Semestrální práce z předmětu KMA/MM. Voroneho diagramy
|
|
- Kamil Bednář
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Semestrální práce z předmětu KMA/MM Voroneho diagramy Jméno a příjmení: Lenka Skalová Osobní číslo: A08N0185P Studijní obor: Finanční informatika a statistika Datum:
2 Obsah Obsah Historie Formulace problému Jak vypadají Voroneho diagramy Terminologie Počet hran a vrcholů Výpočet Voroneho diagramu Delaunyho triangulace Poštovní problém řešený pomocí Voroneho diagramů Použití Příroda Počítačová grafika Geografie Chemie Mozaiky Seznam použité literatury... 12
3 1 Historie První Voroneho diagramy se objevili v roce 1644 v Descartově práci Principy filozofie. S jejich použitím ukazoval uspořádání hmoty ve sluneční soustavě a jejím okolí. První, kdo se těmito diagramy začal zabývat, byl německý matematik Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Používal 2D a 3D Voroneho diagramy ve studiích kvadratických forem v roce Proto je někdy možné setkat se s pojmem Dirichletovy mozaiky. Struktury jsou pojmenovány po ruském matematikovi Georgy Fedoseevichovi Voronoi, který je v roce 1908 nadefinoval. V meteorologii a hydrologii se Voroneho diagramy používají pod názvem Thiessenovy polygony (pojmenováno po americkém meteorologovi Alfredu Thiessenovi). Slouží k vyhodnocení prostorových dat, zejména pro určení výšky srážky na daném území. Voroneho diagramy se používají i v dalších oborech jako například biologie, medicína, robotika, atd. V matematice jsou Voroneho diagramy speciálním případem dekompozice metrického prostoru určené vzdálenostmi od specifické diskrétní množiny objektů v prostoru, například diskrétní množinou bodů. 2 Formulace problému Je dána množina bodů,,, v a hledáme Voronoi diagram množiny P. Definice 1: Voroneho diagram představuje rozklad množiny bodů P na n uzavřených či otevřených oblastí,,, takových, že každý bod je blíže bodu než k jakémukoliv bodu. Uzavřenou oblast nazýváme Voroného buňku. Pro libovolný bod a libovolnou buňku platí,,. Definice 2: Voroneho diagram představuje průsečnici n 1 polorovin. Voroneho diagram dané množiny bodů je kolekce oblastí, které rozdělují rovinu. Každá oblast koresponduje s jedním ze zadaných bodů a všechny ostatní body náležící jedné oblasti jsou v dané metrice blíž svému odpovídajícímu bodu než všem ostatním.
4 3 Jak vypadají Voroneho diagramy 3.1 Terminologie Obrázek 1: Terminologie Voroneho diagramu Protože Voroneho diagram představuje oblast danou průnikem n 1 polorovin, jde o otevřenou konvexní mnohoúhelníkovou oblast ohraničenou nejvýše n 1 vrcholy a nejvýše n 1 hranami. Voroneho diagram je vždy souvislý. Obrázek 2: Ukázky Voroneho diagramů pro n = 2, 3, 4, 5
5 Obrázek 3: Ukázka Voroneho diagramů pro pravidelně rozložené vstupní množiny 3.2 Počet hran a vrcholů Nejvyšší počet hran a vrcholů diagramu spočítáme pomocí Eulerovy věty, která udává vztah mezi počtem vrcholů (v), hran (h) a stěn (s) konvexního mnohostěnu: 2 přidáme nevlastní vrchol Počet vrcholů je nejvýše 2n 5 a počet hran nejvýše 3n 6, kde n je počet bodů sítě množiny.
6 4 Výpočet Voroneho diagramu Pro výpočet Voroneho diagramu můžeme použít několik algoritmů: Naivní (průnik polorovin) přímá aplikace definice Voroneho diagramu složitost výpočtu jedné buňky je O (n logn), tedy O (n 2 logn) pro výpočet celého diagramu. Inkrementální najdeme diagram pro nějaký jednoduchý případ (například dva nebo tři body z množiny generátorů) a pak postupně přidáváme po jednom zbylé body. Rozděl a panuj zadanou generující množinu rekurzivně rozdělujeme, dokud nemáme množinu tří bodů, ze kterých jednoduše sestrojíme diagram, a následuje zpětný chod. Algoritmus je náchylný na numerické chyby, ale vypočítá celý diagram v čase O (n logn). Zametací Fortuneho - používá se tzv. zametací přímka, kterou postupně pohybujeme jedním směrem. Jak přímka prochází body generující množiny, z každého bodu konstruujeme parabolu --- množinu bodů, které jsou stejně vzdálené od generujícího bodu a zametací přímky. S rostoucí vzdáleností přímky a bodu se parabola postupně rozevírá. Setkají-li se dvě paraboly, jejich průsečík leží na hraně Voroného diagramu. V místě, kde se setkají tři paraboly, vzniká bod diagramu. Vypočítá celý diagram v čase O (n logn). Metoda zdvihu transformací přiřazujeme bodu P = [p x, p y ]paraboloid paraboloid a rovinu 2 2, která je tečnou roviny paraboloidu v bodě,, ( odpovídá kolmému průmětu bodu P na paraboloid). Najdeme všechny obrazy bodů generující množiny na paraboloid, odpovídající tečné roviny a projekce konvexního mnohostěnu vzniklého průnikem rovin je hledaný Voroneho diagram. Z Delaunayovy triangulace máme-li k dispozici Delaunayovu triangulaci na zadané množině bodů, můžeme na základě duality sestrojit Voroneho diagram. Najdeme středy opsaných kružnic všech trojúhelníků. Tyto jsou z principu duality Voroneho body. 5 Delaunyho triangulace Delaunyho triangulaci dostaneme, pokud spojíme navzájem úsečkami ty body sítě, jejichž buňky ve Voroneho diagramu sousedí. Taková triangulace lokálně minimalizuje nejmenší úhly a uvnitř kružnice opsané každému jejímu trojúhelníku neleží žádný další vrchol triangulace (to vyplývá z konstrukce diagramu). Zjednodušený popis algoritmu: Algoritmus vezme 3 body, proloží jimi kružnici, když uvnitř kružnice neleží bod, vytvoří trojúhelník. Pokud tam bod je, vybere jiné 3 body.
7 Obrázek 4: Delaunyho triangulace Obrázek 5: Ukázka Delaunyho triangulace se znázorněním kružnic opsaných trojúhleníků Vlastnosti Delaunyho triangulace: Dualita k Voroneho diagramu tedy jedno určuje druhé, tzn., pokud máme spočítaný Voroneho diagram, snadno dostaneme Delaunyho triangulaci a naopak. Vlastnost prázdné kružnice kružnice opsaná libovolnému trojúhelníku z Delaunyho triangulace neobsahuje žádný další bod sítě. Rovinný graf z Eulerovy věty má maximálně 3n 6 hran a 2n 5 trojúhelníků. Tato vlastnost může být využitá při redukci problémů z třídy kvadratické složitosti na lineární.
8 6 Poštovní problém řešený pomocí Voroneho diagramů Ve městě se nachází pošty a je potřeba zjistit, kteří obyvatelé budou každou z pošt navštěvovat. Budeme předpokládat některá zjednodušení (která pak můžeme zobecňovat): Neuvažujeme překážky v cestě domy, zatáčky, řeky, atd., takže náklady na cestu se rovnají součtu ceny dopravy a ceny služeb (ty by měly být všude stejné). Cenu dopravy získáme jako součin ceny za jednotku vzdálenosti (konstantní) a Euklidovské vzdálenosti na poštu. Obrázek 6: Poštovní problém řešený pomocí Voroneho diagrama Místo pošty bychom mohli chtít vyzkoumat, do jakého supermarketu chodí lidé nakupovat. V tom případě je třeba minimalizovat celkové náklady, kromě cesty tedy ještě přibývá cena zboží. V tomto modelu je nutné přidat ještě další zjednodušení: Cena zboží je stejná v každém obchodě. Náklady na získání zboží jsou rovné součtu ceny zboží a ceny dopravy Zákazník se snaží minimalizovat náklady na získání zboží. Faktory typu úroveň služeb, šíře sortimentu atd. neuvažujeme. Samozřejmě zejména předpoklady stejných cen a lineárního růstu ceny dopravy uvnitř města nejsou ideální, proto nám tento model poskytuje pouze hrubou aproximaci problému. Při vymodelování situace se vytvoří takové oblasti, že lidé bydlící v jedné z nich budou jezdit na poštu či obchodu odpovídajícímu danému regionu. To přesně odpovídá definici Voroneho diagramu, kde pošty jsou body generující sítě a regiony jsou Voroneho oblasti. Jakmile tedy sestrojíme Voroneho diagram, můžeme pomocí něj vyřešit poštovní problém.
9 7 Použití 7.1 Příroda V přírodě můžeme Voroneho diagramy spatřit docela snadno. Ať už se jedná o zvířata či rostliny. Příkladem může být také poušť Atacama v Jižní Americe, která v důsledku náhlých teplotních výkyvů připomíná právě Voroneho diagramy. Je možné je také použít k modelování teritorií jednotlivých zvířat, stád, atd. Obrázek 7: Voroneho diagramy v přírodě žirafa, křídlo vážky, poušť Atacama 7.2 Počítačová grafika V počítačové grafice se pomocí Voroneho diagramů vytvářejí barevné mozaiky. V obrázku se vybere množina obrazových bodů jako generující množina diagramu a každá buňka se pak obarví podle barvy příslušného bodu, čímž vznikne efekt mozaiky. Tohoto postupu můžeme využít při kompresi digitálního obrazu. Obrázek 8: Dekompozice fotky na mozaiku pomocí Voroneho diagramu
10 7.3 Geografie V geografii se Voroneho diagramy využívají k analýze sídel. Například rozložíme Zemi na polygony založené na lidské populaci. Kde je vysoká hustota obyvatel, bude víc buněk. Tam, kde žije obyvatel málo, bude málo velkých regionů. 7.4 Chemie Obrázek 9: Rozložení lidské populace Voroneho mozaikový rozklad - běžný 3D model buněk, chemických prvků apod. se vykresluje jako Voroneho mozaika generujících bodů v prostoru. Kolem každého bodu je oblast, jejíž všechny body jsou k bodu sítě blíž než ke kterémukoliv dalšímu. Při konstrukci 3D diagramu necháme z každého bodu sítě růst kouli, všechny stejnou rychlostí. Tam, kde se dvě sousední dotknou, dostáváme kontaktní bod. Po projití všech bodů můžeme sestrojit Voroneho diagram, kde jsou všechny oblasti konvexními mnohostěny. Polygony náležící bodům konvexního obalu jsou otevřené. Pokud potřebujeme namodelovat tvar krystalu nějaké látky, stačí nám znát rozložení atomů v něm. Ty pak bereme jako generující množinu bodů pro Voroneho diagram, ten sestrojíme, najedeme Delaunyho triangulaci a ta je pak velmi dobrou aproximací tvaru krystalu. Voroneho diagramy se také používají k určení strukturálních vlastností proteinů (nalezení největšího volného prostoru, konstrukce povrchu molekul atd.). Obrázek 10: Voroneho diagram v chemii
11 7.5 Mozaiky Pokud zvolíme určité speciální rozložení bodů generující sítě, můžeme dostat Voroneho diagramy jako zajímavé pravidelné mozaiky Obrázek 11: Voroneho diagramy jako mozaiky
12 Seznam použité literatury [1] Světlana Tomiczková: Voroneho diagramy [2] Tomáš Bayer: Voronoi diagram [3] Bohumír Bastl: Aplikace geometrie 2 pomocný učební text [4] [5]
Voroneho diagramy ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA. Semestrální práce z předmětu MM Matematické modelování FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD Semestrální práce z předmětu MM Matematické modelování Voroneho diagramy 20. ledna 2009 Petra Flajtingrová A08N0181P Obsah Obsah... 2 1. Historie Voroneho
VíceVoronoiův diagram. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
12 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info Definice V( P) nad množinou bodů P { p v rovině 1,
VíceÚvod do mobilní robotiky AIL028
zbynek.winkler at mff.cuni.cz, md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor05/cs 5. prosince 2005 1 Mapa světa Exaktní plánování 2 3 Plánování s otáčením (náznak řešení) Mapa světa - příklad Obsah Mapa
Více1 Úvod 5. 2 Historie Georgij Feodosjevič Voronoj Historie Voroného diagramu Konstrukce 7. 5 Jak vypadají Voroného diagramy 9
Matematické modelování VORONÉHO DIAGRAMY Oldřich Petřík Osobní číslo: Obor: e-mail: A07065 Počítačová grafika a výpočetní systémy opetrik@students.zcu.cz Datum odevzdání: 7.3.2008 Obsah 1 Úvod 5 2 Historie
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném
Více1 Úvod 3. 2 Historie 4
Obsah 1 Úvod 3 2 Historie 4 3 Definice a základní vlastnosti Voroneho diagramů v rovině 5 3.1 Struktura Voroneho buňky.................... 5 3.2 Hrany Voroneho diagramu.................... 6 3.3 Základní
VíceVORONEHO DIAGRAMY A JEJICH APLIKACE
VORONEHO DIAGRAMY A JEJICH APLIKACE Kateřina Samková 1 Obsah 1 Historie 2 2 Definice 2 2.1 Poštovní problém................................ 2 2.2 Problém skládky toxického odpadu......................
VíceGeometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha.
18. Tělesa řezy, objemy a povrchy, (řez krychle, kvádru, jehlanu, objemy a povrchy mnohostěnů, rotačních těles a jejich částí včetně komolých těles, obvody a obsahy mnohoúhelníků, kruhu a jeho částí) Tělesa
VíceROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou
ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.
VíceÚvodní opakování, kladná a záporná čísla, dělitelnost, osová a středová souměrnost
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Úvodní opakování, kladná a záporná, dělitelnost, osová a středová souměrnost Prima 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní
VíceElementární plochy-základní pojmy
-základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),
VíceÚvod do mobilní robotiky AIL028
md at robotika.cz, zbynek.winkler at mff.cuni.cz http://robotika.cz/guide/umor07/cs 27. listopadu 2007 1 Mapa světa Exaktní plánování 2 3 Plánování s otáčením Mapa světa - příklad Obsah Mapa světa Exaktní
VíceTriangulace. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta.
11 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info Význam triangulace trojúhelník je základní grafický
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
VíceSeminář z matematiky. jednoletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Seminář z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je koncipován pro přípravu studentů k úspěšnému zvládnutí profilové (školní)
VíceTriangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace
Význam triangulace trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy příklad triangulace Definice Triangulace nad množinou bodů v rovině představuje takové planární
VíceZáklady matematiky kombinované studium 714 0365/06
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické
VíceKapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů
Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti
Více8. Geometrie vrací úder (sepsal Pavel Klavík)
8. Geometrie vrací úder (sepsal Pavel Klavík) Když s geometrickými problémy pořádně nezametete, ony vám to vrátí! Ale když užzametat,takurčitěnepodkoberecamístosmetákupoužijtepřímku.vtéto přednášce nás
VíceVýpočetní geometrie Computational Geometry
Datové struktury a algoritmy Část 11 Výpočetní geometrie Computational Geometry Petr Felkel 20.12.2005 Úvod Výpočetní geometrie (CG) Příklady úloh Algoritmické techniky paradigmata řazení - jako předzpracování
VíceMAT_303 Název: VY_32_INOVACE_01_MAT_303_OZŠ_reálná_čísla_II.docx. MAT_304 Název: VY_32_INOVACE_01_MAT_304_OZŠ_zlomky.docx
Název školy: SPŠ Ústí nad Labem, středisko Resslova Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.10.1036 Klíčová aktivita: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. Digitální učební materiály Autor:
VíceDodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)
Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceMinkowského operace a jejich aplikace
KMA FAV ZČU Plzeň 1. února 2012 Obsah Aplikace Minkowského suma Minkowského rozdíl Minkowského součin v E 2 Minkowského součin kvaternionů Akce 22. 6. 1864-12. 1. 1909 Úvod Použití Rozmist ování (packing,
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva
Více5.4.1 Mnohostěny. Předpoklady:
5.4.1 Mnohostěny Předpoklady: Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar, jehož hranicí je uzavřená plocha. Hranoly Je dán n-úhelník A... 1A2 A n (řídící n-úhelník) ležící v rovině ρ a
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ..07/.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
VíceŠVP Gymnázium Ostrava-Zábřeh. 4.8.19. Úvod do deskriptivní geometrie
4.8.19. Úvod do deskriptivní geometrie Vyučovací předmět Úvod do deskriptivní geometrie je na naší škole nabízen v rámci volitelných předmětů v sextě, septimě nebo v oktávě jako jednoletý dvouhodinový
VíceVoroného konstrukce na mapě světa
na mapě světa Jan Ústav matematiky, FSI VUT, 7. 6. 2011 na mapě světa Jan Ústav matematiky, FSI VUT, 7. 6. 2011 Základní myšlenka Je dána konečná množina M bodů v rovině X (obecně v metrickém prostoru).
VíceVE 2D A 3D. Radek Výrut. Abstrakt Tento článek obsahuje postupy pro výpočet Minkowského sumy dvou množin v rovině a pro výpočet Minkowského sumy
25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Radek Výrut VÝPOČET MINKOWSKÉHO SUMY VE 2D A 3D Abstrakt Tento článek obsahuje postupy pro výpočet Minkowského sumy dvou množin v rovině a pro výpočet Minkowského
VíceŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní
VícePřednáška 3. 1GIS2 Digitální modely terénu, odvozené charakteristiky DMT, základní analýzy využívající DMT FŽP UJEP
Přednáška 3 1GIS2 Digitální modely terénu, odvozené charakteristiky DMT, základní analýzy využívající DMT FŽP UJEP Digitální modely terénu - DMT (digitální model reliéfu DMR) (Digital Terrain Model(ing)
VíceMATEMATIKA / 1. ROČNÍK. Strategie (metody a formy práce)
MATEMATIKA / 1. ROČNÍK Učivo Čas Strategie (metody a formy práce) Pomůcky Numerace v oboru do 7 30 pokládání koleček rozlišování čísel znázorňování kreslení a představivost třídění - číselné obrázky -
Vícezejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.
Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít
VíceAntonín Slavík Katedra didaktiky matematiky MFF UK. 50. výročí KDM MFF UK
Netradiční důkaz Eulerovy věty o mnohostěnech Katedra didaktiky matematiky MFF UK 50. výročí KDM MFF UK 30. září 2015 Eulerova věta o mnohostěnech Pro každý konvexní mnohostěn platí: počet vrcholů + počet
VícePROSTOROVÉ ŘEŠENÍ APOLLONIOVÝCH ÚLOH POMOCÍ PROGRAMU CABRI 3D
PROTOROVÉ ŘEŠENÍ APOLLONIOVÝCH ÚLOH POMOCÍ PROGRAMU CABRI 3D Jaroslav Krieg, Milan Vacka Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích Abstrakt: Příspěvek ukazuje na příkladu řešení některých
VíceŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách.
ŠROUBOVÉ PLOCHY 1. Základní úlohy na šroubových plochách. Šroubová plocha Φ vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý (pravotočivý je i
VíceKonvexní obal a množina
Definice M Množina se nazývá konvení, jestliže úsečka spojující libovolné dva její bod je částí této množin, tj. ab, M, t 0, : ta+ ( tb ) M konvení množina a b a b nekonvení množina Definice Konvení obal
VíceZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra informatiky a výpočetní techniky DIPLOMOVÁ PRÁCE
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra informatiky a výpočetní techniky DIPLOMOVÁ PRÁCE Plzeň, 2007 Michal Zemek Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
VíceČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE. Teze diplomové práce
ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE FAKULTA PROVOZNĚ EKONOMICKÁ KATEDRA SYSTÉMOVÉ A OPERAČNÍ ANALÝZY Obor: Veřejná správa a regionální rozvoj Teze diplomové práce Optimalizace tras pro cestovní kanceláře
VíceTento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla
Ramseyovy věty Martin Mareš Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla na mé letošní přednášce z Kombinatoriky a grafů I Předpokládá, že čtenář se již seznámil se základní
VíceZákladní škola Moravský Beroun, okres Olomouc
Charakteristika vyučovacího předmětu matematika Vyučovací předmět má časovou dotaci čtyři hodiny týdně v prvním ročníku, pět hodin týdně ve druhém až pátém ročníku, pět hodin týdně v šestém ročníku a čtyři
VíceGEOGRAFICKÉ INFORMAČNÍ SYSTÉMY 6
UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY GEOGRAFICKÉ INFORMAČNÍ SYSTÉMY 6 Lubomír Vašek Zlín 2013 Obsah... 3 1. Základní pojmy... 3 2. Princip rastrové reprezentace... 3 2.1 Užívané
VíceVzorce počítačové grafiky
Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u
VíceICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
VíceDeterminant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.
[] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá
VíceDrsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa
Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 14. 11. 21 Obsah přednášky 1 Literatura
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceStátní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
VíceEuklidovský prostor Stručnější verze
[1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)
VíceGrafy. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta.
6 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info množina vrcholů a množina hran hrana vždy spojuje
VíceGeometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0
Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme
VíceDefinice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost
Kuželosečky Kružnice Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost (poloměr r).?! Co získáme, když v definici výraz stejnou nahradíme stejnou nebo
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceTGH09 - Barvení grafů
TGH09 - Barvení grafů Jan Březina Technical University of Liberec 15. dubna 2013 Problém: Najít obarvení států na mapě tak, aby žádné sousední státy neměli stejnou barvu. Motivační problém Problém: Najít
VíceDalší plochy technické praxe
Další plochy technické praxe Dosud studované plochy mají široké využití jak ve stavební tak ve strojnické praxi. Studovali jsme možnosti jejich konstrukcí, vlastností i využití v praxi. Kromě těchto ploch
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.
VícePřehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ
Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometire Gradovaný řetězec úloh Téma: obsahy a obvody mnohoúhelníků, grafy funkcí s absolutní
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
VíceMATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň
MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět Matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6. až 8. ročníku 4 hodiny týdně, v 9. ročníku 3
VíceGymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Konstruktivní fotogrammetrie
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Konstruktivní fotogrammetrie Vypracoval: Barbora Mrázová Třída: 8.M Školní rok: 2014/2015 Seminář: Deskriptivní geometrie Zadavatel:
VícePROBLÉM ČTYŘ BAREV. Lze obarvit jakoukoliv mapu v rovině čtyřmi barvami tak, aby žádné dvě sousedící oblasti neměly stejnou barvu?
ROBLÉM ČTYŘ BAREV Lze obarvit jakoukoliv mapu v rovině čtyřmi barvami tak, aby žádné dvě sousedící oblasti neměly stejnou barvu? ROBLÉM ČTYŘ BAREV L KH ROBLÉM ČTYŘ BAREV Vytvoříme graf Kraje = vrcholy
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceZobrazování těles. problematika geometrického modelování. základní typy modelů. datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování
problematika geometrického modelování manifold, Eulerova rovnost základní typy modelů hranový model stěnový model objemový model datové reprezentace modelů základní metody geometrického modelování těleso
VíceP ř e d m ě t : M A T E M A T I K A
04-ŠVP-Matematika-P,S,T,K strana 1 (celkem 11) 1. 9. 2014 P ř e d m ě t : M A T E M A T I K A Charakteristika předmětu: Matematika vytváří postupným osvojováním matematických pojmů, útvarů, algoritmů a
VíceMINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem)
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14.června
VíceAlgoritmizace prostorových úloh
Algoritmizace prostorových úloh Vektorová data Daniela Szturcová Prostorová data Geoobjekt entita definovaná v prostoru. Znalost jeho identifikace, lokalizace umístění v prostoru, vlastností vlastních
VícePoznámka: U pravidelných těles lze sestrojit jejich síť i bez jejich zobrazení v Mongeově
SÍTĚ TĚLES SÍTĚ TĚLES síť tělesta se skládá z pláště tělesa a z jeho podstavy či podstav příklady řešíme v Mongeově promítání volíme vhodně polohu těles vzhledem k průmětnám v případě šikmého hranolu a
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VíceGeometrické vyhledávání
mnohoúhelníky a jejich vlastnosti lokalizace bodu vůči konvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či vnější lokalizace bodu vůči nekonvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či
VíceZákladní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 6.
5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 6. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo ČÍSLO A PROMĚNNÁ M9101 provádí
VícePolibky kružnic: Intermezzo
Polibky kružnic: Intermezzo PAVEL LEISCHNER Pedagogická fakulta JU, České Budějovice Věta 21 z Archimedovy Knihy o dotycích kruhů zmíněná v předchozím dílu seriálu byla inspirací k tomuto původně neplánovanému
Více12. Aproximační algoritmy
12. Aproximační algoritmy (F.Haško,J.enda,.areš, ichal Kozák, Vojta Tůma) Na minulých přednáškách jsme se zabývali různými těžkými rozhodovacími problémy. Tato se zabývá postupy, jak se v praxi vypořádat
VíceVýpočetní geometrie. Pavel Strachota. 9. listopadu FJFI ČVUT v Praze
Výpočetní geometrie Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 9. listopadu 2012 Obsah 1 Úvod 2 Jednoduché algoritmy výpočetní geometrie 3 Další problémy výpočetní geometrie Obsah 1 Úvod 2 Jednoduché algoritmy
VíceKonstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44
Kótované promítání Konstruktivní geometrie - LI Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Obsah 1 Polohové úlohy 2 Spád přímky a roviny Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání
Vícef(x) = 9x3 5 x 2. f(x) = xe x2 f(x) = ln(x2 ) f(x) =
Zadání projektů Projekt 1 f(x) = 9x3 5 2. Určete souřadnice vrcholů obdélníka ABCD, jehož dva vrcholy mají kladnou y-ovou souřadnici a leží na parabole dané rovnicí y = 16 x 2 a další dva vrcholy leží
VíceINOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Vektorová data Michal Kačmařík, Daniela
VíceVzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 5.
Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 5. Očekávané výstupy z RVP ZV Ročníkové výstupy Učivo Průřezová témata a přesahy Číslo a početní operace využívá při
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceRovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Rovnice RNDr. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Grafické řešení soustav rovnic a nerovnic VY INOVACE_0 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Soustav lineárních rovnic Soustavou
VíceZeměpis. Latina. Vyučující: Vojtěch Vykouk
Latina Ačkoli je latinský jazyk dnes považován za mrtvý, jeho odkaz stále žije ve slovníku mnoha dalších jazyků, a to nejen románských. Například anglická slovní zásoba je tvořena z poloviny přímo či nepřímo
Vícepředmětu MATEMATIKA B 1
Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Vektorový prostor Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to vektory
VíceDrsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa
Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 13. 11. 2006 Obsah přednášky 1 Literatura
Více9. přednáška z předmětu GIS1 Digitální model reliéfu a odvozené povrchy. Vyučující: Ing. Jan Pacina, Ph.D.
9. přednáška z předmětu GIS1 Digitální model reliéfu a odvozené povrchy Vyučující: Ing. Jan Pacina, Ph.D. e-mail: jan.pacina@ujep.cz Lehký úvod Digitální modely terénu jsou dnes v geoinformačních systémech
VíceTen objekt (veličina), který se může svobodně měnit se nazývá nezávislý.
@001 1. Základní pojmy Funkce funkční? Oč jde? Třeba: jak moc se oblečeme, závisí na venkovní teplotě, jak moc se oblečeme, závisí na našem mládí (stáří) jak jsme staří, závisí na čase jak moc zaplatíme
VíceTopologická kostra. Medial Axis. Straight Skeleton.
Topologická kostra Medial Axis. Straight Skeleton. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie. Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (Katedra
VícePLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ
PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceGRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ
VíceIdeální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu. pásová struktura polovodiče
Cvičení 3 Ideální krystalová mřížka periodický potenciál v krystalu Aplikace kvantové mechaniky pásová struktura polovodiče Nosiče náboje v polovodiči hustota stavů obsazovací funkce, Fermiho hladina koncentrace
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceZdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele
Obyčejné diferenciální rovnice Nejzákladnější aplikace křivky Zdeněk Halas KDM MFF UK, 2011 Aplikace matem. pro učitele Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Obyčejné diferenciální rovnice Aplikace matem. pro
Více3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech
3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech V předchozích dvou kapitolách jsme zjistili, jak se zobrazují tělesa ve středovém promítání a hlavně v lineární perspektivě, a jak pomocí těchto promítání vytvořit
VíceDefinice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský
Dále budeme předpokládat, že každý graf je obyčejný a má aspoň tři uzly. Definice 1 Graf G se nazývá eulerovský, existuje-li v něm uzavřený tah, který obsahuje každou hranu v G. Definice 2 Graf G se nazývá
VíceSTROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta
STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach vlož do fronty kořen opakuj, dokud není fronta prázdná 1. vyber uzel z fronty a zpracuj jej 2. vlož do fronty levého následníka
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
Více1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
Kapitola 1 Planimetrie a stereometrie Doplňky ke středoškolské látce 1.1 Základní pojmy prostorové geometrie 1.1.1 Axiomy Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
Více