1 Mnohočleny a algebraické rovnice

Transkript

1 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem x označujeme proměnnou. Naznačujeme tím, že za x lze dosazovat různá čísla (reálná či komplexní). Například pro kvadratický trojčlen 3x 2 5x + 1 po dosazení Výraz tvaru x = 0 dostaneme = 1 (hodnota v bodě x = 0), x = 2 dostaneme 3 ( 2) 2 5 ( 2) + 1 = 23 (hodnota v bodě x = 2) a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = n a k x k, a n 0 (1) se nazývá mnohočlen n-tého stupně v proměnné x a čísla (reálná, resp. komplexní) a k, k = 0, 1, 2,..., n, n N se nazývají koeficienty mnohočlenu. Namísto názvu mnohočlen se pro výraz (1) používá označení polynom n-tého stupně v proměnné x Číslo n a k α k = a n α n + a n 1 α n a 1 α + α se nazývá hodnota polynomu v čísle α. Je dán polynom x 4 4x 3 76x x 405. Vypočtěte hodnotu v bodech α 1 = 1 a α 2 = 2 + i. Řešení: Hodnota v bodě α 1 = 1: ( 1) 4 4( 1) 3 76( 1) ( 1) 405 = = 800. Hodnota v bodě α 2 = 2 + i: (2 + i) 4 4(2 + i) 3 76(2 + i) (2 + i) 405 = = ( i) 4(2 + 11i) 76(3 + 4i) + 324(2 + i) 405 = 0. y polynomů: 3 a k x k = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 je polynom třetího stupně, když a 3 0, 1

2 2 a k x k = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 je polynom druhého stupně, když a 2 0, 1 a k x k = a 1 x + a 0 je polynom prvního stupně, když a 1 0, 0 a k x k = a 0 je polynom nultého stupně, když a 0 0. Polynom, který má všechny koeficienty rovny nule, se nazývá nulový polynom. Nulový polynom nemá stupeň. Mezi všemi polynomy je pouze jeden nulový polynom, ale můžeme jej zapsat rozmanitými způsoby. Například: 0 x x 0, 0 x 7 0 x x x x x x 1 + 0, n a k x k, a k = 0 pro všechny indexy k = 0, 1,..., n. 1.2 Algebraické operace s polynomy Dva polynomy n a k x k, a n 0 a n b k x k, b n 0 si jsou rovny, je-li a k = b k pro k = 0, 1, 2,..., n, tj. rovnají-li se koefiecienty u stejných mocnin x. Určete koeficienty A, B, C polynomu A(x 2 + 1) + Bx 2 + Cx(x 2 + 1) tak, aby byl roven polynomu x 3 + x + 1. Řešení: Úpravou dostáváme Z rovnosti A(x 2 + 1) + Bx 2 + Cx(x 2 + 1) = Cx 3 + (A + B)x 2 + Cx + A. Cx 3 + (A + B)x 2 + Cx + A = x 3 + x + 1 dostaneme porovnáním koeficientů u stejných mocnin x podmínky C = 1, A + B = 0, A = 1, takže A = 1, B = 1, C = 1. 2

3 Polynomy můžeme (stejně jako čísla) sečítat, odečítat, násobit i dělit. Sčítat a odečítat polynomy budeme podle následujícího návodu: (3x 2 x + 7)+ (5x 4 7x x 1) = = 5x 4 + (3 7)x 2 + ( )x + (7 1) = = 5x 4 4x x + 6, (3x 2 x + 7) (5x 4 7x x 1) = = 5x 4 + (3 + 7)x 2 + ( 1 12)x + (7 + 1) = = 5x x 2 13x + 8. Násobit polynomy budeme podle distributivního zákona, tj. násobíme každý člen jednoho polynomu s každým členem druhého: (x 2 + 1)(x 3 x) = x 5 + x 3 x 3 x = x 5 x. Vidíme, že součet, rozdíl i součin polynomů je opět polynom. Jsou-li si dva polynomy rovny, jejich rozdíl je nulový polynom. Dělení polynomů je složitější a (jak uvidíme v dalším textu) výsledkem není vždy polynom. 1.3 Podíl dvou polynomů Dělení polynomu polynomem nultého stupně (tj. nenulovou konstantou) je definováno takto: a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b 0 = a n b 0 x n + a n 1 b 0 x n a 1 b 0 x + a 0 b 0. Dělení polynomů definujeme obecně podobně jako dělení přirozených čísel: 11 4 = = (dělení se zbytkem, podíl není přirozené číslo), 12 4 = 3 12 = 3 4 (dělení beze zbytku, podíl je přirozené číslo). (2) Chceme-li stanovit podíl polynomů P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 a S(x) = b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 (pro nenulový S(x)), musíme najít takové polynomy Q(x) a R(x) tak, aby platil vztah neboli P (x) S(x) = Q(x) + R(x) S(x), (3) P (x) = S(x)Q(x) + R(x) (4) (srovnej s ( 2) pro dělení přirozených čísel). Pokud stupeň polynomu S(x) je větší než stupeň P (x), pak Q(x) = 0 a R(x) = P (x). Postup, který pro dané polynomy P (x) a S(x) 3

4 určí polynom Q(x) (tj. podíl, resp. částečný podíl) a polynom R(x) (tj. zbytek) se nazývá algoritmus dělení polynomů. Vypočtěte podíl, resp. částečný podíl polynomů x 3 2x 2 + x 1 a x 2 3x + 2. (x 3 2x 2 + x 1) : (x 2 3x + 2) = x + 1 (částečný podíl) ±x 3 3x 2 ± 2x x 2 x 1 ±x 2 3x ± 2 2x 3 (zbytek) Tedy resp. (Srovnej s ( 2).) x 3 2x 2 + x 1 x 2 3x + 2 = x x 3 x 2 3x + 2, x 3 2x 2 + x 1 = (x 2 3x + 2)(x + 1) + 2x Hornerův algoritmus Ve speciálním případě, když dělíme polynom P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 lineárním polynomem (polynomem prvního stupně) S(x) = x α, kde α je dané číslo, je algoritmus dělení velmi jednoduchý a nazývá se Hornerův algoritmus. Než si jej uvedeme, připomeňme, že v tomto případě mají vzorce ( 3) a ( 4) tvar resp. P (x) x α = Q(x) + R x α, (5) P (x) = (x α)q(x) + R, (6) kde R je polynom nultého stupně (konstanta) a je to hodnota polynomu P (x) v čísle α. Je totiž P (α) = (α α)q(x) + R = 0 Q(x) + R = R. Tento poznatek bude velice důležitý při určování kořenů algebraických rovnic (odst. 1.5). Ilustrujme nyní různé verze algoritmu dělení lineárním činitelem. 4

5 1. verze algoritmu Je tedy (7x 4 2x 3 +3x +8) : (x + 1) = 7x 3 9x 2 + 9x 6 ±7x 4 ±7x 3 9x 3 +3x +8 9x 3 9x 2 9x 2 +3x +8 ±9x 2 ±9x 6x +8 6x 6 14 (zbytek) 7x 4 2x 3 +3x+8 x+1 = 7x 3 9x 2 + 9x x+1 R = P ( 1) = verze algoritmu Polynom P (x) = 7x 4 2x 3 + 3x + 8 napíšeme ve tvaru P (x) = (((7x 2)x + 0)x + 3)x + 8. (7) Pro x = 1 počítáme hodnoty jednotlivých závorek: q 3 = a 4 = 7 q 2 = 7( 1) 2 = q 3 α + a 3 = 9 q 1 = 9( 1) + 0 = q 2 α + a 2 = 9 q 0 = 9( 1) + 3 = q 1 α + a 1 = 6 R = 6( 1) + 8 = q 0 α + a 0 = 14 = P (α) Získaná čísla q 0, q 1, q 2, q 3 jsou koeficienty polynomu Q(x), je tedy Q(x) = 7x 3 9x 2 + 9x verze algoritmu Upravíme-li polynom do tvaru ( 7), lze pomocí kalkulátoru velice snadno vypočítat koeficienty polynomu Q(x) i hodnotu P ( 1). 4. verze algoritmu Předchozí postup se dá zapsat do schématu, který se dobře pamatuje (v prvním řádku jsou koeficienty polynomu P (x)): Postup výpočtu: 1. q 3 = a 4 = 7; a 4 = 7 a 3 = 2 a 2 = 0 a 1 = 3 a 0 = q 3 = 7 q 2 = 9 q 1 = 9 q 0 = 6 14 = P ( 1) 5

6 2. q 2 = αq 3 + a 3 = ( 1) 7 2 = 9; 3. q 1 = αq 2 + a 2 = ( 1) ( 9) + 0 = 9 4. q 0 = αq 1 + a 1 = ( 1) = 6; 5. P ( 1) = αq 0 + a 0 = ( 1) ( 6) + 8 = 14. Tato verze Hornerova algoritmu je známa pod názvem Hornerovo schéma. 1.5 Algebraické rovnice Rovnice typu a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, (8) kde a k pro k = 0, 1, 2,..., n jsou daná čísla (tzv. koeficienty rovnice) a a n 0, se nazývá algebraická rovnice n-tého stupně v proměnné x. Na levé straně rovnice je polynom P (x) = n a k x k obecně s komplexními koeficienty. Řešení (kořen) rovnice ( 8) je číslo α takové, že P (α) = 0. Platí následující velice důležitá základní věta algebry, kterou uvádíme bez důkazu: Věta Každá algebraická rovnice má v oboru komplexních čísel alespoň jeden kořen. Jinými slovy: Pro každou algebraickou rovnici (je lhostejné, zda koeficienty jsou komplexní či reálné) existuje alespoň jedno číslo, které je kořenem této rovnice. Je-li číslo α kořenem rovnice ( 8), je ve vztahu ( 6) R = 0 a platí tedy rovnost P (x) = (x α)q(x), kde Q(x) je polynom stupně n 1. Lineární polynom x α se nazývá kořenový činitel. Jedním kořenem rovnice x 3 2x 2 x + 2 = 0 je číslo 1. Vypočtěte ostatní kořeny. Řešení Dělením polynomu x 3 2x 2 x + 2 kořenovým činitelem x 1 (např. Hornerovým schématem) zjistíme, že rovnici lze psát ve tvaru (x 1)(x 2 x 2) = 0. Další kořeny zjistíme řešením kvadratické rovnice x 2 x 2 = 0. Kořeny této kvadratické rovnice jsou čísla 1 a 2. Daná rovnice třetího stupně má tedy kořeny 1, 1, 2. Z předchozího vidíme, že známe-li kořen α algebraické rovnice n-tého stupně, můžeme dělením kořenovým činitelem x α dostat algebraickou rovnici stupně n 1. Opakováním 6

7 tohoto postupu lze tedy polynom na levé straně rovnice rozložit na součin kořenových činitelů: a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = a n (x α 1 )(x α 2 ) (x α n ), kde α 1, α 2,..., α n jsou kořeny algebraické rovnice a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0. Vyskytuje-li se v rozkladu kořenový činitel x α i k-krát, nazývá se kořen α i k-násobný kořen algebraické rovnice P (x) = 0. Mají-li kořeny α 1, α 2,..., α k násobnosti k 1, k 2,..., k r, r n, k 1 + k k r = n, rozklad polynomu lze zapsat ve tvaru a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = a n (x α 1 ) k 1 (x α 2 ) k2 (x α r ) kr. Jedním kořenem rovnice 8x 3 36x x 27 = 0 je číslo α 1 = 2 3. Vypočtěte ostatní kořeny. Řešení: Dělením polynomu 8x 3 36x x 27 polynomem x 3 2 získáme polynom 8x 2 24x + 18, řešíme tedy rovnici 8x 2 24x + 18 = 0 4x 2 12x + 9 = 0 α 2,3 = 3 2. Daná rovnice má tedy jeden trojnásobný kořen α 1,2,3 = 3 2. Poznámka Rozklad polynomu 8x 3 36x x 27 na součin kořenových činitelů má tvar ( 8x 3 36x x 27 = 8 x ) Vlastnosti kořenů algebraické rovnice s reálnými koeficienty 1. Má-li algebraická rovnice s reálnými koeficienty komplexní kořen α = a + bi, má také kořen α = a bi (číslo komplexně sdružené k α). 2. Má-li algebraická rovnice s reálnými koeficienty vícenásobný komplexní kořen, potom číslo komplexně sdružené je také vícenásobným kořenem této rovnice a násobnosti obou kořenů jsou stejné. 3. Má-li algebraická rovnice s reálnými koeficienty komplexní kořeny, je jejich počet sudý. 4. Každá algebraická rovnice s reálnými koeficienty lichého stupně má alespoň jeden kořen reálný. 7

8 Jedním kořenem rovnice x 4 8x x 2 36x + 24 = 0 je číslo α 1 = 3 3i. Vypočtěte ostatní kořeny. Řešení: Druhým kořenem je číslo α 2 = 3 + 3i. Hledáme polynom q(x) takový, aby (x 3 + 3i)(x 3 3i)q(x) = x 4 8x x 2 36x + 24 (x 2 6x + 12)q(x) = x 4 8x x 2 36x + 24 q(x) = x4 8x 3 +26x 2 36x+24 x 2 6x+12 Dělením zjistíme, že q(x) = x 2 2x + 2. Stačí tedy najít kořeny rovnice x 2 2x + 2 = 0 α 3 = 1 + i, α 4 = 1 i. Daná rovnice má tedy kořeny: α 1 = 3 3i, α 2 = 3 + 3i, α 3 = 1 + i, α 4 = 1 i. Vypočtěte kořeny rovnice x 4 + 4x 3 16x 16 = 0. Řešení: Postupným dosazováním (zkusíme např. dosadit čísla 1, 1, 2, 2 atd.) zjistíme, že čísla 2 a 2 jsou kořeny naší rovnice. Je tedy (x 2)(x + 2)(x 2 + 4x + 4) = 0 a zbývá vyřešit kvadratickou rovnici x 2 + 4x + 4 = 0. Ta má jeden dvojnásobný kořen 2. Daná rovnice má tedy jeden trojnásobný kořen 2 a jednonásobný (jednoduchý) kořen 2. Vypočtěte kořeny rovnice 3x 3 + 2x 2 x 4 = 0. Řešení: Postupným dosazováním zjistíme, že rovnice má kořen 1. Je tedy (x 1)(3x 2 + 5x + 4) = 0 a řešením rovnice 3x 2 + 5x + 4 = 0 jsou čísla 5 6 ± 23 6 i. Daná rovnice má tedy tři kořeny 1 a 5 6 ± 23 6 i. 1.6 Souvislost kořenů a koeficientů algebraické rovnice Z předchozích příkladů je zřejmé, že u algebraických rovnic vyšších stupňů nám nezbývá nic jiného, než některá řešení rovnice buď uhádnout nebo je určovat numerickými metodami, kterými se zabývá tzv. numerická matematika. Pro rovnice 3. a 4. stupně je sice možné použít vzorce pro výpočet kořenů, ale ty jsou značně komplikované. Pro rovnice vyšších stupňů takové vzorce vůbec neexistují. K určení kořenů napomohou vztahy (tzv. Viétovy vzorce) mezi koeficienty a kořeny polynomu. Pro nás budou významné dva z nich: 8

9 1. Součet všech kořenů násobený koeficientem a n je roven opačnému koeficientu u x n 1, tj. (α 1 + α α n )a n = a n Pro součin všech kořenů a koeficientu a n platí (α 1 α 2 α n ) a n = ( 1) n a 0. Poznámka 1. Kořeny algebraické rovnice odhadujeme tak, že určíme dělitele absolutního členu a 0 a dosazením se přesvědčíme, zda je kořenem. 2. Pro kvadratický trojčlen lze velice snadno uvedené vlastnosti odvodit z rovnosti: x 2 + a 1 x + a 0 = (x α 1 )(x α 2 ) = x 2 (α 1 + α 2 )x + α 1 α 2. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostáváme a 1 = (α 1 + α 2 ), a 0 = α 1 α 2. 2 Racionální lomené funkce. Definice Nechť P (x) je polynom stupně n a S(x) je polynom stupně m. Potom reálná funkce f: D R f(x) = P (x) S(x), se nazývá racionální lomená funkce. Definičním oborem funkce f(x) je množina D = {x R : S(x) 0}. Pokud je n m (tj. stupeň čitatele stupeň jmenovatele), je možné polynomy P a S vydělit (viz vztahy 3 a 4). Racionální lomenou funkci f(x) lze potom psát ve tvaru f(x) = Q(x) + R(x) S(x), kde funkce Q(x) je polynom stupně n m a polynom R(x) stupně k < m je zbytek při dělení polynomu P (x) polynomem S(x). 9

10 Věta (rozklad na parciální zlomky) Nechť je dána racionální lomená funkce kde f(x) = P (x) S(x), st P (x) = n < st S(x) = m, Podle odst. 1.5 lze polynom S(x) vyjádřit ve tvaru S(x) = a m (x c 1 ) k 1 (x c 2 ) k 2... (x c s ) ks (x 2 + p 1 x + q 1 ) h 1 (x 2 + p 2 x + q 2 ) h 2... (x 2 + p t x + q t ) ht, kde c i (i = 1,..., s) jsou reálné kořeny polynomu S(x) násobnosti k i (navzájem různé) a x 2 + p j x + q j (j = 1,..., t) jsou polynomy druhého stupně, které nemají reálné kořeny, tj. odpovídají vždy dvojici komplexně sdružených kořenů násobnosti h j. Potom existují reálná čísla A 1, A 2,..., A k1 B 1, B 2,..., B k K 1, K 2,..., K h1, L 1, L 2,..., L h1 M 1, M 2,..., M h2, N 1, N 2,..., N h tak, že racionální lomenou funkci f(x) lze pro všechna čísla x různá od c 1, c 2,..., c s vyjádřit ve tvaru tzv. rozkladu na parciální zlomky f(x) = A 1 x c 1 + A 2 (x c A k 1 + ) 2 (x c 1 ) k 1 + B 1 x c 2 + B 2 (x c B k ) 2 (x c 2 ) k 2 + K 1x+L 1 x 2 +p 1 x+q 1 + K 2x+L 2 (x 2 +p 1 x+q K h 1 x+l h1 + ) 2 (x 2 +p 1 x+q 1 ) h 1 + M 1x+N 1 x 2 +p 2 x+q 2 + M 2x+N 2 (x 2 +p 2 x+q M h 2 x+n h2 + ) 2 (x 2 +p 2 x+q 2 ) h 2 Neznámé koeficienty v rozkladu na parciální zlomky se zjišťují tzv. metodou neurčitých koeficientů. Její princip je patrný z následujícího příkladu. Určete rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky. f(x) = 2x 2 + 2x + 1 x 5 x 3 2x 2 + 2x 10

11 Řešení: Nejdříve rozložíme polynom S(x) = x 5 x 3 2x 2 + 2x na součin kořenových činitelů: S(x) = x 5 x 3 2x 2 + 2x = x(x 2 (x 1)(x + 1) 2(x 1)) = = x(x 1)(x 3 + x 2 2) = x(x 1)(x x 2 1) = x(x 1) 2 (x 2 + 2x + 2). Podle věty 2 o rozkladu na parciální zlomky platí: f(x) = Vynásobením této rovnosti polynomem 2x 2 + 2x + 1 x 5 x 3 2x 2 + 2x = = A x + B x 1 + C (x 1) + Dx + E 2 x 2 + 2x + 2. S(x) = x(x 1) 2 (x 2 + 2x + 2) dostaneme pro x 0 a x 1 rovnost polynomů: 2x 2 + 2x + 1 = A(x 1) 2 (x 2 + 2x + 2)+ +Bx(x 1)(x 2 + 2x + 2)+ +Cx(x 2 + 2x + 2) + (Dx + E)x(x 1) 2. (9) 1. metoda výpočtu koeficientů - metoda srovnávací - univerzální metoda Vztah 9 lze upravit do tvaru 2x 2 + 2x + 1 = (A + B + D)x 4 + (B + C 2D + E)x 3 + +( A + 2C + D 2E)x 2 + +( 2A 2B + 2C + E)x + 2A a porovnáním koeficientů u stejných mocnin x těchto polynomů dostáváme soustavu lineárních rovnic: Tato soustava má jediné řešení: A +B +D = 0 B +C 2D +E = 0 A +2C +D 2E = 2 2A 2B +2C +E = 2 2A = 1 A = 1 2, B = 3 5, C = 1, D = 1 10, E =

12 2. metoda výpočtu koeficientů - metoda dosazovací - je vhodná v případě reálných kořenů polynomu S(x): Do vztahu 9 dosadíme postupně hodnoty reálných koeficientů: x = 1 : 5 = C 5 C = 1 x = 0 : 1 = A 1 2 A = 1 2 Pro výpočet zbývajících koeficientů B, D, E užijeme opět metodu srovnávací. Dosazením vypočtených koeficientů dostaneme rozklad dané racionální lomené funkce na parciální zlomky: 2x 2 + 2x + 1 f(x) = x 5 x 3 2x 2 + 2x = = 1 2x 3 5(x 1) + 1 (x 1) 2 + x 2 10(x 2 + 2x + 2). Rozložte racionální lomenou funkci na parciální zlomky. f(x) = x3 2x x 5 4x 4 + 4x 3 Řešení: Polynom S(x) = x 5 4x 4 + 4x 3 = x 3 (x 2 4x + 4) = x 3 (x 2) 2 má trojnásobný kořen x 1,2,3 = 0 a dvojnásobný kořen x 4,5 = 2. Je tedy pro x 0 a x 2 x 3 2x 2 +4 = A + B + C + D x 5 4x 4 +4x 3 x x 2 x 3 x 2 + E, (x 2) 2 x 3 2x = Ax 2 (x 2) 2 + Bx(x 2) 2 + C(x 2) 2 + Dx 3 (x 2) + Ex 3, x 3 2x = (A + D)x 4 + ( 4A + B 2D + E)x 3 + (4A 4B + C)x 2 + +(4B 4C)x + 4C. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostaneme soustavu rovnic: Jejím řešením dostaneme A +D = 0, 4A +B 2D +E = 1, 4A 4B +C = 2, 4B 4C = 0, 4C = 0. A = 1 4, B = C = 1, D = 1 4, E =

13 Pro funkci f tedy dostáváme f(x) = x3 2x x 5 4x 4 + 4x 3 = 1 4x + 1 x x 3 1 4(x 2) + 1 2(x 2) 2. Rozložte racionální lomenou funkci na parciální zlomky. f(x) = 1 x 6 + 2x 4 + x 2 Řešení: Polynom S(x) = x 6 + 2x 4 + x 2 = x 2 (x 4 + 2x 2 + 1) = x 2 (x 2 + 1) 2 má dvojnásobný kořen x 1,2 = 0, je tedy pro x 0 1 x 6 +2x 4 +x 2 = A x + B x 2 + Cx+D x Ex+F (x 2 +1) 2, 1 = Ax(x 2 + 1) 2 + B(x 2 + 1) 2 + (Cx + D)x 2 (x 2 + 1) 2 + (Ex + F )x 2, 1 = (A + C)x 5 + (B + D)x 4 + (2A + C + E)x 3 + (2B + D + F )x + Ax + B. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostaneme soustavu rovnic: Jejím řešením dostaneme Pro funkci f tedy dostáváme A +C = 0, B +D = 0 2A +C +E = 0, 2B +D +F = 0, A +4C = 0, B = 1. A = C = E = 0, B = 1, D = 1, F = 1. f(x) = 1 x 6 + 2x 4 + x 2 = 1 x 2 1 x (x 2 + 1) 2. 13