Obsah. 1 ÚVOD Vektorové operace Moment síly k bodu a ose Statické ekvivalence silových soustav TĚŽIŠTĚ TĚLES 21

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Obsah. 1 ÚVOD 2 1.1 Vektorové operace... 2 1.2 Moment síly k bodu a ose... 4 1.3 Statické ekvivalence silových soustav... 10 2 TĚŽIŠTĚ TĚLES 21"

Transkript

1 Obsah 1 ÚVOD 1.1 Vektorové operace Moment síly k bodu a ose Statické ekvivalence silových soustav TĚŽIŠTĚ TĚLES 1 3 VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 9 4 SOUSTAVY TĚLES (vazby typu NNTN) 71 5 PASIVNÍ ODPORY 1

2 OBSAH 1 PˇPEDMLUVA Skripta MECHANIKA TĚLES - STATIKA, která byla na Ústavu mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky zpracována v rámci soustavy skript MECHANIKA TĚLES, jsou určena pro posluchače strojní fakulty. ÚLOHY ZE STATIKY navazují na skriptum MECHANIKA TĚLES - STATIKA. Snahou autorů bylo podchytit všechny problémové okruhy týkající se úloh z obsahu předmětu statika. Kapitoly 1, 3 a 4 zpracoval Ing. Z. lorian, CSc. a kapitoly a 5 Doc. Ing. Miroslav Suchánek, CSc.

3 1. ÚVOD 1 ÚVOD 1.1 Vektorové operace yzikální veličiny z matematického hlediska mohou mít charakter skalárů, vektorů a tenzorů. V [1] po vymezení základních pojmů mechaniky těles a statiky je pozornost zaměřena na sílu a moment síly k bodu, případně moment síly k ose. Vzhledem k tomu, že všechny tyto veličiny mají charakter vektorových veličin, zaměříme se v první kapitole nejen na zopakování pojmu vektor, ale především základních vektorových operací. V odborné litaratuře je možné nalézt různé definice vektoru. Uvedeme dvě, které považujeme za vhodné. 1. Vektor v n-rozměrném vektorovém prostoru je uspořádanou n-ticí čísel, kterou nazýváme souřadnice vektoru.. Vektor je množina všech stejně velkých, vzájemně rovnoběžných a souhlasně orientovaných úseček v prostoru viz obr První definice je algebraická, druhá již vychází z geometrické představy. Při vymezení pojmu síly působící v bodě A ([1] str.11) je uvedeno, že sílu, můžeme vyjádřit geometricky viz obr. 1.. Matematická definice vektoru, ale Řádné působiště vektoru neobsahuje. Chceme-li vyjádřit sílu působící v bodě A jako vektorovou veličinu, musíme posoudit, zda z mechanického hlediska je působiště síly podstatné. Uvažujme těleso podle obrázku 1.3 a). Obr. 1.1: Obr. 1.: Obr. 1.3: Pokud nositelka síly prochází středem čepu spojujícího těleso T se základním tělesem, pak se těleso T při působení síly nepohybuje. V případě působení síly v bodě B (viz obr. 1.3 c) dojde k otáčení tělesa kolem bodu A. Odtud je zřejmé, že působiště síly z hlediska mechanického pohybu je podstatné. Z tohoto důvodu jsou zavedeny pojmy volný, vázaný a klouzající vektor (vektor vázaný na přímku). Označení volného a vázaného vektoru je zřejmé z obrázku 1.4. Obr. 1.4:

4 1. ÚVOD 3 Vymezení volného vektoru odpovídá dříve uvedené definici vektoru. U vázaného vektoru musí být určen počáteční bod vektoru, tedy A,, a u klouzajícího vektoru přímka po níž se vektor může pohybovat. Vektorové operace v matematice byly vymezeny pro volné vektory. Vzhledem k tomu, že dva volné vektory můžeme vždy umístit do určitého bodu (viz obr. 1.5 bod U), což nemůžeme učinit s vektorovými veličinami, které mají charakter vázaných nebo klouzajících Obr. 1.5: vektorů. Z tohoto důvodu u vázaných vektorových veličin určujeme podmínky vyjádření vektorové veličiny v libovolném, ale konkrétním bodě. Vektorové operace pak aplikujeme pouze na vektorové veličiny vyjádřené ve stejném bodě. Ve1 Pro vektor d platí d = ā + b + c. Určete velikost vektoru d, jednotkový vektor e d a úhel, který svírá vektor d s ḡ je-li ā(4, 5, 6), b(3, 1, 1), c(, 3, 1), ḡ(8, 6, 5). Rozbor zadání: Úloha má charakter příkladu na zopakování základních vektorových operací. Řešení: d = (a x + b x + c x ) i + (a y + b y + c y ) j + (a z + b z + c z ) k = = ( ) i + ( ) j + ( ) k = 9 i + 9 j + 8 k d = d = d x + d y + d z = = 15.3 e d = d d = i j k. =.599 i j +.53 k d ḡ d x +d y+d z g x +gy+g z α = arccos d ḡ = arccos d xg x+d yg y+d zg z = arccos = arccos = 9.17 Ve Určete jaké úhly svírají vektory ā a b a jejich součet c = ā + b s osami souřadnicového systému, je-li ā(1,, 3), b(8, 4, 3). Rozbor zadání: Úloha má charakter příkladu na zopakování vektorového počtu. Řešení: c = ā + b = (a x + b x ) i + (a y + b y ) j + (a z + b z ) k = = (1 + 8) i + ( + 4) j + (3 3) k = 9 i + 6 j + k α x = ā i = (ax i+a y j+a z k) i = a x ( a x +a y +a z ) 1 a x +a y +a z 1 a x +a y +a z = = =.673 α x = α y = ay a = 14. =.5345 α y = α z = az a = =.818 α z = = Obr. 1.6:

5 1. ÚVOD 4 β x = bx = 8 b = β y = by b = β z = bz b = γ x = cx c = = γ y = cy c = =.848 β x = =.4 β y = =.318 β z = =.83 γ x = =.5547 γ y = γ z = cz c = γ z = 9 Ve3 Určete hodnotu skalárního součinu vektoru ā(1, 8, 7) a b(9, 1, 3). Řešení vyjádřete pomocí vektorové a maticové algebry. Rozbor řešení: Úloha má charakter příkladu na procvičení definičních vztahů. Řešení: Vektorové vyjádření: ā b = (a x i + a y j + a z k) (bx i + b y j + b z k) = ax b x i i + a x b y i j + a x b z i k + a y b x j i+ +a y b y j j + a y b z j k + a z b x k i + a z b y k j + a z b z k k = = a x b x + a y b y + a z b z = = Maticové vyjádření: a T b = [ a x a y a z ] ā b = a T b a = [ a x a y a z ] T b = [ b x b y b z ] T b x b y b z = a x b x + a y b y + a z b z = = Ve4 Vektory ā a b mají být na sebe kolmé. Určete b z tak, aby podmínka zadání byla splněna. Je-li ā(1,, 1), b(, 1,?). Rozbor zadání: Úloha má charakter příkladu na procvičení základních vztahů. Skalární součin kolmých vektorů je nulový. Řešení: ā b = a x b x + a y b y + a z b z = 1 + ( 1) + 1 b z = b z = 1. Moment síly k bodu a ose M1 Určete moment síly působící v bodě A k bodu B je-li BA(3, 4, ) m a (7, 3, 1) N

6 1. ÚVOD 5 a) z definičního vztahu b) pomocí determinantu c) maticově Rozbor zadání: Úloha má charakter příkladu na procvičení určování momentu síly k bodu různými způsoby. Řešení: ad a) Z definičního vztahu: M B = BA = (3 i + 4 j + k) (7 i + 3 j + k) = = 1( i i) + 9( i j) + 3( i k) + 8( j i)+ +1( j j)+4( j k)+14( k i)+6( k j)+( k k) = = 9 k+3( j)+8( k)+1( )+4 i+14 j+6( i)+( ) = = ( i + 11 j 19 k) Nm Obr. 1.7: ad b) Pomocí determinantu i j k M B = 3 4 = (4 6) i + (14 3) j + (9 8) k = i + 11 j 19 k Nm ad c) Maticově m = M x M y m = Rf m = r ; f = x y ; r = x A y A ; Závěr: M z z A y A z y R = z A x A ; = z x y A x A y x 4 7 m = Rf = 3 3 = 11 Nm m = r = = 11 Nm z M B = ( i + 11 j 19 k) Nm Z řešení této úlohy je možné získat představu o výpočtové náročnosti jednotlivých způsobů určování momentů síly k bodu. z A

7 1. ÚVOD M p = 1 1 = = = 1.8 Nm M p = M p e p = 1.8 (.94 i.31 j +.31 k) = ( 1.9 i j.364 k) Nm. Závěr: Řešení bylo provedeno pomocí definičních vztahů. M4 Ověřte, že moment síly {A, } k ose p nezávisí na poloze vztažného bodu na ose p. Je-li (3, 4, 1) N, A(3, 8, 6) m, B(1, 1, 1) m, C(3,, 6) m. Osa p prochází body B, C. Rozbor řešení: Ověření provedeme výpočtem momentu síly k ose p, přičemž nejdříve zvolíme za vztažný bod B a pak bod C. Závěr: M B p = [( BA ) e p ] e p ; M C p = [( CA ) e p ] e p BA = ( i + 7 j + 5 k) m; CA = ( i + 6 j + k) m. BC e p = = i+ j+5 k BC = (.365 i j k) M p B = 7 5 = Nm M p C = 6 = Nm Obr. 1.1: Řešením úlohy jsme ověřili, že moment síly k ose nezávisí na poloze vztažného bodu. M5 Určete moment síly {A, } k bodu B a k ose p a proveďte rozbor výsledků. Osa p prochází body B a C. Zadané veličiny: A(4, 9, 4) m, (, 3, ) N, C(6, 7, 8) m, B(3, 7, 5) m. Rozbor řešení: Úloha má charakter příkladu na procvičení momentu síly k bodu a ose a vět s nimi souvisejícími.

8 1. ÚVOD 8 BA = (x A x B ) i + (y A y B ) j + (z A z B ) k = = ( i + j + k) m. i j k M B = 1 1 = (4 3) i + ( ) j + (3 4) k = 3 = ( i + j k) N BC e p = = 3 i+ j 3 k BC 9++9 = 3 i+ j 3 k =.77 i + j.77 k M p = 1 1 = 3 = = (8 6).77 = = Nm Obr. 1.11: Závěr: M p = (.77 i + j.77 k) = ( i + j k) Nm Moment síly k bodu B je stejný jako k ose p. Tento výsledek obdržíme, když osa p prochází bodem B a je kolmá na rovinu ρ( BA, ). Je-li osa p kolmá na ρ pak musí být také kolmá na BA a. e p = (.77 i + j.77 k); BA = (1,, 1) m; e p = ( ) = e p BA = ( ) = Kontrola ověřila správnost hodnocení. = (, 3, ) N Po1 Poznámka k praktickému určování momentu síly k ose. Podle [1] str. 36 je moment síly k ose nulový (neuvažujeme-li triviální případy =, BA = ), tehdy, jestliže nositelka síly je s osou p rovnoběžná, nebo když ji protíná. Uvedené vlastnosti s výhodou použijeme pro určování momentu síly k ose p viz obr V bodě A sestrojíme souřadnicový systém (A,x,y,z) takto: Bodem A proložíme rovinu ρ p. Průsečíkem roviny ρ s osou p (bod B) a bodem A proložíme přímku - osu y. V bodě A sestrojíme kolmici na ρ - osa x. Osa z prochází bodem A a je kolmá na rovinu (xy). Smysl jednotlivých os volíme tak, abychom obdrželi pravotočivý souřadnicový systém. Nyní rozložíme sílu na složky ve směru os x,y,z. Obr. 1.1:

9 1. ÚVOD 9 Nenulový moment síly k ose p bude mít pouze složka z. M p = ( M B e p ) e p = [( BA ) e p ] e p přičemž e p i; BA = BA j M p = [BA j ( x i + y j + z k) i] i = = [(BA x ( k) + BA y + BA z i) i] i = = BA z i a) Složka x má moment k ose p nulový, protože její nositelka je s osou rovnoběžná. b) Složka y má moment k ose p nulový, protože její nositelka osu p protíná. c) Úsečka BA je kolmicí z bodu B na nositelku síly z, proto má charakter ramene síly z k bodu B. Velikost momentu složky z k ose p je z BA směr a smyl určíme podle pravidla pravé ruky. M p = ( BA) i. Závěr: Přestože uvedená konstrukce se zdá být velmi složitou, v případě úloh zadaných v kartézském souřadnicovém systému je velmi cennou pomůckou především z hlediska rychlosti řešení úloh. M6 Síly {D, 1 } a {H, } působí na těleso podle obrázku. Určete momenty těchto sil k souřadnicovým osám procházejících bodem A a momenty sil 1 a k bodu A, je-li a = 3 m, b = m, c = m. 1 (4,1,-3) N, (-5,, 3) N. Řešení proveďte na základě definičních vztahů a využítím předchozí poznámky. Rozbor úlohy: Úloha má charakter příkladu na procvičení momentu síly k ose a k bodu různými způsoby. a) Postup vycházející z definičních vztahů. Obr. 1.13: AH = (3 i + j k) m, AD = ( i + j + k) m. M A = AH i j k = 3 = (6 + 4) i + (1 9) j + (6 + 1) k = (1 i + j + 16 k) Nm. 5 3 M 1 A = AD i j k 1 = = ( 6 i 8 k) Nm Podle [1] str. 33, text pod vztahem (4.5) jsou hodnoty u jednotkových vektorů hodnotami osových momentů k příslušným osám.

10 1. ÚVOD 1 b) Postup vycházející z předchozí poznámky. Viz obr M 1x = 1z b = 3 Nm M 1x = M 1x i = 6 i Nm M 1y = M 1z = 1x b = 4 = 8 Nm M 1z = M 1z k = 8 k Nm M x = ( z b+ y c) i = (3 + ) i = 1 i Nm. M y = ( x c z a) j = (5 3 3) j = 1 j Nm M z = ( y a + x b) k = ( ) = 16 k Nm Obr. 1.14: Veličiny x,..., b,... jsou velikosti příslušných veličin. Směr a smysl momentů určujeme z definičního vztahu. 1.3 Statické ekvivalence silových soustav SE1 Na těleso tvaru kvádru působí soustava sil podle obrázku. a) Určete silovou a momentovou výslednici této silové soustavy k bodu A. b) Určete momenty zadané silové soustavy k osám, které jsou totožné s hranami kvádru, které se protínají v bodě A. Rozbor zadání: Z údajů zadaných slovně a graficky vyplývá v souladu s [1] str. 3, že úloha je zadána úplně a správně. Obr. 1.15: Řešení: 1. Určíme úhel cos γ 3. Pro γ 3 <, π > je cos γ 3 <, 1 >, tedy cosγ 3 cos γ 3 = 1 (cos 5 ) (cos 6 ) = =.58 γ 3 = Silová výslednice soustavy π je nezávislá na vztažném bodě. 3 V = i = = V i=1 = ( 1x + x + 3x ) i + ( 1y + y + 3y ) j + ( 1z + z + 3z ) k = = ( + 15 cos 6 ) i + ( cos 5 ) j + ( ) k = = ( 5 i j k) N = ( 5) + (364) + (176) = N

11 1. ÚVOD Momentová výslednice soustavy π k bodu A AB =.6 j m 3x = 3 cos 6 i = 11 i N AC = (.8 i +.6 j +.5 k) m 3y = 3 cos 5 j = j N AD = (.8 i + j +.5 k) m 3z = 3.58 k = 176 k N M V A = M 1A + M A + M 3A = ( AB 1 ) + ( AC ) + ( AD 3 ) = i j k i j k i j k = = = j.6 15 k i.5 11 j j k = ( 77 i j k) Nm Výrazy u jednotlivých vektorů jsou výslednými osovými momenty k příslušným osám. M x = 77 i Nm; M z = 51.3 k Nm; My = j Nm; Určení výsledných osových momentů na základě poznámky na str. 7. Síla 1 má k osám totožným s hranami procházejícími bodem A moment nulový, protože nos. 1 osy protíná nebo je s nimi totožná. Síla má k ose x moment nulový, protože nos. je s osou rovnoběžná. M x = 3y c i = i. = 77 i Nm Obr. 1.16: M y = ( c 3x c 3z a) j = ( ) j = j Nm M z = ( b + 3y a) k = ( ) k = 51.3 k Nm Pro ověření výsledků určíme výsledný osový moment ještě pomocí definičních vztahů. M V x = ( AB 1 ) i i + ( AC ) i i + ( AD 3 ) i i = =.6 i i i = = i + i + ( ) i. = 77 i Nm M V y = ( AB 1 ) j j + ( AC ) j j + ( AD 3 ) j j = =.6 j j j = = j j +( ) j = j +55 j j. = j Nm M V y = ( AB 1 ) k k + ( AC ) k k + ( AD 3 ) k k =

12 1. ÚVOD 13 Určení silových a momentových výslednic: 3 V = i = = i=1 = ( 1x + x + 3x ) i + ( 1y + y + 3y ) j + ( 1z + z + 3z ) k = = ( ) i + ( ) j + + ( (.116)) k = (169.7 i j k) N. V = ( V x ) + ( V y ) + ( V z ) = (169.7) + (17.) + (1.3) = 4.33 Nm Vzhledem k tomu, že zadání není názorné provedeme vyčíslení MV determinanty. M V = M 1V + M V + M 3V A(8, 3, 3) m B( 1, 3, 3) m D(8, 3, 1) m 1 (168.8, 63.3, 63.3) N; ( 1.9, 38.7, 38.7) N; 3 (13.76, 5.16, 1.7) N i j k M V = i j k i j k = = [( ) + ( ) + (3 ( 1.7) )] i + + [( ) + ( ) + ( )] j + + [( ) + ( ) + ( )] k = = ( + + ) i + ( + + ) j + ( + + ) k = Závěr: M V x + M V y + M V z = MV x = M V y = M V z = ad a) Silová výslednice V = (169.7 i j k) N. Momentová výslednice k počátku souřadnicového systému M V = Nm ad b) Z řešení je zřejmé, že momenty jednotlivých sil a tím i momenty soustavy sil k souřadnicovým osám jsou nulové. ad c) Vzhledem k tomu, že momenty všech sil k bodu jsou nulové musí nositelky sil procházet bodem. Kontrolu provedeme pro nositelku první síly. e 1 = = i+63.3 j+63.3 k =.883 i j k Rovnice nositelky síly 1 v parametrickém tvaru x 1 = t; y 1 = t; z 1 = t Pro x 1 = obdržíme t = 8 = Po dosazení za t do zbylých dvou rovnic obdržíme. y 1 = ( 9.6) =.1 =. z 1 = y 1 = Odtud plyne, že bod, tedy počátek souřadnicového systému leží na nositelce síly 1. Obdobně dokážeme, že počátkem souřadnicového systému procházejí tak nositelky sil a 3. Soustava tvoří centrální silovou soustavu s průsečíkem nositelek v počátku zvoleného souřadnicového systému.

13 1. ÚVOD 14 SE3 Na těleso T působí silová soustava π 1 a π. Posuďte výpočtovým způsobem, zda silové soustavy π 1 a π jsou staticky ekvivalentní. π 1 = { 1 1, 1, 1 3, 1 4 } π = { 1,, 3, 4 5 } 1 1 = 4 N, 1 = 6 N, 1 3 = N, 1 4 = 5 N, 1 = N, = 1 N, 3 = N, 4 = 3 N, 5 = N y T b=4 3 5 T b_ 4 A x a= Rozbor zadání: Obr. 1.19: a) Úloha má charakter příkladu na procvičení statické ekvivalence silových soustav. b) Úloha je zadaná jako rovinná. c) Těleso a síly jsou zadány úplně a správně. Souřadnicový systém viz obr Dvě silové soustavy jsou staticky ekvivalentní pokud mají stejné silové a momentové výslednice k danému bodu. Viz [1] str. 41. Řešení: Silová a momentová výslednice k bodu A soustavy π 1. 1 V = ( cos 3 ) i + ( sin 3 ) j = = (6 + 5 cos 3 ) i + ( sin 3 ) j = = (133 i + 5 j) N M 1 V A = ( 1 b a) k = ( ) k = 1 k Nm Silová a momentová výslednice k bodu A soustavy π. V = ( 3 sin cos 3 ) i + ( cos 3 5 sin 3 ) j = = (496.4 sin cos 3 ) i + ( cos sin 3 ) j = = (133 i + 5 j) N

14 1. ÚVOD 15 Závěr: 1 V = V M V A = ( 1 a + a 4 b ) k = = ( ) k = 1 k Nm M 1 V A = M V A = soustava π 1 je staticky ekvivalentní se soustavou π. SE4 Na těleso podle obrázku 1. působí soustava úplně zadaných sil. Určete zda je možné tuto soustavu nahradit jedinou staticky ekvivalentní silou. Jestliže ano, pak náhradu proveďte. 1 =1 N, =1 N, α 1 =45, β 1 =45, γ 1 =9, α =9, β =, γ =9 Rozbor zadání: Úloha je geometricky a silově zadaná úplně a správně. Má charakter rovinné úlohy. Řešení: Kontrola nutné podmínky pro nahrazení silové soustavy jedinou staticky ekvivalentní silou. Viz [1] str. 48. ( V M V V = ) V 1 = ( 1 cos 45 ) i + ( 1 sin 45 + ) j = = 1 i + (1 + 1) j = = (7.7 i + ( ) j) N 1 V = V x + V y = = N Obr. 1.: e 1 V = 1 V 1 V = i j =.383 i +.94 j V, protože úloha je rovinná i druhá část nutné podmínky je splněna, a tím je splněna celá nutná podmínka pro nahrazení silové soustavy jedinou silou. Výpočtové řešení: Schématické znázornění této úlohy je na následujícím obrázku. V 1 = V M V 1 = M V ek = V 1 = V = od staticky ekvivalentní síly ek známe velikost, směr a smysl, neznáme působiště resp. bod nositelky. Bod nositelky proto, že z hlediska statické ekvivalence můžeme sílu posouvat po její nositelce, viz [1] str. 45. Ze statického hlediska má síla vlastnosti vektoru vázaného na nositelku. Schématicky jsou známé a neznámé parametry znázorněny na obr. 1.. T 1 SE Obr. 1.1: T ek Z obrázku je patrné, že nositelka ek, kterou dosud neznáme, protíná osu x. Y-nová souřadnice průsečíku nositelky s osou x je nulová. Jediný neznámý parametr je x-ová souřadnice průsečíku, kterou určíme z podmínky M 1 V A = M V A M 1 V A = ( 1 cos 45 y sin 45 x 1 + x ) k = = ( 1 cos sin ) k = 41.1 k Nm y T x 1 SE silová neznáme Obr. 1.: T známe ek x

15 1. ÚVOD 17 Závěr: Obr. 1.5: d = =.61 m Proto všechny silové dvojice, které mají stejný moment jsou staticky ekvivalentní. Silovou dvojici vyjádříme dvojicí sil, z nichž jedna ( 1 ) leží na nositelce je stejně velká, ale opačně orientovaná jako. Druhá síla je stejně veliká a souhlasně orientovaná jako síla, její nositelka je s nositelkou síly rovnoběžná, ale posunutá o d tak, aby moment této dvojice byl roven momentu zadané silové dvojice. Viz obr { 1, } je staticky ekvivalentní s M. = 1 = M = M k = 1 d k Síly a 1 se eliminují. Staticky ekvivalentní náhradou silové soustavy π 1 je jediná síla ek. Silová soustava π 1 má osu. Osou silové soustavy je nositelka jediné staticky ekvivalentní sily ek. SE6 Na těleso podle obrázku působí úplně zadaná soustava rozloženého silového působení. Posuďte, zda soustavu můžete nahradit jedinou staticky ekvivalentní silou. V případě, že ano, tak náhradu proveďte. Úlohu řešte pro soustavu rozloženého silového působení podle obr. 1.6(a) a obr. 1.6(b), je-li q =1 Nm 1, q 1 = Nm 1, a=6 mm, b=4 mm. (a) (b) Obr. 1.6: Rozbor zadání: Úloha navazuje na předchozí příklady. Rozdíl spočívá v charakteru úplně zadané silové soustavy. Úloha je zadaná jako rovinná, úplně a správně. Rozložené silové působení má charakter liniové síly, viz [1] str. 8. Úlohu můžeme schématicky znázornit takto: Řešení: Kontrola nutné podmínky pro nahrazení silové soustavy jedinou staticky ekvivalentní silou. V V M V = U rovinných silových soustav je druhá část nutné podmínky splněna vždy. Protože rozložené silové působení je v obou případech (obr. 1.6(a) a obr. 1.6(b)) v celém intervalu souhlasně

16 1. ÚVOD 18 Obr. 1.7: orientováno platí: ad SE6a) V 1 a = q(x)dx rozložené silové působení můžeme nahradit jedinou staticky ekvivalentní silou. Závěr:(SE6a) V 1= V 1 j=( a q dx) j= q a j = ek j= V ek =q a=1.6=6 N M V 1 a A = (x i ( q ) j)dx= a (q x k)dx= q a k= x ek i ( ek ) j= x ek ek k= M V A x ek = q a a =3 mm ek = q = a q a Nositelka staticky ekvivalentní síly ek = q a j, je rovnoběžná s osou y a prochází bodem [ a, ]. Velikost staticky ekvivalentní síly ek=6 N. ad SE6b) Nejdříve určíme q(x). Z obrázku SE6d je zřejmé: q 1 a = q(x) x q(x)= q 1 a x q(x)= q 1 a x j Obr. 1.8: Dále postupuje stejně jako v případě a) V 1 a = a q(x)dx=( q 1 xdx) j= q 1a j= a ek j= V ek = q 1 a =.6 =6 N

17 1. ÚVOD Závěr: Nositelka staticky ekvivalentní síly ek = π q R j, prochází počátkem souřadnicového systému. Poznámka: Pokud je rozložené silové působení symetrické, pak nositelka staticky ekvivalentní síly je totožná s osu symetrie.

18 . TĚŽIŠTĚ TĚLES 1 TĚŽIŠTĚ TĚLES Tato kapitola obsahuje řešené úlohy určování polohy těžišť těles s použitím výpočtových modelů různé úrovně. Výběr úloh a jejich pořadí byly zvoleny tak, aby zkušenosti získané při řešení aktuální úlohy mohly být využity při řešení úloh následujících. Při řešení úloh T.1, T. a T.6 je při určování těžišť homogenních těles použit jednorozměrný výpočtový model z hlediska geometrie (pruty). Úlohy T.1 a T. představují analytické řešení pro jednoduchý tvar tělesa, při řešení úlohy T.6 je těleso rozloženo na podoblasti se známou polohou těžišť. V úlohách T.3, T.4, T.5, T.7, T.8, T.9, T.1, T.11, T.1 a T.13 je při určování polohy těžiště homogenních těles použit dvourozměrný geometrický výpočtový model (tenkostěnná tělesa). V úlohách T.3, T.4, T.5, T.7, T.8 a T.9 je určována poloha těžiště tenkostěnných těles s rovinnou střednicovou plochou, přičemž v úloze T.9 je použito rozložení tělesa na podoblasti se známou polohou jejich těžišť. V úloze T.1 je střednicová plocha částí pláště koule, v úloze T.11 polovinou pláště kužele a v úloze T.1 polovinou pláště komolého jehlanu. Při řešení je využívána existence symetrie. V úloze T.13 je střednicová plocha rozložena na jednoduché rovinné podoblasti se známou polohou těžišť. V úlohách T.14, T.15, T.16 a T.17 je při určování polohy těžiště homogenních těles použit trojrozměrný geometrický výpočtový model. Při řešení úloh T.14, T.15 a T.16, prováděných pro homogenní tělesa, je využito symetrie úlohy. V úloze T.17 je určována poloha těžiště nehomogenního tělesa s využitím jeho rozložení na podoblasti se známou polohou jejich těžišť a výpočet je uspořádán do přehledné tabulky. T.1 Střednice homogenního tenkého drátu konstantního průměru d je zakřivena do tvaru kruhového oblouku obr..1. Určete polohu těžiště, je-li dán poloměr zakřivení střednice R a středový úhel α. x = R cos ϕ; ds = R dϕ x ds R α cos ϕ dϕ γ x T = ds = α α R dϕ γ α = R sin α α ; y T = z T = (symetrie) Obr..1: T. Určete polohu těžiště homogenního tenkého drátu konstantního průměru d, jehož střednice má tvar půlkružnice. Pro řešení využijte Pappus-Guldinovu větu, výsledek zkontrolujte pomocí vztahu odvozeného v T.1. Rotací půlkružnice kolem osy y vznikne plášť koule. Podle první Pappus-Guldinovy věty je plocha pláště rotačně symetrické plochy (zde koule) dána součinem délky tvořící křivky (zde půlkružnice) a délky dráhy, kterou při rotaci opíše její těžiště. Pak ze vztahu S = πx T πr = 4πR lze určit polohu těžiště půlkružnice x T = R π.

19 . TĚŽIŠTĚ TĚLES T.3 Homogenní deska konstantní tloušťky t má tvar kruhové výseče (obr..). Určete polohu těžiště ve střednicové rovině desky, je-li dán poloměr r a středový úhel α. x = ρ cos ϕ; ds = ρ dρ dϕ; y T = z T = (symetrie) α R x ds ρ dρ cos ϕ dϕ Γ x T = ds = α = α R 3 Rsin α α ρdρdϕ Γ α Obr..: T.4 Homogenní deska konstantní tloušťky t má tvar kruhové úseče. Určete polohu těžiště ve střednicové rovině desky, je-li dán poloměr r a středový úhel α. Při řešení využijte výsledek řešení úlohy T.3. Kruhovou úseč obdržíme oddělením trojúhelníku od kruhové výseče. Souřadnice jejího těžiště x T = x Ti S i = S i i=1 i=1 3 R sin α α α R + 3 R cos α ( R sin α cos α) α R R sin α cos α = 3 R sin 3 α α sin α cos α T.5 Určete polohu těžiště půlkruhové homogenní desky konstantní tloušťky t. Pro řešení využijte Pappus-Guldinovu větu, výsledek zkontrolujte pomocí vztahu odvozeného v T.3. Rotací půlkruhu kolem osy y vznikne koule. Podle druhé Pappus-Guldinovy věty je objem rotačně symetrického tělesa (zde koule) dán součinem obsahu tvořící plochy (zde půlkruhu) a délky dráhy, kterou při rotaci opíše její těžiště. Pak ze vztahu V = πx T πr = 4 3 πr3 lze určit polohu těžiště půlkruhu x T = 4 R. 3 π T.6 Určete polohu těžiště součásti znázorněné na obr..3, která je zhotovena z homogenního tenkého drátu konstantního průměru d. Obr..3:

20 . TĚŽIŠTĚ TĚLES 3 x T = y T = 5 x Ti l i 11 = π R i=1 i=1 l i i=1 5 y Ti l i = 5 l i i= π R ; z T = 5 z Ti l i = 5 l i i=1 i=1 8 + π R T.7 Střednicová plocha homogenní desky konstantní tloušťky t, znázorněné na obr..4 má tvar parabolického trojúhelníka. Určete polohu těžiště desky. y x y=kx ds a dx y dy b x x T = x ds Γ ds = Γ a y a y dy x dx dy dx = 3 4 a ; y T = y ds Γ ds = Γ a y a y y dy dx dy dx Obr..4: = 3 1 b ; z T = T.8 Střednicová plocha homogenní desky konstantní tloušťky t je znázorněna na obr..5. Při kontrole využijte výsledek řešení předchozí úlohy. x T = x T = a b y a b y dy x dx dy dx x Ti S i = S i i=1 i=1 = 3 8 a ; y T = a b y a b a a b + 3a ( ) a b 4 3 a b a b 3 y y dy dx dy dx = 3 5 b ; z T = = 3 8 a ; y T = y Ti S i = S i i=1 i=1 y 1 a y=kx Obr..5: b a b 3 b a b 1 3 a b a b 3 = 3 5 b b x

21 . TĚŽIŠTĚ TĚLES 4 T.9 Určete polohu těžiště tenké homogenní desky konstantní tloušťky t, znázorněné na obr..6. x T = 4 x Ti S i = 4 S i i=1 i=1 6π ( R r r 1 ) + 3 ( π 1) Obr..6: T.1 Určete polohu těžiště tenké homogenní skořepiny konstantní tloušťky t, znázorněné na obr..7. Střednicová plocha skořepiny má tvar kulového vrchlíku, určeného poloměrem R a úhlem α. y = R cos ϕ ; ρ = R sin ϕ ; ds = R dϕ ; ds = π ρ ds = πr sin ϕ dϕ α πr 3 sin ϕ cos ϕ dϕ sin α y T = α = πr (1 cos α) R ; x T = z T = sin ϕ dϕ Obr..7: Pro α = π/ (plášť polokoule) je y T = R. T.11 Určete polohu těžiště tenké homogenní skořepiny konstantní tloušťky t, jejíž střednicová plocha má tvar poloviny pláště kužele, charakterizovaného poloměrem r a výškou l (obr..8). r x = R l x ; y T,x = R πl x ; ds = πr x dx l x ds l R x dx l Γ x T = ds = = y ds l 3 l ; y Γ T = ds = R Γ x dx l Γ l R l x R πl x dx l R x dx l = 4R 3π ; z T = Obr..8:

22 . TĚŽIŠTĚ TĚLES 5 T.1 Určete polohu těžiště tenké homogenní skořepiny konstantní tloušťky t, jejíž střednicová plocha má tvar poloviny pláště komolého jehlanu, charakterizovaného rozměry a, b, l 1 a l (obr..9). Obr..9: a x = a d x ; b x = b d x ; y T,d = x T = d c d c a+b d a+b d x dx x dx = 3 b a + b ; y T,x = y T,d d x ; ds x = (a x + b x ) dx = a + b d d 3 c 3 d c ; y T = d c b a+b x dx d(a+b) d d c a+b d x dx = 3 b d 3 c 3 d (a + b) d c x dx T.13 Určete polohu těžiště tenkého homogenního tělesa konstantní tloušťky t, znázorněného na obr..1. x T = = y T = z T = 4 x Ti S i = 4 S i i=1 i=1 R R + R π R + R 4 y Ti S i = 4 S i i=1 i=1 i=1 4 z Ti S i = 4 S i i=1 R + πr πr ( ) πr + R 4 3 R = π + R π R Obr..1: ) ( ) π R + R π R + R 4 = + 3 π R + πr πr + R π R R R + ( R + 4 R 3 π ( R + π R + ) π R + R 4 3 R = R + πr πr + R π R

23 . TĚŽIŠTĚ TĚLES 6 T.14 Určete polohu těžiště homogenního tělesa tvaru poloviny kužele o výšce l a poloměru r, znázorněného na obr..11. y T,Sl = 4 R Obr..11: 3 π ; y T,S x = 4 r x x 3 π l ; dv = π r x dx = π R l x dx ; z T = x dv l π R x 3 dx l Ω x T = dv = = 3 y T,Sx dv l 4 R π R x 3 dx 3π l l l 4 l ; y Ω T = = = R dv π R l π Ω x l π R dx Ω x l dx T.15 Určete polohu těžiště homogenních těles tvaru kulové úseče a kulové výseče, znázorněných na obr..1 a charakterizovaných poloměrem R a úhlem α. h = R y ; ρ = R y ; dv = π ρ dy = π ( R y ) dy ; x T = z T = Obr..1: Úseč: y T = R y π y (R y ) dy R y π (R y ) dy == R y ( y R ) ( ) = y 3 R3 + y 3 R 1 + cos α 4 ( ) cos α 1 + cos α ( cos α 1 ) R 3 3 Pro α = π/ (polokoule) je y T = 3 8 R. Výseč: y T = 3 4 ( ) ( ) 1 cos α R = 3 4 R h.

24 . TĚŽIŠTĚ TĚLES 7 T.16 Určete polohu těžiště osově symetrického homogenního složeného tělesa, znázorněného na obr..13. y T = 4 y Ti V i = 4 V i i=1 i=1 h = 3 πr h + ( 3R) 8 3 πr3 + 5h ( π 4 1 R h ) + h ( πr h) 3 πr h + 3 πr3 π 1 R h πr h x T = z T = Obr..13: T.17 Určete polohu těžiště složeného, po částech homogenního tělesa, znázorněného na obr..14. Podobně jako v předchozích případech provedeme dekompozici tělesa na jednotlivé základní podoblasti jejichž objemy a polohy těžišť je možno snadno určit. Pro zvýšení přehlednosti řešení je vhodné použít zápisu do tabulky. R/4 R/ R/3 Obr..14: Podoblast i ρ i V i x Ti y Ti z Ti 1 ρ Al 1/4 R 3 1/ R 1/4 R 1/4 R ρ Al 1/16 R 3 /3 R 7/1 R 1/4 R 3 ρ Al π/7 R 3 1/ R 1/4 R 1/4 R 4 ρ oc 5π/16 R 3 1/ R 1/4 R 5/1 R 5 ρ Al π/16 R 3 (1 + 4/3π) R 4 R/3 π 3/8 R 6 ρ Al 1/3 R 3 3/ R 1/1 R 3/8 R

25 . TĚŽIŠTĚ TĚLES 8 Souřadnice těžiště tělesa v daném souřadnicovém systému pak určíme ze vztahů x T = y T = z T = 6 ρ i x Ti V i = 6 ρ i V i i=1 i=1 i=1 6 ρ i y Ti V i = 6 ρ i V i i=1 6 ρ i z Ti V i = 6 ρ i V i i=1 i=1 ( ρ 1 Al + 1 π + π + 1 ) π ρoc ( 43 ρ 1 Al + 1 π + π ) π ρoc 16 ρ Al ( π ρ Al ( π 7 + π ρ Al ( π π ρ Al ( π 7 + π ) + ρoc 5π ) + ρoc 5π ) + ρoc 5π ) + ρoc 5π R R R

26 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 9 3 VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) Te1 Těleso podle obr. 3.1 je vázáno kinematickými dvojicemi A, B a zatíženo silami a silovou dvojicí, určenou momentem M. Uložení tělesa má být staticky určité. Zkontrolujte charakter uložení a v případě, že uložení je staticky určité, určete výslednice stykových sil pro tyto vstupní údaje: a=7 mm, b=1 mm, c=6 mm, d=7 mm, e=3 mm, f =5 mm, 1 =3 kn, =6 kn, M=1 Nm. Řešte jako rovinnou úlohu početně a graficky. Rozbor úlohy: Obr. 3.1: Naším úkolem je provést kontrolu charakteru uložení tělesa a určit stykové výslednice. V řešení budeme postupovat podle [1] str. 11. a) Síly 1, a silová dvojice určená M jsou zadány úplně a správně [1] str. 3. Také zadání kinematických dvojic, geometrických rozměrů a polohy tělesa je úplné a správné. Zadání úlohy z hlediska kontroly uložení tělesa a určení výsledných stykových sil je úplné a správné. b) Ze zadání vyplývá, že úloha je rovinná. c) Označení: Zadané silové prvky a kinematické dvojice jsou označeny v zadání. Základní těleso označíme 1 a těleso T. d) Klasifikace kinematických dvojic: Těleso T je k základnímu tělesu vázano jednou rotační kinematickou dvojicí, označenou A a jednou obecnou kinematickou dvojicí (dále budeme psát k.d.) označenou B. Podle [1] str. 97 a tab.7 str.1 Řešení úlohy: r.k.d. k T V = [ 1 1 ] ξ = kt V k V = o.k.d. k T V = [ 1 ] ξ = 1 a) Určení pohyblivosti tělesa ([1] odst.7.4 str.15). Obě k.d. jsou funkční - vazba A umožňuje rotaci; vazba B jí zabraňuje. Počet omezených deformačních charakteristik η =. Počet stupňů volnosti tělesa T ([1] str.16). i = i v ξ i + η = 3 ( + 1) + = i=1 Těleso je vázáno nepohyblivě. Nepohyblivost je zajištěna vazbami. b) Uvolnění tělesa ([1] odst.3.4 str.1). A rotační k.d. - u stykové výslednice A známe působiště. Neznámé jsou její velikost, směr a orientace. B obecná k.d. - u stykové výslednice B známe působiště a směr nositelky. Neznámé jsou velikost a orientace.

27 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 3 c) Statický rozbor. I. Zvolíme souřadnicový systém. Souřadnicový systém volíme vhodně z hlediska vyjádření statických podmínek ve složkovém tvaru. II. Určení a rozbor soustav π a π R : y SR 3 1 T B π = { 1,, M}; πr = { A, B } Ax A 3 Bn x Určení neznámých nezávislých parametrů NP i prvků množiny π R. Ay Obr. 3.: prvek π R neznámé NP i známé parametry A Ax, Ay působiště - bod A B Bn nositelka n B Zvolíme orientaci nositelek stykových výslednic. Orientaci stykových výslednic předpokládáme shodnou s orientací nositelek. Je-li hodnota souřadnic určená řešením statických rovnic: - kladná: je orientace síly shodná s orientací nositelky - záporná: je orientace opačná k orientaci nositelky. Kladnou orientaci nositelky je účelné volit tak, aby předpokládaná orientace stykových sil odpovídala reálnosti vazby. U obecné k.d. do tělesa, u rotační k.d. nejsou předpoklady reálnosti vazby blíže specifikovány. Protože není evidentně zřejmé, že by některý z prvků množiny π R nebyl funkční, je: NP = { Ax, Ay, Bn } µ = µ = 3 III. Klasifikace soustavy π ν = π π R a určení použitelných podmínek statické rovnováhy. π ν = π π R = { A, B, 1,, M} Soustava π ν je obecnou rovinou silovou soustavou, proto v souladu s [1] str.86 je ν = 3 a v základním tvaru ν =, ν M = 1. IV. Ověření nutné podmínky statické určitosti: } µ = ν µ r + µ M ν M Jsou splněny obě části podmínky statické určitosti 3 = 3 + < 1 Rozhodnutí o způsobu řešení: V zadání je určeno, že řešení máme provést výpočtovým i grafickým způsobem: Výpočtové řešení: d) Sestavení statických podmínek rovnováhy: x : Ax + 1 cos 3 cos 3 = y : Ay + Bn 1 sin 3 sin 3 = M za : Bn (b f) 1 sin 3 d 1 cos 3 a sin 3 c M = M za - momentová podmínka k ose z procházející bodem A. e) Rozbor soustavy statických podmínek rovnováhy. Jedná se o soustavu 3 lineárních rovnic o třech neznámých, kterou můžeme zapsat ve tvaru A x = b, kde

28 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 31 x T =[ Ax Ay Bn ]; b T =[ 1 cos 3 + cos 3 1 sin 3 + sin 3 1 sin 3 d + 1 cos 3 a + sin 3 c + M] 1 A = 1 1 (b f) det A = (b f) = (1 5) = 95. Protože je det A existuje jednoznačné řešení soustavy statických rovnic. Uložení je staticky určité. f) Nalezení řešení při využití kapesní kalkulačky: Ax = cos 3 1 cos 3 = (6 3) cos 3 = 598 N Bn = 1 sin 3 d+ 1 cos 3 a+ sin 3 c+m b f = = 3 sin cos sin = 5967 N Ay = 1 sin 3 + sin 3 Bn = 3 sin sin = 1467 N Zhodnocení výsledků řešení: I. Kontrola stykových podmínek. Obecná k.d. B Bn > B orientováná do tělesa, vazba B je funkční. Pro posouzení rotační k.d. A nejsou zadány údaje. II. Zhodnocení výsledků. Těleso, uložené a zatížené podle obrázku obr. 3.1, je ve statické rovnováze a uložení je staticky určité. Výsledné stykové síly jsou: Ax = 588 N, Ay = 1467 N, A = Ax + Ay = 984 N, B = 5967 N Grafické řešení: d) Grafické zobrazení zadaných číselných veličin. Volíme měřítka délek a sil m L : 1 mm = mm m : 1 mm = 1 N e) Narýsování grafického obrazce zadaných veličin v daném zobrazení. (a) Obr. 3.3: (b) f) Realizace grafické konstrukce. Ke grafické konstrukci můžeme přistoupit dvěma způsoby:

29 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 3 1. Soustavu π = { 1,, M} nahradíme jedinou staticky ekvivalentní silou V, je-li V nebo jedinou silovou dvojicí M, je-li V =. Síly 1 a nahradíme částečnou výslednicí V 1. Silovou dvojici, určenou M nahradíme dvojicí sil V 1 a V 1, jejichž velikost je V 1 = V 1 = V 1 a vzdálenost V 1 a V 1 určíme ze vztahu d = M V 1. Dvojici sil umístíme tak, aby se V 1 a V 1 vyrušily. Síla V 1 V je staticky ekvivalentní s úplně určenou silovou soustavou π.. Další řešení viz [1] str.148 úloha 1. Na těleso T působí tři síly A, B, V a těleso je ve statické rovnováze. Podle věty o třech silách, nositelky se musí protínat v jediném bodě a silový obrazec musí být uzavřen se šipkami v jednom smyslu. V bodě I se protínají nositelky sil V a B. Tímto bodem musí procházet také nositelka sily A, která má působiště v bodě A. Tedy nositelka síly A je spojnicí bodů A a I. Nyní sestrojíme silový trojúhelník. Obr. 3.4: Postup grafické konstrukce můžeme schématicky zapsat takto: { 1,, M} SE { V }; { V, A, B } SR určení NP sil A, B. Druhý způsob řešení pouze naznačíme. Pro každý silový prvek soustavy π{ 1,, M určíme dílčí výsledné stykové síly A, B. (úloha 1 a [1] str. 148 a 149). Na základě věty o superpozici určíme síly A, B. Postup můžeme schématicky zapsat takto: { 1, A, B } SR určení NP sil A, B {, A, B } SR určení NP sil A, B { M, A, B } SR určení NP sil A, A { A, A, A, B, B, B } SE { A, B } g) Zpětné zobrazení grafických veličin na veličiny číselné. l A = 15 mm l B = 9.5 mm A = l A m A = 15 1 = 3 N B = l B m B = = 59 N Závěr: Řešením úlohy jsme ověřili, že uložení je staticky určité a vypočítali jsme výsledné stykové síly. Rozdíly v hodnotách výsledných stykových sil pro grafické a výpočtové řešení odpovídají použitým prostředkům (tužka, papír, pravítka) a měřítkům grafické konstrukce.

30 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 33 Te Proveďte analýzu úlohy Te1 pro tyto vstupní údaje: a=7 mm, b=1 mm, c=6 mm, d=7 mm, e=3 mm, f=1 mm, 1 =3 kn, =6 kn, M=1 Nm. Rozbor: Naším úkolem je provést analýzu úlohy, kterou máme pro jeden soubor vstupních údajů vyřešenou. K analýze můžeme přistoupit dvěma způsoby. 1. V řešené úloze jsme vstupní údaje použili poprvé v bodě e) výpočtového řešení. Proto předpokládáme, že předchozí rozbor je stejný a analýzu provedeme až od tohoto bodu. e) Rozbor soustavy statických rovnic. Jedná se o soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých Ax = b, kde: x T =[ Ax Ay Bn ] b T =[( 1 + ) cos 3 ( 1 + ) sin 3 1 sin 3 d + 1 cos 3 a + sin 3 c + M] 1 A= 1 1 (b f) det A = 1 1 (b f) = 1 1 = soustava algebraických rovnic nemá jednoznačné řešení matice soustavy A je singulární. Z rozboru soustavy statických rovnic vyplývá, že třetí rovnice je sporná. Bn (.1.1) = 3 sin sin = Nm -spor([1] str.19 ) řešení je sporné chování tělesa není statické, nastává rotace kolem osy, kolmé na rovinu tělesa dynamika.. Provedeme kontrolu, zda změnou zadaných veličin se úloha kvalitativně nezměnila. Zadané veličiny proti úloze Te1 se liší hodnotou f, tedy polohou obecné vazby B. Z bližšího rozboru vidíme, že dochází ke zdvojení vazby A (viz obr. 3.5, což způsobí, že těleso T je k základnímu tělesu vázano jednou zdvojenou kinematickou dvojicí A. (Rotační a obecná kinematická dvojice). Vzhledem k tomu, že zdvojená vazba nemůže pohyb tělesa ve svislém směru omezit x, ale pouze 1x, platí (viz [1] str. 15) ξ = ξ r + ξ o a počet stupňů volnosti i = i v ξ + η = 3 = 1 těleso je uloženo pohyblivě. Uložení tělesa neomezuje rotaci kolem osy kolmé na rovinu tělesa. Z momentové podmínky k ose z, procházející bodem A Obr. 3.5: M za : 1 sin 3 d 1 cos 3 a sin 3 M = = 3 sin sin = = Nm rovnováha není zajištěna soustavou úplně zadaných silových prvků dynamika. Závěr: Obr. 3.6: Podle [] str. 79 charakter statického chování lze jednoznačně kvalitativně určit rozborem soustavy statických rovnic (který následuje po napsání statických rovnic) předchází v algoritmu

31 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 34 statického řešení rozbor zadání, rozbor pohyblivosti a statický rozbor (po získání zkušeností lze provádět pouze v hlavě), ze kterých v případech, kdy lze správně odhadnout funkčnost k.d. a charakter silových soustav, můžeme charakter statického chování tělesa někdy určit. Viz druhý způsob. Proto: Pozor na zamyšlení nad zadáním úlohy, které je nutnou podmínkou správných předpokladů (odhadů). Te3 Těleso T je uloženo a zatíženo podle obr Uložení tělesa má být nepohyblivé a staticky určité. Zkontrolujte charakter uložení tělesa a je-li to možné, určete stykové výslednice. Řešte početně a graficky pro tyto vstupní údaje: R= mm, 1 =15 N, = N, M 1 =7.5 Nm, M =5 Nm R 1 Rozbor úlohy: Naším úkolem je provést kontrolu charakteru uložení tělesa a určit stykové výslednice. Obr. 3.7: a) Síly a silové dvojice, určené momenty jsou zadány úplně a správně. Poloha tělesa, geometrické rozměry a vazby tělesa jsou zadány také úplně a správně. Zadaní úlohy je úplné a správné. b) Úloha je zadána jako rovinná, bez uvažování tíhové síly. c) Označení zvolíme tak, jak je naznačeno na obr d) Klasifikace kinematických dvojic A,B,C - obecné kinematické dvojice v rovině, tedy Řešení úlohy: k T V = [ 1 ] ξ = kt V k V = 1 a) Určení pohyblivosti tělesa. Předpokládáme, že všechny k.d. jsou funkční. Kinematické dvojice A,B omezují posuv a k.d. C omezuje otáčení. Počet omezených deformačních parametrů η =. Počet stupňů volnosti: i η = i V 3 ξ j i = 3 ( ) + = j=1 Těleso je vázáno nepohyblivě a nepohyblivost je zajištěna vazbami - pokud je splněn předpoklad, že všechny k.d. jsou funkční. b) Uvolnění tělesa: A, B, C, obecné k.d. - u stykových výslednic A, B, C známe působiště a směry nositelek. Neznámé jsou velikosti a orientace stykových výslednic viz obr c) Statický rozbor: Obr. 3.8: I. Zvolíme souřadnicový systém. Souřadnicový systém volíme vhodně z hlediska vyjádření statických podmínek ve složkovém tvaru.

32 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 35 II. Určení a rozbor soustav π a π R : π = { 1,, M1, M } π R = { A, B, C } Množina neznámých nezávislých parametrů NP = { An, Bn, Cn } µ = µ = 3 III. Klasifikace soustavy π ν = π π R a určení podmínek statické rovnováhy π ν = π π R = { 1,, M1, M, A, B, C } - obecná rovinná soustava ν = 3 a v základním tvaru ν =, ν M = 1 IV. Ověření nutné podmínky statické určitosti: µ = ν µ r + µ M ν M 3 = 3 + < 1 } Obě části nutné podmínky statické určitosti jsou splněny Rozhodnutí o způsobu řešení: V zadání je určeno, že řešení máme provést výpočtovým i grafickým způsobem. Výpočtové řešení: d) Sestavení statických podmínek rovnováhy. x : An cos 5 Bn sin Cn sin 1 + cos 45 = y : An sin 5 + Bn cos Cn cos + sin 45 = M zo : Cn cos R + Cn sin R tan + 1 R tan sin 45 R M 1 M = (Te 3.1) e) Rozbor soustavy statických podmínek rovnováhy. Soustava tří lineárních algebraických rovnic o třech neznámých, kterou můžeme zapsat ve tvaru A x = b, kde např. x T = [ An, Bn, Cn ] b T =[ 1 cos 45, sin 45, 1 R tan + sin 45 R + M + M 1 ] cos 5 sin sin A = sin 5 cos cos a a = cos R + sin R tan deta = cos 5 cos (cos 5 R + sin R tan ) ( sin ) sin 5 (cos R + sin R tan ) existuje jednoznačné řešení soustavy (Te 3.1) uložení tělesa je staticky určité. f) Nalezení řešení při využití kapesní kalkulačky. Ze třetí rovnice soustavy (Te 3.1) vypočítáme Cn : Cn = 1R tan + R sin 45 +M 1 +M R cos +R sin tan = 15. tan + sin cos +.44 sin tan =18.5 N Z první a druhé rovnice (Te 3.1) vypočítáme souřadnice sil An a Bn : An cos 5 Bn sin = Cn sin + 1 cos 45 = 499 N An sin 5 + Bn cos = Cn cos sin 45 = 78.6 N cos sin

33 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 37 V1 a V 1 se vyrušily - viz obr Síla V 1 je staticky ekvivalentní s úplně určenou silovou soustavou π. Na těleso působí čtyři síly V 1, An, Bn, Cn. Viz [1] str.15 úloha 9. Dílčí výslednice sil V1 a C prochází bodem I. Bodem II prochází dílčí výslednice sil A a B. Z podmínky SR vyplývá, že tyto dílčí výslednice musí tvořit rovnovážnou soustavu, podle věty o dvou silách jejich nositelky procházejí body I, II. Ze silového trojúhelníka 1 určíme dílčí výslednici sil V 1 a C, kterou označíme ( V 1 a C ) a velikost C. Z podmínky SR vyplývá, že dílčí výslednice sil A a B musí být stejně veliké, ale opačně orientované, jak ( V 1 B. a C ). Ze silového trojúhelníka určíme velikosti sil A a g) Zpětné zobrazení grafických veličin na veličiny číselné. Styková výslednice B směřuje z tělesa, což znamená, že k.d. není funkční, uložení je pohyblivé, určení stykových výslednic je dynamickou úlohou. Postup grafické konstrukce můžeme schématicky zapsat takto: Závěr: { 1,, M1, M } SE { V 1 } { V 1, A, B, C } SR určení NP sil A, B, C Řešením úlohy jsme zjistili, že uložení je pohyblivé a těleso není ve statické rovnováze. Určení stykových výslednic je dynamickou úlohou. Při řešení problémů praxe, které vyžadují zajištění statické rovnováhy, následuje požadavek úpravy vazeb tak, aby uložení bylo staticky určité. Viz úloha Te4. Te4 Upravte uložení tělesa T z úlohy Te3 tak, aby uložení bylo staticky určité a určete výsledné stykové síly. Zatížení a geometrie tělesa T ponechte beze změny. Rozbor úlohy: Jedná se o úlohu o statické syntéze (viz [1] str.113), která nemá jednoznačné řešení. Obtížnost a pracnost řešení závisí na našem důvtipu, inteligenci a schopnosti využít zkušeností, získaných při řešení jiných úloh. V našem případě bude vhodné využít znalostí z řešené úlohy Te3. Ušetříme si tím čas, kterého není v praxi a zpravidla ani u zkoušky nikdy nazbyt. Uložení tělesa v úloze Te3 není staticky určité proto, že vazba B není funkční. Vazba B je podpora, tedy obecná k.d., která je funkční tehdy, jestliže výsledná styková síla směřuje do tělesa. Nejjednodušší úpravou z hlediska řešení úlohy je nahrazení podpory lanem. Tato úprava je nejjednodušší proto, že se nezmění k.d. (podpora i lano jsou obecné k.d.), ale pouze smysl stykové síly, která odpovídá funkční vazbě. Řešení úlohy s upravenými vazbami (viz obr. 3.11) se proti úloze Te3 změní pouze v hodnocení výsledků. Souřadnice stykové výslednice Bn < styková výslednice B směřuje z tělesa.

34 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 39 Rozhodnutí o způsobu řešení: Řešení provedeme výpočtovým způsobem. Výpočtové řešení: d) Sestavení statických podmínek rovnováhy: x : 1 + cos 45 + Ax Bn sin = y : sin 45 + Ay Bn cos = M za : 1 R tan R sin 45 + Bn R M cos 1 M = e) Rozbor soustavy statických rovnic. Jedná se o soustavu tří lineárních algebraických rovnic o třech neznámých, kterou můžeme zapsat v maticovém tvaru Ax = b, kde: 1 sin A = 1 cos x T = [ Ax, Ay, Bn ] R cos b T = [ 1 cos 45 ; sin 45 ; 1 R tan + R sin 45 + M 1 + M ] det(a) =.178 matice A je regulární existuje jednoznačné řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. f) Nalezení řešení s využitím kapesního kalkulátoru. Z momentové podmínky statické rovnováhy vyplývá: Bn = 1R tan + R sin 45 +M 1 +M R = N = 15. tan +. sin cos. = cos Ze silové podmínky statické rovnováhy ve směru osy y dostáváme: Ay = Bn cos sin 45 = cos sin 45 = 16. N a ve směru osy x Ax = Bn sin + 1 cos 45 = sin + 15 cos 45 = 54. N Vzhledem k tomu, že nebyly zadány bližší údaje o funkčnosti rotační vazby A, můžeme výsledek řešení zhodnotit takto: Uložení tělesa je staticky určité. Souřadnice výsledných stykových sil jsou: Ax = 54. N, Ay = 16. N, Bn = N. Závěr: V obou případech úpravy uložení vedly ke splnění zadání, ale první úprava vedla podstatně efektivněji k cíli. Te5 Těleso T uložené podle obr a zatížené silovou dvojicí, která je určena momentem M 1, má být ve statické rovnováze. Proveďte kontrolu statické rovnováhy a určete výsledné stykové síly. Řešte početně a graficky pro tyto vstupní údaje: R 1 = 5 mm, R = 1.5 mm, M 1 = 15 Nm.

35 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 41 e) Rozbor soustavy statických podmínek rovnováhy. Vzhledem k tomu, že rovnice nejsou evidentně lineárně závislé a soustava je jednoduchá, provedeme řešení: f) Nalezení řešení s využitím kapesního kalkulátoru: Bn = Ay = M 1 15 sin 45 R 1 = sin = Bn sin 45 = 6 N Ax = Bn cos 45 = 6 N N Existuje jednoznačné řešení statických rovnic rovnováhy uložení tělesa je staticky určité. výsledné stykové síly jsou: Ax = 6 N, Ay = 6 N, A = Ax + Ay = N, Bn = N

36 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 45 B =, B x=m x = M B graficky viz úloha Te8. = Pro Výpočtové řešení toto uvolnění není vhodné ze dvou důvodů: 1. Množina NP obsahuje Bn a x a momentová podmínka statické rovnováhy obsahuje člen Bn x soustava statických rovnic rovnováhy je nelineární.. Výpočtový algoritmus je složitější, než výpočtový algoritmus pro uvolnění c), neboť musí obsahovat dvě větve, jednu pro B a druhou pro B =. ad f) Uvolnění s omezující podmínkou B =. Toto uvolnění je vhodné pro grafické i výpočtové řešení. Nesplnění podmínky B = vede jak u grafického, tak výpočtového řešení k určení B1 i B, ale B1 B. Pokud je naším úkolem určit nejjednodušší silovou soustavu, kterou lze z hlediska statické ekvivalence nahradit soustavou rovnoběžných stykových sil, pak v řešení pokračujeme nahrazením dvou sil na rovnoběžných nositelkách jedinou staticky ekvivalentní silou. Nevýhoda tohoto uvolnění spočívá v tom, že uvolnění je popsáno nejvíce údaji - bod B, zvolené vzdálenosti a,b a síly B1, B. Závěr: Oboustranná posuvná vazba je složitou k.d., kterou můžeme uvolnit různým způsobem z hlediska vyjádření stykových sil. Jednotlivá uvolnění jsou více či méně vhodná pro grafické a výpočtové řešení. Proto je nutné celou analýzu oboustranné posuvné k.d. dobře promyslet a u úloh, které vyžadují uvolnění této k.d. se k analýze vracet. Te7 Těleso T je uloženo a zatíženo podle obrázku. Uložení tělesa má být staticky určité. Zkontrolujte charakter uložení a je-li to možné, určete stykové výslednice. Řešte početně i graficky. Rozbor úlohy: Naším úkolem je provést kontrolu charakteru uložení tělesa a určit stykové výslednice. Jedná se o úlohu o statickém řešení viz [1] str a) Síly a silové dvojice, určené momenty, jsou zadané úplně a správně. Poloha tělesa, geometrické rozměry a vazby tělesa jsou zadány úplně a správně. Zadání je úplné a správné. b) Úloha je zadána jako rovinná bez uvažování gravitační síly. c) Označení tělesa, silových prvků a vazeb je znázorněno na obr d) Klasifikace kinematických dvojic: A - obecná k.d. - o.k.d. B - oboustranná posuvná k.d. - p.k.d Řešení úlohy: A - o.k.d.: k T V = [ 1 ] ξ = kt V k V = 1 B - p.k.d.: k T V = [ 1 1 ] ξ = Obr. 3.4: a) Určení pohyblivosti tělesa. Obě k.d. jsou funkční. B zabraňuje otáčení a posouvání ve vertikálním směru a A zabraňuje posuvu v horizontálním směru. Počet omezených deformačních parametrů η =. Počet stupňů volnosti i = i v ξ + η = 3 (1 + ) + = těleso je vázáno nepohyblivě, nepohyblivost je zajištěna vazbami.

37 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 46 b) Uvolnění tělesa: A - obecná k.d. - známe nositelku a působiště výsledné stykové síly. Neznámé jsou velikost a orientace. B - oboustranná posuvná k.d. - z možných uvolnění oboustranné k.d. viz Te6 zvolíme tato: a) pro výpočtové řešení - v libovolném, ale určitém bodě B vyjádříme silové působení ve vazbě silou Bn a momentem M Bn, pro které známe nositelky a působiště, neznámé jsou souřadnice ve směru nositelek Bn a M Bn, viz obr b) pro grafické řešení - předpokládáme B silové působení po uvolnění vazby vyjádříme jedinou silou Bn, pro kterou známe pouze směr nositelky, neznámé jsou působiště (x) a souřadnice ve směru nositelky Bn, viz obr c) statický rozbor I. Zvolíme souřadnicový systém. II. Určení a rozbor soustav π a π R : π = { 1,, 3, 4, M} πr = { A, 4B, M B } Určení neznámých nezávislých parametrů, prvků množiny π R. Není evidentně zřejmé, že by některá z vazeb nebyla funkční. Proto NP = { An, Bn, M Bn } µ = µ = 3 Obr. 3.5: Obr. 3.6: III. Klasifikace soustavy π ν = π π R a určení použitelných podmínek statické rovnováhy. π ν = π π R = { 1,, 3, 4, M, A, B, M B } - obecná rovinná soustava ν = 3 v základním tvaru ν = ; ν M = 1 IV. Ověření nutné podmínky statické určitosti: } µ = ν µ r + µ M ν M Obě části nutné podmínky 3 = = 1 statické určitosti jsou splněny V zadání je určeno, že řešení máme provést výpočtovým i grafickým způsobem. Výpočtové řešení: d) Sestavení statických podmínek rovnováhy: x : 3 An cos 5 = y : An sin 5 + Bn = M zb : 1 (c e) (c d) 3 b + 4 (c d + R cos 45 )+ An [cos 5 (d R sin 5 ) + sin 5 (c d + R cos 5 )] M + M Bn = e) Rozbor soustavy statických podmínek rovnováhy. Soustava tří lineárních algebraických rovnic o třech neznámých, kterou můžeme maticově zapsat ve tvaru Ax = b, kde

38 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 47 cos 5 A= sin 5 1 x T =[ An, Bn, M Bn ] s 1 b T =[ 3 ; ; 1 (c e) + (c d) + 3 b 4 (c d + R cos 45 ) + M] kde: s = [R(1 sin 5 ) cos 5 + (c d + R cos 5 ) sin 5 ] cos 5 deta= sin 5 cos 5. 1 = 1 = cos s 1 sin 5 5 =.9 1 Soustava algebraických rovnic má jednoznačné řešení uložení tělesa je staticky určité. Vyčíslení determinantu jsme provedli rozvojem podle třetího sloupce. f) Nalezení řešení při využití kapesní kalkulačky: An = 3 cos 5 = 3 cos 5 = 331 N Bn = An sin = 1899 N M Bn = 1 (c e) + (c d) + 3 b 4 (c d + R cos 45 ) An [cos 5 (d R sin 5 + sin 5 (c d + R cos 5 )] + M = = 5(4 ) (4 4) (4 4 + cos 45 ) [cos 5 (4 sin 5 )+ + sin 5 (4 4 + cos 5 )] = 3.38 Nm Zhodnocení výsledků: Souřadnice stykové výslednice An =331 N >, vazba A je funkční. Také vazba B je funkční. M Bn < znamená, že M B má opačný smysl než je smysl nositelky M B vyznačený na obr Grafické řešení: d) Grafické zobrazení zadaných číselných veličin. Zvolená měřítka délek a sil: m L : 1 mm = 1 mm m : 1 mm = 1 N e) Nakreslení geometrického obrazce zadaných veličin v daném zobrazení. (a) (b) Obr. 3.7:

39 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 48 f) Realizace grafické konstrukce. K realizaci grafické konstrukce lze přistoupit dvojím způsobem. První způsob spočívá v tom, že soustavu úplně zadaných sil π nahradíme jedinou staticky ekvivalentní silou nebo jedinou staticky ekvivalentní silovou dvojicí a užitím věty o třech silách určíme neznámé výslednice stykových sil A, B. Při druhém způsobu využitím věty o superpozici a věty o třech silách určíme dílčí stykové síly Ai, Bi pro jednotlivé prvky soustavy π. Soustavy dílčích stykových sil { Ai } a { Bi } nahradíme z hlediska statické ekvivalence výslednými stykovými silami A, B. Vzhledem k tomu, že na těleso působí celá řada úplně zadaných sil a silových dvojic, určených momenty, je první způsob řešení výhodnější než druhý. Také k grafickému řešení zadané úlohy použijeme první způsob. Síly 4 a tvoří silovou dvojici, jejíž moment má velikost M 1 = R cos 45 = 643. cos 45 = 1 Nm, působí ve směru kolmém na rovinu tělesa a je opačně orientovaná než M. Momenty M a M1 se vyruší. Na těleso dále působí 1 a 3, jejichž výslednice je V1 a stykové síly A a B. Podle věty o třech silách v grafickém vyjádření, nositelky sil g) Zpětné zobrazení grafických veličin na číselné veličiny. A = l A m = 33 1 = 3.3 kn B = l B m = 19 1 = 1.9 kn M B = B l x m L 1 = = =.8 Nm Obr. 3.8: Zhodnocení výsledků: Rozdíly v hodnotách výsledných stykových sil a momentů grafického a Výpočtového způsobu řešení odpovídají použitým prostředkům a zvoleným měřítkům pro grafickou konstrukci. Te8 Těleso T má stejné geometrické rozměry a je stejně uložené jako v úloze Te7. Zatížení tělesa T je znázorněno na obr Uložení tělesa má být staticky určité. Zkontrolujte charakter uložení a je-li to možné, určete výsledné stykové síly. Řešte graficky. Rozbor: Tato úloha je stejná jako úloha Te7, liší se pouze soustavou úplně zadaných sil π. Proto v řešení vhodně využijeme výsledků úlohy Te7 a budeme uvádět pouze ty body, ve kterých se obě úlohy liší. a) Síly jsou zadány úplně a správně. Zadání je úplné a správné. c) Volba označení viz obr. 3.3(a). Řešení: Obr. 3.9:

40 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 49 b) Uvolnění tělesa. stejné jako u úlohy Te7, ale vzhledem k důležitosti uvolnění je uvedeme znovu. A - obecná k.d. - známe nositelku a působiště výsledné stykové síly A. Neznámá je souřadnice ve směru nositelky An. B - oboustranná posuvná k.d. - z možných uvolnění oboustranné posuvné k.d. viz Te6 zvolíme pro grafické řešení toto: předpokládáme B, silové působení po uvolnění vazby vyjádříme jedinou staticky ekvivalentní silou Bn, pro kterou známe pouze směr nositelky, neznámé jsou působiště (x) a souřadnice ve směru nositelky Bn viz obr. 3.3(b). Množina neznámých nezávislých parametrů: NP = { An, Bn, x} µ = 3 III. Klasifikace soustavy π ν = π π R a určení použitelných podmínek statické rovnováhy π ν = π π R = { 1, A, B }- obecná rovinná ν = 3. IV. Ověření nutné podmínky statické určitosti: } µ = ν µ r + µ M ν M Obě části nutné podmínky 3 = = 1 statické určitosti jsou splněny V zadání je určeno, že řešení máme provést graficky. Grafické řešení: d) Zvolení měřítka délek a sil: m L : 1 mm = 1 mm m = 1 N e) Nakreslení geometrického obrazce zadaných veličin v daném zobrazení. (a) (b) Obr. 3.3: f) Realizace grafické konstrukce. Na těleso T působí úplně zadaná síla 1, styková síla A, pro kterou známe nositelku a styková síla B, pro kterou známe směr nositelky a těleso má být ve statické rovnováze. Podle věty o třech silách uvolněné těleso, na které působí tři síly, je ve statické rovnováze, protínají-li se nositelky sil v jednom bodě a silový obrazec je uzavřen se šipkami v jednom smyslu. Nositelky sil A a 1 jsou rovnoběžné, jejich průsečík je nevlastní bod, tedy x.

41 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 51 Rozbor: Naším úkolem je provést kontrolu charakteru uložení a v případě, že uložení splňuje zadané podmínky určit stykové síly. a) Zadání je úplné a správné. b) Úloha je zadána jako rovinná bez uvažování tíhových sil. c) Zvolené označení viz obr d) Klasifikace kinematických dvojic: A, B, C, D, E - obecná k.d. Řešení: a) B - obecná k.d.: k T V = [ 1 ] ξ = 1 Určení pohyblivosti tělesa. Těleso je vázáno pěti podporami, které z kinematického hlediska představují pět obecných k.d. Kinematická dvojice A zamezuje posuvu v horizontálním směru. Dvojice vazeb B, C zamezuje posuvu ve vertikálním směru a dvojice vazeb D, E zamezuje z možných složek pohybu tělesa jako celku otáčení kolem osy kolmé na rovinu součásti. Vzhledem k tomu, že uložení Obr. 3.34: je realizováno s dostatečnou vůlí, nedojde k omezení deformačních parametrů. Jedna k.d z každé dvojice vazeb (B,C) a (D,E) nebude funkční. Proto počet omezených deformačních parametrů η = a počet stupňů volnosti, odebraných vazbami ξ = ξa + ξ B,C + ξ D,E = = 3. Počet stupňů volnosti: i = i v ξ + η = 3 ( ) + = Těleso je uloženo nepohyblivě a nepohyblivost je zajištěna vazbami. b) Uvolnění tělesa - viz obr A - obecná k.d. - známe nositelku a působiště stykové síly. Neznámá je souřadnice ve směru nositelky. (B,C) - dvojice obecných k.d., pro které nositelky stykových sil splývají a jedna z dvojice vazeb není funkční. unkčnost vazeb určíme řešením stykových sil. Pro stykovou sílu známe nositelku a působiště, neznámá je souřadnice ve směru nositelky. Vzhledem k tomu, že nevíme, která vazba z dvojice je funkční, označíme neznámou souřadnici BCn. (D,E) - dvojice obecných k.d. - známe působiště, nositelku a neznáme souřadnici ve směru nositelky, kterou označíme DEn. c) Statický rozbor. I. Zvolíme souřadnicový systém. II. Určení a rozbor soustavy π a π R : π = { } π R = { A, BCn, DEn } Množina neznámých nezávislých parametrů NP = { An, BCn, DEn } µ = 3

42 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 5 III. Klasifikace soustavy π ν = π π R a určení použitelných podmínek statické rovnováhy π ν = {, A, BC, DE } - obecná rovinná soustava sil ν = 3 v základním tvaru ν =, ν M = 1 IV. Ověření nutné podmínky statické určitosti. } µ = ν µ r + µ M ν M Obě části nutné podmínky 3 = 3 + < 1 statické určitosti jsou splněny Výpočtové řešení: d) Sestavení statických podmínek rovnováhy: x : sin 45 An = y : cos 45 DEn BCn = M zg : sin 45 b cos 45 (c + R + d f) DEn e = e) Rozbor soustavy statických rovnic rovnováhy. Soustava tří lineárních algebraických rovnic o třech neznámých, kterou můžeme maticově zapsat ve tvaru A x = b 1 A = 1 1 x T = [ An, BCn, DEn ] e b T = [ sin 45, cos 45, (sin 45 b + cos 45 (c + R + d f))] 1 deta = 1 1 = e =.15 e Soustava algebraických rovnic má jednoznačné řešení uložení tělesa je staticky určité. f) Nalezení řešení - pomocí kapesní kalkulačky: DEn = [sin 45 b+cos 45 (c+r+d f)] e = 55[sin 45.1+cos 45 ( )].15 = N BCn = cos 45 + DE = 55 cos = N An = sin 45 = N Určení funkčnosti vazeb: Souřadnice stykové síly An > vazba A je funkční. Orientace DE je zvolena tak, že odpovídá funkční vazbě E, z dvojice vazeb (D,E). Vzhledem k tomu, že souřadnice DEn <, je funkční vazba D. Obdobně orientace BC je zvolena tak, že odpovídá funkční vazbě B, z dvojice vazeb B,C. Souřadnice BCn < fukční je vazba C. Souřadnice stykových výslednic jsou: An = N Cn = N Dn = N Grafické řešení: d) Grafické zobrazení zadaných číselných veličin. Zvolená měřítka délek a sil: m L : 1 mm = 1mm m : 1 mm = 5 N

43 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 53 e) Nakreslení geometrického obrazce zadaných veličin v daném zobrazení pro uvolněné těleso viz obr f) Realizace grafické konstrukce. Na těleso působí čtyři síly, A, BC, DE pro něž známe: - úplně zadaná, A, BC, DE známe nositelky, viz [1] str. 149 úloha 9. Grafická konstrukce pro zadáné parametry viz obr Ze silových obrazců 1 a 3 určíme, které vazby jsou funkční. g) Zpětné zobrazení grafických veličin na číselné veličiny: Závěr: l A = 16 mm l C = 49 mm l D = 49 mm A = l A m = 16 5 = 4 N C = l C m = 49 5 = 15 N D = l D m = = N Těleso je uloženo nepohyblivě a nepohyblivost je zajištěna vazbami. Vazby B, E nejsou funkční. Rozdíly v hodnotách souřadnic sil A, C, D grafického a výpočtového způsobu řešení odpovídají zvoleným měřítkům a prostředkům grafického řešení. Obr. 3.35: Te1 Proveďte kontrolu a rozbor statické rovnováhy tělesa, uloženého a zatíženého podle obr Kontrolu proveďte pro tyto hodnoty: a=45 mm, b=6 mm, α = 4, t=3 mm, 1 =45 N, =5 N, M=1. Nm. Silová dvojice působí v rovině kolmé na osu x. Těleso ve tvaru desky je vyrobeno z oceli. Rozbor: a) Síly 1, a silová dvojice určená momentem M jsou zadány úplně a správně. Na těleso dále působí rozložené tíhové síly, jejichž výslednice G má velikost z c c y t a Obr. 3.36: b g 1 x G = g ρ V = tan =. N Vzhledem k tomu, že G << ( 1, ) předpokládáme vliv tíhové síly za nepodstatný. Poloha tělesa a uložení jsou zadány úplně a správně. Zadání úlohy je úplné a správné. b) Úloha je prostorová. Z předchozího rozboru vyplývá, že vliv vlastní tíhy je nepodstatný. c) Označení těles a kinematických dvojic - viz obr d) Klasifikace kinematických dvojic: A - sférická k.d., B,C - obecná k.d. v prostoru, tedy: s.k.d. k T v = [ ] ξ = k T v k v = 3 o.k.d. k T v = [ 1 ] ξ = k T v k v = 1

44 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 54 Řešení: a) Určení pohyblivosti tělesa. Všechny k.d. jsou funkční. Počet omezených deformačních parametrů η =. i = i v ξ j + η = 6 (3 1 1) + = 1 Uložení tělesa je pohyblivé, tělesa se může otáčet kolem osy z. Statická rovnováha není zajištěna vazbami. z b) Uvolnění tělesa - viz obr c) Statický rozbor: I. Volba souřadnicového systému - ponecháme souřadnicový systém ze zadání. II. Určení a rozbor soustavy π a π R : π = { 1,, M} πr = { A, B, C } Množina neznámých nezávislých parametrů: NP = { Ax, Ay, Az, Bn, Cn } µ = 5 A Ax Az Ay 3 Cn C SR 45 y 4 Obr. 3.37: III. Klasifikace soustavy π ν = π π R a určení použitelných podmínek statické rovnováhy π ν = { A, B, C, 1,, M} síly B, C, 1, tvoří soustavu rovnoběžných sil. Nositelky sil jsou rovnoběžné s osou z. Silová dvojice určená momentem M leží v rovině yz. Momentová podmínka k ose z, procházející bodem A je triviální, momentové podmínky statické rovnováhy k osám x, y a silové podmínky rovnováhy k osám x, y, z jsou použitelné podmínky statické rovnováhy ν = 5 v základním tvaru ν = 3, ν M = IV. Ověření nutné podmínky statické určitosti: } µ = ν µ r + µ M ν M Obě části nutné podmínky 5 = 5 + < statické určitosti jsou splněny Způsob řešení: Vzhledem k tomu, že úloha je prostorová, budeme ji řešit pouze výpočtovým způsobem. Výpočtové řešení: B Bn 1 6 g x d) Sestavení statických podmínek rovnováhy: z : Az Cn 1 + Bn = M xa : M c Cn c = M ya : 1 a Bn (a b) = x : Ax = y : Ay = c = a tan 4 e) Rozbor statických podmínek rovnováhy. Soustava pěti lineárních algebraických rovnic o pěti neznámých. V maticovém tvaru: A x = b deta = c(a b) = a tan 4 (a b) =.45 tan 4 (.45.6). =. = existuje jednoznačné řešení soustavy rovnic f) Nalezení řešení pomocí kapesní kalkulačky: a Bn = 1 = = 51.9 N a b (.45.6) = M a tan 4 = tan 4 c a tan 4 Cn = M c = 5.78 N.45 tan 4 Az = Cn Bn = = 5.86 N

45 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 55 Posouzení předpokladu: Řešení statické rovnováhy jsme provedli za předpokladu, že rozložené tíhové síly jsou nepodstatné. Tento předpoklad byl učiněn na základě kvantitativního rozboru G << ( 1, ). Nyní musíme provést kontrolu oprávněnosti tohoto předpokladu z hlediska splnění statických podmínek rovnováhy a funkčnosti vazeb. V bodě III. statického rozboru jsme dospěli k závěru, že momentová podmínka statické rovnováhy k ose z je triviální. Nositelky rozložených tíhových sil jsou rovnoběžné s osou z, proto momentová podmínka k ose z při uvažování rozložených tíhových sil je triviální. V soustavě statických rovnic rovnováhy při uvažování rozložených tíhových sil dojde pouze k nepodstatné změně vektorů pravých stran b. ( G << ( 1, ); G y T << (f c M), G x T << 1 a) Závěr: Předpoklad, že rozložené tíhové síly jsou nepodstatné z hlediska řešené úlohy je správný. Těleso T, které je uloženo a zatíženo podle zadání, je ve statické rovnováze. Te11 U tělesa podle obrázku určete pohyblivost a posuďte možnost statické rovnováhy. V případě, že statická rovnováha nastává, určete výsledné stykové síly pro tyto údaje: a=5 mm, b=8 mm, c=14 mm, e= mm, R=5 mm, r= mm, α=6, 1 =15 N, =3 N, 3 =75 N. Zamyšlení: Cílem úlohy je provedení analýzy pohyblivosti a je-li to možné, řešení statické rovnováhy jednoho tělesa vázaného sférickou a sféricko-posuvnou vazbou. Rozbor: Obr. 3.38: a) Síly 1,, 3, geometrie tělesa a uložení je zadáno úplně a správně. Zadání je úplné a správné. b) Prostorová úloha bez uvažování vlastní tíhy. c) Volba označení těles a kinematických dvojic - viz obr d) Klasifikace kinematických dvojic: A - k.d. sféricko-posuvná B - k.d. sférická Řešení: sp.k.d. k T v = [ 1 1 ] ξ = k T v k v = s.k.d. k T v = [ ] ξ = 3 a) Určení pohyblivosti tělesa. Obě kinematické dvojice jsou funkční. Kinematická dvojice B zabraňuje posuvům ve směru os x, y, z. Kinematická dvojice A spolu s kinematickou dvojicí B zabraňuje otáčení kolem osy y a z. Počet omezených deformačních parametrů η =. Počet stupňů volnosti i = i v ξ + η = 6 ( + 3) + = 1 Těleso je uložené pohyblivě bez omezení deformace. Statická rovnováha není zajištěna vazbami. Poznámka 1: Při důkladnějším zamyšlení nad zadáním učiníme tento závěr přímo. Uložení tělesa umožňuje otáčení kolem podélné osy.

46 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 56 b) Uvolnění tělesa: viz obr A- sféricko-posuvná k.d. - známe působiště a rovinu nositelky výsledné stykové síly. Neznámé jsou dvě souřadnice výslednice stykových sil. y By 1 B- sférická k.d. - známe působiště, neznámé jsou tři souřadnice výslednice stykových sil. c) Statický rozbor: I. Zvolíme souřadnicový systém. II. Určení a rozbor soustavy π a π R : π = { 1,, 3 }, π R = { A, B }. Množina neznámých nezávislých parametrů NP = { Ay, Az, Bx, By, Bz } µ = µ = 5 Obr. 3.39: III. Klasifikace soustavy π ν určení použitelných podmínek statické rovnováhy π ν = π π R = { A, B, 1,, 3 } obecná prostorová soustava sil ν = 6 v základním tvaru ν = 3, ν M = 3 IV. Ověření nutné podmínky statické určitosti. µ ν 5 < 6 } Úloha staticky přeurčená. Statická rovnováha tělesa nastane, budeli jedna ze statických podmínek rovnováhy lineárně závislá, což určíme rozborem soustavy statických podmínek rovnováhy. d) Sestavení statických podmínek rovnováhy: x : Bx = y : 3 cos α + Ay + By = z : Az + Bz 3 sin α = M xa : 1 R 3 cos α r = M ya : 3 sin α(a + b) 1 a Bz c = M za : 3 cos α(a + b) (R e) + By c = e) Rozbor soustavy statických podmínek rovnováhy. Soustava šesti lineárních algebraických rovnic o pěti neznámých, kterou můžeme zapsat v maticovém tvaru A x = b c c Ay Az Bx By Bz = 3 cos α 3 sin α Ay A 3 cos αr 1 R 1 a 3 sin α(a + b) 5 (R e) 3 cos α(a + b) Matice A obsahuje nulový řádek. Odpovídající rovnice statické rovnováhy je buď sporná nebo identicky splněna. Čtvrtému řádku v matici A odpovídá momentová podmínka statické rovnováhy k ose x: M x : 3 cos αr 1 R = 75 cos = = Momentová podmínka statické rovnováhy k ose x je identicky splněna, tato rovnice je závislá, proto ji vypustíme z použitelných podmínek statické rovnováhy. Obdržíme novou soustavu Az z x Bz Bx

47 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 57 statických podmínek rovnováhy, kterou můžeme zapsat v maticovém tvaru: A 1 x = b 1 1 Ay 1 1 Az 3 cos α 1 1 Bx = 3 sin α c By 1 a 3 sin α(a + b) c Bz (R e) 3 cos α(a + b) 1 deta 1 = 1( 1) 3 1 ( 1) 3 c = c =.14. =. c existuje jednoznačné řešení soustavy A 1 x = b 1. Protože je také splněna momentová podmínka statické rovnováhy k ose x a žádná z vazeb není podmíněně funkční - je těleso ve statické rovnováze. Poznámka : Pokud jsme na základě zadání poznali, že uložení umožňuje otáčení kolem osy x (není omezeno stykovými vazbami), je zřejmé, že momentová podmínka k ose x musí být identicky splněna, má-li být těleso ve statické rovnováze. Ověříme splnění momentové podmínky statické rovnováhy k ose x. 3 cos α r 1 R= po dosazení =. Momentová podmínka je identicky splněna, není použitelnou statickou podmínkou. Tedy platí: ν=6 1=5; µ=ν a µ r + µ M < ν M V řešení pokračujeme sestavením soustavy statických podmínek rovnováhy A 1 x = b 1. f) Nalezení řešení použitím kapesního kalkulátoru: Bx = N By = (R e) 3 cos α(a+b) c = 3 (.5.) 75 cos 6 (.5+.8) Bz = 3 sin α(a+b) 1 a c Ay = 3 cos α By = 66.8 N Az = 3 sin α Bz = N.14 = N = 75 sin 6 (.5+.8) = N Zhodnocení: Těleso je uloženo pohyblivě a je ve statické rovnováze. Souřadnice výsledných stykových sil jsou: Ay =66.8 N, Az =99.97 N, Bx =3 N, By = N, Bz =549.6 N. Postup řešení odpovídá univerzálnímu postupu, kterým vždy dospějeme k cíli. Nemusí to být ovšem postup nejefektivnější. Efektivnější postup řešení této úlohy je naznačen poznámkami. Te1 Těleso T je uloženo a zatíženo podle obr Uložení tělesa má být nepohyblivé a staticky určité. Zkontrolujte, zda uložení splňuje dané požadavky, je-li a=15 mm, b=1 mm, c=13 mm, d=5 mm, t=5 mm, δ=15, α=1, β=1, γ=3, =5 N.

48 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 58 Rozbor: a) Zadání síly obsahuje více údajů, než je k úplnému určení nutné. Zkontrolujeme, zda jsou uvedené údaje správné: cos α + cos β + cos γ = cos 1 + cos 1 + cos 3 = Síla není zadaná správně. Je nutné opravit zadání. V praxi ověřením údajů ve škole dotazem na vyučujícího. Dotazem se vysvětlilo, že v zadání byla uvedena chybná hodnota úhlu β. Správná hodnota β = 9. cos 1 + cos 9 + cos 3 = 1 Síla, geometrické rozměry a uložení tělesa jsou zadány úplně a správně. Opravené zadání je úplné a správné. b) Úloha je prostorová bez uvažování vlastní tíhy. c) Volba označení viz obr d) Klasifikace kinematických dvojic: A - k.d. sférická B - k.d. sféricko-posuvná C - vazba lanem, k.d. obecná v prostoru s.k.d. k T v = [ ] ξ = 3 s-p.k.d. k T v = [ 1 1 ] ξ = o.k.d k T v = [ 1 ] ξ = 1 Az d A Ay Obr. 3.4: z y B d a Ax Bz b Cn Bx Obr. 3.41: t x C Řešení: a) Určení pohyblivosti tělesa. Kinematická dvojice A je sférickou k.d., omezuje posuv ve směru osy x, y, z. Sféricko-posuvná k.d. B omezuje z možných složek pohybu tělesa jako celku otáčení kolem osy x a z. Je-li vazba lanem funkční, pak omezuje otáčení kolem osy y. Počet omezených deformačních parametrů η=. Počet stupňů volnosti odebraných vazbami, jsou-li všechny vazby funkční: ξ = = 6. Počet stupňů volnosti: i = i v ξ + η = = Těleso T je uloženo nepohyblivě a nepohyblivost je podmíněně zajištěna vazbami. b) Uvolnění tělesa - viz obr A - sférická k.d. - známe působiště, neznámé jsou souřadnice výsledné stykové síly ve směru os x, y, z. B - sféricko-posuvná k.d. - známe působiště a rovinu působení výsledné stykové síly, neznámé jsou souřadnice výsledné stykové síly ve směru os x a z. C - vazba lanem - obecná k.d. v prostoru - známe nositelku, neznámá je souřadnice stykové síly ve směru nositelky. c) Statický rozbor: I. Souřadnicový systém ponecháme ze zadání.

49 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 59 II. Určení a rozbor soustavy π a π R : π = { } π R = { A, B, C } Množina neznámých nezávislých parametrů NP = { Ax, Ay, Az, Bx, Bz, Cn } III. Klasifikace soustavy π ν = π π R a určení použitelných podmínek statické rovnováhy π ν = {, A, B, C } - obecná prostorová soustava sil ν = 6 v základním tvaru ν = 3; ν M = 3 IV. Ověření nutné podmínky statické určitosti: } µ = ν µ r + µ M ν M Obě části nutné podmínky 6 = 6 + < 3 statické určitosti jsou splněny Prostorová úloha - řešíme výpočtovým způsobem. Obr. 3.4: Výpočtové řešení: Vyjádření potřebných geometrických vztahů pro určení úhlů, které svírá Cn se souřadnicovými osami obr b = b cos δ = 1 cos 15 = mm f = b sin δ = 1 sin 15 = 5.88 mm e = a + b = = 18.8 mm δ = arcsin f 5.88 = arcsin = e e = e cos δ = 18.8(cos ) = mm l = (c f) + e = 6.57 mm cos ε = lx = b = =.4676 ε = l l cos η = ly = a = 15 =.7615 η = l l cos ϑ = lz = c f = =.54 ϑ = l l 6.57 kontrola: cos ε + cos η + cos ϑ = = 1 d) Sestavení statických podmínek rovnováhy: x : Ax + Bx Cn cos ε + cos(18 α) = y : Ay Cn cos η + cos β = z : Az + Bz + Cn cos ϑ cos γ = M x : Az d + Bz (a + d) + Cn cos ϑ a + Cn cos η f = M y : Cn cos ϑ b Cn cos ε f + cos γ b + cos (18 α) f = M z : Ax d Bx (a + d) Cn cos η b + Cn cos ε a + cos β b = e) Rozbor soustavy statických rovnic rovnováhy. Soustava šesti lineárních algebraických rovnic o šesti neznámých, kterou můžeme maticově zapsat ve tvaru: A x = b kde: x T = [ Ax, Ay, Az, Bx, Bz, Cn ] b T = [ cos (18 α), cos β, cos γ,, (cos γb + cos (18 α)f), cos βb ]

50 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) cos ε 1 cos η A = 1 1 cos ϑ d (a + d) (a cos ϑ + f cos η) (b cos ϑ + f cos ε) d (a + d) ( b cos η + a cos ε) f) Nalezení řešení s využitím výpočetní techniky, jejíž programové vybavení obsahuje maticové operace. Řešení určíme ze vztahu: x = A 1 b x = ( ) 1 3 ( ) ( ) = = Pokud výpočetní techniku s maticovými operacemi nemáme, dříve než započneme řešení soustavy lineárních rovnic, přesvědčíme se, zda toto řešení existuje vyčíslením determinantu matice soustavy. Vyčíslení provedeme rozvojem podle sloupců, přičemž vhodně využijeme řídkosti matice soustavy A. Ax Ay Az Bx Bz Cn cos ε 1 cos η deta = 1 1 cos ϑ d (a + d) (a cos ϑ + f cos η) =... ( 1) 6 [ (a + d)] ( b cos ϑ + f cos ε) d (a + d) ( b cos η + a cos ε) 1 1 cos ϑ 1 1 cos ϑ d a + d (a cos ϑ + f cos η) +... d ( 1) 3 d a + d (a cos ϑ + f cos η = (b cos ϑ + f cos ε) (b cos ϑ + f cos ε)

51 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 6 Te14 Těleso T je uloženo a zatíženo podle obr Jeli to možné, určete výsledné stykové síly. Těleso označené 1 považujte za část základního tělesa. Rozbor: a) Úloha je zadána úplně a správně. b) Je to úloha prostorová bez uvažování tíhových sil. c) Zvolené označení viz obr d) Klasifikace kinematických dvojic. Těleso k základnímu tělesu je vázáno jedinou posuvnou kinematickou dvojicí v prostoru. p.k.d. k T v = [ ] ξ = k T v bfk v = 5 Řešení: Obr. 3.46: a) Určení pohyblivosti tělesa. Počet omezených deformačních parametrů η =. Počet stupňů volnosti i = i v ξ + η = = 1 Těleso je uloženo pohyblivě, možný posuv je ve směru osy z. b) Uvolnění tělesa - viz obr posuvná kinematická dvojice v prostoru - určení rozložených stykových sil je úlohou staticky neurčitou - staticky určitou úlohou může být úloha o určení stykových výslednic viz [1] str. 95. Neznámými parametry jsou: NP={ Ax, Ay, M Ax, M Ay, M Az }. Posuvná k.d. nezamezuje posuvu ve směru osy z Az =. c) Statický rozbor I. Zvolíme souřadnicový systém - např. viz obr II. Určení a rozbor soustavy π a π R π = { } π R = { A, M A } Množina neznámých nezávislých parametrů: NP = { Ax, Ay, M Ax, M Ay, M Az } µ = 5 III. Klasifikace soustavy π ν = π π R a určení použitelných podmínek statické rovnováhy: π ν = {, A, M A } -soustava, skládající se ze soustavy sil v rovnoběžných rovinách a obecná soustava dvojic ν = 5 v základním tvaru ν = a ν M = 3. IV. Ověření nutné podmínky statické určitosti: µ = ν µ r + µ M ν M 5 = = 3 } Obě části nutné podmínky statické určitosti jsou splněny Protože se jedná o prostorovou úlohu, budeme ji řešit výpočtovým způsobem. Výpočtové řešení:

52 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 65 zvolit podpory tak, aby π ν = π π o π R byla soustavou rovnoběžných sil v prostoru, bude počet použitelných podmínek statické rovnováhy minimální ν = ν min = 3. Z nutné podmínky statické určitosti µ = ν min µ = µ min = 3 minimální počet obecných k.d. je 3 Umístění obecných k.d.: Pro uložení tělesa zvolíme např. podpory a jejich umístění provedeme tak, aby uložení bylo co nejstabilnější z hlediska jednoduché úvahy. Pravděpodobnost odchylky působiště síly G od bodu T je stejná ve všech směrech. Pokud by působiště síly G v důsledku odchylky bylo za spojnicí stykových bodů dvou podpor - viz obr bod x - vazba C nebude funkční a nastane otáčení kolem této spojnice (A,B). Umístění podpor zvolíme tak, aby vzdálenost těžiště T byla od spojnic stykových bodů A,B,C co možná největší. Viz obr π = { G } π R = { A, B, C } NP = { An, Bn, Cn } Obr. 3.51: π ν = π π R = { G, A, B, C } - prostorová soustava rovnoběžných sil ν = 3 v základním tvaru ν =1, ν M =, π νo =π π R π o - prostorová soustava rovnoběžných sil ν =3, ν =ν ν ν= statická rovnováha je stabilní, ν =ν < 6 statická rovnováha není úplně stabilní. Sestavení statických podmínek rovnováhy: z : A + B + C G = M x : ( B + C )a G y T = M y : A x T + G x T C b = Obr. 3.5: Vyčíslení statických podmínek rovnováhy a určení neznámých stykových výslednic. Z první rovnice vyjádříme B + C = G A a po dosazení do druhé rovnice obdržíme: ( G A )a G y T = A = G ( a y T ) = ( ) = N a.556 a dále pokračujeme dosazovacím způsobem: C = ( G A )x T b = ( ).47.5 = N B = G A C = = N Závěr: Jedná-li se o teoretickou úlohu (neuvažujeme odchylky), pak lze těleso uložit staticky určitě pomocí jediné obecné k.d. řešíme-li úlohu jako reálný problém na strojírenské rozlišovací úrovni za předpokladu, že nemusíme uvažovat odchylky vazeb, lze těleso uložit staticky určitě pomocí tří obecných k.d. Pro zvolené uložení - viz obr. 3.5 jsou souřadnice výsledných stykových sil: A = 595N, B = N, C = 18.57N.

53 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 66 Te16 Na těleso podle obr působí silová dvojice určená momentem M a síla. Těleso je vázáno jednou podporou a jednou vazbou lanem. Zkontrolujte, zda je těleso ve statické rovnováze a v případě, že ano, určete stykové výslednice. V případě, že těleso není ve statické rovnováze, zvolte na povrchu tělesa další vazby tak, aby těleso bylo uloženo nepohyblivě a staticky určitě. Pro navržené uložení tělesa určete početně a graficky výsledné stykové síly. Zamyšlení: Obr. 3.53: Jedná se o úlohu o kontrole statické rovnováhy. V případě, že těleso ve statické rovnováze není, řešíme úlohu o statické syntéze. stykové výslednice zadaných vazeb leží na společné nositelce, která prochází bodem A a je svislá. Síla má složku x = těleso není ve statické rovnováze. Rozbor: a) Zadání z hlediska řešené úlohy o statické syntéze je úplné, protože je určeno základní uspořádání, funkce tělesa a parametry, které si můžeme volit. Volbou parametrů můžeme zajistit předepsanou funkci tělesa. b) Úloha je zadána jako rovinná bez uvažování vlastní tíhy. c) Volba označení těles a zadaných k.d. viz obr d) Klasifikace zadaných k.d. A } lano - obecná k.d. B podpora - obecná k.d. ξ = 1 Řešení: Vazby A,B jsou umístěny tak, že stykové výslednice A, B leží na společné nositelce. Pouze jedna z vazeb může být funkční. Obě vazby tedy odnímají z možných složek pohybu tělesa jako celku pouze jednu - posuv ve vertikálním směru. Těleso, uložené podle zadání, má dva stupně volnosti: i = i v ξ + η = = Nepohyblivého uložení tělesa dosáhneme odebráním dalších dvou stupňů volnosti, čehož docílíme např. dvěma obecnými vazbami nebo jednou rotační vazbou nebo jednou posuvnou vazbou. Posuvná vazba je pro studenty obtížnější a často v ní chybují. Proto, můžeme-li si vybrat, tak ji nepoužijeme. Vzhledem k malým zkušenostem nejsme schopni posoudit, zda řešení bude jednodušší, znehybníme-li těleso dvěma obecnými k.d. nebo jednou rotační k.d. Abychom získali zkušenosti provedeme řešení pro obě varianty. Obr. 3.54:

54 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 68 IV. Ověření nutné podmínky statické určitosti: µ = ν µ r + µ M ν M 3 = Jsou splněny obě části nutné podmínky statické určitosti. x : C sin 5 = y : AB D + cos 5 = M zc : AB (.5.) + M = µ = ν µ r + µ M ν M 3 = Jsou splněny obě části nutné podmínky statické určitosti. d) Sestavení statických podmínek rovnováhy: x : Cx sin 5 = y : Cy + AB + cos 5 = M zc : AB (.5.) + M = Vzhledem k jednoduchosti soustavy statických rovnic provedeme řešení: C = sin 5 = N AB = M.3 = N D = AB + cos 5 = 7.7N Cx = sin 5 = AB = M.3 = N Cy = ( AB + cos 5 ) = +7.7N Zhodnocení výsledků: Styková síla D je orientována z tělesa vazba D není funkční (PROČ?), proto ji musíme upravit. Nejjednodušší z hlediska řešené úlohy je nahrazení podpory v místě D lanem, protože se nezmění k.d., změní se pouze smysl stykové výslednice, která odpovídá funkční vazbě: AB < funkční vazba je vazba A lanem. Tedy nepohyblivé, staticky určité uložení tělesa pomocí obecných k.d. znázorníme takto: (obr. 3.57(a)) Zhodnocení výsledků: Souřadnice AB < z dvojice vazeb A, B je funkční vazba A - lanem. Velikost výsledné stykové síly C je: C = Cx + Cy = = N Uložení tělesa T podle varianty je nepohyblivé, staticky určité. Tedy splňuje podmínky zadání. (a) (b) Obr. 3.57: Souřadnice výsledných stykových sil: A = N, B = vazba není funkční, C =845.4 N, D =7.7 N

55 3. VÁZANÉ TĚLESO (vazby typu NNTN) 7 Výpočtové řešení: d) Sestavení statických podmínek rovnováhy. x : Ax = y : G Ay = Ay = G M za : G x r = G x r = r sin ϕ r = [ ( 3a 7 ) + ( b 5 ) ] sin ϕ r = sin ϕ r = ϕ r = Těleso je ve statické rovnováze, jestliže nositelka tíhové síly G je totožná se spojnicí AT. Poznámka: Uvedený postup řešení je aplikací obecného algoritmu řešení vázaného tělesa ve statice. Řešení můžeme určit podstatně efektivněji využitím znalostí statiky, které jsme využívali již v předchozích úlohách. Po uvolnění tělesa působí na těleso dvě síly A a G. Těleso bude ve statické rovnováze, bude-li soustava sil A a G rovnovážnou soustavou. Tedy, podle věty o dvou silách, síly A a G musí ležet na společné nositelce, být stejně veliké a opačně orientované. Tato podmínka bude splněna, bude-li ϕ = ϕ r = viz obr

56 4. SOUSTAVY TĚLES (vazby typu NNTN) 71 4 SOUSTAVY TĚLES (vazby typu NNTN) ST1 Načrtněte grafické řešení rovinné, vně uzavřené, trojčlenné soustavy těles pro všechna možná uložení vytvořená variacemi rotačních a posuvných kinematických dvojic a všechna možná zatížení silou a silovou dvojicí, je-li zatížen vždy pouze jeden člen soustavy. Rozbor: a) Z hlediska formulace úlohy je zadání úplné a správné. b) Soustava je zadána jako rovinná. c) Zvolená označení viz jednotlivé varianty řešení. d) + e) Vazby a členy, které se v jednotlivých variantách úlohy budou vyskytovat byly v předchozích úlohách klasifikovány a detailně popsány, proto jejich klasifikaci nebudeme popisovat, je ale nezbytně nutné, aby si ji každý student provedl sám. f) Určení pohyblivosti: Soustavy, které odpovídají zadání můžeme schématicky charakterizovat podle obr Pokud nenastane vyjimkový případ [1] str. 13, platí: i = (n 1)i v ξ j + η = (3 1)3 ( + + ) + = Soustava je nepohyblivá, nepohyblivost je zajištěna vazbami. Úvaha: Všechny možné varianty zadané úlohy jsme schématicky vyjádřili - obr Ze schématického znázornění vyplývá (zatížen je vždy pouze jeden člen soustavy), že u každé varianty existuje binární Obr. 4.1: nezatížený člen. Tímto členem grafické řešení každé varianty zadané soustavy těles budeme začínat, protože jsme vždy schopni na základě věty o dvou silách určit nositelky stykových sil. Statický rozbor provedeme pro jednotlivé varianty zvlášť. Varianta 1: Statický rozbor: NP = { Ax, Ay, Bx, By, Cx, Cy } µ = µ = 6 π ν, π ν3 - obecná rovinná, ν = = 6; v základním tvaru ν = 4; ν M = Ověření nutné podmníky statické určitosti µ = ν µ r + µ M ν M 6 = 6 + < } Obě části nutné podmínky statické určitosti jsou splněny Obr. 4.:

57 4. SOUSTAVY TĚLES (vazby typu NNTN) 77 ST3 Soustava podle obr má být nepohyblivá, staticky určitá. Nepohyblivost má být zajištěna vazbami. a) Proveďte kontrolu uložení soustavy. b) Sestavte maticovou rovnici pro určení stykových výslednic. c) Řešte graficky,je-li: =5N, α=45, a 1 =.8m, a =1.1m, b=.1m, c 1 =1m, c =1.m, β=73, γ=54 Rozbor: a) Zadání je úplné a správné. b) Soustava je zadaná jako rovinná. c) Zvolené označení viz obr d) Klasifikace členů: 1 - základní těleso - binární zatížený člen 3 - binární nezatížený člen 4 - ternární nezatížený člen Obr. 4.17: Obr. 4.18: e) Klasifikace k.d. A,B,E - rotační k.d.: ξ = k T V k V = C - oboustranná p.k.d.: ξ = k T V k V = D - podpora o.k.d.: ξ = k T V k V = 1 f) Určení pohyblivosti soustavy: Předpokládáme, že všechny k.d. jsou funkční. Počet členů soustavy n = 4. Počet omezených deformačních parametrů η =. Počet stupňů volnosti soustavy: i = (n 1)i v ξ i + η = (4 1)3 ( ) + = 9 9 = soustava je uložena nepohyblivě, nepohyblivost je zajištěna vazbami. Řešení: b) Uvolnění jednotlivých členů soustavy: - při uvolnění je respektován axiom o silovém působení mezi tělesy (5c [1] str. 13). A,B,E - rotační k.d. - neznámé jsou souřadnice stykové výslednice ve směru souřadnicových os. Známe působiště stykových výslednic. By Bx B SR Ax A Obr. 4.19: C - oboustranná posuvná k.d. - neznámé jsou souřadnice stykové výslednice a její působiště, které vyjádříme v bodě C pomocí neznámé souřadnice C a neznámé souřadnice M C. Známe směr nositelky stykové výslednice. D - obecná k.d. - neznámá je souřadnice stykové výslednice ve směru nositelky. Známe nositelku stykové výslednice. y Ay x Bx B By 3 SR C C M C C 4 C M SR C D D E Ey Ex c) Statický rozbor: I. Určení silové soustavy π, a π R množiny NP: π = { }; π R = { A, B, C, M C, D, E } NP = { Ax, Ay, Bx, By, C, M C, D, Ex, Ey, } µ = µ i = 9; µ = 8, µ M = 1

58 4. SOUSTAVY TĚLES (vazby typu NNTN) 78 II. Určení počtu použitelných podmínek statické rovnováhy ν. ν = ν i π νi = π i π Ri π ν = {, A, B } - obecná rovinná ν = 3; ν M = 1, ν = π ν3 = { B, C, M C }, - obecná rovinná ν 3 = 3 π ν4 = { C, M C, D, E } - obecná rovinná ν 4 = 3 ν = 4 ν i = = 9 ν M = 3; ν = 6 i= III. Ověření nutné podmínky } statické určitosti: µ = ν µ r + µ M ν M Obě části nutné podmínky 9 = < 3 statické určitosti jsou splněny Výpočtové řešení: d) Sestavení statických podmínek rovnováhy: x : Ax + cos α Bx = y : Ay sin α By = M zb : cos αa 1 sin β sin αa 1 cos β+ + Bx (a 1 + a ) sin β By (a 1 + a ) cos β = 3 x : Bx = y : By + C = M zb : C b + M C = 4 x : Ex D sin γ = y : C + Ey D cos γ = M ze : C (c 1 + c ) cos γ M C + D c = Maticový zápis: A x = b (a 1 + a ) sin β (a 1 + a ) cos β 1 A = 1 1 b 1 sin γ 1 cos γ 1 (c 1 + c ) cos γ 1 c Ax cos α Ay sin α Bx a 1 (cos α sin β + sin α cos β) By x = C b = M C D Ex Ey

59 4. SOUSTAVY TĚLES (vazby typu NNTN) 79 Soustava devíti lineárních algebraických rovnic o devíti neznámých. Grafické řešení: Úvaha: Jak začít? Obsahuje soustava těles binární nezatížený člen? Obsahuje, člen 3. Řešení začneme tímto členem. d) Grafické zobrazení zadaných veličin: m L : 1 mm.5 mm m : 1 mm N e), f) Nakreslení geometrického obrazce zadaných veličin v daném zobrazení a realizace grafické konstrukce viz obr. 4.. Člen 3 je binární nezatížený člen, působí na něj výslednice stykových sil B a C. U B známe působiště, bod B a u C směr nositelky. Je kolmá na vedení k.d. C. Z věty o dvou silách určíme nos. B a nos. C. Člen je binární zatížený. Působí na něj úplně zadaná síla, výsledná styková síla B, u které známe nositelku a výsledná styková síla C, u které známe působiště. Podle věty o třech silách určíme z nositelkového obrazce nos. A a ze silového obrazce určíme velikost a orientaci stykových sil A a B. Nyní se vrátíme ke členu 3 a určíme velikost a orientaci výsledné stykové síly C. Člen 4 je ternární nezatížený. Výslednou stykovou sílu B známe úplně, u výsledné stykové síly D známe nositelku a u E působiště. Podle věty o třech silách v grafické interpretaci určíme z nositelkového obrazce nositelku výsledné stykové síly E a ze silového obrazce určíme velikost a orientaci D a E. Obr. 4.: Zpětné zobrazení grafických veličin na silové veličiny: Závěr: l A = 3mm A = l A m = 3 = 46N l B = 3mm B = l B m = 64N l C = 3mm C = l C m = 64N l D = 3mm D = l D m = 176N l E = 3mm E = l E m = 148N Z orientace výsledné stykové síly D vyplývá, že vazba D není funkční, proto provedeme úpravu vazby D. Viz obr upravená vazba je naznačena čárkovaně.

60 4. SOUSTAVY TĚLES (vazby typu NNTN) 81 II. Určení počtu použitelných podmínek statické rovnováhy ν. π ν = { M, A, B, M B }- obecná rovinná ν = 3; ν = ; ν M = 1 π ν4 = {, B, M, C }- obecná rovinná ν 3 = 3 ν = ν i = = 6; ν = 4; ν M = III. Ověření nutné podmínky statické určitosti: µ = ν µ r + µ M ν M 6 = < Výpočtové řešení: } Obě části nutné podmínky statické určitosti jsou splněny Obr. 4.5: d) Sestavení statických podmínek rovnováhy x : Ax + Bn sin δ = 3 x : Cx Cn sin δ = y : Ay Bn cos δ = y : Cy + Bn cos δ = M za : M Bn l M Bn = M za : M Bn Bn r + c = Určení geometrických charakteristik: v = l 3 sin α = 37 sin 3 = 186mm γ = arcsin b+v l β = = arcsin = δ = γ + β = r = l 3 sin (9 δ α) = = 37 sin ( ) = 4.48mm Maticový zápis statických rovnic: 1 sin δ 1 cos δ l 1 sin δ 1 cos δ 1 r 1 Ax Ay Bn M Bn Cx Cy = M c Obr. 4.6: A x = b Soustava šesti lineárních algebraických rovnic o šesti neznámých. Řešíme na počítači. Další vlastnosti soustavy určíme z výsledků řešení, případně zpráv o průběhu a ukončení řešení na počítači. Grafické řešení: Poznámka ke grafickému řešení této a následujících úloh: Grafické řešení úloh statiky je založeno na využití vět o dvou a třech silách a věty o superpozici v grafické interpretaci (viz [1] str ). Proto každé grafické řešení začínáme úvahou o tom, kterou z uvedených vět můžeme grafické řešení začít. Po získání zkušeností z grafického řešení úloh úvahu rozšíříme na promyšlení strategie grafického řešení (t.j. posloupnosti uvedených vět, vedoucí k promyšlenému postupu řešení viz [1] str.156). Protože tato úloha je jednou z počátečních úloh grafického řešení soustav těles, bude úvaha obsahovat pouze první krok - jak začít?

61 4. SOUSTAVY TĚLES (vazby typu NNTN) 84 i = (4 1) 3 ( 4 + 1) + = 9 9 = Uvedená soustava těles je nepohyblivá, nepohyblivost je zajištěna vazbami. b) Uvolnění jednotlivých členů soustavy: A,B,D - rotační k.d.- neznámé jsou souřadnice stykové výslednice ve směru souřadnicových os. Známe působiště stykových výslednic. C - oboustranná posuvná k.d. - neznámé jsou souřadnice stykové výslednice a poloha její nositelky. Známe směr nositelky stykové výslednice. E - podpora - obecná k.d. - neznámou je souřadnice stykové výslednice ve směru nositelky. c) Statický rozbor: I. Určení silových soustav π, π R a množiny NP: π = { }; π R = { A, B, C, D, E } NP = NP i = { Ax, Ay, Bx, By, Cn, M Cn, Dx, Dy, En } µ = 9; µ M = 1 II. Určení počtu použitelných statických podmínek rovnováhy ν: π ν = { A, B, C, M C } - obecná rovinná ν = 3; ν = ; ν M = 1 π ν3 = { E, D, C, M C } - obecná rovinná ν 3 = 3; ν = ; ν M = 1 π ν4 = { A,, E } - obecná rovinná ν 4 = 3; ν = ; ν M = 1 ν = ν i = = 9; ν = 6; ν M = 3 III. Ověření nutné podmínky statické určitosti: } µ = ν µ r + µ M ν M Obě části nutné podmínky 9 = < 3 statické určitosti jsou splněny d) Sestavení statických podmínek rovnováhy: x : Ax Bx Cn cos 3 = y : Ay + By Cn sin 3 = M za : Bx. cos 3 + By. sin 3 Cn.35 + M Cn = 3 x : En cos 45 + Dx + Cn cos 3 = y : En sin 45 + Dy + Cn sin 3 = M zc : En.6 Dx. cos 45 + Dy. sin 45 = 4 x : Ax En sin 45 = y : Ay + En cos 45 = M ze :.6 cos 45 Ay (.6 cos ) = Obr. 4.33:

62 4. SOUSTAVY TĚLES (vazby typu NNTN) 85 Soustava devíti linearních algebraických rovnic o devíti neznámých. Řešíme na počítači. Další vlastnosti soustavy určíme z výsledků řešení, případně zpráv o průběhu a ukončení řešení na počítači. A x = b 1 1 cos sin 3 r t.35 1 cos 3 1 cos 45 sin 3 1 sin 45 u v.6 1 sin 45 1 cos 45 s Ax Ay Bx By Cn M Cn Dx Dy En = s = (.6 cos ); r =. cos 3 ; t =. sin 3 ; u =. cos 45 ; v =. sin 45 ; =.6 cos 45 Grafické řešení: Úvaha: Obsahuje binární zatížený a dva ternární nezatížené členy. Na binárním zatíženém členu známe nositelku jedné stykové síly. Tedy pomocí věty o třech silách určíme úplně všechny síly působící na člen 4. Působení členu 4 můžeme nahradit úplně určeným staticky ekvivalentním silovým působením na zbytek soustavy. Tím vznikne trojčlenná, vně uzavřená soustava těles - viz obr Postup řešení trojčlenné, vně uzavřené soustavy se dvěma členy viz úloha ST1. Postup grafického řešení můžeme schématicky znázornit takto: Obr. 4.34: d) Zobrazení zadaných veličin pomocí veličin grafických: m L : 1mm 1mm; m 1N e), f) Nakreslení geometrického obrazce zadaných veličin v daném zobrazení a realizace grafické konstrukce.

63 4. SOUSTAVY TĚLES (vazby typu NNTN) 88 III. Ověření nutné podmínky statické } určitosti: µ = ν µ r + µ M ν M Obě části nutné podmínky 1 = < 4 statické určitosti jsou splněny Výpočtové řešení: d) Sestavení statických podmínek rovnováhy: x : Ax G = y : Ay En Gy = M zg : En l 5 + Ax R(1 cos γ) Ay (l + R sin γ) M En = 3 x : Bx + Dx = y : Dy By = M zb : M Dx l 3 sin β+ Dy l 3 cos β = 4 x : Gx Cx = y : Gy Cy = M zb : Gx l 4 sin α Gy l 4 cos α+ sin δl = 5 x : Dx = y : En Dy = M zb : M En = Maticový zápis: r s l t u v z Ax Ay Bx By Cx Cy Dx Dy E M E Gx Gy M = r = R(1 cos γ); s = (l +R sin γ; t = l 3 sin βu = l 3 cos β; v = l 4 sin α; z = l 4 cos α = sin δl A x = b Grafické řešení: Úvaha: U soustavy podle obrázku jsou zatíženy členy 3 a 4. Na základě věty o superpozici nahradíme danou soustavu dvěma dílčími soustavami těles (viz obr se zatíženým jedním členem. Vzhledem ke zkušenostem, které jsme při grafickém řešení soustav těles již získali je postup řešení soustav I. a II. zřejmý. Obr. 4.41:

64 4. SOUSTAVY TĚLES (vazby typu NNTN) 94 Výpočtové řešení - úprava. viz obr člen 3 b) Uvolnění jednotlivých členů soustavy: není staticky funkční c) Statický rozbor: I. Určení silových soustav π, π R a množiny NP: π = { }; π R = { A, D, E, M E, G, M } NP = { Ax, Ay, Dx, Dy, En, M En, Gx, Gy, M n } µ = 9; µ = 7; µ M = II. Určení počtu použitelných podmínek statické rovnováhy ν; π ν3, π ν4, π ν5 - obecné rovinné ν i = 3 v základním tvaru ν i = ; ν im = ; ν = ν i = 9; ν = 6; ν M = 3 III. Ověření nutné podmínky statické určitosti: } µ = ν µ r + µ M ν M Obě části nutné podmínky 9 = 9 + < 1 statické určitosti jsou splněny d) Sestavení statických podmínek rovnováhy: Obr. 4.54: x : + Ax Dx = y : Ay Dy = M za : l 1 sin α Dy l cos α+ + Dx l sin α = 4 x : Dx = y : Dy En = M za : En l 4 + M En = 5 x : Gx = y : En Gy = M za : En l 5 sin β M En M n = Maticový zápis: Závěr: l sin α l cos α l l 5 sin β 1 1 A x = b Ax Ay Dx Dy En M En Gx Gy M n l 1 sin α = U grafických řešení této úlohy nejsou popsány úvahy. To ale neznamená, že nebyly provedeny. Každý student po zvládnutí předchozích úloh by měl být schopen vlastních úvah.

65 4. SOUSTAVY TĚLES (vazby typu NNTN) 1 - vnitřních vazeb A, C r.k.d. ξ i = dvojnásobná D, E, G, H r.k.d. ξ i = 4 čtyřnásobná Určení pohyblivosti: Počet členů - prutů + základní těleso = 11, styčníků - degenerovaných členů 6 δ = 6, n = 17 i = (n 1)i v ξ i δ + η = 16 3 ( ) 6 = = = dva omezené deformační parametry. Určení statické určitosti: α) celková k = p + µ A - počet prutů p = n 1, 6 = 1 + ( ) 1 14 staticky neurčité úpravy soustavy. β) vnitřní k 3 = p; 1 3 = 9; vnitřně staticky neurčité. Soustava je jedenkrát vnitřně a dvakrát celkově staticky neurčitá. Z možných úprav zvolíme tu, která umožňuje použití postupné styčníkové metody vzhledem k výpočtovým prostředkům (kalkulačka). Určení pohyblivosti: n = δ = 6 i = (n 1)i v ξ i δ = 15 3 ( ) 6 = = soustava je nepohyblivá. Určení statické určitosti: α)celkovák = p + µ A + µ N A ; 6 = = 1 Obr. 4.68: β)vnitřník 3 = p; 1 3 = 9 9 = 9 Je splněna nutná podmínka statické určitosti (celková, vnitřní, tedy i vnější). Postup řešení: Postupná styčníková metoda s následující posloupností řešení styčníků C, H, G, D, E,A. Uvolníme styčník C (bez znázornění). Z podmínky statické rovnováhy 9 = 1 =. Dále uvolníme styčník H 8 = 7 =. Pruty s prutovou silou jsme schopni v některých případech určit přímo. V řešení pokračujeme uvoněním styčníků G, D, E, A. G x : sin cos =... 5 = 1.96kN y : cos 3 6 sin = 6 = 4.33kN D x : cos = 3 = 3.46kN y : sin = 4 =.6kN G D y x y 4 6 Obr. 4.69: x G D

66 4. SOUSTAVY TĚLES (vazby typu NNTN) 11 E x : 5 8 cos 3 cos 45 = y : B sin 3 sin 45 4 = A x : Ax + cos = Ax = 4.39kN y : Ay + sin 45 = Ay =.93kN Souřadnice vnějších stykových a prutových sil jsou: Obr. 4.7: Ax = 4.39 kn, Ay =.93 kn, B = 3.34 kn, = 1.3 kn, 3 = 3.46 kn, n =.6 kn, 5 = 1.96 kn, 6 = 4.33 kn, 7 = 8 = 9 = 1 =

67 5. PASIVNÍ ODPORY 1 5 PASIVNÍ ODPORY Tato kapitola obsahuje řešené úlohy statické rovnováhy těles a jejich soustav při uvažování pasívních odporů ve stykových vazbách. V rámci řešení každé úlohy je prováděna detailní analýza pohyblivosti uložení tělesa resp. soustavy těles a jejich možných pohybových stavů. Je proveden a zdůvodněn odhad pravděpodobného pohybového stavu a pro něj je zahájeno řešení. Jsou formulovány podmínky reálnosti daného pohybového stavu a po získání výsledků výpočtového řešení je provedena kontrola jejich splnění a formulovány závěry a zkušenosti vyplývající z řešení dané úlohy. V průběhu řešení jsou prováděny a komentovány všechny potřebné analýzy. Úlohy P.1, P., a P.3 jsou zaměřeny na výpočtové řešení statické rovnováhy tělesa v jehož stykových vazbách působí smykové tření a kdy pohybový stav tělesa na začátku výpočtového řešení lze jednoznačně určit. Úlohy P.1 a P. lze charakterizovat jako úlohy staticky určité, úlohu P.3 jako staticky přeurčenou. První dvě úlohy jsou řešeny jako rovinné, třetí jako prostorová. Úlohy P.4, P.5, P.6 a P.7 řeší pohyb tělesa resp. soustavy těles na nakloněné rovině. V těchto případech v důsledku realizace styku tělesa prostřednictvím obecné vazby nelze skutečný pohybový stav tělesa resp. soustavy těles na začátku výpočtového řešení jednoznačně určit. Podle podmínek ve styku může nastat buď valení nebo smýkání. Na začátku výpočtového řešení je nutno pohybový stav těles předpokládat (pro efektivní průběh řešení je třeba provést analýzu uložení a odhadnout ten nejpravděpodobnější) a po skončení řešení provést kontrolu splnění podmínek realizace předpokládaného pohybového stavu. Při splnění těchto podmínek výpočtové řešení končí, v opačném případě je nutno předpoklad změnit a řešení opakovat pro nově předpokládaný pohybový stav. V závěru opakovaného řešení je nutno opět provést kontrolu splnění podmínek realizace nově předpokládaného pohybového stavu. Obtížnost analýzy v rámci této skupiny úloh narůstá, při řešení jsou využívány poznatky z řešení předchozích úlohy. Úlohy jsou řazeny tak, že na základě numerických výsledků lze postupně ověřovat správnost řešení. V úloze P.8 je řešen vliv pásového tření. V úlohách P.9, P.1, P.11 a P.1 je prováděno statické řešení pro soustavy těles. Je analyzována pohyblivost soustavy a výpočtově určen reálný pohybový stav těles soustavy pro dané podmínky ve styku. V úloze P.11 je naopak určován interval velikosti působící síly, při které setrvá soustava těles v klidu. Cílem řešení úlohy P.13 je, kromě určení potřebné velikosti síly realizující předpokládaný pohyb, ukázat, jak důležitá je analýza významnosti pasivních účinků a jak jejich nesprávné zanedbání ve snaze o zjednodušení výpočtového řešení může podstatně ovlivnit jeho výsledek. V úloze je rovněž ukázána přijatelnost linearizace řešeného problému. Úloha P.14 je zaměřena na výpočtové řešení špalíkové brzdy a modelování kontaktu na brzdovém kotouči. Také v tomto případě je alternativně prováděno trojí výpočtové řešení: s uvážením všech pasivních účinků, s použitím Ponceletových vztahů pro linearizaci čepového tření a se zanedbáním čepového tření. Z analýzy výsledků je opět posouzena významnost zanedbání čepového tření při řešení daného problému. Úloha P.15 je zaměřena na výpočtové řešení pásové brzdy a ukazuje na významný vliv konstrukčního uspořádání brzdy na velikost ubrzděného momentu. Při řešení úlohy P.16 jsou využity poznatky a zkušenost z řešení úloh P.1 a P.13 a je analyzován a ověřen reálný pohybový stav soustavy (vozíku) při jejím najetí na nepohyblivou

68 5. PASIVNÍ ODPORY 13 překážku. V úloze P.17 je řešen problém maximální tažné síly traktoru v daných provozních podmínkách. Jsou analyzovány přípustné a nepřípustné provozní pohybové stavy z hlediska provozní funkčnosti. Je provedeno výpočtové řešení zahrnující kontrolu stykových omezení, stanovení mezní velikosti tažné síly a příčinu jejího omezení. P.1 Po prkně přemosťujícím odpadní žlab pomalu vystupuje muž. Na základě výpočtu predikujte, zda se mu podaří přejít bezpečně na druhou stranu. V případě že ne, určete jeho polohu d v okamžiku, kdy nastane nekontrolovaný pohyb prkna. Dáno: délka prkna l = 5 mm, úhly α = o a β = 3 o, tíha Q = 8 N, součinitele smykového tření (adheze) f A = f B =, 4. A v A = + d l Q Obr. 5.1: Rozbor zadání: Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je jasně formulován. Problém lze modelovat a řešit jako rovinný. Možné pohybové stavy tělesa: Z praktické zkušenosti je zřejmé, že těleso je uloženo pohyblivě. V klidu setrvá pokud nebude překonána hranice jeho klidové stability, po jejím překonání nastává pohyb. Předpokládaný ( a pravděpodobný) charakter pohybu je vyznačen na obr Specifikace stykových vazeb tělesa: Stykové vazby A, B typu NNTP jsou podpory. Z hlediska omezování složek pohybu tělesa je podpoře přiřazena kinematická dvojice obecná k.d.o. unkčnost podpory je podmíněna tlakovostí stykových sil, tahové síly podpora není schopna realizovat. Nefunkční podpora pohyb tělesa neomezuje. V závislosti na silových podmínkách v dané podpoře a na uložení tělesa může ve funkční podpoře nastat klid, smýkání nebo valení. Podle charakteru realizovaného relativního pohybu podpora omezuje odpovídající počet nezávislých pohybových parametrů stupňů volnosti (za klidu ζ = 3, při valení ζ =, při smýkání ζ = 1). Ze znázorněného uložení tělesa je zřejmé, že při pohybu tělesa nastane v podporách smýkání, přičemž každá z nich odebere ζ i = 1 stupňů volnosti. Kontrola pohyblivosti uložení tělesa: Pohyblivost tělesa určíme ze vztahu i = i v ( ζ i η) = 3 (1 + 1 ) = 1 Těleso je uloženo pohyblivě, stykové vazby nezajišťují jeho statickou rovnováhu. Počet omezených charakteristik deformace η = je zřejmý z charakteru uložení těleso se může volně deformovat. Jedná se tedy o normální stav uložení. Poznámka: Pokud není překonána hranice klidové stability tělesa, odebírá každá styková vazba NNTP stejný počet stupňů volnosti jako vazba pevná. Pro zajištění klidového stavu (souvisí s pohybem tělesa jako celku) pod hranicí klidové stability tedy postačuje právě jedna vazba. Další funkční vazby již způsobují omezení druhé složky mechanického pohybu t.jḋeformace tělesa. V daném případě jsou za klidu omezeny tři deformační parametry (η = 3). Protože deformační charakteristiky ve statice nejsou určovány (je v ní formulován model tuhého tělesa s nepodstatnou deformací), není taková úloha ve statice řešitelná. Pro řešení problémů jsou ve statice k dispozici pouze použitelné statické podmínky. Určování deformačních charakteristik těles a popis omezení parametrů deformace deformačními i=1 B v = B +

69 5. PASIVNÍ ODPORY 14 podmínkami bude předmětem pružnosti a pevnosti. Po překonání hranice klidové stability nastane pohyb, který v daném případě není kontrolovaný a jeho rychlost roste. Pro řešení takového stavu nejsou statické podmínky použitelné (jsou formulovány pro rovnoměrný pohyb dv = ). Při statickém řešení se musíme dt. omezit na stav, kdy rychlost v + = i zrychlení dv +. = jsou ještě zanedbatelně malé, t.jṅa dt stav na hranici klidu a pohybu. Určování parametrů pohybu tělesa v závislosti na silovém působení bude předmětem dynamiky. Uvolnění tělesa s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodného souřadnicového systému: Při uvolnění tělesa (obr. 5.) je třeba správně vyznačit předpokládaný smysl relativního pohybu v každé uvolněné stykové vazbě NNTP. Pasívní účinky působí vždy proti pohybu!! Důsledkem jejich nesprávné orientace je zásadní chyba v řešení!! z A y An x v A = + AT Q Obr. 5.: Silové soustavy působící na uvolněné těleso, specifikace množiny neznámých nezávislých parametrů stykových výslednic: Na uvolněné těleso působí dvě silové soustavy: soustavu zadaných (zde neúplně neznáme polohu nositelky) silových prvků π představuje síla Q, soustavu neúplně zadaných výslednic π R v uvolněných stykových vazbách (neznáme souřadnice sil) představují síly A, B. Množina neznámých nezávislých parametrů silové soustavy π ν = π π R, působící na uvolněné těleso, je NP = { An, Bn, d} Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti: - Počet a typ NP silové soustavy π ν je µ = µ f + µ r + µ M = = 3. - Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silovou soustavu π ν charakterizovat jako obecnou rovinnou. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je ν = ν + ν M = + 1 = 3. - Nutná podmínka statické určitosti µ = ν µ r + µ M ν M je splněna, protože 3=3 a 1=1. Poznámka: Pokud není překonána hranice klidové stability, jsou složky stykových výslednic na sobě nezávislé. Pak množina NP obsahuje µ = µ f + µ r + µ M = = 6. Protože charakter silové soustavy π ν a použitelné podmínky SR se nemění, není nutná pomínka statické určitosti splněna a míra statické neurčitosti je s = µ ν = 6 3 = 3. Za klidu je tedy úloha třikrát staticky neurčitá a ve statice ji nelze řešit. Stykové závislosti pro pasívní účinky: Tyto závislosti popisují vztah mezi nezávislými (NP) a závislými (ZP) parametry stykových výslednic v jednotlivých vazbách za pohybu. V našem případě se jedná o vztahy pro smykové tření (coulombovské) AT = An f A a BT = Bn f B Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykových závislostí: B Bn BT v B = +

70 5. PASIVNÍ ODPORY 15 Po vyjádření použitelných statických podmínek a vyloučení závislých parametrů pomocí stykových závislostí obdržíme soustavu statických rovnic pro NP x : An f A + Bn (f B cos β sin β) = y : An + Bn (f B sin β + cos β) Q = M za : Bn l [sin α (sin β f B cos β) + cos α (f B sin β + cos β)] Q d cos α = Řešení soustavy statických rovnic: V současné době je na fakultě běžně k dispozici software pro personální počítače, použitelný k řešení soustav ať lineárních nebo nelineárních rovnic. Při řešení všech následujících úloh bude předpokládáno jeho využití. Jednodušší úlohy je možno řešit i pomocí kapesní kalkulačky. V daném případě je soustava statických rovnic lineární, po dosazení zadaných vstupů a řešení obdržíme následující hodnoty NP: An = 11, 8 N, Bn = 551, 7 N, d = 3869 mm. Závěr: Z výpočtového řešení vyplývá, že v daném případě není možné po prkně přejít bezpečně na druhou stranu překážky. Při překonání vzdálenosti d < l nastává pohyb. P. Pro známou hodnotu součinitele adheze f o (stejnou pro obě stykové vazby A, B) určete výpočtově krajní rovnovážné polohy (t.j. interval hodnot úhlu α), kdy homogenní tyč znázorněná na obr. 5.3 setrvá v klidu. Zadané vstupní hodnoty: l = 1 mm, a = mm, G = 1 N, f A = f B =, 7. Rozbor zadání, možné pohybové stavy tělesa: Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je Obr. 5.3: zadán. Problém lze řešit jako rovinný. Těleso, které je uloženo pohyblivě, setrvá v klidu v případě, kdy tečné složky stykových sil budou menší než třecí síly. Při malých hodnotách součinitelů smykového tření (adheze) to nemusí být splněno pro žádnou polohu tělesa, při určité úrovni součinitelů může existovat množina rovnovážných poloh, charakterizovaná intervalem hodnot úhlu α. V tomto případě nastanou po překročení mezních rovnovážných poloh dva odlišné pohybové stavy. Po překročení krajní polohy charakterizované menší hodnotou úhlu α se tyč smýká po svislé stěně (vazba A) směrem nahoru, zatímco po překročení krajní polohy charakterizované větší hodnotou úhlu α se tyč smýká směrem dolů. Statické řešení, které je možné pro stav na hranici klidu a pohybu, provedeme pro oba mezní případy. Takto určíme hledaný interval úhlu α. Specifikace stykových vazeb tělesa: Stykové vazby A, B typu NNTP jsou podpory, které můžeme charakterizovat jako kinematické dvojice obecné. Ze znázorněného uložení tělesa je zřejmé, že při pohybu tyče nastane v podporách smýkání, přičemž každá z nich odebere ζ i = 1 stupňů volnosti. Kontrola pohyblivosti uložení tělesa: Pohyblivost tělesa určíme ze vztahu A i = i v ( ζ i η) = 3 (1 + 1 ) = 1 Těleso je uloženo pohyblivě, stykové vazby nezajišťují jeho statickou rovnováhu. Počet omezených charakteristik deformace η = je zřejmý z charakteru uložení těleso se může volně deformovat. Jedná se tedy o normální stav uložení. Uvolnění tělesa s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodného souřadnicového systému: i=1 a B l G

71 5. PASIVNÍ ODPORY 16 Uvolnění tyče a výpočtové řešení provedeme postupně pro oba možné případy překročení hranice klidové stability: a) Uvolnění tyče ve spodní mezní poloze s vyznačením směru relativního pohybu v každé uvolněné stykové vazbě NNTP je znázorněno na obrázku obr. 5.4(a) b) Uvolnění tyče v horní mezní poloze s vyznačením směru relativního pohybu v každé uvolněné stykové vazbě NNTP je znázorněno na obrázku obr. 5.4(b). y z An v= + A A AT a x v= B B + BT Bn G An AT v= + A A a v= B B + BT Bn G (a) Obr. 5.4: (b) Silové soustavy působící na uvolněné těleso, specifikace množiny neznámých nezávislých parametrů stykových výslednic: Na uvolněné těleso působí v obou případech dvě silové soustavy: soustavu zadaných (zde neúplně neznáme polohu nositelky) silových prvků π představuje síla G, soustavu neúplně zadaných výslednic π R v uvolněných stykových vazbách (neznáme souřadnice sil) představují síly A, B. Množina neznámých nezávislých parametrů silové soustavy π ν = π π R, působící na uvolněné těleso, v obou případech je NP = { An, Bn, α} Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti: - Počet a typ NP silové soustavy π ν je µ = µ f + µ r + µ M = = 3. - Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silovou soustavu π ν charakterizovat jako obecnou rovinnou. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je ν = ν + ν M = + 1 = 3. - Nutná podmínka statické určitosti µ = ν µ r + µ M ν M je splněna, protože 3=3 a 1=1.

72 5. PASIVNÍ ODPORY 17 ad. a) x : An Bn (f cos α + sin α) = y : An f Bn (f sin α cos α) G = M zb : An a (f + tan α) G ( l cos α a ) = ad. b) x : An + Bn (f cos α sin α) = y : An f + Bn (f sin α + cos α) G = M zb : An a (tan α f) + G ( a l cos α ) = Řešení soustavy statických rovnic: V daném případě je soustava statických rovnic nelineární, po dosazení zadaných vstupů a řešení obdržíme následující hodnoty NP: ad. a) An = 137, 6 N, Bn = 187, 6 N, α = 3 o. ad. b) An = 6, 3 N, Bn = 99, 6 N, α = 5, 9 o. Závěr: Z výpočtového řešení vyplývá, že množina klidových rovnovážných poloh tyče je charakterizována intervalem úhlu α (3 o ; 5, 9 o ). P.3 Přímá a štíhlá homogenní tyč, znázorněná na obr. 5.5, je vázána k základnímu tělesu stykovými vazbami A, B. Určete, pro jaký interval hodnot parametru h tyč po opření o drsnou stěnu zůstane v klidu. Povrch sférického čepu A má malou drsnost a je namazán, jeho pasívní odpor je v porovnání s odporem vazby B nevýznamný a lze jej zanedbat. Zadané hodnoty vstupních veličin: l = 1 mm, d = mm, a = 975 mm, G = 1 N, f B =, 5. Rozbor zadání, možné pohybové stavy tělesa: A x Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je zadán. Jedná se o prostorový problém. Štíhlou tyč lze mo- z Obr. 5.5: delovat jako prutové těleso, které je charakterizováno střednicí a příčným průřezem. Souřadnice místa styku tyče a stěny (modelovým stykovým útvarem je bod) mohou být s dostatečnou přesností určeny jako souřadnice dotyku střednice tyče a souřadnicové roviny x y, zatímco v případě válce velkého průměru tento model není použitelný a úloha určit souřadnice bodu styku je poněkud složitější. Těleso je uloženo pohyblivě a setrvá v klidu v případě, že tečná složka stykové síly v drsné vazbě je menší než třecí síla. To může být splněno pro určitou množinu rovnovážných poloh, charakterizovanou intervalem hodnot parametru h. Po překročení mezní polohy, charakterizované minimální hodnotou parametru h, se konec tyče smýká po svislé stěně po kruhové dráze směrem dolů. Statické řešení je použitelné pouze pro stav na hranici klidu a pohybu. Maximální hodnota parametru h odpovídá poloze, kdy střednice tyče leží v souřadnicové rovině y z. V této poloze je klid zajištěn pro jakoukoli hodnotu součinitele smykového tření f B. y d l a G v= B + B h

73 5. PASIVNÍ ODPORY 18 Specifikace stykových vazeb tělesa: Stykové vazbě A, která může být modelována jako vazba typu NNTN, přiřadíme kinematickou dvojici sférickou (kḋṡ ), odebírající tělesu ζ = 3 stupně volnosti. Styková vazba B je typu NNTP a můžeme ji charakterizovat jako kinematickou dvojici obecnou. Při pohybu tyče nastane v podpoře smýkání, proto odebírá ζ = 1 stupeň volnosti. Kontrola pohyblivosti uložení tělesa: Pohyblivost tělesa určíme ze vztahu i = i v ( ζ i η) = 6 (3 + 1 ) = Těleso má o volnosti, je tedy uloženo pohyblivě a stykové vazby nezajišťují jeho statickou rovnováhu. Jeden ze stupňů volnosti odpovídá pohybu bodu B po kružnici v souřadnicové rovině x y (existuje závislost mezi vertikální a horizontální složkou posuvu), druhý stupeň volnosti odpovídá možné nezávislé rotaci tyče okolo přímé střednice (přesněji okolo spojnice středu sférické vazby a bodu styku obecné vazby). Tato rotace nenastane protože se jedná o homogenní těleso jehož těžiště leží na střednici. Počet omezených charakteristik deformace η = je zřejmý z charakteru uložení těleso se může volně deformovat. Jedná se tedy o normální stav uložení. Uvolnění tělesa s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodného souřadnicového systému: Uvolnění tyče s vyznačením směru relativního pohybu v uvolněné stykové vazbě B, která je typu NNTP, je znázorněno na obr Výpočtové řešení provedeme pro zadaný souřadnicový systém O x y z. Silové soustavy působící na uvolněné těleso, specifikace množiny neznámých nezávislých parametrů stykových výslednic: Na uvolněné těleso působí v obou případech dvě silové soustavy: soustavu zadaných (zde neúplně neznáme polohu nositelky) silových prvků π představuje síla G, i=1 y* y Ay A=O z z* Az x* Ax x G Obr. 5.6: soustavu neúplně zadaných výslednic π R v uvolněných stykových vazbách (neznáme souřadnice sil) představují síly A, B. Množina neznámých nezávislých parametrů silové soustavy π ν = π π R, působící na uvolněné těleso, je NP = { Ax, Ay, Az, Bn, h} Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti: - Počet a typ NP silové soustavy π ν je µ = µ f + µ r + µ M = = 5. - Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silovou soustavu π ν charakterizovat jako prostorovou soustavu sil, jejichž nositelky protínají jednu přímku. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je ν = ν +ν M = 3+ = 5. Toto je zřejmé a názorné při zavedení nového souřadnicového systému O x y z, kdy momentová podmínka k ose x je na první pohled triviální. V daném souřadnicovém systému O x y z jsou statické podmínky vzájemně závislé. Pouze pět z nich (libovolně zvolených) je nezávislých a plně postačujících pro řešení problému. Po ukončení řešení provedeme kontrolu zbývající šesté podmínky. v= B + BT B h Bn

74 5. PASIVNÍ ODPORY 19 - Nutná podmínka statické určitosti µ = ν µ r + µ M ν M je splněna, protože 5 = 5 a 1 <. Stykové závislosti pro pasívní účinky: V našem případě se jedná o vztah pro smykové tření (coulombovské) BT = Bn f B. Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykových závislostí: Pro řešení postačuje pět podmínek SR, po ukončení řešení zkontrolujeme momentovou podmínku M za. Po vyjádření statických podmínek, vyloučení závislého parametru pomocí stykové závislosti a vyjádření parametru h z geometrie, obdržíme soustavu statických rovnic pro NP x : Ax Bn f B h l a = y : Ay + Bn f B l a h l a G = z : Bn Az = M xa : G a + Bn M ya : Bn ( l a ( h + a f B l a h l a ) = l a h l a + a f B h l a ) = Řešení soustavy statických rovnic: V daném případě je soustava statických rovnic nelineární, po dosazení zadaných vstupů a řešení obdržíme následující hodnoty NP: Ax = 18, 9 N, Ay = 58, 6 N, Az = 91 N, Bn = 91 N, h = 9, 15 mm. Dosazením výstupních hodnot NP do nepoužité momentové podmínky SR provedeme kontrolu statické rovnováhy. M za : l a ( ) G l a h + Bn f B =, Nmm =. l a Momentová podmínka SR je splněna, nevýznamná odchylka souvisí s numerickým řešením. Závěr: Z výpočtového řešení vyplývá, že množina klidových rovnovážných poloh tyče je charakterizována intervalem hodnot parametru h <, ; 9, 15) mm. P.4 Určete úhel sklonu nakloněné roviny α, kdy se cívka, znázorněná na obr. 5.7 začne pohybovat. Specifikujte její pohybový stav. Je dáno: R = mm, G = 1 N, f A =, 15, e A =, 8 mm. Rozbor zadání: G Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je formulován. Problém lze modelovat a řešit jako rovinný. A Obr. 5.7: Možné pohybové stavy tělesa: Z praktické zkušenosti je zřejmé, že těleso je uloženo pohyblivě. V klidu setrvá, pokud nebude překonána hranice jeho klidové stability, po jejím překonání nastává pohyb. R = + s R/

75 5. PASIVNÍ ODPORY 11 Specifikace stykových vazeb tělesa: Styková vazba A je typu NNTP. Z hlediska omezování složek pohybu tělesa je podpoře A přiřazena kinematická dvojice obecná k.d.o. V závislosti na silových podmínkách může při pohybu nastat ve stykovém útvaru A smýkání nebo valení. Podle charakteru realizovaného relativního pohybu podpora omezuje odpovídající počet stupňů volnosti při valení ζ =, při smýkání ζ = 1. Na začátku výpočtového řešení charakter realizovaného pohybu neznáme, proto je třeba jej kvalifikovaně odhadnout. Pokud se řešením potvrdí, že předpoklad o pohybu byl správný, řešení končí. V případě, že podmínka realizace předpokládaného pohybového stavu není splněna, je nutno předpoklad změnit a řešení provést znovu. Praxí máme ověřeno, že po překonání hranice klidové stability nastane při běžných podmínkách ve styku valení. Podmínkou realizace valení je, aby tečná složka stykové síly, potřebná pro valení, byla menší než třecí síla t.j. At < AT (nepřekonána hranice klidové stability pro smýkání). Kontrola pohyblivosti uložení tělesa: Za předpokladu valení je pohyblivost tělesa i = i v (ζ η) = 3 ( ) = 1 Těleso je uloženo pohyblivě, stykové vazby nezajišťují jeho statickou rovnováhu. Počet omezených charakteristik deformace η = je zřejmý z charakteru uložení těleso se může volně deformovat. Jedná se tedy o normální stav uložení. Obr. 5.8: Uvolnění tělesa s vyznačením relativního pohybu v uvolněné stykové vazbě, volba vhodného souřadnicového systému: Při uvolnění tělesa (obr. 5.8) je třeba správně vyznačit předpokládaný (pravděpodobný) směr relativního pohybu v uvolněné stykové vazbě NNTP a zavést pasívní účinky, které vždy působí proti pohybu. Silové soustavy působící na uvolněné těleso, specifikace množiny neznámých nezávislých parametrů stykových výslednic: Na uvolněné těleso působí dvě silové soustavy: soustavu zadaných silových prvků π představuje síla G (zde neúplně neznáme směr nositelky síly G v zavedeném s.s ), soustavu neúplně zadaných výslednic π R v uvolněných stykových vazbách představuje styková síla A. Množina neznámých nezávislých parametrů silové soustavy π ν = π π R, působící na uvolněné těleso, je z y x R = + G M v A s A R/ An At NP = { An, At, α} Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti: Počet a typ NP silové soustavy π ν je µ = µ f + µ r + µ M = = 3. Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silovou soustavu π ν charakterizovat jako obecnou rovinnou. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je ν = ν + ν M = + 1 = 3. Nutná podmínka statické určitosti µ = ν µ r + µ M ν M je splněna, protože 3=3 a < 1. Stykové závislosti pro pasívní účinky: V daném případě se jedná o vztah pro valivý odpor (tuhé valení) M va = An e A

76 5. PASIVNÍ ODPORY 111 Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykových závislostí: Po vyjádření použitelných statických podmínek a vyloučení závislého parametru M va obdržíme soustavu statických rovnic pro NP x : G sin α + At = y : G cos α + An = M za : G R sin α An e A = Řešení soustavy statických rovnic: Soustava statických rovnic je v daném případě nelineární, po dosazení zadaných vstupů a řešení obdržíme následující hodnoty NP: An. = 1 N, At. = 5 N, α =, 9 o. Závěr: Pomocí vztahu AT = An f A je možno určit velikost třecí síly AT = 15 N. Z kontroly podmínky valení vyplývá, že relace At < AT je splněna a předpokládaný pohybový stav reálně nastane. P.5 Určete úhel sklonu nakloněné roviny α (obr. 5.9), kdy se cívka, na kterou je navinuto lano vázané k základnímu tělesu, začne pohybovat. Specifikujte její pohybový stav a porovnejte výsledky s řešením předchozí úlohy. Je dáno: R = mm, G = 1 N, f A =, 15, e A =, 8 mm. Rozbor zadání: Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je formulován. Problém budeme modelovat a řešit jako rovinný. R v= + G s A lano R/ Obr. 5.9: Možné pohybové stavy tělesa: Stejně jako v předchozí úloze je těleso uloženo pohyblivě. V klidu setrvá, pokud nebude překonána hranice jeho klidové stability, po jejím překonání nastane pohyb. Při pohybu se bude odvíjet lano navinuté na cívce, otáčející se cívka se bude smýkat po nakloněné rovině. Specifikace stykových vazeb tělesa: Styková vazba A je podpora typu NNTP, vazba B je vazba lanem, kterou lze modelovat jako vazbu NNTN. Z hlediska omezování složek pohybu tělesa je podpoře A i lanu B přiřazena kinematická dvojice obecná k.d.o. Při pohybu může ve vazbě A nastat pouze smýkání, možnost valení je vyloučena uložením tělesa a charakterem vnějšího silového působení. Možný pohybový stav tělesa je tak jednoznačně dán. Kontrola pohyblivosti uložení tělesa: Při smýkání ve vazbě A je pohyblivost tělesa i = i v ( ζ i η) = 3 (1 + 1 ) = 1 Těleso je uloženo pohyblivě, stykové vazby nezajišťují jeho statickou rovnováhu. Počet omezených charakteristik deformace η = je zřejmý z charakteru uložení těleso se může volně deformovat. Jedná se tedy o normální stav uložení. i=1 B

77 5. PASIVNÍ ODPORY 11 Uvolnění tělesa s vyznačením relativního pohybu v uvolněné stykové vazbě, volba vhodného souřadnicového systému: Při uvolnění tělesa (obr. 5.1) je třeba správně vyznačit předpokládaný (pravděpodobný) směr relativního pohybu v uvolněné stykové vazbě NNTP a zavést pasívní účinky, které vždy působí proti pohybu. Silové soustavy působící na uvolněné těleso, specifikace množiny Obr. 5.1: neznámých nezávislých parametrů stykových výslednic: Na uvolněné těleso působí dvě silové soustavy: soustavu zadaných silových prvků π představuje síla G (zde neúplně neznáme směr nositelky síly G v zavedeném s.s ), soustavu neúplně zadaných výslednic π R v uvolněných stykových vazbách představují stykové síly A a B. Množina neznámých nezávislých parametrů silové soustavy π ν = π π R, působící na uvolněné těleso, je NP = { An, Bn, α} Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti: - Počet a typ NP silové soustavy π ν je µ = µ f + µ r + µ M = = 3. - Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silovou soustavu π ν charakterizovat jako obecnou rovinnou. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je ν = ν + ν M = + 1 = 3. - Nutná podmínka statické určitosti µ = ν µ r + µ M ν M je splněna, protože 3=3 a < 1. Stykové závislosti pro pasívní účinky: V daném případě se jedná o vztah pro smykové tření (coulombovské) AT = An f A Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykových závislostí: Po vyjádření použitelných statických podmínek a vyloučení závislého parametru AT obdržíme soustavu statických rovnic pro NP x : G sin α + An f A + Bn = y : G cos α + An = M zs : An f A R Bn R = Řešení soustavy statických rovnic: Soustava statických rovnic je v daném případě nelineární, po dosazení zadaných vstupů a řešení obdržíme následující hodnoty NP: An. = 911, 9 N, Bn = 73, 6 N, α = 4, 3 o. Závěr: Z výsledků provedeného řešení je zřejmé, že realizace pohybu cívky vyžaduje podstatně větší úhel sklonu podložky než v předchozím případě, kdy se mohlo realizovat valení. y R z x G s A v A = + An B R/ AT Bn

78 5. PASIVNÍ ODPORY 113 P.6 Určete úhel sklonu nakloněné roviny α, kdy se dá do pohybu soustava těles, znázorněná na obr Na cívku je navinuto lano, které je vázáno ke kvádru. Specifikujte pohybový stav těles a porovnejte výsledky řešení s výsledky řešení předchozích dvou úloh. Je dáno: R = mm, G = 1 N, Q = N, f A =, 15, e A =, 8 mm, f C =, 1. Rozbor zadání: Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je formulován. Problém budeme modelovat a řešit jako rovinný. R G s A B v= + lano R/ R 1 3 C Obr. 5.11: Možné pohybové stavy tělesa: Již z názoru je zřejmé, že soustava těles je uložena pohyblivě. V klidu setrvá, pokud nebude překonána hranice její klidové stability, po překonávání hranice nastane pohyb. Podle silových podmínek ve stykových vazbách mohou reálně nastat různé pohybové stavy (například při velkém součiniteli tření ve styku kvádru a podložky může nastat stav, kdy kvádr setrvá v klidu a lano navinuté na cívce se odvíjí, přitom otáčející se cívka se smýká po podložce). Pravděpodobným reálným pohybovým stavem při zadaných hodnotách pasívních účinků může být stav, kdy se lano navíjí na cívku valící se po podložce, přičemž cívka za sebou táhne kvádr. Tento pohybový stav budeme dále předpokládat, na konci výpočtového řešení však musíme provést kontrolu splnění podmínek jeho realizace, t.j. podmínky valení cívky a tahového silového působení v laně. Specifikace stykových vazeb těles: Stykové vazby A (podpora) a C (jednostranná posuvná vazba) jsou typu NNTP, vazbu B (vazba lanem) lze modelovat jako vazbu NNTN. Z hlediska omezování složek pohybu tělesa je podpoře A i lanu B přiřazena kinematická dvojice obecná k.d.o, posuvné vazbě kinematická dvojice posuvná k.d.p. Při pohybu předpokládáme ve vazbě A valení (ζ A = ), ve vazbě C smýkání (ζ C = ). Kontrola pohyblivosti uložení soustavy těles: Pohyblivost soustavy těles určíme ze vztahu i = (n 1) i v ( 3 ζ i η) = 3 ( ) = 1, i=1 kde n je počet těles v soustavě včetně základního tělesa. Soustava má při předpokládaných pohybových stavech 1 o volnosti, jedná se tedy o pohyblivé uložení. Počet omezených charakteristik deformace η = je zřejmý z charakteru uložení obě tělesa se mohou volně deformovat. Jedná se tedy o normální stav uložení. Uvolnění těles s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodného souřadnicového systému: Nejdříve zvolíme vhodný souřadnicový systém, ve kterém provedeme řešení. Pak uvolníme jednotlivá tělesa soustavy, přičemž v uvolněných stykových vazbách typu NNTP vyznačíme směr relativního pohybu a zavedeme pasívní účinky, které vždy působí proti y z R x 3 G B s A An R/ At Bn M va Bn Obr. 5.1: R B C M C Cn Q Q R R CT C + pohybu. Uvolnění je znázorněno na obr Pro výpočtové řešení použijeme zvolený souřadnicový systém O x y z. v=

79 5. PASIVNÍ ODPORY 114 Poznámka: Uvolnění všech těles a řešení SR soustavy musí být provedeno v jejich daných polohách a v jednom (společném) souřadnicovém systému. ormulace podmínek SR pro jednotlivá tělesa v pootočených polohách nebo v rozdílných souřadnicových systémech nesplňuje podmínky axiomu o vzájemném působení (principu akce a reakce)!! Silové soustavy působící na uvolněná tělesa, specifikace množiny neznámých nezávislých parametrů stykových výslednic: Na uvolněná tělesa působí v obou případech silové soustavy vnějších silových prvků π i a soustavy π Ri stykových výslednic působících v uvolněných stykových vazbách. Výsledná množina neznámých nezávislých parametrů silových soustav π ν i = π i π Ri, působících na uvolněná tělesa, je NP = NP i NP = { An, At, Bn, Cn, M Cn, α} Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti: - Počet a typ NP je µ = µ f + µ r + µ M = = 6. - Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silové soustavy π ν i, působící na uvolněná tělesa, charakterizovat jako obecné rovinné soustavy sil. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je ν = ν i = ν + ν M = 4 + = 6. - Nutná podmínka statické určitosti µ = ν µ r + µ M ν M je splněna, protože 6 = 6 a 1 <. Stykové závislosti pro pasívní účinky: Styková závislost ve vazbě A (tuhé valení) je popsána vztahem M va = An e A, styková závislost ve vazbě C (coulombovské smykové tření) je popsána vztahem CT = Cn f C. Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykových závislostí: Po vyjádření statických podmínek a vyloučení závislých parametrů pomocí stykových závislostí obdržíme soustavu statických rovnic pro NP. Těleso : Těleso 3: x : At + Bn G sin α = x : Bn + Cn f C Q sin α = y : An G cos α = y : An G cos α = M zs : At R An e A Bn R = M zs : At R An e A Bn R = Řešení soustavy statických rovnic: Soustava statických rovnic je nelineární, po dosazení zadaných vstupů a řešení obdržíme následující hodnoty NP a ZP: An = 997, 1 N, At = 7, 9 N, AT = 149, 6 N, Bn = 47, 9 N, Cn = 1994, N, CT = 199, 4 N, M Cn = 354, Nm, α = 4, 35 o. Kontrola splnění předpokladů pohybového stavu, závěr: Z výsledků řešení vyplývá, že podmínka valení At < AT ve vazbě A je splněna a vazby B

80 5. PASIVNÍ ODPORY 115 a C jsou funkční. Podmínky realizace pohybového stavu, předpokládaného na začátku řešení jsou splněny a řešení končí. Z porovnání s výsledky předchozích dvou úloh představujících dva limitní případy řešené úlohy (kvádr neovlivňující pohyb cívky resp. nepohyblivě uložený kvádr) vyplývá, že výsledky řešení jsou reálné. P.7 Určete úhel sklonu nakloněné roviny α, kdy se polovina homogenního válce, znázorněná na obr. 5.13, začne pohybovat. Specifikujte pohybový stav tělesa a určete jeho polohu při pohybu, charakterizovanou úhlem β. Je dáno: R = mm, G = 5 N, e A =, 8 mm, f A =, 15. Rozbor zadání: Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je formulován. Problém budeme modelovat a řešit jako rovinný. S G T A Obr. 5.13: Možné pohybové stavy tělesa: Je zřejmé, že těleso je uloženo pohyblivě. V klidu setrvá, pokud nebude překonána hranice jeho klidové stability, charakterizovaná určitou hodnotou úhlu α. Při jejím překonání nastane pohyb. Obecně může při pohybu tělesa, vázaného jednou k.d.o., nastat buď smýkání nebo valení. Z výsledků řešení pohybu rotačně symetrického tělesa jehož těžiště leželo na ose rotace (úloha P.4) vyplynulo, že při určité mezní hodnotě úhlu α nastává valení, při kterém vazba odebírá ζ = stupně volnosti. V této úloze se zabýváme řešením pohybu tělesa, které má tvar poloviny válce jehož těžiště neleží na ose možné rotace. Nastane i v tomto případě valení? Při úvahách o reálnosti valení vyjdeme z analýzy pohybového stavu a charakteru silového působení v procesu dostatečně pomalého naklánění podložky, kdy v každé jeho fázi je splněna věta o silách: - Ve výchozím stavu (horizontální poloha podložky) je těleso v klidu, společná vertikální nositelka tíhové a stykové výslednice přitom prochází středem možného otáčení S, těžištěm tělesa a modelovým stykovým bodem A. - V počáteční fázi naklánění, charakterizované relacemi M An < M va At < AT resp. x < e α < arctan f A, je v důsledku drsné podpory (za klidu má stejné vlastnosti jako vazba pevná) těleso v klidu. Společná vertikální nositelka silových výslednic již neprochází body S a A a není kolmá na podložku. - Po dosažení hranice klidové stability, určené mezními hodnotami x = e resp. M An = M va (při α < arctan f A ), začíná valení tělesa. Moment valivého odporu je v rovnováze s momentem tíhové síly ke stykovému bodu A. - Při dalším zvětšování úhlu sklonu α (stále je x = e α < arctan f A ) pokračuje valení tělesa. Moment valivého odporu nezávisí na změně úhlu α, při zvětšování úhlu α se nastavuje rovnovážná poloha tělesa vůči podložce tak, že v každém okamžiku naklánění jsou splněny podmínky SR. - Po dosažení hodnoty úhlu α = arctan f A (kdy At = AT ) začíná smýkání tělesa po nakloněné podložce, přičemž jeho relativní natočení vůči podložce (stabilní rovnovážná poloha) je charakterizováno úhlem β. Toto je reálný pohybový stav tělesa, který budeme při dalším řešení předpokládat. Z předchozího rozboru vyplývá, že reálným pohybovým stavem je smýkání tělesa po podložce, přičemž dojde k ustavení tělesa v určité rovnovážné poloze. R

81 5. PASIVNÍ ODPORY 116 Specifikace stykových vazeb tělesa: Stykové vazbě A, která je typu NNTP, je z hlediska omezování složek pohybu tělesa přiřazena kinematická dvojice obecná. Při smýkání odebírá ζ = 1 stupeň volnosti. Kontrola pohyblivosti uložení tělesa: Za předpokladu smýkání je pohyblivost tělesa i = i v (ζ η) = 3 (1 ) = Těleso je uloženo pohyblivě, stykové vazby nezajišťují jeho statickou rovnováhu. Počet omezených charakteristik deformace η = je zřejmý z charakteru uložení těleso se může volně deformovat. Jedná se tedy o normální stav uložení. Dva stupně volnosti tělesa představují jeho možné nezávislé posouvání a rotaci. Uvolnění tělesa s vyznačením relativního pohybu v uvolněné stykové vazbě, volba vhodného souřadnicového systému: Při uvolnění tělesa (obr. 5.14) je třeba správně vyznačit předpokládaný (pravděpodobný) směr relativního pohybu v uvolněné stykové vazbě NNTP a zavést pasívní účinky. Silové soustavy působící na uvolněné těleso, specifikace množiny neznámých nezávislých parametrů stykových výslednic: Obr. 5.14: Pro větší názornost zvolíme takové uvolnění tělesa, při kterém nahradíme soustavu stykových sil jedinou silou A. Tu vyjádříme pomocí normálné složky An a tečné složky (třecí síly) AT. Na uvolněné těleso působí dvě silové soustavy: soustavu zadaných silových prvků π představuje síla G (zde zadaná neúplně neznáme směr nositelky v souřṡystému x y z), soustavu neúplně zadaných výslednic π R v uvolněných stykových vazbách představuje styková síla A. Množina neznámých nezávislých parametrů silové soustavy π ν = π π R, působící na uvolněné těleso, je NP = { An, α, β} y z x S 4R 3 G A AT An v=konst Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti: - Počet a typ NP silové soustavy π ν je µ = µ f + µ r + µ M = = 3. - Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silovou soustavu π ν charakterizovat jako obecnou rovinnou. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je ν = ν + ν M = + 1 = 3. - Nutná podmínka statické určitosti µ = ν µ r +µ M ν M je splněna, protože 3 = 3 a 1 = 1. e A R Stykové závislosti pro pasívní účinky: V daném případě se jedná o vztah pro smykové tření (coulombovské) AT = An f A Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykových závislostí: Po vyjádření použitelných statických podmínek a vyloučení závislého parametru AT obdr-

82 5. PASIVNÍ ODPORY 117 žíme soustavu statických rovnic pro NP x : G sin α + An f A = y : G cos α + An = [ M za : G R sin α 4 R ] sin (α + β) An e A = 3 π Řešení soustavy statických rovnic: Soustava statických rovnic je v daném případě nelineární, po dosazení zadaných vstupů a řešení obdržíme následující hodnoty NP: An = 494, 5 N, α = 8, 53 o, β = 11, 35 o. Závěr: Z výsledků řešení úlohy vyplývá, že předpoklad smýkání tělesa byl správný. Vypočtené hodnoty úhlů α a β jsou reálné a úhel β odpovídá rovnovážné poloze. Lze se o tom přesvědčit dosazením výsledků do statických podmínek a jejich kontrolou. P.8 Při vykládání z vagonu je těžké rotačně symetrické těleso spouštěno po podložce tak, jak je to znázorněno na obr Těleso je homogenní a problém se vyznačuje rovinou symetrie z hlediska geometrie a stykových vazeb. Určete, jak velkou silou je třeba přidržovat lano, aby pohyb tělesa byl dostatečně pomalý a byly zaručeny požadované podmínky bezpečnosti. Je dáno: R = 6 mm, r = 5 mm, G = 3 N, α = 3 o, β = 135 o, γ = 75 o, e A = 1, 5 mm, f A =, 3, f B =, 3 (vláknové tření mezi lanem a spouštěným tělesem), f B =, (vláknové tření mezi lanem a základním tělesem). B lano B * A G konst Obr. 5.15: Rozbor zadání: Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je formulován. Problém můžeme modelovat a řešit jako rovinný. Možné pohybové stavy tělesa: Je zřejmé, že těleso je uloženo pohyblivě. Zatímco podložka pohyb tělesa omezuje a ovlivňuje, lano jeho pohyb pouze ovlivňuje. Při pohybu tělesa může nastat buď smýkání nebo valení. Na základě praktické zkušenosti lze předpokládat, že při běžných hodnotách pasívních účinků v podpoře A nastane s velkou pravděpodobností valení. Ve styku lana působí pásové tření, které pohyb pouze ovlivní. Specifikace stykových vazeb tělesa: Stykové vazbě A, která je typu NNTP, je z hlediska omezování složek pohybu tělesa přiřazena kinematická dvojice obecná. Při valení odebírá ζ = stupně volnosti. Po obdržení výsledků řešení bude třeba splnění podmínky valení At < AT zkontrolovat! Lano B pohyb tělesa pouze ovlivňuje, proto mu neodebírá žádný stupeň volnosti. Kontrola pohyblivosti uložení tělesa: Za předpokladu valení je pohyblivost tělesa i = i v (ζ η) = 3 ( ) = 1 Těleso je uloženo pohyblivě, stykové vazby nezajišťují jeho statickou rovnováhu. Počet ome-

83 5. PASIVNÍ ODPORY 118 zených charakteristik deformace η = je zřejmý z charakteru uložení těleso se může volně deformovat. Jedná se tedy o normální stav uložení. Uvolnění tělesa s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodného souřadnicového systému: Při uvolnění tělesa (obr. 5.16) je třeba vyznačit předpokládaný (pravděpodobný) směr relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách NNTP a správně orientovat pasívní účinky. Řešení provedeme v souř. systému x y z. NP = { An, At, } M A va Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti: Obr. 5.16: - Počet a typ NP silové soustavy π ν je µ = µ f + µ r + µ M = = 3. z y x At B B* An G B S konst - Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silovou soustavu π ν charakterizovat jako obecnou rovinnou. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je ν = ν + ν M = + 1 = 3. - Nutná podmínka statické určitosti µ = ν µ r + µ M ν M je splněna, protože 3 = 3 a < 1. Stykové závislosti pro pasívní účinky: V daném případě se jedná o vztahy pro valivý odpor ve vazbě A a vláknové tření ve vazbách B a B*. M va = An e A, B = e γf B, B = B e βf B Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykových závislostí: Po vyjádření použitelných statických podmínek a vyloučení závislých parametrů M va a B obdržíme soustavu statických rovnic pro NP [ ] x : G sin α e γf B cos (β π) + e βf B At = y : An + e γf B sin (β π) G cosα = ( M zs : An e A At R + r e γf B e βf B 1 ) = Řešení soustavy statických rovnic: Soustava statických rovnic je v daném případě lineární, po dosazení zadaných vstupů a řešení obdržíme následující hodnoty NP: An = 33, 8 N, At = 36, 1 N, = 3, N. Závěr: S využitím stykových závislostí je možno dopočítat velikosti sil B, B v laně a velikost třecí síly AT = 691, 1 N. Protože je splněna podmínka valení At < AT, byl předpoklad valení tělesa správný a řešení je skončeno.

84 5. PASIVNÍ ODPORY 119 P.9 Nosník, podepřený vzpěrou (obr. 5.17), je zatížen spojitým zatížením, charakterizovaným liniovou silou q. Určete při jaké velikosti síly, působící na vzpěru, dojde k pohybu soustavy a specifikujte pohybový stav těles. Vlastní tíhu těles a pasívní odpor v rotační vazbě lze považovat za nevýznamné. Je dáno: l = mm, a = 5 mm, b = 3 mm, q = 1 N/m, f B =,, f C =, 4. A 1 l q Obr. 5.17: Rozbor zadání, možné pohybové stavy těles: Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je zadán. Protože přímé štíhlé tyče, které lze modelovat jako prutová tělesa, je možno považovat za soustavu těles v rovině, budeme problém řešit jako rovinný. Již z názoru vyplývá, že soustava je uložena pohyblivě a setrvá v klidu, dokud nedojde k překonání hranice klidové stability (kdy tečné složky stykových sil v drsných vazbách dosáhnou velikosti třecích sil). To je splněno do určité velikosti síly, po překročení její mezní hodnoty nastane pohyb. Charakter pohybu vzpěry závisí na silových podmínkách ve stykových útvarech buď může nastat valení v podpoře C a smýkání v B, nebo valení v podpoře B a smýkání v C, nebo smýkání v B i C. Protože je f B < f C jeví se jako nejreálnější první případ, vzhledem k b < a by však mohl nastat i případ druhý. Proto provedeme řešení a analýzu obou předpokládaných pohybových stavů, dále označených jako a) a b). Specifikace stykových vazeb těles: Stykové vazbě A, která může být modelována jako vazba typu NNTN (na hranici klidové stability je natáčení ve vazbě A nevýznamné), přiřadíme kinematickou dvojici rotační (kḋṙ ), odebírající tělesu ζ = stupně volnosti. Stykové vazby B a C jsou typu NNTP a můžeme je charakterizovat jako kinematické dvojice obecné. Při pohybu vzpěry nastane v jedné z nich smýkání (odebírá ζ = 1 stupeň volnosti), ve druhé nastane valení (odebírá ζ = stupně volnosti). Kontrola pohyblivosti uložení soustavy těles: Pohyblivost soustavy těles určíme ze vztahu i = (n 1) i v ( 3 ζ i η) = 3 ( ) = 1, i=1 kde n je počet těles v soustavě včetně základního tělesa. Soustava má při předpokládaných pohybových stavech 1 o volnosti, jedná se tedy o pohyblivé uložení. Počet omezených charakteristik deformace η = je zřejmý z charakteru uložení obě tělesa se mohou volně deformovat. Jedná se tedy o normální stav uložení. Uvolnění těles s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodného souřadnicového systému: Nejdříve zvolíme vhodný souřadnicový systém, ve kterém provedeme řešení. Pak uvolníme jednotlivá tělesa soustavy, přičemž v uvolněných stykových vazbách typu NNTP vyznačíme směr relativního pohybu. Ve vazbě, ve které nastává valení, zanedbáme pasívní účinky vzhledem k jejich nepodstatnému vlivu na mezní velikost síly. a) Uvolnění pro první předpoklad pohybového stavu je znázorněno na obr. 5.18(a) b) Uvolnění pro druhý předpoklad je znázorněno na obr. 5.18(b). Pro výpočtové řešení použijeme zadaný souřadnicový systém O x y z. 3 C 1 B a b

85 5. PASIVNÍ ODPORY 1 q Bn Ax Ay y z A x l (a) B BT v= B + BT a v= B + C b v= C Bn Ct Cn Ax q Bn Bt v= B z y Ay A x l (b) Obr. 5.18: B v= B Bn Bt C CT a b Cn v= C + Silové soustavy působící na uvolněná tělesa, specifikace množiny neznámých nezávislých parametrů stykových výslednic: Na uvolněná tělesa působí v obou případech silové soustavy vnějších silových prvků π i a soustavy π Ri stykových výslednic působících v uvolněných stykových vazbách. Výsledné množiny neznámých nezávislých parametrů jsou ad a) NP = { Ax, Ay, Bn, Cn, Ct, } ad b) NP = { Ax, Ay, Bn, Bt, Cn, } Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti: - Počet a typ NP je v obou případech µ = µ f + µ r + µ M = = 6. - Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silové soustavy π ν i, působící na uvolněná tělesa, charakterizovat jako obecné rovinné soustavy sil. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je v obou případech ν = ν i = ν + ν M = 4 + = 6. - Nutná podmínka statické určitosti µ = ν µ r + µ M ν M je splněna, protože 6 = 6 a <. Stykové závislosti pro pasívní účinky: V obou případech je významným pasívním účinkem smykové tření (coulombovské) V případě ad. a) je styková závislost popsána vztahem BT = Bn f B, v případě ad. b) vztahem CT = Cn f C. Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykových závislostí: Po vyjádření statických podmínek a vyloučení závislého parametru pomocí stykové závislosti obdržíme soustavu statických rovnic pro NP. Řešení si zjednodušíme tím, že vezmeme v úvahu symetrii zatížení a stykových výslednic tělesa. Ze symetrie vyplývá, že Ay = Bn = q l a Ax = BT (pro případ a), resp Ax = Bt (pro případ b). Pro další řešení sestavíme statické rovnice pouze pro těleso 3.

86 5. PASIVNÍ ODPORY 11 ad a): ad b): x : Bn f B Ct + = x : Bt Cn f C + = y : Bn + Cn = y : Bn + Cn = M zc : Bn f B (a + b) b = M zb : a Cn f C (a + b) = Řešení soustavy statických rovnic: V obou případech jsou soustavy statických rovnic lineární, po dosazení zadaných vstupů a snadném řešení obdržíme následující hodnoty NP a ZP: ad a) : Ax = N, Ay = Bn = Cn = 1 N, Ct = 333, 3 N, = 533, 3 N, CT = 4 N Kontrola splnění předpokladů pohybového stavu, závěr: Z výsledků řešení obou případů vylývá: ad b) : Ax = N, Ay = Bn = Cn = 1 N, Bt = 4 N, = 64 N, BT = N ad a) Předpoklad valení ve vazbě C a smýkání ve vazbě B je splněn, protože vyšlo Ct < CT. ad b) Předpoklad valení ve vazbě B a smýkání ve vazbě C není splněn, protože vyšlo Bt > BT. Rovněž z porovnání velikostí síly vyplývá, že reálně nastane ten z možných pohybových stavů, jehož realizace je nejméně energeticky náročná, t.j. případ a). P.1 Trám, položený na základním tělese a na podstavci (obr. 5.19), je třeba posunout v naznačeném směru. Určete velikost síly, potřebnou pro dosažení pohybu a zkontrolujte pohybový stav soustavy. Překlápění podstavce při posouvání trámu je nepřípustné. Je dáno: l = 5 mm, t = 15 mm, h = 1 mm, b = 5 mm, v = 35 mm, Q = 1 N, G = 3 N, f A =, 3, f B =,, f C = f D =, 4. l/6 1 A l/3 l l/ l/6 Q Obr. 5.19: Rozbor zadání, možné pohybové stavy těles: Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je zadán. Při výpočtovém řešení budeme předpokládat existenci roviny symetrie a problém budeme řešit jako rovinný. Již z názoru vyplývá, že soustava je uložena pohyblivě. Při pohybu trámu může reálně nastat jeden z více možných pohybových stavů soustavy. Pravděpodobným (a požadovaným) stavem je smýkání trámu po základním tělese a podstavci, který setrvává v klidu. V závislosti na silových podmínkách ve stykových vazbách však může nastat stav, při kterém se trám smýká po základním tělese a podstavec se překlápí (jeho styk se základním tělesem ve vazbě C končí a nastává valení vazbách B a D) respṡtav, kdy se podstavec spolu s trámem posouvá po základním tělese (relativní pohyb mezi trámem a podstavcem nenastává). Při dalším řešení budeme předpokládat první případ pohybového stavu, na konci řešení bude nutno zkontrolovat splnění jeho stykových podmínek. Specifikace stykových vazeb tělesa: Všechny stykové vazby mohou být modelovány jako podpory typu NNTP a můžeme je 3 v 1 C B G b D t h

87 5. PASIVNÍ ODPORY 1 charakterizovat jako kinematické dvojice obecné. Při předpokládaném charakteru pohybu trámu nastane ve vazbách A a B smýkání (odebírají po ζ = 1 stupni volnosti), ve vazbách C a D pohyb nenastává. V první fázi řešení můžeme podstavec považovat za součást základního tělesa a zabývat se pouze pohybem trámu. Kontrola pohyblivosti uložení soustavy těles: Pohyblivost trámu určíme ze vztahu i = i v ( ζ i η) = 3 (1 + 1 ) = 1 V předpokládaném pohybovém stavu má trám 1 o volnosti, jeho uložení je tedy pohyblivé. Počet omezených charakteristik deformace η = je zřejmý z charakteru uložení trám se může volně deformovat. Jedná se tedy o normální stav uložení. Uvolnění těles s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodného souřadnicového systému: Jako vhodný byl pro řešení byl zvolen souřadnicový systém O x y z. Uvolnění trámu s vyznačením směru relativního pohybu ve vazbách a zavedenými pasívními účinky je znázorněno na obr. 5.. i=1 Silové soustavy působící na uvolněné těleso, specifikace množiny neznámých nezávislých parametrů stykových výslednic: Na uvolněné těleso působí úplně zadaná silová soustava vnějších silových prvků π a neúplně zadaná soustava π R stykových výslednic, působících v uvolněných stykových vazbách. Výsledná množina neznámých nezávislých parametrů je NP = { An, Bn, }, po jejich určení bude možno dopočítat složky stykových sil ve vazbách C a D. Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti: - Počet a typ NP je µ = µ f + µ r + µ M = = 3. A AT An y z v A = + x Q Obr. 5.: 3 B BT v C =v D = Ct Bn BT B v B = + G Bn v B = + C D Dt Cn Dn - Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silovou soustavu π ν, působící na uvolněné těleso, charakterizovat jako obecnou rovinnou. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je ν = ν + ν M = + 1 = 3. - Nutná podmínka statické určitosti µ = ν µ r + µ M ν M je splněna, protože 3 = 3 a < 1. Stykové závislosti pro pasívní účinky: Významným pasívním účinkem v obou vazbách je smykové tření (coulombovské), popsané stykovými závislostmi AT = An f A a BT = Bn f B. Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykových závislostí: Po vyloučení ZP z použitelných statických podmínek pomocí stykových závislostí dostáváme

88 5. PASIVNÍ ODPORY 13 soustavu statických rovnic pro určení NP. x : An f A Bn f B = y : An + Bn Q = l M za : Q 3 + l Bn = Řešení soustavy statických rovnic: Soustava statických rovnic je lineární, po dosazení zadaných vstupů a snadném řešení obdržíme následující hodnoty NP a ZP: An = 333, 3 N, Bn = 666, 7 N, = 33, 3 N, AT = 1 N, BT = 133, 3 N. Kontrola splnění předpokladů pohybového stavu, závěr: Po určení hodnot NP a ZP je nutno zkontrolovat splnění stykových omezení předpokládaného pohybového stavu. Těmi jsou v daném případě podmínky, požadující aby tečné síly ve stykových vazbách C a D byly menší než třecí síly a aby normálné složky v obou vazbách byly tlakové (podmínky funkčnosti). Při vyjímková statické neurčitosti uložení podstavce za klidu (pohyblivé uložení s omezením deformace) nelze ve statice určit tečné složky stykových sil v jeho vazbách se základním tělesem. Můžeme určit pouze velikost výsledné tečné síly vt = Ct + Dt (tečné složky stykových sil Ct a Dt mají společnou nositelku), což pro kontrolu reálnosti klidového stavu podstavce plně postačuje. Ke kontrole splnění stykových omezení použijeme vztahy x : BT vt =, y : Bn G + Cn + Dn =, M zd : ( Bn + G ) b/ BT h Cn b =, z nichž po řešení vylývají hodnoty Cn = 16, 7 N, Dn = 75 N a vt = 133, 3 N. Dosazením do vztahů pro smykové tření lze určit celkovou třecí sílu vt = CT + DT = 386, 7 N. Protože Cn > a vt < vt lze konstatovat, že styková omezení předpokládaného pohybového stavu jsou splněna a tento pohybový stav je reálný. P.11 Soustava těles, znázorněná na obr. 5.1, má být v klidu. Určete při jakém rozmezí velikosti síly tento požadovaný pohybový stav nastane. Je dáno: l = 8 mm, h = 4 mm, v = 3 mm, R = mm, α = 3 o, G = 3 N, G3 = 15 N, f A =, 4, f B =, 5, e C = mm, f C =, 3. Rozbor zadání: Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je formulován. Problém budeme modelovat a řešit jako rovinný. h v V= + A G l B Obr. 5.1: Možné pohybové stavy těles: Již z názoru je zřejmé, že soustava těles, vázaných stykovými vazbami typu NNTP, je uložena pohyblivě. V klidu setrvá, jestliže velikost vnější síly bude z intervalu ( min, max ). Při velikosti max bude překonána hranice její klidové stability a nastane pohyb směrem nahoru, při velikosti min nastane pohyb směrem dolů. Protože za klidu není daný problém ve statice řešitelný, budeme postupně řešit stavy na obou hranicích klidové stability. Na počátku výpočtového řešení je třeba (na základě zkušenosti) odhadnout nejpravděpodobnější charakter relativního pohybu v jednotlivých vazbách při pohybu soustavy. Nesprávný úvodní předpoklad pohybového stavu prodlužuje řešení. V daném případě je velmi 3 G3 R C 1

89 5. PASIVNÍ ODPORY 14 pravděpodobné, že ve vazbě A nastane smýkání. Vazby B a C jsou typu podpora. Pokud ve vazbě C nastane valení, nemůže ve vazbě B nastat jiný pohybový stav než smýkání (je to důsledek neprostupnosti těles). Smýkání ve vazbě C je méně pravděpodobné mohlo by nastat při malém součiniteli smykového tření ve vazbě C a velkém součiniteli smykového tření ve vazbě B (v tomto případě by nastal ve vazbě B relativní klid). Při řešení tedy budeme předpokládat smýkání ve vazbách A a B a valení ve vazbě C. Specifikace stykových vazeb těles: Styková vazba A je jednostranná posuvná vazba, jíž je přiřazena kinematická dvojice posuvná (k.d.p ) odebírající ζ = stupně volnosti. Vazbám B a C jsou přiřazeny kinematické dvojice obecné (k.d.o ), tyto vazby odebírají ζ = 1 (smýkání) a ζ = (valení) stupňů volnosti. Kontrola pohyblivosti uložení soustavy těles: Pohyblivost soustavy těles určíme ze vztahu i = (n 1) i v ( 3 ζ i η) = 3 ( ) = 1, i=1 kde n je počet těles v soustavě včetně základního tělesa. Soustava má při předpokládaných pohybových stavech 1 o volnosti, jedná se tedy o pohyblivé uložení. Počet omezených charakteristik deformace η = je zřejmý z charakteru uložení obě tělesa se mohou volně deformovat. Jedná se tedy o normální stav uložení. Uvolnění těles s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodného souřadnicového systému: Nejdříve zvolíme vhodný souřadnicový systém O x y z, ve kterém provedeme řešení. Pak uvolníme jednotlivá tělesa soustavy, přičemž v uvolněných stykových vazbách typu NNTP vyznačíme směr relativního pohybu a zavedeme pasívní účinky působící proti pohybu. Uvolnění pro první předpoklad pohybového stavu (pohyb nahoru) je znázorněno na obrázku obr. 5.(a), uvolnění pro druhý předpoklad (pohyb dolů) na obrázku obr. 5.(b). z y AT x M A A 3 An G V= + A B v= B + BT Bn v= B + Bn BT B M vc G3 = C C + Cn Ct M A 3 A An AT G B V A = + BT Bn v= B + v= B + Bn BT B M vc G3 = C C + Cn Ct (a) Obr. 5.: (b) NP = { An, M An, Bn, Cn, Ct, } Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti: - Počet a typ NP je µ = µ f + µ r + µ M = = 6. - Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silové soustavy π ν i, působící na uvolněná tělesa, charakterizovat jako obecné rovinné soustavy sil. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je ν = ν i = ν + ν M = 4 + = 6. - Nutná podmínka statické určitosti µ = ν µ r + µ M ν M je splněna, protože 6 = 6 a 1 <.

90 5. PASIVNÍ ODPORY 15 Stykové závislosti pro pasívní účinky: Styková závislost ve vazbách A a B (coulombovské smykové tření) je popsána vztahy AT = An f A a BT = Bn f B, styková závislost ve vazbě C (tuhé valení) je popsána vztahem M vc = Cn e C. Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykových závislostí: Po vyjádření statických podmínek a vyloučení závislých parametrů pomocí stykových závislostí obdržíme pro oba předpokládané stavy soustavy statických rovnic pro určení NP. Pohyb nahoru Pohyb dolů Těleso : Těleso : x : G sin α Bn An f A + = x : G sin α Bn An f A + = y : G cos α + An + Bn f B = y : Bn f B G3 cos α + Cn = M za : G (h sin α l cos α) + M za : G (h sin α l cos α) + + M An + Bn (R + l f B ) v = + M An + Bn (R l f B ) v = Těleso 3 : Těleso 3 : x : Bn G3 sin α Ct = x : Bn G3 sin α + Ct = y : Bn f B G3 cos α + Cn = y : Bn f B G3 cos α + Cn = M zs : Bn f B R + Cn e C Ct R = M zs : Bn f B R Cn e C + Ct R = Řešení soustavy statických rovnic: Soustavy statických rovnic jsou nelineární, po dosazení zadaných vstupů a řešení obdržíme následující hodnoty NP a ZP: Pohyb nahoru An = 34, 3 N, M An = 136, 8 Nm, Bn = 1, 1 N, Cn = 155, 4 N, Ct = 7, 1 N, = 345, 8 N, CT = 46, 6 N Pohyb dolů An = 74, 6 N, M An = 13, 7 Nm, Bn = 59, 1 N, Cn = 115, 1 N, Ct = 15, 9 N, = 99, N, CT = 34, 5 N Kontrola splnění předpokladů pohybového stavu, závěr: Z výsledků řešení vyplývá, že podmínka valení Ct < CT ve vazbě C je splněna v obou řešených pohybových stavech a řešení končí. Soustava setrvá v klidu, jestliže velikost vnější síly bude z intervalu (99,, 345, 8). P.1 Určete velikost síly potřebnou k dosažení pohybu homogenního válce, znázorněného na obr. 5.3, v naznačeném směru. Na počátku působení hnací síly je válec v kontaktu s hranolem, představujícím překážku. Analyzujte možné pohybové stavy válce a hranolu a určete, který z nich reálně nastane, jestliže výška překážky je h = 1 mm. Dále je dáno: R = mm, b = mm, G = 5 N, G3 = 5 N, f A =, 3, e A = mm, f B =, 3, e B = mm, f C =, 4. V rámci samostatné přípravy proveďte řešení pro případ h = mm. R v S = + S G B 3 A C 1 Obr. 5.3: b G3 h

91 5. PASIVNÍ ODPORY 16 Rozbor zadání, možné pohybové stavy těles: Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je zadán. Při výpočtovém řešení budeme předpokládat existenci roviny symetrie a problém budeme řešit jako rovinný. Je zřejmé, že soustava je uložena pohyblivě. Při pohybu válce může reálně nastat jeden ze tří možných pohybových stavů soustavy. To, který reálně nastane, bude záviset na výšce a tíze překážky a vlastnostech styku. Při malé výšce hranolu je pravděpodobné valení válce přes kvádr, který zůstává v klidu. Při velké výšce kvádru zřejmě nastane případ, kdy se válec valí po podložce a tlačí před sebou smýkající se hranol. Může však nastat i případ, kdy na začátku valení válce po hranolu dojde k překlápění (t.j. valení) hranolu vázaného k základnímu tělesu podmíněně funkční jednostrannou posuvnou vazbou. Protože zadaná výška hranolu h je malá v porovnání s poloměrem válce R, předpokládejme dále, že nastane první z možných pohybových stavů. Na konci řešení bude třeba zkontrolovat splnění stykových podmínek tohoto pohybového stavu. Specifikace stykových vazeb tělesa: Všechny stykové vazby jsou typu NNTP. Při valení válce přes hranol přestává být podpora A funkční (styk válce s podložkou končí), v podpoře B se realizuje se valení (ζ = ) a posuvná vazba C se chová jako pevná (nepřekonána hranice klidové stability ζ = 3) Kontrola pohyblivosti uložení soustavy těles: Pohyblivost soustavy určíme ze vztahu i = (n 1) i v ( ζ i η) = 3 ( + 3 ) = 1, i=1 kde n je počet těles v soustavě včetně základního tělesa. Soustava má při předpokládaných pohybových stavech 1 o volnosti, jedná se tedy o pohyblivé uložení. Uvolnění těles s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodného souřadnicového systému: Uvolnění těles ve zvoleném souřadnicovém systému O x y z s vyznačením směru relativního pohybu ve vazbách a zavedenými pasívními účinky je znázorněno na obr NP = { Bn, Bt, Cn, Ct, M Cn, } Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti: - Počet a typ NP je µ = µ f + µ r + µ M = = 6. R G A S B = B + Bn Bt M vb Obr. 5.4: = B + M vb Bt y x z Bn B G3 C 3 Ct v C = M Cn C - Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silové soustavy π ν i, působící na uvolněná tělesa, charakterizovat jako obecné rovinné soustavy sil. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je ν = ν i = ν + ν M = 4 + = 6. - Nutná podmínka statické určitosti µ = ν µ r + µ M ν M je splněna, protože 6 = 6 a 1 <. Stykové závislosti pro pasívní účinky: Pasívním účinkem ve vazbě B je valivý odpor, popsaný stykovou závislostí M vb = Bn e B.

92 5. PASIVNÍ ODPORY 17 Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykových závislostí: Po vyjádření statických podmínek a vyloučení závislého parametru pomocí stykové závislosti obdržíme soustavu statických rovnic pro NP. Úhel α je určen z geometrie: α = arcsin R h R. Těleso : Těleso 3: x : Bt sin α Bn cos α = x : Bn cos α + Bt sin α Ct = y : Bn sin α Bt cos α G = y : Bn sin α + Bt cos α + Cn G3 = M zs : Bn e B Bt R = M zb : Bn e B + M Cn G3 b/ Ct h = Řešení soustavy statických rovnic: Soustava statických rovnic je lineární, po dosazení zadaných vstupů a řešení obdržíme následující hodnoty NP: Bn = 58 N, Bt = 5, 3 N, Cn = 55 N, Ct = 17 N, M Cn = 7, 755 Nm, = 17 N. Kontrola splnění předpokladů pohybového stavu, závěr: Po určení hodnot NP a ZP je nutno zkontrolovat splnění stykových omezení předpokládaného pohybového stavu. Těmi jsou v daném případě podmínky, požadující aby tečné složky stykových sil ve vazbách B a C byly menší než třecí síly. Z hlediska funkčnosti vazeb je třeba, aby normálné složky stykových sil byly tlakové a aby osa soustavy rozloženého silového působení v jednostranné posuvné vazbě C protínala stykový útvar. Ke kontrole splnění uvedených stykových omezení použijeme vztahy pro smykové tření a vztah pro určení souřadnice osy soustavy rozloženého silového působení v jednostranné posuvné vazbě x = M Cn Cn. Po dosazení určíme hodnoty BT = 158 N, CT = N a x = 141 mm. Předpokládaný pohybový stav při výšce hranolu h = 1 mm reálně nastane, protože jeho styková omezení Bt < BT, Ct < CT a x < b jsou splněna. P.13 Soustava těles (vozík), znázorněná na obr. 5.5, se má pohybovat konstantní rychlostí v naznačeném směru. Určete potřebnou velikost síly. Je dáno: l = 1 mm, v = 4 mm, R = mm, r č = mm, G = 1 N, f A = f D =, 6, e A = e D =, 5 mm, f čb = f čc =,. Při alternativním řešení úlohy uvažujte: a) všechny pasívní odpory v 3 R B 1 A v=konst G l Obr. 5.5: C r č 4 D b) všechny pasívní odpory s použitím linearizace vztahu pro čepové tření podle Ponceleta c) zanedbání čepového tření Porovnejte výsledky uvedených řešení a posuďte významnost odchylek vyvolaných linearizací vztahu pro čepové tření resp. jeho zanedbáním. Rozbor zadání, možné pohybové stavy těles: Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je zadán. Při výpočtovém řešení budeme předpokládat existenci rovin symetrie úlohy a problém budeme řešit jako rovinný. Je zřejmé, že soustava je uložena pohyblivě. V praxi je při pohybu požadováno (a za běžných podmínek s největší pravděpodobností nastane) otáčení kol a valení v jejich

93 5. PASIVNÍ ODPORY 18 vazbách se základním tělesem. Tento pohybový stav budeme předpokládat při řešení. Případ zablokování kol není běžný a nastane když f čb > f A R r č resp. f čc > f D Rr č. Řešení ad. a): Specifikace stykových vazeb tělesa: Všechny stykové vazby jsou typu NNTP. Obecné vazby A, D i rotační vazby B, C odebírají ζ i = stupních volnosti. Podmínkou valení v obecných vazbách je t < T. Kontrola pohyblivosti uložení soustavy těles: Pohyblivost soustavy určíme ze vztahu i = (n 1) i v ( 4 ζ i η) = 3 3 (4 ) = 1, i=1 kde n je počet těles v soustavě včetně základního tělesa. Soustava má při předpokládaných pohybových stavech 1 o volnosti, jedná se tedy o pohyblivé uložení. Uvolnění těles s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodného souřadnicového systému: Uvolnění těles s vyznačením směru relativního pohybu ve vazbách a zavedenými pasívními účinky je znázorněno na obr Pro řešení byl zvolen souřadnicový systém O x y z. y z By M čb At A B An x konst M va v=konst 3 4 M čb M M čc čc G C Bx Bx B Cx C Cx D M vd By Cy Dt Cy Dn konst Obr. 5.6: Silové soustavy působící na uvolněná tělesa, specifikace množiny neznámých nezávislých parametrů stykových výslednic: Na uvolněná tělesa působí v obou případech silové soustavy vnějších silových prvků π i a soustavy π Ri stykových výslednic působících v uvolněných stykových vazbách. Výsledná množina neznámých nezávislých parametrů silových soustav π ν i = π i π Ri, působících na uvolněná tělesa, je NP = NP i NP = { An, At, Bx, By, Cx, Cy, Dn, Dt, } Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti: - Počet a typ NP je µ = µ f + µ r + µ M = = 9. - Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silové soustavy π ν i, působící na uvolněná tělesa, charakterizovat jako obecné rovinné soustavy sil. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je ν = ν i = ν + ν M = = 9. - Nutná podmínka statické určitosti µ = ν µ r + µ M ν M je splněna, protože 9 = 9 a < 3.

94 5. PASIVNÍ ODPORY 19 Stykové závislosti pro pasívní účinky: Pasívním účinkem ve vazbách A, D je valivý odpor, popsaný stykovými závislostmi M va = An e A resp. M vd = Dn e D. V rotačních vazbách B, C (radiální čepy) působí čepové tření popsané stykovými závislostmi M čb = Bx + By f r resp. M = čb čb čc Cx + Cy f r. čc čc Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykových závislostí: Po vyjádření statických podmínek a vyloučení závislých parametrů pomocí stykových závislostí obdržíme soustavu statických rovnic pro NP. Těleso : Těleso 4 : x : Bx At = x : Cx Dt = y : An By = y : Dn Cy = M za : Bx R + Bx + By f r + M čb čb zd : Cx R + Cx + Cy f r + čc čc + An e A = + Dn e D = Těleso 3: x : Bx Cx = y : By + Cy G = M zb : v Bx + By f r l čb čb G Cx + Cy f r + čc čc Cy l = Řešení soustavy statických rovnic: V důsledku vztahů pro čepové tření je soustava statických rovnic nelineární, po dosazení zadaných vstupů a řešení obdržíme následující hodnoty NP: An = 483 N, At = 15, 7 N, Bx = 15, 7 N, By = 483 N, Cx = 16, 8 N, Cy = 517 N, Dn = 517 N, Dt = 16, 8 N, = 3, 51 N. Kontrola splnění předpokladů pohybového stavu, závěr: Po určení hodnot NP a ZP je nutno zkontrolovat splnění stykových omezení předpokládaného pohybového stavu. Těmi jsou v daném případě podmínky valení ve vazbách A At < AT a D Dt < DT. O jejich splnění se lze snadno přesvědčit. Řešení ad. b): V literatuře jsou udávány vztahy umožňující linearizaci řešeného problému, uváděné jako Ponceletovy vztahy. Podle nich lze velikost silové stykové výslednice = x + y přibližně určit pomocí lineárního vztahu =., 96 x +, 4 y (při x > y ) resp vztahu =., 96 y +, 4 x (při y > x ). Relativní odchylka při určení velikosti síly nepřesáhne hodnotu 4 %. Ve většině případů je tato přesnost postačující. Po náhradě členů, způsobujících nelineritu, obdržíme snadněji řešitelnou soustavu lineárních rovnic. Po jejím řešení obdržíme následující hodnoty NP: An = 483, 3 N, At = 15, 4 N, Bx = 15, 4 N, By = 483, 3 N, Cx = 16, 5 N, Cy = 516, 7 N, Dn = 516, 7 N, Dt = 16, 5 N, = 31, 95 N. Řešení ad. c): Dále si ukážeme, jak významný vliv na výsledek řešení může mít zanedbání těch pasívních účinků, které jsou z hlediska řešeného problému podstatné. Při zanedbání čepového

95 5. PASIVNÍ ODPORY 13 tření vymizí v soustavě statických rovnic členy, které je popisují. Obdržíme soustavu lineárních rovnic jejímž řešením určíme následující hodnoty NP: An = 495 N, At = 6, N, Bx = 6, N, By = 495 N, Cx = 6, 3 N, Cy = 55 N, Dn = 55 N, Dt = 6, 3 N, = 1, 5 N. Závěr: Z výsledků výpočtů vyplývá, že linearizace řešeného problému dává velmi přesné výsledky v porovnání s původním nelineárním řešením. Zanedbání čepového tření však vede k podstatným odchylkám a to zvláště ve velikosti hnací síly. Z uvedeného případu tedy vyplývá ponaučení: Zanedbání některých pasívních účinků by měla předcházet důkladná analýza jejich významnosti! P.14 Břemeno, znázorněné na obr. 5.7, má být spouštěno bezpečně, t.jṁalou a konstantní rychlostí. Určete potřebnou velikost síly působící na páku špalíkové brzdy. Podobně jako při řešení předchozí úlohy posuďte významnost odchylek vyvolaných linearizací vztahů resp. zanedbáním čepového tření. Je dáno: l = 6 mm, h = 4 mm, α = 45 o, p = 6 mm, s = 5 mm, v = 3 mm, R = 5 mm, r = mm, r č = 5 mm, G = 5 N, f A =, 35, f čc =,, f D =, 7. Obr. 5.7: Rozbor zadání, možné pohybové stavy těles: Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je zadán. Při výpočtovém řešení budeme předpokládat existenci roviny symetrie úlohy a problém budeme řešit jako rovinný. Je zřejmé, že soustava je uložena pohyblivě a pohybový stav jednotlivých těles při spouštění břemene je jednoznačně dán. Protože čepové tření při natáčení brzdové páky ve vazbě D a vliv neohebnosti lana B jsou naprosto nevýznamné a výsledek řešení prakticky neovlivní (páka se natáčí pouze v rámci opotřebovávání brzdového obložení), můžeme při výpočtovém řešení pro vazbu lanem B a rotační vazbu E použít model typu NNTN. Vliv pasívních účinků ve stykových vazbách A, C, D významný je, proto u těchto vazeb použijeme model typu NNTP. Specifikace stykových vazeb soustavy těles: Obecné vazby B, D odebírají po ζ i = 1 stupni volnosti, posuvná vazba A a rotační vazby C, E po ζ i = stupních volnosti. Kontrola pohyblivosti uložení soustavy těles: Pohyblivost soustavy určíme ze vztahu i = (n 1) i v ( 5 ζ i η) = 3 3 ( ) = 1, i=1 kde n je počet těles v soustavě včetně základního tělesa. Soustava má při předpokládaných pohybových stavech 1 o volnosti, jedná se tedy o pohyblivé uložení. h v=konst A G l 1 B h/ 4 lano v p 3 D r r č s C 1 E 1 R

96 5. PASIVNÍ ODPORY 131 Uvolnění těles s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodného souřadnicového systému: Uvolnění těles s vyznačením směru relativního pohybu ve vazbách a zavedenými pasívními účinky je znázorněno na obr Pro řešení byl zvolen znázorněný souřadnicový systém O x y z. Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti: y v =konst A z A x M A An AT G B 4 Bn Obr. 5.8: D E 3 v D =konst Bn M =konst C DT = čc E Dn C D Dn Ey DT Cy Ex Cx - Počet a typ NP je µ = µ f + µ r + µ M = = 9. - Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silové soustavy π ν i, působící na uvolněná tělesa, charakterizovat jako obecné rovinné soustavy sil. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je ν = ν i = ν + ν M = = 9. - Nutná podmínka statické určitosti µ = ν µ r + µ M ν M je splněna, protože 9 = 9 a 1 < 3. Stykové závislosti pro pasívní účinky: Pasívním účinkem ve vazbách A, D je smykové tření, popsané stykovými závislostmi AT = An f A resp. DT = Dn f D. V rotační vazbě C (radiální čep) působí čepové tření popsané stykovou závislostí M čc = Cx + Cy f r. čc čc Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykových závislostí: Po vyjádření statických podmínek a vyloučení závislého parametru pomocí stykové závislosti obdržíme soustavu statických rovnic pro NP. Těleso : Těleso 4 : x : An f A + Bn G sin α = x : sin α + Dn (sin α f D cos α) + Ex = y : An G cos α = y : cos α + Dn (f D sin α + cos α) Ey = M za : G / (h sin α l cos α) + M ze : p Dn (s + f D v) = + An e A = Těleso 3: x : Bn + Dn (f D cos α sin α) + Cx = y : Cy Dn (f D sin α + cos α) = M zc : Bn r Dn f D R Cx + Cy f r = čc čc Řešení soustavy statických rovnic: V důsledku vztahů pro čepové tření je soustava statických rovnic nelineární, po dosazení zadaných vstupů a řešení obdržíme následující hodnoty NP:

97 5. PASIVNÍ ODPORY 13 An = 353, 6 N, M An = 81, 3 Nm, Bn = 9, 8 N, Cx = 83, N, Cy = 31, 5 N, Dn = 5, 8 N, Ex = 6, 9 N, Ey = 1, 4 N, = 113, 9 N. Pro analýzu významnosti vlivu linearizace vztahu pro čepové tření resp vlivu jeho případného zanedbání na výsledky řešení (hlavně na přesnost určení potřebné velikosti síly ), je třeba provést stejné úpravy soustavy statických rovnic jako při řešení předchozí úlohy. Po úpravě rovnic a řešení obdržíme v prvním případě hodnotu = 113, 4 N, ve druhém případě = 118, 6 N. Závěr: Z výsledků určení potřebné velikosti síly vyplývá, že v tomto případě je vliv čepového tření málo významný. Jeho zanedbání vede k odchylce menší než 5%. P.15 Na buben pásové brzdy znázorněné na obr. 5.9, který se má otáčet konstantní úhlovou rychlostí ω, působí točivá silová soustava charakterizovaná momentovou výslednicí M. Určete maximální velikosti ubrzděného momentu M pro oba možné směry otáčení bubnu. Je dána geometrie soustavy, charakteristiky stykových vazeb a mezní velikost přítlačné síly : l = 4 mm, d = 5 mm, R = 15 mm, β = 3 o, γ = 45 o, α = 55 o, r č = 5 mm, f ča =, 1, f čb =, 1, f C =, 5 a = 5 N. pás C R r č 1 d 1 B A 3 Obr. 5.9: Rozbor zadání, možné pohybové stavy těles: Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je zadán. Problém budeme řešit jako rovinný. Soustava je uložena pohyblivě a pohybový stav těles je při spouštění břemene jednoznačně dán. Protože vliv čepového tření při natáčení brzdové páky je nevýznamný, použijeme pro modelování vlastností vazby B model NNTN. Pro popis vlastností stykových vazeb A a C použijeme model NNTP. Specifikace stykových vazeb soustavy těles: Rotační vazby A, B odebírají po ζ i = stupních volnosti, obecná vazba C odebírá ζ i = 1 stupeň volnosti. Kontrola pohyblivosti uložení soustavy těles: Pohyblivost soustavy určíme ze vztahu i = (n 1) i v ( 3 ζ i η) = 3 ( + 1 ) = 1, i=1 kde n je počet těles v soustavě včetně základního tělesa. Soustava má při předpokládaných pohybových stavech 1 o volnosti, jedná se tedy o pohyblivé uložení. Uvolnění těles s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodného souřadnicového systému: Pro řešení byl zvolen souřadnicový systém O x y z. l a) Uvolnění těles s vyznačením směru relativního pohybu ve vazbách a zavedenými pasívními účinky pro jeden směr otáčení bubnu je znázorněno na obr. 5.3(a) b) Uvolnění pro druhý směr otáčení bubnu je znázorněno na obr. 5.3(b).

98 5. PASIVNÍ ODPORY 133 C C* C C* y x M ča Ax Ay A y x M ča Ax Ay A z z 3 A = konst 3 A =konst By B Bx By B Bx C B = C B = (a) Obr. 5.3: (b) Silové soustavy působící na uvolněná tělesa, specifikace množiny neznámých nezávislých parametrů stykových výslednic: Na uvolněná tělesa působí v obou případech silové soustavy vnějších silových prvků π i a soustavy π Ri stykových výslednic působících v uvolněných stykových vazbách. Výsledná množina neznámých nezávislých parametrů silových soustav π ν i = π i π Ri, působících na uvolněná tělesa, je NP = NP i NP = { Ax, Ay, Bx, By, Cn, M} Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti: - Počet a typ NP je µ = µ f + µ r + µ M = = 6. - Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silové soustavy π ν i, působící na uvolněná tělesa, charakterizovat jako obecné rovinné soustavy sil. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je ν = ν i = ν + ν M = 4 + = 6. - Nutná podmínka statické určitosti µ = ν µ r + µ M ν M je splněna, protože 6 = 6 a 1 <. Stykové závislosti pro pasívní účinky: Ve vazbě A působí čepové tření popsané stykovou závislostí M ča = Ax + Ay f r, ča ča pasívním účinkem ve vazbě C je pásové tření popsané v prvním případě otáčení bubnu stykovou závislostí C = C e αf C, ve druhém případě závislostí C = C e αf C. Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykových závislostí: Po vyjádření statických podmínek a vyloučení závislého parametru pomocí stykové závislosti obdržíme soustavu statických rovnic pro NP.

99 5. PASIVNÍ ODPORY 134 První směr otáčení Druhý směr otáčení Těleso : Těleso : ( x : Ax + Cn sin β e αf C sin γ ) ( = x : Ax + Cn sin β e αf C sin γ ) = ( y : Ay + Cn cos β + e αf C cos γ ) ( = y : Ay + Cn e αf C cos β + e αf C cos γ ) = M za : Ax + Ay f r + M ča ča za : Ax + Ay f r ča ča + Cn R ( e αf C 1 ) M = Cn R ( 1 e C) αf + M = Těleso 3 : Těleso 3 : x : Bx Cn sin β = x : Bx Cn sin β = y : By Cn cos β = y : By Cn cos β = M zb : Cn d l = M zb : Cn d l = Řešení soustavy statických rovnic: V důsledku vztahu pro čepové tření je soustava statických rovnic nelineární, po dosazení zadaných vstupů a řešení obdržíme následující hodnoty NP: První směr otáčení: Ax = 716, 4 N, Ay = 818, 5 N, Cn = 4 N, Bx = 3464, 1 N, By = N, M = 5, Nm. Druhý směr otáčení: Ax = 3158, 5 N, Ay = 35, 6 N, Cn = 4 N, Bx = 3464, 1 N, By = N, M = 5, 43 1 Nm. Závěr: Z výsledků řešení vyplývá, že při druhém směru otáčení vyšla velikost M o jeden řád menší. Je tedy zřejmé, že při dané velikosti síly hodnota ubrzděného momentu M pro daný směr otáčení bubnu významně závisí na konstrukčním uspořádání brzdy. P.16 Určete mezní výšku překážky v, kterou při působení hnací síly dané velikosti působící na dané nositelce překoná vozík, znázorněný na obr Je dáno: l = 1 mm, h = 4 mm, R = 15 mm, r čb = r čc = 15 mm, G = 1 N, f A = f D =, 5, e A = e D =, 5 mm, f čb = f čc =, 1, = 1 N. h/ h/ R r č 3 v= + G 4 B l C D v A 1 E Obr. 5.31: Rozbor zadání, možné pohybové stavy těles: Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení je zadán. Problém budeme řešit jako rovinný. Analýza možných pohybových stavů při pohybu vozíku po rovné podložce byla provedena při řešení úlohy P.13, analýza pohybu válce přes překážku při řešení úlohy P.1. Při řešení této úlohy využijeme zkušeností z řešení předchozích úloh. Při přejezdu vozíku přes překážku budeme předpokládat valení kol ve vazbách A a D, styk ve vazbě E končí. Specifikace stykových vazeb tělesa: Všechny stykové vazby jsou typu NNTP. Obecné vazby A, D i rotační vazby B, C odebírají ζ i = stupních volnosti. Podmínkou valení v obecných vazbách je t < T.

100 5. PASIVNÍ ODPORY 135 Kontrola pohyblivosti uložení soustavy těles: Pohyblivost soustavy určíme ze vztahu i = (n 1) i v ( 4 ζ i η) = 3 3 (4 ) = 1, i=1 kde n je počet těles v soustavě včetně základního tělesa. Soustava má při předpokládaných pohybových stavech těles 1 o volnosti, jedná se tedy o pohyblivé uložení. Uvolnění těles s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodného souřadnicového systému: Pro řešení byl zvolen souřadnicový systém O x y z. Uvolnění těles s vyznačením směru relativního pohybu ve vazbách a zavedenými pasívními účinky je znázorněno na obr y z x 3 By M čb At A B = + B 4 M M Cy čb čc M B G čc C C MvD Bx Bx Cx M Cx va By Cy E An Obr. 5.3: C = + Dt D Dn Silové soustavy působící na uvolněná tělesa, specifikace množiny neznámých nezávislých parametrů stykových výslednic: Silová soustava vnějších silových prvků π i působí pouze na těleso 3, soustavy π Ri stykových výslednic působí na všechna tři uvolněná tělesa. Výsledná množina neznámých nezávislých parametrů silových soustav π ν i = π i π Ri je NP = NP i NP = { An, At, Bx, By, Cx, Cy, Dn, Dt, v} Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti: - Počet a typ NP je µ = µ f + µ r + µ M = = 9. - Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silové soustavy π ν i, působící na uvolněná tělesa, charakterizovat jako obecné rovinné soustavy sil. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je ν = ν i = ν + ν M = = 9. - Nutná podmínka statické určitosti µ = ν µ r + µ M ν M je splněna, protože 9 = 9 a 1 < 3. Stykové závislosti pro pasívní účinky: Pasívním účinkem ve vazbách A, D je valivý odpor, popsaný stykovými závislostmi M va = An e A resp. M vd = Dn e D. V radiálních čepech B, C působí čepové tření popsané stykovými závislostmi M čb = Bx + By f r resp. M = čb čb čc Cx + Cy f r. čc čc Sestavení soustavy statických rovnic a eliminace závislých parametrů (ZP) pomocí stykových závislostí:

101 5. PASIVNÍ ODPORY 136 Po vyjádření statických podmínek a vyloučení závislých parametrů pomocí stykových závislostí obdržíme soustavu statických rovnic pro NP. Úhel α vyjádříme z geometrie α = arcsin R v R. Těleso : Těleso 4 : x : Bx At = x : Cx Dn cos α Dt sin α = y : An By = y : Dn sin α Dt cos α Cy = M za : Bx R + Bx + By f r + M čb čb zc : Dt R + Cx + Cy f r + čc čc + An e A = + Dn e D = Těleso 3: x : Bx Cx = y : By + Cy G = M zb : h G l + Cy l Bx + By f čb r čb Cx + Cy f čc r čc = Řešení soustavy statických rovnic: V důsledku vztahů pro čepové tření je soustava statických rovnic nelineární, po dosazení zadaných vstupních hodnot a řešení obdržíme následující výstupní hodnoty NP: An = 46, 3 N, At = 1, 3 N, Bx = 1, 3 N, By = 46, 3 N, Cx = 987, 7 N, Cy = 539, 7 N, Dn = 115, 1 N, Dt = 3, N, v = 74, 6 mm. Kontrola splnění předpokladů pohybového stavu, závěr: Po určení hodnot NP a ZP je nutno zkontrolovat splnění stykových omezení předpokládaného pohybového stavu. Těmi jsou v daném případě podmínky valení ve vazbách A At < AT a D Dt < DT. O jejich splnění se lze snadno přesvědčit po dopočítání velikostí třecích sil AT = 3, N a DT = 56, 6 N. Řešení úlohy tím končí. P.17 Určete mezní velikost tažné síly z kolového traktoru s náhonem na zadní kola, znázorněného na obr. 5.33, při jízdě po hlinité polní cestě. Je dáno: l = mm, t = 68 mm, h = 87 mm, v = 38 mm, R p = 35 mm, R z = 63 mm, G = 36 N, k = 1 N, f A =, 8, e A = 15 mm, f D =, 8, e D = 3 mm, M = 4, Nm. 3 v= + C h R p 4 z R z B G k v Rozbor zadání, možné pohybové stavy těles: l Zadání je úplné a správné, cíl výpočtového řešení Obr. 5.33: je zadán. Při řešení budeme předpokládat existenci roviny symetrie problému a budeme jej řešit jako úlohu rovinnou. Aby se pohyb traktoru mohl realizovat, je třeba aby nenastalo smýkání ve vazbě D (prokluz zadních kol). Řiditelnost traktoru je podmíněna dostatečně zatíženým kontaktem předních kol s podložkou. Požadovaným pohybovým stavem je valení kol. Tento stav budeme při řešení předpokládat, po určení množiny NP bude nutno provést kontrolu stykových omezení. A 1 t D

102 5. PASIVNÍ ODPORY 137 Specifikace stykových vazeb tělesa: Obecné vazby A, D i rotační vazby B, C odebírají po ζ i = stupních volnosti. Podmínkou valení v obecných vazbách je t < T. Kontrola pohyblivosti uložení soustavy těles: Pohyblivost soustavy určíme ze vztahu i = (n 1) i v ( 4 ζ i η) = 3 3 (4 ) = 1, i=1 kde n je počet těles v soustavě včetně základního tělesa. Soustava má při předpokládaných pohybových stavech 1 o volnosti, jedná se tedy o pohyblivé uložení. Uvolnění těles s vyznačením relativního pohybu v uvolněných stykových vazbách, volba vhodného souřadnicového systému: Pro řešení byl zvolen souřadnicový systém O x y z. Uvolnění těles s vyznačením směru relativního pohybu ve vazbách a zavedenými pasívními účinky je znázorněno na obr y x z = + B A At An By MčB Bx M va 3 M čb By B Bx G M čc C Cy Cx z 4 C = + Cy C Cx M čc k D Dt M vd Dn Obr. 5.34: Silové soustavy působící na uvolněná tělesa, specifikace množiny neznámých nezávislých parametrů stykových výslednic: Na uvolněná tělesa působí silové soustavy vnějších silových prvků π i a soustavy π Ri stykových výslednic. Výsledná množina neznámých nezávislých parametrů silových soustav π ν i = π i π Ri je NP = NP i NP = { An, At, Bx, By, Cx, Cy, Dn, Dt, z } Kontrola splnění nutné podmínky statické určitosti: - Počet a typ NP je µ = µ f + µ r + µ M = = 9. - Z hlediska prostorového rozložení nositelek je možno silové soustavy π ν i, působící na uvolněná tělesa, charakterizovat jako obecné rovinné soustavy sil. Proto počet použitelných podmínek statické rovnováhy je ν = ν i = ν + ν M = = 9. - Nutná podmínka statické určitosti µ = ν µ r + µ M ν M je splněna, protože 9 = 9 a < 3.

Numerické metody pro nalezení

Numerické metody pro nalezení Masarykova univerzita Brno Fakulta přírodovědecká Katedra aplikované matematiky Numerické metody pro nalezení vlastních čísel matic Diplomová práce květen 006 Alena Baštincová Poděkování V úvodu bych ráda

Více

EFEKTIVNÍ TERMOMECHANICKÉ VLASTNOSTI ZDIVA

EFEKTIVNÍ TERMOMECHANICKÉ VLASTNOSTI ZDIVA EFEKTIVNÍ TERMOMECHANICKÉ VLASTNOSTI ZDIVA Vypracoval: Vedoucí diplomové práce: Prof. Ing. Jiří Šejnoha, DrSc. Datum: 20. 12. 2005 PODĚKOVÁNÍ Na tomto místě bych rád poděkoval všem, kteří se zasloužili

Více

Sdružení požárního a bezpečnostního inženýrství se sídlem VŠB - Technická univerzita Ostrava. Kartografie

Sdružení požárního a bezpečnostního inženýrství se sídlem VŠB - Technická univerzita Ostrava. Kartografie Sdružení požárního a bezpečnostního inženýrství se sídlem VŠB - Technická univerzita Ostrava Kartografie Doc. Ing. Miroslav Tyrner, CSc. Ing. Hana Štěpánková Učební texty pro posluchače 1 a 2 ročníku oboru

Více

FAKULTA STAVEBNÍ GEODÉZIE, KARTOGRAFIE A GEOINFORMATIKA

FAKULTA STAVEBNÍ GEODÉZIE, KARTOGRAFIE A GEOINFORMATIKA ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE, KARTOGRAFIE A GEOINFORMATIKA BAKALÁŘSKÁ PRÁCE MATICOVÉ ROZKLADY PRO KALMANŮV FILTR Vedoucí práce: doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Katedra

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnost a matematická statistika Mirko Navara Centrum strojového vnímání katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/mvt http://cmp.felk.cvut.cz/

Více

Celá a necelá část reálného čísla

Celá a necelá část reálného čísla UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky a didaktiky matematiky Celá a necelá část reálného čísla Bakalářská práce Autor: Vedoucí práce: Vladimír Bílek Prof. RNDr. Jarmila Novotná,

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

ČÁST IX - M A K R O S K O P I C K É S Y S T É M Y

ČÁST IX - M A K R O S K O P I C K É S Y S T É M Y ČÁST IX - M A K R O S K O P I C K É S Y S T É M Y 38 Struktura makroskopických systémů 39 Mechanické vlastnosti 40 Tepelné vlastnosti 41 Elektrické vlastnosti 42 Magnetické vlastnosti 43 Termoelektrické

Více

BEZPEČNOSTNÍ RÁM ZÁVODNÍHO VOZU RACE CAR ROLL CAGE

BEZPEČNOSTNÍ RÁM ZÁVODNÍHO VOZU RACE CAR ROLL CAGE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV AUTOMOBILNÍHO A DOPRAVNÍHO INŽENÝRSTVÍ FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF AUTOMOTIVE ENGINEERING

Více

Energetický systém v ustáleném stavu

Energetický systém v ustáleném stavu Energetický systém v ustáleném stavu Jedním z charakteristických rysů energetického systému je potřeba spojitě přizpůsobovat jeho provozní podmínky tak, aby v každém okamžiku reagoval na stále se měnící

Více

1 Přednáška Konstrukční materiály

1 Přednáška Konstrukční materiály 1 Přednáška Konstrukční materiály Stručný obsah přednášky: Základní skupiny konstrukčních materiálů. Vazby v pevných látkách. Vlastnosti materiálů. Krystalová stavba kovů. Millerovy indexy Motivace k přednášce

Více

Úlohy z matematiky a přírodovědy pro 4. ročník

Úlohy z matematiky a přírodovědy pro 4. ročník TIMSS 2011 Úlohy z matematiky a přírodovědy pro 4. ročník TIMSS 2011 Úlohy z matematiky a přírodovědy pro 4. ročník Svatava Janoušková Vladislav Tomášek a kol. Praha 2013 ČESKÁ ŠKOLNÍ INSPEKCE Tato publikace

Více

Fyzikální korespondenční seminář XXVII. ročník 2013/14

Fyzikální korespondenční seminář XXVII. ročník 2013/14 Aleš Flandera a kolektiv Fyzikální korespondenční seminář XXVII. ročník 2013/14 Copyright Aleš Flandera, 2014 Copyright MATFYZPRESS, vydavatelství Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze,

Více

1 Nástroje používané v mikroekonomii

1 Nástroje používané v mikroekonomii 1 Nástroje používané v mikroekonomii 1.1 Předmět zkoumání Ekonomie se podle tradiční definice zabývá zkoumáním alokace vzácných zdrojů mezi různá alternativní užití tak, aby byly uspokojeny lidské potřeby.

Více

Sbírka řešených příkladů do semináře fyziky 2

Sbírka řešených příkladů do semináře fyziky 2 Svět práce v každodenním životě Sbírka řešených příkladů do semináře fyziky G Gymnázium Hranice Svět práce v každodenním životě Mechanické kmitání a vlnění Kinematika G Gymnázium Hranice. Hmotný bod koná

Více

Základní pojmy termodynamiky

Základní pojmy termodynamiky Kapitola 1 Základní pojmy termodynamiky 1.1 Úvod Moderní přírodní vědy a fyzika jsou postaveny na experimentu a pozorování. Poznávání zákonitostí neživé přírody je založeno na indukční vědecké metodě Francise

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ

FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ Měření zpoždění mezi signály EEG Ondřej Drbal Vedoucí diplomové práce: Doc. Ing. Roman katedra Teorie obvodů rok obhajoby 24 Čmejla, CSc. Zadání diplomové

Více

1. 1 V Z N I K A V Ý V O J A T O M O V É T E O R I E

1. 1 V Z N I K A V Ý V O J A T O M O V É T E O R I E 1. Atomová fyzika 9 1. 1 V Z N I K A V Ý V O J A T O M O V É T E O R I E V této kapitole se dozvíte: které experimentální skutečnosti si vynutily vznik atomové teorie; o historii vývoje modelů atomů. Budete

Více

STROJÍRENSKÁ METROLOGIE část 1

STROJÍRENSKÁ METROLOGIE část 1 Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava FS STROJÍRENSKÁ METROLOGIE část 1 Šárka Tichá Ostrava 004 Obsah Předmluva... 6 1. Význam metrologie... 7. Základní pojmy... 7.1 Některé základní pojmy (ČSN

Více

1 12 čísel z kosmu (Ludvík Tuček)

1 12 čísel z kosmu (Ludvík Tuček) 1 12 čísel z kosmu (Ludvík Tuček) Strana 1 (z 137) 2 12 čísel z kosmu (Ludvík Tuček) Autor knihy - Ludvík TUČEK, výtvarník, * 29. května 1942 v Kolíně. V roce 1977 byla v USA zachycena mimozemská zpráva

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

Úvod do statistiky (interaktivní učební text) - Řešené příklady. Martina Litschmannová

Úvod do statistiky (interaktivní učební text) - Řešené příklady. Martina Litschmannová Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Západočeská univerzita v Plzni Úvod do statistiky (interaktivní učební text) - Řešené příklady Martina Litschmannová 1. strana ze 159 1 Explorační analýza

Více

Základy programování v GNU Octave pro předmět PPAŘ

Základy programování v GNU Octave pro předmět PPAŘ Základy programování v GNU Octave pro předmět PPAŘ Introduction to programing in Octave for subject denoted as Computer Aires Automation Control Jaroslav Popelka Bakalářská práce 2008 UTB ve Zlíně, Fakulta

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

Výukový materiál pro projekt Podpora multimediální výuky reg. č. CZ.1.07/1.1.07/02.0077

Výukový materiál pro projekt Podpora multimediální výuky reg. č. CZ.1.07/1.1.07/02.0077 Výukový materiál pro projekt Podpora multimediální výuky reg. č. CZ.1.07/1.1.07/02.0077 Obsah Úprava a správa fotografií...5 1 Úvod...5 1.1 Obrazové formáty...5 1.2 Rozlišení...7 1.3 Tisk...8 2 Popis prostředí

Více

PROGRAM WXMAXIMA VE VÝUCE MATEMATIKY

PROGRAM WXMAXIMA VE VÝUCE MATEMATIKY PROGRAM WXMAXIMA VE VÝUCE MATEMATIKY Roman Hašek, Michaela Noruláková Jihočeská Univerzita v Českých Budějovicích Abstrakt. Článek představuje vybrané příklady použití počítačového algebraického systému

Více

pro druhý stupeň základního vzdělávání

pro druhý stupeň základního vzdělávání pro druhý stupeň základního vzdělávání Milan Hejný, Darina Jirotková a kol. Náměty pro rozvoj kompetencí žáků na základě zjištění výzkumu TIMSS 2007 Ústav pro informace ve vzdělávání 2010 Matematické úlohy

Více

Učební text pro Dívčí katolické střední školy Matematika Josef Civín

Učební text pro Dívčí katolické střední školy Matematika Josef Civín Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond Praha & EU: Evropský Investujeme sociální do vaší fond budoucnosti Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Učební text pro Dívčí katolické

Více

Sbírka příkladů z matematiky pro 1. ročník tříletých učebních oborů

Sbírka příkladů z matematiky pro 1. ročník tříletých učebních oborů Sbírka příkladů z matematiky pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah. Teorie množin. Přirozená čísla 6 Dělitelnost čísel 8. Celá čísla 0 4. Racionální čísla Zlomky 4 5. Reálná čísla Intervaly

Více

Dokumentace programu ATENA Část 4-1. Průvodce programem ATENA 2D. Napsali: Jan Červenka, Václav Veselý

Dokumentace programu ATENA Část 4-1. Průvodce programem ATENA 2D. Napsali: Jan Červenka, Václav Veselý Červenka Consulting s.r.o. Na Hřebenkách 55 150 00 Praha 5 Tel.: +420 220 610 018 E-mail: cervenka@cervenka.cz Web: http://www.cervenka.cz Dokumentace programu ATENA Část 4-1 Průvodce programem ATENA 2D

Více