1 Mnohočleny a algebraické rovnice

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Mnohočleny a algebraické rovnice"

Transkript

1 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem x označujeme proměnnou. Naznačujeme tím, že za x lze dosazovat různá čísla (reálná či komplexní). Například pro kvadratický trojčlen 3x 2 5x + 1 po dosazení Výraz tvaru x = 0 dostaneme = 1 (hodnota v bodě x = 0), x = 2 dostaneme 3 ( 2) 2 5 ( 2) + 1 = 23 (hodnota v bodě x = 2) a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = n a k x k, a n 0 (1) se nazývá mnohočlen n-tého stupně v proměnné x a čísla (reálná, resp. komplexní) a k, k = 0, 1, 2,..., n, n N se nazývají koeficienty mnohočlenu. Namísto názvu mnohočlen se pro výraz (1) používá označení polynom n-tého stupně v proměnné x Číslo n a k α k = a n α n + a n 1 α n a 1 α + α se nazývá hodnota polynomu v čísle α. Je dán polynom x 4 4x 3 76x x 405. Vypočtěte hodnotu v bodech α 1 = 1 a α 2 = 2 + i. Řešení: Hodnota v bodě α 1 = 1: ( 1) 4 4( 1) 3 76( 1) ( 1) 405 = = 800. Hodnota v bodě α 2 = 2 + i: (2 + i) 4 4(2 + i) 3 76(2 + i) (2 + i) 405 = = ( i) 4(2 + 11i) 76(3 + 4i) + 324(2 + i) 405 = 0. y polynomů: 3 a k x k = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 je polynom třetího stupně, když a 3 0, 1

2 2 a k x k = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 je polynom druhého stupně, když a 2 0, 1 a k x k = a 1 x + a 0 je polynom prvního stupně, když a 1 0, 0 a k x k = a 0 je polynom nultého stupně, když a 0 0. Polynom, který má všechny koeficienty rovny nule, se nazývá nulový polynom. Nulový polynom nemá stupeň. Mezi všemi polynomy je pouze jeden nulový polynom, ale můžeme jej zapsat rozmanitými způsoby. Například: 0 x x 0, 0 x 7 0 x x x x x x 1 + 0, n a k x k, a k = 0 pro všechny indexy k = 0, 1,..., n. 1.2 Algebraické operace s polynomy Dva polynomy n a k x k, a n 0 a n b k x k, b n 0 si jsou rovny, je-li a k = b k pro k = 0, 1, 2,..., n, tj. rovnají-li se koefiecienty u stejných mocnin x. Určete koeficienty A, B, C polynomu A(x 2 + 1) + Bx 2 + Cx(x 2 + 1) tak, aby byl roven polynomu x 3 + x + 1. Řešení: Úpravou dostáváme Z rovnosti A(x 2 + 1) + Bx 2 + Cx(x 2 + 1) = Cx 3 + (A + B)x 2 + Cx + A. Cx 3 + (A + B)x 2 + Cx + A = x 3 + x + 1 dostaneme porovnáním koeficientů u stejných mocnin x podmínky C = 1, A + B = 0, A = 1, takže A = 1, B = 1, C = 1. 2

3 Polynomy můžeme (stejně jako čísla) sečítat, odečítat, násobit i dělit. Sčítat a odečítat polynomy budeme podle následujícího návodu: (3x 2 x + 7)+ (5x 4 7x x 1) = = 5x 4 + (3 7)x 2 + ( )x + (7 1) = = 5x 4 4x x + 6, (3x 2 x + 7) (5x 4 7x x 1) = = 5x 4 + (3 + 7)x 2 + ( 1 12)x + (7 + 1) = = 5x x 2 13x + 8. Násobit polynomy budeme podle distributivního zákona, tj. násobíme každý člen jednoho polynomu s každým členem druhého: (x 2 + 1)(x 3 x) = x 5 + x 3 x 3 x = x 5 x. Vidíme, že součet, rozdíl i součin polynomů je opět polynom. Jsou-li si dva polynomy rovny, jejich rozdíl je nulový polynom. Dělení polynomů je složitější a (jak uvidíme v dalším textu) výsledkem není vždy polynom. 1.3 Podíl dvou polynomů Dělení polynomu polynomem nultého stupně (tj. nenulovou konstantou) je definováno takto: a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b 0 = a n b 0 x n + a n 1 b 0 x n a 1 b 0 x + a 0 b 0. Dělení polynomů definujeme obecně podobně jako dělení přirozených čísel: 11 4 = = (dělení se zbytkem, podíl není přirozené číslo), 12 4 = 3 12 = 3 4 (dělení beze zbytku, podíl je přirozené číslo). (2) Chceme-li stanovit podíl polynomů P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 a S(x) = b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 (pro nenulový S(x)), musíme najít takové polynomy Q(x) a R(x) tak, aby platil vztah neboli P (x) S(x) = Q(x) + R(x) S(x), (3) P (x) = S(x)Q(x) + R(x) (4) (srovnej s ( 2) pro dělení přirozených čísel). Pokud stupeň polynomu S(x) je větší než stupeň P (x), pak Q(x) = 0 a R(x) = P (x). Postup, který pro dané polynomy P (x) a S(x) 3

4 určí polynom Q(x) (tj. podíl, resp. částečný podíl) a polynom R(x) (tj. zbytek) se nazývá algoritmus dělení polynomů. Vypočtěte podíl, resp. částečný podíl polynomů x 3 2x 2 + x 1 a x 2 3x + 2. (x 3 2x 2 + x 1) : (x 2 3x + 2) = x + 1 (částečný podíl) ±x 3 3x 2 ± 2x x 2 x 1 ±x 2 3x ± 2 2x 3 (zbytek) Tedy resp. (Srovnej s ( 2).) x 3 2x 2 + x 1 x 2 3x + 2 = x x 3 x 2 3x + 2, x 3 2x 2 + x 1 = (x 2 3x + 2)(x + 1) + 2x Hornerův algoritmus Ve speciálním případě, když dělíme polynom P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 lineárním polynomem (polynomem prvního stupně) S(x) = x α, kde α je dané číslo, je algoritmus dělení velmi jednoduchý a nazývá se Hornerův algoritmus. Než si jej uvedeme, připomeňme, že v tomto případě mají vzorce ( 3) a ( 4) tvar resp. P (x) x α = Q(x) + R x α, (5) P (x) = (x α)q(x) + R, (6) kde R je polynom nultého stupně (konstanta) a je to hodnota polynomu P (x) v čísle α. Je totiž P (α) = (α α)q(x) + R = 0 Q(x) + R = R. Tento poznatek bude velice důležitý při určování kořenů algebraických rovnic (odst. 1.5). Ilustrujme nyní různé verze algoritmu dělení lineárním činitelem. 4

5 1. verze algoritmu Je tedy (7x 4 2x 3 +3x +8) : (x + 1) = 7x 3 9x 2 + 9x 6 ±7x 4 ±7x 3 9x 3 +3x +8 9x 3 9x 2 9x 2 +3x +8 ±9x 2 ±9x 6x +8 6x 6 14 (zbytek) 7x 4 2x 3 +3x+8 x+1 = 7x 3 9x 2 + 9x x+1 R = P ( 1) = verze algoritmu Polynom P (x) = 7x 4 2x 3 + 3x + 8 napíšeme ve tvaru P (x) = (((7x 2)x + 0)x + 3)x + 8. (7) Pro x = 1 počítáme hodnoty jednotlivých závorek: q 3 = a 4 = 7 q 2 = 7( 1) 2 = q 3 α + a 3 = 9 q 1 = 9( 1) + 0 = q 2 α + a 2 = 9 q 0 = 9( 1) + 3 = q 1 α + a 1 = 6 R = 6( 1) + 8 = q 0 α + a 0 = 14 = P (α) Získaná čísla q 0, q 1, q 2, q 3 jsou koeficienty polynomu Q(x), je tedy Q(x) = 7x 3 9x 2 + 9x verze algoritmu Upravíme-li polynom do tvaru ( 7), lze pomocí kalkulátoru velice snadno vypočítat koeficienty polynomu Q(x) i hodnotu P ( 1). 4. verze algoritmu Předchozí postup se dá zapsat do schématu, který se dobře pamatuje (v prvním řádku jsou koeficienty polynomu P (x)): Postup výpočtu: 1. q 3 = a 4 = 7; a 4 = 7 a 3 = 2 a 2 = 0 a 1 = 3 a 0 = q 3 = 7 q 2 = 9 q 1 = 9 q 0 = 6 14 = P ( 1) 5

6 2. q 2 = αq 3 + a 3 = ( 1) 7 2 = 9; 3. q 1 = αq 2 + a 2 = ( 1) ( 9) + 0 = 9 4. q 0 = αq 1 + a 1 = ( 1) = 6; 5. P ( 1) = αq 0 + a 0 = ( 1) ( 6) + 8 = 14. Tato verze Hornerova algoritmu je známa pod názvem Hornerovo schéma. 1.5 Algebraické rovnice Rovnice typu a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, (8) kde a k pro k = 0, 1, 2,..., n jsou daná čísla (tzv. koeficienty rovnice) a a n 0, se nazývá algebraická rovnice n-tého stupně v proměnné x. Na levé straně rovnice je polynom P (x) = n a k x k obecně s komplexními koeficienty. Řešení (kořen) rovnice ( 8) je číslo α takové, že P (α) = 0. Platí následující velice důležitá základní věta algebry, kterou uvádíme bez důkazu: Věta Každá algebraická rovnice má v oboru komplexních čísel alespoň jeden kořen. Jinými slovy: Pro každou algebraickou rovnici (je lhostejné, zda koeficienty jsou komplexní či reálné) existuje alespoň jedno číslo, které je kořenem této rovnice. Je-li číslo α kořenem rovnice ( 8), je ve vztahu ( 6) R = 0 a platí tedy rovnost P (x) = (x α)q(x), kde Q(x) je polynom stupně n 1. Lineární polynom x α se nazývá kořenový činitel. Jedním kořenem rovnice x 3 2x 2 x + 2 = 0 je číslo 1. Vypočtěte ostatní kořeny. Řešení Dělením polynomu x 3 2x 2 x + 2 kořenovým činitelem x 1 (např. Hornerovým schématem) zjistíme, že rovnici lze psát ve tvaru (x 1)(x 2 x 2) = 0. Další kořeny zjistíme řešením kvadratické rovnice x 2 x 2 = 0. Kořeny této kvadratické rovnice jsou čísla 1 a 2. Daná rovnice třetího stupně má tedy kořeny 1, 1, 2. Z předchozího vidíme, že známe-li kořen α algebraické rovnice n-tého stupně, můžeme dělením kořenovým činitelem x α dostat algebraickou rovnici stupně n 1. Opakováním 6

7 tohoto postupu lze tedy polynom na levé straně rovnice rozložit na součin kořenových činitelů: a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = a n (x α 1 )(x α 2 ) (x α n ), kde α 1, α 2,..., α n jsou kořeny algebraické rovnice a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0. Vyskytuje-li se v rozkladu kořenový činitel x α i k-krát, nazývá se kořen α i k-násobný kořen algebraické rovnice P (x) = 0. Mají-li kořeny α 1, α 2,..., α k násobnosti k 1, k 2,..., k r, r n, k 1 + k k r = n, rozklad polynomu lze zapsat ve tvaru a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = a n (x α 1 ) k 1 (x α 2 ) k2 (x α r ) kr. Jedním kořenem rovnice 8x 3 36x x 27 = 0 je číslo α 1 = 2 3. Vypočtěte ostatní kořeny. Řešení: Dělením polynomu 8x 3 36x x 27 polynomem x 3 2 získáme polynom 8x 2 24x + 18, řešíme tedy rovnici 8x 2 24x + 18 = 0 4x 2 12x + 9 = 0 α 2,3 = 3 2. Daná rovnice má tedy jeden trojnásobný kořen α 1,2,3 = 3 2. Poznámka Rozklad polynomu 8x 3 36x x 27 na součin kořenových činitelů má tvar ( 8x 3 36x x 27 = 8 x ) Vlastnosti kořenů algebraické rovnice s reálnými koeficienty 1. Má-li algebraická rovnice s reálnými koeficienty komplexní kořen α = a + bi, má také kořen α = a bi (číslo komplexně sdružené k α). 2. Má-li algebraická rovnice s reálnými koeficienty vícenásobný komplexní kořen, potom číslo komplexně sdružené je také vícenásobným kořenem této rovnice a násobnosti obou kořenů jsou stejné. 3. Má-li algebraická rovnice s reálnými koeficienty komplexní kořeny, je jejich počet sudý. 4. Každá algebraická rovnice s reálnými koeficienty lichého stupně má alespoň jeden kořen reálný. 7

8 Jedním kořenem rovnice x 4 8x x 2 36x + 24 = 0 je číslo α 1 = 3 3i. Vypočtěte ostatní kořeny. Řešení: Druhým kořenem je číslo α 2 = 3 + 3i. Hledáme polynom q(x) takový, aby (x 3 + 3i)(x 3 3i)q(x) = x 4 8x x 2 36x + 24 (x 2 6x + 12)q(x) = x 4 8x x 2 36x + 24 q(x) = x4 8x 3 +26x 2 36x+24 x 2 6x+12 Dělením zjistíme, že q(x) = x 2 2x + 2. Stačí tedy najít kořeny rovnice x 2 2x + 2 = 0 α 3 = 1 + i, α 4 = 1 i. Daná rovnice má tedy kořeny: α 1 = 3 3i, α 2 = 3 + 3i, α 3 = 1 + i, α 4 = 1 i. Vypočtěte kořeny rovnice x 4 + 4x 3 16x 16 = 0. Řešení: Postupným dosazováním (zkusíme např. dosadit čísla 1, 1, 2, 2 atd.) zjistíme, že čísla 2 a 2 jsou kořeny naší rovnice. Je tedy (x 2)(x + 2)(x 2 + 4x + 4) = 0 a zbývá vyřešit kvadratickou rovnici x 2 + 4x + 4 = 0. Ta má jeden dvojnásobný kořen 2. Daná rovnice má tedy jeden trojnásobný kořen 2 a jednonásobný (jednoduchý) kořen 2. Vypočtěte kořeny rovnice 3x 3 + 2x 2 x 4 = 0. Řešení: Postupným dosazováním zjistíme, že rovnice má kořen 1. Je tedy (x 1)(3x 2 + 5x + 4) = 0 a řešením rovnice 3x 2 + 5x + 4 = 0 jsou čísla 5 6 ± 23 6 i. Daná rovnice má tedy tři kořeny 1 a 5 6 ± 23 6 i. 1.6 Souvislost kořenů a koeficientů algebraické rovnice Z předchozích příkladů je zřejmé, že u algebraických rovnic vyšších stupňů nám nezbývá nic jiného, než některá řešení rovnice buď uhádnout nebo je určovat numerickými metodami, kterými se zabývá tzv. numerická matematika. Pro rovnice 3. a 4. stupně je sice možné použít vzorce pro výpočet kořenů, ale ty jsou značně komplikované. Pro rovnice vyšších stupňů takové vzorce vůbec neexistují. K určení kořenů napomohou vztahy (tzv. Viétovy vzorce) mezi koeficienty a kořeny polynomu. Pro nás budou významné dva z nich: 8

9 1. Součet všech kořenů násobený koeficientem a n je roven opačnému koeficientu u x n 1, tj. (α 1 + α α n )a n = a n Pro součin všech kořenů a koeficientu a n platí (α 1 α 2 α n ) a n = ( 1) n a 0. Poznámka 1. Kořeny algebraické rovnice odhadujeme tak, že určíme dělitele absolutního členu a 0 a dosazením se přesvědčíme, zda je kořenem. 2. Pro kvadratický trojčlen lze velice snadno uvedené vlastnosti odvodit z rovnosti: x 2 + a 1 x + a 0 = (x α 1 )(x α 2 ) = x 2 (α 1 + α 2 )x + α 1 α 2. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostáváme a 1 = (α 1 + α 2 ), a 0 = α 1 α 2. 2 Racionální lomené funkce. Definice Nechť P (x) je polynom stupně n a S(x) je polynom stupně m. Potom reálná funkce f: D R f(x) = P (x) S(x), se nazývá racionální lomená funkce. Definičním oborem funkce f(x) je množina D = {x R : S(x) 0}. Pokud je n m (tj. stupeň čitatele stupeň jmenovatele), je možné polynomy P a S vydělit (viz vztahy 3 a 4). Racionální lomenou funkci f(x) lze potom psát ve tvaru f(x) = Q(x) + R(x) S(x), kde funkce Q(x) je polynom stupně n m a polynom R(x) stupně k < m je zbytek při dělení polynomu P (x) polynomem S(x). 9

10 Věta (rozklad na parciální zlomky) Nechť je dána racionální lomená funkce kde f(x) = P (x) S(x), st P (x) = n < st S(x) = m, Podle odst. 1.5 lze polynom S(x) vyjádřit ve tvaru S(x) = a m (x c 1 ) k 1 (x c 2 ) k 2... (x c s ) ks (x 2 + p 1 x + q 1 ) h 1 (x 2 + p 2 x + q 2 ) h 2... (x 2 + p t x + q t ) ht, kde c i (i = 1,..., s) jsou reálné kořeny polynomu S(x) násobnosti k i (navzájem různé) a x 2 + p j x + q j (j = 1,..., t) jsou polynomy druhého stupně, které nemají reálné kořeny, tj. odpovídají vždy dvojici komplexně sdružených kořenů násobnosti h j. Potom existují reálná čísla A 1, A 2,..., A k1 B 1, B 2,..., B k K 1, K 2,..., K h1, L 1, L 2,..., L h1 M 1, M 2,..., M h2, N 1, N 2,..., N h tak, že racionální lomenou funkci f(x) lze pro všechna čísla x různá od c 1, c 2,..., c s vyjádřit ve tvaru tzv. rozkladu na parciální zlomky f(x) = A 1 x c 1 + A 2 (x c A k 1 + ) 2 (x c 1 ) k 1 + B 1 x c 2 + B 2 (x c B k ) 2 (x c 2 ) k 2 + K 1x+L 1 x 2 +p 1 x+q 1 + K 2x+L 2 (x 2 +p 1 x+q K h 1 x+l h1 + ) 2 (x 2 +p 1 x+q 1 ) h 1 + M 1x+N 1 x 2 +p 2 x+q 2 + M 2x+N 2 (x 2 +p 2 x+q M h 2 x+n h2 + ) 2 (x 2 +p 2 x+q 2 ) h 2 Neznámé koeficienty v rozkladu na parciální zlomky se zjišťují tzv. metodou neurčitých koeficientů. Její princip je patrný z následujícího příkladu. Určete rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky. f(x) = 2x 2 + 2x + 1 x 5 x 3 2x 2 + 2x 10

11 Řešení: Nejdříve rozložíme polynom S(x) = x 5 x 3 2x 2 + 2x na součin kořenových činitelů: S(x) = x 5 x 3 2x 2 + 2x = x(x 2 (x 1)(x + 1) 2(x 1)) = = x(x 1)(x 3 + x 2 2) = x(x 1)(x x 2 1) = x(x 1) 2 (x 2 + 2x + 2). Podle věty 2 o rozkladu na parciální zlomky platí: f(x) = Vynásobením této rovnosti polynomem 2x 2 + 2x + 1 x 5 x 3 2x 2 + 2x = = A x + B x 1 + C (x 1) + Dx + E 2 x 2 + 2x + 2. S(x) = x(x 1) 2 (x 2 + 2x + 2) dostaneme pro x 0 a x 1 rovnost polynomů: 2x 2 + 2x + 1 = A(x 1) 2 (x 2 + 2x + 2)+ +Bx(x 1)(x 2 + 2x + 2)+ +Cx(x 2 + 2x + 2) + (Dx + E)x(x 1) 2. (9) 1. metoda výpočtu koeficientů - metoda srovnávací - univerzální metoda Vztah 9 lze upravit do tvaru 2x 2 + 2x + 1 = (A + B + D)x 4 + (B + C 2D + E)x 3 + +( A + 2C + D 2E)x 2 + +( 2A 2B + 2C + E)x + 2A a porovnáním koeficientů u stejných mocnin x těchto polynomů dostáváme soustavu lineárních rovnic: Tato soustava má jediné řešení: A +B +D = 0 B +C 2D +E = 0 A +2C +D 2E = 2 2A 2B +2C +E = 2 2A = 1 A = 1 2, B = 3 5, C = 1, D = 1 10, E =

12 2. metoda výpočtu koeficientů - metoda dosazovací - je vhodná v případě reálných kořenů polynomu S(x): Do vztahu 9 dosadíme postupně hodnoty reálných koeficientů: x = 1 : 5 = C 5 C = 1 x = 0 : 1 = A 1 2 A = 1 2 Pro výpočet zbývajících koeficientů B, D, E užijeme opět metodu srovnávací. Dosazením vypočtených koeficientů dostaneme rozklad dané racionální lomené funkce na parciální zlomky: 2x 2 + 2x + 1 f(x) = x 5 x 3 2x 2 + 2x = = 1 2x 3 5(x 1) + 1 (x 1) 2 + x 2 10(x 2 + 2x + 2). Rozložte racionální lomenou funkci na parciální zlomky. f(x) = x3 2x x 5 4x 4 + 4x 3 Řešení: Polynom S(x) = x 5 4x 4 + 4x 3 = x 3 (x 2 4x + 4) = x 3 (x 2) 2 má trojnásobný kořen x 1,2,3 = 0 a dvojnásobný kořen x 4,5 = 2. Je tedy pro x 0 a x 2 x 3 2x 2 +4 = A + B + C + D x 5 4x 4 +4x 3 x x 2 x 3 x 2 + E, (x 2) 2 x 3 2x = Ax 2 (x 2) 2 + Bx(x 2) 2 + C(x 2) 2 + Dx 3 (x 2) + Ex 3, x 3 2x = (A + D)x 4 + ( 4A + B 2D + E)x 3 + (4A 4B + C)x 2 + +(4B 4C)x + 4C. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostaneme soustavu rovnic: Jejím řešením dostaneme A +D = 0, 4A +B 2D +E = 1, 4A 4B +C = 2, 4B 4C = 0, 4C = 0. A = 1 4, B = C = 1, D = 1 4, E =

13 Pro funkci f tedy dostáváme f(x) = x3 2x x 5 4x 4 + 4x 3 = 1 4x + 1 x x 3 1 4(x 2) + 1 2(x 2) 2. Rozložte racionální lomenou funkci na parciální zlomky. f(x) = 1 x 6 + 2x 4 + x 2 Řešení: Polynom S(x) = x 6 + 2x 4 + x 2 = x 2 (x 4 + 2x 2 + 1) = x 2 (x 2 + 1) 2 má dvojnásobný kořen x 1,2 = 0, je tedy pro x 0 1 x 6 +2x 4 +x 2 = A x + B x 2 + Cx+D x Ex+F (x 2 +1) 2, 1 = Ax(x 2 + 1) 2 + B(x 2 + 1) 2 + (Cx + D)x 2 (x 2 + 1) 2 + (Ex + F )x 2, 1 = (A + C)x 5 + (B + D)x 4 + (2A + C + E)x 3 + (2B + D + F )x + Ax + B. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostaneme soustavu rovnic: Jejím řešením dostaneme Pro funkci f tedy dostáváme A +C = 0, B +D = 0 2A +C +E = 0, 2B +D +F = 0, A +4C = 0, B = 1. A = C = E = 0, B = 1, D = 1, F = 1. f(x) = 1 x 6 + 2x 4 + x 2 = 1 x 2 1 x (x 2 + 1) 2. 13

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy

4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy 4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

a a

a a 1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková

Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie Komplexní čísla. Komplexní čísla jsou objekty tvaru α+iβ, kde α, β R. Množina všech komplexních čísel se značí C. Rovnost komplexních

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108 ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce

Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Vytvořující funkce a Fibonacciho čísla 2 Vytvořující funkce - připomenutí 3 Řešení

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Rozklad na součin vytýkáním

Rozklad na součin vytýkáním Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin prvočísel číslo: 165 = 210 = 546 = 2. Rozložte na součin mocnin prvočísel číslo: 96 = 432 = B. Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin vytýkáním:

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Matematika I (KMI/5MAT1)

Matematika I (KMI/5MAT1) Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN

ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN Rozkladedem mnohočlenu na součin rozumíme rozklad mnohočlenu na součin jednodušších mnohočlenů, které z pravidla již nejsou dále rozložitelné. Pro rozklad mnohočlenu na součin

Více

Algebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek.

Algebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. Algebraické výrazy Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. 1. Upravte výrazy: a) 6a + 3b + 2a + c b b) 3m + s

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná

Více

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

M - Příprava na pololetní písemku č. 1 M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

Elementární funkce. Polynomy

Elementární funkce. Polynomy Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.

Více

M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory

M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory Určeno jako studijní materiál pro třídy učebních oborů. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.

Více

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0 Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1 Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení,

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Lomené algebraické výrazy

Lomené algebraické výrazy Variace 1 Lomené algebraické výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Lomené algebraické výrazy

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27 Řetězové zlomky HL Academy - Chata Lopata 2012 13.2. 18.2.2012 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky 13.2. 18.2.2012 1 / 27 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky Euklidův algoritmus

Více

MATEMATIKA. Diofantovské rovnice 2. stupně

MATEMATIKA. Diofantovské rovnice 2. stupně MATEMATIKA Diofantovské rovnice 2. stupně LADISLAVA FRANCOVÁ JITKA KÜHNOVÁ Přírodovědecká fakulta, Univerzita Hradec Králové V tomto článku se budeme zabývat některými případy diofantovských rovnic 2.

Více

Matematika 1 sbírka příkladů

Matematika 1 sbírka příkladů Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0763 Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220 Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 Autor Ing. Antonín Kučera

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY

1. ČÍSELNÉ OBORY ČÍSELNÉ OBORY 1. ČÍSELNÉ OBORY Číselným oborem rozumíme číselnou množinu, na které jsou definovány bez omezení početní operace sčítání a násobení, tj. číselný obor je vzhledem k těmto operacím uzavřený.

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

- y. 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu. eseru: = = = x +.) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2

- y. 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu. eseru: = = = x +.) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2 48 Príklad 73: Rozložte na soucin: a)4x2-25 c)x4-16 - e) x' + 27 b} 25x2 + 30xy + 9y2 d) 8x3-36~y + 54xy2-27l Rešení: a) Použije vzorec a2 - b2 = (a - b). (a + b), v nemž platí a = 2x, b = 5. Dostaneme:

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: geometrická posloupnost, geometrická

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I 4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

Dělení celku na části v poměru

Dělení celku na části v poměru Dělení celku na části v poměru Příklad : Rozděl číslo 12 v poměru 2 : 3. Řešení : Celek musíme rozdělit na 2 + 3 = 5 dílů. Jeden díl má velikost 12 : 5 = 2,4 První člen poměru představuje dva díly a proto

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Horner's Method using Excel (výpočet hodnoty polynomu v Excel s využitím historické Hornerovy metody) RNDr. Miroslav Kružík UPOL Olomouc

Horner's Method using Excel (výpočet hodnoty polynomu v Excel s využitím historické Hornerovy metody) RNDr. Miroslav Kružík UPOL Olomouc Horner's Method using Excel (výpočet hodnoty polynomu v Excel s využitím historické Hornerovy metody) RNDr. Miroslav Kružík UPOL Olomouc Proč historická metoda v dnešní počítačové době? Dnes údajně počítače

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 14. Matice. Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D.

Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 14. Matice. Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 4 Závěrečná maturitní práce Matice Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno 20 Jakub Juránek Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně a

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY VYBRANÉ KAPITOLY Z ELEMENTÁRNÍ ALGEBRY DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Jiří KRYČ Učitelství pro 2. stupeň ZŠ, obor

Více