Pavel Nevøiva ANALÝZA SIGNÁLÙ A SOUSTAV Praha 2000
Autor by chtìl podìkovat všem svým spolupracovníkùm a kolegùm, kteøí mu pomohli s pøípravou textu. K vydání knihy pøispìla firma Newport Electronics spol. s r. o., Karviná. Ing. Radovan Hájovský a ing. Petr Gelnar pøipravili obrázky. Ing. Blanka Demèáková zpracovala tiskovou korekturu textu. Na øadu nesrovnalostí v rukopisu autora upozornila Doc. Ing. Nina Èastová, CSc. Pavel Nevøiva ANALÝZA SIGNÁLÙ A SOUSTAV Bez pøedchozího písemného svolení nakladatelství nesmí být kterákoli èást kopírována nebo rozmnožována jakoukoli formou (tisk, fotokopie, mikrofilm nebo jiný postup), zadána do informaèního systému nebo pøenášena v jiné formì èi jinými prostøedky. Autor a nakladatelství nepøejímají záruku za správnost tištìných materiálù. Pøedkládané informace jsou zveøejnìny bez ohledu na pøípadné patenty tøetích osob. Nároky na odškodnìní na základì zmìn, chyb nebo vynechání jsou zásadnì vylouèeny. Všechny registrované nebo jiné obchodní známky použité v této knize jsou majetkem jejich vlastníkù. Uvedením nejsou zpochybnìna z toho vyplývající vlastnická práva. Veškerá práva vyhrazena Pavel Nevøiva, Praha 2000 Nakladatelství BEN technická literatura, Vìšínova 5, Praha 10 Pavel Nevøiva: ANALÝZA SIGNÁLÙ A SOUSTAV BEN technická literatura, Praha 2000 1. vydání ISBN 80-7300-004-0
ANALÝZA SIGNÁLÙ A SOUSTAV 1. ÚVOD... 21 2. SIGNÁLY... 41 3. SIGNÁLY S DISKRÉTNÍM ÈASEM... 211 4. SOUSTAVY... 269 5. SOUSTAVA S DISKRÉTNÍM ÈASEM... 477 6. ØEŠENÉ ÚLOHY... 533 7. ØEŠENÉ ÚLOHY NA POÈÍTAÈI... 595 8. ZÁVÌR... 635
OBSAH OBSAH... 4 PØEDMLUVA... 9 SEZNAM ZÁKLADNÍCH SYMBOLÙ... 15 1 ÚVOD...21 2 SIGNÁLY...41 2.1 SIGNÁL... 42 2.1.1 Základní definice, vymezení studované problematiky... 42 2.1.2 Autokorelaèní funkce R(t) signálu w(t)... 61 2.1.3 Vzájemná korelaèní funkce R A B(t) signálù w A (t) a w B (t)... 65 2.1.4 Spektrum FR W signálu w(t)... 67 2.1.5 Spektrum energie FR E signálu w(t)... 87 2.1.6 Spektrum výkonu FR P signálu w(t)... 88 2.1.7 Spektrální hustota W(w) signálu w(t)... 90 2.1.8 Spektrální hustota energie E(w) signálu w(t)... 99 2.1.9 Spektrální hustota výkonu P(w) signálu w(t)... 100 2.2 POUŽITÍ FOURIEROVY TRANSFORMACE...102 2.2.1 Základní vlastnosti Fourierovy transformace...103 2.3 DIRACÙV IMPULS... 114 2.3.1 Základní definice, vymezení studované problematiky... 114 2.3.2 Autokorelaèní funkce R(t) Diracova impulsu d(t)... 125 2.3.3 Vzájemná korelaèní funkce R AB (t) Diracových impulsù d A (t) a d B (t)... 127 2.3.4 Spektrum FR D Diracova impulsu d(t)... 127 2.3.5 Spektrum energie FR E Diracova impulsu d(t)... 129 2.3.6 Spektrum výkonu FR P Diracova impulsu d(t)... 129 2.3.7 Spektrální hustota D(w) Diracova impulsu d(t)... 130 2.3.8 Spektrální hustota energie E(w) Diracova impulsu d(t)... 132 2.3.9 Spektrální hustota výkonu P(w) Diracova impulsu d(t)... 133 2.4 HARMONICKÝ SIGNÁL...134 2.4.1 Základní definice, vymezení studované problematiky...134 2.4.2 Autokorelaèní funkce R A (t) harmonického signálu w A (t)... 141 2.4.3 Vzájemná korelaèní funkce R AB (t) harmonických signálù w A (t) a w B (t)... 143 2.4.4 Spektrum FR W A harmonického signálu w A (t)...144 2.4.5 Spektrum energie FR E A harmonického signálu w A (t)... 149 4 A
2.4.6 Spektrum výkonu FR P A harmonického signálu w A (t)... 149 2.4.7 Spektrální hustota W A (w) harmonického signálu w A (t)... 151 2.4.8 Spektrální hustota energie E A (w) harmonického signálu w A (t)... 157 2.4.9 Spektrální hustota výkonu P A (w) harmonického signálu w A (t)... 157 2.5 PERIODICKÝ SIGNÁL...161 2.5.1 Základní definice, vymezení studované problematiky...161 2.5.2 Autokorelaèní funkce R A (t) periodického signálu w A (t)... 164 2.5.3 Vzájemná korelaèní funkce R AB (t) periodických signálù w A (t) a w B (t).. 168 2.5.4 Spektrum FR W A periodického signálu w A (t)... 169 2.5.5 Spektrum energie FR E A periodického signálu w A (t)... 170 2.5.6 Spektrum výkonu FR P A periodického signálu w(t)... 170 2.5.7 Spektrální hustota W A (w) periodického signálu w A (t)... 171 2.5.8 Spektrální hustota energie E A (w) periodického signálu w A (t)... 172 2.5.9 Spektrální hustota výkonu P A (w) periodického signálu w A (t)... 172 2.6 ENERGETICKÝ SIGNÁL...176 2.6.1 Základní definice, vymezení studované problematiky...176 2.6.2 Autokorelaèní funkce R(t) energetického signálu w(t)... 179 2.6.3 Vzájemná korelaèní funkce R AB (t) energetických signálù w A (t) a w B (t)... 180 2.6.4 Spektrum FR W energetického signálu w(t)... 180 2.6.5 Spektrum energie FR E energetického signálu w(t)... 181 2.6.6 Spektrum výkonu FR P energetického signálu w(t)... 181 2.6.7 Spektrální hustota W(w) energetického signálu w(t)... 181 2.6.8 Spektrální hustota energie E(w) energetického signálu w(t)... 184 2.6.9 Spektrální hustota výkonu P(w) energetického signálu w(t)... 186 2.7 NÁHODNÝ SIGNÁL...187 2.7.1 Základní definice, vymezení studované problematiky...187 2.7.2 Autokorelaèní funkce R(t) náhodného signálu w(t)... 192 2.7.3 Vzájemná korelaèní funkce R AB (t) náhodných signálù w A (t) a w B (t)... 194 2.7.4 Spektrum FR W náhodného signálu w(t)... 194 2.7.5 Spektrum energie FR E náhodného signálu w(t)... 194 2.7.6 Spektrum výkonu FR P náhodného signálu w(t)... 195 2.7.7 Spektrální hustota W(w) náhodného signálu w(t)... 195 2.7.8 Spektrální hustota energie E(w) náhodného signálu w(t)... 195 2.7.9 Spektrální hustota výkonu P(w) náhodného signálu w(t)... 195 2.8 POZNÁMKA O NÁHODNÝCH PROCESECH...200 3 SIGNÁLY S DISKRÉTNÍM ÈASEM... 211 3.1 IMPULSNÍ SIGNÁL w I (t), SIGNÁL SE SPOJITÝM ÈASEM...212 3.1.1 Základní definice, vymezení studované problematiky...213 A 5
3.1.2 Generování impulsního signálu w I (t) vzorkováním signálu w(t)... 217 3.1.3 Autokorelaèní funkce R I (t) impulsního signálu w I (t)... 220 3.1.4 Vzájemná korelaèní funkce R AB,I (t) impulsních signálù w A,I (t) a w B,I (t)... 222 3.1.5 Spektrum FR W I impulsního signálu w I (t)... 222 3.1.6 Spektrum energie FR E I impulsního signálu w I (t)... 225 3.1.7 Spektrum výkonu FR P I impulsního signálu w I (t)... 225 3.1.8 Spektrální hustota W I (w) impulsního signálu w I (t)... 226 3.1.9 Spektrální hustota energie E I (w) impulsního signálu w I (t)... 229 3.1.10 Spektrální hustota výkonu P I (w) impulsního signálu w I (t)... 229 3.1.11 Obnova signálu w(t) filtrací impulsního signálu w I (t)... 233 3.2 SIGNÁL S DISKRÉTNÍM ÈASEM w[k]... 244 3.2.1 Základní definice, vymezení studované problematiky...245 3.2.2 Autokorelaèní funkce R[k] signálu s diskrétním èasem w[k]... 251 3.2.3 Vzájemná korelaèní funkce R AB [k] signálù s diskrétním èasem w A [k] a w B [k]... 252 3.2.4 Spektrum FR W signálu s diskrétním èasem w[k]... 253 3.2.5 Spektrum energie FR E signálu s diskrétním èasem w[k]... 260 3.2.6 Spektrum výkonu FR P signálu s diskrétním èasem w[k]... 260 3.2.7 Spektrální hustota W(w) signálu s diskrétním èasem w[k]... 260 3.2.8 Spektrální hustota energie E(w) signálu s diskrétním èasem w[k]... 265 3.2.9 Spektrální hustota výkonu P(w) signálu s diskrétním èasem w[k]... 266 4 SOUSTAVY...269 4.1 SOUSTAVA...270 4.1.1 Základní definice, vymezení studované problematiky...270 4.1.2 Stavové velièiny soustavy, stav soustavy, poèáteèní stav soustavy... 274 4.1.3 Lineární soustava...281 4.1.4 Odezva lineární soustavy...290 4.1.5 Soustava s konstantními parametry...291 4.1.6 Lineární soustava s konstantními parametry...292 4.1.7 Konvoluce...297 4.1.8 Lineární soustava s konstantními soustøedìnými parametry...304 4.1.9 Popis LTIL soustavy diferenciální rovnicí...315 4.1.9.1 Volba stavových velièin soustavy... 335 4.1.9.2 Chování soustavy v èase t 0 +... 346 4.1.9.3 Chování soustavy v èase t Î á0, )... 353 4.1.9.4 Chování soustavy v èase t... 358 4.1.10 Popis LTIL soustavy H kmitoètovým pøenosem H(w)...358 4.1.11 Transformace harmonického signálu LTIL soustavou...368 6 A
4.2 POUŽITÍ LAPLACEOVY TRANSFORMACE...386 4.2.1 Fourierova transformace a Laplaceova transformace...387 4.2.2 Základní vlastnosti Laplaceovy transformace...400 4.2.3 Popis LTIL soustavy H pøenosem H(s)... 416 4.2.4 Bloková schémata...433 4.3 STABILITA LTIL SOUSTAVY...443 4.3.1 Stabilita soustavy vzhledem k poèáteènímu stavu, stabilita podle Ljapunova...445 4.3.2 Stabilita soustavy vzhledem ke vstupnímu signálu, V/V stabilita... 450 4.3.3 Nyquistovo kriterium stability...454 4.4 TRANSFORMACE NÁHODNÉHO SIGNÁLU LTIL SOUSTAVOU... 466 4.4.1 Analýza soustavy pomocí korelaèních funkcí...467 4.4.2 Analýza soustavy pomocí spektrálních hustot výkonu...470 5 SOUSTAVA S DISKRÉTNÍM ÈASEM...477 5.1 ZÁKLADNÍ DEFINICE, VYMEZENÍ STUDOVANÉ PROBLEMATIKY... 478 5.2 LTIL SOUSTAVA S DISKRÉTNÍM ÈASEM...484 5.2.1 Konvoluce...487 5.2.2 Popis LTIL soustavy s diskrétním èasem H diferenèní rovnicí...490 5.3 POUŽITÍ Z-TRANSFORMACE...513 5.3.1 Základní vlastnosti z-transformace...520 5.3.2 Popis LTIL soustavy H pøenosem H(z)... 526 5.4 STABILITA LTIL SOUSTAVY S DISKRÉTNÍM ÈASEM...528 6 ØEŠENÉ ÚLOHY...533 6.1 ÚLOHA SE SPOJITÝM ÈASEM...535 6.1.1 Klasický postup øešení úlohy...535 6.1.1.1 u(t) = 1... 536 6.1.1.1.1 Nalezení y(t) pomocí souètu obecného integrálu y O (t) homogenní rovnice k rovnici (6 001) a partikulárního integrálu y P (t) nehomogenní rovnice (6 001), nalezení y(t) jako souèet pøechodné odezvy yaa(t) a ustálené odezvy y bb (t)... 536 6.1.1.1.2 Nalezení y(t) jako souèet odezvy y a (t) na poèáteèní stav a odezvy y b (t) na vstupní signál... 540 6.1.1.2 u(t) = h(t)... 544 6.1.1.2.1 Nalezení y(t) technikou rozložení popisu soustavy na rovnici stavovou a rovnici výstupní. Za stavové velièiny soustavy zvolíme signály x(t) a x (t)... 544 6.1.1.2.1.1 Nalezení y(t) jako souèet pøechodné odezvy y aa (t) a ustálené odezvy y bb (t)... 548 A 7
6.1.1.2.1.2 Nalezení y(t) s využitím superpozice odezvy soustavy na Heavisideùv skok a odezvy soustavy na Diracùv impuls... 552 6.1.2 Øešení úlohy pomocí Laplaceovy transformace...555 6.1.2.1 u(t) = 1... 555 6.1.2.1.1 Nalezení y(t) rozkladem obrazu Y(s) na souèet parciálních zlomkù a urèením originálu pomocí slovníku Laplaceovy transformace... 556 6.1.2.1.2 Nalezení y(t) výpoètem zpìtné Laplaceovy transformace obrazu Y(s) technikou integrace pomocí reziduí... 559 6.1.2.2 u(t) = h(t)... 562 6.1.3 Numerické øešení úlohy...563 6.1.4 Urèení kmitoètového pøenosu H(w) soustavy H... 565 6.2 ÚLOHA S DISKRÉTNÍM ÈASEM...568 6.2.1 Klasický postup øešení úlohy...570 6.2.2 Øešení úlohy pomocí z-transformace...577 6.2.2.1 Nalezení y[k] rozkladem obrazu Y(z) na souèet parciálních zlomkù a urèením originálu pomocí slovníku z-transformace... 580 6.2.2.2 Nalezení y[k] výpoètem zpìtné z-transformace obrazu Y(z) technikou integrace pomocí reziduí... 585 6.2.2.3 Nalezení y[k] dìlením polynomùv racionální funkci lomené Y(z)... 588 6.2.3 Numerické øešení úlohy...592 6.2.4 Urèení kmitoètového pøenosu H(w) soustavy H... 592 7 ØEŠENÍ ÚLOHY NA POÈÍTAÈI...595 7.1 ZÁPIS ÚLOHY VE STAVOVÉM PROSTORU...596 7.2 ANALYTICKÁ ØEŠENÍ STAVOVÝCH ROVNIC...613 7.3 LAPLACEOVA TRANSFORMACE A Z-TRANSFORMACE STAVOVÝCH ROVNIC...617 7.4 ØEŠENÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE KLASICKÝMI NUMERICKÝMI METODAMI...619 7.4.1 Numerická stabilita øešení...627 7.4.2 Chyba aproximace...630 7.4.3 Zaokrouhlovací chyba...632 8 ZÁVÌR...635 P PØEHLED ZÁKLADNÍCH POUŽITÝCH MATEMATICKÝCH VZORCÙ... 637 LITERATURA... 653 REJSTØÍK... 656 8 A