Inverzní Laplaceova transformace

Transkript

1 Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března 205 verze: :59

2 Obsah přednášky Zpětná Laplaceova transformace Definice Rozklad na parciální zlomky Zakrývací pravidlo pro jednoduché póly Násobné póly Zakrývací pravidlo pro násobné póly 2

3 Zpětná Laplaceova transformace Definice Již jsme si řekli, že zpětná Laplaceova transformace má tvar integrálu podél křivky v komplexní rovině p f (t) = 2πi c+i c i F (p) e pt dp L {F (p)}. Pro racionální lomené funkce v proměnné p budeme postupovat jinak.

4 Jak na to? f (t) F (p) e αt p + α e αt cos ωt = e (α ıω)t + e (α+ıω)t 2 e αt sin ωt = e (α ıω)t e (α+ıω)t 2ı = 2ı = 2 ( p + α (p + α) 2 + ω 2 ( p+α ıω + p+α+ıω ω (p + α) 2 + ω 2 ) p+α ıω p + α + ıω )

5 Racionální lomená funkce Rozklad na parciální zlomky Obraz výstupu systému ve tvaru racionální lomené funkce, R(p) = Q(p) N(p) = b mp m + b m p m + + b p + b 0 a n p n + a n p n + + a p + a 0 Zlomek lze vyjádřit jako součet parciálních zlomků, což jsou jednoduché zlomky s konstantou v čitateli a jedním kořenem N(p) ve jmenovateli.

6 Racionální lomená funkce Rozklad na parciální zlomky O racionální lomené funkci Q(p) N(p) říkáme, že má nulové body p 0ν, jestliže Q(p 0ν ) = 0 a že má póly p µ, jestliže N(p µ ) = 0. Pokud má funkce Q(p) N(p) N(p) = jednoduché póly, potom n (p p µ ) = (p p )(p p 2 )... (p p n ). µ=

7 Racionální lomená funkce I Příklad Příklad (Racionální lomená funkce) Jestliže N(p) = p 3 + 3p 2 + 6p + 4 = (p + )(p 2 + 2p + 4) určete rozklad na kořenové činitele. Je samozřejmě N(p) = (p + )(p 2 + 2p + 4) = (p + )(p + + ı 3)(p + ı 3) takže platí N(p) = 3 (p p µ ) = (p p )(p p 2 )(p p 3 ). µ=

8 Racionální lomená funkce II Příklad Příklad (Racionální lomená funkce) Póly v tomto případě jsou p = p 2 = ı 3 p 3 = + ı 3 a platí N(p ) N( ) = 0 atd. Z tohoto příkladu plyne první krok, který musíme při zpětné Laplaceově transformaci provést: nalezení kořenů polynomu ve jmenovateli racionální funkce N(p)

9 Zpětná Laplaceova transformace Rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky má tvar Q(p) N(p) = n µ= k µ p p µ kde k µ se nazývají residua. k k 2 k n = p p p p 2 p p n k + k k n, p p p p 2 p p n

10 Zpětná Laplaceova transformace Pro residua platí k µ = lim (p p µ ) Q(p) p p µ N(p) = Q(p µ ) lim (p p µ ) p p µ N(p) = Q(p µ ) lim p p µ N(p) p p µ = Q(p µ ) N (p µ )

11 Zpětná Laplaceova transformace Pro jednoduchost budeme dále psát p µ p µ. Protože platí { } L = e αt, p α dostaneme { } Q(p) n L = L k µ N(p) p p µ = µ= n k µ e pµt. µ=

12 Zpětná Laplaceova transformace Tím jsme dokázali tzv. Heavisideův vzorec pro zpětnou transformaci racionální lomené funkce s jednoduchými póly { } Q(p) L = Q(p µ ) N(p) N (p µ µ ) epµt

13 Zpětná Laplaceova transformace I Příklad Příklad (Jednoduché póly) Laplaceův obraz impulsní odezvy systému je H(p) = Určete h(t). Řešení: Nejprve rozložíme H(p) = 6 p 3 + 3p 2 + 6p + 4 = 6 (p + )(p 2 + 2p + 4). 6 (p + )(p 2 + 2p + 4) = k p + + k 2 p + + ı 3 + k 3 p + ı 3.

14 Zpětná Laplaceova transformace II Příklad Příklad (Jednoduché póly) Platí 6 k = lim p p 2 + 2p + 4 = = 6 3 = 2, 6 k 2 = lim p ı 3 (p + )(p + ı 3) 6 = ( ı 3 + )( ı 3 + ı 3) 6 = ( ı 3)( ı2 3) =,

15 Zpětná Laplaceova transformace III Příklad Příklad (Jednoduché póly) 6 k 3 = lim p ı 3 (p + )(p + + ı 3) 6 = ( + ı 3 + )( + ı ı 3) 6 = (ı 3)(ı2 3) =.

16 Zpětná Laplaceova transformace Co s násobnými póly? Jestliže N(p) = (p p ) β (p p 2 ) β 2... (p p n ) βn má násobné kořeny s násobností β i, musíme předchozí postup modifikovat, protože platí L { e αt} = p + α L { te αt}! = (p + α) 2 L { t 2 e αt} = L { t n e αt} =. 2! (p + α) 3 n! (p + α) n+

17 Zpětná Laplaceova transformace Co s násobnými póly? Je zřejmé, že v inverzní transformaci hrají výsadní roli póly racionální lomené funkce. Proto se v dalším můžeme zabývat pouze takovými racionálně lomenými funkcemi, jejichž čitatel je jednotkový H(p) = N(p). Jestliže tedy N(p) = (p p ) β (p p 2 ) β 2... (p p n ) βn má násobné kořeny, potom inverzní Laplaceova transformace má tvar

18 Zpětná Laplaceova transformace Co s násobnými póly? { } [ L = e p t k () + k (2) t N(p)! + + k(β ) t β ] (β )! [ + e p 2t k () 2 + k (2) t 2! + + k(β 2) t β ] 2 2 (β 2 )! [. + e pnt k n () + k n (2) t! + + t βn ] k(βn) n (β n )!

19 Zpětná Laplaceova transformace I Co s násobnými póly? Koeficienty k (βm) µ můžeme získat následujícím postupem. Příklad (Zpětná Laplaceova transformace násobných pólů) Nechť například N(p) = (p 2) 2 (p + 5)(p + 7). Rozklad na parciální zlomky hledáme ve tvaru (p 2) 2 (p + 5)(p + 7) = k(2) (p 2) 2 + k() p 2 + k 2 p k 3 p + 7

20 Zpětná Laplaceova transformace II Co s násobnými póly? Příklad (Zpětná Laplaceova transformace násobných pólů) Vynásobíme rovnici členem (p 2) 2 (p 2) 2 (p 2) 2 (p + 5)(p + 7) = k (2) + k () (p 2) + k 2(p 2) 2 + k 3(p 2) 2 p + 5 p + 7 a nalezneme limitu pro p 2, (2 + 5)(2 + 7) = k(2)

21 Zpětná Laplaceova transformace III Co s násobnými póly? Příklad (Zpětná Laplaceova transformace násobných pólů) Odečteme-li výraz dostáváme od obou stran původní rovnice, 63(p 2) 2 (p 2) 2 (p + 5)(p + 7) 63(p 2) 2 = k() p 2 + k 2 p k 3 p + 7 respektive rovnici [ 63 (p + 4) (p 2)(p + 5)(p + 7) ] = k() p 2 + k 2 p k 3 p + 7,

22 Zpětná Laplaceova transformace IV Co s násobnými póly? Příklad (Zpětná Laplaceova transformace násobných pólů) pro kterou se výpočet k µ redukuje na případ s jednoduchými póly a platí k () = , k 2 = 2 7 2, k 3 =

23 Heavisideův vzorec pro násobné póly I Příklad (Heavisideův vzorec pro násobné póly) Heavisideovou metodou rozložíme na parciální zlomky racionální lomenou funkci R(p) = (p + ) 2 (p + 2).

24 Heavisideův vzorec pro násobné póly II Příklad (Heavisideův vzorec pro násobné póly) Postupujeme takto: Původní racionální lomená R(p) = (p + ) 2 (p + 2) funkce s násobnými póly. = (p + ) Násobné kořeny vytkneme. (p + )(p + 2) ( = (p + ) p + + ) Na pravý zlomek použijeme p + 2 zakrývací pravidlo. = (p + ) 2 Roznásobíme závorku. (p + )(p + 2) = (p + ) 2 p + + A na pravý zlomek použijeme zakrývací pravidlo p + 2 ještě jednou.

25 Obsah přednášky Zpětná Laplaceova transformace 2 Diferenciální rovnice

26 Zpětná Laplaceova transformace I Příklad Příklad (Spojitý systém druhého řádu) Uvažujme lineární spojitý systém, popsaný diferenciální rovnicí y (t) + 3y (t) + 2y(t) = 5u(t), kde u(t) = (t) je jednotkový skok a počáteční stav systému je dán stavem výstupu a rychlosti v čase t = 0: y(0) = a y (0) = 2. Máme nalézt řešení y(t).

27 Zpětná Laplaceova transformace II Příklad Příklad (Spojitý systém druhého řádu) Po Laplaceově transformaci diferenciální rovnice dostaneme algebraickou rovnici p 2 Y (p) py(0) y (0) + 3pY (p) 3y(0) + 2Y (p) = 5 p. S použitím počátečních podmínek nalezneme řešení algebraické rovnice ve tvaru Y (p) = 5 p p2 p(p + )(p + 2).

28 Zpětná Laplaceova transformace III Příklad Příklad (Spojitý systém druhého řádu) Rozložíme racionální lomenou funkci na parciální zlomky Hledané řešení je pro t 0 Y (p) = 5 2p 5 p (p + 2). y(t) = 5 2 5e t e 2t. První člen odpovídá ustálenému stavu, další dva členy popisují přechodový děj.

29