Analýza lineárních regulačních systémů v časové doméně. V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction

Transkript

1 Analýza lineárních regulačních systémů v časové doméně V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction

2 Studijní materiály Khoo: Physiological Control Systems Analýza systémů na fyziologických příkladech usr:pwd biokyb:a6m33mos

3 Systémy Spojité vs diskrétní Deterministické vs stochastické Časově proměnné vs časově invariantní Nezávisí na tom, kolik je hodin Kauzální vs nekauzální Kauzální systém závisí pouze na minulých a současných hodnotách Derivace je přirozeně NEKAUZÁLNÍM výpočtem Tato kauzalita nemá nic společného s tím, že je modelica akauzální Lineární vs nelineární

4 Lineární systémy Lineární systém (soustava) je systém, v němž platí princip superpozice. To znamená, že za předpokladu, že platí: Aditivita (výstupem pro součet dvou signálů bude stejný, jako součet výstupů pro tyto signály jednotlivě) Homogenita (výstup pro násobek jiného vstupu bude roven stejnému násobku výstupu pro tento vstup): Tyto podmínky lze také zapsat jako jedinou:

5 Superpozice řešení průtoku elektrického proudu skládání působení sil na hmotný bod je-li systém lineární a lze využít superpozice, je řešení takového systému často velmi jednoduché a jednoznačné. Chování takových systémů lze předpovědět i do budoucnosti. Nelineární nelze využít (např. dioda)

6 Linearizace Zvolím pracovní oblast (bod)

7 Systémová analýza

8 LTI systémy Matematicky elegantní vztahy mezi vstupy a výstupy Lze určit výstupní odezvu na jakýkoli vstup Lze určit vstup při pozorování výstupu Čili: znám-li reakci na krátký vstup, mohu seskládat libovolný vstup a tím i libovolný výstup Nevytváří nové frekvenční složky, pouze zesiluje či potlačuje

9 Popis LTI systémů Vnější popis systému diferenciální rovnice přenos a poloha pólů a nul přenosu systému přechodová funkce impulsní funkce kmitočtový přenos Vnitřní popis systému (okamžitý stav) Stavový popis (stavové veličiny)

10 Nejjednodušší model mechaniky dýchání Ventilátor - zdroj tlaku Setrvačnost Odpor Vnější atmosferický tlak Pružný vak

11 Nejjednodušší model mechaniky dýchání Ventilátor - zdroj tlaku Setrvačnost L - Inertance Odpor R- Rezistance P A P o Pružný C - Kapacitance vak Vnější atmosferický tlak

12 Nejjednodušší model mechaniky dýchání Ventilátor - zdroj tlaku L Inertance R- Rezistance P A Výstup P o C - Kapacitance Vnější atmosferický tlak řesení

13 Nejjednodušší model mechaniky dýchání řesení?

14 Logaritmické zrcadlo sčítání a odečítání násobení a dělení umocňování /odmocňování Prostor obrazu Prostor originálu řesení

15 Laplaceovo zrcadlo Oblast komplexní proměnné (s) Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor obrazu Prostor originálu řesení?

16 Laplaceovo zrcadlo - úloha v obraze Oblast komplexní proměnné (s) Úloha v originále: - řešení úlohy v obraze Řešení v originále: Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor obrazu Prostor originálu řesení?

17 Derivování originálu Laplaceovo zrcadlo - úloha v obraze Oblast komplexní proměnné (s) Úloha v originále: - řešení úlohy v obraze Řešení v originále: Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor obrazu Prostor originálu

18 Derivování originálu Laplaceovo zrcadlo - úloha v obraze Oblast komplexní proměnné (s) Úloha v originále: - řešení úlohy v obraze Řešení v originále: Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor obrazu Prostor originálu

19 Derivování originálu Laplaceovo zrcadlo - úloha v obraze Oblast komplexní proměnné (s) Úloha v originále: - řešení úlohy v obraze Řešení v originále: Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor obrazu Prostor originálu

20 Integrování originálu Laplaceovo zrcadlo - úloha v obraze Oblast komplexní proměnné (s) Úloha v originále: - řešení úlohy v obraze Řešení v originále: Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor obrazu Prostor originálu

21 Linearita obrazu a originálu Laplaceovo zrcadlo - úloha v obraze Oblast komplexní proměnné (s) Úloha v originále: - řešení úlohy v obraze Řešení v originále: Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor obrazu Prostor originálu

22 Posun originálu (zpoždění) = útlum obrazu Laplaceovo zrcadlo - úloha v obraze Oblast komplexní proměnné (s) Úloha v originále: - řešení úlohy v obraze Řešení v originále: Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor obrazu Prostor originálu

23 Posun obrazu = útlum originálu Laplaceovo zrcadlo Oblast komplexní proměnné (s) - úloha v obraze Úloha v originále: - řešení úlohy v obraze Řešení v originále: Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor obrazu Prostor originálu

24 Změna měřítka (podobnost) Laplaceovo zrcadlo - úloha v obraze Oblast komplexní proměnné (s) Úloha v originále: - řešení úlohy v obraze Řešení v originále: Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor obrazu Prostor originálu

25 Originál: f(t) Příklady Obraz: F(s) Laplaceovo zrcadlo 1 Wolfram Mathematica: atd. Prostor obrazu Prostor originálu

26 Příklady Originál: y(t), x(t) Laplaceovo zrcadlo Obraz: Y(s), X(s) Prostor obrazu Prostor originálu

27 Příklady Originál: y(t), x(t) Laplaceovo zrcadlo Obraz: Y(s), X(s) Prostor obrazu Prostor originálu

28 Příklady Originál: y(t), x(t) Laplaceovo zrcadlo Obraz: Y(s), X(s) Prostor obrazu Prostor originálu

29 Příklady Originál: y(t), x(t) Laplaceovo zrcadlo Obraz: Y(s), X(s) Při nulových počátečních podmínkách: Prostor obrazu Prostor originálu

30 Originál: f(t) Příklady Obraz: F(s) Laplaceovo zrcadlo Při nulových počátečních podmínkách: Prostor obrazu Prostor originálu

31 Nejjednodušší model mechaniky dýchání - úloha v obraze Oblast komplexní proměnné (s) Úloha v originále: - řešení úlohy v obraze Řešení v originále: Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor obrazu Prostor originálu řesení?

32 Laplaceovo zrcadlo Úloha v obraze: Oblast komplexní proměnné (s) Úloha v originále: Řešení úlohy v obraze: Řešení v originále:????????????? Oblast reálné proměnné (oblast času t) Prostor obrazu Prostor originálu

33 Přenos systému: Výstup/Vstup výstup vstup

34 Nejjednodušší model mechaniky dýchání V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction

35

36 Parameters: a: {L*C,R*C,1} b: {1} Stejné výsledky

37 Stejné výsledky

38 Budící vstup - 1 Hz Pao PA

39 Budící vstup - 3 Hz Pao PA

40 Budící vstup - 8 Hz Pao PA

41

42 Přenosová funkce poměr Laplaceova obrazu výstupní veličiny k Laplaceovu obrazu vstupní veličiny při nulových počátečních podmínkách

43 Sestavení přenosové funkce Systém se vstupní u(t) a výstupní y(t) veličinou Laplaceova transformace Výsledný přenos

44 Paralelní kombinace přenosových funkcí Prostý součet přenosů

45 Seriová kombinace přenosových funkcí

46 V záporné zpětné vazbě

47 V kladné zpětné vazbě

48 Přechodová charakteristika Odezva na jednotkový (Haevisideův) skok časový průběh výstupní veličiny systému h(t)

49 Impulsní charakteristika Odezva na jednotkový (Diracův) impuls časový průběh výstupní veličiny systému h(t)

50 Nuly, póly, zesílení Kořeny charakteristické rovnice: Jsou v čitateli nuly (-n1..-nm) Jsou ve jmenovateli póly (-p1, -pn) Zesílení je bm/an Např. Nuly 0, 0, -2, póly 0,0, -5, -6, -2, zesílení 3

51 Nejjednodušší model mechaniky dýchání Otevřená smyčka Ventilátor - zdroj tlaku Uzavřená smyčka Setrvačnost L - Inertance k Odpor R- Rezistance P A P o Pružný C - Kapacitance vak Vnější atmosferický tlak

52 Přechodové odezva systému prvního řádu Nebudeme uvažovat setrvačnost: L=0 Otevřená smyčka Uzavřená smyčka k

53 Přechodové odezva systému prvního řádu na jednotkový impuls Nebudeme uvažovat setrvačnost: L=0 Otevřená smyčka Uzavřená smyčka k 1 Otevřená smyčka Uzavřená smyčka

54 Přechodové odezva systému prvního řádu na jednotkový skok Nebudeme uvažovat setrvačnost: L=0 Otevřená smyčka Uzavřená smyčka k Otevřená smyčka Uzavřená smyčka

55 Přechodové odezva systému druhého řádu Budeme uvažovat setrvačnost: Otevřená smyčka Uzavřená smyčka k

56 Přechodové odezva systému druhého řádu na jednotkový impuls Budeme uvažovat setrvačnost: 1 4 typy chování

57 Přechodové odezva systému druhého řádu na jednotkový impuls Budeme uvažovat setrvačnost: 1 1) Netlumená odezva Když R=0: L=0.01 cmh 2 O s 2 /L C=0.1 L /cm H 2 O Imaginární kořeny 4 typy chování Uzavřená smyčka Otevřená smyčka

58 Přechodové odezva systému druhého řádu na jednotkový impuls Budeme uvažovat setrvačnost: 1 2) Tlumená odezva L=0.01 cmh 2 O s 2 /L C=0.1 L /cm H 2 O R=0.5 cm H 2 O/L Komplexně sdružené kořeny 4 typy chování Otevřená smyčka Uzavřená smyčka

59 Přechodové odezva systému druhého řádu na jednotkový impuls Budeme uvažovat setrvačnost: 1 3) Kriticky tlumená odezva dva stejné reálné kořeny 4 typy chování Otevřená smyčka Uzavřená smyčka

60 Přechodové odezva systému druhého řádu na jednotkový impuls Budeme uvažovat setrvačnost: 1 4) Přetlumená odezva L=0.01 cmh 2 O s 2 /L C=0.1 L /cm H 2 O R=1 cm H 2 O/L dva různé reálné kořeny 4 typy chování Otevřená smyčka Uzavřená smyčka

61 Přechodové odezva systému druhého řádu na jednotkový skok (Podrobnosti viz kniha) L=0.01 cmh 1) Netlumená odezva 2 O s 2 /L C=0.1 L /cm H 2 O 2) Tlumená odezva L=0.01 cmh 2 O s 2 /L C=0.1 L /cm H 2 O R=0.5 cm H 2 O/L 3) Kriticky tlumená odezva 4) Přetlumená odezva L=0.01 cmh 2O s 2 /L C=0.1 L /cm H 2 O R=1 cm H 2 O/L

62 Zobecnění dynamiky systémů druhého řádu

63 Zobecnění dynamiky systémů druhého řádu X(s) X(s) 1) Netlumená (undamped) odezva k Impuls: Skok:

64 Zobecnění dynamiky systémů druhého řádu X(s) X(s) 2) Tlumená (underdamped) odezva k Impuls: Skok: kde:

65 Zobecnění dynamiky systémů druhého řádu X(s) X(s) 3)Kriticky tlumená (underdamped) odezva k Impuls: Skok:

66 Zobecnění dynamiky systémů druhého řádu X(s) X(s) 4)Přetlumená (overdamped) odezva k Impuls: Skok:

67 Impuls: Charakteristika odezvy na impuls

68 Skok: Charakteristika odezvy na skok

69 Zpětné vazby proporcionální, integrační a derivační 1) proporcionální 2) integrační 3) derivační

70