ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Návrh řešení údržby místních komunikací města Zdice Anna Jíchová 2011

Zadání BP originál (kopie)

Čestné prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci vypracovala samostatně a že jsem uvedla veškeré použité informační zdroje v souladu s Metodickým pokynem o etické přípravě vysokoškolských závěrečných prací. Nemám závažný důvod proti užívání tohoto školního díla ve smyslu 60 zákona č. 121/2000Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon). V Praze dne: Podpis: 5

Poděkování Na úvod své práce bych ráda poděkovala všem, kteří mi poskytli potřebné informace, podklady, materiály a za cenné rady pro vznik této práce. Především své vedoucí Ing. Denise Mockové, Ph.D. za vedení bakalářské práce, za ochotu při konzultacích, za informace a její čas, který mně a této práci věnovala. Dále městu Zdice za poskytnuté potřebné podklady. Nakonec je mou povinností poděkovat všem svým blízkým za morální i materiální podporu, které se mi dostávalo při vypracování této bakalářské práce i po celou dobu mého bakalářského studia. 6

Abstrakt Autor: Anna Jíchová Název: Návrh řešení údržby místních komunikací města Zdice Škola: České vysoké učení technické v Praze, Fakulta dopravní Rok vydání: Praha 2011 Bakalářská práce se zabývá analýzou a optimalizací trasy pro pracovní četu provádějící udržovací práce na dílčím úseku sítě místních komunikací ve městě Zdice. Práce stručně popisuje stávající trasu a řeší návrh nové trasy pro údržbu těchto komunikací, včetně optimálního místa začátku a ukončení těchto prací. Teoretická část optimalizace představuje aparát teorie grafů a v praktické části je použita metoda čínského pošťáka, včetně Edmondsova algoritmu. Pro výběr nejvhodnějšího možného řešení byly vyšetřeny všechny vrcholy. Závěr práce zhodnocuje stávající a nově navrhované řešení. Abstrakt Author: Anna Jíchová Title of the bachelor thesis: Design of maintenance of local communications of city of Zdice School: Czech Technical University in Prague, Faculty of Transportation Sciences Imprint date: Prague 2011 This bachelor thesis deals with the analysis and optimization of working routes for a team of labourers conducting maintenance work on the sub-section of the local network of roads in the city of Zdice. It briefly describes the existing route and brings forward a new route proposal for the maintenance of these roads, including the optimal location of the start and the completion of these works. The theoretical part of the optimization represents an apparatus of graph theory. In the applied part of this thesis, the Chinese Postman method including Edmonds algorithm, were used. All the peaks were investigated in order to select the best possible solutions. In the conclusion both the existing and new proposed solutions were evaluated. 7

Obsah: Seznam použitých zkratek... 10 Seznam obrázků... 10 Seznam tabulek... 11 Úvod... 12 1. Popis stávajícího stavu... 13 1.1 Místní komunikace podle zákona o pozemních komunikacích... 14 1.2 Místní komunikace ve městě Zdice... 15 2. Výběr vhodné metody aparátu teorie grafů... 23 3. Aplikace dané metody do návrhu... 25 3.1 Vytvoření základního grafu... 25 3.2 Označení vrcholů lichého stupně 1. krok... 28 3.3 Kompletní graf z lichých vrcholů - 2. krok... 29 3.4 Minimální párování 3. krok... 31 4. Vlastní návrh dopravní obsluhy... 33 4.1 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 1... 35 4.2 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 2... 36 4.3 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 3... 37 4.4 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 4... 38 4.5 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 5... 39 4.6 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 6... 40 4.7 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 7... 41 4.8 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 8... 42 4.9 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 9... 43 4.10 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 10... 44 4.11 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 11... 45 4.12 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 12... 46 4.13 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 13... 47 4.14 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 14... 48 4.15 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 15... 49 4.16 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 16... 50 4.17 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 18... 51 8

4.18 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 19... 52 4.19 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 20... 53 4.20 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 21... 54 5. Porovnání a zhodnocení jednotlivých řešení... 55 6. Závěr... 58 7. Použitá literatura... 60 9

Seznam použitých zkratek c. k. císařsko královského mocnářství MK místní komunikace MP městský podnik Seznam obrázků 1 Mapa oblasti... 13 2 Mapa města Zdice s vyznačením všech MK ve vlastnictví a správě města... 17 3 Mapa oblasti řešených ulic... 20 4 První část mapy s označením podle pasportu místních komunikací... 21 5 Druhá část mapy s označením podle pasportu místních komunikací... 22 6 Základní graf podle stávajících ulic, křižovatky ulic představují uzly... 25 7 Vyznačení cesty pro pěší... 26 8 Vyznačení slepé hrany... 27 9 Vyznačení vrcholů lichého stupně... 28 10 Vyznačení délek jednotlivých hran grafu s vyznačenými vrcholy lichého stupně... 29 11 Kompletní graf z vrcholů lichého stupně... 30 12 Doplněný původní graf o dvojice minimálního párování... 32 13 Doplněný graf s doplněnými délkami... 33 14 Úplný graf včetně slepých ulic... 34 15 Graf s výchozím vrcholem V 1... 35 16 Graf s výchozím vrcholem V 2... 36 17 Graf s výchozím vrcholem V 3... 37 18 Graf s výchozím vrcholem V 4... 38 19 Graf s výchozím vrcholem V 5... 39 20 Graf s výchozím vrcholem V 6... 40 21 Graf s výchozím vrcholem V 7... 41 22 Graf s výchozím vrcholem V 8... 42 23 Graf s výchozím vrcholem V 9... 43 24 Graf s výchozím vrcholem V 10... 44 25 Graf s výchozím vrcholem V 11... 45 10

26 Graf s výchozím vrcholem V 12... 46 27 Graf s výchozím vrcholem V 13... 47 28 Graf s výchozím vrcholem V 14... 48 29 Graf s výchozím vrcholem V 15... 49 30 Graf s výchozím vrcholem V 16... 50 31 Graf s výchozím vrcholem V 18... 51 32 Graf s výchozím vrcholem V 19... 52 33 Graf s výchozím vrcholem V 20... 53 34 Graf s výchozím vrcholem V 21... 54 35 Mapa s výchozím stanovištěm čety městského podniku... 55 Seznam tabulek 1 Souhrnný přehled MK III. a IV. třídy na území města... 16 2 Přehled délek a ploch vozovek, chodníků a odstavných pruhů... 18 3 Přehled vozovek z hlediska povrchu... 18 4 Označení a délky MK III. třídy... 19 5 Označení a délky MK IV. třídy... 19 6 Matice nejkratších vzdáleností lichých vrcholů... 30 7 Celková délka trasy podle výchozího vrcholu... 56 11

Úvod Tato práce se zabývá v jednotlivých kapitolách návrhem trasy čety městského podniku města Zdice, která zajišťuje údržbu místních komunikací v tomto městě. Je požadováno, aby celková délka navržené trasy byla nejmenší ze všech délek možných tras. Je řešeno, ze které křižovatky (vrcholu) zahájí četa údržbu komunikací a ve kterém údržba skončí, právě tak, aby četa prošla ulicí právě jen jednou, popřípadě minimálně jednou. V této práci je zjišťováno, zda začátek i konec prací je v témže vrcholu či ve vrcholu rozdílném. Ke zjištění je použito metody z operačního výzkumu (teorie dopravy) a to metody tzv. čínského pošťáka, která je pro obsluhu hran vhodná. V první kapitole je popsán stávající stav. Pro tuto práci je vybrána pouze dílčí část ulic z celkové dopravní sítě místních komunikací města, ve které je aplikován budoucí návrh řešení. Z této části ulic a křižovatek je vytvořen základní síťový graf, který je tvořen uzly (vrcholy) a hranami. Uzly (vrcholy) představují stávající křižovatky a hrany - obsluhované komunikace. Druhá kapitola se zabývá výběrem vhodné metody z aparátu teorie grafů, včetně jejích postupů. Ve třetí kapitole je provedena aplikace dané metody do návrhu. Je zde řešeno, kolik vrcholů je lichého stupně a následně rozhodnuto, který algoritmus bude použit. Pro již navržený graf s vyznačenými vrcholy je použit Fleuryho algoritmus, pokud jsou pouze dva vrcholy lichého stupně. Pokud těchto vrcholů je více než dva, je použit Edmondsův algoritmus. Dále je určeno párování minimální délky hran. Ze základního grafu je vytvořen graf, do kterého jsou přidány fiktivní hrany minimálního párování a smyčky, které představují slepé ulice. Ve čtvrté kapitole, vlastním návrhu dopravní obsluhy, je vyšetřeno, který vrchol je nejvýhodnější pro zahájení práce čety. Postupně jsou vyšetřeny všechny vrcholy. K výchozímu vrcholu je připočítána i minimální délku cesty pro příjezd čety na stanoviště, ze kterého zahajuje svou práci. V páté kapitole jsou varianty tvořené jednotlivými výchozími vrcholy vzájemně porovnány. Varianta s nejkratší celkovou délkou je variantou nejvhodnější z hlediska nejméně ujetých kilometrů pracovní čety. Závěrem je v šesté kapitole porovnána a zhodnocena stávající používaná trasa čety a navrhované řešení. 12

1. Popis stávajícího stavu Město Zdice (268 m n. m.) se nachází cca 40 km západně od Prahy. Poprvé se Zdice písemně připomínají v roce 1147. Ve 13. století obec patřila pražskému biskupství, které zde na zemské cestě vybíralo clo. Ve Zdicích se křižovaly důležité obchodní cesty. Z bývalé obchodní stezky vznikla v 18. století podstatná část pozdější císařská silnice. Na ní byla již v 16. století zřízena poštovní stanice, která s rozvojem pošt postupně nabývala na významu. V roce 1862 byla uvedena do provozu tzv. Česká západní dráha z Prahy do Plzně. Po ní v roce 1875 se připojila Rakovnicko protivínská dráha. Zdice se tak staly na dlouhou dobu důležitou železniční křižovatkou [7]. [7]. Dne 6. 5. 1872 byly Zdice, vyhlášením od c. k. místodržitele, povýšeny na městys 1. července 1994 určil předseda Poslanecké sněmovny Parlamentu ČR Zdice městem. V současné době mají Zdice téměř 4 tisíce obyvatel [7]. Obrázek 1: Mapa oblasti (zdroj: mapa města Zdice [6]) 13

Západní část území města Zdice protíná dálnice D5, která tvoří součást mezinárodní evropské silniční sítě. Zpřístupnění tělesa je umožněno mimoúrovňovou křižovatkou v km 28 (exit 28 dálničního značení). Dále město protíná silnice II/605 (doprovodná silnice k dálnici D5), II/30 (Zdice Jince), II/236 (Zdice Svatá), III/1171 (Zdice Hředle), III/00524 (Zdice Knížkovice), III/2302 (Zdice (Černín) Levín), III/11545 (Zdice Koněprusy), III/11546 (Zdice Chodouň), III/1174 (Zdice Stašov), elektrifikovaná dvojkolejná železniční trať Praha Plzeň č. 17 a železniční jednokolejná trať Zdice Lochovice č. 20 [5]. Místní komunikace a cesty mimo silnici II/605 není umožněna propustnost města ve směru východ západ. Zásadním skeletem dopravy je síť silnic v zastavěném a zastavitelném území města, které plní převážně sběrnou a obslužnou funkci [5]. 1.1 Místní komunikace podle zákona o pozemních komunikacích Ze zákona č. 13/1997 Sb. o pozemních komunikacích, ve znění pozdějších novel a dodatků, definuje v 6 místní komunikace Odst. 1) místní komunikace je veřejně přístupná pozemní komunikace, která slouží převážně místní dopravě na území obce [3]. Odst. 2) místní komunikace může být vystavěna jako rychlostní komunikace, která je určena pro rychlou dopravu a přístupná pouze silničním motorovým vozidlům, jejichž nejvyšší povolená rychlost není nižší, než stanoví zvláštní předpis. Rychlostní místní komunikace má obdobné stavebně technické vybavení jako dálnice [3]. Odst. 3) místní komunikace se rozdělují podle dopravního významu, určení a stavebně technického vybavení do těchto tříd: Písm. a) místní komunikace I. třídy, kterou je zejména rychlostní komunikace, Písm. b) místní komunikace II. třídy, kterou je dopravně významná sběrná komunikace s omezením přímého připojení sousedních nemovitostí, Písm. c) místní komunikace III. třídy, kterou je obslužná komunikace, Písm. d) místní komunikace IV. třídy, kterou je komunikace nepřístupná provozu silničních motorových vozidel nebo na které je umožněn smíšený provoz [3]. 14

Odst. 4) prováděcí předpis blíže vymezí znaky pro rozdělení místních komunikací do jednotlivých tříd [3]. 2 - označení dálnic, silnic a místních komunikací (k 6 odst. 4 a 9 odst. 4 zákona) Odst. 5) pro evidenční účely se místní komunikace označují arabskými číslicemi, počínaje číslem 1. Zásadně odděleně pro každou třídu místních komunikací. K označení třídy se používá alfabetický znak: a) Pro místní komunikace I. třídy písm. a), např. 1a, 2a, b) Pro místní komunikace II. třídy písm. b), např. 2a, 4b, c) Pro místní komunikace III. třídy písm. c), např. 1c, 8c, d) Pro místní komunikace IV. třídy písm. d), např. 1d, 12d [3, 4]. 1.2 Místní komunikace ve městě Zdice Ve Zdicích jsou místní komunikace v souladu se schváleným pasportem místních komunikací zařazeny do III. a IV. třídy. V souladu s 3 odst. 3 a 4 (k 6 odst. 4 zákona) místními komunikacemi III. třídy jsou obslužné místní komunikace ve městech a obcích umožňující přímou dopravní obsluhu jednotlivých objektů, pokud jsou přístupné běžnému provozu motorových vozidel. Místními komunikacemi IV. třídy jsou samostatné chodníky, stezky pro pěší, cyklistické stezky v chatových oblastech, podchody, lávky, schody, pěšiny, zklidněné komunikace. Obytné a pěší zóny apod. [4]. Na základě ustanovení zákonných předpisů se na území města Zdice nevyskytují místní komunikace I. třídy (rychlostní komunikace), ani místní komunikace II. třídy (sběrné komunikace, které spojují části měst navzájem nebo napojují města, případně jejich části na pozemní komunikace vyšší třídy nebo kategorie). Spojení částí města navzájem je realizováno silnicemi II. a III. třídy [4]. Na území města Zdic se vyskytují místní komunikace III. třídy (obslužné komunikace) a místní komunikace IV. třídy (obytné zóny, samostatné komunikace pro pěší, schodiště a chodníky podél průjezdních úseků silnic.) Dále jsou zahrnuty i parkovací plochy podél silnic mimo průjezdní profil silnice (ul. Husova a Komenského) [4]. 15

Typ komunikace Délka [m] MK III. třídy 27 707 MK IV. třídy vozovky (obytné zóny) 2 486 MK IV. třídy samostatné chodník 2 462 MK IV. třídy chodníky při silnicích 6 820 MK IV celkem 11 768 MK celkem 39 475 Účelové komunikace 165 Tabulka 1: Souhrnný přehled MK III. a IV. třídy na území města (zdroj:pasport místních komunikací města Zdice [4]) 16

Obrázek 2: Mapa města Zdice s vyznačením všech MK ve vlastnictví a správě města (zdroj: pasport místních komunikací města Zdice [4]) 17

Přehled celkový Vozovky Chodníky (všechny) Odstavné pruhy Délka Plocha Délka Plocha Délka Plocha Na MK III. třídy 27 707 111 626 11 293 17 218 255 1 275 Na MK IV. třídy 2 486 11 606 9 318 17 948 0 0 Celkem 30 193 123 232 20 611 35 166 255 1 275 Odstavné pruhy při silnicích 0 0 0 0 1 011 6 676 Účelové komunikace 165 495 0 0 0 0 Celkem 165 495 0 0 1 011 2 676 CELKEM 30 358 123 727 20 611 35 166 1 266 3 951 Tabulka 2: Přehled délek a ploch vozovek, chodníků a odstavných pruhů (zdroj: Pasport místních komunikací města Zdice [4]) Povrch vozovek Celkem MK III. MK IV. Plochy Účelové odstavné komunikace Celkem 127678 112901 11606 2676 495 Asfalt 90302 76399 11226 2676 0 Drobná dlažba 10x 10 589 589 0 0 0 Velká dlažba 16 1283 1283 0 0 0 Panely 1988 1988 0 0 0 Bet. zámková dlažba 250 250 0 0 0 Beton 315 315 0 0 0 Nezpevněný 32953 32078 380 0 495 Tabulka 3: Přehled ploch vozovek z hlediska povrchu (zdroj: Pasport místních komunikací města Zdice [4]) Samohelka. V rámci této práce je řešena pouze část místních komunikací města, a to v lokalitě 18

Graf je tvořen z místních komunikací III. a IV. třídy s označením c a d. Název ulice Označení Délka [m] K Samohelce 63c 43,7 Stará Zvonice 64c 20,0 K Samohelce 65c 52,5 Na Vyhlídce 66c 365,0 Dělnická 67c 404,0 + Stará Zvonice Nad Úvozem 68c 47,5 Knížkovická 69c 26,5 Tabulka 4: Označení a délky MK III. třídy (zdroj: pasport místních komunikací města Zdice [4]) Název ulice Označení Délka [m] Vorlova 15d 415,0 K Samohelce 46d 43,5 K Samohelce 47d 337,0 Na Nové 48d 355,0 Knížkovická 50d 386,0 Hornická 51d 257,0 Knížkovická + Pod Šachtou 52d 112,5 Nad Cihelnou 53d 186,0 Nad Úvozem 54d 312,5 Za Skálou 55d 52 Knížkovická 56d 63,0 Tabulka 5: Označení a délky MK IV. třídy (zdroj: Pasport místních komunikací města Zdice [4]) 19

Údržbu místních komunikací v současnosti zajišťuje Město Zdice prostřednictvím své rozpočtové organizace Městského podniku Zdice. V rámci údržby i úklidových prací má úklidová četa navrženou trasu ulicemi Vorlova, Na Vyhlídce, Stará Zvonice, Dělnická, Na Nové, K Samohelce, Za Skálou, Nad Úvozem, Hornická, Knížkovická, Pod Šachtou, Nad Cihelnou a zpět Vorlova. Městský podnik trvale má šest stálých zaměstnanců, kteří tvoří dvě čety. Na zimní i jinou údržbu místních komunikací město Zdice sezóně najímá pracovníky z úřadu práce. Vorlova ulice je silnicí III/00524, kterou vlastní Česká republika a správu zajišťuje Krajská správa a údržba silnic, proto jejich údržba nebude v této práci řešena. Na komunikacích, které jsou předmětem řešení, je prováděna zimní údržba odklízení sněhu, zimní posyp při náledí a následný úklid a průběžný úklid komunikací, včetně mytí ulic v letních měsících. Běžná údržba a opravy komunikací je prováděna v souladu s přílohou č. 5 k vyhlášce č. 104/1997 Sb., ve znění pozdějších novel a dodatků, kterou se provádí zákon o pozemních komunikacích. Obrázek 3: Mapa oblasti řešených ulic 20 (zdroj: mapa města Zdice[6])

Obrázek 4: První část mapy s označením podle pasportu místních komunikací (zdroj: Pasport místních komunikací města Zdice [4]) 21

Obrázek 5: Druhá část mapy s označením podle pasportu místních komunikací (Zdroj: Pasport místních komunikací města Zdice [4]) 22

2. Výběr vhodné metody aparátu teorie grafů V této práci se jedná o dopravní obsluhu hran (ulic) dopravní sítě, která je tvořena specifikovanou množinou místních komunikací. Při této obsluze, kdy četa provádí údržbu komunikací, je kladena podmínka, aby četa prošla či projela ulicí právě jednou nebo alespoň jednou a ušla či ujela co nejméně kilometrů. Protože je připuštěna podmínka, aby četa prošla ulicí alespoň jednou, je požadováno, aby vícekrát procházela pouze co nejkratší cestou. Musíme určit, ze kterého vrcholu četa zahájí, a ve kterém ukončí své práce a zvolit trasu tak, aby celková délka navržené trasy byla nejmenší ze všech délek možných tras. Ke zjištění je použito metody z operačního výzkumu (teorie grafů) a to metody tzv. čínského pošťáka, která je pro obsluhu hran vhodná [1]. Pro tuto práci je vybrána pouze dílčí část ulic z celkové dopravní sítě místních komunikací města (lokalita Samohelka), ve které je aplikován budoucí návrh řešení. Z této části ulic a křižovatek je vytvořen základní síťový graf, který je tvořen uzly (vrcholy) a hranami. Uzly (vrcholy) představují stávající křižovatky a hrany - obsluhované komunikace. Protože v předmětné lokalitě nejsou žádné jednosměrné ulice, kde je určen směr jízdy, je graf neorientovaný. Je předpokládáno, že počet lichých vrcholů grafu je větší než dva, a proto je použit Edmondsův algoritmus. Pokud se toto nepotvrdí a vrcholy lichého stupně jsou pouze dva, bude použit Fleuryho algoritmus. Při použití Fleuryho algoritmu, kdy právě dva vrcholy jsou lichého stupně, jsou spojeny tyto dva vrcholy násobnou hranou, která je řešena jako první. Po dokončení uzavřeného eulerovského tahu je hrana opět vypuštěna, tím vznikne otevřený eulerovský tah. V případě použití Edmondsova algoritmu, který je v daném případě předpokládán, je postupováno v následujících pěti krocích: 1. krok - v grafu určím vrcholy sudého stupně, kterých musí být vždycky sudý počet, 2. krok - sestrojím z vrcholů lichého stupně fiktivní kompletní graf, jehož hrany jsou ohodnoceny vzdáleností příslušných vrcholů v původním (základním) grafu, 23

3. krok - určím minimální párování délky a fiktivní hrany minimálního párování přidám do původního grafu mezi příslušné vrcholy, 4. krok v grafu sestrojím uzavřený eulerovský tah minimální délky Fleuryho algoritmem, 5. krok v eulerovském tahu nahradím každou hranu minimálního párování odpovídající cestou minimálního párování. Dostanu uzavřený eulerovský sled minimální délky [1] Také je zjišťováno, zda se jedná o otevřený či uzavřený eulerovský sled. Což představuje, zda četa svou práci zahájí i skončí ve stejném uzlu (vrcholu) nebo uzlu jiném (koncovém). Pojem eulerovský sled znamená, že všechny hrany v síti jsou procházeny minimálně jednou. Eulerovský tah znamená, že všechny hrany v síti jsou procházeny právě jednou. Lze předpokládat, že se v tomto konkrétním případě bude jednat o uzavřený eulerovský sled. 24

3. Aplikace dané metody do návrhu 3.1 Vytvoření základního grafu Mapu na obrázku 3, 4 a 5 si převedeme na grafické zobrazení. Součástí grafu je i silnice III/00524. Tato komunikace je v majetku státu, na které údržbu provádí Krajská správa a údržba komunikací Středočeského kraje, ale pro potřeby výpočtu v teoretické úrovni je do grafu zahrnuta, ale ve skutečnosti údržba není prováděna, pouze je využívána pro průjezd a přístup. Tyto komunikace (hrany) jsou v grafu zobrazeny čárkovaně a jsou mezi vrcholy V 1 -V 11 -V 21. Také zde nejsou uváděny dvě ulice, které jsou slepé, a tudíž obsluha těchto ulic je vždy řešena průjezdem tam a zpět. V1 V11 V2 V6 V12 V3 V7 V13 V4 V8 V14 V5 V9 V19 V15 V18 V21 V10 V16 V17 V20 Obrázek 6: Základní graf podle stávajících ulic, křižovatky ulic představují uzly 25

Dále z grafu lze vypustit cesty pro pěší, které se neudržují, a tudíž se nepoužijí pro výpočet. Jedná se o hrany mezi vrcholy V 8 - V 9, V 16 - V 17, V 19 - V 21. V1 V11 V2 V6 V3 V7 V13 V4 V8 V14 V5 V9 V19 V15 V18 V21 V10 V16 V17 Obrázek 7: Vyznačené cesty pro pěší Po této úpravě se hrana mezi vrcholy V 17 -V 20 stala slepou ulicí a smyčka ve vrcholu V 5 také. Tyto hrany (ulice) umožňují vozidlům průjezd tam a zpět. Proto tyto hrany z grafu vynecháme. Po této úpravě získáme graf, který budeme řešit pomocí aparátu teorie grafů (operační výzkum). 26

V1 V2 V6 V12 V3 V7 V13 V4 V8 V14 V5 V9 V19 V15 V18 V21 V10 V16 V17 V20 Obrázek 8: Vyznačení slepé hrany 27

3.2 Označení vrcholů lichého stupně 1. krok V1 V11 V2 V6 V12 V3 V7 V13 V4 V8 V14 V5 V9 V19 V15 V18 V21 V10 V16 V20 Obrázek 9: Vyznačení vrcholů lichého stupně Vrcholy lichého stupně jsou V 2, V 3, V 4, V 6, V 7, V 9, V 12, V 13, V 18, V 19. Celkem se jedná o 10 vrcholů, čímž je splněna podmínka, že těchto vrcholů musí být vždy sudý počet. Pro další postup je nutné ke každé hraně vyznačit její skutečnou délku, a to z Pasportu místních komunikací Města Zdice [4]. 28

V1 188 m V11 V2 V6 138 m 48 m 56 m V12 115 m 83 m 35 m V3 97 m V7 38 m 73 m V13 160 m 344 m 415 m V4 131 m V8 126 m V14 V5 90 m 135 m V9 138 m 60 m 91 m 45 m 72 m V19 V15 215 m 92 m V18 V21 60 m V10 203 m V16 20 m V20 Obrázek 10: Vyznačení délek jednotlivých hran grafu s vyznačenými vrcholy lichého stupně 3.3 Kompletní graf z lichých vrcholů - 2. krok Ve druhém kroku vytvoříme kompletní graf z vrcholů lichého stupně. Pokud bychom vyznačili nejkratší vzdálenosti do tohoto grafu, byl by značně nepřehledný. Tento graf je znázorněn na obrázku 11. Plnou čarou jsou znázorněny hrany, jejichž ohodnocení známe a přerušovanou čárou jsou vyznačeny hrany, které budou dopočítány. Pro přehlednost jsme zvolili matici, do které jsou uvedeny nejkratší vzdálenosti mezi lichými vrcholy, viz tabulka 6. 29

V6 V2 V12 V3 V7 V13 V4 V19 V9 V18 Obrázek 11: Kompletní graf z vrcholů lichého stupně Označení vrcholu V 2 V 3 V 4 V 6 V 7 V 9 V 12 V 13 V 18 V 19 V 2 0 115 188 138 212 413 186 221 472 544 V 3 115 0 73 180 97 298 170 135 386 458 V 4 188 73 0 253 170 225 243 208 348 420 V 6 138 180 253 0 83 441 48 83 334 406 V 7 212 97 170 83 0 395 73 38 289 361 V 9 413 298 225 441 395 0 393 355 183 255 V 12 186 170 243 48 73 393 0 35 286 358 V 13 221 135 208 83 38 355 35 0 251 323 V 18 472 386 348 334 289 183 286 251 0 72 V 19 544 458 420 406 361 255 358 323 72 0 Tabulka 6: Matice nejkratších vzdáleností lichých vrcholů 30

3.4 Minimální párování 3. krok Třetím krokem bude minimální párování všech lichých vrcholů: d(v 2, V 3 ) + d(v 4, V 6 ) + d(v 7, V 9 ) + d(v 12, V 13 ) + d(v 18, V 19 )= 115 + 235 + 395 + 35 + 72 = 852 d(v 2, V 4 ) + d(v 3, V 6 ) + d(v 7, V 9 ) + d(v 12, V 13 ) + d(v 18, V 19 )= 188 + 180 + 395 + 35 + 72 = 870 d(v 2, V 7 ) + d(v 3, V 6 ) + d(v 4, V 9 ) + d(v 12, V 13 ) + d(v 18, V 19 )= 212 + 180 + 225 + 35 + 72 = 724 d(v 2, V 12 ) + d(v 3, V 6 ) + d(v 4, V 9 ) + d(v 7, V 13 ) + d(v 18, V 19 )= 186 + 180 + 225 + 38 + 72 = 701 d(v 2, V 18 ) + d(v 3, V 6 ) + d(v 4, V 9 ) + d(v 7, V 13 ) + d(v 12, V 19 )= 544 + 180 + 225 + 38 + 358 = 1345 d(v 2, V 6 ) + d(v 4, V 3 ) + d(v 7, V 9 ) + d(v 12, V 13 ) + d(v 18, V 19 )= 138 + 73 + 395 + 35 + 72 = 713 d(v 2, V 9 ) + d(v 4, V 3 ) + d(v 7, V 6 ) + d(v 12, V 13 ) + d(v 18, V 19 )= 413 + 73 + 83 + 35 + 72 = 676 d(v 2, V 13 ) + d(v 4, V 3 ) + d(v 7, V 6 ) + d(v 12, V 9 ) + d(v 18, V 19 )= 221 + 73 + 83 + 393 + 72 = 842 d(v 2, V 19 ) + d(v 4, V 3 ) + d(v 7, V 6 ) + d(v 12, V 9 ) + d(v 18, V 13 )= 544 + 73 + 83 + 393 + 251 = 1344 d(v 2, V 3 ) + d(v 4, V 7 ) + d(v 6, V 9 ) + d(v 12, V 13 ) + d(v 18, V 19 )= 115 + 170 + 441 + 35 + 72 = 833 d(v 2, V 3 ) + d(v 4, V 12 ) + d(v 6, V 9 ) + d(v 7, V 13 ) + d(v 18, V 19 )= 115 + 243 + 441 + 38 + 72 = 909 d(v 2, V 3 ) + d(v 4, V 18 ) + d(v 6, V 9 ) + d(v 7, V 13 ) + d(v 12, V 19 )= 115 + 348 + 441 + 38 + 358 = 1300 d(v 2, V 3 ) + d(v 4, V 6 ) + d(v 7, V 12 ) + d(v 9, V 13 ) + d(v 18, V 19 )= 115 + 253 + 73 + 355 + 72 = 868 d(v 2, V 3 ) + d(v 4,V 6 ) + d(v 7, V 18 ) + d(v 9, V 13 ) + d(v 12, V 19 )= 115 + 253 + 289 + 355 + 358 = 1370 d(v 2, V 3 ) + d(v 4, V 6 ) + d(v 7, V 9 ) + d(v 18,V 18 ) + d(v 13,V 19 )= 115 + 253 + 395 + 286 + 323 = 1372 31

d(v 2, V 3 ) + d(v 4, V 6 ) + d(v 7, V 9 ) + d(v 12, V 19 ) + d(v 18, V 13 )= 115 + 253 + 395 + 358 + 251 = 1372 Minimální párování tvoří dvojice hran (V 2, V 9 ), (V 4, V 3 ), (V 7, V 6 ), (V 12, V 13 ), (V 18, V 19 ), které doplníme do původního grafu. V1 V2 V6 V12 V3 V7 V13 V4 V8 V14 V5 V9 V15 V18 V19 V21 V10 V16 Obrázek 12: Doplněný původní graf o dvojice minimálního párování V20 32

4. Vlastní návrh dopravní obsluhy V1 188 m 56 m V2 138 m V6 48 m V12 83 m 115 m 83 m 35 m 35 m V3 97 m V7 38 m V13 415 m 73 m 73 m 160 m 344 m V4 131 m V8 126 m V14 413 m 90 m V5 135 m V9 215 m 138 m 60 m 91 m 45 m V15 92 m 72 m 72 m V18 V19 60 m V21 V10 203 m V16 20 m V20 Obrázek 13: Doplněný graf s doplněnými délkami Pro úplnost doplníme do grafu i ulice (smyčky), které jsou slepými a tudíž průjezd je možný v rámci údržby pouze tam a zpět. 33

V1 188 m 56 m V2 138 m V6 48 m V12 83 m 115 m 83 m 35 m 35 m V3 97 m V7 38 m V13 415 m 73 m 73 m 160 m 344 m V4 131 m V8 126 m V14 413 m 90 m V5 135 m 52 m x 2 V9 215 m 138 m 60 m 91 m 45 m V15 92 m 72 m 72 m V18 V19 60 m V21 V10 203 m V16 365 m x 2 20 m V20 Obrázek 14: Úplný graf včetně slepých ulic Protože graf není velký, je vyšetřen počátek možné cesty obsluhy z každého vrcholu. Konstrukce grafu je zahájena ve zvoleném vrcholu a dále postupně zařazovány ostatní incidentní hrany s uzly, kterými je procházeno. Až jsou všechny hrany zařazeny do grafu, pak poslední propojený tah je eulerovský. Postup po jednotlivých hranách je v grafu pro zjednodušení znázorněn pořadovými čísly u jednotlivých hran. 34

4.1 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 1 V1 1 V2 35 34 V6 31 28 V12 V3 21 19 20 33 32 22 V7 23 29 30 V13 24 27 2 V4 14 V8 13 V14 18 15 V5 16 17 V9 10 V10 11 9 12 25 7 8 V15 V16 V18 26 6 5 V19 3 V21 4 V20 Obrázek 15: Graf s výchozím vrcholem V1 Eulerovský sled podle grafu: V 1 -V 11 -V 21 -V 20 -V 20 -V 19 -V 18 -V 15 -V 16 -V 10 -V 9 -V 15 -V 14 -V 8 - V 4 -V 5 -V 5 -V 9 -V 2 -V 3 -V 4 -V 3 -V 7 -V 13 -V 14 -V 18 -V 19 -V 11 -V 12 -V 13 -V 12 -V 6 -V 7 -V 6 -V 2 -V 1. Výsledná délka je 4 860m. K tomuto řešení je nutné připočítat i cestu nutnou pro příjezd čety, a to je 603 m (V 21 -V 11 -V 1 ) k vrcholu V 1. Celková délka trasy je 5 463 m. 35

4.2 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 2 V1 34 V2 35 26 V6 27 28 V12 V3 23 25 24 21 20 22 V7 19 17 18 V13 16 29 33 V4 9 V8 10 V14 1 8 7 V5 6 V9 2 V10 5 3 11 4 15 12 V15 V16 V18 14 13 30 V19 32 V21 31 V20 Obrázek 16: Graf s výchozím vrcholem V2 Eulerovský sled podle grafu: V 2 -V 9 -V 10 -V 16 -V 15 -V 9 -V 5 -V 5 -V 4 -V 8 -V 14 -V 15 -V 18 -V 19 -V 18 - V 14 -V 13 -V 12 -V 13 -V 7 -V 6 -V 7 -V 3 -V 4 -V 3 -V 2 -V 6 -V 12 -V 11 -V 19 -V 20 -V 20 -V 21 -V 11 -V 1 -V 2. Výsledná délka je 4 860 m. K tomuto řešení je nutné připočítat i minimální cestu nutnou pro příjezd čety - 657 m (V 21 -V 11 -V 12 -V 6 -V 2 ) k vrcholu V 2. Celková délka trasy je 5 517 m. 36

4.3 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 3 V1 5 V2 6 7 V6 3 4 V12 35 2 8 10 11 V3 30 29 1 V7 9 V13 12 15 16 V4 28 V8 27 V14 34 31 V5 32 33 V9 24 V10 25 23 26 13 21 22 V15 V16 V18 14 20 19 V19 17 V21 18 V20 Obrázek 17: Graf s výchozím vrcholem V3 Eulerovský sled podle grafu je V 3 -V 7 -V 6 -V 12 -V 11 -V 1 -V 2 -V 6 -V 7 -V 13 -V 12 -V 13 -V 14 -V 18 - V 19 -V 11 -V 21 -V 20 -V 20 -V 19 -V 18 -V 15 -V 16 -V 10 -V 9 -V 15 -V 14 -V 8 -V 4 -V 3 -V 4 -V 5 -V 5 -V 9 -V 2 -V 3. Výsledná délka je 4 860 m. K tomuto řešení je nutné připočítat i minimální cestu nutnou pro příjezd čety - 573 m (V 21 -V 20 -V 19 -V 18 -V 14 -V 8 -V 4 -V 3 ) k vrcholu V 3. Celková délka je 5 433 m. 37

4.4 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 4 V1 32 V2 33 22 V6 23 24 V12 34 4 3 6 7 V3 35 1 2 V7 5 V13 8 25 31 V4 17 V8 16 V14 21 18 19 V5 20 V9 12 V10 13 11 9 10 15 14 V15 V16 V18 27 26 28 V19 30 V21 29 V20 Obrázek 18: Graf s výchozím vrcholem V4 Eulerovský sled podle grafu je V 4 -V 3 -V 7 -V 6 -V 7 -V 13 -V 12 -V 13 -V 14 -V 15 -V 16 -V 10 -V 9 -V 15 - V 18 -V 14 -V 8 -V 4 -V 5 -V 5 -V 9 -V 2 -V 6 -V 12 -V 11 -V 19 -V 18 -V 19 -V 20 -V 20 -V 21 -V 11 -V 1 -V 2 -V 3 -V 4. Výsledná délka je 4 860m. K tomuto řešení je nutné připočítat i minimální cestu nutnou pro příjezd čety - 500 m (V 21 -V 20 -V 19 -V 18 -V 14 -V 8 -V 4 ) k vrcholu V 4. Celková délka je 5 360 m. 38

4.5 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 5 V1 11 V2 12 4 V6 7 10 V12 V3 15 13 14 5 6 16 V7 17 8 9 V13 18 21 22 V4 34 V8 33 V14 3 35 1 V5 2 V9 30 V10 31 29 32 28 19 27 V15 V16 V18 20 26 25 V19 23 V21 24 V20 Obrázek 19: Graf s výchozím vrcholem V5 Eulerovský sled podle grafu je V 5 -V 5 -V 9 -V 2 -V 6 -V 7 -V 6 -V 12 -V 13 -V 12 -V 11 -V 1 -V 2 -V 3 -V 4 - V 3 -V 7 -V 13 -V 14 -V 18 -V 19 -V 11 -V 21 -V 20 -V 20 -V 19 -V 18 -V 15 -V 16 -V 10 -V 9 -V 15 -V 14 -V 8 -V 4 -V 5. Výsledná délka je 4 860 m. K tomuto řešení je nutné připočítat i minimální cestu nutnou pro příjezd čety - 470 m (V 21 -V 20 -V 19 -V 18 -V 15 -V 9 -V 5 ) k vrcholu V 5. Celková délka je 5 330 m. 39

4.6 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 6 V1 5 V2 6 35 V6 3 4 V12 V3 16 7 15 1 2 8 V7 9 10 11 V13 12 26 27 V4 14 V8 13 V14 34 17 18 V5 19 V9 20 V10 33 21 23 22 24 32 V15 V16 V18 25 31 30 V19 28 V21 29 V20 Obrázek 20: Graf s výchozím vrcholem V6 Eulerovský sled podle grafu je V 6 -V 7 -V 6 -V 12 -V 11 -V 1 -V 2 -V 3 -V 7 -V 13 -V 12 -V 13 -V 14 -V 8 -V 4 - V 3 -V 4 -V 5 -V 5 -V 9 -V 10 -V 16 -V 15 -V 14 -V 18 -V 19 -V 11 -V 21 -V 20 -V 20 -V 19 -V 18 -V 15 -V 9 -V 2 -V 6. Výsledná délka je 4 860 m. K tomuto řešení je nutné připočítat i minimální cestu nutnou pro příjezd čety - 486 m (V 21 -V 20 -V 19 -V 18 -V 14 -V 13 -V 12 -V 11 -V 6 ) k vrcholu V 6. Celková délka je 5 346 m. 40

4.7 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 7 V1 4 V2 5 6 V6 2 3 V12 V3 29 34 28 7 1 35 V7 8 9 10 V13 11 14 15 V4 27 V8 26 V14 33 30 31 V5 32 V9 23 V10 24 22 25 21 12 20 V15 V16 V18 13 19 18 V19 16 V21 17 V20 Obrázek 21: Graf s výchozím vrcholem V7 Eulerovský sled podle grafu je V 7 -V 6 -V 12 -V 11 -V 1 -V 2 -V 6 -V 7 -V 13 -V 12 -V 13 -V 14 -V 18 -V 19 - V 11 -V 21 -V 20 -V 20 -V 19 -V 18 -V 15 -V 16 -V 10 -V 9 -V 15 -V 14 -V 8 -V 4 -V 3 -V 4 -V 5 -V 5 -V 9 -V 2 -V 3 -V 7. Výsledná délka je 4 860 m. K tomuto řešení je nutné připočítat i minimální cestu nutnou pro příjezd čety - 441 m (V 21 -V 20 -V 19 -V 18 -V 15 -V 14 -V 13 -V 7 ) k vrcholu V 7. Celková délka je 5 301 m. 41

4.8 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 8 V1 11 V2 10 9 V6 6 12 V12 V3 29 28 2 8 7 3 V7 4 5 13 V13 14 21 20 V4 1 V8 35 V14 27 30 31 V5 32 V9 26 V10 33 25 15 34 23 24 V15 V16 V18 16 22 17 V19 19 V21 18 V20 Obrázek 22: Graf s výchozím vrcholem V8 Eulerovský sled podle grafu je V 8 -V 4 -V 3 -V 7 -V 13 -V 12 -V 6 -V 7 -V 6 -V 2 -V 1 -V 11 -V 12 -V 13 -V 14 - V 18 -V 19 -V 20 -V 20 -V 21 -V 11 -V 19 -V 18 -V 15 -V 16 -V 10 -V 9 -V 2 -V 3 -V 4 -V 5 -V 5 -V 9 -V 15 -V 14 -V 8. Výsledná délka je 4 860 m. K tomuto řešení je nutné připočítat i minimální cestu nutnou pro příjezd čety - 369 m (V 21 -V 20 -V 19 -V 18 -V 14 -V 8 ) k vrcholu V 8. Celková délka je 5 229 m. 42

4.9 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 9 V1 19 V2 20 6 V6 9 18 V12 V3 13 5 4 8 7 12 V7 11 10 17 V13 16 28 29 V4 14 V8 15 V14 21 3 2 V5 1 V9 22 V10 35 23 26 25 34 24 V15 V16 V18 27 33 32 V19 30 V21 31 V20 Obrázek 23: Graf s výchozím vrcholem V9 Eulerovský sled podle grafu je V 9 -V 5 -V 5 -V 4 -V 3 -V 2 -V 6 -V 7 -V 6 -V 12 -V 13 -V 7 -V 4 -V 8 -V 14 - V 13 -V 12 -V 11 -V 1 -V 2 -V 9 -V 10 -V 16 -V 15 -V 14 -V 18 -V 19 -V 11 -V 21 -V 20 -V 20 -V 19 -V 18 -V 15 -V 9. Výsledná délka je 4 860 m. K tomuto řešení je nutné připočítat i minimální cestu nutnou pro příjezd čety - 335 m (V 21 -V 20 -V 19 -V 18 -V 15 -V 9 ) k vrcholu V 9. Celková délka je 5 195 m. 43

4.10 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 10 V1 29 V2 28 27 V6 26 30 V12 20 23 22 25 31 V3 15 14 21 V7 24 V13 32 9 8 V4 13 V8 12 V14 19 16 17 V5 18 V9 35 V10 34 1 11 33 3 2 V15 V16 V18 4 10 5 V19 7 V21 6 V20 Obrázek 24: Graf s výchozím vrcholem V10 Eulerovský sled podle grafu je V 10 V 16 -V 15 -V 18 -V 19 -V 20 -V 20 -V 21 -V 11 -V 19 -V 18 -V 14 -V 8 - V 4 -V 3 -V 4 -V 5 -V 5 -V 9 -V 2 -V 3 -V 7 -V 6 -V 7 -V 13 -V 12 -V 6 -V 2 -V 1 -V 11 -V 12 -V 13 -V 14 -V 15 -V 9 -V 10. Výsledná délka je 4 860 m. K tomuto řešení je nutné připočítat i minimální cestu nutnou pro příjezd čety - 492 m (V 21 -V 20 -V 19 -V 18 -V 15 -V 16 -V 10 ) k vrcholu V 10. Celková délka je 5 352 m. 44

4.11 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 11 V1 35 V2 34 33 V6 32 6 V12 V3 21 26 20 29 28 27 V7 30 7 31 V13 8 5 1 V4 19 V8 18 V14 25 22 23 V5 24 V9 15 V10 16 14 9 17 12 13 V15 V16 V18 10 11 4 V19 2 V21 3 V20 Obrázek 25: Graf s výchozím vrcholem V11 Eulerovský sled podle grafu je V 11 -V 21 -V 20 -V 20 -V 19 -V 11 -V 12 -V 13 -V 14 -V 18 -V 19 -V 18- V 15 - V 16 -V 10 -V 9 -V 15 -V 14 -V 8 -V 4 -V 3 -V 4 -V 5 -V 5 -V 9 -V 2 -V 3 -V 7 -V 6 -V 7 -V 13 -V 12 -V 6 -V 2 -V 1 -V 11. Výsledná délka je 4 860 m. K tomuto řešení je nutné připočítat i minimální cestu nutnou pro příjezd čety - 415 m (V 21 -V 11 ) k vrcholu V 11. Celková délka je 5 275 m. 45

4.12 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 12 V1 2 V2 3 4 V6 7 1 V12 V3 21 22 11 5 6 10 V7 9 8 35 V13 34 31 30 V4 12 V8 13 V14 23 20 19 V5 18 V9 17 V10 24 16 14 15 33 25 V15 V16 V18 26 32 27 V19 29 V21 28 V20 Obrázek 26: Graf s výchozím vrcholem V12 Eulerovský sled podle grafu je V 12 -V 11 -V 1 -V 2 -V 6 -V 7 -V 6 -V 12 -V 13 -V 7 -V 3 -V 4 -V 8 -V 14 -V 15 - V 16 -V 10 -V 9 -V 5 -V 5 -V 4 -V 3 -V 2 -V 9 -V 15 -V 18 -V 19 -V 20 -V 20 -V 21 -V 11 -V 19 -V 18 -V 14 -V 13 -V 12. Výsledná délka je 4 860 m. K tomuto řešení je nutné připočítat i minimální cestu nutnou pro příjezd čety - 438 m (V 21 -V 20 -V 19 -V 18 -V 14 -V 13 -V 12 ) k vrcholu V 12. Celková délka je 5 298 m. 46

4.13 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 13 V1 3 V2 4 12 V6 9 2 V12 V3 18 5 17 11 10 6 V7 7 1 8 V13 35 32 31 V4 19 V8 20 V14 13 16 15 V5 14 V9 24 V10 25 23 34 21 26 22 V15 V16 V18 27 33 28 V19 30 V21 29 V20 Obrázek 27: Graf s výchozím vrcholem V13 Eulerovský sled podle grafu je V 13 -V 12 -V 11 -V 1 -V 2 -V 3 -V 7 -V 13 -V 12 -V 6 -V 7 -V 6 -V 2 -V 9 -V 5 - V 5 -V 4 -V 3 -V 4 -V 8 -V 14 -V 15 -V 16 -V 10 -V 9 -V 15 -V 18 -V 19 -V 20 -V 20 -V 21 -V 11 -V 19 -V 18 -V 14 -V 13. Výsledná délka je 4 860 m. K tomuto řešení je nutné připočítat i minimální cestu nutnou pro příjezd čety - 403 m (V 21 -V 20 -V 19 -V 18 -V 14 -V 13 ) k vrcholu V 13. Celková délka je 5 263 m. 47

4.14 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 14 V1 7 V2 8 15 V6 18 27 V12 V3 22 9 10 17 16 21 V7 20 26 19 V13 25 28 6 V4 23 V8 24 V14 14 11 12 V5 13 V9 32 V10 31 33 35 34 1 30 V15 V16 V18 2 29 3 V19 5 V21 4 V20 Obrázek 28: Graf s výchozím vrcholem V14 Eulerovský sled podle grafu je V 14 -V 18 -V 19 -V 20 -V 20 -V 21 -V 11 -V 1 -V 2 -V 3 -V 4 -V 5 -V 5 -V 9 - V 2 -V 6 -V 7 -V 6 -V 12 -V 13 -V 7 -V 3 -V 4 -V 8 -V 14 -V 13 -V 12 -V 11 -V 19 -V 18 -V 15 -V 9 -V 10 -V 16 -V 15 -V 14. Výsledná délka je 4 860 m. K tomuto řešení je nutné připočítat i minimální cestu nutnou pro příjezd čety - 243 m (V 21 -V 20 -V 19 -V 18 -V 15 -V 14 -V 13 -V 7 ) k vrcholu V 14. Celková délka je 5 103 m. 48

4.15 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 15 V1 13 V2 14 15 V6 16 12 V12 22 20 19 17 11 V3 28 27 21 V7 18 V13 10 7 6 V4 29 V8 30 V14 23 26 25 V5 24 V9 34 V10 35 9 31 1 32 V15 V16 V18 2 8 3 V19 5 V21 33 4 V20 Obrázek 29: Graf s výchozím vrcholem V15 Eulerovský sled podle grafu je V 15 -V 18 -V 19 -V 20 -V 20 -V 21 -V 11 -V 19 -V 18 -V 14 -V 13 -V 12 -V 11 - V 1 -V 2 -V 6 -V 12 -V 13 -V 7 -V 6 -V 7 -V 3 -V 2 -V 9 -V 5 -V 5 -V 4 -V 3 -V 4 -V 8 -V 14 -V 15 -V 16 -V 10 -V 9 -V 15. Výsledná délka je 4 860 m. K tomuto řešení je nutné připočítat i minimální cestu nutnou pro příjezd čety - 197 m (V 21 -V 20 -V 19 -V 18 -V 15 ) k vrcholu V 15. Celková délka je 5 057 m. 49

4.16 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 16 V1 18 V2 17 16 V6 20 19 V12 V3 13 7 6 21 15 14 V7 22 23 24 V13 25 28 29 V4 12 V8 11 V14 8 5 4 V5 3 V9 2 V10 9 1 26 10 34 35 V15 V16 V18 27 33 32 V19 30 V21 31 V20 Obrázek 30: Graf s výchozím vrcholem V16 Eulerovský sled podle grafu je V 16 -V 10 -V 9 -V 5 -V 5 -V 4 -V 3 -V 2 -V 9 -V 15 -V 14 -V 8 -V 4 -V 3 -V 7 - V 6 -V 2 -V 1 -V 11 -V 12 -V 6 -V 7 -V 13 -V 12 -V 13 -V 14 -V 18 -V 19 -V 11 -V 21 -V 20 -V 20 -V 19 -V 18 -V 15 -V 16. Výsledná délka je 4 860 m. K tomuto řešení je nutné připočítat i minimální cestu nutnou pro příjezd čety - 289 m (V 21 -V 20 -V 19 -V 18 -V 15 -V 16 ) k vrcholu V 16. Celková délka je 5 149 m. 50

4.17 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 18 V1 12 V2 13 14 V6 17 11 V12 V3 31 32 21 16 15 20 V7 19 18 10 9 V13 6 5 V4 22 V8 23 V14 33 30 29 V5 28 V9 27 V10 34 26 8 24 35 25 V15 V16 V18 1 7 2 V19 4 V21 3 V20 Obrázek 31: Graf s výchozím vrcholem V18 Eulerovský sled podle grafu je V 18 -V 19 -V 20 -V 20 -V 21 -V 11 -V 19 -V 18 -V 14 -V 13 -V 12 -V 11 -V 1 - V 2 -V 6 -V 7 -V 6 -V 12 -V 13 -V 7 -V 3 -V 4 -V 8 -V 14 -V 15 -V 16 -V 10 -V 9 -V 5 -V 5 -V 4 -V 3 -V 2 -V 9 -V 15 -V 18. Výsledná délka je 4 860 m. K tomuto řešení je nutné připočítat i minimální cestu nutnou pro příjezd čety - 152 m (V 21 -V 20 -V 19 -V 18 ) k vrcholu V 18. Celková délka je 5 012 m. 51

4.18 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 19 V1 20 V2 19 23 V6 22 21 V12 26 V3 24 25 28 29 27 V7 30 31 32 V13 33 5 4 V4 14 V8 13 V14 18 15 16 V5 17 V9 10 V10 11 9 12 8 34 7 V15 V16 V18 6 35 1 V19 3 V21 2 V20 Obrázek 32: Graf s výchozím vrcholem V19 Eulerovský sled podle grafu je V 19 -V 20 -V 20 -V 21 -V 11 -V 19 -V 18 -V 15 -V 16 -V 10 -V 9 -V 15 -V 14 - V 8 -V 4 -V 5 -V 5 -V 9 -V 2 -V 1 -V 11 -V 12 -V 6 -V 2 -V 3 -V 4 -V 3 -V 7 -V 6 -V 7 -V 13 -V 12 -V 13 -V 14 -V 18 -V 19. Výsledná délka je 4 860 m. K tomuto řešení je nutné připočítat i minimální cestu nutnou pro příjezd čety - 80 m (V 21 -V 20 -V 19 ) k vrcholu V 19. Celková délka je 4 940 m. 52

4.19 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 20 V1 27 V2 28 29 V6 30 26 V12 20 22 23 25 31 V3 15 14 21 V7 24 V13 32 4 3 V4 13 V8 12 V14 19 16 17 V5 18 V9 8 V10 7 9 33 11 6 10 V15 V16 V18 5 34 35 V19 2 V21 1 V20 Obrázek 33: Graf s výchozím vrcholem V20 Eulerovský sled podle grafu je V 20 -V 20 -V 21 -V 11 -V 19 -V 18 -V 15 -V 9 -V 10 -V 16 -V 15 -V 14 -V 8 - V 4 -V 3 -V 4 -V 5 -V 5 -V 9 -V 2 -V 3 -V 7 -V 6 -V 7 -V 13 -V 12 -V 11 -V 1 -V 2 -V 6 -V 12 -V 13 -V 14 -V 18 -V 19 -V 20. Výsledná délka je 4 860 m. K tomuto řešení je nutné připočítat i minimální cestu nutnou pro příjezd čety - 20 m (V 21 -V 20 ) k vrcholu V 20. Celková délka je 4 880 m. 53

4.20 Konstrukce grafu se začátkem ve vrcholu V 21 V1 34 V2 33 32 V6 31 5 V12 V3 20 25 19 28 27 26 V7 29 6 30 7 V13 4 35 V4 18 V8 17 V14 24 21 22 V5 23 V9 14 V10 15 13 8 16 11 12 V15 V16 V18 9 10 3 V19 1 V21 2 V20 Obrázek 34: Graf s výchozím vrcholem V21 Eulerovský sled podle grafu je V 21 -V 20 -V 20 -V 19 -V 11 -V 12 -V 13 -V 14 -V 18 -V 19 -V 18 -V 15 -V 16 - V 10 -V 9 -V 15 -V 14 -V 8 -V 4 -V 3 -V 4 -V 5 -V 5 -V 9 -V 2 -V 3 -V 7 -V 6 -V 7 -V 13 -V 12 -V 6 -V 2 -V 1 -V 11 -V 21. Výsledná délka je 4 860 m. K tomuto řešení je nutné připočítat i minimální cestu nutnou pro příjezd čety - 0 m k vrcholu V 21. Celková délka je 4 860 m. 54

5. Porovnání a zhodnocení jednotlivých řešení Z předchozího návrhu vyplývá, že při obsluze všech hran (ulic) za podmínky, aby četa prošla ulicí alespoň jednou a vícekrát pouze co nejkratší úseky, je po provedeném minimálním párování a doplnění fiktivních hran mezi příslušné vrcholy jasné, že konečné číslo bude vždy 4 860 m obslužných komunikací. Protože graf vycházel z reálných komunikací města, je nutné vzít do úvahy i výchozí polohu městského podniku, který tuto údržbu (či obsluhu) provádí. Na obrázku 35 vpravo dole je patrné, kde se podnik nachází. Obrázek 35: Mapa s výchozím stanovištěm čety městského podniku (zdroj: mapa města Zdice [6]) Vzdálenost základny městského podniku k nejbližšímu vrcholu grafu V 21, který je křižovatkou ulic Vorlova, Stará Zvonice a Zdíkova náměstí je 1 101 m. Tato vzdálenost není do grafu započítána, protože by se jednalo o konstantu, která by ke každému výchozímu vrcholu byla vždy připočítána. K základně je nejbližší vrchol daného grafu vrchol V 21. 55

Je nezbytné připočítat i minimální (nejkratší) cestu k výchozímu vrcholu grafu, který je ve zvoleném grafu počátečním uzlem (výchozím vrcholem) údržby. Je třeba se na dané výchozí místo (reprezentované výchozím vrcholem) dopravit, a proto je tato připočítaná cesta nutná, ale pro četu ztrátová. Pokud chceme eliminovat tuto ztrátu je pro četu nejvýhodnější zahájit svou práci ve vrcholu V 21, kde ji také ukončí. Výchozí vrchol Minimální délka trasy k výchozímu vrcholu [m] Celková délka trasy [m] V 1 603 5 463 V 2 357 5 517 V 3 573 5 433 V 4 500 5 360 V 5 470 5 330 V 6 486 5 346 V 7 441 5 301 V 8 369 5 229 V 9 335 5 195 V 10 492 5 352 V 11 415 5 275 V 12 438 5 298 V 13 403 5 263 V 14 243 5 103 V 15 197 5 057 V 16 289 5 149 V 18 152 5 012 V 19 80 4 940 V 20 20 4 880 V 21 0 4 860 Tabulka 7: Celková délka trasy podle výchozího (počátečního) vrcholu Pokud bychom chtěli otevřený eulerovský sled, ukončíme práci v grafu s výchozím vrcholem V 21 ve vrcholu V 1, ale protože četa se musí i vrátit na svou základnu, která je znázorněna na obrázku 35 (na mapě vpravo dole), je nejkratší cesta přes vrcholy V 1 -V 11 - V 21. Po zařazení do grafu se tudíž bude ve výsledku jednat o uzavřený eulerovský sled, protože je naplněna podmínka, abychom cestu prošli minimálně jednou. 56

Výsledná délka obslužné trasy této jedné čety je 4 860 m (vlastní délka trasy komunikací, na kterých četa vykonává údržbu) + 1101 m (délka cesty čety na stanoviště ze základny) + 1101 m (délka zpáteční cesty čety na základnu). Výsledkem je délka trasy ze základny, vykonání potřebných udržovacích prací a zpáteční cesta jedné čety na základnu, a to v celkové délce 7 062 m. 57

6. Závěr Tato práce se v jednotlivých kapitolách zabývala návrhem trasy pracovní čety městského podniku města Zdice. Řeší, ze kterého vrcholu (uzlu) zahájí četa údržbu komunikací, a ve kterém údržba skončí. Tak, aby četa prošla ulicí právě jen jednou, popřípadě minimálně jednou. V této práci bylo zjišťováno, zda začátek i konec prací bude v témže vrcholu nebo ve vrcholu rozdílném. Ke zjištění je použito metody z operačního výzkumu (teorie grafů) a to metody tzv. čínského pošťáka, která je pro obsluhu hran vhodná. Pro tuto práci byla vybrána pouze dílčí část ulic (s místním názvem Samohelka) z celkové dopravní sítě místních komunikací města, ve které byl aplikován budoucí návrh řešení. Z této části ulic a křižovatek byl vytvořen základní síťový graf. Je zjištěno, že vrcholů lichého stupně je deset. Současně je splněna podmínka, že se jedná o sudý počet (těchto vrcholů), proto je rozhodnuto o použití Edmondsova algoritmu. Je vytvořen graf z vrcholů lichého stupně a následně určeno párování minimální délky hran. Vytvořený kompletní graf z vrcholů lichého stupně je značně nepřehledný, proto byla pro přehlednost zvolena matice nejkratších vzdáleností lichých vrcholů. Základní graf byl rozšířen o fiktivní hrany minimálního párování a smyčky (představující slepé ulice). Postupně je vyšetřeno, který vrchol je nejvýhodnější pro zahájení práce čety. Jsou vyšetřeny všechny vrcholy V 1 - V 21. Ke zvolenému výchozímu vrcholu je připočítána i minimální délka příjezdové cesty pracovní čety na stanoviště, ze kterého bude zahajovat svou práci. Nakonec jsou varianty tvořené jednotlivými výchozími vrcholy vzájemně porovnány. Pro větší přehlednost jsou varianty uvedeny v tabulce 7. Varianta, která je ohodnocena nejmenší celkovou délkou, je variantou nejvýhodnější z hlediska nejméně ujetých kilometrů pracovní čety. Závěrem zhodnotíme stávající způsob provádění údržby města pouze ve zvoleném segmentu místních komunikací. Při stávajícím řešením (viz část 1.) četa projíždí celkem 5 419 m, to je s cestou ze základny tam a zpět celkem 7 621 m. Nově navrhovaná trasa měří pouhých 4 860 m, spolu s cestou ze základny tam a zpět 7 062 m, což je o 559 m méně než doposud využívaná trasa. V přepočtu se jedná o úsporu ve výši 11,5% oproti původnímu řešení. Stávající délka místních komunikací v řešené části podle pasportu místěních komunikací [4] je 3166,2 m, nově navrhovaná trasa je délky 4 860 m, v přepočtu 58

je navýšení délky o 53,49%. Když tuto úsporu převedeme na všechny místní komunikace, na kterých městský podnik údržbu provádí, což je 30 193 m v celém městě, délka nové trasy, po které by měla četa projíždět, bude přibližně 46 342,2 m a započtení zjištěné úspory 11,5% (ze stávající trasy), tak stávající trasu zkrátíme o 5 329,5 m. V rámci této práce bylo zjištěno, že pracovní četa provádí úklid po celých ulicích, podle názvů a ne od křižovatky ke křižovatce (od vrcholu k vrcholu). Tudíž provádí údržbu v celkové délce 5 419 m. Při uplatnění navrhovaného řešení do praxe, by četa jen v tomto úseku ušetřila 559 m na svých cestách, které jsou v současném řešení bez užitku. Toto se děje i v jiných městech nejen ve Zdicích. Vždyť často vidíme dopravní značky zákaz zastavení, které jsou dány v ulicích v souladu se zákonem o pozemních komunikacích deset dní dopředu, spolu s dodatkovou tabulkou s datumem čištění či údržby dané ulice města, bez návaznosti na ostatní křižující se komunikace. Pokud by město ze své dopravní sítě vytvořilo základní graf, který by byl rozdělen do logických podgrafů, na kterých by jednotlivé čety prováděly údržbu, došlo by ke zkrácení cest bez provádění jakékoliv činnosti. Tím zefektivnění práce těchto čet. Potom by vlastník komunikací, čištění a údržbu mohl provádět po jednotlivých podgrafech daného grafu dopravní sítě, které by na sebe vzájemně navazovaly. Nebo by byly dané práce prováděny v systému sudých a lichých podgrafů s centrálním vrcholem, který by jednotlivé podgrafy navzájem propojoval. 59

7. Použitá literatura [1] Mocková, D.: Základy teorie dopravy, úlohy, ČVUT, Praha 2007, ISBN 978-80-01-03791-1 [2] Pastor, O., Tuzar, A.: Teorie dopravních systémů, ASPI, Praha, 2007, ISBN 978-80- 7357-257-285-3 [3] Fastr, P.: Zákon o pozemních komunikacích s komentářem a vyhláškou, Linde Praha, Praha, 2004, ISBN 80-7201-495-1 [4] Město Zdice, (Melies s.r.o.): Pasport místních komunikací města Zdice, Praha, 2008 [5] Město Zdice, (Hána, W.): Územní plán města, Praha, 2002, schválení Zastupitelstvem města Zdice dne 24. 6. 2003 usnesením č. 7/2003, bod l./1 (spolu s obecně závaznou vyhláškou č. 2/2003) [6] Město Zdice, (Pacovská, A.): Zdice, plán města, Kompakt s.r.o., Poděbrady, 2004 [7] Město Zdice: Zdice kapitoly z historie a současnosti města, Gemmapress Nučice, Nučice, 2004 60