arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx."

Transkript

1 Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál racionální funkce. Protože pro > 0 jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je ln + 4 y ( ln + 9 = + 4 y + 9 dy = + 6 y dy = + 9 = y + arctg y + C = ln + arctg ln + C, > 0. ln. Integrál nalezneme integrací per partes. Ta dává ln = ln ln = ( ln ln + = = ( ln ln + + C, > 0. arccos. Integrál nalezneme integrací per partes. Po ní dostaneme arccos = arccos + 9. Když v posledním integrálu použijeme substituci 9 = y, dostaneme arccos = arccos 9 + C, (,. Typeset by AMS-TEX

2 e + 4e e + 9. Tento integrál lze převést na integrál racionální funkce substitucí e = y. všechny předpoklady věty o substituci, je e + 4e e = + 9 y ( + 4 y + 9 dy = + 6 y dy = + 9 Protože jsou splněny = y + arctg y + C = e + arctg e + C, R Integrovaný výraz rozložíme na parciální zlomky a dostaneme ( = + ( = = ln ( + + C, 0, Integrál lze převést substitucí + = y na integrál racionální funkce. Protože pro > jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je + y ( + = dy y + = y dy = + = y arctg y + C = + arctg + + C, > Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Pak dostaneme ( + + = 4 + = 4( +

3 = 4 ln + + C, 0,. 4e + 4e e + 9. Zavedeme substituci e = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je hledaný integrál 4e + 4e e = + 9 4y ( + 4 y + 9 dy = y dy = + 9 = 4y + arctg y + C = 4e + arctg e + C, R V integrálu zavedeme substituci + = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je + + = + 5 ( y(y + y + 4 dy = + 6y y y dy = + 4 = y + ln ( y arctg y + C = = ln( arctg,. ln. Integrál najdeme pomocí integrace per partes. Ta dává ln = ln ln = ln ln + = = ( ln ln + + C, >

4 Integrál určíme jako součet dvou jednodušších integrálů. Platí = ( + = = ln ( arctg + C, R Integrál najdeme tak, že integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. To dává ( = = ln + + C, 0, Abychom našli daný integrál, rozložíme integrovanou funkci na parciální zlomky. Pak dostaneme ( = + ( + = = ln C, 0,. e. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody integrace dostaneme e = e e = ( e + e = = 4 e( + + C, R. +. Integrovanou funkce nejprve rozložíme na parciální zlomky a pak integrujeme. Dostaneme ( + = ( = + ( = 4

5 = ln + + C, Substitucí = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je = + 7 y( y y + 9 = ( + 6y y y dy = + 9 = y + ln ( y arctg y + C = = + ln ( arctg + C, >. ln. Integrál najdeme pomocí integrace per partes. Ta dává ln = ln = 4 ln = ( ln ln + ( ln ln + + C, > 0. = Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Pak dostaneme ( = ( + ( + = = ln C, 0,. cosh + cosh sinh

6 V tomto integrálu je výhodné použít substituci sinh = y. Protože platí cosh = sinh + a jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je cosh + cosh sinh = + 9 = y + arctg y y ( + 4 y + 9 dy = + 6 y dy = C = sinh + arctg sinh + C, R. +. Abychom našli daný integrál, rozložíme integrovanou funkce na parciální zlomky. Takto dostaneme ( + = 4( 4 = = 4 ln + + C, 0, Integrál budeme počítat jako součet dvou integrálů = ( + 4 = = ln ( arctg + C, R Substitucí = y převedeme tento integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí ( 5 + y(5 + y = + y + 4 dy = + 0y y y dy = + 4 = y + 5 ln ( y arctg y + C = = + 5 ln( + 4 arctg + C, >. cosh + 7 cosh sinh

7 V integrálu je výhodné zavést novou proměnnou substitucí sinh = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je cosh + 7 cosh sinh = + 4 = y + arctg y y ( + 8 y + 4 dy = + 4 y dy = C = sinh + arctg sinh + C, R. sin cos. Při výpočtu tohoto integrálu lze s výhodou použít vztahy mezi goniometrickými funkcemi. Protože platí sin cos = 4 sin = 8( cos 4, je sin cos = 8 ( sin 4 cos 4 = + C = 8 = 8( cos sin + cos sin + C, R. ( ( +. Integrál najdeme tak, že integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Tím dostaneme ( ( ( + = 4( + 4( + ( = = 4 ln + ( + C, ±. +. Tento integrál najdeme tak, že integrovanou funkci napíšeme jako součet dvou funkcí, jejichž integrály známe. Tím dostaneme pro každé R + = + + = ln( + arctg + C

8 Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Pak dostaneme ( 4 + = = + arctg + C, Integrál najdeme tak, že integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Tak dostaneme ( + + = + = = ( + + = = + ln( arctg + + C, R. sin cos sin + cos. Protože derivace funkce f( = sin + cos je f ( = cos sin, je výhodné použít v tomto integrálu substituci sin + cos = y. Pak dostaneme sin cos dy sin + cos = = ln y + C = y = ln sin + cos + C, 4k π, k Z. 4 e e. Tento integrál lze převést na integrál racionální funkce substitucí e = y. všechny předpoklady věty o substituci, je e e = Protože jsou splněny ( dy y( y( + y = y + ( y dy = 6( + y = ln y ln y ln( + y + C = 6 = ln e + e + C,

9 . V tomto integrálu lze použít substituci = sin y. Protože pro (, a y y = arcsin a jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je = cos y dy = ( y sin y + cos y dy = + + C = 4 = arcsin + + C, (,. ( π, π je ln. Integrál najdeme pomocí integrace per partes. Ta dává ln = ln + + ln = + C, > 0. cos. Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává cos = sin sin = sin + cos cos = = ( sin + cos + C, R. arctg. Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává arctg = arctg = + + = arctg ( + = arctg + C R. sin. 9

10 Tento integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody integrace dostaneme cos sin = cotg + sin = cotg + ln sin + C, kπ, k Z V tomto integrálu je výhodné použít substituci = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je + 4 = dy + y = arctg y + C = arctg + C, R. e. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme e = e + e = e ( + + e = = e ( C, R. e cos. Integrály tohoto typu lze najít integrací per partes. Jestliže označíme I = e cos, dostaneme I = e cos = e cos e sin = = e cos + e sin e cos = e ( sin cos I. Z této rovnosti dostaneme I = e cos = e ( sin cos + C, R. arctg. 0

11 +. Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává arctg = arctg + = arctg ln( + + C, R. arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí ní dostaneme arcsin = arcsin = arcsin + + C, (,. V tomto integrálu lze zavést novou proměnnou vztahem = sinh y. Pak je y = argsinh = ln ( + + a cosh y = + sinh y = +. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je + = cosh y dy = ( y + cosh y dy = + sinh y cosh y + C = = ( + + argsinh + C = = ( + + ln ( C, R. arctg. Nejprve zavedeme substituci = y. Protože pro > 0 jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je arctg = y arctg y dy. Tento integrál najdeme integrací per partes. Pomocí ní dostaneme arctg = y arctg y y ( dy + y = y arctg y + y dy = = ( y + arctg y y + C = ( + arctg + C > 0. sin.

12 Pro integrovanou funkci R(cos, sin = sin platí R(cos, sin = R(cos, sin. Proto je výhodné použít substituci cos = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí sin = ( y dy = ( y y + C = cos cos + C, R. 6 ( + (. Integrovaný výraz rozložíme na parciální zlomky. Pak dostaneme ( + ( = ( + ( + = + = 4 ln + ( ( + C, Substitucí = y převedeme tento integrál na integrál racionální funkce. Protože pro > 0 jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je y ( + 4 = dy y + 4 = 8 y dy = + 4 = y 4 arctg y + C = 4 arctg + C, > Substitucí + = y převedeme tento integrál na integrál racionální funkce. Protože pro (, 0 (0, + jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je ( + = dy y = y dy = y + = ln y + y + + C = ln + C, (, 0 (0,

13 sin cos. Protože pro integrovanou funkci R(cos, sin = sin cos platí vztah R(cos, sin = R(cos, sin, lze tento integrál převést substitucí cos = y na integrál racionální funkce. Protože pro kπ, k Z, jsou splněny předpoklady věty o substituci, je sin cos = ( dy y ( y = ( y ( + y y dy = = ln y + y + y + C = cos ln + cos + cos + C = = ln tg + cos + C, kπ, k Z. cos cos. Pro výpočet integrálu použijeme vztahu cos α cos β = ( cos(α + β + cos(α β. Pak dostaneme cos cos = (cos 4 + cos = sin sin 4 + C, R. sin cos 5. Protože platí vztah sin α cos β = ( sin(α + β + sin(α β je hledaný integrál sin cos 5 = ( sin 7 sin = 6 cos cos 7 + C, R. 4 e +. Nejprve použijeme substituci e = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je e + = dy y y +.

14 Poslední integrál převedeme substitucí y + = z na integrál racionální funkce. Protože y > 0 jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci. Tedy e + = = ln ( dz z = z z + e + ( e e C = ln + dz = ln z z + + C = + C, R. e. V tomto integrálu je výhodné zavést novou proměnnou y =. Protože jsou pro > 0 splněny všechny předpoklady věty o substituci, je e = ye y dy. Tento integrál najdeme integrací per partes. ta dává e = ye y e y dy = (y e y + C = ( e + C, > 0. e + e. Substitucí e / = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí e + e = ( dy y (y + = y + y + y dy = = ln y + y y + C = ln( + e / e / + C, R. +. Substitucí = y převedeme tento integrál na integrál racionální funkce. Protože pro, 0 jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je + = dy y + = ln y + + C = ln + + C,, 0. 4

15 Definiční obor integrované funkce je D f = (, 0 (0, +. Substitucí + = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je ( + + y( + y = dy = y + + dy = + y y = y + 4y + 4 ln y + C = = ln + + C, (, 0 (0, Protože ( 4 = 4, je v tomto integrálu výhodné použít substituci 4 = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je 8 + = 4 dy y + = 4 arctg y + C = 4 arctg 4 + C, R. + (. Integrál najdeme tak, že integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Takto dostaneme ( + ( = + + = ln + C, 0, ±. e. Substitucí = y převedeme tento integrál na integrál, který najdeme integrací per partes. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí e = y e y dy = y e y 4 ye y dy = e y( y y + 4 = e y( y y + + C = e ( + + C, > 0. e y dy = 5

16 ln ( +. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme ln ( + = ln ( + + = = ln ( + ( + = = ln ( + + arctg + C, R. arcsin +. Tento integrál najdeme integrací per partes. Jestliže zvolíme u = a v = arcsin, dostaneme + arcsin = + arcsin + = = + arcsin C, (,. arcsin. Integrál lze najít například integrací per partes. Jestliže položíme u ( = arcsin, je u( = a v ( = a v( =. Tedy integrace per partes dává pro (, arcsin = arcsin + = arcsin + C. +. Protože + = (, je daný integrál + = arcsin + C, (, +. ( 6

17 +. Substitucí = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je ( y dy + = + y = dy = + y = y ln( + y + C = ln ( + + C, > 0. 5 e. V integrálu zavedeme nejprve substituci = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, dostaneme 5 e = y e y dy. Tento integrál lze najít pomocí integrace per partes. Pak dostaneme 5 e = y e y + ye y dy = y e y ye y + e y dy = = e y ( y + y + ( + C = e C, R. e. V integrálu nejprve zavedeme substituci = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, dostaneme e = e y y dy = e y y 6 = e y( y y + 6y = e ( / C, > 0. e y y dy = e y( y y + e y y dy = e y dy = e y( y y + 6y 6 + C = cos. 7

18 Nejprve použijeme substituci = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je cos = y cos y dy = y ( + cos y dy = = y + y sin y sin y dy = = y + y sin y + cos y + C = 4 = + sin + 4 cos + C, > 0. sin. Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává sin = cos + cos = cos + sin sin = = ( cos + sin + C, R. ( + e. Substitucí e = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je ( + e = = ln ( dy y( + y = y y + (y + dy = y y + + y + + C = ln e e + e + + C, R. e + e. Substitucí e = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je e + e = ( dy y(y (y + = (y y + 6(y + = ln y ln y + ln(y + + C = 6 = + ln e + 6 ln( e + + C, 0. dy = 8

19 ln. Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává ln = ln ln = ln 9 ln + 9 = = ( 9 ln 6 ln + + C, > 0. 7 ( ln. Integrál najdeme pomocí integrace per partes. Ta dává ln = ln ln + = + ln ln + = = ln + ln + + C, > 0. arctg( +. Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává arctg( + = arctg( + = arctg( = ( = = arctg( + + ln( C, R. ln ( +. Definiční obor integrované funkce je určen vztahem + > 0. Tedy D f = (,. Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává ln ( + = ln + 9 =

20 = ln + ( + ( = ( + = ln C, (,. ( + ( + ( +. Integrál najdeme, když rozložíme integrovanou funkci na součet parciálních zlomků. Tak dostaneme ( ( + ( + ( + = ( = ( + = ln + + ln + ln + + C,,,. ( + (. Tento integrál najdeme rozkladem na parciální zlomky. Platí ( ( + ( = 9( + + 9( + ( = = 9 ln + ( + C,,. 4. Integrál najdeme tak, že integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Tím dostaneme ( 4 = 4( 4( + ( = + = 4 ln + arctg + C, ±. +. 0

21 Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Platí + = ( + ( + = ( + = + = ln ( / + /4 = = ln + 6 ln( + + arctg + C,.. Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Platí = = ( ( + + = ( ln ( = = ( + / + /4 = ln 6 ln( arctg + + C, Protože ( 4 = 4, je v tomto integrálu výhodné použít substituci 4 = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je 8 + = 4 dy y + = 4 arctg y + C = 4 arctg 4 + C, R. 8. V tomto integrálu je výhodné použít nejprve substituci = y. Protože pro ± jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je 8 = dy y 4. Poslední integrál najdeme, když integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Tak dostaneme ( 8 = 8(y 8(y + 4(y + dy =

22 = 8 ln y y + 4 arctg y + C = 8 ln + 4 arctg + C, ±. tg. Pro integrovanou funkci R(cos, sin = tg = sin cos platí R(cos, sin = R( cos, sin. Proto zavedeme substituci tg = y. Pro k + π, k Z, jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, a proto je hledaný integrál tg = y ( dy + y = y y + y dy = y ln( + y + C = = tg + ln cos + C, k + π, k Z. sin cos 4. Pro integrovanou funkci R(cos, sin = sin cos 4 platí vztah R(cos, sin = R(cos, sin. Proto lze převést daný integrál na integrál racionální funkce substitucí cos = y. Po této substituci dostaneme sin y ( cos 4 = y 4 dy = y y 4 dy = y + y + C = = cos + cos + C, k + π, k Z. cos sin. Protože pro integrovanou funkci R(cos, sin = cos platí R(cos sin = R(cos, sin, sin lze převést tento integrál na integrál racionální funkce substitucí cos = y. Protože pro kπ, k Z, jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je cos sin = y ( y dy = + (y dy = (y + = y + ln y + y + C = cos + ln cos + cos + C = = cos + ln tg + C, kπ, k Z.

23 cotg. Integrál lze najít tak, že upravíme integrovanou funkci. Platí cos cotg sin ( = sin = sin = sin = = cotg + C, kπ, k Z. e + e +. Protože e + e + = e e +, je e + (e e + = e + = e e + + C, R. sin + cos. Protože pro integrovanou funkci R(cos, sin = sin platí vztah + cos R(cos, sin = R( cos, sin, ( lze tento integrál převést na integrál racionální funkce substitucí k tg = y. Protože na intervalech π, k + π, k Z, jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí sin + cos = dy y + = arctg y + C = = arctg tg + C, k + π, k Z ( / Protože platí rovnost = (, je výhodné použít substituci / + jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí = ln ( / dy y + = ln ln arctg y + C = ( = y. Protože

24 ln. ( = ln ln arctg + C, R. sin. Protože pro integrovanou funkci R(cos, sin = sin platí R(cos, sin = R(cos, sin, je výhodné použít substituci cos = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí ( sin = y ( y dy = y + C = cos cos + C, R. Integrál převedeme substitucí = y na integrál racionální funkce. všechny předpoklady věty o substituci, je = y ( y dy = (y y 6 + y 9 dy = = 4 y y7 0 y0 + C = = ( ( 4/ + C, R. 40 Protože jsou splněny sin cos + cos. Pro integrovanou funkci R(cos, sin = sin cos + cos platí R(cos, sin = R(cos, sin. Proto lze převést tento integrál na integrál racionální funkce substitucí cos = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je sin cos + cos = y ( dy + y = y + y + y dy = = y + ln( + y + C = cos + ln( + cos + C, R. 4

25 Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí ní dostaneme ln = / ln 4 ln = = = / ln 8 9 / ln = / ln 8 9 / ln / + C, > 0. ln ( + +. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí ní dostaneme ln ( + + = ln ( + + = ln + = ( C, R. e ( +. Integrovaný výraz upravíme na tvar e ( ( + = e + e ( +. Nyní použijeme integrace per partes. Zvolíme-li u = e a v = +, je u = e a v = ( +. Pak tato metoda integrace dává e ( ( + = e + e ( + = e + + C,. ( Integrovanou funkci napíšeme pomocí součtu dvou funkcí, jejichž integrály jsou známy, tj. ( = ( + / + /4 = = ln( arctg + + C, R. 5

26 . Protože je = ( + dostaneme = = arcsin + + C, (,. ( + +. Protože + = [ ( ] + 5, je = ( /4 + 5/6 = argsinh C = = ( 4 ln C, R Substitucí = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí 5 = + ( y(5 y y + 4 dy = + 0y y y dy = + 4 = y + 5 ln ( y arctg y + C = = + 5 ln ( arctg + C, > Integrál najdeme tak, že funkci f( rozložíme na parciální zlomky. To dává 4 4 = 4 ( ( ( + ( + = = 6

27 = ln + arctg + C, ± Integrál najdeme tak, že integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Platí ( = dz = ln + + C, 0,. 4e ( e + e + ( e. Integrál lze substitucí e = y pževést na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je 4e ( e + e + ( e = 4 dy (y (y + = ( = y y + (y + dy = ln y y + + y + + C = = ln e e + + e + + C, 0. arccos 4. Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává arccos 4 = arccos = = arccos 4 4 6, ( 4, Integrál najdeme pomocí rozkladu integrované funkce na parciální zlomky. Pak dostaneme 4 ( 4 = = 7

28 = ln + arctg + C, ±. ln ( 4. Nejprve zavedeme novou proměnnou substitucí y = 4 a pak použijeme integraci per partes. Protože pro < jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, dostaneme ln ( 4 = ln y dy = y ln y + ln y dy = = y ln y + y ln y dy = y ( ln y ln y + + C = = ( ( ln (4 ln(4 + + C, < Zavedeme substituci + = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituce, je + y ( + 0 = dy y + 9 = 8 y dy = + 9 = y 6 arctg y + + C = + 6 arctg + C, > Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Tak dostaneme 8 8 = 4 = ln + + = + ( + + C, 0, ±. ( 6 e + 4e +. 8

29 Tento integrál převedeme na integrál racionální funkce substitucí e = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je 6 e + 4e + = ( 6 dy y(y + (y + = y y + + dy = y + = ln y ln(y + + ln(y + + C = = ln ( e + + ln ( e + + C, R Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Tak dostaneme ( = + ( = = ln ( + + C, 0,. 9. Jedna z možností, jak najít tento integrál je substituce = sin y. Po této substituci dostaneme 9 = 8 sin y cos y dy = 8 sin y dy = 4 = 8 ( 8 cos 4y dy = 8 8 y 8 sin 4y + C = = 8 8 y 8 8 sin y cos y( sin y + C = = 8 8 arcsin 8 ( C, (,. ( arccotg. Integrál najdeme pomocí integrace per partes. Pak dostaneme ( arccotg = arccotg = = arccotg + = arccotg ( ( + = + ln( arctg( + C,. 9

30 Integrál najdeme pomocí rozkladu integrované funkce na parciální zlomky. Po ní dostaneme 4 4 ( 4 = ( = 4 + = 4 + arctg + ln + + C, ± = arccos. Integrál najdeme pomocí integrace per partes. Ta dává arccos = arccos + 4 = arccos 4 + C, (,. ( 4 + ( Integrál najdeme pomocí rozkladu integrované funkce na parciální zlomky. Tím dostaneme ( ( 4 + ( = + + ( ( ( + 4 = ln C, ±. = 0

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 NEURČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1 Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 12. a) 3 +1)d. Vypočítejte určité integrály: b) 5sin 4 ) d. c) d. g) 3 d. h) tg d. k) 4 arctg 2 ) d.

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 12. a) 3 +1)d. Vypočítejte určité integrály: b) 5sin 4 ) d. c) d. g) 3 d. h) tg d. k) 4 arctg 2 ) d. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST Příklad Vypočítejte určité integrály: a) +)d b) 5sin) d c) d d) d e) d f) g) d d h) tgd i) d j) d k) arctg) d l) d m) sin d n) ) d o) p) q) r) s) d d ) d d d t) +d u) d v) d ŘEŠENÉ

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!. 8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru

Více

4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306

4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306 ..8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí Předpoklady: 06 Vzorce pro součet goniometrických funkcí: sin + sin y = sin cos sin sin y = cos sin cos + cos y = cos cos cos cos y = sin sin Na první pohled

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce 4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli

Více

Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček

Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA II Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04..0/..5./006

Více

Elementární funkce. Polynomy

Elementární funkce. Polynomy Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA

Více

Matematika 1. Matematika 1

Matematika 1. Matematika 1 5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Goniometrické a hyperbolické funkce

Goniometrické a hyperbolické funkce Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,

Více

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Matematika II: Řešené příklady

Matematika II: Řešené příklady Matematika II: Řešené příklady Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Řešené příklady Integrální počet funkcí jedné

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE

4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE 4.. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE V této kapitole se dozvíte: jak jsou definovány cyklometrické funkce a jaký je jejich vztah k funkcím goniometrickým; základní vlastnosti cyklometrických funkcí; nejdůležitější

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ

NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011 Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

2 Odvození pomocí rovnováhy sil

2 Odvození pomocí rovnováhy sil Řetězovka Abstrakt: Ukážeme si, že řetěz pověšený mezi dvěma body v homogenním gravitačním poli se prohne ve tvaru grafu funkce hyperbolický kosinus. Odvození provedeme dvojím způsobem: pomocí rovnováhy

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE SPECIÁLNÍ ELEMENTÁRNÍ FUNKCE

ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE SPECIÁLNÍ ELEMENTÁRNÍ FUNKCE ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE Všechny základní reálné funkce reálné proměnné, s kterými jste se seznámili na začátku tohoto kurzu, lze rozšířit i na komplexní funkce komplexní proměnné. U některých je rozšíření

Více

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že .5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování

Více

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012 Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace

Více

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M05, GA0 M04 DIFERENCIÁLNÍ POČET I LIMITA A SPOJITOST FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset

Více

4.3.1 Goniometrické rovnice

4.3.1 Goniometrické rovnice .. Goniometrické rovnice Předpoklady: 6, 7 Názvosloví: Goniometrické rovnice: rovnice, ve kterých se neznámá objevuje uvnitř goniometrických funkcí. g x = a, kde Základní goniometrická rovnice: každá rovnice

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO - CVIČENÍ

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně LDF)

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

1.1.3 Práce s kalkulátorem

1.1.3 Práce s kalkulátorem .. Práce s kalkulátorem Výrazy zadáváme do kalkulačky pokud možno vcelku, pozor na závorky a čísla ve jmenovateli u zlomků. Př. : Spočti na kalkulačce s maximální možnou přesností a bez zapisování mezivýsledků:

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I .. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 0 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné Matematika I Reálná funkce jedné promìnné RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Reálná funkce Def. Zobrazení f nazveme

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

4.3.1 Goniometrické rovnice I

4.3.1 Goniometrické rovnice I 4.. Goniometrické rovnice I Předpoklady: 4, 4, 46, 47 Pedagogická poznámka: Úspěšnost této hodiny zcela závisí na tom, jak rychle jsou studenti schopni hledat ke známým hodnotám goniometrických funkcí

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

Obecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g

Obecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g Složená funkce Obecnou definici vynecháme Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když do funkce y f dosadíme za argument funkci g Potom y f g Funkce f je vnější složka, funkce g vnitřní složka Pochopitelně

Více

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs, Krupkova: Matematika.

Více

7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH... 83. 7.1. Definiční oblasti... 83 Úlohy k samostatnému řešení... 83

7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH... 83. 7.1. Definiční oblasti... 83 Úlohy k samostatnému řešení... 83 Sbírka úloh z matematik 7 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH 8 7 Definiční oblasti 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Parciální derivace 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Tečná rovina a normála 8

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0 Příklad 1 Vypočtěte trojné integrály transformací do cylindrických souřadnic a) b) c) d), + + +,,, je omezena + =1,++=3,=0 je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + Řešení 1a,

Více

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b, Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více