje ve svém vnitřku žádný další bod ze vstupní množiny bodů vlastnosti minimalizuje maximální poloměr zadaná množina bodů jsou vrcholy krychle a její střed Počítačová geometrie