Výpočtové nadstavby pro CAD

Transkript

1 Výpočtové nadstavby pro CAD 4. přednáška eplotní úlohy v MKP Michal Vaverka, Martin Vrbka

2 Přenos tepla Př: Uvažujme pro jednoduchost spalovací motor chlazený vzduchem. Spalováním vzniká teplo, které se z horkých stěn válce předává okolnímu vzduchu. eplo se přenáší z místa s vyšší teplotou do místa s nižší teplotou. Přenos tepla: vedením kondukce (u našeho příkladu teplo přechází z vnitřního prostoru válce na vnější povrch válce vedením ve stěně) prouděním konvekce (v našem příkladu horké plyny proudí okolo vnitřních stěn válce a předávají jim teplo a z vnějších stěn válce přejde teplo do okolního vzduchu také konvekcí) zářením radiace (u našeho příkladu objem horkého plynu vyzařuje teplo do okolních stěn) jde o elektromagnetické vlny není třeba medium yto mechanismy byly vysvětleny v ermomechanice

3 Veličiny eplo (heat) označujeme Q [J] epelný tok (heat flow) označujeme po který toto teplo prochází eplota (temperature) označujeme [K], [ C] Q& Q & [W], je to diferenciální podíl tepla a času, dq = dt eplejší povrch stěna Chladnější povrch

4 Kondukce Přenos tepla vedením Fourierův zákon Měrný tepelný tok je přímoúměrný velikosti teplotního gradientu a má opačné znaménko q = k. grad( ) záporné znaménko vyjadřuje orientaci toku energie ve směru poklesu teploty tepelná vodivost (vlastnost látky) [W/mK] Měrný tepelný tok (hustota tepelného toku, heat flux) [W/m 2 ] vyjadřuje, jak teplo teče po tělese, je to vektor Např. pro 1D vedení tepla: q = k. d dx

5 Kondukce Přenos tepla vedením Měrný tepelný tok je přímoúměrný velikosti teplotního gradientu a má opačné znaménko Fourierův zákon q = k. grad( ) záporné znaménko vyjadřuje orientaci toku energie ve směru poklesu teploty eplotní gradient [K/m] tepelná vodivost (vlastnost látky) [W/mK] Měrný tepelný tok (hustota tepelného toku, heat flux) [W/m 2 ] vyjadřuje, jak teplo teče po tělese, je to vektor eplejší povrch stěna Chladnější povrch eplejší povrch stěna Chladnější povrch

6 Kondukce q = k. grad( ) epelná vodivost - v ANSYSu KXX (thermal conductivity) Materiálová vlastnost, konstanta úměrnosti ve Fourierově zákoně Dá se najít ve strojnických tabulkách Může záviset na teplotě epelná vodivost vzduchu je o 4 řády menší jak např. u mědi nebo hliníku přítomnost plynů v tuhých látkách vytváří tepelné izolanty V Material Properties můžeme zadat závislost veličin (např. KXX) na teplotě:

7 Konvekce Přenos tepla prouděním Př 1: V našem příkladu motoru chlazeného vzduchem je teplo odnášeno proudem vzduchu. Rychlost proudění media a druh media (voda, vzduch) ovlivní hodnotu přenosu tepla. Rychlost proudění media = rychlost s níž je teplo odváděno pryč Př. 2 Rozžhavenou kovovou desku rychleji ochladíme proudem vzduchu z ventilátoru (nucená konvekce) než v klidném nehybném vzduchu (volná, přirozená konvekce) Je-li deska umístěna v nehybném vzduchu, dá se vzduch do přirozeného pohybu okolo horké desky působením vztlaku vlivem rozdílných hustot vzduchu lehčí vzduch u desky začne stoupat nahoru a vznikne cirkulace - přirozená konvekce Mechanismus konvekce byl vysvětlen v termomechanice, základ konvektivního přenosu tepla je již v mechanice tekutin

8 Konvekce Přenos tepla prouděním Pro vyjádření účinku konvekce se používá Newtonův ochlazovací zákon. Má-li deska z Př.2 teplotu a okolní vzduch teplotu 0, pak pro tepelný tok platí: Q& = hs..( ) 0 Plocha povrchu eplota povrchu Okolní teplota Koeficient přestupu tepla [Wm -2 K -1 ] film coefficient -může být funkcí teploty nebo času Pro měrný tepelný tok: q= h.( ) 0

9 Rovnice vedení tepla Stacionární vedení tepla ustálený stav Nestacionární vedení tepla k.( + + ) + Q = x y z k.( x y z ) + Q = ρ. c. t tepelná vodivost [Wm -1 K -1 ] teplota [K] měrný tepelný výkon [Wm -3 ] (zdroj tepla) Měrná tepelná kapacita [Jkg --1 K -1 ] Čas [s] Hustota [kgm -3 ] Rovnici je třeba doplnit okrajovými podmínkami

10 Okrajové podmínky Rovnici vedení tepla je třeba doplnit okrajovými podmínkami, nejčastěji: 1. Předepsaná teplota na části povrchu (na hranici) = * 2. Předepsaný tepelný tok na části povrchu (na hranici) q = q* 3. Konvekci na části povrchu tělesa (na hranici) - tepelný tok na hranici je předepsán pomocí koeficientu přestupu tepla a okolní teploty 0, a vyhovuje rovnici: q= h.( ) 0 (smíšená okrajová podmínka)

11 Okrajové podmínky 3. Konvekci na části povrchu tělesa (na hranici) - tepelný tok na hranici je předepsán pomocí koeficientu přestupu tepla a okolní teploty 0, a vyhovuje rovnici: q= h.( ) 0

12 Počáteční podmínky U nestacionární úlohy, kdy je teplotní pole časově proměnné je nutno zadat počáteční rozložení teplot (v čase 0) homogenní: ve všech bodech stejná teplota nebo nehomogenní: nehomogenní teplotní pole se získá řešením předchozí stacionární úlohy a výsledek se použije jako startovní teplotní pole

13 eplotní úloha v MKP -Vedle napěťově-deformační analýzy je druhá nejrozšířenější -Primární neznámou veličinou při řešení teplotního pole je teplota, která je při diskretizaci nad konečnými prvky aproximována -eplota jako skalární veličina je narozdíl od posuvu plně popsána jedním neznámým parametrem vuzlu -počet neznámých je ve 3D zhruba třetinový -Prvky mají v každém uzlu jako stupeň volnosti (DOF) teplotu

14 eplotní úloha v MKP Sestavením celkového funkcionálu součtem příspěvků od jednotlivých prvků a využitím podmínky stacionární hodnoty pomocí podobného postupu, který byl uveden u statických úloh dostaneme výslednou diskrétní podobu rovnice vedení tepla ve tvaru kde C. U& + K. U = F C je globální matice tepelné kapacity K je globální matice tepelné vodivosti F je globální matice tepelného zatížení U je matice neznámých uzlových teplot. Stacionární, časově neproměnný problém vedení tepla získáme vypuštěním pravé strany rovnice vedení tepla: K. U = F Jedná se o soustavu obdobnou lineárnímu statickému problému pružnosti.

15 eplotní úloha v MKP C. U& + K. U = F MU.&& + KU. = F Povšimněme si následujících analogií: teplotní analýza matice tepelné kapacity C matice tepelné vodivosti K matice tepelného zatížení F neznámé U : teploty v uzlech gradient teploty měrný tepelný tok q deformačně-napěťová analýza matice hmotnosti M matice tuhosti K matice mechanického zatížení F neznámé U: posuvy u,v,w vuzlech přetvoření ε napětí σ Obdobná je i pásová struktura jednotlivých matic

16 eplotní úloha v MKP Analogie se týká i odpovídajících okrajových podmínek: Pokud při teplotní analýze pomocí MKP na části povrchu nepředepíšeme nic, je zde implicitně zadána podmínka q = 0, povrch je tedy dokonale tepelně izolován! Stejně je tomu i u deformačně-napěťových problémů, kde je na volném povrchu automaticky zadána podmínka nulového normálného a smykového napětí

17 Analogie v MKP Všechny procedury řešení teplotního problému lze při odpovídající záměně materiálových konstant a proměnných veličin použít i k řešení jiných, vzájemně analogických fyzikálních dějů. V komerčních systémech MKP se této analogie skutečně využívá a tytéž části programů jsou používány pro řešení odlišných problémů (průsak kapaliny porézním materiálem, elektromagnetismus, ).