Diskretizace. 29. dubna 2015
|
|
- Markéta Mašková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 MSP: Domácí příprava č. 3 Vnitřní a vnější popis diskrétních systémů Dopředná Z-transformace Zpětná Z-transformace Řešení diferenčních rovnic Stabilita diskrétních systémů Spojování systémů Diskretizace Jan Přikryl, Bohumil Kovář, Lucie Kárná 9. dubna 05 Obsah Převod mezi vnějším a vnitřním popisem Opakování iterativních výpočtů 4 3 Dopředná Z-transformace 4 4 Z-transformace výrazů 6 5 Zpětná Z-transformace 7 6 Řešení diferenčních rovnic 8 7 Stabilita diskrétních systémů 9 8 Spojování systémů 9 9 Diskretizace Kromě otázek, uvedených v tomto psaní, se v písemce samozřejmě mohou vyskytnout otázky na cokoliv z odpřednášené teorie předpokládáme, že jste dostatečně seznámeni se základními vlastnostmi spojitých a diskrétních systémů a s teorií (a matematickými postupy) vnějšího a vnitřního popisu systémů.
2 Doporučujeme vaší pozornosti text Příklady na Z-transformaci, jenž si můžete stáhnout jako priklady_z_05.pdf z webových stránek s programem cvičení. V písemce se neobjeví příklady na stabilitu systémů, spojování systémů a diskretizaci (poslední tři číslované odstavce). Uvádíme je zde pro úplnost, objeví se až v závěrečném testu. Převod mezi vnějším a vnitřním popisem Převod mezi vnějším a vnitřním popisem jsme si ukazovali na přednášce pro spojité systémy. U systémů diskrétních je postup zcela analogický. Pˇríklad. Diskrétní LTI systém, popsaný rovnicí ( ) n y[n + ] y[n + ] + y[n] = () s počátečními podmínkami y[0] = a y[] = převed te na ekvivalentní vnitřní popis. Zapište matice vnitřního popisu. Analogicky se spojitými systémy zavedeme substituci z čehož plyne rovnou x [n] y[n], x [n] y[n + ] x [n + ] = x [n]. Po dosazení do () máme ( n x [n + ] x [n] + x [n] = ) ( n x [n + ] = x [n] + x [n] ) Systém je tedy popsán soustavou rovnic x [n + ] = x [n] ( n x [n + ] = x [n] + x [n] ) a matice jsou y[n] = x [n]. [ ] [ ] 0 0 M =, N =, [ ] C = 0, D =.
3 Úkol. Diskrétní LTI systém, popsaný rovnicí y[n + ] y[n] = ( )n s počátečními podmínkami y[0] = a y[] = 0 převed te na ekvivalentní vnitřní popis. Zapište matice vnitřního popisu. Úkol. Diskrétní LTI systém, popsaný rovnicí y[n] y[n ] = ( )n převed te na ekvivalentní vnitřní popis. Zapište matice vnitřního popisu. Pˇríklad. Mějme diskrétní LTI systém, popsaný soustavou rovnic x [n + ] = x [n] + x [n] x [n + ] = x [n] u[n] y[n] = x [n]. s počátečními podmínkami x [0] = a x [0] =. Bez použití Z-transformace nalezněte možnou rovnici vnějšího popisu systému a odpovídající počáteční podmínky. Prostým dosazením y[n] x [n] a y[n + ] x [n + ] máme y[n + ] = y[n] + x [n] x [n + ] = y[n] u[n]. Systém je LTI, první rovnici můžeme proto přepsat substitucí n n + na y[n + ] = y[n + ] + x [n + ] a po dosazení druhé rovnice soustavy za x [n + ] máme y[n + ] = y[n + ] y[n] u[n]. Výsledná rovnice vnějšího popisu by tedy mohla být například y[n + ] y[n + ] + y[n] = u[n]. Protože je y[n] = x [n], je y[0] = x [0] =. Z první rovnice soustavy potom máme y[] = x [0] + x [0] a druhá počáteční podmínka je proto y[] =. Úkol 3. Mějme diskrétní LTI systém, popsaný soustavou rovnic x [n + ] = x [n] u[n] x [n + ] = x [n] y[n] = x [n]. s počátečními podmínkami x [0] = a x [0] = 0. Bez použití Z-transformace nalezněte možnou rovnici vnějšího popisu systému a odpovídající počáteční podmínky. 3
4 Opakování iterativních výpočtů Pˇríklad 3. Bez použití Z-transformace vypočtěte prvních pět členů posloupnosti výstupu diskrétního LTI systému s impulsní odezvou ( n h[n] = ) pokud na vstup přivedeme signál u[n] = ( ) n. Výstup diskrétního LTI systému je dán konvolucí vstupu s impulsní odezvou, tedy Z toho n y[n] = h[n m]u[m] = h[n m]u[m]. m=0 m=0 y[0] = h[0]u[0] = = y[] = h[]u[0] + h[0]u[] = + ( ) = y[] = h[]u[0] + h[]u[] + h[0]u[] = 4 + ( ) + = 3 4 y[3] = h[3]u[0] + h[]u[] + h[]u[] + h[0]u[3] = ( ) + + ( ) = 5 8 y[4] = h[4]u[0] + h[3]u[] + h[]u[] + h[]u[3] + h[0]u[4] = ( ) ( ) + = 6 Úkol 4. Nalezněte h[n], víte-li, že s[n] = (7/8) n. Úkol 5. Nalezněte prvních pět členů odezvy y[n] diskrétního LTI systému na vstupní posloupnost u[n] = {,, 0, 0, 0,... } n=0, víte-li, že h[n] = (7/8)n. Úkol 6. Nalezněte prvních pět členů posloupnosti impulsní odezvy h[n] diskrétního LTI systému, jehož odezva na vstupní posloupnost u[n] = {,, 0,, 0,... } n=0 je y[n] = { /,, 0,, 0,... } n=0. 3 Dopředná Z-transformace Pˇríklad 4. Určete F (z), pokud f[n] = na n. 4
5 Podle přednášek (a s využitím věty o derivaci obrazu a znalosti o derivaci podílu dvou funkcí) je Z {na n } = Z {na n } = z d dz az = z 0 ( az ) (0 + az ) az ( az ) = z ( az ) = az ( az ). Pˇríklad 5. Nalezněte F (z) pro spojitou funkci na obrázku za předpokladu, že funkce je vzorkována s periodou T = s. f(t) t Prvních jedenáct členů posloupnosti f[n], která vznikne navzorkováním spojitého signálu f(t), zapíšeme pro přehlednost do tabulky: n nt f[n] = f(nt ) 0 4,5 5
6 Dále postupujeme výpočtem transformace podle definičního vzorce, F (z) = f[n]z n = 0 z 0 + z + 4 z +,5 z 3 + z 4 + z 5... n=0 = z + 4z +,5z 3 + z m m=4 = z + 4z +,5z 3 + z 4 z. Úkol 7. Určete F (z), pokud f[n] = e an. Úkol 8. Nalezněte Z-transformaci posloupnosti, jež vznikne vzorkováním spojitého signálu z příkladu 5 s periodou T = / s. Úkol 9. S pomocí definičního vztahu ukažte, že Z-transformace posloupnosti zpožděného jednotkového skoku { pro n m x n = [n m] = 0 pro n < m je rovna X(p) = z m z. Úkol 0. Pomocí Eulerova vzorce odvod te Z {cos(an)}. Úkol. S pomocí vzorce pro Z-transformaci konvoluce dokažte, že pro w[n] = n + je W (z) = z. (z ) Nápověda: Uvědomte si, jakých hodnot nabývá posloupnost w[n] pro n = 0,,,.... Vyjádřete tento součet jako w[n] = n m=0 x[n]y[n m] a nalezněte odpovídající x[n] a y[n] a jim odpovídající X(z) a Y (z). 4 Z-transformace výrazů Pˇríklad 6. Nalezněte F (z) periodické sekvence, pro niž platí f[n + ] = f[n], f[0] = 5 a f[] = 5. Podle věty o posunutí je Z {f[n + ]} = Z {f[n]}, z F (z) z f[0] zf[] = F (z) z F (z) F (z) = z f[0] zf[] F (z) = z f[0] zf[] z 6
7 a po dosazení počátečních podmínek z(z ) F (z) = 5 (z + )(z ) = 5 z z +. Úkol. Zapište Z-transformaci soustavy rovnic vnitřního popisu systému x [n + ] = x [n] x [n + ] = x [n] + x [n] u[n] y[n] = x [n]. Z transformované soustavy vyjádřete Y (z) jako funkci U(z) pro počáteční podmínky x [0] = a x [0] =. Úkol 3. Určete fundamentální periodu a nalezněte Z-transformaci periodické posloupnosti f[n], naznačené na následujícím obrázku f[n] n Úkol 4. Vyjádřete Y (z) jako funkci U(z) pro diskrétní LTI systém popsaný diferenční rovnicí y[n + ] y[n + ] + y[n] = u[n] s počátečními podmínkami y[0] = a y[] =. 5 Zpětná Z-transformace Úkol 5. Najděte { } bz y[n] = Z z az. [ b(a n+ ] ) Řešení: a 7
8 Úkol 6. Najděte { } y[n] = Z z ( z + b + a). ( z + a)( z + b) Úkol 7. Najděte Úkol 8. Najděte { } y[n] = Z za(b ). (za b)(za ) { ( z za + a y[n] = Z z + zb b ) } a ( z + b). ( z + a) Řešení: [a n + b n ] [ b n ] Řešení: a n Řešení: [ nb n + a n ] 6 Řešení diferenčních rovnic Úkol 9. S pomocí Z-transformace vyřešte diferenční rovnici Počáteční podmínka je y[0] = 0. y[n + ] 3y[n] = 4n. Úkol 0. S pomocí Z-transformace vyřešte soustavu diferenčních rovnic x[n + ] = x[n] y[n] y[n + ] = x[n] + y[n] s počátečními podmínkami x[0] = a y[0] = 0. Pˇríklad 7. Vyřešte homogenní diferenční rovnici y[n + ] 4y[n + ] + 3y[n] = 0 () s počátečními podmínkami y[0] = y 0 = a y[] = y = 5. Po Z-transformaci obdržíme z rovnice () algebraickou rovnici ve tvaru z Y (z) z y 0 zy 4zY (z) + 4zy 0 + 3Y (z) = 0 8
9 a proto z Y (z) 4zY (z) + 3Y (z) = z y 0 + zy 4zy 0 [ ] Y (z) z 4z + 3 = z + 5z 4z Y (z) = z + z (z )(z 3). Pro rozklad na parciální zlomky musíme vztah upravit (stupeň polynomu v čitateli musí být nižší, než stupeň polynomu ve jmenovateli), a odtud z Y (z) = z + (z )(z 3) = z + z 3 { y[n] = Z {Y (z)} = Z z z + z } = + (3) n. z 3 7 Stabilita diskrétních systémů Úkol. Určete, zda je odezva systému, popsaného v příkladu 7, stabilní. Úkol. Vyšetřete stabilitu systému, diskutovaného v úloze 9. Úkol 3. Určete, jaké hodnoty parametrů a a b zaručí stabilitu systému s impulsní odezvou h[n] = bn a n. 8 Spojování systémů Pˇríklad 8. Diskrétní systém je tvořen dvěma paralelně zapojenými subsystémy, popsanými pomocí dílčích přenosových funkcí H (z) = z z a H (z) = z z α. Zapište výslednou přenosovou funkci celého systému. Pro dva systémy zapojené paralelně (tedy vedle sebe ) platí, že výsledná přenosová funkce systému bude součtem dílčích přenosů. V našem případě tedy H(z) = H (z) + H (z) = z z z z α = z(z α) z(z ) (z )(z α) z( = α) (z )(z α). 9
10 Úkol 4. Zapište přenosovou funkci sériově zapojených subsystémů z příkladu 8. Úkol 5. Uvažujte nestabilní diskrétní systém s přenosem H(z) = z3 + z 3z + z z + 3 Jaké zesílení α musí mít zpětnovazební člen, jímž výše uvedený systém stabilizujeme? Nápověda: Přenos zpětnovazebního členu je H α (z) = α. Úkol 6. Vyjádřete přenos H(z) = Y (z)/u(z) složeného systému na následujícím obrázku: H 4 (z) u[n] + H (z) H (z) H 3 (z) + + y[n] H 5 (z) Úkol 7. Vyjádřete přenos H(p) = Y (p)/u(p) systému na následujícím obrázku: H (p) u(t) + H (p) + y(t) H 3 (p) Řešení: [ ] H (p) + H (p) H(p) = + H (p) + H (p) + H (p)h 3 (p) Úkol 8. V jakém vztahu musí být přenos G(p) ku H(p), aby pro níže uvedené systémy platilo y (t) y (t)? Zdůvodněte. 0
11 u(t) H(p) y(t) u(t) H(p) y(t) y (t) y (t) G(p) Řešení: [ G(p) = ] H(p) 9 Diskretizace Pˇríklad 9. Převed te autonomní spojitý LTI systém, popsaný homogenní diferenciální rovnicí y (t) + 4y(t) = 0 (3) s počátečními podmínkami y(0) = a y (0) = 0, na systém diskrétní náhradou derivace dopřednou diferencí. Nahradíme-li derivaci dopřednou diferencí, dostaneme y (t) y (t) = d ( ) d dt dt y(t) a po dosazení do (3) y(nt + T ) y(nt ) T y(nt + T ) y(nt + T ) + y(nt ) T y(nt + T ) y(nt + T ) + y(nt ) T + 4t(nT ) = 0, y(nt + T ) y(nt + T ) + y(nt ) + 4T y(nt ) = 0. Pro členy výstupní posloupnosti y[n] platí y[n] y(nt ) a proto y[n + ] y[n + ] + y[n] + 4T y[n] = 0, y[n + ] y[n + ] + (4T + )y[n] = 0. Zbývá určit počáteční podmínky diskrétního systému. Protože je y(0) =, je také y[0] = 0. Počáteční podmínku v y[] musíme ale dopočítat z dopředné diference y (0) y(t ) y(0) T y[] y[0] T odkud dostaneme postupně y[] y[0] T y (0), y[] T y (0) + y[0].
12 Odtud po dosazení za y[0] = 0 y[] T 0 + =. Úkol 9. Na rovnici z příkladu 9 demonstrujte vliv různé délky vzorkovací periody T na kovergenci řešení diferenční rovnice k řešení původní diferenciální rovnice: Nalezněte y(t) jako řešení rovnice (3) ve spojitém čase. Nalezněte y [n], y [n] a y 3 [n] jako řešení odpovídající diferenční rovnice se vzrokovací periodou T = s, T = 0,0 s a T 3 = 0,000 s. Zakreslete všechny čtyři průběhy do jednoho grafu. Nezapomeňte na správné měřítko na ose t.
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček. 8. přednáška 11MSP pondělí 20. dubna 2015
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 8. přednáška 11MSP pondělí 20. dubna 2015 verze: 2015-04-14 12:31
VíceInverzní z-transformace. prof. Miroslav Vlček. 25. dubna 2013
Modelování systémů a procesů 25. dubna 2013 Obsah Inverzní z-transformace 1 Inverzní z-transformace 2 Obsah Inverzní z-transformace 1 Inverzní z-transformace 2 Metody výpočtu inverzní z-transformace Zpětná
VíceSIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)
VíceLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP pondělí 23. března
VíceInverzní Laplaceova transformace
Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března
VíceAnalýza a zpracování signálů. 5. Z-transformace
Analýa a pracování signálů 5. Z-transformace Z-tranformace je mocný nástroj použitelný pro analýu lineárních discretetime systémů Oboustranná Z-transformace X k jf j xk, je komplexní číslo r e r e k Oboustranná
VíceFlexibilita jednoduché naprogramování a přeprogramování řídícího systému
Téma 40 Jiří Cigler Zadání Číslicové řízení. Digitalizace a tvarování. Diskrétní systémy a jejich vlastnosti. Řízení diskrétních systémů. Diskrétní popis spojité soustavy. Návrh emulací. Nelineární řízení.
Více7.1. Číslicové filtry IIR
Kapitola 7. Návrh číslicových filtrů Hraniční kmitočty propustného a nepropustného pásma jsou ve většině případů specifikovány v[hz] společně se vzorkovacím kmitočtem číslicového filtru. Návrhové algoritmy
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně
Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy
VíceOpakování z předmětu TES
Opakování z předmětu TES A3B35ARI 6..6 Vážení studenti, v následujících měsících budete každý týden z předmětu Automatické řízení dostávat domácí úkol z látky probrané v daném týdnu na přednáškách. Jsme
VíceCVIČENÍ 4 Doc.Ing.Kateřina Hyniová, CSc. Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze 4.
CVIČENÍ POZNÁMKY. CVIČENÍ. Vazby mezi systémy. Bloková schémata.vazby mezi systémy a) paralelní vazba b) sériová vazba c) zpětná (antiparalelní) vazba. Vnější popis složitých systémů a) metoda postupného
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Více1. března Organizace Základní informace Literatura Úvod Motivace... 3
Modelování systémů a procesů (611MSP) Děčín přednáška 1 Vlček, Kovář, Přikryl 1. března 2012 Obsah 1 Organizace 1 1.1 Přednášející....................................... 1 1.2 Základní informace...................................
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně
Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy
VíceAnalýza lineárních regulačních systémů v časové doméně. V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction
Analýza lineárních regulačních systémů v časové doméně V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction Studijní materiály http://physiome.cz/atlas/sim/regulacesys/ Khoo: Physiological Control
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně
Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály Systémy: definice, několik příkladů Vlastnosti systémů
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY
Lineární a adaptivní zpracování dat 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Úvodní informace o předmětu Signály, časové řady klasifikace, příklady, vlastnosti Vzorkovací
Vícezákladní vlastnosti, používané struktury návrhové prostředky MATLAB problém kvantování koeficientů
A0M38SPP - Signálové procesory v praxi - přednáška 4 2 Číslicové filtry typu FIR a IIR definice operace filtrace základní rozdělení FIR, IIR základní vlastnosti, používané struktury filtrů návrhové prostředky
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti
Lineární a adaptivní zpracování dat 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti Daniel Schwarz Osnova Opakování: systémy a jejich popis v časové oblasti Fourierovy řady Frekvenční charakteristika systémů
Více11MAMY LS 2017/2018. Úvod do Matlabu. 21. února Skupina 01. reseni2.m a tak dále + M souborem zadané funkce z příkladu 3 + souborem skupina.
11MAMY LS 2017/2018 Cvičení č. 2: 21. 2. 2018 Úvod do Matlabu. Jan Přikryl 21. února 2018 Po skupinách, na které jste se doufám rozdělili samostatně včera, vyřešte tak, jak nejlépe svedete, níže uvedená
VíceLineární a adpativní zpracování dat. 3. Lineární filtrace I: Z-transformace, stabilita
Lineární a adpativní zpracování dat 3. Lineární filtrace I: Z-transformace, stabilita Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály, systémy, jejich vlastnosti a popis v časové
VíceVlastnosti členů regulačních obvodů Osnova kurzu
Osnova kurzu 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Statické vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Dynamické vlastnosti členů
VíceÚvod do zpracování signálů
1 / 25 Úvod do zpracování signálů Karel Horák Rozvrh přednášky: 1. Spojitý a diskrétní signál. 2. Spektrum signálu. 3. Vzorkovací věta. 4. Konvoluce signálů. 5. Korelace signálů. 2 / 25 Úvod do zpracování
VíceNyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
Více8.1. Separovatelné rovnice
8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY a SYSTÉMY
Lineární a adaptivní zpracování dat 1. ÚVOD: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY a SYSTÉMY Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Úvodní informace o předmětu Signály, časové řady klasifikace, příklady,
VíceAutomatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností
Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností různých přístrojů a zařízení. (Mechanizace, Automatizace, Komplexní automatizace) Kybernetika je Věda, která zkoumá obecné
VíceÚPGM FIT VUT Brno,
Systémy s diskrétním časem Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz 1 LTI systémy v tomto kursu budeme pracovat pouze se systémy lineárními a časově invariantními. Úvod k nim jsme viděli již
VíceAnalýza a zpracování signálů. 5. Z-transformace
nalýa a pracování signálů 5. Z-transformace Z-tranformace je mocný nástroj použitelný pro analýu lineárních discretetime systémů Oboustranná Z-transformace X j F j x, je omplexní číslo r e r e Oboustranná
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY a SYSTÉMY
Lineární a adaptivní zpracování dat 1. ÚVOD: SIGNÁLY, ČASOVÉ ŘADY a SYSTÉMY Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Úvodní informace o předmětu Signály, časové řady klasifikace, příklady,
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
VíceCvičná bakalářská zkouška, 1. varianta
jméno: studijní obor: PřF BIMAT počet listů(včetně tohoto): 1 2 3 4 5 celkem Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta 1. Matematická analýza Najdětelokálníextrémyfunkce f(x,y)=e 4(x y) x2 y 2. 2. Lineární
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VícePraha technic/(4 -+ (/T'ERATU"'P. ))I~~
Jaroslav Baláte Praha 2003 -technic/(4 -+ (/T'ERATU"'P ))I~~ @ ZÁKLADNí OZNAČENí A SYMBOLY 13 O KNIZE 24 1 SYSTÉMOVÝ ÚVOD PRO TEORII AUTOMATICKÉHO iízení 26 11 VYMEZENí POJMU - SYSTÉM 26 12 DEFINICE SYSTÉMU
VíceČíslicová filtrace. FIR filtry IIR filtry. ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická Ing. Radek Sedláček, Ph.D., katedra měření K13138 Číslicová filtrace FIR filtry IIR filtry Tyto materiály vznikly za podpory Fondu rozvoje
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Více3. ledna list a odevzdejte tento zvláštní list (listy) i všechny ostatní listy, které jste při řešení
Jméno a příjmení: Písemná část zkoušky z předmětu AN1E 3. ledna 2019 Skutečná písemná práce bude obsahovat 5 příkladů. Zvolte si pořadí, v jakém budete příklady řešit. Vaše řešení nemusí být kulturně zapsané,
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceČíslicové filtry. Honza Černocký, ÚPGM
Číslicové filtry Honza Černocký, ÚPGM Aliasy Digitální filtry Diskrétní systémy Systémy s diskrétním časem atd. 2 Na co? Úprava signálů Zdůraznění Potlačení Detekce 3 Zdůraznění basy 4 Zdůraznění výšky
VíceModelov an ı syst em u a proces
Modelování systémů a procesů 13. března 2012 Obsah 1 Vnější popis systému 2 Vnitřní popis systému 3 Příklady na stavový popis dynamických systémů Obsah 1 Vnější popis systému 2 Vnitřní popis systému 3
VíceO řešení diferenční rovnice y(n+2) 1, 25y(n+1)+0, 78125y(n) = x(n + 2) x(n)
O řešení diferenční rovnice yn+), 5yn+)+0, 785yn) xn + ) xn) Prof. RNDr. Josef Diblík, DrSc. a Prof. Ing. Zdeněk Smékal, CSc. V příspěvku je řešena rovnice Abstrakt yn + ), 5yn + ) + 0, 785yn) xn + ) xn)
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceAlgebra blokových schémat Osnova kurzu
Osnova kurzu 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD 1 Osnova
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceZpětná vazba, změna vlastností systému. Petr Hušek
Zpětná vazba, změna vlastností systému etr Hušek Zpětná vazba, změna vlastností systému etr Hušek husek@fel.cvut.cz katedra řídicí techniky Fakulta elektrotechnická ČVUT v raze MAS 2012/13 ČVUT v raze
VíceNastavení parametrů PID a PSD regulátorů
Fakulta elektrotechniky a informatiky Univerzita Pardubice Nastavení parametrů PID a PSD regulátorů Semestrální práce z předmětu Teorie řídicích systémů Jméno: Jiří Paar Datum: 9. 1. 2010 Zadání Je dána
Více15 - Stavové metody. Michael Šebek Automatické řízení
15 - Stavové metody Michael Šebek Automatické řízení 2016 10-4-16 Stavová zpětná vazba Když můžeme měřit celý stav (všechny složky stavového vektoru) soustavy, pak je můžeme využít k řízení u = K + r [
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VícePředmět A3B31TES/Př. 13
Předmět A3B31TES/Př. 13 PS 1 1 Katedra teorie obvodů, místnost č. 523, blok B2 Přednáška 13: Kvantování, modulace, stavový popis PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen 2015 1 / 28 Obsah 1 Kvantování 2 Modulace
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceÚvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce
Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx
VíceMatematika IV 9. týden Vytvořující funkce
Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Vytvořující funkce a Fibonacciho čísla 2 Vytvořující funkce - připomenutí 3 Řešení
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:
VícePožadavky ke zkoušce. Ukázková písemka
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceRegulační obvod s měřením akční veličiny
Regulační obvod s měřením akční veličiny Zadání Soustava vyššího řádu je vytvořena z několika bloků nižšího řádu, jak je patrno z obrázku. Odvoďte výsledný přenos soustavy vyššího řádu popisující dané
Více0.1 Z transformace. 0.1 Z transformace 1
0.1 Z transformace 1 0.1 Z transformace Rovnice popisující vlastnosti diferenčních systémů můžeme řešit analogicky jako ve se spojitém případě pomocí transformace. Touto transformací je Z transformace.
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva
VíceRegulační obvod s měřením regulováné veličiny
Regulační obvod s měřením regulováné veličiny Zadání Soustava vyššího řádu je vytvořena z několika bloků nižšího řádu, jak je patrno z obrázku. Odvoďte výsledný přenos soustavy vyššího řádu popisující
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
VíceTeorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
Více4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306
..8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí Předpoklady: 06 Vzorce pro součet goniometrických funkcí: sin + sin y = sin cos sin sin y = cos sin cos + cos y = cos cos cos cos y = sin sin Na první pohled
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
Vícedo magisterské etapy programu ELEKTRONIKA A KOMUNIKACE
JMÉNO A PŘÍJMENÍ: 1 VZOROVÝ TEST K PŘIJÍMACÍ ZKOUŠCE do magisterské etapy programu ELEKTRONIKA A KOMUNIKACE Odpovědi na otázky pište do volného místa za každou otázkou. Pro pomocné výpočty použijte čistou
VíceVI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
Více1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a
. Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
Více12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy
12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 121 Úvod - opakování Opakování z 1 ročníku (z kapitoly 5) Definice 121 Rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru Návod k řešení: Pokud g(c)
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceReference 10. Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému
Módy systému Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 8 Reference Úvod Řešení stavových rovnic Předpokládejme stavový popis spojitého, respektive diskrétního systému ẋ(t)=ax(t)+bu(t)
Víceem do konce semestru. Obsah Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda
Zápočtové problémy Na následujících stránkách naleznete druhou sérii zápočtových problémů věnovanou nosníkům. Ti, co ještě nemají žádný problém přidělený, si mohou vybrat libovolný z nich. Řešení můžete
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceVZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?
VíceAbychom se vyhnuli užití diferenčních sumátorů, je vhodné soustavu rovnic(5.77) upravit následujícím způsobem
Abychom se vyhnuli užití diferenčních sumátorů, je vhodné soustavu rovnic(5.77) upravit následujícím způsobem I 1 = 1 + pl 1 (U 1 +( )), = 1 pc 2 ( I 1+( I 3 )), I 3 = pl 3 (U 3 +( )), 1 U 3 = (pc 4 +1/
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VícePozorovatel, Stavová zpětná vazba
Pozorovatel, Stavová zpětná vazba Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 6 Reference 8 Úvod Pozorovatel stavu slouží k pozorování (odhadování) zejména neměřitelných stavů systému.
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceNelineární obvody. V nelineárních obvodech však platí Kirchhoffovy zákony.
Nelineární obvody Dosud jsme se zabývali analýzou lineárních elektrických obvodů, pasivní lineární prvky měly zpravidla konstantní parametr, v těchto obvodech platil princip superpozice a pro analýzu harmonického
VíceŘešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic
Řešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic Jiří Škvára Katedra fyziky, Přírodovědecká fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l.. ročník, počítačové metody ve vědě a technice Abstrakt Seminární
VíceOsnova přednášky. Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu
Osnova přednášky 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Vlastnosti regulátorů 7) 8) Kvalita
Více24 - Diskrétní řízení
24 - Diskrétní řízení Michael Šebek Automatické řízení 213 13-5-14 Metody návrhu diskrétního řízení Automatické řízení - Kybernetika a robotika Návrh pro čistě diskrétní systémy Mnohé metody jsou analogické
VíceAutor by chtìl podìkovat všem svým spolupracovníkùm a kolegùm, kteøí mu pomohli s pøípravou textu. K vydání knihy pøispìla firma Newport Electronics s
Pavel Nevøiva ANALÝZA SIGNÁLÙ A SOUSTAV Praha 2000 Autor by chtìl podìkovat všem svým spolupracovníkùm a kolegùm, kteøí mu pomohli s pøípravou textu. K vydání knihy pøispìla firma Newport Electronics spol.
VíceDrsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb
Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah
VíceSPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 014/015. prosince 014 Předmluva iii
VíceKomplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
Více