TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky

Transkript

1 TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015

2 Grafová formulace CPM (critical path method) Orientovaný acyklický graf (DAG) je orientovaný graf neobsahující cykly. Obsahuje alespoň jeden (startovní) uzel bez vstupní hrany a alespoň jeden (cílový) uzel bez výstupní hrany. BÚNO jeden startovní a jeden cílový (spojení startovních/cílových uzlu do jednoho) Grafová úloha: Pro daný orientovaný acyklický graf G(V, E) s ohodnocenými vrcholy w(v) najdi nejmenší číslo T tak, aby délka každé cesty (součet jejích vrcholů) ze startovního do cílového uzlu byla menší než T. Najdi cestu jejíž délka je rovna T.

3 CPM - algoritmus 1. Předpokládáme, že cílový vrchol má ohodnocení Proved topologické setřídění bez ohledu na ohodnocení. 3. Nastav t start [:] = 0, minimální časy začátků činností. 4. Procházej výsledný seznam dopředu a pro každý vrchol u a jeho hranu (u, v) proved t start [v] = max(t start [v], t start [u] + w[u]), (maximum z délek cest které vedou do v). Pro cílový vrchol v end dostáváme t start (v end ) + w[v end ] = T = t end (v end ).

4 CPM - algoritmus 1. Předpokládáme, že cílový vrchol má ohodnocení Proved topologické setřídění bez ohledu na ohodnocení. 3. Nastav t start [:] = 0, minimální časy začátků činností. 4. Procházej výsledný seznam dopředu a pro každý vrchol u a jeho hranu (u, v) proved t start [v] = max(t start [v], t start [u] + w[u]), (maximum z délek cest které vedou do v). Pro cílový vrchol v end dostáváme t start (v end ) + w[v end ] = T = t end (v end ). 5. Nastav t end [:] = T, maximální časy ukončení činností. 6. Procházej seznam pozpátku a počítej pro každý vrchol u a jeho hranu (u, v) t end [u] = min(t end [u], t end (v) w(v)), (kdy nejpozději musím skončit, abych neposunul následující činnosti) 7. Průběžně zaznamenej kritickou cestu tvořenou vrcholy, pro které t end (v) t start (v) = w(v).

5 Topologické setřídění: E B C D A Příklad D=4 4 8 E=1 B= A= C=2 4 8 E B C D A

6 Silně souvislé komponenty orientovaného grafu silně souvislá komponenta je maximální množina vrcholů, kde pro každou uspořádanou dvojici (u, v) existuje cesta kontrakce hrany Splynutí jejích vrcholů v grafu. Necht W V G a indukovaný podgraf G[W ] je souvislý, pak kontrakce množiny W, je graf G.W který vznikne kontrakcí všech hran v G[W ]. metagraf orientovaného grafu vznikne kontrakcí jeho SSK

7 Příklad

8 Důležitá pozorování Lemma (o metagrafu) Metagraf je DAG (orientovaný graf bez cyklů). Značení po provedení DFS: d(c) = min{d[u], u C}, čas příchodu do komponenty C f(c) = max{f[u], u C}, čas odchodu z komponenty C Lemma (o zdrojové komonentě) Necht C a C jsou SSK a existuje hrana z C do C, pak f(c) > f(c ). (Čas odchodu je vyšší u komponenty ze které vede hrana.) Důkaz: Bud nejprve navštívím nějaký vrchol v C nebo nějaký vrchol v C. V obou případech později opustím C.

9 Hledání SSK Algoritmus pro hledání SSK pomocí DFS: 1. Proved DFS(G), urči časy postvisit f[u]. 2. Sestav transponovaný graf G T (opačně orientovaný), 3. Proved DFS(G T ). Hlavní cyklus sestupně podle hodnot f[u]. Provádíme odtrhávání zdrojových komponent metagrafu. 4. Každý strom lesa průchodu odpovídá jedné komponentě

10 Hledání SSK Algoritmus pro hledání SSK pomocí DFS: 1. Proved DFS(G), urči časy postvisit f[u]. 2. Sestav transponovaný graf G T (opačně orientovaný), 3. Proved DFS(G T ). Hlavní cyklus sestupně podle hodnot f[u]. Provádíme odtrhávání zdrojových komponent metagrafu. 4. Každý strom lesa průchodu odpovídá jedné komponentě Správnost algoritmu: V druhém DFS začínám na komponentě s max. f(c), podle lematu je to zdrojový vrchol metagrafu komponent (zdrojová komponenta) a na G T z ní nevede hrana. Po jejím průchodu zůstává v platnosti invariant: Komponenta s max. f(c) je zdrojová komonenta zbylého metagrafu.

11 Eulerova cesta úloha: Pro souvislý neorientovaný graf zjistit, zda se dá nakreslit jedním uzavřeným tahem a najít takový tah. Lemma V souvislém neorientovaném grafu G existuje uzavřený sled obsahující každou hranu právě jednou právě tehdy, když stupně všech vrcholů jsou sudé: v V : deg(v) = 2n Stupně musí být sudé, protože do každého vrcholu přijdeme tolikrát kolikrát odejdeme. Sudost vrcholů zaručuje existenci Eulerovského sledu.. viz. následující algoritmus.

12 Algoritmus pro Eulerovský tah 1. Z vrcholu v procházej graf (jako do hloubky, ale bez návratů) dokud se nevrátíš do v, odstraňuj (označuj) použité hrany. Musím se vrátit do v jelikož po jeho opuštění je to jediný vrchol lichého stupně. 2. Najdi ve výsledném sledu vrchol v s neprojitou hranou. Pokud takový neexistuje skonči. 3. Pokud existuje proved rekurzivně bod 1) a vlož sled do výsledného sledu na místo vrcholu v. Při vhodné implementaci má algoritmus složitost O(V + E).

13 detaily

14 Procházení do šířky I Vstup: graf G daný vrcholy V a sousednostmi Adj[i], počáteční vrchol s Výstup: vzdálenosti d[i] od s, předci π[i] průchodového stromu 1 for u V do Color[u] = W hite 2 Color[s] = Gray; d[s] = 0; π[s] = NULL 3 ClearQueue ; EnQueue(s) 4 while u =DeQueue do 5 for v Adj[u] do 6 if Color[v] == W hite then 7 Color[v] = Gray; d[v] = d[u] + 1; π[v] = u 8 EnQueue(v) 9 Color[u] = Black

15 Procházení do šířky II Breadth First Search (BFS) pro orientované i neorientované grafy vygeneruje kořenový strom vrcholů dosažitelných z s (stejná komponenta) čas: V (vložení a vybrání z fronty)+každá hrana= Θ( V + E ) pamět : reprezentace grafu V + E d[v] je délka nejkratší cesty z s do v kostra souvislého grafu je jeho maximální indukovaný podstrom... zde strom daný předky π[v] Vnější inicializací a cyklem přes všechny bílé vrcholy detekování komponent

16 Nejkratší cesta Lemma (o správnost BFS) Po průběhu BFS (na jedné komonentě) je hodnota d[u] rovna délce nejkratší cesty z s do u. Důkaz indukcí: (TODO - udělat pořádně) Pro d[s] = 0 tvrzení platí. Dokážeme, že pokud platí pro vrcholy, kde d[u] n, pak platí i pro ty kde je d[u] n + 1. Sporem necht u je vrchol, kde d[u] = n + 1 a existuje cesta délky ns poslední hranou {w, u} Při BFS jsem do u mohl přijít z vrcholu v, který byl do fronty dán před w. hodnota d vrcohlů ve frontě neklesá (rozmyslet), proto: d[u] = d[v] + 1, a d[v] d[w] Dále jsem mohl do u přijít přímo z w, pak v každém případě je d[u] = d[w] + 1 n + 1 d[u] nebo Pro w je tedy d[w] n 1 již správně (indukční předpoklad).