ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ KATEDRA TECHNOLOGIÍ A MĚŘENÍ DIPLOMOVÁ PRÁCE

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ KATEDRA TECHNOLOGIÍ A MĚŘENÍ DIPLOMOVÁ PRÁCE Numerický model indukční pece pro tavení nízkoteplotních kovů Jana Kuthanová 2014

Abstrakt Předkládaná práce se zabývá problematikou indukčního ohřevu nízkoteplotních kovů. Hlavním cílem práce je sestavit a optimalizovat matematický model indukční pece pro tavení Fieldova kovu, jeho numerické řešení a následné experimentální ověření. První část práce stručně popisuje vlastnosti a využití nízkoteplotních kovů a slitin zejména v elektrotechnickém průmyslu. Dále je formulován matematický model popisující rozložení magnetického a teplotního pole pro indukční ohřev a také konkrétní model pro indukční tavení Fieldova kovu. Sestavený model je poté ověřen na experimentálním zařízení zkonstruovaném právě pro tyto účely. Klíčová slova Indukční ohřev, indukční pec, nízkoteplotní kovy a slitiny, Fieldův kov, matematický model, metoda konečných prvků, sdružená úloha, magnetické pole, teplotní pole, Agros2D

Abstract The thesis deals with the problem of induction heating of low melting temperature metals. The main goal of this work is to design and to optimize a mathematical model of induction furnace for melting Field s metal, its numerical solution and subsequent experimental verification. The first part of the work describes briefly the features and use of low melting temperature metals and alloys, especially in the electro-technical industry. Furthermore, a mathematical model describing a distribution of magnetic and temperature fields for induction heating is formulated, as well as a specific model for the induction melting of the Field s metal. The assembled model is tested on an experimental device designed specifically for these purposes. Key words Induction heating, induction furnace, low melting temperature metals and alloys, Field's metal, mathematical model, finite element method, coupled problem, magnetic field, temperature field, Agros2D

Prohlášení Předkládám tímto k obhajobě a posouzení diplomovou práci, zpracovanou na závěr studia na Fakultě elektrotechnické Západočeské univerzity v Plzni. Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracovala samostatně, s použitím odborné literatury a pramenů uvedených v seznamu, který je součástí této diplomové práce. Dále prohlašuji, že veškerý software, použitý při řešení této diplomové práce, je legální.... podpis V Plzni dne 6.5.2014 Jana Kuthanová

Poděkování Na tomto místě bych velmi ráda poděkovala vedoucímu práce RNDr. Pavlu Kůsovi, Ph.D. za cenné profesionální rady, připomínky a metodické vedení práce. Dále bych také chtěla poděkovat konzultantovi Ing. Františku Machovi a doc. Ing. Pavlu Karbanovi, Ph.D. za odborné rady a pomoc při měření. Tento příspěvek vznikl s podporou Evropského fondu pro regionální rozvoj a Ministerstva školství, mládeže a tělovýchovy ČR v rámci projektu Regionální inovační centrum elektrotechniky (RICE), číslo projektu CZ.1.05/2.1.00/03.0094.

Obsah SEZNAM SYMBOLŮ A ZKRATEK... 10 ÚVOD... 11 1 KOVY A SLITINY S NÍZKOU TEPLOTOU TAVENÍ... 12 1.1 NEŽELEZNÉ KOVY A JEJICH DĚLENÍ... 12 1.2 DĚLENÍ KOVŮ A SLITIN S NÍZKOU TEPLOTOU TAVENÍ... 13 1.2.1 Alkalické kovy... 13 1.2.2 Kovy podskupin IIb až IVb... 14 1.2.3 Slitiny nízkotavitelných kovů... 16 1.2.4 Fieldův kov... 18 2 MATEMATICKÝ MODEL INDUKČNÍ PECE PRO TAVENÍ KOVŮ... 19 2.1 INDUKČNÍ OHŘEV KOVOVÝCH MATERIÁLŮ... 19 2.2 MATEMATICKÝ MODEL INDUKČNÍHO OHŘEVU... 20 2.2.1 Model magnetického pole... 20 2.2.2 Model teplotního pole... 21 3 KONKRÉTNÍ USPOŘÁDÁNÍ MODELU INDUKČNÍ PECE... 22 3.1 MATEMATICKÝ MODEL INDUKČNÍ PECE... 22 3.1.1 Model magnetického pole indukční pece... 22 3.1.2 Model teplotního pole indukční pece... 24 3.2 MATERIÁLOVÉ VLASTNOSTI FIELDOVA KOVU... 25 3.3 KONKRÉTNÍ USPOŘÁDÁNÍ MODELU INDUKČNÍ PECE A JEHO OPTIMALIZACE... 26 3.4 POPIS POUŽITÉ APLIKACE PRO NUMERICKÉ ŘEŠENÍ MATEMATICKÉHO MODELU... 29 4 SROVNÁNÍ VYPOČTENÝCH DAT S EXPERIMENTEM... 30 4.1 VÝPOČET MAGNETICKÉHO POLE... 32 4.2 VÝPOČET TEPLOTNÍHO POLE... 35 ZÁVĚR... 42 SEZNAM LITERATURY A INFORMAČNÍCH ZDROJŮ... 43 SEZNAM OBRÁZKŮ... 46 SEZNAM TABULEK... 48 8

PŘÍLOHY... 1 PŘÍLOHA A EUTEKTIKUM... 1 PŘÍLOHA B ZÁKLADNÍ VZTAHY ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE... 2 B.1 Maxwellovy rovnice... 2 B.2 Materiálové vztahy... 2 B.3 Magnetický vektorový potenciál... 2 9

Seznam symbolů a zkratek Nejpoužívanější veličiny a jednotky pro elektromagnetické pole E V m -1 intenzita elektrického pole D C m -2 elektrická indukce H A m -1 intenzita magnetického pole B T magnetická indukce A Wb m -1 vektorový magnetický potenciál J A m -2 proudová hustota Φ Wb magnetický indukční tok p j W m -3 měrné Jouleovy ztráty Q C elektrický náboj ρ C m -3 objemová hustota náboje E v V m -1 vnucená intenzita elektrického pole J v A m -2 vnucená proudová hustota δ m hloubka vniku γ S m -1 elektrická vodivost ε F m -1 permitivita H m -1 permeabilita Nejpoužívanější veličiny a jednotky pro teplotní pole q W m -2 tepelný tok T K teplota ρ kg m -3 hustota c J kg -1 K -1 měrná tepelná kapacita λ W m -1 K -1 tepelná vodivost ε - emisivita Obecné f Hz frekvence ω rad s -1 úhlová frekvence P W elektrický výkon, příkon I A elektrický proud Zkratky MKP metoda konečných prvků 10

Úvod V současné době patří indukční ohřev kovových materiálů mezi velmi dobře zvládnuté technologie. Hlavní předností tohoto druhu ohřevu je vznik tepla přímo ve vsázce. Dále v ohřívaném tělese nedochází k chemickým změnám, které by mohly vést ke zhoršování jeho fyzikálních vlastností. V neposlední řadě patří indukční ohřev mezi technologie šetrné k životnímu prostředí. Díky jeho nesporným výhodám je využíván v mnoha průmyslových odvětvích. Předkládaná práce se zabývá problematikou indukčního ohřevu nízkoteplotních kovů. Hlavním cílem této práce je navrhnout a optimalizovat matematický model indukční pece pro tavení Fieldova kovu a následně pak tento model ověřit na experimentálním zařízení sestaveném právě pro tyto účely. Práce se často odkazuje na diplomovou práci Bc. Kateřiny Mizerové, která se zabývá návrhem konstrukčního provedení indukční pece a měřením na experimentálním zařízení. První kapitola je věnována problematice nízkoteplotních kovů a slitin. V této části jsou popsány jejich vlastnosti a využití zejména v elektrotechnickém průmyslu. Ve druhé kapitole této práce je stručně popsán princip indukčního ohřevu. Následně je zde uvedena potřebná teorie elektromagnetického a teplotního pole nutná pro vytvoření matematického modelu indukční pece. Třetí část již obsahuje konkrétní návrh a optimalizaci numerického modelu indukční pece pro tavení Fieldova kovu. Tato úloha byla řešena pomocí aplikace Agros2D, ve které lze vzájemně sdružovat fyzikální pole. Poslední kapitola předkládané práce se věnuje srovnání vypočtených dat se změřenými daty, které podrobně zpracovává diplomová práce Bc. Kateřiny Mizerové. 11

1 Kovy a slitiny s nízkou teplotou tavení Tato práce se zabývá indukčním ohřevem nízkoteplotního Fieldova kovu. Proto se první kapitola věnuje problematice kovů a slitin s nízkou teplotou tavení a stručně popisuje použití jednotlivých kovů a slitin zejména v elektrotechnickém průmyslu. 1.1 Neželezné kovy a jejich dělení Kovy a slitiny s nízkou teplotou tavení řadíme do skupiny neželezných kovů a jejich slitin. Neželezné kovy a materiály na jejich bázi vykazují řadu specifických vlastností, které je činí nenahraditelnými v mnoha průmyslových oborech. Jsou to například aplikace vyžadující materiály s vysokou elektrickou vodivostí, nízkou či naopak vysokou teplotou tavení, nízkou hustotou, s vysokými hodnotami účinného absorpčního průřezu apod. Neželezné kovy lze podle teploty tavení se zřetelem k dalším převládajícím vlastnostem, zejména k hustotě, chemické stálosti a radioaktivitě rozdělit na tyto skupiny: kovy s nízkou teplotou tavení, lehké kovy, kovy se střední teplotou tavení, ušlechtilé kovy, kovy s vysokou teplotou tavení, skupina roztroušených kovů, radioaktivní kovy. Jednotlivé skupiny kovů jsou vyznačeny v Obr. 1.1. [1][2][3][4] Ia VIIIb H IIa IIIb IVb Vb VIb VIIb He Li Be B C N O F Ne Na Mg IIIa IVa Va VIa VIIa VIIIa VIIIa VIIIa Ib IIb Al Si P S Cl Ar K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te J Xe Cs Ba La Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn Fr Ra Ac Kovy s nízkou tepl. tavení Kovy s vysokou tepl. tavení Kovy roztroušené Radioaktivní kovy Lehké kovy Kovy se střední tepl. tavení Kovy ušlechtilé Obr. 1.1 Kovy v periodické soustavě prvků (překresleno z [1]) 12

1.2 Dělení kovů a slitin s nízkou teplotou tavení Kovy s nízkou teplotou tavení (nízkotavitelné) lze rozdělit podle pozice v periodické tabulce na dvě základní skupiny: alkalické kovy podskupiny Ia, kovy podskupin IIb až Vb. Slitiny, ve kterých převažuje základní kov, budou zmíněny právě s tímto kovem. V některých případech je přiřazení slitin k určitému kovu obtížné, zejména pokud se jedná o eutektickou slitinu. Pojem eutektikum je objasněn v příloze A. Pokud je eutektikum posunuto k jednomu kovu, převládají vlastnosti tohoto kovu. Takovou slitinu lze považovat za slitinu tohoto kovu (např. tvrdé olovo Pb-Sb). Pokud se eutektikum pohybuje uprostřed mezi dvěma nebo i více složkami, je vhodné takovéto soustavy zmínit vcelku. Tyto soustavy slitiny nízkotavitelných kovů lze podle účelu dále rozdělit na nízkotavitelné slitiny, měkké pájky a kompozice. [1][2] 1.2.1 Alkalické kovy Mezi alkalické kovy se řadí lithium, sodík, draslík, rubidium a cesium. Tyto kovy jsou velmi reaktivní. Přehled alkalických kovů a jejich teplot tavení je uveden v Tab. 1.1. [1] Tab. 1.1 Přehled alkalických kovů [1] Název prvku Značka Tepl. tavení ( C) Lithium Li 179 Sodík Na 98 Draslík K 64 Rubidium Rb 39 Cesium Cs 29 Lithium Význam lithia v posledních letech velmi roste. Lithium se uplatňuje jako legující přísada k různým kovům a slitinám. Například přísada 5 % lithia k pájce Cu-Ag a Ag-Cu-Zn zlepšuje zabíhavost a povrchové vlastnosti taveniny [1]. Dále se lithium používá jako anoda v bateriích. Lithiové baterie a akumulátory představují perspektivní prostředky pro dlouhodobější uchování elektrické energie, neboť jsou lehké, mají velkou kapacitu a vysokou specifickou energii. Jsou tedy vhodné pro výrobu baterií do elektroautomobilů, které v posledních letech nabývají na významu. Dále se tento alkalický kov uplatňuje v jaderné energetice, kde v určitých typech reaktorů slouží roztavené lithium k odvodu tepla z reaktoru. [1][5][6] 13

Sodík a draslík Díky dobrým tepelným vlastnostem se tekutý sodík používá jako chladící náplň některých typů jaderných reaktorů a ventilů leteckých motorů. Jako chladivo se také využívá slitina NaK obsahující 78 % draslíku. Elementární sodík se přidává do neonových lamp. [1][7] Cesium a rubidium Pro svůj nízký ionizační potenciál se cesium a rubidium využívají na výrobu fotočlánků. Oba tyto kovy jsou perspektivním pohonem pro raketové motory. [1][7] 1.2.2 Kovy podskupin IIb až IVb Do podskupiny IIb IVb se řadí tyto kovy: rtuť, gallium, indium, cín, bizmut, thallium, kadmium, olovo, zinek a antimon. Určitou výjimkou je zde antimon, který má vyšší teplotu tavení. Pro chemickou blízkost s ostatními nízkotavitelnými kovy je ale řazen právě do této skupiny. Přehled kovů podskupin IIb IVb a jejich teplot tavení uvádí Tab. 1.2. [1] Tab. 1.2 Přehled kovů podskupin IIb IVb [1] Název prvku Značka Tepl. tavení ( C) Rtuť Hg 40 Gallium Ga 30 Indium In 156 Cín Sn 232 Bizmut Bi 271 Thallium Tl 303 Kadmium Cd 321 Olovo Pb 327 Zinek Zn 419 Antimon Sb 630 Rtuť Rtuť je jediným kovem, který je za běžných teplot v kapalném stavu. V tekuté formě je stabilní, nicméně ve formě par je extrémně jedovatá. I přes poměrně hojné využití rtuti (náplň měřících přístrojů, rtuťové výbojky, katoda v elektrických článcích) se z důvodu toxicity tento materiál ve všech případech použití nahrazuje. Směrnice o omezení používání určitých nebezpečných složek RoHS [13] obsah rtuti v zařízení zde uvedených zakazuje kromě výjimek od 1. 7. 2006. [1][4][7] 14

Gallium Hlavní uplatnění tohoto kovu je zejména v polovodičové technologii. Sloučeniny gallia vykazující polovodičové vlastnosti (např. GaAs, GaP, GaN) se používají v tranzistorech, diodách, laserech, počítačové a kopírovací technice. Sloučenina GaAs se dále využívá v solárních článcích. Články s GaAs mají sice vyšší účinnost než křemík (okolo 20 %), avšak jejich zatím drahá a náročná výroba brání většímu rozšíření [8]. Dále se Gallium uplatňuje při výrobě nízkotavitelných slitin. [1][7] Indium V současné době se indium stále více využívá pro výrobu tenkovrstvých fotoelektrických článků pro trubicové fotovoltaické panely, LED diody, LCD displeje, dotykové obrazovky a různé polovodičové součástky. Sloučenina AsIn se používá pro Hallovy sondy. Indium dobře ulpívá na většině kovů i nekovů, proto se využívá u měkkých pájek. Dále se indium uplatňuje v nízkotavitelných slitinách. Přísada india ve Woodově kovu snižuje teplotu lineárně o 1,45 C na 1 % (až do 19,1 %, kdy je dosaženo teploty 47 C). [1][7][9] Cín Vzhledem k velmi dobré odolnosti cínu vůči korozi se asi polovina vyrobeného cínu spotřebuje na povrchovou úpravu kovů a to zejména v potravinářském průmyslu. Dále se cín využívá na výrobu pájek, nízkotavitelných slitin, kompozic a spolu s mědí k výrobě bronzu. [1][2][4] Bizmut Bizmut je křehký kov, který při krystalizaci zvětšuje svůj objem. Proto se používá jako přísada do slitin s malou smrštivostí. Dále je přidáván do nízkotavitelných slitin a pájek. V magnetickém poli se jeho rezistivita zvětšuje. Díky této vlastnosti je využit pro výrobu magnetorezistorů. [1][7][8] Kadmium Kadmium se používá k povrchové úpravě kovů, zejména k pokovení součástek letadel a aut. Velká část kadmia je uplatněna na výrobu Ni-Cd alkalických článků. Vzhledem k velkému účinnému průřezu na zachycení neutronů je kadmium používáno v reaktorech k regulaci jaderných reakcí. Dále se kadmium využívá jako přísada k výrobě nízkotavitelných slitin, kompozic a pájek. I přes jeho možné hojné využití se vzhledem ke své toxicitě nahrazuje jinými prvky. Obsah kadmia se totiž v zařízeních uvedených ve směrnici o omezení používání určitých nebezpečných složek RoHS [13] od 1. 7. 2006 zakazuje. Jsou zde ale uvedeny výjimky, ve kterých lze stále tento toxický prvek používat. [1][2][7] 15

Olovo Využití olova je velmi široké. Největší množství olova se spotřebuje na výrobu akumulátorů, především v automobilovém průmyslu. Dále se používá k ochraně nádob a potrubí při výrobě H 2 SO 4 a k ochraně proti rentgenovému i radioaktivnímu záření. [2][4][7] Značné množství olova se využívá pro výrobu jeho slitin měkkých pájek, kompozic a tvrdého olova. Tvrdé olovo je slitina olova s 0,5 10 hm. % antimonu. Tvrdé olovo vykazuje lepší mechanické vlastnosti, ale horší korozní odolnost než čisté olovo. Slitiny s vyšším obsahem antimonu jsou slévárenské (desky akumulátorů), naopak slitiny s nižším obsahem lze tvářet. [1][2] V současnosti se z ekologických důvodů zvyšuje tlak na odstranění jedovatého olova. Směrnice o omezení používání určitých nebezpečných složek RoHS [13] obsah olova v zařízení zde uvedených kromě vyjímek od 1. 7. 2006 zakázala. Zinek Většina zinku se spotřebuje k povrchové úpravě kovů, zejména ocelových výrobků a na výrobu slitin. Dále se zinek používá na elektrody zinko-uhlíkových článků. Zinek je také součástí polovodičových sloučenin, které se uplatňují v optoelektronice (ZnS, ZnSe). [1][7][8] Antimon Značné množství antimonu se používá jako přísada do slitin, zvyšující jejich tvrdost a odolnost vůči opotřebení. Jsou to zejména slitiny s olovem, tzv. tvrdé olovo, kompozice a nízkotavitelné slitiny. [2][7] V elektrotechnice se antimon využívá ve výrobě polovodičů. Jsou to např. polovodičové skupiny AlSb, InSb a GaSb. [4] 1.2.3 Slitiny nízkotavitelných kovů Jedná se především o složitější slitiny (ternární i vícesložkové), ve kterých se využívá toho, že cín, olovo, bizmut, antimon, kadmium a indium vytváří vícesložková eutektika. Díky eutektické struktuře jsou tyto sloučeniny poměrně tvrdé a pevné, ačkoli je jejich teplota tavení nízká. Vhodným složením kovů lze docílit i vlastnosti nízkého povrchového napětí, tj. velké smáčivosti a dobré slévatelnosti. Tyto slitiny rozdělujeme podle účelu na nízkoteplotní slitiny, měkké pájky a kompozice. [1] Nízkotavitelné slitiny Nízkotavitelné slitiny jsou slitiny s teplotou tavení nižší než 230 C [1]. Jedná se obvykle o slitiny bizmutu, olova, cínu, kadmia, india, antimonu, případně dalších kovů. Přehled normovaných a některých nenormovaných nízkotavitelných slitin uvádí Tab. 1.3. 16

Označení ČSN Bi50Pb25Sn12Cd 42 3992 Bi50Pb27Sn13Cd 42 3989 Bi50Pb43Cd 42 3993 Bi50Sn25Pb 42 3991 Bi50Sn16Pb 42 3990 Bi48Sn14,5Sb9Pb 42 3987 Bi55Pb30Sb5Sn 42 3995 Pb48Sn32Bi 42 3744 Bi8Sn57Pb 42 3982 Bi13Sn50Pb 42 3984 Pb78Bi16Sb 42 3741 Pb78Bi12Sb 42 3742 Pb80Sn10Bi 42 3740 - - - - Tab. 1.3 Slitiny s nízkou teplotou tavení [1][2][12] Dřívější označení Chemické složení (%) Bi Sn Pb jiné Teplota tavení ( C) Woodův kov č. 2 49 51 11,5 13,5 24 26 Cd zbytek 60 Woodův kov č. 1 49 51 12 14 26 28,3 Cd zbytek 68 Biola 3 49 51 42 44 Cd zbytek 80 Roseův kov 49 51 24 26 zbytek 92 Biola 4 49 51 15 17 zbytek 94 Biola 7 47 49 13,5 15,5 zbytek Sb 8 10 102 Biola 10 54 56 zbytek 29 31 Sb 4,5 5,5 103 Plumbia 6 zbytek 31 33 47 49 127 Stabia 1 6,5 8,5 56,5 58,5 zbytek 151 Stabia 3 12 14 49 51 zbytek 158 Plumbia 8 15 17 77 79 Sb zbytek 204 Plumbia 7 11 13 77 79 Sb zbytek 208 Plumbia 1 zbytek 9 11 79 81 215-44,7 8,3 22,6 Cd 5,3 46,7-49,4 11,6 18 58 Fieldův kov 32,5 16,5 In 51 62-57,5 17,3 In 25,2 78,8 Využití nízkotavitelných slitin v technice je velmi široké. Vyrábí se z nich tavné pojistky a bezpečnostní zátky reagující na zvýšenou teplotu. Dále jsou používány jako pájky. Nízkotavitelné slitiny se poměrně málo smršťují nebo dokonce zvětšují svůj objem při krystalizaci. Jsou tedy vhodné pro výrobu přesných modelů odléváním. Fieldovu kovu uvedenému v Tab. 1.3 na předposledním místě se detailněji věnuje podkapitola 1.2.4. [2][4] 17

Měkké pájky Měkké pájky jsou slitiny s teplotami tavení do 500 C. V elektrotechnice se nejvíce využívala pájka na bázi Pb-Sn, která vykazovala velmi dobré elektrické a mechanické vlastnosti. [2][8] Směrnice o omezení používání určitých nebezpečných složek RoHS [13] pájky s obsahem olova od 1. 7. 2006 až na určité výjimky zakázala. Zákazem užívání olova v procesu pájení se dostaly do popředí bezolovnaté pájky. Bezolovnaté pájky tvoří z velké části slitiny s minimálně 60 % cínu a zbytek je doplňován většinou drahými kovy. Převážná část bezolovnatých pájek je tudíž dražší než klasická pájka Pb-Sn. Zásadním rozdílem je bod tavení. Zatímco eutektická pájka Sn-Pb (Sn62Pb38) dosahuje tekutého stavu při teplotě 179 C, u většiny bezolovnatých pájek nastává tento stav v rozmezí teplot 195 230 C, v závislosti na jejich složení [17]. Většina z nich nedosahuje velmi dobrých mechanických vlastností pájky na bázi Pb-Sn, proto je nutné je nadále vyvíjet a podrobovat je diagnostice [18]. Kompozice Jedná se materiály pro výrobu kluzných ložisek. Kluzná ložiska jsou tvořena nosnou ocelovou nebo litinovou pánví, na které je nanesena tenká vrstvička kompozice o tloušťce 0,1 0,5 mm. Materiál kompozice se vyznačuje dostatečnou pevností v tlaku, tvrdostí, odolností proti opotřebení a dobrými kluznými vlastnostmi. [2][4] Kompozice se dají rozdělit podle složení na kompozice olověné, cínové a kadmiové [1]. 1.2.4 Fieldův kov Fieldův kov představuje eutektickou ternární slitinu s teplotou tavení 62 C [14] obsahující 51 % india, 32,5 % bizmutu a 16,5 % cínu. Fieldův kov je svou teplotou tavení velmi blízký Woodovu kovu uvedenému v Tab. 1.3 na prvním místě. Vzhledem k tomu, že tato slitina neobsahuje olovo ani kadmium, jedná se o netoxickou alternativu Woodova kovu. Tento perspektivní materiál je možné využívat pro technologie rapid prototyping 1, pro pájení nebo jako chladící médium v rychlých jaderných reaktorech [16]. V současné době je o Fieldově kovu velmi málo dostupných informací. Proto se práce v kapitole 3.2 zabývá určením potřebných materiálových vlastností pro vytvoření matematického modelu a to experimentálně nebo výpočtem. 1 skupina technologií pro rychlou výrobu dílů, které jsou plně funkční a svými mechanickými vlastnostmi se blíží finálnímu výrobku [15] 18

2 Matematický model indukční pece pro tavení kovů Než bude podrobněji popsán matematický model indukční pece, je nutné nejprve objasnit princip indukčního ohřevu. 2.1 Indukční ohřev kovových materiálů Indukční ohřev kovových materiálů patří mezi technologicky progresivní technologie, které se široce využívají v mnoha průmyslových odvětvích. Jedná se například o tavení kovů, indukční kalení, popouštění, promíchávání kovů a lisování za tepla. Hlavní výhodou indukčního ohřevu kovových materiálů je vznik požadovaného tepla přímo v ohřívaném tělese, kdy jej není nutné přenášet přes médium. Lze tak poměrně snadno řídit intenzitu ohřevu a rozložení teploty ve vsázce. Dále zde na rozdíl od ohřevu plamenem nedochází k chemickým změnám v povrchových vrstvách vsázky. Další významnou předností je absence produktů spalování, z nichž některé mohou být toxické. [19][20] Princip indukčního ohřevu kovových materiálů je znázorněn na Obr. 2.1. Indukční zařízení sestává z cívky obklopující vodivou vsázku. Průchod střídavého proudu o hustotě J a frekvenci f v induktoru vyvolá proměnné magnetické pole B, jehož indukční čáry prochází vsázkou. Ve vsázce se následně indukují proudy o hustotě j, které se zde uzavírají a generují ztráty. Vzniklý ztrátový výkon ohřívá vsázku. Volbou frekvence budícího proudu lze ovlivnit hloubku prohřátí. S rostoucí frekvencí budícího proudu dochází k prohřátí tenčích a tenčích povrchových vrstev. Jedná se o hloubku vniku δ, která je dána vztahem, (2.1) kde f,, γ jsou po řadě frekvence, permeabilita a elektrická vodivost. [19][21] Obr. 2.1 Schématické znázornění indukčního ohřevu (překresleno z [19]) 19

2.2 Matematický model indukčního ohřevu Z matematického hlediska je indukční ohřev tuhých materiálů popsán dvěma obecně nelineárními parciálními diferenciálními rovnicemi. První z nich popisuje rozložení magnetického pole, druhá pak rozložení pole teplotního. Pokud dojde k roztavení ohřívaného materiálu, je nutné respektovat i pohyb taveniny vyvolaný Lorentzovými a vztlakovými silami. Řešení vzniklé soustavy rovnic je značně složité obzvláště proto, že její koeficienty dané materiálovými vlastnostmi jsou závislé na teplotě. [19][22] Dále se tato práce zaměří pouze na základní matematický model indukčního ohřevu zanedbávající pohyb taveniny. Vznikne tedy matematický model zahrnující výpočet magnetického a teplotního pole, která jsou navzájem sdružena. 2.2.1 Model magnetického pole Matematický model magnetického pole vychází z první Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru (B.1). Při uvažování kvazistacionárního pole je posuvný (Maxwellův) proud vůči proudu vodivému zanedbatelný a rovnici lze pak zapsat ve tvaru, (2.2) kde H je intenzita magnetického pole a J proudová hustota. Se znalostí materiálových vztahů (B.6), (B.7) a magnetického vektorového potenciálu A (B.8), lze rovnici (2.2) přepsat do tvaru, (2.3) kde, E a E v jsou po řadě permeabilita, intenzita elektrického pole a intenzita vtištěných sil. Magnetické pole je výhodné řešit pomocí potenciálů, proto je vhodné zavést skalární elektrický potenciál φ. Dosadíme-li magnetický vektorový potenciál A (B.9) do druhé Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru (B.2), dostaneme vztah, čili. (2.4) Jelikož má výraz v závorce uvedený v rovnici (2.4) nulovou rotaci, lze ho vyjádřit jako gradient skalárního elektrického potenciálu φ., čili. (2.5) Dosazením elektrické intenzity E (2.5) do rovnice (2.3) získáme výslednou parciální 20

diferenciální rovnici popisující rozložení magnetického pole ve tvaru, (2.6) kde J v udává hustotu vnějších proudů. Pro zjednodušení lze předpokládat, že indukční ohřev neobsahuje volné náboje. Tudíž z rovnice (2.6) vypadne poslední její člen a po úpravě bude mít tvar. (2.7) Odvozená rovnice (2.6) popisuje rozložení magnetického pole indukčního ohřevu. Její druhý člen na levé straně udává hustoty indukovaných vířivých proudů. Člen na pravé straně vyjadřuje hustotu budících proudů. Velikost měrných Jouleových ztrát se určí ze vztahu. [24][25] (2.8) 2.2.2 Model teplotního pole Model teplotního pole indukční pece je popsán nestacionární (Fourier-Kirchhoffovou) parciální diferenciální rovnicí vedení tepla. Tato rovnice vychází z prvního termodynamického zákona. Celkovou energetickou bilanci systému lze definovat rovnicí, (2.9) kde q je tepelný tok přes hranice tělesa, změna vnitřní energie tělesa a konečně p měrný výkon generovaný vnějšími vlivy. Těmito vlivy mohou být například Jouleovy ztráty p j. Dále lze tepelný tok vedením q vyjádřit ve tvaru, (2.10) kde T je termodynamická teplota. Změnu vnitřní energie tělesa lze zapsat ve tvaru, (2.11) kde ρ a c je po řadě hustota materiálu a tepelná kapacita. Dosazením vztahů (2.10) a (2.11) do rovnice celkové energetické bilance (2.9) a aplikací Gauss-Ostrogradského věty získáme nestacionární (Fourier-Kirchhoffovu) parciální diferenciální rovnici vedení tepla. [26] [27] (2.12) 21

3 Konkrétní uspořádání modelu indukční pece V této kapitole je uvedený obecný matematický model magnetického a teplotního pole indukčního ohřevu. Dále práce popisuje parametry materiálů, které budou posléze použity v modelu konkrétního uspořádání indukční pece pro tavení Fieldova kovu. Na závěr této kapitoly je uveden stručný popis aplikace Agros2D využité pro numerické řešení magnetického a teplotního pole. 3.1 Matematický model indukční pece Problém indukčního ohřevu představuje slabě sdruženou úlohu, ve které vzájemně působí magnetické a teplotní pole. Vsázka se ohřeje až za určitou dobu poté, co jí začaly protékat indukované vířivé proudy. Takovou úlohu lze pak řešit postupnými kroky. Nejdříve dojde k výpočtu magnetického pole a z výsledků se posléze určí oteplení vsázky. Toto oteplení způsobí změnu konstant prostředí, se kterými se dále řeší nové magnetické pole a následně se z něj určí nová teplota. Takto popsaný proces probíhá do té doby, než výsledky s dostatečnou přesností zkonvergují. [23] Model indukčního ohřevu dále představuje osově symetrický problém. Rozložení magnetického a teplotního pole bylo řešeno jako 2D úloha. 3.1.1 Model magnetického pole indukční pece Definiční oblast modelu magnetického pole (Obr. 3.1) sestává z oblasti induktoru Ω 1, vsázky Ω 2, kelímku Ω 3 a okolního vzduchu ohraničeného fiktivní hranicí Γ 1. Tato hranice není na Obr. 3.1 znázorněna. Hranice Γ 2 pak představuje osu symetrie modelu. Ω 3 Γ 2 Ω 2 Ω 1 z r Obr. 3.1 Definiční oblast modelu magnetického pole 22

Model magnetického pole indukčního ohřevu popisuje rovnice (3.1), která byla uvedena v kapitole 2.2.1:. (3.1) Pro indukční ohřev je charakteristické harmonicky proměnné magnetické pole. Se znalostí symbolicko-komplexní metody lze rovnici (3.1) dále přepsat do tvaru, (3.2) kde a jsou po řadě fázor vektorového magnetického potenciálu a fázor hustoty vnějších proudů. Pro ilustraci lze tuto rovnici rozepsat pro jednotlivé části indukční pece. Oblast induktoru Ω 1 nezahrnuje složku vířivých proudů a rovnice se tak zredukuje na tvar. Ve vsázce Ω 2 se nevyskytují budící proudy a rovnice je tedy dána vztahem. V oblasti okolního vzduchu nejsou přítomny vířivé a budící proudy a relativní permeabilita je rovna jedné. Pro tuto oblast pak platí rovnice ve tvaru. Dále je nezbytné zavést umělou hranici Γ 1 vymezující oblast magnetického pole. Druhou hranici modelu představuje osa symetrie Γ 2. Vzniklým hranicím Γ 1 a Γ 2 je nutné předepsat okrajové podmínky. Hodnoty vektorového potenciálu A jsou na těchto hranicích konstantní, neboť jsou totožné se siločárami. Za předpokladu dostatečné vzdálenosti umělé hranice Γ 1 od magnetického obvodu bude vektorový potenciál na této hranici nulový. Na ose symetrie Γ 2 bude rovněž hodnota vektorového potenciálu nulová. Jedná se o Dirichletovy okrajové podmínky, kdy je předepsána hodnota hledané veličiny na hranici. 23

3.1.2 Model teplotního pole indukční pece Definiční oblast modelu teplotního pole (Obr. 3.2) tvoří pouze oblast vsázky Ω 1 a oblast kelímku Ω 2. Γ 1, Γ 2 a Γ 3 představují hranice modelu. Ω 2 Γ 3 Γ 1 Γ 2 Ω 1 z r Obr. 3.2 Definiční oblast modelu teplotního pole Model teplotního pole indukční pece je popsán nestacionární (Fourier-Kirchhoffovou) parciální diferenciální rovnicí vedení tepla (3.3), která byla uvedena v kapitole 2.2.2:. (3.3) Hranicím definiční oblasti Γ 1, Γ 2 a ose symetrie Γ 3 je opět zapotřebí předepsat okrajové podmínky. Na ose symetrie Γ 3 je nulový tepelný tok přes hranici, lze zde tedy zavést Neumannovu okrajovou podmínku. Na hranicích Γ 1 a Γ 2 je nutné respektovat přestup tepla konvekcí (prouděním) a radiací (sáláním). Na těchto hranicích pak platí rovnice ve tvaru, (3.4) kde α, ε, σ, T a T 0 jsou po řadě koeficient přestupu tepla, emisivita povrchu, Stefan- Boltzmannova konstanta (5,67 10-8 W m -2 K -4 ), teplota vsázky resp. kelímku a teplota okolního prostředí. Vzhledem k nízké teplotě vsázky a kelímku je možné přestup tepla sáláním (poslední člen rovnice (3.4)) zanedbat. 24

3.2 Materiálové vlastnosti Fieldova kovu V současné době je o Fieldově kovu kromě jeho teploty tavení (62 C) velmi málo dostupných informací. V Tab. 3.1 jsou uvedeny materiálové vlastnosti použité při řešení modelu magnetického pole. Elektrická vodivost kovu byla získána z převrácené hodnoty elektrické rezistivity 0,52 Ω m -1 [28]. Relativní permeabilita byla stanovena ze znalosti jednotlivých složek Fiedova kovu na hodnotu 1. Hodnoty jednotlivých veličin izolace kelímku použité v modelu magnetického a teplotního pole představují průměrné hodnoty běžných izolací. Tab. 3.1 Materiálové vlastnosti magnetické pole Materiál Materiálová vlastnost Hodnota relativní permeabilita µ r 1 Fieldův kov elektrická vodivost γ 1,923 10 6 S m -1 izolace kelímku relativní permeabilita µ r 1 měď relativní permeabilita µ r 1 Tab. 3.3 uvádí materiálové vlastnosti použité v modelu teplotního pole. Tepelná vodivost Fieldova kovu byla určena podle Wiedemann-Franzova-Lorenzova zákona [31], který uvádí přímou závislost mezi teplenou a elektrickou vodivostí kovových materiálů, (3.5) kde λ, γ, L, T jsou po řadě tepelná vodivost, elektrická vodivost, Lorentzova konstanta 2,45 10-8 a teplota. Pro 20 C byla dle výše uvedeného vztahu vypočtena hodnota tepelné vodivosti Fieldova kovu λ = 13,8 W m -1 K -1. Hustota kovu 7991,65 kg m -3 byla stanovena ze změřené hmotnosti a objemu pro pokojovou teplotu. Měrná tepelná kapacita byla určena ze známých hodnot měrných tepelných kapacit pro 20 C a hmotnostního podílu jednotlivých složek Fieldova kovu dle Neumannova-Koppova empirického pravidla [33]. (3.6) Tab. 3.2 Měrná tepelná kapacita a hmotnostní podíl složek Fieldova kovu [28] Indium Bizmut Cín w (-) 0,510 0,325 0,165 c (J kg -1 K -1 ) 233 122 256 Po dosazení hodnot jednotlivých složek kovů uvedených v Tab. 3.2 do rovnice (3.6) vychází měrná tepelná kapacita Fieldova kovu c = 200,72 J kg -1 K -1. 25

Tab. 3.3 Materiálové vlastnosti teplotní pole Materiál Materiálová vlastnost Hodnota tepelná vodivost λ -1 13,80 W m -1 K Fieldův kov hustota ρ 7991,65 kg m -3-1 měrná tepelná kapacita c 200,72 J kg -1 K tepelná vodivost λ -1 0,10 W m -1 K izolace kelímku hustota ρ 950 kg m -3 měrná tepelná kapacita c -1 850 J kg -1 K Výše popsané materiálové vlastnosti Fieldova kovu a izolace kelímku jsou teplotně závislé. V matematickém modelu byla v první fázi tato teplotní závislost zanedbána a problém se řešil jako lineární úloha s konstantními hodnotami materiálových parametrů pro 20 C. Podrobněji se stanovením materiálových vlastností Fieldova kovu zabývá diplomová práce Kateřiny Mizerové 2 [32, kap. 3.1]. 3.3 Konkrétní uspořádání modelu indukční pece a jeho optimalizace V této podkapitole jsou popsány přesné rozměry jednotlivých komponent indukční pece. Nejprve se práce zabývá návrhem induktoru důležitým pro ekonomicky efektivní indukční ohřev (viz DP Mizerová [32, kap. 2.1]). Návrh parametrů cívky byl proveden porovnáním výkonu (3.7), který je nutný vyvinout k ohřátí Filedova kovu z teploty T 1 na teplotu tavení T 2 za daný čas, s Jouleovými ztrátami, které ve vsázce vzniknou. Potřebný výkon indukční pece je dán vztahem, (3.7) kde m, c, T 1, T 2 a t je po řadě hmotnost, měrná tepelná kapacita, počáteční teplota kovu, teplota tavení a čas. Z odhadnutého času potřebného k dosažení teploty tavení vsázky a známých hodnot uvedených v Tab. 3.4 byl vypočten výkon o velikosti 15,16 W. Tab. 3.4 Potřebné hodnoty pro výpočet výkonu Název veličiny Hodnota hmotnost m 0,34 kg -1 měrná tepelná kapacita c 200,72 J kg -1 K počáteční teplota T 1 20 C teplota tavení T 2 60 C čas t 180 s 2 dále jen DP Mizerová 26

Pj (W) 16 15 21 Numerický model indukční pece pro tavení nízkoteplotních kovů Jana Kuthanová 2014 Velikost Jouleových ztrát ve vsázce se následně zjišťovala z modelu magnetického pole řešeného v aplikaci Agros2D. Přesné rozměry modelu indukční pece jsou znázorněny na Obr. 3.3. Velikost cívky byla stanovena na 12 x 21 mm. Vnitřní průměr cívky byl dán známým rozměrem silikonového kelímku a vzduchovou mezerou mezi ním a cívkou. 30 12 31 32 Obr. 3.3 Rozměry modelu indukční pece V modelu magnetického pole bylo dále nutné určit velikost frekvence závisející na magnetických vlastnostech ohřívaného materiálu. Vzhledem k nemagnetické vsázce je zapotřebí vyšší hodnoty frekvence k dosažení potřebných ztrát. Velikost frekvence byla omezena rozsahem zakoupeného napájecího frekvenčního měniče Commander SK. Optimalizace cívky byla navrhována pro jeho maximální frekvenci 1500 Hz. Následně bylo zapotřebí vybrat vhodný průměr měděného drátu pro navinutí cívky. Při stanovené frekvenci 1500 Hz je plně využit měděný vodič o průměru 1,5 mm (hloubka vniku měděného drátu δ je při frekvenci 1500 Hz rovna 1,7 mm). Ze známé plochy cívky a průměru vodiče byl zjištěn počet závitů cívky z = 112. Při pevně stanovených parametrech cívky a velikosti frekvence se pomocí programu Agros2D hledala vhodná velikost proudové hustoty cívky tak, aby bylo dosaženo potřebné hodnoty ztrát ve vsázce (15,16 W). Závislost Jouleových ztrát na proudové hustotě je uvedena na Obr. 3.4. 40 30 20 10 0 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 J (A m -2 ) x 10 6 Obr. 3.4 Závislost Jouleových ztrát ve vsázce na proudové hustotě při frekvenci 1500 Hz 27

16 15 21 35 38 52 Numerický model indukční pece pro tavení nízkoteplotních kovů Jana Kuthanová 2014 K dosažení vypočteného výkonu indukční pece (15,16 W) je pak potřebná hodnota proudové hustoty cívky ~ 2 10 6 A m -2 při frekvenci 1500 Hz. Ze vztahu pro proudovou hustotu induktoru byla získána minimální hodnota potřebného proudu o velikosti 4,5 A. Vzhledem k maximální proudové zatížitelnosti vybraného měděného drátu (6,5 A) byla hodnota proudu stanovena na 5 A, což odpovídá proudové hustotě 2,22 10 6 A m -2 a Jouleovým ztrátám ve vsázce o velikosti 17,55 W. Podle navrženého modelu bylo sestaveno experimentální zařízení. Za necelé 3 minuty došlo k roztavení vsázky. Ovšem vzhledem k velmi malé vzduchové mezeře mezi cívkou a kelímkem (1mm), byl odvod tepla z mezery nedostatečný a došlo k porušení izolace cívky. Tento problém byl vyřešen zvýšenou izolací kelímku, větší vzduchovou mezerou mezi kelímkem a induktorem a chlazením cívky pomocí ventilátoru. Popis konstrukce dodatečné izolace kelímku je blíže uveden v DP Mizerová [32, kap. 3.2]. Jednotlivé druhy použitých izolací kelímku jsou znázorněny v Obr. 3.5. Vzhledem k větší vzdálenosti cívky od vsázky (2,5 mm) musely být její rozměry dostatečně zvětšeny (15 x 21 mm), aby bylo dosaženo potřebných Jouleových ztrát ve vsázce. Rozměry optimalizované cívky odpovídají 210 závitům, Jouleovým ztrátám 45,5 W a proudové hustotě 3,33 10 6 A m -2 při velikosti proudu 5 A. Přesné rozměry optimalizované indukční pece jsou patrné z Obr. 3.5. 31 30 ohebná papírová izolační deska izolační keramická páska silikonová pečící forma 15 32,5 34 36,5 izolační deska Obr. 3.5 Rozměry optimalizovaného modelu indukční pece 28

3.4 Popis použité aplikace pro numerické řešení matematického modelu Numerické řešení matematického modelu bylo provedeno v aplikaci Agros2D 3 vyvíjené na Katedře teoretické elektrotechniky FEL ZČU v Plzni. Tato aplikace slouží k řešení fyzikálních polí v kartézském nebo osově symetrickém uspořádání. Agros2D sestává z preprocesoru, procesoru a postprocesoru. Preprocesor slouží k tvorbě geometrie, definici materiálových parametrů a okrajových podmínek. Procesor představuje výpočetní část aplikace využívající knihovny Hermes2D založené na metodě konečných prvků vyššího řádu přesnosti, tzv. hp-verzi MKP. Podstatou MKP je náhrada neohraničené úlohy ohraničenou, která je diskretizována konečným počtem elementů. Aplikace tedy vytvoří síť konečných prvků. MKP patří mezi přibližné metody. K numerickému řešení matematického modelu byla využita metoda konečných prvků vyššího řádu přesnosti, která oproti klasické (lineární) MKP vede k vyšší přesnosti výpočtu. Při řešení matematického modelu se manuálně měnilo zjemnění sítě h a řád polynomu na elementu p a zkoumaly se dosažené výsledky. Pokud se výsledky již velmi neliší, lze považovat navrženou síť za vyhovující. Tento postup opakovaného výpočtu může být také automatizován, pak jde o tzv. adaptivní algoritmy, které aplikace Agros2D taktéž nabízí. Jedná se o hp-adaptivitu, která zajistí automatické zjemnění sítě a řádu polynomu na elementu podle potřeby. Postprocesor slouží k analýze a vizualizaci vypočtených dat. Rozložení získaných veličin lze zobrazit ve formě skalárních barevných map a vektorů. Dále umožňuje z vypočtených dat zpracovat povrchové a objemové integrální veličiny a další odvození veličiny. Tyto lokální veličiny lze dále zobrazit ve formě grafu v závislosti na souřadnicích nebo u přechodového děje v závislosti na čase. [29][30] 3 http://www.agros2d.org/ 29

4 Srovnání vypočtených dat s experimentem Podle navrženého optimalizovaného modelu se zhotovilo finální experimentální zařízení (Obr. 4.1 a Obr. 4.2). Byla navinuta cívka o 210 závitech, avšak s ohledem na ruční navíjení se její rozměry oproti navrženému modelu zvětšily na 25 x 31 mm. Numerický model byl proto následně upraven na reálné rozměry cívky, což změnilo hodnotu proudové hustoty na 1,35 10 6 A m -2 a Jouleových ztrát na 30,84 W. Takto upravený model se používal k různým výpočtům v aplikaci Agros2D a získaná data se následně srovnávala s daty změřenými na sestaveném experimentálním zařízení. Obr. 4.1 Schéma experimentálního zařízení pro indukční ohřev Fieldova kovu Obr. 4.2 Fotografie experimentálního zařízení pro indukční ohřev Fieldova kovu 30

Při numerickém řešení matematického modelu v aplikaci Agors2D bylo využito možnosti ručního nastavení zjemnění sítě h a řádu polynomu na elementu p. Tab. 4.1 udává pro stanovené hodnoty h a p výsledky vypočtené hodnoty Jouleových ztrát P j, celkové magnetické energie W m, počet stupňů volnosti DOFs 4 a délku trvání výpočtu modelu magnetického pole na daném počítači. Čas výpočtu programu se může pro jiné počítače lišit. Z tabulky je pro h-p 1-2 patrná konvergence hodnot magnetické energie a Jouleových ztrát. Hodnoty h-p 0-1, 0-2 a 1-1 jsou pro řešení modelu magnetického pole nedostatečné, neboť vedou ke zkresleným výsledkům. Ze zbývajících hodnot h-p (1-2, 1-3, 2-3) je z hlediska rychlosti výpočtu výhodné použít pro řešení modelu magnetického pole h-p 1-2. Tab. 4.1 Konvergence výsledků model magnetického pole h-p P j (W) W m (J) DOFs t (s) 0-1 30,20 0,02180 976 0,76 1-1 30,64 0,02208 3940 1,12 0-2 30,83 0,02243 3940 0,86 1-2 30,84 0,02244 15880 1,90 1-3 30,85 0,02244 35836 4,73 2-3 30,85 0,02244 143800 31,82 Tab. 4.2 Konvergence výsledů model teplotního pole h-p T p30s (K) T p75s (K) DOFs t (s) 0-1 308,18 324,68 298 25,25 1-1 308,18 324,92 1107 26,34 0-2 308,18 324,92 1107 34,35 1-2 308,18 324,92 4261 40,95 1-3 308,18 324,92 9463 90,58 2-3 308,18 324,92 37357 341,8 Stejným způsobem byla určena velikost zjemnění sítě a řádu polynomu pro model teplotního pole. V tomto případě se zkoumal počet stupňů volnosti, hodnoty průměrné teploty vsázky v čase 30 s a 75 s a také délku trvání výpočtu modelu teplotního pole. Z výsledků uvedených v Tab. 4.2 vyplývá, že pro model teplotního pole dostačují hodnoty h-p 1-1. Jelikož rozložení teplotního pole indukčního ohřevu je časově proměnné, je nutné řešit tento problém jako přechodný děj. U takových úloh je zapotřebí nastavit dostatečný počet kroků tak, aby nebyla ovlivněna kvalita výsledků a zároveň výpočet byl co nejrychlejší. Pro přesný a rychlý výpočet postačí 5 kroků (Tab. 4.3). Tab. 4.3 Konvergence v závislosti na délce časového kroku Počet kroků Délka kroku (s) T p30s (K) T p75s (K) t (s) 75 1 308,18 324,923 25,92 15 5 308,18 324,923 7,35 10 7,5 308,18 324,923 5,87 5 15 308,18 324,923 4,30 2 37,5 nelze 324,451 3,50 4 Degrees of freedom, vyšší počet stupňů volnosti zvyšuje náročnost výpočtu a tím snižuje jeho rychlost 31

4.1 Výpočet magnetického pole V aplikaci Agros2D se nejprve počítalo rozložení magnetické indukce uvnitř prázdné cívky při průchodu střídavého proudu 5 A a nastavené frekvenci 1500 Hz (Obr. 4.3). Body, v nichž byla měřena magnetická indukce I II III I II Obr. 4.3 Rozložení indukce magnetického pole bez vsázky, se vsázkou a se stíněním Dále se provedlo srovnání vypočtených dat se změřenými hodnotami na experimentálním zařízení. Měření se provádělo pomocí zhotovené aparatury obsahující malou měřící cívku, která se vkládala do magnetického pole měřené cívky. Průchodem střídavého proudu měřenou cívkou se vytváří proměnný magnetický tok a dle Faradayova zákona o elektromagnetické indukci se do malé cívky indukuje napětí. Indukované napětí je dáno vztahem, kde Φ, N, t je po řadě magnetický indukční tok plochou cívky, počet závitů a čas. Ze získaného indukovaného napětí byla následně vypočtena velikost magnetické indukce. Měřící aparatura a přesný postup měření je podrobně popsán v DP Mizerová [32, kap. 4.1]. Obr. 4.4 znázorňuje rozložení vypočtené magnetické indukce a změřené hodnoty ve třech bodech uvnitř cívky. Z grafu je patrná velmi dobrá shoda vypočtených dat se změřenými, což potvrzuje správnost návrhu numerického modelu magnetického pole. Dále je zřejmá zvyšující se velikost indukce magnetického pole induktoru směrem od jeho středu. Vzhledem k tomu, že délka cívky je podstatně menší než její průměr, vzniká uvnitř induktoru nehomogenní magnetické pole. Toto pole má pak nejvyšší intenzitu na povrchu cívky a směrem k jejímu středu se snižuje. S klesající intenzitou magnetického pole pak klesá i indukce. 32

B (T) B (T) Numerický model indukční pece pro tavení nízkoteplotních kovů Jana Kuthanová 2014 0.016 výpočet měření 0.014 III 0.012 II I 0.01 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 r (m) Obr. 4.4 Porovnání výpočtu a výsledků měření magnetické indukce uvnitř prázdné cívky Dále se řešilo rozložení magnetické indukce uvnitř cívky, do které byla vložena vsázka (Obr. 4.3). Výsledky spočtených a změřených hodnot uvnitř induktoru s vloženou vsázkou jsou zobrazeny na Obr. 4.5. Hodnoty magnetické indukce uvnitř induktoru se vsázkou jsou oproti prázdné cívce nižší. To je způsobeno indukovanými vířivými proudy ve vsázce, které vytváří magnetické pole působící proti poli cívky (Lenzovo pravidlo). Superpozicí pole induktoru a pole vytvořeného vířivými proudy dojde ke snížení magnetické intenzity respektive indukce uvnitř cívky se vsázkou. 0.014 výpočet 0.012 měření 0.01 0.008 II I 0.006 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 r (m) Obr. 4.5 Porovnání výpočtu a výsledků měření indukce magnetického pole cívky s vloženou vsázkou Vzhledem k uzavírání rozptylového magnetického toku i vně cívky bylo dále v této oblasti vypočteno a změřeno rozložení magnetického pole. Nařízení vlády o ochraně zdraví před neionizujícím zářením č.1/2008 sbírky uvádí limitní hodnoty magnetické indukce pro nepřetržitou expozici osoby v elektromagnetickém poli. Pro frekvenci 1500 Hz stanovuje mezní hodnotu indukce na 6,25 10-6 T, na kterou vypočtené hodnoty klesnou až ve vzdálenosti 48 cm od cívky. Z tohoto důvodu bylo v numerickém modelu zahrnuto stínění sloužící k omezení účinků magnetického pole. Konstrukčním návrhem stínícího pláště se detailně zabývá DP Mizerová [32, kap. 4.1]. Z hlediska co nejmenších ztrát stínícího pláště se tloušťka plechu volí dle vztahu, kde δ je hloubka vniku [34]. Vnitřní poloměr válcového stínícího pláště je stanoven na dvojnásobek vnitřního poloměru cívky [34]. 33

B (T) B (T) Numerický model indukční pece pro tavení nízkoteplotních kovů Jana Kuthanová 2014 Na základě provedených výpočtů byl pro účely stínění vybrán dobře vodivý hliníkový plech o tloušťce 4 mm a vnitřním průměru 14,6 mm. Stínění je založeno na principu elektromagnetické indukce a Lenzova zákona. Pole naindukované do vodivého pláště působí proti poli vyvolanému cívkou. Provedením superpozice těchto polí pak dojde ke snížení magnetické intenzity respektive indukce vně stínícího pláště, avšak i uvnitř induktoru. Následkem jsou pak nižší Jouleovy ztráty ve vsázce. Těmto teoretickým předpokladům odpovídají spočítané hodnoty magnetické indukce vně (Obr. 4.7) i uvnitř induktoru se vsázkou (Obr. 4.6) a to jak se stíněním tak bez něj. Vypočítané hodnoty magnetické indukce vně cívky bez stínícího pláště byly ověřeny měřením. Limitní hodnota 6,25 10-6 T určená vyhláškou byla při využití stínění dosažena již ve vzdálenosti 7,6 cm od cívky, avšak hodnota Jouleových ztrát vsázky indukční pece klesla o 44 %. Při následných měřeních na experimentálním zařízení nebylo stínění indukční pece uvažováno, do budoucna je ale z hlediska hygienických limitů vhodné jej doplnit. 0.02 0.018 0.016 výpočet - se stíněním výpočet - bez stínění 7 x 10-3 6 5 výpočet - bez stínění výpočet - se stíněním měření - bez stínění 0.014 0.012 0.01 4 3 0.008 2 0.006 1 0.004 0 0.01 0.02 0.03 r (m) Obr. 4.6 Rozložení indukce magnetického pole s a bez úvahy stínění ve vsázce 0 0 0.2 0.4 0.6 r (m) Obr. 4.7 Rozložení indukce magnetického pole s a bez úvahy stínění vně induktoru 34

4.2 Výpočet teplotního pole Materiálové parametry používané při numerickém řešení matematického modelu jsou teplotně závislé. Při indukčním ohřevu Fieldova kovu na jeho teplotu tavení (62 C) je teplotní závislost parametrů vzhledem k malému teplotnímu rozdílu v matematickém modelu zanedbána. Ovšem při fázovém přechodu (změně skupenství tavení) nastává skoková změna materiálových veličin, kterou již v modelu zanedbat nelze. Vzhledem k tomuto problému se model teplotního pole počítal pouze do dosažení teploty tavení a následně se porovnával se změřenými hodnotami. Měření teploty se provádělo kontaktně pomocí teplotního senzoru. Podrobněji se touto problematikou zabývá DP Mizerová [32, kap. 4.2]. Výpočet i měření průběhů teplot se provádělo ve čtyřech různých bodech (poloha I, poloha II, poloha III a poloha IV) znázorněných na Obr. 4.8. poloha IV poloha III poloha II poloha I Obr. 4.8 Body, v nichž se měřila a počítala teplota Na Obr. 4.9 jsou znázorněny výsledky závislosti teplot v čase získané z modelu a porovnány se změřenými daty ve čtyřech různých bodech. Pro přehlednost udává Obr. 4.10 průběhy teplot pouze do 75 s, tj. do času, do kterého byl matematický model řešen. Obr. 4.11 pak udává odchylky změřených průběhů teplot od vypočtených. Z obrázků je patrný soulad vypočtených hodnot se změřenými téměř do 30 s, kdy rozdíl mezi získanými daty tvoří nanejvýš 1,5 C. Od této doby se výpočtem získaná data znatelně rozcházejí se změřenými až o 4 C. Toto odchýlení je způsobeno jak chybami řešení modelu, které byly způsobeny především neznalostí závislostí materiálových vlastností Fieldova kovu a izolace na teplotě a také koeficientu přestupu tepla do okolí, tak i chybami měření, z nichž největší dopad na výsledky mělo zřejmě malé množství kovu, které bylo v peci taveno a rovněž komplikovanost měření. 35

T ( C) Numerický model indukční pece pro tavení nízkoteplotních kovů Jana Kuthanová 2014 Změřený teplotní průběh (Obr. 4.9) lze rozdělit do tří úseků. Do cca 100 s dochází k ohřevu Fieldova kovu z pokojové teploty na teplotu tavení, v další části přechází kov při téměř konstantní teplotě z pevné do kapalné fáze (tavení) a po roztavení celé vsázky se teplota již kapalného kovu opět zvyšuje. Dále je z Obr. 4.9 a Obr. 4.10 patrné zpomalování nárůstu teploty Fieldova kovu od středu (poloha I) směrem ke krajům vsázky (poloha IV). Proudová hustota indukovaných vířivých proudů je totiž na povrchu vsázky největší a směrem k jejímu středu klesá přibližně exponenciálně (tzv. povrchový jev 5 ). Vířivé proudy pak generují Jouleovy ztráty, které ohřívají vsázku. Hloubka prohřátí (vniku) Fieldova kovu je při frekvenci 1500 Hz rovna 9,37 mm. Nejprve dojde tedy k ohřátí tenké vrstvy na povrchu vsázky (9,37 mm) a zbytek Fieldova kovu se dále ohřeje přenosem tepla z této části. Proto se tempo růstu teploty směrem od krajů vsázky zpomaluje. Rychlost ohřevu dále ovlivňuje hodnotu teploty tavení, což je patrné z Obr. 4.9. Rychlejší nárůst teploty způsobuje zvýšení teploty fázového přechodu. Podrobněji se této problematice věnuje DP Mizerová [32, kap. 4.2]. 100 90 80 70 60 měření - poloha I výpočet - poloha I měření - poloha II výpočet - poloha II měření - poloha III výpočet - poloha III měření - poloha IV výpočet - poloha IV 50 40 30 20 0 50 100 150 200 250 300 t (s) Obr. 4.9 Vypočtené a změřené průběhy teplot pro čtyři různé polohy 5 a hloubka vniku, kde J r, J 0, r a δ jsou po řadě proudová hustota na povrchu vsázky, proudová hustota v místě r 36

T ( C) T ( C) Numerický model indukční pece pro tavení nízkoteplotních kovů Jana Kuthanová 2014 55 50 45 40 35 30 25 měření - poloha I výpočet - poloha I měření - poloha II výpočet - poloha II měření - poloha III výpočet - poloha III měření - poloha IV výpočet - poloha IV 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 t (s) Obr. 4.10 Vypočtené a změřené průběhy teplot pro čtyři různé polohy do času 75 s 6 4 2 odchylka - poloha I odchylka - poloha II odchylka - poloha III odchylka - poloha IV 0-2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 t (s) Obr. 4.11 Odchylky změřených hodnot od vypočtených pro čtyři různé polohy Pro redukci neshod mezi vypočtenými a změřenými daty byla provedena citlivostní studie zkoumající vliv změn jednotlivých materiálových vlastností o ± 10 % na vypočtený průběh teploty. Na Obr. 4.12 jsou znázorněny výsledky závislosti teplot na čase při změně stanovené měrné tepelné kapacity (200,72 J kg -1 K -1 ) o ± 10 % (220,79 J kg -1 K -1 a 180,65 J kg -1 K -1 ). Obr. 4.13 pak udává odchylky teploty za použití změněných hodnot měrné tepelné kapacity oproti výpočtu s tou původní. 37

T ( C) T ( C) Numerický model indukční pece pro tavení nízkoteplotních kovů Jana Kuthanová 2014 60 50 40 180,65 J.kg -1.K -1 200,72 J.kg -1.K -1 220,79 J.kg -1.K -1 30 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 t (s) Obr. 4.12 Vliv změny měrné tepelné kapacity o ± 10 % na průběh teploty 4 2 0-2 -4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 t (s) Obr. 4.13 Odchylky teploty při použití měrných tepelných kapacit 180,65 J kg -1 K -1 a 220,79 J kg -1 K -1. Referenční výpočet s hodnotou 200,72 J kg -1 K -1. Takto se zkoumal vliv na průběh teploty i pro ostatní materiálové vlastnosti Fieldova kovu a izolace. Z výsledků citlivostní studie (Tab. 4.4) je zřejmý největší dopad měrné tepelné kapacity a hustoty Fieldova kovu ( C) na průběh teploty. Naopak změny ostatních materiálových parametrů o ± 10 % ovlivňuji výsledek jen nepatrně. Dále se práce tedy zaměřila na hledání závislosti hustoty a měrné teplené kapacity Fieldova kovu na teplotě. Tab. 4.4 Citlivostní analýza materiálových vlastností na průběh teploty, odchylky výsledné teploty jsou získány změnou příslušného materiálového parametru vždy o ± 10 % Materiál Fieldův kov izolace Materiálový parametr Odchylka ( C) tepelná vodivost hustota měrná tep. kapacita elektrická vodivost tepelná vodivost hustota měrná tep. kapacita Hustota kovu byla následně zjištěna pro teplotu 45,3 C a to ze změřeného objemu a hmotnosti (viz DP Mizerová [32, kap. 3.1]). Při této teplotě došlo k nepatrnému zvýšení objemu kovu, což způsobilo pokles jeho hustoty na hodnotu 7972,51 kg m -3, tedy o 1 %. Pro vyšší hodnoty teplot se hustota Fieldova kovu vzhledem k jeho nízké teplotě tavení neměřila. 38

c (J.kg -1.K -1 ) T ( C) Numerický model indukční pece pro tavení nízkoteplotních kovů Jana Kuthanová 2014 Na základě zkušeností lze konstatovat, že hustota kovu se do dosažení teploty tavení změní jen nepatrně. Proto se dále model spočítal nelineárně s charakteristikou hustoty určenou dvěma známými body pro 23 C a 45,3 C a zkoumal se její vliv na průběh teploty. 0.2 0-0.2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 t (s) Obr. 4.14 Chybová odchylka průběhu teploty s nelineární charakteristikou hustoty oproti průběhu s konstantní hustotou Fieldova kovu Z vypočtených výsledků (Obr. 4.14) je zřejmý zanedbatelný dopad tepelné závislosti hustoty Fieldova kovu (± 0,26 C) na průběh teploty. Z provedených studií citlivosti tedy vyplývá majoritní vliv pouze tepelné závislosti měrné teplené kapacity na výsledek a tak se práce dále zaměřila výhradně na určení této závislosti pomocí ruční parametrické optimalizace. Nelineární charakteristika měrné tepelné kapacity byla určena pouze jedním pevným -1 bodem (500 J kg -1 K pro 50 C) změřeným pomocí kalorimetru (viz DP Mizerová [32, kap. 3.1]). Ostatní body charakteristiky se ručně měnily tak, aby bylo dosaženo co nejlepšího souladu vypočtených průběhů teplot se změřenými. Výsledek ruční optimalizace závislosti měrné tepelné kapacity na teplotě je znázorněn na Obr. 4.15. Pro dosažení co nejvyšší shody bylo nutné tento pevný bod nepatrně posunout (z teploty 50 C na 53 C), ale i tak je patrná velmi dobrá shoda výpočtu s měřením. Dále je zřejmý rozchod měrné tepelné kapacity spočítané z Neumann-Koppova empirického pravidla pro pokojovou teplotu (200,67 J kg -1 K -1 ) s nelineární charakteristikou (165 J kg -1 K -1 ). Toto pravidlo dále nelze využít pro výpočet tepelné závislosti měrné teplené kapacity, jelikož Fieldův kov tvoří eutektikum, které má mnohem nižší teplotu tavení než jeho složky, a tak by se teplotní závislost měrné tepelné kapacity při vyšších teplotách ještě neprojevila. 1800 1500 1200 900 600 300 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 T ( C) Obr. 4.15 Výsledek parametrické optimalizace závislosti měrné tepelné kapacity na teplotě 39

T ( C) T ( C) Numerický model indukční pece pro tavení nízkoteplotních kovů Jana Kuthanová 2014 Z Obr. 4.16 je zřejmé, že vypočtený průběh teploty s ručně optimalizovanou křivkou měrné tepelné kapacity lépe vystihuje průběh změřené hodnoty v poloze I (střed vsázky). Avšak odchylka nelineárně vypočteného průběhu teploty od změřené je téměř ve stejně velkém rozsahu jako odchylka lineárně vypočítaného průběhu teploty (Obr. 4.17). Lineární výpočet numerického modelu indukčního ohřevu Fieldova kovu do dosažení jeho teploty tavení je tedy dostačující. Ovšem v části fázového přechodu je již nezbytné uvažovat nelineární průběh nejen měrné tepelné kapacity, ale i ostatních materiálových parametrů. 55 50 45 měření výpočet - c konstantní výpočet - c nelineární 40 35 30 25 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 t (s) Obr. 4.16 Porovnání vypočtených průběhů teplot s nelineární a konstantní měrnou tepelnou kapacitou se změřeným průběhem teploty v poloze I (střed vsázky) 2 1 0-1 -2-3 -4 odchylka - c nelineární odchylka - c konstantní -5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 t (s) Obr. 4.17 Odchylky vypočtených průběhů teplot (c nelineární a konstantní) od změřené v poloze I (střed vsázky) 40

Dále se práce zabývala výpočtem rozložení teploty na povrchu vsázky v čase 30 s (Obr. 4.18). Z obrázku je patrné snižování teploty směrem ke středu vsázky. Toto nerovnoměrné rozložení teploty potvrzuje přítomnost povrchového jevu, kdy proudová hustota vířivých proudů na krajích směrem ke středu vsázky přibližně exponenciálně klesá. Obr. 4.18 Rozložení teploty na povrchu vsázky v čase 30 s (Agros2D) Obr. 4.19 Rozložení teploty na povrchu vsázky v čase 30 s (termovizní kamera) Výsledky získané numerickým řešením matematického modelu byly ověřeny měřením na experimentálním zařízení pomocí termovizní kamery (Obr. 4.19). Použití tohoto nepřímého měření nebylo zpočátku vzhledem k neznámé teplotní závislosti emisivity možné. Avšak ze známého rozložení teploty ve vsázce změřeného pomocí senzoru se emisivita nastavila až následně pomocí softwaru SmartView. Z pořízené fotografie je zřejmý ohřev Fieldova kovu od krajů vsázky, který taktéž potvrzuje přítomnost povrchového jevu. Měření rozložení teploty na povrchu materiálu ovšem komplikovala přítomnost strusky, která způsobila chybu v podobě teplejších oblastí i mimo okraje vsázky. 41