Symetrie v architektuře. The best known example of this is the Taj Mahal.

Transkript

1 Symetrie

2 Co je symetrie? Základní princip pro celý vesmír (proton x antiproton, černá x bílá, parita) Zákon zachování parity (CP, CPT) Fundamentální organizační princip v přírodě a umění (DNA - double helix) Symetrie zachovává vzdálenosti, uhly, velikost a tvar Symetrie molekul, optická aktivita, chiralita

3 Symetrie v architektuře The best known example of this is the Taj Mahal.

4 Symetrie Abecedy Písmena dělíme na: Symetrická: A, B, C, D, E, H, I, K, M, N, O, S, T, U, V, W, X, Y, Z Nesymetrická: F, G, J, L, P, Q, R

5 Motýl

6 M.C. Escher Dutch graphic artist No formal training in math or science Used intricate repeating patterns in his artwork

7 Motýle

8 Ryby a lodě

9 Ještěrky

10 Symetrie v chemii Symetrické molekuly NH 3 H 2 O C 6 H 6 SF 6 H 2 C 2 C 60, B 12 H 12

11 Symetrie v matematice Množiny Grupy Grupoidy E. Galois, Teorie grup.

12 Symetrie (souměrnost) Motiv: fundamentální část konceptu symetrie. Opakováním motivu se vytvoří celý vzor. Operace: určitá akce, která zopakuje motiv tak, aby se vytvořil celý vzor Prvek (element) symetrie: operace je lokalizována v určitém místě (bodě) prostoru. Geometrický prvek - bod, přímka, rovina, vektor.

13 Typy symetrie Rotace Translace Reflexe (odraz) Inverse Rotoinverse Rotoreflexe Skluzná reflexe Šroubovitá rotace (spirála) Bodová symetrie Translační symetrie

14 2-D Symetrie Prvky Symetrie Rotace a. Dvojnásobná rotace dvojnásobná osa Symetrický vzor 6 = 360 o /2 rotace reprodukuje motiv v symetrickém vzoru 6

15 2-D Symetrie Prvky Symetrie Rotace a. Dvojnásobná osa Operace rotace = 360 o /2 6 Motif Element Symbol pro 2-osu, C 2 6

16 2-D Symetrie Prvek symetrie Operace symetrie Symetrická operace 6 first operation step Pohyb, akce second operation step 6

17 2-D Symetrie Prvky Symetrie Rotace b. Trojnásobná osa 6 rotace = 360 o /3

18 2-D Symetrie Prvky symetrie Rotace b. trojnásobná rotační osa rotace= 360 o /3 6 step 1 step 3 Symbol pro osu, C 3 step 2

19 2-D Symetrie Krystalografické prvky rotační symetrie fold 2-fold 3-fold 4-fold 6-fold 2-fold = dvojnásobná

20 2-D Symetrie Prvky symetrie Reflexe, odraz (m) Odraz přes zrcadlovou rovinu reprodukuje motiv = symbol pro zrcadlovou rovinu C s, σ

21 2-D Symetrie Nyní máme 6 unikátních 2-D operací symetrie: m Rotace jsou congruentní operace reprodukce jsou identické Inverse a reflexe jsou enantiomorfní operace reprodukce jsou levé a pravé

22 2-D Symetrie Kombinace prvků symetrie jsou také možné Aby se vytvořila kompletní analýza symetrie v prostoru v okolí bodu, musíme zkoušet všechny možné kombinace těchto prvků symetrie Kvůli čistotě v podání a snadnosti ilustrací, budeme pokračovat pouze v příkladech z 2-D

23 2-D Symetrie Kombinace 2-rotační osy a zrcadlové roviny

24 Krok 1: reflexe 2-D Symetrie

25 2-D Symetrie Krok 1: reflexe Krok 2: rotace

26 2-D Symetrie Krok 1: reflexe Krok 2: rotace Ještě něco??

27 2-D Symetrie Krok 1: reflexe Krok 2: rotace Vzniká druhá zrcadlová rovina

28 2-D Symetrie Výsledek je Bodová Grupa 2mm, C 2v 2mm indikuje 2 zrcadla Zrcadla jsou různá (nejsou ekvivalentní z důvodu symetrie)

29 2-D Symetrie Kombinace 4-násobné rotace s reflexí Kombinace 4-násobné rotační osy s rovinou symetrie.

30 Krok 1: reflexe 2-D Symetrie

31 2-D Symetrie Krok 1: reflexe Krok 2: rotace 1

34 Ještě nějaký element? 2-D Symetrie

35 2-D Symetrie Ještě nějaký element? Ano, dvě další zrcadla Bodová grupa 4mm

36 2-D Symetrie 3-násobná rotace a zrcadlení vytvářejí bodovou grupu 3m

37 2-D Symetrie 6-násobná rotace a zrcadlení vytvářejí bodovou grupu 6mm

38 2-D Symetrie Původních 6 elementů plus 4 kombinace vytváří 10 možných 2-D bodových grup: m 2mm 3m 4mm 6mm Každý 2-D vzor v okolí bodu musí odpovídat jedné z těchto grup

39 3-D Symetrie Prvky Symetrie Inverse (i) (-1) C i Střed symetrie. Transformace přes bod. = symbol je bod 6 inverse je identická 2- násobné rotační ose v 2-D, ale je unikátní v 3-D (dvě ruce) 6

40 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse ( 1 ) a. 1-násobná rotoinverse

41 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse a. 1-násobná rotoinverse 1: rotace 360/1 (identita)

42 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse a. 1-násobná rotoinverse 1: rotace 360/1 (identita) 2: inverse Stejná jako i

43 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse ( 2 ) b. 2-násobná rotoinverse 1: rotace 360/2 Pozn.: dočasný krok Tento motiv se nebude ve finálním vzoru

44 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse b. 2-násobná rotoinverse Step 1: rotate 360/2 Step 2: inverse

45 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse b. 2-násobná rotoinverse Výsledek

46 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse b. 2-násobná rotoinverse Stejná jako m

47 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse ( 3 ) c. 3-násobná rotoinverse

48 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Step 1: rotate 360 o /3 Opět, toto je pomocný krok. Nebude ve finálním vzoru. 1

49 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Step 2: inverse

50 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Dokončení první sekvence 1 2

51 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Rotace o dalších 360/3

52 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Inverse přes střed

53 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Dokončení. Vzniká plocha

54 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Plocha 4 (3 (1) 4)

55 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Plocha 5 (4 (2) 5) 5 1 2

56 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse Plocha 6 (5 (3) 6) 5 1 Šestý krok je návrat na plochu 1 6

57 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse c. 3-násobná rotoinverse 3 Toto je unikátní operace

58 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse ( 4 ) d. 4-násobná rotoinverse

59 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse

60 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse 1: Rotace 360/4

61 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse 1: Rotace 360/4 2: Inverse

64 3-D Symetrie Symmetry Elements Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse 3: Rotace 360/4 4: Inverse

68 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse Toto je unikátní operace

69 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse d. 4-násobná rotoinverse Základní vzor

70 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse( 6 ) e. 6-násobná rotoinverse

71 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse 1

72 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse 1

73 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse 1 2

74 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse 1 2

75 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse 3 1 2

76 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse 3 1 2

77 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse

82 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinverse e. 6-násobná rotoinverse Pozn.: toto je stejné jako 3-násobná rotační osa kolmá na zrcadlovou rovinu Top View

83 3-D Symetrie Prvky symetrie Rotoinversion e. 6-násobná rotoinverse Jednoduchý vzor Top View

84 3-D Symetrie Nyní máme 10 unikátních 3-D symetrických operací: i m Kombinace těchto elementů jsou přípustné Kompletní analýza symetrie okolo bodu v prostoru vyžaduje aby se testovaly všechny možné kombinace těchto prvků symetrie. Existuje 32 kombinací. 32 bodových grup.

85 3-D Symetrie 3-D kombinace prvků symetrie a. Rotační osa paralelní k rovině Stejné jako v 2-D 2 m = 2mm 3 m = 3m, also 4mm, 6mm b. Rotační osa kolmá na rovinu 2 m = 2/m 3 m = 3/m, also 4/m, 6/m c. Kombinace rotací pod 90 o 222 (třetí 2 je generována) pod 90 o 422 ( ) pod 90 o 622 ( )

86 3-D Symetrie Příklady zobrazení

87 3-D Symetrie 32 bodových grup Seřazené podle krystalografického systému Crystal System No Center Center Triclinic 1 1 Monoclinic 2, 2 (= m) 2/m Orthorhombic 222, 2mm 2/m 2/m 2/m Tetragonal 4, 4, 422, 4mm, 42m 4/m, 4/m 2/m 2/m Hexagonal 3, 32, 3m 3, 3 2/m 6, 6, 622, 6mm, 62m 6/m, 6/m 2/m 2/m Isometric 23, 432, 43m 2/m 3, 4/m 3 2/m

88 3-D Symetrie 32 Bodových Grup Bloss, Crystallography and Crystal Chemistry. MSA

89 Grupy symetrie Množiny operací symetrie, matematická teorie grup prvek symetrie x operace symetrie C 6 C 6, C 6 2 C 3, C 6 3 C 2, C 6 4 C 32, C 65, C 6 6 E - množina je kompletní A, B prvky grupy C=A B je též prvek - existuje prvek E - jednotkový - ke každému prvku existuje inverzní prvek A -1, A A -1 =E - platí asociativní zákon A (B C) = (A B) C

90 Grupy symetrie C 1 (CFClBrI), C s (H 2 C=CClF, SOCl 2 ) C i (C 2 Cl 2 H 2 Br 2 ) C n (:PPh 3 ) C nv C n + n vertikálních (dihedrálních) σ v (H 2 O, NH 3 ) C nh C n + σ h (C 3h -H 3 BO 3, C 2h -H 2 C 2 O 4 )

91 Grupy symetrie D n C n + n C 2 C n (D 3 - [Ru(phen) 3 ] 2+ ) D nd C n + n C 2 C n + n σ d (D 2d -allen CH 2 =C=CH 2 ) D nh + σ h (D 4h -[PtCl 4 ] 2-, D 3h -PCl 5, D 6h -C 6 H 6 ) S n (n-sudé, n>4) S n (+C n/2 ) T d (CH 4-4xC 3 ), O h (SF 6-3xC 4, 4xC 3, i ), I h (C 5, 120 operací, B 12 2-, C 60 ) Lineární grupy D h, C v lineární A-A a A-B Kužely, válce, koule

92 Grupy symetrie 1 C? C n? σ? i? C 1 i? 1 I C v i? 1 I h C s C i S 2n C nh 1 1 D h 6C 5? 3C 4? 4C 3? nc 2 C n? S 2n? σ h? 0 O i? 1 O h i? σ h? 1 6σ? T 1 h T d T D nh 1 nσ v? 0 nσ v? 1 C nv 0 0 D D C n nd n

93 Srovnávací tabulky symetrie C 1 1 C 2 2 C 3 3 C 4 4 C 6 6 C 2v mm2 C 3v 3m 4mm C 4v C 6v 6mm C s (C 1h ) m C 2h 2/m C 3h -6 C 4h 4/m C 6h 6/m S 2 (C i ) -1 S 4-4 S 6 3 D D 3 32 D D D 2d -42m D 3d -3 2/m D 2h 2/m 2/m 2/m D 3h -6m2 D 4h 4/m 2/m 2/m D 6h 6/m 2/m 2/m T 23 T d -43m T h 2/m -3 1 O O h 4/m -3 2/m -6 má být 6 a čárka nad znakem 6, a pod.

94 Grupy symetrie Aplikace: klasifikace molekul hybridní orbitaly molekulové orbitaly teorie krystalového pole vibrační spektra IČ a Ramanova spektroskopie predikce dovolených spektrálních přechodů chiralita

95 Absolutní konfigurace CIP - Cahn, Ingold, Prelog Preferenční čísla R,S - volantové pravidlo Asymetrické centrum. Chiralia, Optická aktivita Diastereoizomery Racemická směs, racemická sloučenina

96 Asymetrický uhlík

97 Číslo priority Cl Br F H 4 4 H OH CH 3 CH 2 Br CH 2 CH 3 Br CH=CH 2 2 H 4

98 To assign a priority to an atom that is part of a multiple bond, treat a multiply bonded atom as an equivalent number of singly bonded atoms. For example, the C of a C=O is considered to be bonded to two O atoms. Other common multiple bonds are drawn below:

99

100 Volantové pravidlo

101

102 Chiralita Pokud má molekula rotačně-reflexní osu S n (1, 2, 3,...) potom není opticky aktivní!!!! S 1 je rovina S 2 je střed souměrnosti - inverse

103 Carvone CH 3 CH 3 O O H CH 3 H H 3 C Left-handed Carvone Smells like caraway Right-handed Carvone Smells like spearmint S(+) kmínový olej R(-) vůně po mátě

104 Aspartame O OH H 2 N H H N O OH Left-handed Aspartame "Nutrasweet" 160 times sweeter than sugar O H OH O H H O H 2 N O N H OH Right-handed Aspartame Not at all sweet slightly bitter

105 Ibuprofen H H 3 C OH HO H CH 3 O O Left-handed Ibuprofen Powerful Pain Killer and Anti-inflamatory Drug Right-handed Ibuprofen No Drug Activity

106 R good - morning sickness S bad - birth defects