M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice

Transkript

1 M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 ± Kvadratické rovnice Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice je rovnice, která ve svém zápisu obsahuje neznámou ve druhé mocnině a zároveň neobsahuje neznámou v mocnině vyšší než druhé. Obecně lze kvadratickou rovnici zapsat: a + b + c 0, kde a ¹ 0 Podobně jako u kvadratické funkce, můžeme jednotlivé členy nazvat: a... kvadratický člen b... lineární člen c... absolutní člen Kvadratická rovnice má zpravidla dva kořeny 1,, může jich mít ale i méně. Zkoušku provádíme pro každý kořen zvlášť. Jakoukoliv kvadratickou rovnici můžeme řešit pomocí vzorce, v němž se vyskytuje tzv. diskriminant kvadratické rovnice. Tento postup si ukážeme později. Pokud totiž kvadratická rovnice neobsahuje všechny členy, můžeme většinou použít i postupy jednodušší. Každou kvadratickou rovnici, která obsahuje závorky, či zlomky, nejprve převedeme do tvaru a + b + c 0 Při řešení samozřejmě nezapomínáme na podmínky řešitelnosti, pro které platí stejná pravidla jako při řešení rovnic lineárních. 1. Kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu Jedná se o rovnici zapsanou obecně: a 0 Takovouto rovnici řešíme snadno tak, že v prvním kroku celou rovnici vydělíme koeficientem a. Můžeme to provést, protože z definice víme, že koeficient a je nenulový. Dostaneme tak: 0 A odtud tedy: 1, Ö0 1, 0 Protože vyšly oba kořeny shodné, hovoříme o tzv. dvojnásobném kořenu. Příklad 1: Řešte kvadratickou rovnici :3 0 1, 0 Můžeme tedy vyslovit jednoduchý závěr: Každá kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu má jeden dvojnásobný kořen, a tím je 0.. Kvadratická rovnice bez lineárního členu Jedná se o rovnici zapsanou obecně: a + c 0 Rovnici řešíme tak, že v prvním kroku převedeme číslo c na pravou stranu: Dostaneme: a - c Dále rovnici vydělíme koeficientem a: 1 z 11

3 Dostaneme: -c/a Nyní rovnici odmocníme. Pokud ale řešíme v oboru reálných čísel, můžeme tento krok provést pouze tehdy, že v případě, že je číslo a kladné, musí být číslo c záporné (a tedy -c kladné). Druhou odmocninu totiž můžeme v oboru reálných čísel provádět pouze z nezáporných čísel (číslo 0 už jsme ale rozebrali v předcházejícím odstavci) Dostaneme: 1, ±Ö(-c/a) Znamená to tedy, že 1 +Ö(-c/a) -Ö(-c/a) Příklad : Řešte kvadratickou rovnici v oboru reálných čísel :(-1) :3 9 1, ±Ö Příklad 3: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici V tomto případě nemá rovnice v oboru reálných čísel řešení. Příklad 4: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici , ±Ö 1 +Ö -Ö 3. Kvadratická rovnice bez absolutního členu Jedná se o rovnici, kterou můžeme zapsat obecně rovnicí a + b 0 Při řešení v prvním kroku na levé straně rozložíme na součin vytknutím : Dostaneme:.(a + b) 0 Nyní využijeme vlastnosti, že součin je roven nule tehdy, když alespoň jeden z činitelů je roven nule. Může tedy nastat, že 1 0 nebo (a + b) 0 a odtud: -b/a Příklad 5: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici z 11

4 + 3 0.( + 3) Můžeme vyslovit jednoduchý závěr, že kvadratická rovnice bez absolutního členu má jeden kořen vždy roven nule. 4. Obecná kvadratická rovnice Jedná se o rovnici obecně zapsanou a + b + c 0 Samozřejmě předpokládáme, že už jsme zadanou rovnici převedli do výše uvedeného základního tvaru, tzn. odstranili jsme běžným způsobem závorky a zlomky. Tento typ rovnice řešíme podle vzorce: 1, - b ± b - 4ac a Pokud je číslo b sudé, můžeme výhodně použít i vzorec pro poloviční hodnoty: 1, b - ± Příklad 6: æ b ö ç è ø a - ac V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici a 1 b 4 c -60 Vzhledem k tomu, že b je sudé, použijeme vzorec pro poloviční hodnoty: 1, b - ± æ b ö ç è ø a - ac 4 æ 4 ö - ± ç -1.(- 60) è ø - ± , - ± 1 1 1, - ± Příklad 7: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici a 3 b -5 c z 11

5 1, 1, - b ± - b - 4ac a (- 5) ± (- 5) ± ± V tomto případě nemá kvadratická rovnice v oboru reálných čísel řešení, protože v oboru reálných čísel nemůžeme vypočítat druhou odmocninu ze záporného čísla. Pozn.: Výraz b - 4ac, který se vyskytuje ve vzorci pro výpočet kvadratické rovnice pod odmocninou, nazýváme diskriminant kvadratické rovnice. Pro tento diskriminant, označovaný také D, platí: Je-li D > 0... kvadratická rovnice má dva reálné různé kořeny Je-li D 0... kvadratická rovnice má jeden (dvojnásobný) kořen Je-li D < 0... kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel žádné řešení Příklad 8: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici a 3 b -5 c -8 1, 1, 1, - b ± - b - 4ac a (- 5) ± (- 5) 5 ± / ( -8) 5 ± ± 11 6 ± Kvadratické rovnice - procvičovací příklady z 11

6 z 11

7 z 11

8 z 11

9 ± Vztahy mezi kořeny a koeficienty Vztah mezi kořeny a koeficienty Každou kvadratickou rovnici zapsanou ve tvaru a + b + c 0 můžeme převést do tzv. normovaného tvaru kvadratické rovnice. Docílíme toho tak, že celou rovnici vydělíme koeficientem a. Provést to můžeme, protože z definice kvadratické rovnice vyplývá, že tento koeficient je různý od nuly. Normovaný tvar kvadratické rovnice: b c + + a a 0 Pokud v takto upravené rovnici lze zlomky vykrátit tak, aby z nich vznikla celá čísla, můžeme při řešení kvadratické rovnice často využít vztah mezi kořeny a koeficienty a vyřešit tak celou kvadratickou rovnici zpaměti. Položme: p b/a q c/a Dostaneme: + p + q 0 Pro řešení kvadratické rovnice pak platí: 1 + -p 1. q Kvadratickou rovnici tedy nemusíme nyní už řešit jen podle vzorce, ale můžeme ji vyřešit též výše uvedenou soustavou rovnic. Z ní dostaneme přímo kořeny 1, kvadratické rovnice. Pozn.: Vztahu mezi kořeny a koeficienty můžeme leckdy vaužít i tehdy, potřebujeme-li trojčlen rozložit na součin dvou činitelů. Máme-li totiž trojčlen zapsaný ve tvaru + p + q, pak mnohdy snadno najdeme zpaměti dvě čísla a, b, jejichž součet je (-p) a jejichž součin je q. Hledaný rozklad má pak tvar ( - a).( - b) Postup vztahu mezi kořeny a koeficienty můžeme využít i tehdy, známe-li kořeny kvadratické rovnice a potřebujeme najít naopak zadání kvadratické rovnice. Příklad: Napište rovnici kvadratické funkce, jejíž kořeny jsou 5 a -8 Řešení Platí ( - 5). ( + 8) Jiný způsob řešení: 1 + -p 1. q 5-8 -p proto p 3 5. (-8) q proto q -40 Závěr: z 11

10 ± Vztahy mezi kořeny a koeficienty - procvičovací příklady p p z 11

11 ± Kvadratické nerovnice Kvadratické nerovnice S kvadratickými nerovnicemi už jsme se vlastně setkali, aniž jsme si to uvědomili, v kapitole Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru. Přesněji tedy řečeno v její druhé části, tedy v kapitole nerovnice v součinovém tvaru. Řešit už tedy umíme nerovnice typu (+3). ( - 5) < 0 Tento typ nerovnic tedy už nebude předmětem výkladu. Problém však může někdy nastat, budeme-li mít zadánu nerovnici formou trojčlenu - např < 0 V tomto případě si musíme nejprve zadaný trojčlen rozložit na součin. K tomu využijeme znalost řešení kvadratické rovnice. Napíšeme si tedy pomocnou kvadratickou rovnici a tu normálně podle vzorce vyřešíme. Zjistíme, její kořeny jsou -3 a 5. Proto hledaný rozklad bude mít podobu ( + 3). ( - 5) Někdy se nám ale stane, že při řešení kvadratické rovnice vyjde diskriminant (tj. číslo pod odmocninou) záporný. V tom případě rozklad na součin v oboru reálných čísel neeistuje. Pak nastanou dvě možnosti: nerovnice nemá žádné řešení nerovnice má nekonečně mnoho řešení Která z uvedených možností nastane, o tom se přesvědčíme tak, že do zadané nerovnice dosadíme libovolné číslo. Vyjde-li nepravdivá nerovnost, řešení neeistuje; vyjde-li pravdivá nerovnost, řešení je nekonečně mnoho. I v tomto případě ale pozor na podmínky řešitelnosti! Trochu zjednodušit práci si můžeme i tehdy, vyjde-li diskriminant pomocné kvadratické rovnice roven nule. Není to však nezbytně nutné. Kvadratické nerovnice můžeme výhodně řešit i graficky. Např. kvadratickou nerovnici < 0 bychom mohli graficky vyřešit takto: 1. Zápis si upravíme na - 15 <. Vytvoříme dvě funkce - z každé strany vzniklé nerovnice jednu - tedy f 1: y - 15 f : y 3. Narýsujeme grafy obou funkcí do jednoho souřadného systému 10 z 11

12 4. Na ose nyní vyznačíme interval, v němž platí, že hodnoty kvadratické funkce jsou menší než hodnoty funkce lineární. Vidíme, že se jedná o otevřený interval (-3; 5) ± Kvadratické nerovnice - procvičovací příklady 1. Řeš kvadratickou nerovnici < 0 K { } Řeš kvadratickou nerovnici > 0 K (-4; -) Řeš kvadratickou nerovnici > 0 K (- ; ) È (3; + ) Řeš kvadratickou nerovnici K R Řeš kvadratickou nerovnici > 0 R \ {} Řeš kvadratickou nerovnici > 0 K R Řeš kvadratickou nerovnici K <-; 3> Řeš kvadratickou nerovnici K <-4; 3> Řeš kvadratickou nerovnici + 3 K <-3; -1> Řeš kvadratickou nerovnici > 0 K { } z 11

13 Obsah Kvadratické rovnice 1 Kvadratické rovnice - procvičovací příklady 4 Vztahy mezi kořeny a koeficienty 8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty - procvičovací příklady 9 Kvadratické nerovnice 10 Kvadratické nerovnice - procvičovací příklady :15:10 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (