arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

Transkript

1 Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál racionální funkce. Protože pro > 0 jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je ln + 4 y ( ln + 9 = + 4 y + 9 dy = + 6 y dy = + 9 = y + arctg y + C = ln + arctg ln + C, > 0. ln. Integrál nalezneme integrací per partes. Ta dává ln = ln ln = ( ln ln + = = ( ln ln + + C, > 0. arccos. Integrál nalezneme integrací per partes. Po ní dostaneme arccos = arccos + 9. Když v posledním integrálu použijeme substituci 9 = y, dostaneme arccos = arccos 9 + C, (,. Typeset by AMS-TEX

2 e + 4e e + 9. Tento integrál lze převést na integrál racionální funkce substitucí e = y. všechny předpoklady věty o substituci, je e + 4e e = + 9 y ( + 4 y + 9 dy = + 6 y dy = + 9 Protože jsou splněny = y + arctg y + C = e + arctg e + C, R Integrovaný výraz rozložíme na parciální zlomky a dostaneme ( = + ( = = ln ( + + C, 0, Integrál lze převést substitucí + = y na integrál racionální funkce. Protože pro > jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je + y ( + = dy y + = y dy = + = y arctg y + C = + arctg + + C, > Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Pak dostaneme ( + + = 4 + = 4( +

3 = 4 ln + + C, 0,. 4e + 4e e + 9. Zavedeme substituci e = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je hledaný integrál 4e + 4e e = + 9 4y ( + 4 y + 9 dy = y dy = + 9 = 4y + arctg y + C = 4e + arctg e + C, R V integrálu zavedeme substituci + = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je + + = + 5 ( y(y + y + 4 dy = + 6y y y dy = + 4 = y + ln ( y arctg y + C = = ln( arctg,. ln. Integrál najdeme pomocí integrace per partes. Ta dává ln = ln ln = ln ln + = = ( ln ln + + C, >

4 Integrál určíme jako součet dvou jednodušších integrálů. Platí = ( + = = ln ( arctg + C, R Integrál najdeme tak, že integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. To dává ( = = ln + + C, 0, Abychom našli daný integrál, rozložíme integrovanou funkci na parciální zlomky. Pak dostaneme ( = + ( + = = ln C, 0,. e. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody integrace dostaneme e = e e = ( e + e = = 4 e( + + C, R. +. Integrovanou funkce nejprve rozložíme na parciální zlomky a pak integrujeme. Dostaneme ( + = ( = + ( = 4

5 = ln + + C, Substitucí = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je = + 7 y( y y + 9 = ( + 6y y y dy = + 9 = y + ln ( y arctg y + C = = + ln ( arctg + C, >. ln. Integrál najdeme pomocí integrace per partes. Ta dává ln = ln = 4 ln = ( ln ln + ( ln ln + + C, > 0. = Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Pak dostaneme ( = ( + ( + = = ln C, 0,. cosh + cosh sinh

6 V tomto integrálu je výhodné použít substituci sinh = y. Protože platí cosh = sinh + a jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je cosh + cosh sinh = + 9 = y + arctg y y ( + 4 y + 9 dy = + 6 y dy = C = sinh + arctg sinh + C, R. +. Abychom našli daný integrál, rozložíme integrovanou funkce na parciální zlomky. Takto dostaneme ( + = 4( 4 = = 4 ln + + C, 0, Integrál budeme počítat jako součet dvou integrálů = ( + 4 = = ln ( arctg + C, R Substitucí = y převedeme tento integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí ( 5 + y(5 + y = + y + 4 dy = + 0y y y dy = + 4 = y + 5 ln ( y arctg y + C = = + 5 ln( + 4 arctg + C, >. cosh + 7 cosh sinh

7 V integrálu je výhodné zavést novou proměnnou substitucí sinh = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je cosh + 7 cosh sinh = + 4 = y + arctg y y ( + 8 y + 4 dy = + 4 y dy = C = sinh + arctg sinh + C, R. sin cos. Při výpočtu tohoto integrálu lze s výhodou použít vztahy mezi goniometrickými funkcemi. Protože platí sin cos = 4 sin = 8( cos 4, je sin cos = 8 ( sin 4 cos 4 = + C = 8 = 8( cos sin + cos sin + C, R. ( ( +. Integrál najdeme tak, že integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Tím dostaneme ( ( ( + = 4( + 4( + ( = = 4 ln + ( + C, ±. +. Tento integrál najdeme tak, že integrovanou funkci napíšeme jako součet dvou funkcí, jejichž integrály známe. Tím dostaneme pro každé R + = + + = ln( + arctg + C

8 Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Pak dostaneme ( 4 + = = + arctg + C, Integrál najdeme tak, že integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Tak dostaneme ( + + = + = = ( + + = = + ln( arctg + + C, R. sin cos sin + cos. Protože derivace funkce f( = sin + cos je f ( = cos sin, je výhodné použít v tomto integrálu substituci sin + cos = y. Pak dostaneme sin cos dy sin + cos = = ln y + C = y = ln sin + cos + C, 4k π, k Z. 4 e e. Tento integrál lze převést na integrál racionální funkce substitucí e = y. všechny předpoklady věty o substituci, je e e = Protože jsou splněny ( dy y( y( + y = y + ( y dy = 6( + y = ln y ln y ln( + y + C = 6 = ln e + e + C,

9 . V tomto integrálu lze použít substituci = sin y. Protože pro (, a y y = arcsin a jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je = cos y dy = ( y sin y + cos y dy = + + C = 4 = arcsin + + C, (,. ( π, π je ln. Integrál najdeme pomocí integrace per partes. Ta dává ln = ln + + ln = + C, > 0. cos. Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává cos = sin sin = sin + cos cos = = ( sin + cos + C, R. arctg. Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává arctg = arctg = + + = arctg ( + = arctg + C R. sin. 9

10 Tento integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody integrace dostaneme cos sin = cotg + sin = cotg + ln sin + C, kπ, k Z V tomto integrálu je výhodné použít substituci = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je + 4 = dy + y = arctg y + C = arctg + C, R. e. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme e = e + e = e ( + + e = = e ( C, R. e cos. Integrály tohoto typu lze najít integrací per partes. Jestliže označíme I = e cos, dostaneme I = e cos = e cos e sin = = e cos + e sin e cos = e ( sin cos I. Z této rovnosti dostaneme I = e cos = e ( sin cos + C, R. arctg. 0

11 +. Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává arctg = arctg + = arctg ln( + + C, R. arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí ní dostaneme arcsin = arcsin = arcsin + + C, (,. V tomto integrálu lze zavést novou proměnnou vztahem = sinh y. Pak je y = argsinh = ln ( + + a cosh y = + sinh y = +. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je + = cosh y dy = ( y + cosh y dy = + sinh y cosh y + C = = ( + + argsinh + C = = ( + + ln ( C, R. arctg. Nejprve zavedeme substituci = y. Protože pro > 0 jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je arctg = y arctg y dy. Tento integrál najdeme integrací per partes. Pomocí ní dostaneme arctg = y arctg y y ( dy + y = y arctg y + y dy = = ( y + arctg y y + C = ( + arctg + C > 0. sin.

12 Pro integrovanou funkci R(cos, sin = sin platí R(cos, sin = R(cos, sin. Proto je výhodné použít substituci cos = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí sin = ( y dy = ( y y + C = cos cos + C, R. 6 ( + (. Integrovaný výraz rozložíme na parciální zlomky. Pak dostaneme ( + ( = ( + ( + = + = 4 ln + ( ( + C, Substitucí = y převedeme tento integrál na integrál racionální funkce. Protože pro > 0 jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je y ( + 4 = dy y + 4 = 8 y dy = + 4 = y 4 arctg y + C = 4 arctg + C, > Substitucí + = y převedeme tento integrál na integrál racionální funkce. Protože pro (, 0 (0, + jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je ( + = dy y = y dy = y + = ln y + y + + C = ln + C, (, 0 (0,

13 sin cos. Protože pro integrovanou funkci R(cos, sin = sin cos platí vztah R(cos, sin = R(cos, sin, lze tento integrál převést substitucí cos = y na integrál racionální funkce. Protože pro kπ, k Z, jsou splněny předpoklady věty o substituci, je sin cos = ( dy y ( y = ( y ( + y y dy = = ln y + y + y + C = cos ln + cos + cos + C = = ln tg + cos + C, kπ, k Z. cos cos. Pro výpočet integrálu použijeme vztahu cos α cos β = ( cos(α + β + cos(α β. Pak dostaneme cos cos = (cos 4 + cos = sin sin 4 + C, R. sin cos 5. Protože platí vztah sin α cos β = ( sin(α + β + sin(α β je hledaný integrál sin cos 5 = ( sin 7 sin = 6 cos cos 7 + C, R. 4 e +. Nejprve použijeme substituci e = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je e + = dy y y +.

14 Poslední integrál převedeme substitucí y + = z na integrál racionální funkce. Protože y > 0 jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci. Tedy e + = = ln ( dz z = z z + e + ( e e C = ln + dz = ln z z + + C = + C, R. e. V tomto integrálu je výhodné zavést novou proměnnou y =. Protože jsou pro > 0 splněny všechny předpoklady věty o substituci, je e = ye y dy. Tento integrál najdeme integrací per partes. ta dává e = ye y e y dy = (y e y + C = ( e + C, > 0. e + e. Substitucí e / = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí e + e = ( dy y (y + = y + y + y dy = = ln y + y y + C = ln( + e / e / + C, R. +. Substitucí = y převedeme tento integrál na integrál racionální funkce. Protože pro, 0 jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je + = dy y + = ln y + + C = ln + + C,, 0. 4

15 Definiční obor integrované funkce je D f = (, 0 (0, +. Substitucí + = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je ( + + y( + y = dy = y + + dy = + y y = y + 4y + 4 ln y + C = = ln + + C, (, 0 (0, Protože ( 4 = 4, je v tomto integrálu výhodné použít substituci 4 = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je 8 + = 4 dy y + = 4 arctg y + C = 4 arctg 4 + C, R. + (. Integrál najdeme tak, že integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Takto dostaneme ( + ( = + + = ln + C, 0, ±. e. Substitucí = y převedeme tento integrál na integrál, který najdeme integrací per partes. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí e = y e y dy = y e y 4 ye y dy = e y( y y + 4 = e y( y y + + C = e ( + + C, > 0. e y dy = 5

16 ln ( +. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme ln ( + = ln ( + + = = ln ( + ( + = = ln ( + + arctg + C, R. arcsin +. Tento integrál najdeme integrací per partes. Jestliže zvolíme u = a v = arcsin, dostaneme + arcsin = + arcsin + = = + arcsin C, (,. arcsin. Integrál lze najít například integrací per partes. Jestliže položíme u ( = arcsin, je u( = a v ( = a v( =. Tedy integrace per partes dává pro (, arcsin = arcsin + = arcsin + C. +. Protože + = (, je daný integrál + = arcsin + C, (, +. ( 6

17 +. Substitucí = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je ( y dy + = + y = dy = + y = y ln( + y + C = ln ( + + C, > 0. 5 e. V integrálu zavedeme nejprve substituci = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, dostaneme 5 e = y e y dy. Tento integrál lze najít pomocí integrace per partes. Pak dostaneme 5 e = y e y + ye y dy = y e y ye y + e y dy = = e y ( y + y + ( + C = e C, R. e. V integrálu nejprve zavedeme substituci = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, dostaneme e = e y y dy = e y y 6 = e y( y y + 6y = e ( / C, > 0. e y y dy = e y( y y + e y y dy = e y dy = e y( y y + 6y 6 + C = cos. 7

18 Nejprve použijeme substituci = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je cos = y cos y dy = y ( + cos y dy = = y + y sin y sin y dy = = y + y sin y + cos y + C = 4 = + sin + 4 cos + C, > 0. sin. Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává sin = cos + cos = cos + sin sin = = ( cos + sin + C, R. ( + e. Substitucí e = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je ( + e = = ln ( dy y( + y = y y + (y + dy = y y + + y + + C = ln e e + e + + C, R. e + e. Substitucí e = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je e + e = ( dy y(y (y + = (y y + 6(y + = ln y ln y + ln(y + + C = 6 = + ln e + 6 ln( e + + C, 0. dy = 8

19 ln. Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává ln = ln ln = ln 9 ln + 9 = = ( 9 ln 6 ln + + C, > 0. 7 ( ln. Integrál najdeme pomocí integrace per partes. Ta dává ln = ln ln + = + ln ln + = = ln + ln + + C, > 0. arctg( +. Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává arctg( + = arctg( + = arctg( = ( = = arctg( + + ln( C, R. ln ( +. Definiční obor integrované funkce je určen vztahem + > 0. Tedy D f = (,. Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává ln ( + = ln + 9 =

20 = ln + ( + ( = ( + = ln C, (,. ( + ( + ( +. Integrál najdeme, když rozložíme integrovanou funkci na součet parciálních zlomků. Tak dostaneme ( ( + ( + ( + = ( = ( + = ln + + ln + ln + + C,,,. ( + (. Tento integrál najdeme rozkladem na parciální zlomky. Platí ( ( + ( = 9( + + 9( + ( = = 9 ln + ( + C,,. 4. Integrál najdeme tak, že integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Tím dostaneme ( 4 = 4( 4( + ( = + = 4 ln + arctg + C, ±. +. 0

21 Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Platí + = ( + ( + = ( + = + = ln ( / + /4 = = ln + 6 ln( + + arctg + C,.. Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Platí = = ( ( + + = ( ln ( = = ( + / + /4 = ln 6 ln( arctg + + C, Protože ( 4 = 4, je v tomto integrálu výhodné použít substituci 4 = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je 8 + = 4 dy y + = 4 arctg y + C = 4 arctg 4 + C, R. 8. V tomto integrálu je výhodné použít nejprve substituci = y. Protože pro ± jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je 8 = dy y 4. Poslední integrál najdeme, když integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Tak dostaneme ( 8 = 8(y 8(y + 4(y + dy =

22 = 8 ln y y + 4 arctg y + C = 8 ln + 4 arctg + C, ±. tg. Pro integrovanou funkci R(cos, sin = tg = sin cos platí R(cos, sin = R( cos, sin. Proto zavedeme substituci tg = y. Pro k + π, k Z, jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, a proto je hledaný integrál tg = y ( dy + y = y y + y dy = y ln( + y + C = = tg + ln cos + C, k + π, k Z. sin cos 4. Pro integrovanou funkci R(cos, sin = sin cos 4 platí vztah R(cos, sin = R(cos, sin. Proto lze převést daný integrál na integrál racionální funkce substitucí cos = y. Po této substituci dostaneme sin y ( cos 4 = y 4 dy = y y 4 dy = y + y + C = = cos + cos + C, k + π, k Z. cos sin. Protože pro integrovanou funkci R(cos, sin = cos platí R(cos sin = R(cos, sin, sin lze převést tento integrál na integrál racionální funkce substitucí cos = y. Protože pro kπ, k Z, jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je cos sin = y ( y dy = + (y dy = (y + = y + ln y + y + C = cos + ln cos + cos + C = = cos + ln tg + C, kπ, k Z.

23 cotg. Integrál lze najít tak, že upravíme integrovanou funkci. Platí cos cotg sin ( = sin = sin = sin = = cotg + C, kπ, k Z. e + e +. Protože e + e + = e e +, je e + (e e + = e + = e e + + C, R. sin + cos. Protože pro integrovanou funkci R(cos, sin = sin platí vztah + cos R(cos, sin = R( cos, sin, ( lze tento integrál převést na integrál racionální funkce substitucí k tg = y. Protože na intervalech π, k + π, k Z, jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí sin + cos = dy y + = arctg y + C = = arctg tg + C, k + π, k Z ( / Protože platí rovnost = (, je výhodné použít substituci / + jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí = ln ( / dy y + = ln ln arctg y + C = ( = y. Protože

24 ln. ( = ln ln arctg + C, R. sin. Protože pro integrovanou funkci R(cos, sin = sin platí R(cos, sin = R(cos, sin, je výhodné použít substituci cos = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí ( sin = y ( y dy = y + C = cos cos + C, R. Integrál převedeme substitucí = y na integrál racionální funkce. všechny předpoklady věty o substituci, je = y ( y dy = (y y 6 + y 9 dy = = 4 y y7 0 y0 + C = = ( ( 4/ + C, R. 40 Protože jsou splněny sin cos + cos. Pro integrovanou funkci R(cos, sin = sin cos + cos platí R(cos, sin = R(cos, sin. Proto lze převést tento integrál na integrál racionální funkce substitucí cos = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je sin cos + cos = y ( dy + y = y + y + y dy = = y + ln( + y + C = cos + ln( + cos + C, R. 4

25 Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí ní dostaneme ln = / ln 4 ln = = = / ln 8 9 / ln = / ln 8 9 / ln / + C, > 0. ln ( + +. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí ní dostaneme ln ( + + = ln ( + + = ln + = ( C, R. e ( +. Integrovaný výraz upravíme na tvar e ( ( + = e + e ( +. Nyní použijeme integrace per partes. Zvolíme-li u = e a v = +, je u = e a v = ( +. Pak tato metoda integrace dává e ( ( + = e + e ( + = e + + C,. ( Integrovanou funkci napíšeme pomocí součtu dvou funkcí, jejichž integrály jsou známy, tj. ( = ( + / + /4 = = ln( arctg + + C, R. 5

26 . Protože je = ( + dostaneme = = arcsin + + C, (,. ( + +. Protože + = [ ( ] + 5, je = ( /4 + 5/6 = argsinh C = = ( 4 ln C, R Substitucí = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí 5 = + ( y(5 y y + 4 dy = + 0y y y dy = + 4 = y + 5 ln ( y arctg y + C = = + 5 ln ( arctg + C, > Integrál najdeme tak, že funkci f( rozložíme na parciální zlomky. To dává 4 4 = 4 ( ( ( + ( + = = 6

27 = ln + arctg + C, ± Integrál najdeme tak, že integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Platí ( = dz = ln + + C, 0,. 4e ( e + e + ( e. Integrál lze substitucí e = y pževést na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je 4e ( e + e + ( e = 4 dy (y (y + = ( = y y + (y + dy = ln y y + + y + + C = = ln e e + + e + + C, 0. arccos 4. Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává arccos 4 = arccos = = arccos 4 4 6, ( 4, Integrál najdeme pomocí rozkladu integrované funkce na parciální zlomky. Pak dostaneme 4 ( 4 = = 7

28 = ln + arctg + C, ±. ln ( 4. Nejprve zavedeme novou proměnnou substitucí y = 4 a pak použijeme integraci per partes. Protože pro < jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, dostaneme ln ( 4 = ln y dy = y ln y + ln y dy = = y ln y + y ln y dy = y ( ln y ln y + + C = = ( ( ln (4 ln(4 + + C, < Zavedeme substituci + = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituce, je + y ( + 0 = dy y + 9 = 8 y dy = + 9 = y 6 arctg y + + C = + 6 arctg + C, > Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Tak dostaneme 8 8 = 4 = ln + + = + ( + + C, 0, ±. ( 6 e + 4e +. 8

29 Tento integrál převedeme na integrál racionální funkce substitucí e = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je 6 e + 4e + = ( 6 dy y(y + (y + = y y + + dy = y + = ln y ln(y + + ln(y + + C = = ln ( e + + ln ( e + + C, R Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Tak dostaneme ( = + ( = = ln ( + + C, 0,. 9. Jedna z možností, jak najít tento integrál je substituce = sin y. Po této substituci dostaneme 9 = 8 sin y cos y dy = 8 sin y dy = 4 = 8 ( 8 cos 4y dy = 8 8 y 8 sin 4y + C = = 8 8 y 8 8 sin y cos y( sin y + C = = 8 8 arcsin 8 ( C, (,. ( arccotg. Integrál najdeme pomocí integrace per partes. Pak dostaneme ( arccotg = arccotg = = arccotg + = arccotg ( ( + = + ln( arctg( + C,. 9

30 Integrál najdeme pomocí rozkladu integrované funkce na parciální zlomky. Po ní dostaneme 4 4 ( 4 = ( = 4 + = 4 + arctg + ln + + C, ± = arccos. Integrál najdeme pomocí integrace per partes. Ta dává arccos = arccos + 4 = arccos 4 + C, (,. ( 4 + ( Integrál najdeme pomocí rozkladu integrované funkce na parciální zlomky. Tím dostaneme ( ( 4 + ( = + + ( ( ( + 4 = ln C, ±. = 0