Numerické metody pro nalezení

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Numerické metody pro nalezení"

Transkript

1 Masarykova univerzita Brno Fakulta přírodovědecká Katedra aplikované matematiky Numerické metody pro nalezení vlastních čísel matic Diplomová práce květen 006 Alena Baštincová

2 Poděkování V úvodu bych ráda poděkovala vedoucí diplomové práce Prof. RNDr. Ivaně Horové, CSc. z katedry aplikované matematiky PřF MU v Brně za pečlivé přečtení textu, cenné rady, připomínky k práci a za trpělivost. Dále bych chtěla poděkovat svým rodičům za veškerou podporu, které se mi v průběhu studia dostalo.

3 Prohlášení Čestně prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci vypracovala samostatně a použila jsem pouze uvedenou literaturu. V Brně dne 0. května 006

4 Obsah 1 Základní kapitola 7 Typy metod pro hledání vlastních čísel 8 3 Klasické metody určení koeficientů charakteristického polynomu Krylovova metoda Faddějevova-Leverrierova metoda Poloha a odhad vlastních čísel Geršgorinovy věty Metody výpočtu dominantního vlastního čísla Mocninná metoda Metoda Rayleighova podílu Výpočet dalších vlastních čísel mocninnou metodou Metody pro výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů symetrických matic Jacobiho metoda Householderova matice zrcadlení Givensova-Householderova metoda Householderova metoda Givensova metoda QR-rozklad Konstrukce QR-rozkladu QR-rozklad pomocí Gram-Schmidtova algoritmu QR-rozklad pomocí Householderovy matice QR-rozklad pomocí Givensovy matice Srovnání algoritmů QR-rozklad a vlastní čísla matice A QR-algoritmus Podmíněnost problému vlastních čísel Globální číslo podmíněnosti Odhad chyby vypočítaného vlastního čísla Relativní chyba vypočítaného vlastního čísla

5 Úvod Cílem mé diplomové práce je popsat numerické metody pro nalezení vlastních čísel matic. Vlastní čísla a vlastní vektory mají velmi široké spektrum aplikací, například se používají při hledání řešení diferenciálních rovnic a jejich soustav a to jak u obyčejných difarenciálních rovnic, tak u parciálních diferenciálních rovnic a jejich soustav. Totéž platí i pro diferenční rovnice a jejich soustavy. Mnohé technické problémy se dají popsat pomocí diferenciálních nebo diferenčních rovnic a jejich soustav, jako například popis obvodů v elektrotechnice.pokud má obvod větší počet prvků, dostáváme soustavu diferenciálních rovnic vyššího řádu. Pro jejich řešení potřebujeme znát vlastní čísla matice soustavy. Odtud je zřejmá duležitost úlohy o nalezení vlastních čísel matice. Přímé metody hledání vlastních čísel jsou mnohdy neefektivní a proto je nutné řešit tuto úlohu numericky. Při numerickém řešení se sice dopouštíme určité chyby, ale současně se dostaneme k řešení, alespoň přibližnému, v relativně kratším čase s požadovanou přesností. Ve své práci nejdříve definuji základní pojmy, nevěnuji se přímým metodám výpočtu vlastních čísel a zabývám se numerickými metodami jejich určení. Postupně uvádím řadu způsobů nalezení vlastních čísel a jim příslušným vlastním vektorům. Nejdříve uvádím klasické metody určení kořenů charakteristického polynomu, dále se věnuji odhadu polohy vlastních čísel, poté následují metody výpočtu dominantního vlastního čísla. Nejvíce místa věnuji metodám pro výpočet vlastních čísel symetrických matic. Závěrečná kapitola je věnována problému podmíněnosti vlastních čísel. Nevěnovala jsem se rozboru jednotlivých algoritmů při jejich zpracování na počítači, protože tato problematika závisí na volbě programovacího jazyka a softwarovém vybavení počítače. 5

6 Označení N množina přirozených čísel Z množina celých čísel R množina reálných čísel C množina komplexních čísel p n (x) polynom n-tého stupně proměnné x A m,n matice typu m,n (s m řádky a n sloupci) A = (a ij ) matice s prvky a ij I jednotková matice e i jednotkový vektor s 1 na i-tém místě O nulová matice o nulový vektor det A = A determinant matice A A 1 matice inverzní k matici A hod (A) hodnost matice A tr(a) stopa matice A ρ(a) spektrální poloměr matice A A H matice hermitovsky sdružená, tj.a H = ĀT (R n, +,.) vektorový prostor všech uspřádaných n-tic dimp dimenze prostoru P. <, > standardní skalární součin x norma vektoru x x eukleidovská norma vektoru x A norma matice A A euklidovská norma matice A A krychlová norma matice A konec důkazu 6

7 Kapitola 1 Základní kapitola Definice Necht A je čtvercová matice řádu n. Její vlastní čísla λ 1,...,λ n jsou kořeny rovnice det(a λi) = 0, zvané charakteristická rovnice. Ke každému vlastnímu číslu λ i existuje aspoň jedno nenulové řešení soustavy rovnic Ax = λ i x. Toto řešení x i, kde x T i = (x (1) i,x () i,...,x (n) i ), nazveme pravým vlastním vektorem matice A. (Všude v dalším bude pojem vlastní vektor značit výhradně pravý vlastní vektor.) Levý vlastní vektor y i odpovídající vlastnímu číslu λ i je řešením rovnice y T A = λ i y T. Levý vlastní vektor matice A je tedy vlastním vektorem transponované matice A T a snadno lze ukázat, že odpovídá-li levý vlastní vektor y k vlastnímu číslu λ k a pravý vlastní vektor x i vlastnímu číslu λ i a platí λ k λ i jsou vektory y k a x i ortogonální. (Ve většině dále uvedených příkladů se budou vyskytovat reálné matice, budeme předpokládat, pokud nebude řečeno jinak, že matice A je reálná. Mnohé věty budou však platit i pro komplexní matice nebo budeme-li předpokládat symetrii, pro hermitovské matice, (důkazy následujících vět viz. [8]). Věta Jsou-li λ 1,...,λ n vlastní čísla matice A, má matice A k vlastní čísla λ k 1,...,λ k n. Obecněji, je-li p(x) libovolný polynom, má matice p(a) vlastní čísla p(λ 1 ),...,p(λ n ). Věta Je-li matice A reálná a symetrická, jsou všechna její vlastní čísla a všechny příslušné vlastní vektory reálné. Kromě toho vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům jsou ortogonální a levý vlastní vektor a pravý vlastní vektor příslušné témuž vlastnímu číslu jsou si rovny. Věta Podobnostní transformace PAP 1 nemění vlastní čísla matice A. Věta (Cayley-Hamilton) Necht je f(λ) = det(a λi) = 0 charakteristická rovnice matice A. Pak platí f(a) = 0. Věta Vlastní čísla horní (dolní) trojúhelníkové matice jsou prvky na její diagonále. Věta Libovolná matice A je podobná diagonální matici D právě tehdy, když má matice Akompletní soubor n lineárně nezávislých vlastních vektorů. 7

8 Kapitola Typy metod pro hledání vlastních čísel Podle základní definice víme, že vlastní čísla dané matice jsou kořeny jejího charakteristického polynomu. Z algebraické teorie víme, že kořeny polynomu stupně n > 4 nemůžeme algebraicky (tj. pomocí operací ±,,, ) vyjádřit ve tvaru vzorce. Proto se obecně nedají získat vlastní čísla přesně ( až na zaokrouhlovací chyby) po konečném počtu operací. K řešení našeho problému můžeme přistupovat více způsoby. 1. Použijeme-li libovolnou metodu na hledání kořenů charakteristického polynomu p(λ). Pro jednoduchý kořen můžeme použít Newtonovu metodu c i+1 = c i p(c i )/p (c i ) i = 1,,..., při vhodné volbě počáteční aproximace c 0, metodu sečen, metodu půlení intervalu atd. Modifikovaná Newtonova metoda se dá použít i na hledání násobných kořenů. V případě komplexně sdružené dvojice kořenů můžeme použít např. Bairstowovu metodu. Hledání velkého počtu kořenů tímto způsobem je však dost náročné a problém bývá nestabilní.. Získání vlastních čísel bez znalostí charakteristického polynomu, při využívání vlastností podobných matic. Cílem je najít podobnou matici v jednodušším tvaru, ze kterého se dá vlastní číslo určit (například z diagonální nebo trojúhelníkové matice). Takovou matici (někdy jen některé její vlastní číslo) můžeme získat jako limitu posloupnosti podobnostních transformací. Výběr těchto transformací bývá založen na speciálních vlastnostech matic a jejich vlastních vektorů. 3. Nelineární přístup, vlastní problém (A λi)x = 0 uvažujeme jako soustavu n rovnic pro n + 1 neznámých x 1,...,x n,λ, kterou doplníme normovanou podmínkou například x i = 1 na soustavu n + 1 nelineárních rovnic. Tato soustava se dá řešit například Newtonovou metodou. Přitom se však nevyužívají algebraické vlastnosti soustavy, které můžou výpočet značně ulehčit. Proto je tento postup značně neefektivní. Poznámka.0.1. Pod pojmem úplný problém vlastních čísel se rozumí úloha najít všechna vlastní čísla a případně i příslušné vlastní vektory. 8

9 Pojem částečný problém vlastních čísel znamená najít jedno nebo více vlastních čísel spolu s příslušnými vlastními vektory. Úplný a částečný problém vystupují jako naprosto odlišné úlohy nejen oborem aplikací, ale i metodami řešení. Řešení úplného problému je náročnější. Neexistuje univerzální algoritmus, který by byl stejně efektivní pro všechny typy matic. 9

10 Kapitola 3 Klasické metody určení koeficientů charakteristického polynomu Dříve se většina metod na výpočet vlastních čísel zakládala právě na výpočtu koeficientů charakteristického polynomu. Jejich výpočet pomocí součtu hlavních minorů je však nerentabilní. Existují mnohem jednodušší metody na určení koeficientů, které mají stejný charakter (tj. při výpočtu bez zaokrouhlování získáme po konečném počtu kroků přesné koeficienty). Zaokrouhlovací chyby však můžou vypočítané koeficienty hodně oddálit od jejich přesných hodnot. Proto se tyto metody moc nepoužívají. 3.1 Krylovova metoda Charakteristickou rovnici můžeme zapsat ve tvaru Z Cayleyovy Hamiltonovy věty plyne Tedy pro každý vektor y platí n 1 p(λ) = λ n + b i λ i = 0. i=0 n 1 A n + b i A i = 0. i=0 n 1 A n y + b i A i y = O. (3.1) Rovnice (3.1) je soustava n lineárních rovnic pro n neznámých b 0,...,b n 1. i=0 Poznámka K výpočtu vektoru A i y podle rovnice A i y = A(A i 1 y) je třeba n násobení, takže k sestavení soustavy (3.1) je třeba řádově n 3 operací. 10

11 3. Faddějevova-Leverrierova metoda Metoda se opírá o fakt, že součet vlastních čísel libovolné matice je roven její stopě. Algoritmus Faddějěvovy-Leverrierovy metody počítá jednoduchým způsobem kořeny charakteristické rovnice. Algoritmus 1. Je dána matice A řádu n. Krok 1: Položme B 1 = A pak p 1 = tr(b 1 ) Krok : B = A(B 1 p 1 I) a p = 1 tr(b ). Krok n: B n = A(B n 1 p n 1 I) a p n = 1 n tr(b n) Krok n+1: Charakteristický polynom je ve tvaru p(λ) = λ n p 1 λ n 1... p n 1 λ p n. Poznámka Pro inverzní matici A 1 platí A 1 = 1 p n (B n 1 p n 1 I). Poznámka 3... Důkazy konvergence popsaných metod v této kapitole a analýzu chyb můžeme najít v literatuře, viz.[1],[10]. Příklad Najděte koeficienty charakteristického polynomu užitím F.-L. metody pro matici A = B 1 = A tr(b 1 ) = 30 p 1 = 30, B = A(B 1 30I) = p = 1 tr(b ) = 1 ( 638) = 319,, B 3 = A(B + 319I) = , p 3 = 1 3 tr(b 3) = = 1470, 3 B 4 = A(B I) =

12 p 4 = 1 tr(b 4) = 1 ( 855) = 138, 4 p(λ) = λ 4 30λ λ 1410λ Poznámka F.-L. metoda je i přes jednoduchý algoritmus méně výhodná než Krylovova metoda, protože vyžaduje skutečně počítat matice A k pro k = 1,...,n. 1

13 Kapitola 4 Poloha a odhad vlastních čísel 4.1 Geršgorinovy věty Přesná znalost vlastních čísel dané matice nás v některých praktických aplikacích nemusí zajímat a stačí znát polohu vlastních čísel v určitých oblastech komplexní roviny. Tyto informace můžeme získat i bez přímých výpočtů vlastních čísel dané matice. K nalezení polohy vlastních čísel lze použít následující větu. Věta Geršgorinova věta Necht A = {a ij } je čtvercová matice řádu n. Definujme r i := j=1,j i a ij, i = 1,...,n. (4.1) Potom každé vlastní číslo λ matice A splňuje aspoň jednu z následujících nerovností λ a ii r i, i = 1,...,n. (4.) Jinými slovy, všechna vlastní čísla matice A leží v oblasti n K = R i, (4.3) kde R i jsou kruhy o poloměru r i a středu a ii. i=1 Důkaz. Necht λ je vlastní číslo matice A a x je vlastní vektor odpovídajíci vlastnímu číslu λ. Potom ze vztahu Ax = λx nebo ze vztahu (A λi) = 0 dostaneme (λ a ii )x i = a ij x j, j=1,j i i = 1,...,n kde x i je i-tý prvek vektoru x. Necht x k je největší prvek vektoru x (v absolutní hodnotě). Protože x j / x k 1 pro j k, je λ a kk a kj ( x j / x k ) a kj. (4.4) j=1 j=1,j k Tedy λ leží v kruhu {λ : λ a kk r k }. 13

14 Definice Kruhy R i := {z : z a ii r i }, i = 1,...,n, se nazývají Geršgorinovy kruhy v komplexní rovině. Poznámka Věta nám nezaručuje, že v každém kruhu bude nějaké vlastní číslo, pouze nám říká, že vlastní čísla matice A leží ve sjednocení Geršgorinových kruhů. Následující věta polohu vlastních čísel upřesňuje. Věta Geršgorinova zobecněná věta Necht r Geršgorinových kruhů je disjunktních. Pak právě r vlastních čísel matice A leží ve sjednocení těchto kruhu. Důkaz. V důkazu této věty se používa vlastností z komplexní analýzy, viz []. Poznámka Určení polohy vlastního čísla dané matice pomocí Geršgorinových vět je poměrně jednoduché. Pro zajímavost uvedeme ještě jednu větu, která sice také určuje polohu vlastních čísel, ale její použití je už složitějsí a v určitých příkladech nepraktické. Věta Necht A je čtvercová (obecně komplexní) matice n-tého řádu, necht α je (komplexní) číslo, pro které stopa matice tr((αi A) 1 ) 0. Pak v každém uzavřeném kruhu obsahujícim číslo α a α, kde n α = α tr((αi A) 1 ), leží alespoň jedno vlastní číslo matice A. n (α α) Definujme r =, pak v kruhu o středu a poloměru r leží alespoň tr((αi A) 1 ) jedno vlastní číslo matice A. Poznámka Tato věta není obecně známa a vyplýva z vět o kořenech polynomiální rovnice.důkaz viz.[9] Příklad Užitím Geršgorinových vět určete přibližnou polohu vlastních čísel komlexní matice 1 1/ 1/4 1/4 1/4 1 + i 0 1/4 1/ 1/4 1 1/ 1/4 1/ 1/ i Řešení 1. r 1 = n i=1,i 1 a 1i = 1/ + 1/4 + 1/ = 1 r = n i=1,i a i = 1/ /4 = 1/ r 3 = n i=1,i 3 a 3i = 1/ + 1/4 + 1/ = 5/4 r 4 = n i=1,i 4 a 4i = 1/4 + 1/ + 1/ = 5/4 R 1 = {z : z 1} R = {z : z 1 i 1/} R 3 = {z : z + 1 5/4} R 4 = {z : z + + i 5/4} 14

15 R R 3 R R 4 Obrázek 4.1: Geršgorinovy kruhy Podle Geršgorinových vět tedy leží jedno vlastní číslo v kruhu R 1, jedno v kruhu R a zbylá dvě ve sjednocení kruhů R 3 R4. viz obr(4.1). Uved me přesnou hodnotu vlastních čísel: λ 1 = i λ = i.0678 λ 3 = i λ 4 =.069 i což přesně odpovídá poloze určené pomocí Geršgorinových kruhů. Poznámky ke Geršgorinově větě 1. Ze vztahu (4.4) pro maximální souřadnici x i můžeme získat odhad λ i a ii j i a ij min( a kk a kj ) k j i a min λ i ( a ii a ij ). i j i Pro matici s převládající diagonálou platí 0 < min( a ii i j i a ij ) λ i max i a ij = A j i 15

16 . K matici A můžeme pomocí jednoduché podobnostní transformace D 1 AD = B (D je diagonální) získat podobnou matici B, která má jiné Geršgorinovy kruhy. Potom všechna vlastní čísla leží v oblasti K A K B. Cílem těchto transformací je rozklad oblasti K na souvislé komponenty, případná izolace jednoho kruhu, ve kterém pak můžeme zaručit existenci právě jednoho vlastního čísla. 3. Pokud det(λi A) = det(λi A T ), můžeme vytvořit Geršgorinovy kruhy i pro matici A T a získat oblast K A K A T.,ve které vlastní čísla leží. ( ) ( ) 3 3 Příklad Matice A 1 = resp. A 1 1 = mají stejné oblasti K 1 1 A1 = K A := K A. Na obr. vidíme, že v případě matice A, žádný z malých kruhů neobsahuje vlastní číslo. Obrázek 4.: Použité značení: Hranice oblasti K A je značena přerušovaně Hranice oblasti K A T je značena plnou čarou Šedou barvou je značena hranice oblasti K A K A T vlastní čísla A 1 λ 1, = ± 3 vlatní čísla A λ 1, = ± i 16

17 Kapitola 5 Metody výpočtu dominantního vlastního čísla Úmluva: Očíslujeme-li vlastní čísla dané matice A tak, aby platilo λ 1 λ... λ n (každé číslo píšeme tolikrát, kolik činí jeho násobnost), pak budeme vlastní číslo λ 1 nazývat dominantní vlastní číslo. 5.1 Mocninná metoda Mocninná metoda je nejčastěji používanou metodou pro nalezení dominantního vlastního čísla a příslušného vlastního vektoru dané matice. Metoda je obzvlaště vhodná pro řídké matice, protože spočívá pouze v násobení sloupcových vektorů dané matice. Základní předpoklad k užití této metody je, že daná matice má dominantní vlastní číslo λ 1 a že nemá nelineární elementární dělitele, tj. že existuje n lineárně nezávislých vlastních vektorů této matice, kde n je řád matice. Konstrukce: Necht x je libovolný vektor, x R n, za předpokladu, že {v 1,...,v n } je množina lineárně nezávislých vlastních vektorů, můžeme vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů v i,i = 1,...,n x = α i v i. (5.1) i=1 Násobením obou stran rovnice (5.1) maticemi A,A,...,A k dostaneme systém rovnic Ax = α i Av i = α i λ i v i, A x = A k x = i=1 α i A v i = i=1 α i A k v i = i=1 17 i=1 α i λ iv i, (5.) i=1. α i λ k iv i. i=1

18 Pro λ k 1, které jsme vypočítali ze systému (5.), dostáváme A k x = λ k 1 i=1 α i ( λ i λ 1 ) k v i. Z předpokladu, že λ 1 je dominantní vlastní číslo a tedy λ 1 > λ j j =,...,n, plyne, že lim (λ j ) k = 0 k λ 1 a tedy lim k Ak x = lim λ k k 1α 1 v 1. (5.3) Tento postup bude konvergovat k nule, jestliže λ 1 < 1 a divergovat, jestliže λ 1 1, ovšem za předpokladu, že α 1 0. Poznámka Popsaná konstrukce je i důkazem následující věty. Věta Von Mises Jestliže matice A má n lineárně nezávislých vektorů a je-li vlastní číslo λ 1 dominantní a pro vektor x 0 R n platí, že x 0,v 1 0.Pak x 0 lim k (Ak ) = α 1 v 1. (5.4) λ k 1 Důsledek Je-li y libovolný vektor, který není ortogonální k vlastnímu vektoru v 1, plyne z věty 5.1.1,že λ 1 = lim k ( yt x k+1 y T x k ), kde x k+1 = Ax k = A k x 0. Definice Čísla yt x k+1 = y T Ax k se nazývají Schwarzovými konstantami. Algoritmus. Je zadána matice A Krok 1: Zvolíme x 0 Krok : Použijeme iterační formuli x k+1 = Ax k Krok 3: x k+1 = max{ x k+1 (j) x (j) λ k+1 } 1 = max j=1,...,n { x j n }. Krok n: Zastavení výpočtu po n krocích λ (j) 1 = max j=1,...,n { x (j) n } nebo zastavení výpočtu pro λ (k+1) 1 λ (k) 1 < δ. 18

19 Poznámka Nejčastější volbou počátečního vektoru x 0 je vektor x 0 = (1,...,1) T. Příklad Najděte dominantní vlastní číslo matice A = Řešení. Zvolíme x 0 = (1, 1, 1, 1, 1) T x 1 = Ax 0 = , 17 λ(1) 1 = 17 x 1 = , 1 x = Ax 1 = , λ() 1 = x = , x 10 = , 1 Vlastní čísla matice A jsou x 11 = Ax 10 = , 1.97 λ(11) 1 = λ 1 = 1.97,λ = ,λ 3 = ,λ 4 = i Takže je vidět,že po jedenácti krocích jsme dostali přesné řešení zadaného příkladu. 19

20 Příklad Pro matici A = však metoda nebude konvergovat, protože číselné hodnoty budou oscilovat. λ 1 = λ,3 = ± i.5118 λ,3 =.66 Absolutní hodnoty vlastních čísel jsou si rovny a tedy mocninná metoda nedokáže určit dominantní vlastní číslo. Poznámka Nevýhody mocninné metody: odhad chyby konvergence (obvykle v praxi nevíme, zda jsou splněny předpoklady mocninné metody) volba x 0 (bude-li vektor x 0 takovou lineární kombinací vlastních vektorů, že koeficient u vlastního vektoru odpovídajícího dominantnímu vlastnímu číslu bude roven 0, potom mocninná metoda nevypočte dominantní vlastní číslo). Poznámka Rychlost konvergence mocninné metody závisí hlavně na volbě vektoru x 0 a na velikosti podílu λ λ Metoda Rayleighova podílu Metoda Rayleighova podílu je modifikovanou mocninnou metodou a zaměřuje se na výpočet dominantního vlastního čísla symetrické matice. Pro tuto část tedy budeme vždy předpokládát, že matice A je symetrická. Potom vlastní vektory musí být ortonornální (tj. v T i v j = 0 pro i j, v T i v i = 1). Odvození: 1. Zvolíme x 0 jako lineární kombinaci vlastních vektorů x 0 = α i v i. i=1. Sestrojíme posloupnost x k = Ax k 1, x k = A k x 0, x k = α 1 A k v α n A k v n. 0

21 3. Platí Av i = λ i v i, potom x k = α 1 λ k 1v 1 + α λ k v α n λ k nv n, kde λ 1 je dominantní vlastní číslo. 4. Dostaneme x k = λ k 1[α 1 v 1 + i= α i ( λ i λ 1 )v i ]. Sumu n i= α i( λ i λ 1 )v i ] definujme jako w k, w k o. 5. Analogicky x k+1 6. Vyjádříme součin x T k x k, x T kx k = λ k 1[α 1 v 1 + i= α i ( λ i λ 1 )v T i ]λ k 1[α 1 v 1 + i= λ k 1 [α 1 + w T kw k ] α i ( λ i λ 1 )v i ] = λ k 1 [α 1 + i= α i( λ i λ 1 ) k ] = a součin x T k x k+1 Dostáváme x T kx k+1 = λ k 1[α 1 v T 1 + λ k+1 1 [α 1 + x T k lim Ax k k x T k x k i= i= α i ( λ i λ 1 ) k v T i ]λ k+1 1 [α 1 v 1 + i= α i( λ i λ 1 ) k+1 ] = λ k 1 [α 1 + w T kw k+1 ]. = lim k x T k Ax k+1 x T k x k = λk+1 λ k α i ( λ i λ 1 ) k+1 v i ] = 0 { }} { w T kw k+1 ) 1 (α1 + 1 (α1 + w T } kw {{ k+1 ) } 0 = λ 1. Poznámka Součin w T k w k konverguje k nule pro k dvakrát rychleji než w k k nulovému vektoru, z toho vyplývá, že metoda Raleighova podílu bude rychlejší než mocninná metoda. Příklad Metodou Rayleighova podílu určete dominantní vlastní číslo matice A =

22 Řešení 3. x 0 = (1 1 1) T Vlastní čísla matice A jsou x 1 = Ax 0 = 3, λ (1) 1 = xt 0x 1 =.3333, x T 0x 0 5 x = Ax 1 = 7, λ () 1 = xt 1x =.4118, x 5 T 1x 1 1 x 3 = Ax = 17, λ (3) 1 = xt x 3 =.414. x 1 T x λ 1 =.414,λ = 1,λ 3 = Tedy už po třech krocích jsme dostali přesné řešení. 5.3 Výpočet dalších vlastních čísel mocninnou metodou Pokud již známe vlastní číslo λ 1 matice A a k němu příslušný vlastní vektor v 1, můžeme vypočítat následující vlastní číslo λ a vlastní vektor v opět mocninnou metodou, kterou použijeme na redukovanou matici. Věta O redukci Necht λ 1 0 je vlastní číslo matice A s vlastním vektorem v 1 a vektor x je libovolný vektor s vlastností x T v 1 = 1. Potom vlastní čísla matice B = A λ 1 v 1 x T jsou 0,λ,...,λ n (kde λ 1,λ,...,λ n jsou vlastní čísla matice A). Důkaz. Necht J = V 1 AV = λ 1 δ λ δ......, δ n λ n je Jordanův tvar matice, kde δ i {0, 1}, i = 1,...,n 1. Jsou-li v 1,...,v n sloupce matice V, potom matice C = V 1 BV má tvar C = J λ 1 V 1 v 1 x T V = J λ 1 e 1 (x T v 1,...,x T v n ) =

23 ( ) 1 x = J λ T v...x T v n 1 = 0 1,n 1 0 n 1,n 1 0 δ 1 λ 1 x T v λ 1 x T v 3 λ 1 x T v n 0 λ δ 0 = δ n λ n což větu dokazuje (vlastní čísla jsou na diagonále). Výběr vektoru x: Věta o redukci zaručuje široký výběr vektoru x. Např. 1. Wielandtova redukce Výhoda této metody je v tom, že v každé další fázi pracujeme s menší maticí a provádíme méně výpočtů. Položíme x = 1 λ 1 v j 1r T j kde r j je j-tý řádek matice A a v j 1 0. Index j vybereme tak, aby odpovídal největší složce vektoru x.. Hotellingova redukce Zde položíme x = y 1, kde y 1 je levý vlastní vektor k λ 1 a je normalizován, tak, že platí y T 1 x = 1. Protože y 1 obvykle neznáme, používá se tato metoda nejsnadněji u symetrických matic, v tomto případě je x i = v i. 3

24 Kapitola 6 Metody pro výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů symetrických matic 6.1 Jacobiho metoda Jacobiho metoda může najít všechna vlastní čísla a jim odpovídající vlastní vektory symetrické matice A. Metoda je vhodná hlavně pro plné matice. Necht A je symetrická, potom existuje ortonormální báze složená z vlastních vektorů A = M T DM λ i jsou reálná vlastní čísla matice A, D = diag(λ 1,...,λ n ) a T je ortogonální matice. Při prvním kroku Jacobiho metody položíme A = A 1 a sestrojíme posloupnost {S k } k 1 elementárních ortogonálních matic takovou, aby A k+1 = S T ka k S k = (S 1...S k ) T A(S 1...S k ) k = 1,,... konvergující k D. Protože A k+1 jsou podobné matici A, mají stejná vlastní čísla. Necht S je matice tvaru cosα sin α 0 S = sin α cos α (tzn. matice rovinné rotace nebo Givensova transformace) kde prvky cosα jsou na pozcích (p,p) a (q,q),sinα na pozici (p,q) a sin α na pozici (q,p). Pak platí věta Věta Necht p,q jsou přirozená čísla, 1 p < q n, α je reálné číslo, necht S je ortogonální matice. 4

25 1. Je-li A = (a ij ) symetrická, je B = S T AS = (b ij ) symetrická a b ij = i,j=1 i,j=1. Je-li a pq 0, existuje jediné α π/4, 0) (0,π/4) tak, že kde α je jediné řešení rovnice b pq = 0, a ij cotg α = a qq a pp a pq Důkaz. ležící v této množině. Potom b ii = i=1 a ii + a pq. i=1 1. Protože A = SBS T a víme, že pro dvě matice K,L platí tr(kl) = tr(lk), máme a ij = tr(a T A) = tr(sb T S T SBS T ) = i,j= tr(sb T BS T ) = tr(s T SB T B) = tr(b T B) = i,j= b ij.. Transformace na pozicích (p,q);(q,q);(p,p);(q,p) má tvar a tedy [ ] [ ] [ ] [ ] bpp b pq cos α sin α app a = pq cos α sin α b qp b qq sin α cosα a qp a qq sin α cos α [ ] [ ] app cos α a = pq sin α a pq cos α a qq sin α cos α sin α a pp sin α + a pq cos α a pq sin α + a qq cos α sin α cos α b pp = a pp cos α a pq sin α cos α + a qq sin α a pp cos α + a qq sin α a pq sin α 5

26 b pq = b qp = a pp cos α sin α + a pq sin α + a pq cos α a qq sin α cos α = a pq cos α + 1/(a pq a qq ) sin α b qq = a pp sin α + a pq sin α cos α + a qq cos α a pp sin α + a qq cos α + a pq sin α Stejně jako v části (1) pro libovolné α. Zvolíme-li α tak, aby platilo je b pq = b qp = 0 a tedy ostatní a ii = b ii pro i p,q. Poznámka a pp + a qq + a pq = b pp + b qq + b pq cotg α = a pp a qq a pq b pp + b qq = a pp + a qq + a pq Při transformaci A B = S T A S se mění pouze p-té a q-té řádky a sloupce, přesněji pro libovolné α : b ij = a ij pro i p,q a j p,q b pi = b ip = a pi cos α a qi sin α pro i p,q b qi = b iq = a pi sin α a qi cos α pro i p,q b pp = a pp cos α + a qq sin α a pq sin α b qq = a pp sin α + a qq cos α + a pq sin α b pq = b qp = a pq cos α + 1 (a pp a qq ) sin α Použijeme-li vztahy mezi goniometrickými funkcemi, lze prvky matice B vyjádřit pomocí prvků matice A. 6

27 Postup výpočtu: Nejprve položíme Označíme-li t = tg α je t = K = a qq a pp a pq (= cotg α) { kořen t + Kt 1 pro K 0 1 pro K = 0 Dále c = t (= cosα) s = t 1 + t (= sinα) Pro prvky matice B platí vztahy: b pi = b ip = c a pi s a qi b qi = b iq = c a qi + s a pi i p,q i p,q b pi = b ip = a pp t a pq b pi = b ip = a qq + t a pq Uved me odvození např. pro b qq Protože a dále čitatel je b qq = a pp sin α + a qq (1 sin α) + a pq sin α = a qq (a qq + a pp ) sin α + a pq sin α = a qq + a pq (sin α cotg α sin α). cot α sin α + sin α = sin α cos α sin α sin α cos α 4 sin α cos α sin α cos α + sin 4 α = sin α(sin α + cos α) = sin α b qq = a qq + sin α cos α a pq = a qq + t a pq. Jeden krok Jacobiho metody: Máme-li sestrojenou matici A k = [a (k) ij ], vybereme (p,q) tak, aby a (k) p,q 0. Sestrojíme S k jako ve větě 6.1.1, určíme α ( π/4, 0) (0,π/4) tak, aby položíme cotg α k = a(k) qq a (k) pp, a (k) pq A k+1 = S T kas k = [a (k+1) ij ]. 7

28 Strategie pro volbu (p,q): 1. Klasická Jacobiho metoda: Zvolíme (p,q) taková, aby platilo a (k) pq = max i j a(k) ij a (p,q) se mění pro různá k.. Cyklická Jacobiho metoda: Nulují se všechny nediagonální prvky cyklickou smyčkou, např. (p,q) volíme (1, ) (1, 3)... (1,n); (, 3)... (,n);... ; (n 1,n). Zřejmě, je-li některý prvek nulový, postupujeme dále (tj. volíme α k = 0 nebo S k = I) 3. Prahová Jacobiho metoda: Postupujeme jako u cyklické Jacobiho metody, ale nediagonální prvky, které jsou v absolutní hodnotě menší než jistá mez, která se zmenšuje s každou smyčkou, se neanuluje. Poznámka Co se týče konvergence, ukážeme myšlenku důkazu pro nejjednodušší případ. Označíme P n množinu všech permutací čísel 1,,...,n. Věta Posloupnost matic {A k } k=1 získaných klasickou Jacobiho metodou je konvergentní, lim A k = diag(λ s(i) ) k pro jistou permutaci s P n. K důkazu potřebujeme následující lemma. Lemma Bud X konečnědimenzionální normovaný vektorový prostor, {x k } ohraničená posloupnost v X, která má pouze konečný počet hromadných bodů, necht Potom je posloupnost {x k } konvergentní. lim x k+1 x k = 0. k Důkaz. věty 6.1. Označme A k = [a (k) ij ] = D k + B k, D k = diag(a (k) ii ). Nejprve dokážeme, že lim k B k = 0. Označme Ω k = i j a (k) ij. Pak platí Ω k n(n 1) a (k) pq 8

29 nebot máme n(n-1) nediagonálních prvků a číslo a (k) pq je maximální. Dále podle věty Ω k+1 = Ω k a (k) ij, tedy tj. Ω k+1 (1 n(n 1) )Ω k lim Ω k = 0. k Nyní dokážeme, že lim k (D k+1 D k ) = O. Pro diagonální prvky matice A k+1 platí 0, i p,q, a (k+1) ii a (k) ii = (tg α k )a (k) pq, i = p, (tg α k )a (k) pq, i = q. Protože α k π/4 a lim k a (k) pq = 0 je důkaz proveden. Necht {D k } je posloupnost, která konverguje k matici D, potom také lim k A k = D, protože A k = D k + B k a lim k B k = 0. Tedy Matice A k det(λi D) = lim det(λi A k k ) = det(λi A). a A jsou podobné, tedy det(λi A k ) = det(λi A) pro všechna k. Takže D a A mají stejné charakteristické polynomy, tedy i stejná vlastní čísla. D proto musí být diagonální, D = diag(λ s(i) ) Posloupnost {D k }, kde D k je vektor dimenze n, je ohraničená, nebot D k = ( i,j=1 d (k) ij ) 1/ ( A k = A i,j=1 a (k) ij ) 1/ = Jsou tedy splněny předpoklady lemmatu a posloupnost {A k } konverguje. Příklad Klasickou Jacobiho metodou určete všechna vlastní čísla matice A = ,

30 Řešení 4. Maximální nediagonální prvek (v absolutní hodnotě) je 3 na pozici (1,3) p = 1 q = 3 K = a 33 a 11 a 13 t je kořen (s menší absolutní hodnotou) polynomu c = t = 0, = t = , t = s = t 1 + t = b 13 = b 31 = 0 b 11 = a 11 t a 13 = , b 33 = a 33 + t a 13 = , b 1 = c a 1 s a 3 = = b 1, b 14 = c a 14 s a 34 = = b 41, b 3 = c a 3 + s a 1 = = b 3, b 34 = c a 34 + s a 14 = = b 43, b = a b 44 = a 44 b 4 = b 4 = a 4. Pak dostaneme matici Nyní opět vybereme maximální prvek a stejným způsobem postupujeme dál. Po 7 krocích se dostamene k matici B = o Zde už je vidět, že nediagonální prvky konvergují k nule.po dalších sedmi krocích už dostaneme diagonální matici B = , kde diagonální prvky odpovídají vlastním číslům zadané matice A. 30

31 Nyní se budeme zabývat konvergencí vlastních vektorů klasické Jacobiho metody, kterou dokážeme pomocí následující věty. Připomeňme, že kde Q k = S 1...S k. A k+1 = S T ka k S k = Q T kaq k Věta Předpokládejme, že všechna vlastní čísla matice A jsou vzájemně různá. Potom posloupnost matic Q k, k = 1,..., konstruovaných klasickou Jacobiho metodou konverguje k ortogonální matici, jejíž sloupce tvoří ortogonální množinu vlastních vektorů matice A. Důkaz. Opět použijeme lemma 6.1.1, ověříme jeho předpoklady. {Q k } má pouze konečný počet hromadných bodů, které jsou nutně ve tvaru [±p s(1) ± p s() ±... ± p s(n) ], s P n, kde p 1,...,p n jsou sloupce ortonormální matice Q, pro níž Q T AQ = diag(λ i ). Necht {Q k } je podposloupnost posloupnosti {Q k }, Q k Q k. Podle věty 6.1. existují s P n tak, že diag(λ s(i) ) = lim k A k = lim k (QT k A k Q k ) = QT k A k Q k což bylo dokázáno. Všechna vlastní čísla jsou různá, tedy existuje pouze konečně mnoho hromadných bodů. Pro úhly určující S k máme tg α k = a(k) pq, α a (k) qq a (k) k π/4. pp Podle věty 6.1. odtud plyne, že existuje l tak, že pro k l je a (k) qq a (k) pp 1 min i j λ i λ j > 0. Protože se dvojice (p,q) mění s k, nemůžeme dokázat, že posloupnosti a (k) qq konvergují. Ale lim k a(k) pq = 0, tedy lim α k = 0 a lim S k = I k k Q k+1 Q k = Q k (S k I) 0. A konečně posloupnost {Q k } je ohraničená, protože Q k = 1. a a (k) pp Poznámka Při výpočtu můžeme průběžně kontrolovat výsledky tím, že po každém kroku zjišt ujeme, zda a (k+1) pp + a (k+1) qq = a (k) pp + a (k) qq. Nebo vypočítáme matici SDS T, která by se měla rovnat matici A. 31

32 Poznámka Přesnost Jacobiho metody závisí na tom, jak přesně se vypočítají odmocniny pro určení sinα k a cos α k. Poznámka Ačkoliv se Jacobiho metoda používá převážně pro symetrické matice, pracuje často dobře i v případě nesymetrických matic. V tomto případě ovšem konverguje k trojúhelníkové matici a má-li výchozí matice komplexní vlastní čísla, je nutné použít místo matic S k vhodné unitární matice. 6. Householderova matice zrcadlení Definice Matice tvaru H(u) : = I uut u T u = I uut u se nazývá Householderova matice (někdy též elementární zrcadlení nebo Householderova transformace). Vlastnosti: označení matice zrcadlení se používá proto, že aplikujeme-li matici H(u) pro nějaké u na vektor x R n, pak je vektor H(u)x souměrný s vektorem x podle nadroviny ortogonální k vektoru v. Obrázek 6.1: Householderova transformace matice I je speciální případ Householderovy transformace. Pro u = o je H(o) = I. Hx = x pro každé x R n, tj. zrcadlení tedy nemění délku vektoru. Hy = y pro každé y P = {v R n v T u = 0}. 3

33 H má jednoduchou vlastní hodnotu -1 a (n 1)-násobnou vlastní hodnotu 1. Důkaz. Protože y P = {v R n v T u = 0} má n 1 lineárně nezávislých vektorů y 1,..., y n 1 a Hy i = y i pro i = 1,,..., n 1, pak 1 je (n 1)-násobná vlastní hodnota a H také zrcadlí u na -u, tj. Hu = u. Takže -1 je vlastní hodnota matice H, která musí být jednoduchá, nebot H má pouze n vlastních hodnot. z věty o spektrálním rozkladu plyne Matice H je ortogonální a symetrická. det(h) = ( 1)1 1 = 1, Důkaz. Symetrie plyne z Dále platí H (u) = a proto je matice H(u) ortogonální. ( uu H T (u) = I T T ) T uu T = I u T u u = H(u). ) (I )(I uut uut = I 4 uut u T u u T u u + uu T 4uuT = I, u 4 Věta Pro každé dva vektory y, z R n takové, že y z a y = z, platí y = H(y - z)z. Jinými slovy, každé dva různé vektory o stejné normě lze převést jeden na druhý Householderovou transformací. Důkaz. Platí H(y z)z = (I (y z)(y z)t y z = z + y + z y T z y z ) z = z yt z z (y z) = y z (y z) = z + y z (y z) = y. y z Důsledek Jsou-li y, z dva vektory o stejné normě, potom existuje ortogonální matice Q taková, že y = Qz. Důkaz. Pro y z stačí vzít Q = H(y z), jinak Q = I. 33

34 Věta 6... Pro každé x R n je { H(x + sgn(x 1 ) x e 1 ), pro x 1 x, H = I, pro x 1 = x, ortogonální matice s vlastností Hx = x e 1. Nebo-li, aplikujeme-li vhodnou matici H na vektor x, dostaneme vektor, který má všechny složky až na první nulové. Důkaz. Je-li x 1 = x, potom z x 1 = x x n plyne, že x = = x n = 0. Tedy x = x 1 e 1 = x e 1 = Ix = Hx. Je-li x 1 x, potom x + sgn(x 1 ) x e 1 0, takže vektory y = sgn(x 1 ) x e 1 a z = x jsou různé a platí pro ně y = x = z, a odtud je y = sgn(x 1 ) x e 1 = H(y z)z = H( x sgn(x 1 ) x e 1 )x. Poznámka Pro vektor určující Householderovu matici lze volit bud + x e 1 nebo x e 1. Z důvodu minimalizace numerických chyb volíme stejné znaménko jako u první složky vektoru x. Věta Pro každé x takové, že x = 1, je { H(x + sgn(x 1 )w 1 ), pro x e 1, H = I, pro x = e 1. ortogonální matice, jejímž prvním sloupcem je vektor x. Důkaz. Pro x = e 1 je zřejmý. Necht tedy x e 1. Protože x = 1 = e 1, je podle Věty 6.. což je tvrzením věty. x = H(x + sgn(x 1 )e 1 ) = He 1 = H 1, Díky těmto větám tedy umíme najít vektor u tak, že daný nenulový vektor x se transformuje na vektor, který má nenulovou pouze první složku. Příklad Lze x = ( 1,, 7) T H(u) (α, 0, 0) T? Protože x = 3 6, položíme u = x x e 1 = ( 1 3 6,, 7) T a u = 6( ). Dále uu T = ( ,, 7) = , takže H(u) = Snadno lze ověřit, že ( ) H(u)x = (3 6, 0, 0) T. 34.

35 6.3 Givensova-Householderova metoda Jedná se o metodu speciálně vhodnou k hledání některých vlastních čísel symetrických matic, např. všech vlastních čísel obsažených v předem zadaném intervalu. Umožňuje počítat vlastní čísla s různou přesností. Na druhé staně nám neposkytuje informace o vlastních vektorech. Má dvě etapy: Householderova metoda pro redukci symetrické matice na třídiagonální tvar. Givensova metoda (metoda bisekce) pro výpočet vlastních čísel symetrické třídiagonální matice Householderova metoda Necht A je symetrická matice, postupně se určuje n ortogonálních matic H 1,...,H n, tak, aby matice A k = H T k 1 A k 1 H k 1 = byly ve tvaru Tudíž matice (H 1...H k 1 ) T A (H 1...H k 1 ), k = 1,...,n a T k A k = a k A n 1 = (H 1...H n ) T A (H 1...H n ) je třídiagonální a také podobná matici A. Každá transformace A k A k+1 = H T k A k H k se provádí pomocí matice [ ] Ik 0 H k =, 0 Hk kde H k = H(ṽ k ), kde ṽ k byl zvolen tak, aby pouze první složka H(v k )a k byla nenulová. 35

36 Potom zřejmě a T H k k H T k A k H k =, H T k a k tj.po vhodné volbě ṽ k máme další část třídiagonální matice. Matici H k můžeme popsat také jako Householderovu matici příslušnou vektoru Máme dvě možné volby vektoru v k : v k = [0,...,0,ṽ k ] T. v k = [0,...,0,a (k) k+1,k ± ( i=k+1 a (k) ik ) 1/,a (k) k+,...,a(k) n,k ]T, znaménko se volí stejné jako je znaménko u a (k) k+1,k. Máme-li určen vektor v k, prvky a (k+1) k + 1 i, j n matice A k+1 = [a (k+1) ij ] určíme následovně: Postupně určíme vektory w k = (v T kv k ) 1/ v k, jejichž složky označíme w (k) i q k = (I w k w T k )A k w k,, q (k) i. Potom matice A k+1 má tvar A k+1 = A k w k q T k q k w T k ij, tj. k + 1 i,j n. a (k+1) ij = a (k) ij w (k) i q (k) j q (k) i w (k) j Příklad Householderovou transfornací převed te matici 4 1 A = na třídiagonální tvar. 36

37 Řešení 5. v 0 = ( 0 + ( ) 1 ) T, w 0 = (v T 0v 0 ) 1 v0 = ( ) T, q 0 = (I w 0 w T 0 )Aw 0 = ( ) T, A 1 = A w 0 q T 0 q 0 w T 0 = , v 1 = ( ( 1.8) 1.8 ), w 1 = ( ) T, q 1 = ( ) T, A = A 1 w 1 q T 1 q 1 w T 1 = Givensova metoda Metoda slouží k určení vlastních čísel symetrické třídiagonální matice b 1 c 1 c 1 b c B = c n b n 1 c n 1 Pokud je některé z čísel c i nula, rozpadá se matice B na dvě třídiagonální matice stejného typu. Tedy bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že c i 0, (i = 1,...,n 1). Označme b 1 c 1 c 1 b c B i = , c i 1 b i 1 c i 1 c i b i i = 1,...,n c n 1 Věta Polynomy p i (λ), λ R, definované pro i = 1,...,n rekurentně p 0 (λ) = 1 b n mají následující vlastnosti: p 1 (λ) = b 1 λ p i (λ) = (b i λ)p i 1 (λ) c i 1p i (λ), i n 37

38 1. Polynom p i je charakteristický polynom matice B i (p i (λ) = det(b i λi)).. lim p i(λ) = +, λ i = 1,...,n 3. Jestliže p i (λ 0 ) = 0, potom p i 1 (λ 0 )p i+1 (λ 0 ) < 0, i = 1,...,n 1 4. Polynom p i má vzájemně i různých kořenů, které oddělují i + 1 kořenů polynomu p i+1, i = 1,...,n. Důkaz. 1. Plyne z rozvoje det(b i λi). p i (λ) = ( 1) i λ i... pro λ 3. Necht p i (λ 0 ) = 0 pro nějaké i, i = 1,...,n 1, z definice p i plyne p i+1 (λ 0 ) = c i p i 1 (λ 0 ). Protože c i 0, dostaneme bud p i 1 (λ 0 ) p i+1 (λ 0 ) < 0 nebo p i 1 (λ 0 ) = p i (λ 0 ) = p i+1 (λ 0 ) což by indukcí vedlo k tomu, že p i (λ 0 ) = p i 1 (λ 0 ) =... = p 1 (λ 0 ) = p 0 (λ 0 ), což je spor, protože p 0 (λ 0 ) = Plyne z a 3. Poznámka Posloupnost polynomů splňující -4 se nazývá Sturmova posloupnost (používá se při výpočtu kořenu polynomů). Příklad Pomocí charakteristického polynomu určete vlastní čísla třídiagonální matice A z příkladu A =

39 Řešení 6. p 0 (λ) = 1 p 1 (λ) = 4 λ p (λ) = ( λ)(4 λ) 9 p 3 (λ) = ( 1.4 λ)[( λ)(4 λ) 9] 10(4 λ) p 4 (λ) = (1.4 λ)[( 1.4 λ)[( λ)(4 λ) 9] 10(4 λ)] 0.04[( λ)(4 λ) 9] = Kořeny polynomu p 4 (λ) jsou λ 4 λ 3 9λ + 58λ λ 1 = λ = λ 3 = λ 4 = Věta Bud i přirozené číslo, 1 i n. Pro dané µ R položme { sgnp i (µ) je-li p i (µ) 0, sgnp i (µ) = sgnp i 1 (µ) je-li p i (µ) = 0. Potom N(i, µ), což je počet znaménkových změn v posloupnosti po sobě jdoucích prvků uspořádané množiny N(i,µ) = {+, sgnp 1 (µ),...,sgnp i (µ)} se rovná počtu kořenů polynomu p i, které jsou menší než µ. Tato věta umožňuje aproximaci (s libovolnou přesností) vlastních čísel matice B = B n a dokonce přímý výpočet vlastního čísla na dané pozici. Předpokládejme například, že chceme aproximaci i-tého vlastního čísla λ (n) i = λ i matice B ( jako předtím předpokládáme, že λ 1,...,λ n jsou vzájemně různá a uspořádaná sestupně). Krok 1: Určíme interval a 0,b 0, v němž leží žádané vlastní číslo, např. a 0 = b 0 = B. Krok : c 0 = a 0 + b 0, spočteme N(n,c 0 ). Potom bud N(n,c 0 ) i a λ i < a 0,c 0 ) nebo N(n,c 0 ) < i a λ i < c 0,b 0 > tím získáme interval < a 1,b 1 >, v němž leží kořen λ i. Postupně získáme posloupnost intervalů < a k,b k >, k 0 takových, že λ i < a k,b k > a b k a k = k (b 0 a 0 ), k 0. 39

40 6.4 QR-rozklad Definice Dvojici matic Q a R nazveme QR-rozkladem matice A, pokud platí, že A = QR, přičemž Q je ortogonální matice a R je horní trojúhelníková matice. Nyní uvedeme věty o existenci QR-rozkladu a jeho jednoznačnosti. Věta K libovolné reálné matici A R m n, kde m n, existuje ortogonální matice Q R m m a horní trojúhelníková matice R R m n tak, že platí A = QR. Věta Jsou-li sloupce matice A R m n, m n, lineárně nezávislé, potom v QRrozkladu jsou matice R a prvních n sloupců matice Q určeny až na znaménko jednoznačně. Důkazy obou vět viz [] 6.5 Konstrukce QR-rozkladu QR-rozklad pomocí Gram-Schmidtova algoritmu Věta (Gram-Schmidtův QR-rozklad). K libovolné reálné matici A R m n, kde m n, existuje ortogonální matice Q R m m a horní trojúhelníková matice R R m n s nezápornými prvky na diagonále tak, že platí A = QR. V případě lineárně nezávislých sloupců matice A jsou prvky na diagonále kladné. Základní myšlenka důkazu: Máme-li matici A R m n, pak aplikací zobecněného Gram- Schmidtova ortogonalizačního procesu na sloupce matice A (ty mohou být lineárně závislé i nezávislé) a doplněním těchto vektorů na bázi v R m získáme sloupce matice Q. Uvažujme matici A = (a 1... a n ) složenou ze sloupcových vektorů. Pak u 1 = a 1, e 1 = u 1 u 1, u = a p e1 a, e = u u, u 3 = a 3 p e1 a 3 p e a 3, e 3 = u 3 u 3,. k 1 u k = a k p ej a k, j=1 e k = u k u k, 40

41 kde p u v = <v, u> <v, v> u. Po úpravě obdržíme vzorce pro vektory a i a 1 = e 1 u 1, a = p e1 a + e u, a 3 = p e1 a 3 + p e a 3 + e 3 u 3,. k 1 a k = p ej a k + e k u k. j=1 Označme Q = (e 1... e n ). Nyní máme < e 1, a 1 > < e 1, a > < e 1, a 3 > < e 1, a n > 0 < e, a > < e, a 3 > < e, a n > R = Q T A = 0 0 < e 3, a 3 > < e 3, a n >, < e n, a n > nebot QQ T = I a < e j, a j >= u j, < e j, a k >= 0 pro j > k Příklad Proved me QR-rozklad matice A = Řešení 7. Gram-Schmidtovým procesem dostaneme U = (u 1 u u 3 ) = Matici Q potom získáme jako Q = ( u1 u 1 u u ) u 3 = u 3 6/7 69/175 58/175 3/7 158/175 6/175. /7 6/35 33/35 A = QQ T A = QR, takže Algoritmus Mějme matici A. Položme R = Q T A = r 11 = a 1, q 1 = a 1 r 11, 41

42 pro k =,..., n spočítejme: r jk = < q j, a k > pro j = 1,..., k 1, k 1 z k = a k r jk q j, j=1 r kn = < z k, z n > q k = z k r kk. Metodu lze také upravit tak, že zaměníme pořadí operací. Tedy položme Pak pro k =,..., n, spočtěme r kk = a (k 1) k, A 0 A. q k = a(k 1) k, r kk r ki = q T ka (k 1) i pro i = k + 1,..., n, A (k) = A (k 1) q k r T k. Z formálního hlediska jde o změnu pořadí operací, ovšem z numerického hlediska obdržíme kvalitativně různé výsledky QR-rozklad pomocí Householderovy matice Věta 6.5. (Householderův QR-rozklad). Každou matici A R m n lze pomocí s = min{n, m 1} Householderových matic rozložit na součin QR, a to tak, že platí ( R1 ) 0 m > n, H s H H 1 A = Q T A = (R 1, 0) m < n, R m = n. Důkaz. Konstrukce QR-rozkladu Mějme reálnou matici A a 11 a 1n a 1 a n A = a m1 a mn Krok 1.: Zkonstruujme Householderovu matici H 1 tak, aby H 1 A měla v prvním sloupci pouze samé 0 s výjimkou pozice (1, 1), tj. aby 0 H 1 A =

43 K tomu stačí získat vektor u n (dle předchozího) tak, že pro platí H 1 H 1 = I u nu T n u T nu n a 11 a 1. a m1 = Označme A (1) : = H 1 A. A (1) je tvaru a 11 A (1) 0 =... 0 Krok.: Zkonstruujme Householderovu matici H tak, že H A (1) má ve druhém sloupci 0 pod pozicí (, ) při zachování požadavku prvního kroku, tj. 0 A () : = H A (1) = Matici H získáme tak, že nejdříve zkonstruujeme Householderovu matici o rozměru (m 1) (n 1) takovou, že a definujme Tím získáme matici A () = H A (1). Analogicky pokračujeme dále. Ĥ : = I n 1 u n 1u T n 1 u T n 1u n 1 Ĥ a a 3. a m = 0., H : = 0. Ĥ 0 Pro k s. Krok k-tý: Obecně vytváříme Householderovu matici. Ĥ k : = I n k+1 u n k+1u T n k+1 u T n k+1 u n k+1 43

44 o rozměru (m k + 1) (n k + 1) takovou, že a kk Ĥ k. = 0.. a mk 0 Definujeme čili můžeme spočítat A (k) = H k A (k 1). ( ) Ik 1 0 H k : =, 0 Ĥ k Tímto způsobem po s krocích obdržíme matici A (s), která bude v horním trojúhelníkovém tvaru a bude právě maticí R. Protože A (k) = H k A (k 1) k =,..., s, máme Položme R = A (s) = H s A (s 1) = H s H s 1 A (s ) = = H s H s 1 H H 1 A. Q T = H s H s 1 H H 1. Máme hledanou ortogonální matici (nebot každá z H i je ortogonální). Celkem tj. R = Q T A, A = QR. (Zopakujme si, že Q = H T 1 H T H T s = H 1 H H s.) Příklad Uvažme matici Řešení 8. Krok 1.: Konstrukce H A = H = Potom tedy dle Příkladu 6..1 spočteme 0 u 3 = = 1, takže H 1 = I 3 u 3u T 3 u T 3u 3 = =

45 Určeme 3 A (1) = H 1 A = Krok.: Zkonstruujeme ( ) ( ) 0, 071 Ĥ = =, 1, ( ) ( ) ( ) 0, , 4318 u = 1, 47 =, 1, , 071 ( ) 0, , 9856 Ĥ =, 0, , 1691 tzn H = 0 0, , 9856, 0 0, , 1691 a spočítáme 1, 414, 113, 884 A () = H A (1) = H H 1 A = 0 1, 47 1, 6330 = R 0 0 0, 5774 Pro Q nyní platí 0 0, , 5774 Q = H H 1 = 0, , 408 0, , , 408 0, 5774 Celkem tedy A = 1 3 = , , , 414, 113, 884 0, , 408 0, , 47 1, 6330 = QR. 0, , 408 0, ,

46 6.5.3 QR-rozklad pomocí Givensovy matice Definice Matice tvaru c s 0 G(i, j, c, s) : = = I+(c 1)(e i e it +e j e jt )+s(e i e it e j e jt ), 0 s c kde c + s = 1, se nazývá Givensova matice, která nám mezi jinými popisuje Givensovu transformaci. Obrázek 6.: Geometrický význam Givensovy rotace Givensovu matici značíme G(i, j, α). Opět chceme setrojit matice Q 1, Q,..., Q s tentokrát však pomocí Givensových matic tak, aby A (1) = Q 1 A měla nuly pod prvkem (1, 1) v prvním sloupci, matice A () = Q A (1) měla nuly pod prvkem (, ) ve druhém sloupci, atd. Každou z matic Q i lze sestrojit jako součin Givensových matic ten je možné sestrojit takto: Bud s = min{m 1, n}. Pak Q 1 : = G(1, m, α)g(1, m 1, α) G(1, 3, α)g(1,, α) Q : = G(, m, α)g(, m 1, α) G(, 3, α). R = A (s) = Q s A (s 1) = = Q s Q s 1 Q Q 1 A = Q T A. Nyní máme A = QR, kde Q T = Q s Q Q 1. To lze zformulovat do následující věty. 46

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

M5960 Vybrané partie z aplikované matematiky seminář QR- -ROZKLAD

M5960 Vybrané partie z aplikované matematiky seminář QR- -ROZKLAD M596 Vybrané partie z aplikované matematiky seminář QR- -ROZKLAD Petr Zemánek, Brno 6 petrzemanek@mailmunicz Obsah Trocha historie Motivace QR-rozklad 4 4 Konstrukce QR-rozkladu 5 4 QR-rozklad pomocí Gram-Schmidtova

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro 1 nebo více pravých stran Výpočet

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Cvičení 5 - Inverzní matice

Cvičení 5 - Inverzní matice Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague spektra e Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 70 spektra e 1 2 3 spektra e Hessenbergovy 4 2 / 70 - aplikace (eigenvalues and eigenvectors)

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Numerická matematika Banka řešených příkladů

Numerická matematika Banka řešených příkladů Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Vyučující: Jan Chleboun, místnost B-305, linka 3866 Konzultace: čtvrtek 13:00-14:40 nebo dle dohody

Vyučující: Jan Chleboun, místnost B-305, linka 3866 Konzultace: čtvrtek 13:00-14:40 nebo dle dohody Předmět: MA04 Vyučující: Jan Chleboun, místnost B-305, linka 3866 (jan.chleboun@cvut.cz) Konzultace: čtvrtek 13:00-14:40 nebo dle dohody Sledovat informace na webových stránkách vyučujícího (o zkoušce,

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Afinní transformace Stručnější verze

Afinní transformace Stručnější verze [1] Afinní transformace Stručnější verze je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím body a vektory: afinní prostor využití například v počítačové grafice a)

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Metody pro výpočet kořenů polynomů

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Metody pro výpočet kořenů polynomů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Metody pro výpočet kořenů polynomů Vedoucí diplomové práce: RNDr. Horymír Netuka,

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Kapitola 5. Symetrické matice

Kapitola 5. Symetrické matice Kapitola 5 Symetrické matice Symetrické matice mají mezi všemi maticemi významné postavení. Nejen, že se častěji vyskytují v aplikacích, ale i jejich matematické vlastnosti jsou specifické. V této kapitole

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Moderní numerické metody

Moderní numerické metody Moderní numerické metody Sbírka příkladů doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Moderní numerické metody 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 7 2 Řešení jedné nelineární

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více