8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

Transkript

1 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními jevy je dobře známo, že zdeformujeme-li v nějakém směru otvor v difrakčním stínítku, zdeformuje se difrakční obrazec nepřímo úměrně viz obr.. Kvantitativně tuto skutečnost formuluje věta, která udává vztah mezi Fourierovými transformacemi funkcí, jež lze ztotožnit lineární regulární transformací proměnných. Budeme vektor x považovat za sloupcovou matici a vektor X za řádkovou matici. Nechť čtvercová matice M m rs charakterizuje regulární tj. det M lineární transformaci souřadnic Pak inverzní transformaci charakterizuje inverzní matice M m rs M sr det M, x M x x. kde M sr je algebraický doplněk prvku m sr v determinantu det M a inverzní transformace má tvar x M x + x. 2 Obrázek : Fraunhoferova difrakce na kruhovém a elipsovitém otvoru. Elipsovitý otvor vznikl roztažením kruhového otvoru ve vodorovném směru. V důsledku toho je difrakční obrazec ve vodorovném směru v témž poměru zkrácen. 8. Věta Nechť funkce f x a f x spolu souvisejí vztahem f x f M x x. Pak jejich Fourierovy transformace spolu souvisejí vztahem F X det M exp ikx x F XM. 2 Důkaz je založen na pouhé substituci ve Fourierově integrálu:

2 2 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC F X A N f x exp ik X x d N x A N f M x x exp ik X x d N x A N f x exp [ ikx M x + x ] d N x det M det M exp ikx x A N f x exp ikxm x d N x det M exp ik X x F XM. Při důkazu jsme využili toho, že det M det M a že XM x XM x. Speciální tvar věty 2, kdy translace x a matice M je diagonální maticí, se v literatuře nazývá větou o podobnosti viz např. [2], str. 244, [3], str Diagonální matice charakterizuje transformaci kartézské soustavy souřadnic na obecnou ortogonální soustavu souřadnic s různou délkou jednotek podél os, tedy také např. čtverce na obdélník, krychle na kvádr atd., pokud souřadnicové osy jsou rovnoběžné se stranami čtverce, hranami krychle atd. Lineární regulární transformace 8 zahrnuje jako zvláštní případy translaci když M I M a x, rotaci, resp. zrcadlení když M je ortogonální maticí, tj. M M T, a x i lineární deformaci když M je obecnou regulární maticí. O translaci pojednáme v následující kapitole, o lineární deformaci pojednává celý zbytek této kapitoly. Zejména upozorňujeme na odst. 8.3, v němž použijeme věty 2 k dalšímu důkazu toho, že algebraicky definovaná reciproká mřížka je Fourierovou transformací původní mřížky. Nyní si všimneme pouze rotace resp. zrcadlení a využijeme dokázané věty k formulaci vlastnosti Fourierovy transformace, kterou většinou považujeme za samozřejmost. Protože v případě rotace resp. zrcadlení je matice M ortogonální, tj. M M T, tj. det M ± viz např. [], odst. 96, 97, vyplývá z věty 2 a z předpokladu f x f M x, že F X F XM T F M X T T. Otočení resp. zrcadlení funkce f i její Fourierovy transformace F charakterizuje tedy táž matice M. Pootočí-li se tedy nějak objekt, pootočí se stejným způsobem i Fourierova transformace objektu. Kromě toho, má-li objekt vlastnost symetrie související s rotací, tj. je-li f x fm x, má tutéž vlastnost i Fourierova transformace F X F M X T T. Totéž lze říci i o zrcadlení. Má-li f x zrcadlovou symetrii podle nějakého objektu přímky v E 2, roviny v E 3, má také její Fourierova transformace F X tuto zrcadlovou symetrii. Vyjádřeno formulí: Je li M M T, pak f x fm x F X F M X T T. 3 Ještě jinak řečeno, funkce f x je invariantní vůči nějaké ortogonální transformaci souřadnic, tehdy a jen tehdy, když je vůči této transformaci invariantní její Fourierova transformace F X. Poněvadž středovou symetrii f x f x lze považovat za speciální případ symetrie vzhledem k ortogonální transformaci, lze větu 6. považovat za speciální případ tvrzení 3. V případě, že funkce f x je reálná a má zrcadlovou symetrii, lze na základě věty 6.2 říci, že její Fourierova transformace F X je reálná v bodech přímky v E 2 resp. roviny v E 3 kolmé k přímce resp. rovině zrcadlení a procházející počátkem. To je dobré mít na paměti při kontrole výpočtů Fourierovy transformace reálných funkcí, které nemají středovou symetrii, ale mají zrcadlovou symetrii např. charakteristické funkce pravidelných 2l + úhelníků nebo charakteristická funkce pravidelného čtyřstěnu. 8.2 Příklad. Fourierova transformace charakteristické funkce rovnoběžníka Vypočítáme Fourierovu transformaci charakteristické funkce rovnoběžníku na obr. 2. Využijeme k tomu známé Fourierovy transformace charakteristické funkce čtverce o jednotkové straně viz.38,9: f x rect x rect, F X A 2 sinkx /2 kx /2 sinkx 2 /2. kx 2 /2

3 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 3 W 2-2 _ 2 _, W 2 _, 2 _ V 2 v 2, v 22 v 2 V v, v 2 w 2 w x v 2 v x W3 W4 f x rect x rect V 3 V 4 f x f M x Obrázek 2: Příklad funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací proměnných: jednotkový čtverec a obecný rovnoběžník. Protože rovnoběžník i čtverec mají střed v počátku, je x a platí f x f M x. 2 Ke stanovení čtyř prvků matice M resp. M využijeme vztahů mezi průvodiči v a w a v 2 a w 2 odpovídajících si vrcholů obou obrazců srov. obr. 2. Považujeme-li vektory v, v 2, w, w 2 za sloupcové matice, platí w M v, w 2 M v 2, resp. v M w, v 2 M w 2. 3 Vypočteme prvky m ik inverzní matice M, tj. použijeme druhé z obou možností 3, neboť je to počtářsky snazší. V souřadnicích představuje tato druhá možnost dvě soustavy dvou rovnic o dvou neznámých m ik : Odtud 2v m + m 2, 2v 2 m + m 2, 2v 2 m 2 + m 22, 2v 22 2v 2 m 2 + m 22. m v v 2, m 2 v + v 2, m 2, m 22 2v 2, takže M v v 2 v + v 2 2v 2, M v v 2 v+v2 2v 2v v 2 2v 2, 4 Všimněme si, že det M je roven ploše našeho rovnoběžníka. Charakteristická funkce rovnoběžníka má tedy tvar f x f M x rect a její Fourierova transformace je det M det M 2v 2v v 2. 5 x v v 2 v + v 2 2v 2 v v 2 x2 rect 2v 2 6

4 4 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC F X det M F XM A 2 2v 2 v v 2 sin [ k 2 X v v 2 ] sin { k 2 [X v + v 2 + X 2 2v 2 ] } k 2 X k v v 2 2 [X. 7 v + v 2 + X 2 2v 2 ] Obrázek 3: Fraunhoferovy difrakční obrazce na čtvercovém a kosodélníkovém otvoru. Rozložení intenzity charakterizují funkce F X 2 a F X 2, kde F X je výraz a F X je výraz 7. Představujeme-li si, že rovnoběžník vznikl deformací čtverce, je pro jeho difrakční obrazec příznačné, že ramena difrakčního obrazce zůstávají kolmá ke stranám rovnoběžníka tzv. Abbeova věta diskutovaná v odst..3. Z obr. 3 je vidět, že ramena Fraunhoferova difrakčního obrazce čtverce i rovnoběžníku jsou kolmá na přímkové okraje difrakčního stínítka. Jde o konkrétní ilustraci tzv. Abbeovy věty, o které pojednáme v kap. 3. Zde pouze uvedeme, co o tom vypovídají vztahy 6 a 7. Položíme-li argumenty funkcí rect v 6 rovny ±/2, dostaneme rovnice přímek, na nichž leží strany rovnoběžníka. Směrnice těchto přímek jsou k 2v 2 v + v 2, k 2. Položíme-li ve výrazu 7 argumenty sinů rovny nule, dostaneme rovnice přímek odpovídajících ramenům difrakčního obrazce. Jejich směrnice jsou k, k 2 v + v 2 2v 2. Z toho je vidět k /k 2, že ramena difrakčního obrazce jsou kolmá ke stranám rovnoběžníka. To je vhodné mít na paměti, potřebujeme-li správně navzájem orientovat snímek difrakčního obrazce a difrakčního stínítka. 8.3 Příklad: Jiný výpočet Fourierovy transformace obecné mřížkové funkce V odst. 4.3 jsme ukázali, že Fourierova transformace mřížkové funkce je úměrná mřížkové funkci reciproké mřížky. Důkaz tohoto tvrzení byl poměrně jednoduchý v případě mřížkové funkce jedné proměnné odst. 4.3., ale dosti komplikovaný v případě vícerozměrných mřížek. Věta 8. umožňuje jiný důkaz, jenž někomu může připadat jednodušší. Proto jej zde uvedeme. Podáme přitom další příklad toho, jak stanovit matici transformace M. Za funkci f x zvolíme mřížkovou funkci kubické mřížky s jednotkovým mřížkovým parametrem:

5 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 5 f x x n. n inf Zde opět symbol značí, že složky n, n 2,..., n N multiindexu n nabývají všech celočíselných hodnot. Jediné, co převezmeme z odst. 4.3 je fakt, že mřížková funkce jedné proměnné má Fourierovu transformaci ve tvaru { F X FT n f x n x n } x n 2 B h X 2πk h, 3 jak plyne z 4.35 pro a. Využijeme toho k tomu, že vypočteme Fourierovu transformaci mřížkové funkce N proměnných. Každou Diracovu distribuci N proměnných v lze podle A.52 faktorizovat do tvaru součinu N Diracových distribucí jedné proměnné, takže f x x n n inf n inf r x r n r. 4 Záměnou pořadí sčítání a násobení lze N násobnou nekonečnou řadu mřížkové funkce napsat ve tvaru x n n inf r n r x r n r, 5 tj. jako součin N mřížkových funkcí jedné proměnné. Také jádro Fourierovy transformace lze faktorizovat, exp ik X x exp ikx r x r, r takže i Fourierovu transformaci mřížkové funkce lze vyjádřit ve faktorizovaném tvaru { F X } FT x r n r, 6 r n r tj. jako součin Fourierových transformací mřížkových funkcí jedné proměnné. S použitím 3 pak je F X r h r X r 2π k h r. 7 Opětná záměna pořadí sčítání a násobení dává Fourierově transformaci F X výsledný tvar F X h r r X r 2π k h r h inf X 2π k h, 8 To je ovšem ve shodě s 4.37 pro a r a + r, r, 2,..., N, V U a a 2 a N. Jak víme z 4. má obecná tj. neortogonální N rozměrná mřížka mřížkovou funkci ve tvaru f x x n a n 2 a 2 n N a N. 9 Její Fourierovu transformaci vypočteme pomocí věty 8. a výsledku 8. Je však třeba najít matici M deformace 8.. Abychom získali zkušenost s úpravami matematických výrazů, stanovíme nejprve tuto matici pro případ mřížkové funkce jednorozměrné mřížky s parametrem a

6 6 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC fx n x na. Takovou mřížku lze považovat za deformovanou mřížku s jednotkovým parametrem 2. Ve větě 8. matice M charakterizující deformaci násobí proměnnou x. Musíme tedy funkci upravit do tomu odpovídajícího tvaru: fx n x na n x a a n a n x a n x a f. a V případě obecné jednorozměrné mřížky je maticí M veličina a a+. Věta 8. pak říká, že Fourierovou transformací mřížkové funkce je F X F Xa B B a h h X 2π k ax 2πk h B h a h a X 2π k h a ve shodě s Podobně lze obecnou N rozměrnou mřížku považovat za deformovanou ortogonální mřížku s jednotkovým parametrem a matici M příslušné deformace nalezneme obdobným způsobem jako v jednorozměrném případě. Považujeme li stejně jako v odst. 4. multiindex nn, n 2,..., n N za sloupcovou matici a vytvoříme li čtvercovou matici A, jejíž řádky jsou souřadnice a rs bazálních vektorů a r v ortonormální bázi, můžeme provést následující úpravu mřížkové funkce 9: f x x n a n 2 a 2 n N a N x n a n 2 a 2 n N a N, n a 2 n 2 a 22 n N a N2,......, x N n a N n 2 a 2N n N a NN x A T n A T A T x n det A 2 A T x n det A f A T x. 3 Úlohu matice M tedy hraje matice A T A +, jejíž řádky tvoří souřadnice a + st bazálních vektorů a + s algebraicky definované reciproké mřížky srov. rovnice 4.2, Podle věty 8. a s použitím 8 má Fourierova transformace mřížkové funkce 9 tvar multiindex hh, h 2,..., h N považujeme stejně jako v odst. 4.3 za řádkovou matici a absolutní hodnota vnějšího součinu má podle 4.6 význam objemu elementární buňky, tj. det A V U F X F XA T det A det A V U XA T 2π k h X 2π k h A T A T X 2π k h A T X 2πk h A + X 2π h a + k + h 2 a h N a + N, 4

7 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 7 2i 2 2i, V 2 _ 2 _ x 2a 2 a W 2 + a 2, 2 a 2 + a 22 2a x a b Obrázek 4: Jednotkový čtverec a a obecný rovnoběžník b specifikovaný průvodiči středů stran. což je výraz Podali jsme tedy druhý a nezávislý důkaz toho, že Fourierova transformace mřížkové funkce je úměrná s koeficientem V U mřížkové funkci reciproké mřížky s reciprokou konstantou K 2π k. 8.4 Fourierova transformace charakteristické funkce obecného N-rozměrného rovnoběžnostěnu Vypočítáme nyní Fourierovu transformaci charakteristické funkce N-rozměrného rovnoběžnostěnu. Může to být užitečné pro formulaci vzorkovacího teorému v E N, když je nezbytné vzorkovat v bodech, netvořících ortogonální síť. Nebudeme postupovat jako v odst. 8.2, kde jsme v deformaci čtverce na rovnoběžník využívali vrcholů. Nyní provedeme tuto deformaci pomocí středů stěn na obr. 4 středů stran. Dovolí nám to použít transformační matici M A T odvozenou v předcházejícím odstavci srov Obecný N rozměrný rovnoběžnostěn lze získat lineární deformací N rozměrné krychle o jednotkové hraně. Zvolíme tedy za funkci f x ve větě 8. charakteristickou funkci takové krychle se středem v počátku O souřadnic a orientované tak, že osy souřadnic x j procházejí středy stěn viz obr. 4a f x rect x j. j Její Fourierovou transformací je součin srov. odst..3.5 F X A N N sin j 2 kx j 2 kx j. 2 Označme ± 2 a j průvodiče středů stěn obecného rovnoběžnostěnu obr. 4b. Vektory a j, j, 2,..., N, tvoří bázi v E N a je zřejmé, že N rozměrná krychle přejde v uvažovaný rovnoběžnostěn touž lineární regulární transformací jako kartézská báze ı j, j, 2,..., N v bázi a j, j, 2,..., N. Vytvořme tedy stejným způsobem jako v předchozích odstavcích ze souřadnic vektorů a j matici A, vypočtěme matici A T A + jež je maticí deformace M a vytvořme reciproké vektory a + j. Charakteristickou funkcí f x obecného rovnoběžnostěnu je tedy podle 8.33 a součin f x f A + x f a + x, a + 2 x,..., a + N x N j rect a + j x. 3 Je to zřejmé i z názoru, neboť rovnice a + j x ± 2 jsou rovnicemi rovin, v nichž leží stěny rovnoběžnostěnu. Podle věty 8. je Fourierovou transformací charakteristické funkce 3 součin

8 8 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC F X det A F X A T A N V U F X a, X a 2,..., X a N A N V U N j sin 2 k X a j 2 k X. 4 a j Je z něj zřejmé, že s rostoucím X kvadrát modulu F X 2 nejpozvolněji klesá ve směrech X a j, tj. ve směrech kolmých k průvodičům středů stěn, a tím ke stěnám. Speciálně N 2, rovnoběžník znázorněný na obr. 4b s vektory a a, a 2, a 2 a 2, a 22, má charakteristickou funkci a22 x a 2 fx, rect rect a a 22 a 2 a 2 a2 x + a a a 22 a 2 a 2 Za vektory a + j v 3 jsme dosadili podle 4.25, 6. Její Fourierova transformace je F X, X 2 A 2 a a 22 a 2 a 2 sin [ 2 kx a + X 2 a 2 ] sin [ 2 kx a 2 + X 2 a 22 ] 2 kx a + X 2 a 2 2 kx. 5 a 2 + X 2 a 22 Výsledek 8.27 lze získat z 5 jako speciální případ, položíme-li v 5 a v v 2, a 2 v + v 2 a v 2 v 22. Reference [] Bydžovský B.: Úvod do teorie determinantů a matic a jejich užití. Jednota československých matematiků a fyziků, Praha 947. [2] Bracewell H. N.: The Fourier Transform and its Applications. 2nd ed. McGraw-Hill Book Company, New York 986. [3] Goodman J. W.: Introduction to Fourier Optics. 6nd ed. McGraw-Hill, New York 996..