Numerické metody pro nalezení

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Numerické metody pro nalezení"

Transkript

1 Masarykova univerzita Brno Fakulta přírodovědecká Katedra aplikované matematiky Numerické metody pro nalezení vlastních čísel matic Diplomová práce květen 006 Alena Baštincová

2 Poděkování V úvodu bych ráda poděkovala vedoucí diplomové práce Prof. RNDr. Ivaně Horové, CSc. z katedry aplikované matematiky PřF MU v Brně za pečlivé přečtení textu, cenné rady, připomínky k práci a za trpělivost. Dále bych chtěla poděkovat svým rodičům za veškerou podporu, které se mi v průběhu studia dostalo.

3 Prohlášení Čestně prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci vypracovala samostatně a použila jsem pouze uvedenou literaturu. V Brně dne 0. května 006

4 Obsah 1 Základní kapitola 7 Typy metod pro hledání vlastních čísel 8 3 Klasické metody určení koeficientů charakteristického polynomu Krylovova metoda Faddějevova-Leverrierova metoda Poloha a odhad vlastních čísel Geršgorinovy věty Metody výpočtu dominantního vlastního čísla Mocninná metoda Metoda Rayleighova podílu Výpočet dalších vlastních čísel mocninnou metodou Metody pro výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů symetrických matic Jacobiho metoda Householderova matice zrcadlení Givensova-Householderova metoda Householderova metoda Givensova metoda QR-rozklad Konstrukce QR-rozkladu QR-rozklad pomocí Gram-Schmidtova algoritmu QR-rozklad pomocí Householderovy matice QR-rozklad pomocí Givensovy matice Srovnání algoritmů QR-rozklad a vlastní čísla matice A QR-algoritmus Podmíněnost problému vlastních čísel Globální číslo podmíněnosti Odhad chyby vypočítaného vlastního čísla Relativní chyba vypočítaného vlastního čísla

5 Úvod Cílem mé diplomové práce je popsat numerické metody pro nalezení vlastních čísel matic. Vlastní čísla a vlastní vektory mají velmi široké spektrum aplikací, například se používají při hledání řešení diferenciálních rovnic a jejich soustav a to jak u obyčejných difarenciálních rovnic, tak u parciálních diferenciálních rovnic a jejich soustav. Totéž platí i pro diferenční rovnice a jejich soustavy. Mnohé technické problémy se dají popsat pomocí diferenciálních nebo diferenčních rovnic a jejich soustav, jako například popis obvodů v elektrotechnice.pokud má obvod větší počet prvků, dostáváme soustavu diferenciálních rovnic vyššího řádu. Pro jejich řešení potřebujeme znát vlastní čísla matice soustavy. Odtud je zřejmá duležitost úlohy o nalezení vlastních čísel matice. Přímé metody hledání vlastních čísel jsou mnohdy neefektivní a proto je nutné řešit tuto úlohu numericky. Při numerickém řešení se sice dopouštíme určité chyby, ale současně se dostaneme k řešení, alespoň přibližnému, v relativně kratším čase s požadovanou přesností. Ve své práci nejdříve definuji základní pojmy, nevěnuji se přímým metodám výpočtu vlastních čísel a zabývám se numerickými metodami jejich určení. Postupně uvádím řadu způsobů nalezení vlastních čísel a jim příslušným vlastním vektorům. Nejdříve uvádím klasické metody určení kořenů charakteristického polynomu, dále se věnuji odhadu polohy vlastních čísel, poté následují metody výpočtu dominantního vlastního čísla. Nejvíce místa věnuji metodám pro výpočet vlastních čísel symetrických matic. Závěrečná kapitola je věnována problému podmíněnosti vlastních čísel. Nevěnovala jsem se rozboru jednotlivých algoritmů při jejich zpracování na počítači, protože tato problematika závisí na volbě programovacího jazyka a softwarovém vybavení počítače. 5

6 Označení N množina přirozených čísel Z množina celých čísel R množina reálných čísel C množina komplexních čísel p n (x) polynom n-tého stupně proměnné x A m,n matice typu m,n (s m řádky a n sloupci) A = (a ij ) matice s prvky a ij I jednotková matice e i jednotkový vektor s 1 na i-tém místě O nulová matice o nulový vektor det A = A determinant matice A A 1 matice inverzní k matici A hod (A) hodnost matice A tr(a) stopa matice A ρ(a) spektrální poloměr matice A A H matice hermitovsky sdružená, tj.a H = ĀT (R n, +,.) vektorový prostor všech uspřádaných n-tic dimp dimenze prostoru P. <, > standardní skalární součin x norma vektoru x x eukleidovská norma vektoru x A norma matice A A euklidovská norma matice A A krychlová norma matice A konec důkazu 6

7 Kapitola 1 Základní kapitola Definice Necht A je čtvercová matice řádu n. Její vlastní čísla λ 1,...,λ n jsou kořeny rovnice det(a λi) = 0, zvané charakteristická rovnice. Ke každému vlastnímu číslu λ i existuje aspoň jedno nenulové řešení soustavy rovnic Ax = λ i x. Toto řešení x i, kde x T i = (x (1) i,x () i,...,x (n) i ), nazveme pravým vlastním vektorem matice A. (Všude v dalším bude pojem vlastní vektor značit výhradně pravý vlastní vektor.) Levý vlastní vektor y i odpovídající vlastnímu číslu λ i je řešením rovnice y T A = λ i y T. Levý vlastní vektor matice A je tedy vlastním vektorem transponované matice A T a snadno lze ukázat, že odpovídá-li levý vlastní vektor y k vlastnímu číslu λ k a pravý vlastní vektor x i vlastnímu číslu λ i a platí λ k λ i jsou vektory y k a x i ortogonální. (Ve většině dále uvedených příkladů se budou vyskytovat reálné matice, budeme předpokládat, pokud nebude řečeno jinak, že matice A je reálná. Mnohé věty budou však platit i pro komplexní matice nebo budeme-li předpokládat symetrii, pro hermitovské matice, (důkazy následujících vět viz. [8]). Věta Jsou-li λ 1,...,λ n vlastní čísla matice A, má matice A k vlastní čísla λ k 1,...,λ k n. Obecněji, je-li p(x) libovolný polynom, má matice p(a) vlastní čísla p(λ 1 ),...,p(λ n ). Věta Je-li matice A reálná a symetrická, jsou všechna její vlastní čísla a všechny příslušné vlastní vektory reálné. Kromě toho vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům jsou ortogonální a levý vlastní vektor a pravý vlastní vektor příslušné témuž vlastnímu číslu jsou si rovny. Věta Podobnostní transformace PAP 1 nemění vlastní čísla matice A. Věta (Cayley-Hamilton) Necht je f(λ) = det(a λi) = 0 charakteristická rovnice matice A. Pak platí f(a) = 0. Věta Vlastní čísla horní (dolní) trojúhelníkové matice jsou prvky na její diagonále. Věta Libovolná matice A je podobná diagonální matici D právě tehdy, když má matice Akompletní soubor n lineárně nezávislých vlastních vektorů. 7

8 Kapitola Typy metod pro hledání vlastních čísel Podle základní definice víme, že vlastní čísla dané matice jsou kořeny jejího charakteristického polynomu. Z algebraické teorie víme, že kořeny polynomu stupně n > 4 nemůžeme algebraicky (tj. pomocí operací ±,,, ) vyjádřit ve tvaru vzorce. Proto se obecně nedají získat vlastní čísla přesně ( až na zaokrouhlovací chyby) po konečném počtu operací. K řešení našeho problému můžeme přistupovat více způsoby. 1. Použijeme-li libovolnou metodu na hledání kořenů charakteristického polynomu p(λ). Pro jednoduchý kořen můžeme použít Newtonovu metodu c i+1 = c i p(c i )/p (c i ) i = 1,,..., při vhodné volbě počáteční aproximace c 0, metodu sečen, metodu půlení intervalu atd. Modifikovaná Newtonova metoda se dá použít i na hledání násobných kořenů. V případě komplexně sdružené dvojice kořenů můžeme použít např. Bairstowovu metodu. Hledání velkého počtu kořenů tímto způsobem je však dost náročné a problém bývá nestabilní.. Získání vlastních čísel bez znalostí charakteristického polynomu, při využívání vlastností podobných matic. Cílem je najít podobnou matici v jednodušším tvaru, ze kterého se dá vlastní číslo určit (například z diagonální nebo trojúhelníkové matice). Takovou matici (někdy jen některé její vlastní číslo) můžeme získat jako limitu posloupnosti podobnostních transformací. Výběr těchto transformací bývá založen na speciálních vlastnostech matic a jejich vlastních vektorů. 3. Nelineární přístup, vlastní problém (A λi)x = 0 uvažujeme jako soustavu n rovnic pro n + 1 neznámých x 1,...,x n,λ, kterou doplníme normovanou podmínkou například x i = 1 na soustavu n + 1 nelineárních rovnic. Tato soustava se dá řešit například Newtonovou metodou. Přitom se však nevyužívají algebraické vlastnosti soustavy, které můžou výpočet značně ulehčit. Proto je tento postup značně neefektivní. Poznámka.0.1. Pod pojmem úplný problém vlastních čísel se rozumí úloha najít všechna vlastní čísla a případně i příslušné vlastní vektory. 8

9 Pojem částečný problém vlastních čísel znamená najít jedno nebo více vlastních čísel spolu s příslušnými vlastními vektory. Úplný a částečný problém vystupují jako naprosto odlišné úlohy nejen oborem aplikací, ale i metodami řešení. Řešení úplného problému je náročnější. Neexistuje univerzální algoritmus, který by byl stejně efektivní pro všechny typy matic. 9

10 Kapitola 3 Klasické metody určení koeficientů charakteristického polynomu Dříve se většina metod na výpočet vlastních čísel zakládala právě na výpočtu koeficientů charakteristického polynomu. Jejich výpočet pomocí součtu hlavních minorů je však nerentabilní. Existují mnohem jednodušší metody na určení koeficientů, které mají stejný charakter (tj. při výpočtu bez zaokrouhlování získáme po konečném počtu kroků přesné koeficienty). Zaokrouhlovací chyby však můžou vypočítané koeficienty hodně oddálit od jejich přesných hodnot. Proto se tyto metody moc nepoužívají. 3.1 Krylovova metoda Charakteristickou rovnici můžeme zapsat ve tvaru Z Cayleyovy Hamiltonovy věty plyne Tedy pro každý vektor y platí n 1 p(λ) = λ n + b i λ i = 0. i=0 n 1 A n + b i A i = 0. i=0 n 1 A n y + b i A i y = O. (3.1) Rovnice (3.1) je soustava n lineárních rovnic pro n neznámých b 0,...,b n 1. i=0 Poznámka K výpočtu vektoru A i y podle rovnice A i y = A(A i 1 y) je třeba n násobení, takže k sestavení soustavy (3.1) je třeba řádově n 3 operací. 10

11 3. Faddějevova-Leverrierova metoda Metoda se opírá o fakt, že součet vlastních čísel libovolné matice je roven její stopě. Algoritmus Faddějěvovy-Leverrierovy metody počítá jednoduchým způsobem kořeny charakteristické rovnice. Algoritmus 1. Je dána matice A řádu n. Krok 1: Položme B 1 = A pak p 1 = tr(b 1 ) Krok : B = A(B 1 p 1 I) a p = 1 tr(b ). Krok n: B n = A(B n 1 p n 1 I) a p n = 1 n tr(b n) Krok n+1: Charakteristický polynom je ve tvaru p(λ) = λ n p 1 λ n 1... p n 1 λ p n. Poznámka Pro inverzní matici A 1 platí A 1 = 1 p n (B n 1 p n 1 I). Poznámka 3... Důkazy konvergence popsaných metod v této kapitole a analýzu chyb můžeme najít v literatuře, viz.[1],[10]. Příklad Najděte koeficienty charakteristického polynomu užitím F.-L. metody pro matici A = B 1 = A tr(b 1 ) = 30 p 1 = 30, B = A(B 1 30I) = p = 1 tr(b ) = 1 ( 638) = 319,, B 3 = A(B + 319I) = , p 3 = 1 3 tr(b 3) = = 1470, 3 B 4 = A(B I) =

12 p 4 = 1 tr(b 4) = 1 ( 855) = 138, 4 p(λ) = λ 4 30λ λ 1410λ Poznámka F.-L. metoda je i přes jednoduchý algoritmus méně výhodná než Krylovova metoda, protože vyžaduje skutečně počítat matice A k pro k = 1,...,n. 1

13 Kapitola 4 Poloha a odhad vlastních čísel 4.1 Geršgorinovy věty Přesná znalost vlastních čísel dané matice nás v některých praktických aplikacích nemusí zajímat a stačí znát polohu vlastních čísel v určitých oblastech komplexní roviny. Tyto informace můžeme získat i bez přímých výpočtů vlastních čísel dané matice. K nalezení polohy vlastních čísel lze použít následující větu. Věta Geršgorinova věta Necht A = {a ij } je čtvercová matice řádu n. Definujme r i := j=1,j i a ij, i = 1,...,n. (4.1) Potom každé vlastní číslo λ matice A splňuje aspoň jednu z následujících nerovností λ a ii r i, i = 1,...,n. (4.) Jinými slovy, všechna vlastní čísla matice A leží v oblasti n K = R i, (4.3) kde R i jsou kruhy o poloměru r i a středu a ii. i=1 Důkaz. Necht λ je vlastní číslo matice A a x je vlastní vektor odpovídajíci vlastnímu číslu λ. Potom ze vztahu Ax = λx nebo ze vztahu (A λi) = 0 dostaneme (λ a ii )x i = a ij x j, j=1,j i i = 1,...,n kde x i je i-tý prvek vektoru x. Necht x k je největší prvek vektoru x (v absolutní hodnotě). Protože x j / x k 1 pro j k, je λ a kk a kj ( x j / x k ) a kj. (4.4) j=1 j=1,j k Tedy λ leží v kruhu {λ : λ a kk r k }. 13

14 Definice Kruhy R i := {z : z a ii r i }, i = 1,...,n, se nazývají Geršgorinovy kruhy v komplexní rovině. Poznámka Věta nám nezaručuje, že v každém kruhu bude nějaké vlastní číslo, pouze nám říká, že vlastní čísla matice A leží ve sjednocení Geršgorinových kruhů. Následující věta polohu vlastních čísel upřesňuje. Věta Geršgorinova zobecněná věta Necht r Geršgorinových kruhů je disjunktních. Pak právě r vlastních čísel matice A leží ve sjednocení těchto kruhu. Důkaz. V důkazu této věty se používa vlastností z komplexní analýzy, viz []. Poznámka Určení polohy vlastního čísla dané matice pomocí Geršgorinových vět je poměrně jednoduché. Pro zajímavost uvedeme ještě jednu větu, která sice také určuje polohu vlastních čísel, ale její použití je už složitějsí a v určitých příkladech nepraktické. Věta Necht A je čtvercová (obecně komplexní) matice n-tého řádu, necht α je (komplexní) číslo, pro které stopa matice tr((αi A) 1 ) 0. Pak v každém uzavřeném kruhu obsahujícim číslo α a α, kde n α = α tr((αi A) 1 ), leží alespoň jedno vlastní číslo matice A. n (α α) Definujme r =, pak v kruhu o středu a poloměru r leží alespoň tr((αi A) 1 ) jedno vlastní číslo matice A. Poznámka Tato věta není obecně známa a vyplýva z vět o kořenech polynomiální rovnice.důkaz viz.[9] Příklad Užitím Geršgorinových vět určete přibližnou polohu vlastních čísel komlexní matice 1 1/ 1/4 1/4 1/4 1 + i 0 1/4 1/ 1/4 1 1/ 1/4 1/ 1/ i Řešení 1. r 1 = n i=1,i 1 a 1i = 1/ + 1/4 + 1/ = 1 r = n i=1,i a i = 1/ /4 = 1/ r 3 = n i=1,i 3 a 3i = 1/ + 1/4 + 1/ = 5/4 r 4 = n i=1,i 4 a 4i = 1/4 + 1/ + 1/ = 5/4 R 1 = {z : z 1} R = {z : z 1 i 1/} R 3 = {z : z + 1 5/4} R 4 = {z : z + + i 5/4} 14

15 R R 3 R R 4 Obrázek 4.1: Geršgorinovy kruhy Podle Geršgorinových vět tedy leží jedno vlastní číslo v kruhu R 1, jedno v kruhu R a zbylá dvě ve sjednocení kruhů R 3 R4. viz obr(4.1). Uved me přesnou hodnotu vlastních čísel: λ 1 = i λ = i.0678 λ 3 = i λ 4 =.069 i což přesně odpovídá poloze určené pomocí Geršgorinových kruhů. Poznámky ke Geršgorinově větě 1. Ze vztahu (4.4) pro maximální souřadnici x i můžeme získat odhad λ i a ii j i a ij min( a kk a kj ) k j i a min λ i ( a ii a ij ). i j i Pro matici s převládající diagonálou platí 0 < min( a ii i j i a ij ) λ i max i a ij = A j i 15

16 . K matici A můžeme pomocí jednoduché podobnostní transformace D 1 AD = B (D je diagonální) získat podobnou matici B, která má jiné Geršgorinovy kruhy. Potom všechna vlastní čísla leží v oblasti K A K B. Cílem těchto transformací je rozklad oblasti K na souvislé komponenty, případná izolace jednoho kruhu, ve kterém pak můžeme zaručit existenci právě jednoho vlastního čísla. 3. Pokud det(λi A) = det(λi A T ), můžeme vytvořit Geršgorinovy kruhy i pro matici A T a získat oblast K A K A T.,ve které vlastní čísla leží. ( ) ( ) 3 3 Příklad Matice A 1 = resp. A 1 1 = mají stejné oblasti K 1 1 A1 = K A := K A. Na obr. vidíme, že v případě matice A, žádný z malých kruhů neobsahuje vlastní číslo. Obrázek 4.: Použité značení: Hranice oblasti K A je značena přerušovaně Hranice oblasti K A T je značena plnou čarou Šedou barvou je značena hranice oblasti K A K A T vlastní čísla A 1 λ 1, = ± 3 vlatní čísla A λ 1, = ± i 16

17 Kapitola 5 Metody výpočtu dominantního vlastního čísla Úmluva: Očíslujeme-li vlastní čísla dané matice A tak, aby platilo λ 1 λ... λ n (každé číslo píšeme tolikrát, kolik činí jeho násobnost), pak budeme vlastní číslo λ 1 nazývat dominantní vlastní číslo. 5.1 Mocninná metoda Mocninná metoda je nejčastěji používanou metodou pro nalezení dominantního vlastního čísla a příslušného vlastního vektoru dané matice. Metoda je obzvlaště vhodná pro řídké matice, protože spočívá pouze v násobení sloupcových vektorů dané matice. Základní předpoklad k užití této metody je, že daná matice má dominantní vlastní číslo λ 1 a že nemá nelineární elementární dělitele, tj. že existuje n lineárně nezávislých vlastních vektorů této matice, kde n je řád matice. Konstrukce: Necht x je libovolný vektor, x R n, za předpokladu, že {v 1,...,v n } je množina lineárně nezávislých vlastních vektorů, můžeme vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů v i,i = 1,...,n x = α i v i. (5.1) i=1 Násobením obou stran rovnice (5.1) maticemi A,A,...,A k dostaneme systém rovnic Ax = α i Av i = α i λ i v i, A x = A k x = i=1 α i A v i = i=1 α i A k v i = i=1 17 i=1 α i λ iv i, (5.) i=1. α i λ k iv i. i=1

18 Pro λ k 1, které jsme vypočítali ze systému (5.), dostáváme A k x = λ k 1 i=1 α i ( λ i λ 1 ) k v i. Z předpokladu, že λ 1 je dominantní vlastní číslo a tedy λ 1 > λ j j =,...,n, plyne, že lim (λ j ) k = 0 k λ 1 a tedy lim k Ak x = lim λ k k 1α 1 v 1. (5.3) Tento postup bude konvergovat k nule, jestliže λ 1 < 1 a divergovat, jestliže λ 1 1, ovšem za předpokladu, že α 1 0. Poznámka Popsaná konstrukce je i důkazem následující věty. Věta Von Mises Jestliže matice A má n lineárně nezávislých vektorů a je-li vlastní číslo λ 1 dominantní a pro vektor x 0 R n platí, že x 0,v 1 0.Pak x 0 lim k (Ak ) = α 1 v 1. (5.4) λ k 1 Důsledek Je-li y libovolný vektor, který není ortogonální k vlastnímu vektoru v 1, plyne z věty 5.1.1,že λ 1 = lim k ( yt x k+1 y T x k ), kde x k+1 = Ax k = A k x 0. Definice Čísla yt x k+1 = y T Ax k se nazývají Schwarzovými konstantami. Algoritmus. Je zadána matice A Krok 1: Zvolíme x 0 Krok : Použijeme iterační formuli x k+1 = Ax k Krok 3: x k+1 = max{ x k+1 (j) x (j) λ k+1 } 1 = max j=1,...,n { x j n }. Krok n: Zastavení výpočtu po n krocích λ (j) 1 = max j=1,...,n { x (j) n } nebo zastavení výpočtu pro λ (k+1) 1 λ (k) 1 < δ. 18

19 Poznámka Nejčastější volbou počátečního vektoru x 0 je vektor x 0 = (1,...,1) T. Příklad Najděte dominantní vlastní číslo matice A = Řešení. Zvolíme x 0 = (1, 1, 1, 1, 1) T x 1 = Ax 0 = , 17 λ(1) 1 = 17 x 1 = , 1 x = Ax 1 = , λ() 1 = x = , x 10 = , 1 Vlastní čísla matice A jsou x 11 = Ax 10 = , 1.97 λ(11) 1 = λ 1 = 1.97,λ = ,λ 3 = ,λ 4 = i Takže je vidět,že po jedenácti krocích jsme dostali přesné řešení zadaného příkladu. 19

20 Příklad Pro matici A = však metoda nebude konvergovat, protože číselné hodnoty budou oscilovat. λ 1 = λ,3 = ± i.5118 λ,3 =.66 Absolutní hodnoty vlastních čísel jsou si rovny a tedy mocninná metoda nedokáže určit dominantní vlastní číslo. Poznámka Nevýhody mocninné metody: odhad chyby konvergence (obvykle v praxi nevíme, zda jsou splněny předpoklady mocninné metody) volba x 0 (bude-li vektor x 0 takovou lineární kombinací vlastních vektorů, že koeficient u vlastního vektoru odpovídajícího dominantnímu vlastnímu číslu bude roven 0, potom mocninná metoda nevypočte dominantní vlastní číslo). Poznámka Rychlost konvergence mocninné metody závisí hlavně na volbě vektoru x 0 a na velikosti podílu λ λ Metoda Rayleighova podílu Metoda Rayleighova podílu je modifikovanou mocninnou metodou a zaměřuje se na výpočet dominantního vlastního čísla symetrické matice. Pro tuto část tedy budeme vždy předpokládát, že matice A je symetrická. Potom vlastní vektory musí být ortonornální (tj. v T i v j = 0 pro i j, v T i v i = 1). Odvození: 1. Zvolíme x 0 jako lineární kombinaci vlastních vektorů x 0 = α i v i. i=1. Sestrojíme posloupnost x k = Ax k 1, x k = A k x 0, x k = α 1 A k v α n A k v n. 0

21 3. Platí Av i = λ i v i, potom x k = α 1 λ k 1v 1 + α λ k v α n λ k nv n, kde λ 1 je dominantní vlastní číslo. 4. Dostaneme x k = λ k 1[α 1 v 1 + i= α i ( λ i λ 1 )v i ]. Sumu n i= α i( λ i λ 1 )v i ] definujme jako w k, w k o. 5. Analogicky x k+1 6. Vyjádříme součin x T k x k, x T kx k = λ k 1[α 1 v 1 + i= α i ( λ i λ 1 )v T i ]λ k 1[α 1 v 1 + i= λ k 1 [α 1 + w T kw k ] α i ( λ i λ 1 )v i ] = λ k 1 [α 1 + i= α i( λ i λ 1 ) k ] = a součin x T k x k+1 Dostáváme x T kx k+1 = λ k 1[α 1 v T 1 + λ k+1 1 [α 1 + x T k lim Ax k k x T k x k i= i= α i ( λ i λ 1 ) k v T i ]λ k+1 1 [α 1 v 1 + i= α i( λ i λ 1 ) k+1 ] = λ k 1 [α 1 + w T kw k+1 ]. = lim k x T k Ax k+1 x T k x k = λk+1 λ k α i ( λ i λ 1 ) k+1 v i ] = 0 { }} { w T kw k+1 ) 1 (α1 + 1 (α1 + w T } kw {{ k+1 ) } 0 = λ 1. Poznámka Součin w T k w k konverguje k nule pro k dvakrát rychleji než w k k nulovému vektoru, z toho vyplývá, že metoda Raleighova podílu bude rychlejší než mocninná metoda. Příklad Metodou Rayleighova podílu určete dominantní vlastní číslo matice A =

22 Řešení 3. x 0 = (1 1 1) T Vlastní čísla matice A jsou x 1 = Ax 0 = 3, λ (1) 1 = xt 0x 1 =.3333, x T 0x 0 5 x = Ax 1 = 7, λ () 1 = xt 1x =.4118, x 5 T 1x 1 1 x 3 = Ax = 17, λ (3) 1 = xt x 3 =.414. x 1 T x λ 1 =.414,λ = 1,λ 3 = Tedy už po třech krocích jsme dostali přesné řešení. 5.3 Výpočet dalších vlastních čísel mocninnou metodou Pokud již známe vlastní číslo λ 1 matice A a k němu příslušný vlastní vektor v 1, můžeme vypočítat následující vlastní číslo λ a vlastní vektor v opět mocninnou metodou, kterou použijeme na redukovanou matici. Věta O redukci Necht λ 1 0 je vlastní číslo matice A s vlastním vektorem v 1 a vektor x je libovolný vektor s vlastností x T v 1 = 1. Potom vlastní čísla matice B = A λ 1 v 1 x T jsou 0,λ,...,λ n (kde λ 1,λ,...,λ n jsou vlastní čísla matice A). Důkaz. Necht J = V 1 AV = λ 1 δ λ δ......, δ n λ n je Jordanův tvar matice, kde δ i {0, 1}, i = 1,...,n 1. Jsou-li v 1,...,v n sloupce matice V, potom matice C = V 1 BV má tvar C = J λ 1 V 1 v 1 x T V = J λ 1 e 1 (x T v 1,...,x T v n ) =

23 ( ) 1 x = J λ T v...x T v n 1 = 0 1,n 1 0 n 1,n 1 0 δ 1 λ 1 x T v λ 1 x T v 3 λ 1 x T v n 0 λ δ 0 = δ n λ n což větu dokazuje (vlastní čísla jsou na diagonále). Výběr vektoru x: Věta o redukci zaručuje široký výběr vektoru x. Např. 1. Wielandtova redukce Výhoda této metody je v tom, že v každé další fázi pracujeme s menší maticí a provádíme méně výpočtů. Položíme x = 1 λ 1 v j 1r T j kde r j je j-tý řádek matice A a v j 1 0. Index j vybereme tak, aby odpovídal největší složce vektoru x.. Hotellingova redukce Zde položíme x = y 1, kde y 1 je levý vlastní vektor k λ 1 a je normalizován, tak, že platí y T 1 x = 1. Protože y 1 obvykle neznáme, používá se tato metoda nejsnadněji u symetrických matic, v tomto případě je x i = v i. 3

24 Kapitola 6 Metody pro výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů symetrických matic 6.1 Jacobiho metoda Jacobiho metoda může najít všechna vlastní čísla a jim odpovídající vlastní vektory symetrické matice A. Metoda je vhodná hlavně pro plné matice. Necht A je symetrická, potom existuje ortonormální báze složená z vlastních vektorů A = M T DM λ i jsou reálná vlastní čísla matice A, D = diag(λ 1,...,λ n ) a T je ortogonální matice. Při prvním kroku Jacobiho metody položíme A = A 1 a sestrojíme posloupnost {S k } k 1 elementárních ortogonálních matic takovou, aby A k+1 = S T ka k S k = (S 1...S k ) T A(S 1...S k ) k = 1,,... konvergující k D. Protože A k+1 jsou podobné matici A, mají stejná vlastní čísla. Necht S je matice tvaru cosα sin α 0 S = sin α cos α (tzn. matice rovinné rotace nebo Givensova transformace) kde prvky cosα jsou na pozcích (p,p) a (q,q),sinα na pozici (p,q) a sin α na pozici (q,p). Pak platí věta Věta Necht p,q jsou přirozená čísla, 1 p < q n, α je reálné číslo, necht S je ortogonální matice. 4

25 1. Je-li A = (a ij ) symetrická, je B = S T AS = (b ij ) symetrická a b ij = i,j=1 i,j=1. Je-li a pq 0, existuje jediné α π/4, 0) (0,π/4) tak, že kde α je jediné řešení rovnice b pq = 0, a ij cotg α = a qq a pp a pq Důkaz. ležící v této množině. Potom b ii = i=1 a ii + a pq. i=1 1. Protože A = SBS T a víme, že pro dvě matice K,L platí tr(kl) = tr(lk), máme a ij = tr(a T A) = tr(sb T S T SBS T ) = i,j= tr(sb T BS T ) = tr(s T SB T B) = tr(b T B) = i,j= b ij.. Transformace na pozicích (p,q);(q,q);(p,p);(q,p) má tvar a tedy [ ] [ ] [ ] [ ] bpp b pq cos α sin α app a = pq cos α sin α b qp b qq sin α cosα a qp a qq sin α cos α [ ] [ ] app cos α a = pq sin α a pq cos α a qq sin α cos α sin α a pp sin α + a pq cos α a pq sin α + a qq cos α sin α cos α b pp = a pp cos α a pq sin α cos α + a qq sin α a pp cos α + a qq sin α a pq sin α 5

26 b pq = b qp = a pp cos α sin α + a pq sin α + a pq cos α a qq sin α cos α = a pq cos α + 1/(a pq a qq ) sin α b qq = a pp sin α + a pq sin α cos α + a qq cos α a pp sin α + a qq cos α + a pq sin α Stejně jako v části (1) pro libovolné α. Zvolíme-li α tak, aby platilo je b pq = b qp = 0 a tedy ostatní a ii = b ii pro i p,q. Poznámka a pp + a qq + a pq = b pp + b qq + b pq cotg α = a pp a qq a pq b pp + b qq = a pp + a qq + a pq Při transformaci A B = S T A S se mění pouze p-té a q-té řádky a sloupce, přesněji pro libovolné α : b ij = a ij pro i p,q a j p,q b pi = b ip = a pi cos α a qi sin α pro i p,q b qi = b iq = a pi sin α a qi cos α pro i p,q b pp = a pp cos α + a qq sin α a pq sin α b qq = a pp sin α + a qq cos α + a pq sin α b pq = b qp = a pq cos α + 1 (a pp a qq ) sin α Použijeme-li vztahy mezi goniometrickými funkcemi, lze prvky matice B vyjádřit pomocí prvků matice A. 6

27 Postup výpočtu: Nejprve položíme Označíme-li t = tg α je t = K = a qq a pp a pq (= cotg α) { kořen t + Kt 1 pro K 0 1 pro K = 0 Dále c = t (= cosα) s = t 1 + t (= sinα) Pro prvky matice B platí vztahy: b pi = b ip = c a pi s a qi b qi = b iq = c a qi + s a pi i p,q i p,q b pi = b ip = a pp t a pq b pi = b ip = a qq + t a pq Uved me odvození např. pro b qq Protože a dále čitatel je b qq = a pp sin α + a qq (1 sin α) + a pq sin α = a qq (a qq + a pp ) sin α + a pq sin α = a qq + a pq (sin α cotg α sin α). cot α sin α + sin α = sin α cos α sin α sin α cos α 4 sin α cos α sin α cos α + sin 4 α = sin α(sin α + cos α) = sin α b qq = a qq + sin α cos α a pq = a qq + t a pq. Jeden krok Jacobiho metody: Máme-li sestrojenou matici A k = [a (k) ij ], vybereme (p,q) tak, aby a (k) p,q 0. Sestrojíme S k jako ve větě 6.1.1, určíme α ( π/4, 0) (0,π/4) tak, aby položíme cotg α k = a(k) qq a (k) pp, a (k) pq A k+1 = S T kas k = [a (k+1) ij ]. 7

28 Strategie pro volbu (p,q): 1. Klasická Jacobiho metoda: Zvolíme (p,q) taková, aby platilo a (k) pq = max i j a(k) ij a (p,q) se mění pro různá k.. Cyklická Jacobiho metoda: Nulují se všechny nediagonální prvky cyklickou smyčkou, např. (p,q) volíme (1, ) (1, 3)... (1,n); (, 3)... (,n);... ; (n 1,n). Zřejmě, je-li některý prvek nulový, postupujeme dále (tj. volíme α k = 0 nebo S k = I) 3. Prahová Jacobiho metoda: Postupujeme jako u cyklické Jacobiho metody, ale nediagonální prvky, které jsou v absolutní hodnotě menší než jistá mez, která se zmenšuje s každou smyčkou, se neanuluje. Poznámka Co se týče konvergence, ukážeme myšlenku důkazu pro nejjednodušší případ. Označíme P n množinu všech permutací čísel 1,,...,n. Věta Posloupnost matic {A k } k=1 získaných klasickou Jacobiho metodou je konvergentní, lim A k = diag(λ s(i) ) k pro jistou permutaci s P n. K důkazu potřebujeme následující lemma. Lemma Bud X konečnědimenzionální normovaný vektorový prostor, {x k } ohraničená posloupnost v X, která má pouze konečný počet hromadných bodů, necht Potom je posloupnost {x k } konvergentní. lim x k+1 x k = 0. k Důkaz. věty 6.1. Označme A k = [a (k) ij ] = D k + B k, D k = diag(a (k) ii ). Nejprve dokážeme, že lim k B k = 0. Označme Ω k = i j a (k) ij. Pak platí Ω k n(n 1) a (k) pq 8

29 nebot máme n(n-1) nediagonálních prvků a číslo a (k) pq je maximální. Dále podle věty Ω k+1 = Ω k a (k) ij, tedy tj. Ω k+1 (1 n(n 1) )Ω k lim Ω k = 0. k Nyní dokážeme, že lim k (D k+1 D k ) = O. Pro diagonální prvky matice A k+1 platí 0, i p,q, a (k+1) ii a (k) ii = (tg α k )a (k) pq, i = p, (tg α k )a (k) pq, i = q. Protože α k π/4 a lim k a (k) pq = 0 je důkaz proveden. Necht {D k } je posloupnost, která konverguje k matici D, potom také lim k A k = D, protože A k = D k + B k a lim k B k = 0. Tedy Matice A k det(λi D) = lim det(λi A k k ) = det(λi A). a A jsou podobné, tedy det(λi A k ) = det(λi A) pro všechna k. Takže D a A mají stejné charakteristické polynomy, tedy i stejná vlastní čísla. D proto musí být diagonální, D = diag(λ s(i) ) Posloupnost {D k }, kde D k je vektor dimenze n, je ohraničená, nebot D k = ( i,j=1 d (k) ij ) 1/ ( A k = A i,j=1 a (k) ij ) 1/ = Jsou tedy splněny předpoklady lemmatu a posloupnost {A k } konverguje. Příklad Klasickou Jacobiho metodou určete všechna vlastní čísla matice A = ,

30 Řešení 4. Maximální nediagonální prvek (v absolutní hodnotě) je 3 na pozici (1,3) p = 1 q = 3 K = a 33 a 11 a 13 t je kořen (s menší absolutní hodnotou) polynomu c = t = 0, = t = , t = s = t 1 + t = b 13 = b 31 = 0 b 11 = a 11 t a 13 = , b 33 = a 33 + t a 13 = , b 1 = c a 1 s a 3 = = b 1, b 14 = c a 14 s a 34 = = b 41, b 3 = c a 3 + s a 1 = = b 3, b 34 = c a 34 + s a 14 = = b 43, b = a b 44 = a 44 b 4 = b 4 = a 4. Pak dostaneme matici Nyní opět vybereme maximální prvek a stejným způsobem postupujeme dál. Po 7 krocích se dostamene k matici B = o Zde už je vidět, že nediagonální prvky konvergují k nule.po dalších sedmi krocích už dostaneme diagonální matici B = , kde diagonální prvky odpovídají vlastním číslům zadané matice A. 30

31 Nyní se budeme zabývat konvergencí vlastních vektorů klasické Jacobiho metody, kterou dokážeme pomocí následující věty. Připomeňme, že kde Q k = S 1...S k. A k+1 = S T ka k S k = Q T kaq k Věta Předpokládejme, že všechna vlastní čísla matice A jsou vzájemně různá. Potom posloupnost matic Q k, k = 1,..., konstruovaných klasickou Jacobiho metodou konverguje k ortogonální matici, jejíž sloupce tvoří ortogonální množinu vlastních vektorů matice A. Důkaz. Opět použijeme lemma 6.1.1, ověříme jeho předpoklady. {Q k } má pouze konečný počet hromadných bodů, které jsou nutně ve tvaru [±p s(1) ± p s() ±... ± p s(n) ], s P n, kde p 1,...,p n jsou sloupce ortonormální matice Q, pro níž Q T AQ = diag(λ i ). Necht {Q k } je podposloupnost posloupnosti {Q k }, Q k Q k. Podle věty 6.1. existují s P n tak, že diag(λ s(i) ) = lim k A k = lim k (QT k A k Q k ) = QT k A k Q k což bylo dokázáno. Všechna vlastní čísla jsou různá, tedy existuje pouze konečně mnoho hromadných bodů. Pro úhly určující S k máme tg α k = a(k) pq, α a (k) qq a (k) k π/4. pp Podle věty 6.1. odtud plyne, že existuje l tak, že pro k l je a (k) qq a (k) pp 1 min i j λ i λ j > 0. Protože se dvojice (p,q) mění s k, nemůžeme dokázat, že posloupnosti a (k) qq konvergují. Ale lim k a(k) pq = 0, tedy lim α k = 0 a lim S k = I k k Q k+1 Q k = Q k (S k I) 0. A konečně posloupnost {Q k } je ohraničená, protože Q k = 1. a a (k) pp Poznámka Při výpočtu můžeme průběžně kontrolovat výsledky tím, že po každém kroku zjišt ujeme, zda a (k+1) pp + a (k+1) qq = a (k) pp + a (k) qq. Nebo vypočítáme matici SDS T, která by se měla rovnat matici A. 31

32 Poznámka Přesnost Jacobiho metody závisí na tom, jak přesně se vypočítají odmocniny pro určení sinα k a cos α k. Poznámka Ačkoliv se Jacobiho metoda používá převážně pro symetrické matice, pracuje často dobře i v případě nesymetrických matic. V tomto případě ovšem konverguje k trojúhelníkové matici a má-li výchozí matice komplexní vlastní čísla, je nutné použít místo matic S k vhodné unitární matice. 6. Householderova matice zrcadlení Definice Matice tvaru H(u) : = I uut u T u = I uut u se nazývá Householderova matice (někdy též elementární zrcadlení nebo Householderova transformace). Vlastnosti: označení matice zrcadlení se používá proto, že aplikujeme-li matici H(u) pro nějaké u na vektor x R n, pak je vektor H(u)x souměrný s vektorem x podle nadroviny ortogonální k vektoru v. Obrázek 6.1: Householderova transformace matice I je speciální případ Householderovy transformace. Pro u = o je H(o) = I. Hx = x pro každé x R n, tj. zrcadlení tedy nemění délku vektoru. Hy = y pro každé y P = {v R n v T u = 0}. 3

33 H má jednoduchou vlastní hodnotu -1 a (n 1)-násobnou vlastní hodnotu 1. Důkaz. Protože y P = {v R n v T u = 0} má n 1 lineárně nezávislých vektorů y 1,..., y n 1 a Hy i = y i pro i = 1,,..., n 1, pak 1 je (n 1)-násobná vlastní hodnota a H také zrcadlí u na -u, tj. Hu = u. Takže -1 je vlastní hodnota matice H, která musí být jednoduchá, nebot H má pouze n vlastních hodnot. z věty o spektrálním rozkladu plyne Matice H je ortogonální a symetrická. det(h) = ( 1)1 1 = 1, Důkaz. Symetrie plyne z Dále platí H (u) = a proto je matice H(u) ortogonální. ( uu H T (u) = I T T ) T uu T = I u T u u = H(u). ) (I )(I uut uut = I 4 uut u T u u T u u + uu T 4uuT = I, u 4 Věta Pro každé dva vektory y, z R n takové, že y z a y = z, platí y = H(y - z)z. Jinými slovy, každé dva různé vektory o stejné normě lze převést jeden na druhý Householderovou transformací. Důkaz. Platí H(y z)z = (I (y z)(y z)t y z = z + y + z y T z y z ) z = z yt z z (y z) = y z (y z) = z + y z (y z) = y. y z Důsledek Jsou-li y, z dva vektory o stejné normě, potom existuje ortogonální matice Q taková, že y = Qz. Důkaz. Pro y z stačí vzít Q = H(y z), jinak Q = I. 33

34 Věta 6... Pro každé x R n je { H(x + sgn(x 1 ) x e 1 ), pro x 1 x, H = I, pro x 1 = x, ortogonální matice s vlastností Hx = x e 1. Nebo-li, aplikujeme-li vhodnou matici H na vektor x, dostaneme vektor, který má všechny složky až na první nulové. Důkaz. Je-li x 1 = x, potom z x 1 = x x n plyne, že x = = x n = 0. Tedy x = x 1 e 1 = x e 1 = Ix = Hx. Je-li x 1 x, potom x + sgn(x 1 ) x e 1 0, takže vektory y = sgn(x 1 ) x e 1 a z = x jsou různé a platí pro ně y = x = z, a odtud je y = sgn(x 1 ) x e 1 = H(y z)z = H( x sgn(x 1 ) x e 1 )x. Poznámka Pro vektor určující Householderovu matici lze volit bud + x e 1 nebo x e 1. Z důvodu minimalizace numerických chyb volíme stejné znaménko jako u první složky vektoru x. Věta Pro každé x takové, že x = 1, je { H(x + sgn(x 1 )w 1 ), pro x e 1, H = I, pro x = e 1. ortogonální matice, jejímž prvním sloupcem je vektor x. Důkaz. Pro x = e 1 je zřejmý. Necht tedy x e 1. Protože x = 1 = e 1, je podle Věty 6.. což je tvrzením věty. x = H(x + sgn(x 1 )e 1 ) = He 1 = H 1, Díky těmto větám tedy umíme najít vektor u tak, že daný nenulový vektor x se transformuje na vektor, který má nenulovou pouze první složku. Příklad Lze x = ( 1,, 7) T H(u) (α, 0, 0) T? Protože x = 3 6, položíme u = x x e 1 = ( 1 3 6,, 7) T a u = 6( ). Dále uu T = ( ,, 7) = , takže H(u) = Snadno lze ověřit, že ( ) H(u)x = (3 6, 0, 0) T. 34.

35 6.3 Givensova-Householderova metoda Jedná se o metodu speciálně vhodnou k hledání některých vlastních čísel symetrických matic, např. všech vlastních čísel obsažených v předem zadaném intervalu. Umožňuje počítat vlastní čísla s různou přesností. Na druhé staně nám neposkytuje informace o vlastních vektorech. Má dvě etapy: Householderova metoda pro redukci symetrické matice na třídiagonální tvar. Givensova metoda (metoda bisekce) pro výpočet vlastních čísel symetrické třídiagonální matice Householderova metoda Necht A je symetrická matice, postupně se určuje n ortogonálních matic H 1,...,H n, tak, aby matice A k = H T k 1 A k 1 H k 1 = byly ve tvaru Tudíž matice (H 1...H k 1 ) T A (H 1...H k 1 ), k = 1,...,n a T k A k = a k A n 1 = (H 1...H n ) T A (H 1...H n ) je třídiagonální a také podobná matici A. Každá transformace A k A k+1 = H T k A k H k se provádí pomocí matice [ ] Ik 0 H k =, 0 Hk kde H k = H(ṽ k ), kde ṽ k byl zvolen tak, aby pouze první složka H(v k )a k byla nenulová. 35

36 Potom zřejmě a T H k k H T k A k H k =, H T k a k tj.po vhodné volbě ṽ k máme další část třídiagonální matice. Matici H k můžeme popsat také jako Householderovu matici příslušnou vektoru Máme dvě možné volby vektoru v k : v k = [0,...,0,ṽ k ] T. v k = [0,...,0,a (k) k+1,k ± ( i=k+1 a (k) ik ) 1/,a (k) k+,...,a(k) n,k ]T, znaménko se volí stejné jako je znaménko u a (k) k+1,k. Máme-li určen vektor v k, prvky a (k+1) k + 1 i, j n matice A k+1 = [a (k+1) ij ] určíme následovně: Postupně určíme vektory w k = (v T kv k ) 1/ v k, jejichž složky označíme w (k) i q k = (I w k w T k )A k w k,, q (k) i. Potom matice A k+1 má tvar A k+1 = A k w k q T k q k w T k ij, tj. k + 1 i,j n. a (k+1) ij = a (k) ij w (k) i q (k) j q (k) i w (k) j Příklad Householderovou transfornací převed te matici 4 1 A = na třídiagonální tvar. 36

37 Řešení 5. v 0 = ( 0 + ( ) 1 ) T, w 0 = (v T 0v 0 ) 1 v0 = ( ) T, q 0 = (I w 0 w T 0 )Aw 0 = ( ) T, A 1 = A w 0 q T 0 q 0 w T 0 = , v 1 = ( ( 1.8) 1.8 ), w 1 = ( ) T, q 1 = ( ) T, A = A 1 w 1 q T 1 q 1 w T 1 = Givensova metoda Metoda slouží k určení vlastních čísel symetrické třídiagonální matice b 1 c 1 c 1 b c B = c n b n 1 c n 1 Pokud je některé z čísel c i nula, rozpadá se matice B na dvě třídiagonální matice stejného typu. Tedy bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že c i 0, (i = 1,...,n 1). Označme b 1 c 1 c 1 b c B i = , c i 1 b i 1 c i 1 c i b i i = 1,...,n c n 1 Věta Polynomy p i (λ), λ R, definované pro i = 1,...,n rekurentně p 0 (λ) = 1 b n mají následující vlastnosti: p 1 (λ) = b 1 λ p i (λ) = (b i λ)p i 1 (λ) c i 1p i (λ), i n 37

38 1. Polynom p i je charakteristický polynom matice B i (p i (λ) = det(b i λi)).. lim p i(λ) = +, λ i = 1,...,n 3. Jestliže p i (λ 0 ) = 0, potom p i 1 (λ 0 )p i+1 (λ 0 ) < 0, i = 1,...,n 1 4. Polynom p i má vzájemně i různých kořenů, které oddělují i + 1 kořenů polynomu p i+1, i = 1,...,n. Důkaz. 1. Plyne z rozvoje det(b i λi). p i (λ) = ( 1) i λ i... pro λ 3. Necht p i (λ 0 ) = 0 pro nějaké i, i = 1,...,n 1, z definice p i plyne p i+1 (λ 0 ) = c i p i 1 (λ 0 ). Protože c i 0, dostaneme bud p i 1 (λ 0 ) p i+1 (λ 0 ) < 0 nebo p i 1 (λ 0 ) = p i (λ 0 ) = p i+1 (λ 0 ) což by indukcí vedlo k tomu, že p i (λ 0 ) = p i 1 (λ 0 ) =... = p 1 (λ 0 ) = p 0 (λ 0 ), což je spor, protože p 0 (λ 0 ) = Plyne z a 3. Poznámka Posloupnost polynomů splňující -4 se nazývá Sturmova posloupnost (používá se při výpočtu kořenu polynomů). Příklad Pomocí charakteristického polynomu určete vlastní čísla třídiagonální matice A z příkladu A =

39 Řešení 6. p 0 (λ) = 1 p 1 (λ) = 4 λ p (λ) = ( λ)(4 λ) 9 p 3 (λ) = ( 1.4 λ)[( λ)(4 λ) 9] 10(4 λ) p 4 (λ) = (1.4 λ)[( 1.4 λ)[( λ)(4 λ) 9] 10(4 λ)] 0.04[( λ)(4 λ) 9] = Kořeny polynomu p 4 (λ) jsou λ 4 λ 3 9λ + 58λ λ 1 = λ = λ 3 = λ 4 = Věta Bud i přirozené číslo, 1 i n. Pro dané µ R položme { sgnp i (µ) je-li p i (µ) 0, sgnp i (µ) = sgnp i 1 (µ) je-li p i (µ) = 0. Potom N(i, µ), což je počet znaménkových změn v posloupnosti po sobě jdoucích prvků uspořádané množiny N(i,µ) = {+, sgnp 1 (µ),...,sgnp i (µ)} se rovná počtu kořenů polynomu p i, které jsou menší než µ. Tato věta umožňuje aproximaci (s libovolnou přesností) vlastních čísel matice B = B n a dokonce přímý výpočet vlastního čísla na dané pozici. Předpokládejme například, že chceme aproximaci i-tého vlastního čísla λ (n) i = λ i matice B ( jako předtím předpokládáme, že λ 1,...,λ n jsou vzájemně různá a uspořádaná sestupně). Krok 1: Určíme interval a 0,b 0, v němž leží žádané vlastní číslo, např. a 0 = b 0 = B. Krok : c 0 = a 0 + b 0, spočteme N(n,c 0 ). Potom bud N(n,c 0 ) i a λ i < a 0,c 0 ) nebo N(n,c 0 ) < i a λ i < c 0,b 0 > tím získáme interval < a 1,b 1 >, v němž leží kořen λ i. Postupně získáme posloupnost intervalů < a k,b k >, k 0 takových, že λ i < a k,b k > a b k a k = k (b 0 a 0 ), k 0. 39

40 6.4 QR-rozklad Definice Dvojici matic Q a R nazveme QR-rozkladem matice A, pokud platí, že A = QR, přičemž Q je ortogonální matice a R je horní trojúhelníková matice. Nyní uvedeme věty o existenci QR-rozkladu a jeho jednoznačnosti. Věta K libovolné reálné matici A R m n, kde m n, existuje ortogonální matice Q R m m a horní trojúhelníková matice R R m n tak, že platí A = QR. Věta Jsou-li sloupce matice A R m n, m n, lineárně nezávislé, potom v QRrozkladu jsou matice R a prvních n sloupců matice Q určeny až na znaménko jednoznačně. Důkazy obou vět viz [] 6.5 Konstrukce QR-rozkladu QR-rozklad pomocí Gram-Schmidtova algoritmu Věta (Gram-Schmidtův QR-rozklad). K libovolné reálné matici A R m n, kde m n, existuje ortogonální matice Q R m m a horní trojúhelníková matice R R m n s nezápornými prvky na diagonále tak, že platí A = QR. V případě lineárně nezávislých sloupců matice A jsou prvky na diagonále kladné. Základní myšlenka důkazu: Máme-li matici A R m n, pak aplikací zobecněného Gram- Schmidtova ortogonalizačního procesu na sloupce matice A (ty mohou být lineárně závislé i nezávislé) a doplněním těchto vektorů na bázi v R m získáme sloupce matice Q. Uvažujme matici A = (a 1... a n ) složenou ze sloupcových vektorů. Pak u 1 = a 1, e 1 = u 1 u 1, u = a p e1 a, e = u u, u 3 = a 3 p e1 a 3 p e a 3, e 3 = u 3 u 3,. k 1 u k = a k p ej a k, j=1 e k = u k u k, 40

41 kde p u v = <v, u> <v, v> u. Po úpravě obdržíme vzorce pro vektory a i a 1 = e 1 u 1, a = p e1 a + e u, a 3 = p e1 a 3 + p e a 3 + e 3 u 3,. k 1 a k = p ej a k + e k u k. j=1 Označme Q = (e 1... e n ). Nyní máme < e 1, a 1 > < e 1, a > < e 1, a 3 > < e 1, a n > 0 < e, a > < e, a 3 > < e, a n > R = Q T A = 0 0 < e 3, a 3 > < e 3, a n >, < e n, a n > nebot QQ T = I a < e j, a j >= u j, < e j, a k >= 0 pro j > k Příklad Proved me QR-rozklad matice A = Řešení 7. Gram-Schmidtovým procesem dostaneme U = (u 1 u u 3 ) = Matici Q potom získáme jako Q = ( u1 u 1 u u ) u 3 = u 3 6/7 69/175 58/175 3/7 158/175 6/175. /7 6/35 33/35 A = QQ T A = QR, takže Algoritmus Mějme matici A. Položme R = Q T A = r 11 = a 1, q 1 = a 1 r 11, 41

42 pro k =,..., n spočítejme: r jk = < q j, a k > pro j = 1,..., k 1, k 1 z k = a k r jk q j, j=1 r kn = < z k, z n > q k = z k r kk. Metodu lze také upravit tak, že zaměníme pořadí operací. Tedy položme Pak pro k =,..., n, spočtěme r kk = a (k 1) k, A 0 A. q k = a(k 1) k, r kk r ki = q T ka (k 1) i pro i = k + 1,..., n, A (k) = A (k 1) q k r T k. Z formálního hlediska jde o změnu pořadí operací, ovšem z numerického hlediska obdržíme kvalitativně různé výsledky QR-rozklad pomocí Householderovy matice Věta 6.5. (Householderův QR-rozklad). Každou matici A R m n lze pomocí s = min{n, m 1} Householderových matic rozložit na součin QR, a to tak, že platí ( R1 ) 0 m > n, H s H H 1 A = Q T A = (R 1, 0) m < n, R m = n. Důkaz. Konstrukce QR-rozkladu Mějme reálnou matici A a 11 a 1n a 1 a n A = a m1 a mn Krok 1.: Zkonstruujme Householderovu matici H 1 tak, aby H 1 A měla v prvním sloupci pouze samé 0 s výjimkou pozice (1, 1), tj. aby 0 H 1 A =

43 K tomu stačí získat vektor u n (dle předchozího) tak, že pro platí H 1 H 1 = I u nu T n u T nu n a 11 a 1. a m1 = Označme A (1) : = H 1 A. A (1) je tvaru a 11 A (1) 0 =... 0 Krok.: Zkonstruujme Householderovu matici H tak, že H A (1) má ve druhém sloupci 0 pod pozicí (, ) při zachování požadavku prvního kroku, tj. 0 A () : = H A (1) = Matici H získáme tak, že nejdříve zkonstruujeme Householderovu matici o rozměru (m 1) (n 1) takovou, že a definujme Tím získáme matici A () = H A (1). Analogicky pokračujeme dále. Ĥ : = I n 1 u n 1u T n 1 u T n 1u n 1 Ĥ a a 3. a m = 0., H : = 0. Ĥ 0 Pro k s. Krok k-tý: Obecně vytváříme Householderovu matici. Ĥ k : = I n k+1 u n k+1u T n k+1 u T n k+1 u n k+1 43

44 o rozměru (m k + 1) (n k + 1) takovou, že a kk Ĥ k. = 0.. a mk 0 Definujeme čili můžeme spočítat A (k) = H k A (k 1). ( ) Ik 1 0 H k : =, 0 Ĥ k Tímto způsobem po s krocích obdržíme matici A (s), která bude v horním trojúhelníkovém tvaru a bude právě maticí R. Protože A (k) = H k A (k 1) k =,..., s, máme Položme R = A (s) = H s A (s 1) = H s H s 1 A (s ) = = H s H s 1 H H 1 A. Q T = H s H s 1 H H 1. Máme hledanou ortogonální matici (nebot každá z H i je ortogonální). Celkem tj. R = Q T A, A = QR. (Zopakujme si, že Q = H T 1 H T H T s = H 1 H H s.) Příklad Uvažme matici Řešení 8. Krok 1.: Konstrukce H A = H = Potom tedy dle Příkladu 6..1 spočteme 0 u 3 = = 1, takže H 1 = I 3 u 3u T 3 u T 3u 3 = =

45 Určeme 3 A (1) = H 1 A = Krok.: Zkonstruujeme ( ) ( ) 0, 071 Ĥ = =, 1, ( ) ( ) ( ) 0, , 4318 u = 1, 47 =, 1, , 071 ( ) 0, , 9856 Ĥ =, 0, , 1691 tzn H = 0 0, , 9856, 0 0, , 1691 a spočítáme 1, 414, 113, 884 A () = H A (1) = H H 1 A = 0 1, 47 1, 6330 = R 0 0 0, 5774 Pro Q nyní platí 0 0, , 5774 Q = H H 1 = 0, , 408 0, , , 408 0, 5774 Celkem tedy A = 1 3 = , , , 414, 113, 884 0, , 408 0, , 47 1, 6330 = QR. 0, , 408 0, ,

46 6.5.3 QR-rozklad pomocí Givensovy matice Definice Matice tvaru c s 0 G(i, j, c, s) : = = I+(c 1)(e i e it +e j e jt )+s(e i e it e j e jt ), 0 s c kde c + s = 1, se nazývá Givensova matice, která nám mezi jinými popisuje Givensovu transformaci. Obrázek 6.: Geometrický význam Givensovy rotace Givensovu matici značíme G(i, j, α). Opět chceme setrojit matice Q 1, Q,..., Q s tentokrát však pomocí Givensových matic tak, aby A (1) = Q 1 A měla nuly pod prvkem (1, 1) v prvním sloupci, matice A () = Q A (1) měla nuly pod prvkem (, ) ve druhém sloupci, atd. Každou z matic Q i lze sestrojit jako součin Givensových matic ten je možné sestrojit takto: Bud s = min{m 1, n}. Pak Q 1 : = G(1, m, α)g(1, m 1, α) G(1, 3, α)g(1,, α) Q : = G(, m, α)g(, m 1, α) G(, 3, α). R = A (s) = Q s A (s 1) = = Q s Q s 1 Q Q 1 A = Q T A. Nyní máme A = QR, kde Q T = Q s Q Q 1. To lze zformulovat do následující věty. 46

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární Algebra I. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Adam Liška 8. prosince 2014 http://kam.mff.cuni.cz/~fiala http://www.adliska.com 1 Obsah 1 Soustavy lineárních

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie Komplexní čísla. Komplexní čísla jsou objekty tvaru α+iβ, kde α, β R. Množina všech komplexních čísel se značí C. Rovnost komplexních

Více

Maticový a tenzorový počet

Maticový a tenzorový počet Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve Faktorizace čísel pomocí řetězových zlomků Tento text se zabývá algoritmem CFRAC (continued fractions algorithm) pro rozkládání velkých čísel (typicky součinů dvou velkých prvočísel). Nebudeme se zde zabývat

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

TEORIE MATIC. Tomáš Vondra

TEORIE MATIC. Tomáš Vondra TEORIE MATIC Tomáš Vondra 2 Obsah 1 Opakování 5 1.1 Základní operace s maticemi..................... 5 1.2 Determinant matice......................... 7 1.2.1 Cauchyův-Binedův vzorec..................

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

LINEÁRNÍ ALGEBRA. RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI

LINEÁRNÍ ALGEBRA. RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI LINEÁRNÍ ALGEBRA RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI Jihlava, říjen 2012 ISBN 978 80 87035 65-8 Úvod do studia předmětu Základy lineární algebry Milí studenti! Lineární algebra, kterou

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více