Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti
|
|
|
- Miloslav Beran
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Tématická oblast Datum vytvoření Ročník Stručný obsah Způsob využití Autor Kód Matematika - Rovnice a slovní úlohy 4. ročník osmiletého gymnázia Řešení soustav dvou rovnic o dvou neznámých diskuse řešitelnosti. Postupné procházení jednotlivých snímků. Interakce studentů prostřednictvím odpovědí na otázky a výpočtu příkladů. Ing. Michal Heczko VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín
2 Opakování Otázka S diskusí řešitelnosti jste se již setkali u rovnic s jednou neznámou. Odpověd VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 2/1
3 Opakování Otázka S diskusí řešitelnosti jste se již setkali u rovnic s jednou neznámou. Kdy taková rovnice má nekonečně mnoho řešení? Odpověd VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 2/1
4 Opakování Otázka S diskusí řešitelnosti jste se již setkali u rovnic s jednou neznámou. Kdy taková rovnice má nekonečně mnoho řešení? Odpověd Pokud rovnici pomocí ekvivalentních úprav upravíme do tvaru 0.x = 0, je řešením rovnice každé reálné číslo. VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 2/1
5 Opakování Otázka S diskusí řešitelnosti jste se již setkali u rovnic s jednou neznámou. Kdy taková rovnice má nekonečně mnoho řešení? Kdy takové rovnice nemá žádné řešení? Odpověd Pokud rovnici pomocí ekvivalentních úprav upravíme do tvaru 0.x = 0, je řešením rovnice každé reálné číslo. VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 2/1
6 Opakování Otázka S diskusí řešitelnosti jste se již setkali u rovnic s jednou neznámou. Kdy taková rovnice má nekonečně mnoho řešení? Kdy takové rovnice nemá žádné řešení? Odpověd Pokud rovnici pomocí ekvivalentních úprav upravíme do tvaru 0.x = 0, je řešením rovnice každé reálné číslo. Pokud rovnici pomocí ekvivalentních úprav upravíme do tvaru 0.x = b (kde b je reálné číslo různé od 0), nemá rovnice žádné řešení. VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 2/1
7 Počet řešení Diskuse řešitelnosti bude u soustav dvou rovnic o dvou neznámých probíhat podobně, jako u rovnic s jednou neznámou. VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 3/1
8 Počet řešení Diskuse řešitelnosti bude u soustav dvou rovnic o dvou neznámých probíhat podobně, jako u rovnic s jednou neznámou. Soustavy, které jsme zatím řešili, měli jedno řešením. Tímto řešením byla uspořádaná dvojice hodnot, kdy každá hodnota příslušela jedné z neznámých. Řešení tedy můžeme zapsat například: x = 1; y = 2 nebo [x, y] = [1, 2] VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 3/1
9 Počet řešení Diskuse řešitelnosti bude u soustav dvou rovnic o dvou neznámých probíhat podobně, jako u rovnic s jednou neznámou. Soustavy, které jsme zatím řešili, měli jedno řešením. Tímto řešením byla uspořádaná dvojice hodnot, kdy každá hodnota příslušela jedné z neznámých. Řešení tedy můžeme zapsat například: x = 1; y = 2 nebo [x, y] = [1, 2] Pokud se při řešení soustavy dostaneme k platné rovnosti (typu 0 = 0, 4 = 4,...) má soustava nekonečně mnoho řešení. VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 3/1
10 Počet řešení Diskuse řešitelnosti bude u soustav dvou rovnic o dvou neznámých probíhat podobně, jako u rovnic s jednou neznámou. Soustavy, které jsme zatím řešili, měli jedno řešením. Tímto řešením byla uspořádaná dvojice hodnot, kdy každá hodnota příslušela jedné z neznámých. Řešení tedy můžeme zapsat například: x = 1; y = 2 nebo [x, y] = [1, 2] Pokud se při řešení soustavy dostaneme k platné rovnosti (typu 0 = 0, 4 = 4,...) má soustava nekonečně mnoho řešení. Pokud se při řešení soustavy dostaneme k nerovnosti (typu 0 = 1, 4 = 3,...) nemá soustava žádné řešení. VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 3/1
11 Žádné řešení Řešený příklad 6x + 4y = 1 VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 4/1
12 Žádné řešení Řešený příklad 6x + 4y = 1 Řešení VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 4/1
13 Žádné řešení Řešený příklad 6x + 4y = 1 Řešení.( 2) Pro řešení naší soustavy použijeme sčítací metodu. VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 4/1
14 Žádné řešení Řešený příklad 6x + 4y = 1 Řešení.( 2) 6x 4y = 6 6x + 4y = 1 Pro řešení naší soustavy použijeme sčítací metodu. První rovnici vynásobíme číslem -2 a získáme rovnice, které můžeme sečíst. VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 4/1
15 Žádné řešení Řešený příklad 6x + 4y = 1 Řešení.( 2) 6x 4y = 6 6x + 4y = 1 0 = 5 Pro řešení naší soustavy použijeme sčítací metodu. První rovnici vynásobíme číslem -2 a získáme rovnice, které můžeme sečíst. Po sečtení rovnic nám zbude výraz 0 = -5. Jedná se o nerovnost. Soustava tedy nemá žádné řešení. VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 4/1
16 Žádné řešení Řešený příklad 6x + 4y = 1 Řešení.( 2) 6x 4y = 6 6x + 4y = 1 0 = 5 Pro řešení naší soustavy použijeme sčítací metodu. První rovnici vynásobíme číslem -2 a získáme rovnice, které můžeme sečíst. Po sečtení rovnic nám zbude výraz 0 = -5. Jedná se o nerovnost. Soustava tedy nemá žádné řešení. Zadaná soustava rovnic nemá řešení. VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 4/1
17 Nekonečně mnoho řešení Řešený příklad VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 5/1
18 Nekonečně mnoho řešení Řešený příklad Řešení VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 5/1
19 Nekonečně mnoho řešení Řešený příklad Pro řešení naší soustavy použijeme sčítací metodu. Řešení.( 2) VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 5/1
20 Nekonečně mnoho řešení Řešený příklad Řešení.( 2) 6x 4y = 6 Pro řešení naší soustavy použijeme sčítací metodu. První rovnici vynásobíme číslem -2 a získáme rovnice, které můžeme sečíst. VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 5/1
21 Nekonečně mnoho řešení Řešený příklad Řešení.( 2) 6x 4y = 6 0 = 0 Pro řešení naší soustavy použijeme sčítací metodu. První rovnici vynásobíme číslem -2 a získáme rovnice, které můžeme sečíst. Po sečtení rovnic nám zbyde výraz 0 = 0. Soustava tedy má nekonečně mnoho řešení. Řešením však není libovolná dvojice reálných čísel, ale mezi neznámou x a y bude platit určitá závislost. VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 5/1
22 Nekonečně mnoho řešení Řešený příklad Řešení.( 2) 6x 4y = 6 0 = 0 Pro řešení naší soustavy použijeme sčítací metodu. První rovnici vynásobíme číslem -2 a získáme rovnice, které můžeme sečíst. Po sečtení rovnic nám zbyde výraz 0 = 0. Soustava tedy má nekonečně mnoho řešení. Řešením však není libovolná dvojice reálných čísel, ale mezi neznámou x a y bude platit určitá závislost. Jednu z těchto neznámých (y) v jedné rovnici nahradíme parametrem t a vyjádříme druhou neznámou. VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 5/1
23 Nekonečně mnoho řešení Řešený příklad Řešení.( 2) 6x 4y = 6 0 = 0 3x + 2t = 3 2t Pro řešení naší soustavy použijeme sčítací metodu. První rovnici vynásobíme číslem -2 a získáme rovnice, které můžeme sečíst. Po sečtení rovnic nám zbyde výraz 0 = 0. Soustava tedy má nekonečně mnoho řešení. Řešením však není libovolná dvojice reálných čísel, ale mezi neznámou x a y bude platit určitá závislost. Jednu z těchto neznámých (y) v jedné rovnici nahradíme parametrem t a vyjádříme druhou neznámou. VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 5/1
24 Nekonečně mnoho řešení Řešený příklad Řešení.( 2) 6x 4y = 6 0 = 0 3x + 2t = 3 2t 3x = 3 2t : 3 Pro řešení naší soustavy použijeme sčítací metodu. První rovnici vynásobíme číslem -2 a získáme rovnice, které můžeme sečíst. Po sečtení rovnic nám zbyde výraz 0 = 0. Soustava tedy má nekonečně mnoho řešení. Řešením však není libovolná dvojice reálných čísel, ale mezi neznámou x a y bude platit určitá závislost. Jednu z těchto neznámých (y) v jedné rovnici nahradíme parametrem t a vyjádříme druhou neznámou. VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 5/1
25 Nekonečně mnoho řešení Řešený příklad Řešení.( 2) 6x 4y = 6 0 = 0 3x + 2t = 3 2t 3x = 3 2t : 3 x = 3 2t 3 Pro řešení naší soustavy použijeme sčítací metodu. První rovnici vynásobíme číslem -2 a získáme rovnice, které můžeme sečíst. Po sečtení rovnic nám zbyde výraz 0 = 0. Soustava tedy má nekonečně mnoho řešení. Řešením však není libovolná dvojice reálných čísel, ale mezi neznámou x a y bude platit určitá závislost. Jednu z těchto neznámých (y) v jedné rovnici nahradíme parametrem t a vyjádříme druhou neznámou. VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 5/1
26 Nekonečně mnoho řešení Řešený příklad Řešení.( 2) 6x 4y = 6 0 = 0 3x + 2t = 3 2t 3x = 3 2t : 3 x = 3 2t 3 Řešením soustavy rovnic je uspořádaná dvojice [x, y] = [ 3 2t 3, t]. Pro řešení naší soustavy použijeme sčítací metodu. První rovnici vynásobíme číslem -2 a získáme rovnice, které můžeme sečíst. Po sečtení rovnic nám zbyde výraz 0 = 0. Soustava tedy má nekonečně mnoho řešení. Řešením však není libovolná dvojice reálných čísel, ale mezi neznámou x a y bude platit určitá závislost. Jednu z těchto neznámých (y) v jedné rovnici nahradíme parametrem t a vyjádříme druhou neznámou. Výsledek zapíšeme ve tvaru uspořádané dvojice. VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 5/1
27 Nekonečně mnoho řešení Řešený příklad Řešení.( 2) 6x 4y = 6 0 = 0 3x + 2t = 3 2t 3x = 3 2t : 3 x = 3 2t 3 Řešením soustavy rovnic je uspořádaná dvojice [x, y] = [ 3 2t 3, t]. Pro řešení naší soustavy použijeme sčítací metodu. První rovnici vynásobíme číslem -2 a získáme rovnice, které můžeme sečíst. Po sečtení rovnic nám zbyde výraz 0 = 0. Soustava tedy má nekonečně mnoho řešení. Řešením však není libovolná dvojice reálných čísel, ale mezi neznámou x a y bude platit určitá závislost. Jednu z těchto neznámých (y) v jedné rovnici nahradíme parametrem t a vyjádříme druhou neznámou. Výsledek zapíšeme ve tvaru uspořádané dvojice. Po dosazení hodnoty t může být řešením například [-1, 3], [1, 0], [3, -3],... VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 5/1
28 Příklady na procvičení Vyřešte následující soustavy rovnic a určete počet řešení: Příklad č. 1 8x + 6y = 16 4x + 3y = 8 Příklad č. 2 12x 4y = 6 3x + y = 2 VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 6/1
29 Příklad č. 1 8x + 6y = 16 4x + 3y = 8 8x + 6y = 16 4x + 3y = 8.( 2) 8x + 6y = 16 8x 6y = 16 0 = 0 x = t Řešením soustavy rovnic je uspořádaná dvojice [x, y] = [t, 8+4t 3 ]. 4t + 3y = 8 +4t 3y = 8 + 4t : 3 y = 8+4t 3 VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 7/1
30 Příklad č. 2 12x 4y = 6 3x + y = 2 12x 4y = 6 3x + y = x 4y = 6 12x + 4y = = 2 Zadaná soustava nemá řešení. VY 32 INOVACE 22 MHEC16 Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti 8/1
Soustavy rovnic pro učební obor Kadeřník
Variace 1 Soustavy rovnic pro učební obor Kadeřník Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Soustavy
Soustavy rovnic pro učební obory
Variace 1 Soustavy rovnic pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Soustavy rovnic
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova
M - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
7. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH A KVADRATICKÝCH ROVNIC
7. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH A KVADRATICKÝCH ROVNIC 7.1. Řeš pro reálné neznámé a y soustavu lineárních rovnic: = 5 = 1 = 5 / 5 = 1 / 3 1 15y = 15 1+ 15y = 3 31 = 155 = 5 {[ ] K = 5; 5 = 5 / 7 = 1 / 14 1y =
Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav
Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové
Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic
Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: geometrická posloupnost, geometrická
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic
Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních
Konstrukce trojúhelníku III
Tematická oblast Konstrukce trojúhelníku III Datum vytvoření 12. 12. 2012 Ročník Stručný obsah Způsob využití Autor Kód Matematika Planimetrie Třetí ročník osmiletého gymnázia Řešení konstrukčních úloh
Rovnice s neznámou ve jmenovateli a jejich užití
Rovnice s neznámou ve jmenovateli a jejich užití Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, první ročník, okruh Rovnice a nerovnice Pracovní list vytvořil: Mgr. Helena Korejtková Období
Algebraické výrazy - řešené úlohy
Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,
Matematika pro všechny
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/.007 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Goniometrické rovnice Autor: Ondráčková
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Číslo a proměnná Gradovaný řetězec úloh Téma: soustava rovnic, parametry Autor: Stanislav Trávníček
LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární rovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je
Soustava 2 lineárních rovnic o 2 neznámých 3 metody: Metoda sčítací
Soustava 2 lineárních rovnic o 2 neznámých 3 metody: a Sčítací b Dosazovací c Substituce Metoda sčítací Cílem sčítací metody je sečíst 2 rovnice tak, aby se eliminovala odstranila jedna neznámá! Vždy se
PŘÍKLAD 6: Řešení: Příprava k přijímacím zkouškám na střední školy matematika 29. Určete, pro které x je hodnota výrazu 8x 6 rovna: a) 6 b) 0 c) 34
Příprava k přijímacím zkouškám na střední školy matematika 29 PŘÍKLAD 6: Určete, pro které x je hodnota výrazu 8x 6 rovna: a) 6 b) 0 c) 34 Chceme-li vypočítat hodnotu výrazu za daného předpokladu, pak
EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ
Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru
Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu
Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých I
.3.10 Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých I Předpoklady: 308 Pedagogická poznámka: Hodina má trochu netradiční charakter. U každé metody si studenti opíší postup a pak ho zkusí uplatnit na
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ..07/..00/6.007 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Goniometrické funkce Autor: Ondráčková
M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK
M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK Souhrnný studijní materiál k přípravě na 2. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo listopadu až ledna. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen,
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Název: Práce s parametrem (vybrané úlohy)
Název: Práce s parametrem (vybrané úlohy) Autor: Mgr. Jiří Bureš, Ph.D. Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 6. (4.
4 Rovnice a nerovnice
36 Rovnice a nerovnice 4 Rovnice a nerovnice 4.1 Lineární rovnice a jejich soustavy Požadované dovednosti řešit lineární rovnice o jedné neznámé vyjádřit neznámou ze vzorce užít lineární rovnice při řešení
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
Zvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
Soustavy rovnic a nerovnic
Soustavy rovnic a nerovnic Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 2. září 20 Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R
MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
( ) Slovní úlohy vedoucí na soustavy rovnic I. Předpoklady:
4..7 Slovní úlohy vedoucí na soustavy rovnic I Předpoklady: 0405 Pedagogická poznámka: Naprostou většina chyb při sestavování rovnic v následujících příkladech tvoří obrácené rovnosti ve kterých studenti
a se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ Mgr. Tomáš MAŇÁK. březen 014 Název zpracovaného celku: ARITMETICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ ARITMETICKÁ POSLOUPNOST Teorie: Posloupnost každé ( ) n n1
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Lineární rovnice pro učební obory
Variace 1 Lineární rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Rovnice Co je rovnice
Variace. Lineární rovnice
Variace 1 Lineární rovnice Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Rovnice Co je rovnice Rovnice je
Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro
9. Soustavy rovnic DEFINICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých je:
9. Soustavy rovnic Správný nadpis této kapitoly by měl znít soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých, z důvodu přehlednosti jsem jej zkrátil. Hned v úvodu čtenáře potěším teorie bude tentokrát krátká.
UŽITÍ GONIOMETRICKÝCH VZORCŮ
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol UŽITÍ
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých obsah 1.a) x + y = 5 x 2 + y 2 = 13 3 b) x - y = 7 x 2 + y 2 = 65 5 c) x - y = 3 x 2 + y 2 = 5 6 3. a) x + 2y = 9 x. y = 10 12 b) x - 3y = 1
Definiční obor funkce, obor hodnot funkce. Funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště. Digitální učební materiály, 2012-14
Funkce Definiční obor funkce, obor hodnot funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-14 Obsah 1 Definiční obor funkce příklady na určení oboru hodnot funkce
Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.
Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme
MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technoiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme
KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK
M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce)
Rovnice s parametrem (17. - 18. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října 2011 Lineární rovnice s parametrem
GONIOMETRICKÉ FUNKCE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
55. ročník matematické olympiády
. ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě
POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Řešení: 1. Metodou sčítací: Vynásobíme první rovnici 3 a přičteme ke druhé. 14, odtud x 2.
Soustav rovnic Metod řešení soustav rovnic o více neznámých jsou založen na postupné eliminaci neznámých Pro dvě lineární rovnice o dvou neznámých používáme metodu sčítací (aditivní), kd vhodně vnásobíme
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK p: a x b y c 0 q: a x b y c 0 ROVNOBĚŽNÉ PŘÍMKY (RŮZNÉ) nemají žádný společný bod, můžeme určit jejich vzdálenost, jejich odchylka je 0. Normálové
11. Soustava lineárních rovnic - adiční metoda
@127 11. Soustava lineárních rovnic - adiční metoda Adiční neboli sčítací metoda spočívá ve dvou vlastnostech řešení soustavy rovnic: vynásobením libovolné rovnice nenulovým číslem se řešení nezmění, součtem
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ
CZ.1.07/1.5.00/34.0527
Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Číslo a
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu Z..07/..00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím IT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím IT
POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY
TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy
Funkce. Logaritmická funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, Gymnázium Uherské Hradiště
Funkce Logaritmická funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-1 Obsah Logaritmická funkce 1 Logaritmická funkce předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů
Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru
Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz
Diferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
Rovnice v oboru komplexních čísel
Rovnice v oboru komplexních čísel Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0218 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Čerm_01a
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
GEOMETRICKÉ POSLOUPNOSTI
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GEOMETRICKÉ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
Matice přechodu. Pozorování 2. Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např.
Matice přechodu Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např. u příkladu 7 (v ) dostaneme: Nyní bychom mohli postupovat jako u matice homomorfismu
Aritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 12 Diofantovské rovnice O čem budeme hovořit: Lineární neurčité rovnice a jejich řešení Diofantovské rovnice a jejich řešení Začněme
Zvyšování kvality výuky technických oborů
Zvšování kvalit výuk technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuk směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_1_09 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51
OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol OPERACE
1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
Učební osnovy pracovní
4+1 týdně, povinný ČaPO: Lomený výraz Žák: rozloží výraz na součin vytýkáním a pomocí vzorců stanoví podmínky, za kterých má lomený výraz smysl Lomený výraz Výrazy a jejich užití - výraz s proměnnou -
1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Logaritmické rovnice a nerovnice
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Logaritmické rovnice a nerovnice Bakalářská práce Brno 008 Lenka Balounová Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze z materiálů
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Rovnice s neznámou pod odmocninou a jejich užití
Rovnice s neznámou pod odmocninou a jejich užití Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, první ročník, okruh Rovnice a nerovnice Pracovní list vytvořil: Mgr. Helena Korejtková Období
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_2_08 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51
. Určete hodnotu neznámé x tak, aby
Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 206 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 2 Příklad. (3b) Binární operace je definovaná jako a b = a+b a b. Určete hodnotu
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
materiál č. šablony/č. sady/č. materiálu: Autor:
Masarykova základní škola Klatovy, tř. Národních mučedníků 185, 339 01 Klatovy; 376312154, fa 376326089 E-mail: skola@maszskt.investtel.cz; internet: www.maszskt.investtel.cz Kód přílohy vzdělávací VY_32_INOVACE_
ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ
Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0307. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/34.0 Zlepšení podmínek pro
MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší
KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,