Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0307. Matematika

Transkript

1 Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/34.0 Zlepšení podmínek pro výuku na gymnáziu III/ - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Anotace Název tematické oblasti: Název učebního materiálu: Číslo učebního materiálu: Vyučovací předmět: Ročník: Autor: Integrální počet Integrace racionálních lomených funkcí s rozložitelným jmenovatelem VY_3_INOVACE_M0307 Matematika 4. ročník vyššího gymnázia Jaroslav Hajtmar Datum vytvoření: Datum ověření ve výuce: Druh učebního materiálu: Očekávaný výstup: Metodické poznámky: pracovní list Zvládne integrovat racionálně lomené výrazy s rozložitelným jmenovatelem pomoci rozkladu na součet parciálních zlomků. Materiál je určen k motivaci a procvičení učiva o integračních metodách. Může být použit k získání klasifikace.

2 Integrace racionálních lomených funkcí s rozložitelným jmenovatelem Po rozkladu integrovaného racionálního lomeného výrazu na součet parciálních zlomků (v případě ryze lomeného výrazu) resp. na součet polynomu a parciálních zlomků (v případě neryze lomeného výrazu) je integrace již poměrně snadná. Vzhledem k tomu, že polynom umíme jednoduše vždy zintegrovat, pojďme se v tuto chvíli zabývat pouze případem integrování ryze lomeného výrazu tj. P n(x) Q m (x), n < m V minulé hodině jsme poznali dva typy parciálních zlomků. Na tomto pracovním listě se budeme zabývat případem, kdy jmenovatel racionální lomené funkce půjde rozložit až na součin lineárních dvojčlenů a neobjevuje se v něm nerozložitelný kvadratický trojčlen. Tento případ si ponecháme napříště. Tento speciální případ vede na integrály dvou typů: Oba typy umíme již integrovat (zákl. vzorec resp. substituční met.): A x α = A x α = A ln x α + c () A (x α) k = A (x α) k = A (x α) k+ k + + c () Postup při integraci: Přesvědčíme se, že zadaná integrovaná funkce je či není ryze lomená a v závislosti na tom si ji někde bokem rozložíme buď jen na potřebný počet parciálních zlomků resp. na součet polynomu a parciálních zlomků. Samostatně integrujeme jednotlivé parciální zlomky. Zapíšeme výsledek a podmínky integrovatelnosti funkce. Příklad : Vypočtěte neurčitý integrál 3x+6 x x 6 =

3 Řešení. Jde o racionální funkci, která je ryze lomená, protože platí st(3x + 6) = < < st(x x 6) =. Rozložíme ji na parciální zlomky. K tomu potřebujeme kořeny jmenovatele: x x 6 = 0 x, = ± + 4 = ± 5 = {, Platí tedy x x 6 = (x 3)(x +). Oba kořeny jsou reálné a jednoduché. Ke každému kořenu tudíž přísluší jednočlenný řetězec parciálních zlomků. Tvar rozkladu je 3x + 6 x x 6 = 3x + 6 (x 3)(x + ) = A x 3 + B x +, kde A a B jsou vhodné konstanty. Rovnost vynásobíme jmenovatelem (x 3)(x + ) a dostaneme rovnost dvou mnohočlenů: 3x + 6 = A(x + ) + B(x 3). Pro určení konstant A a B je nyní nejrychlejší do rovnosti dosadit postupně oba kořeny. Vyjde: x = : 0 = 5B B =, x = 3 : 5 = 5A A = Nyní již můžeme vypočítat integrál. Dostaneme: ( 3x x x 6 = x 3 x + = 5 x 3 ) = x + = 5 ln x 3 ln x + + c. Výsledek platí na kterémkoli z intervalů (, ), (, 3) a (3, + ). Příklad : Vypočtěte neurčitý integrál x 5 x 3 =

4 Řešení. Jde o racionální ryze lomenou funkci, protože st() = 0 < st(x 5 x 3 ) = 5. Jmenovatel snadno rozložíme na součin kořenových činitelů. Platí: x 5 x 3 = x 3 (x ) = = x 3 (x )(x + ). Všechny kořeny jsou reálné: trojnásobný kořen 0, jemuž odpovídá trojčlenný řetězec parciálních zlomků, a jednoduché kořeny a, jimž odpovídají jednočlenné řetězce parciálních zlomků. Předpokládaný tvar rozkladu je tudíž x 5 x 3 = x 3 (x )(x + ) = A x 3 + B x + C x + D x + E x +. Abychom určili neznámé konstanty A, B, C, D, E, vynásobíme předchozí rovnost jmenovatelem x 3 (x )(x + ). Dostaneme = A(x ) + Bx(x ) + Cx (x ) + Dx 3 (x + ) + Ex 3 (x ). x = 0 : = A A =, x = : = D D = /, x = : = E E = /. = (C + D + E)x 4 + (B + D E)x 3 + (A C)x Bx A. x : 0 = B B = 0, x : 0 = A C C =. ( x 5 x 3 = x 3 x + / x + / x + = x 3 x + ) = x + x + = = x ln x + ln x + ln x + + c. Podle předchozích návodů vypočítejte neurčité integrály následujících racionálních lomených funkcí : Úloha. x (x )(x )(x 3) =

5 Úloha. (x ) (x ) =

6 Výsledky úloh.. ln x 4 ln x + 9 ln x 3 + c x + ln x x + c Použité materiály a zdroje Hošková Š., Kuben J., Račková P., Integrální počet funkcí jedné proměnné [online]. 03 [cit ]. File: ip.pdf. Dostupný z WWW: < /ip.pdf>. Tomica, R. Cvičení z matematiky I. Brno: VAAZ, 974. Archiv autora