Grafy (G) ρ(h) = [u,v]

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Grafy (G) ρ(h) = [u,v]"

Transkript

1 Grafy (G) Neorientované: (NG) H hrany, U-uzly, ρ-incidence (jestli k němu něco vede) ρ: H UΞU Ξ neuspořádaná dvojice ρ(h) = [u,v] Teoretická informatika Str.1 Izolovaný uzel neinciduje s ním žádná hrana Rovnoběžné hrany hrany se shodnou množinou krajních uzlů Prostý (G) neobsahuje rovnoběžné hrany Multigraf aspoň 1 dvojice rovnoběžných hran Obyčejný (G) prostý (G) bez smyček (hrana mající stejný počáteční i koncový uzel) n Úplný graf obyč. (G), mezi všemi uzly ex. jedna hrana. Značení K n (graf o n uzlech). Počet hran = 2 Diskrétní graf pouze izolované uzly Podgraf: H H && U U && ρ (h) = ρ(h) pro všechna h H Faktor (G) = hranový podgraf G - množina uzlů shodná s G (má všechny uzly a jen některé (všechny) hrany) Dva grafy, jejichž průnikem je prázdný (G) nazýváme disjunktními (G) Rozdíl G G 1 : G 2 G pro který platí G = G 1 G 2 (G 2 neobsahuje žádné hrany z G 1, a ani žádné zbytečné uzly) Doplněk vznikne odečtením grafu G od úplného grafu s množinou uzlů U Izomorfismus - ϕ: grafy jsou strukturálně stejné: G 1 G 2 Způsob pro odhalení: Píši si k tomu posloupnosti stupňů a grafy, jejichž posloupnosti se budou rovnat proberu podrobně Def: Nechť G1=<H1,U1,ρ1> a G2=<H2,U2,ρ2> jsou dva grafy a ϕ bijekce množiny H 1 U 1 na množinu H 2 U 2 taková, že: zúžené zobrazení ϕ H1 je bijekce H1 na H2 (ϕ H1 : H1 H2) zúžené zobrazení ϕ U1 je bijekce U1 na U2 (ϕ U1 : U1 U2) ϕ zachovává incidenci, tzn. pro libovolné h H platí ρ1(h) = [u,v] ρ2(ϕ(h)) = [ϕ(,ϕ(] Zobrazení ϕ se pak nazývá izomorfismus mezi grafy G1 a G2 a grafy G1, G2, pro které tento izomorfismus lze nalézt, se nazývá izomorfní grafy. Stupeň uzlu počet hran s ním incidujících δ G (. Pro každou smyčku: δ( = 2 δ(g), Δ(G) min. resp. max. stupeň uzlu v (G); Σδ( = 2 H V obec. grafu: δ( = poč. soused Věta: V lib. (G) je poč. uzlů lichého stupně číslo sudé. Sled (G) posloupnost uzel, hrana, uzel, hrana, uzel délka sledu = počet hran otevřený sled různý počáteční a koncový uzel (i sled nulové délky) uzavřený Tah sled, ve kterém se neopakují hrany Cesta tak, ve kterém se neopakují uzly (mimo uzavřené cesty) Kružnice uzavřená cesta Z lib. sledu lze vybrat cestu, ale z uzavřeného sledu nemusí jít vybrat kružnice (to lze jen pro sled liché délky) Souvislý (G) mezi lib. dvěma uzly ex. sled Na souvislé propojení potřebuji min. N-1 hran Komponenta grafu každý jeho max. souvislý podgraf Strom souvislý graf bez kružnic Kostra faktor, který je stromem. Hrany náležející kostře jsou větve. Ty, které tam nepatří jsou tětivy. Přidáním 1 tětivy do kostry udělám právě 1 kružnici. Kostra má h u + 1 tětiv Počet různých koster grafu G = det(a r A T r ), kde A r je matice tvořená lib. U 1 LN řádky matice A Orientované (OG): o(h) = (u, u počáteční uzel u Γ v uzel u nazýváme předchůdcem uzlu v Úplný symetrický (OG) v němž je každá uspořádaná dvojice uzlů spojena orient. hranou Symetrická orientace: z udělám Opačně orientovaný (G) otočíme orientaci (šipky) u všech hran Orientované spojení; Orientovaný tah; Orientovaná cesta; Cykl orient. uzavřená cesta Silně souvislý mezi lib. dvěma uzly ex. orient. spojení Silná komponenta každý jeho max. silně souvislý podgraf (např. má 2 silné komponenty) Kondenzace grafu prostý graf, jehož každý uzel odpovídá silné komponentě

2 Teoretická informatika Str.2 Výstupní stp. uzelu δ G + (, vstupní δ G ( poč. hran, které mají uzel u za koncový Σδ + ( = Σδ ( = H List: δ + ( = 0 Kořen: δ ( = 0 Acyklický (G) prostý (OG), který neobsahuje cyklus Nalezení: Odebírám listy a kořeny Vlastnosti grafů Pokrytí (G) rozložíme množinu hran tak, že jsou hrany každé třídy H i uspořádány do tahu. Pokrytí s nejmenším počtem tříd nazýváme minimální pokrytí Min pokrytí projít všechny uzly. Hrany mohu pojít jen 1x Eulerův graf každý uzel má sudý stupeň (skládá se z kružnic) Věta: (G) lze pokrýt jediným uzavřeným tahem iff, je souvislým Eulerovým (G) Věta: (G) který má 2n uzlů lichého stupně a je souvislý lze pokrýt minimálně n otevřenými tahy. Orient. Eulerův (G) každý uzel má stejný vstupní a výstupní stupeň Nezávislá podmnožina uzlů žádné dva z uzlů neincidují se stejnou hranou (nesousedící uzly); α(g) Klika grafu max. úplný (každý s každým) podgraf K n Klikovost grafu ω(g) maximální klika (číslo n z K n ) α(g) = ω( G) Dominující podmnožina podmnožina uzlů, která svou množinou sousedů pokrývá všechny zbývající uzly (G) Dominance grafu β(g) = min D D dominující podmnožina Věta: Nezávislá podmnožina uzlů neorient (G) je max. iff je jeho dominující podmnožinou β(g) α(g) Chromatické číslo χ(g) α(g) U χ(g) δ max + 1 δ max max. stupeň uzlu graf bez kružnic liché délky: χ(g) = 2 (např. strom) Bipartitní (bichromatický) (G): χ(g) = 2, uplný značím K m,n Vzdálenost d(u, délka nejkratší cesty z u do v. d(u, 0; d(u, = 0 u = v; d(u, = d(v, d(u, d(u,z) + d(z, Def: Vzdáleností uzlů u a v v neorientovaném souvislém grafu G = <H,U,ρ> nazýváme délkou nejkratší cesty spojující tyto dva uzly. Průměr grafu T(G) = max d(u, pro všechna u, v. - max. vzdálenost v grafu Excentricita uzlu e(u,g) = max d(u, pro všechna v - jeho vzdálenost od jemu nejvzdálenějšímu vrcholu Poloměr r(g) = min e(u,g) u U Střed grafu každý uzel s excentricitou rovnou poloměru Cyklomatické číslo: μ(g) = H U + p, kde p počet komponent udává počet tětiv grafu Hodnost grafu: h(g) = U p Kořenový strom: kořen je propojitelný se všemi ostatními orientovanou cestou. Dálka této cesty se nazývá hloubka uzlu. Uspořádaný strom: rozlišujeme následníky na 1., 2.,. Pravidelný strom spt.2 s n listy obsahuje n 1 vnitřních uzlů (včetně kořene) a 2(n 1) hran Vnější délka: E(T) = Σvšech hloubek listů E = I (r 1)+r*u E = I+2n Vnitřní délka: I(T) = Σhloubek vnitřních uzlů r stp.stromu, u počet vnitřních uzlů Binární strom: preorder kořen, levý, pravý inorder levý, kořen, pravý postorder levý, pravý, kořen Separabilita a planarita Hranový řez minimální množina hran, které když odeberu, tak se graf rozdělí na 2 komponenty (ne více). ( nesmí sousedit s artikulací) Artikulace takový uzel (jeden), kterým prochází všechny cesty mezi jistou dvojicí uzlů ( podgraf bez toho uzlu má víc komponent). Má-li graf artikulaci je separabilní. Jinak je nesaparabilní. Planární graf: diagram lze nakreslit v E 2. Eulerova formule: počet stěn grafu (včetně vnější) r = H U + 2 Max. planární graf má hran: H 3 U 6 Grafy K 5 a K 3,3 jsou nejmenší neplanární grafy Grafy jsou homeomorfní, jestliže jsou buď izomorfní, nebo je-li možné konečným počtem půlení hran v těchto grafech dosáhnout toho, že vzniklé grafy jsou izomorfní.

3 Teoretická informatika Str.3 Topologické uspořádání Jde pouze pro acyklické grafy (žádný cyklus a smyčka). Uzly můžeme seřadit do horizontální úrovně a orientace všech hran pak musí směřovat jedním směrem. Získání: pomocí DFS prohledej a v okamžiku uzavření ulož každý uzel v na začátek seznamu uzlů, který po dokončení bude obsahovat uzly seřazené podle požadavků topologického uspořádání. Při zjišťování acykličnosti stačí vypouštět z grafu kořeny a listy (zůstane jen případný cyklus). Algoritmy Matice incidence A do řádků uzly, do sloupců hrany napíši jedničku tam, kde je ta hrana spojena s uzlem v každém sloupci 2 jedničky. Hodnost této matice o p komponent h(a) = U p. U (OG) je 1 u počátečního uzlu, 1 u koncového Matice sousednosti V v řádku i ve sloupci uzly píši tam číslo, kolik hran ty uzly spojuje matice je souměrná V n udává, kolik sledů délky n je v grafu G. U (OG) prvek v ik určuje hranu vedoucí z u i do u k.(matice není symetrická) Spojová reprezentace pole uzlů (pozice označuje číslo uzl ve kterém jsou ukazatele na strukturu, která obsahuje číslo uzlu, se kterým tento sousedí a ukazatel NEXT. Věta: Dva (NG) jsou izomorfní iff, jsou jejich matice incidence stejné až na případnou permutaci řádků a sloupců. Pro matici sousednosti to platí také, ale uvažujeme jen stejné permutace množiny řádků a sloupců (možností je n!) d Matice dosažitelnosti: R = V, kde d = min( H, U 1) i= 0 i BFS prohledávání do šířky (nalezení stromu nejkratších cest a zjištění dosažitelnosti): INICIALIZACE: stav dej na FRESH, vzdálenost na a předchůdce na NULL. Otevři jeden uzel a ulož jej do fronty. Dokud není fronta prázdná vyber z ní první otevřený. Sousedy, kteří jsou FRESH otevři, urči jim vzdálenost, předchůdce a ulož jej do fronty. Odeber ten otevřený uzel s fronty a zavři jej. Čas složitost: O(H+U) DFS prohledávání do hloubky (Depth First search) DFS: Všechny uzly nastav jako FRESH a následníky na NULL. Pro každý FRESH uzel proveď DFS-Projdi( DFS-Projdi(: Otevři ten uzel u a dej mu čas otevření. Pro všechny jeho FRESH následníky proveď DFS-Projdi(následník). Pak ten uzel uzavři a dej mu čas uzavření. Otevřené uzly ukládám do zásobníku otevřených uzlů (pro nerekurzivní řeš.). Čas složitost: O(H+U) Použití: Když neex. zpětné hrany (tímhle to poznám), jde o acyklický graf. Když se podívám na uzel a je FRESH stromová hrana, OPEN zpětná hrana, CLOSE dopředná nebo příčná (vede od uzlu k nějakému jeho potomkovi v DF-lese) DF-les se obecně skládá z několika DF-stromů. DF-strom se konstruuje pomocí předchůdců p[v] (jak se to procházelo pomocí DFS) Silné komponenty: proveď DFS(G), který určí časovou značku uzavření f[u] každého uzlu u; vytvoř opačně orientovaný graf G ; proveď DFS(G ), přitom v hlavním cyklu DFS probírej uzly v pořadí klesající hodnoty f[u] (získané v prvním krok rozklad množiny uzlů podle jednotlivých stromů DF-lesa získaného v předchozím kroku určuje rozklad na silné komponenty Pozn: V třetím bodu se uzavírá jedna silná komponenta po druhé. Je to nejspíš tak, že nejdřív to projdu v jednom směru a pak jdu od uzlů, které byly procházeny na konci a dívám se, kam se z nich mohu dostat (proto nejspíš G ). Generování všech koster grafu: Probírej hrany v lib. pořadí. Hranu, u které by se přidáním nevytvořila kružnice vlož do zásobníku a pokračuj v generování všech možných zbytků kostry s použitím zbývajících hran (rekurze). Pak se ještě generují všechny kostry neobsahující aktuální hranu. (2.rekurze). Kostra je celá, až má U 1 hran. Zjišťování kružnic-zjišťování komponent grafu KOMP(G): Vytvoříme množiny, kde bude jediný prvek (každý uzel) bude taky svým reprezentantem. Pokud zjistím, že 2 uzly již patří do stejné komponenty (operace FIND-SET) nemohu je propojit hranou (vznikla by kružnice). Pokud ne, ty dvě množiny sjednotím (operace UNION) a dám jim jednoho reprezentanta. Provedení: Kořenový strom, kde pro každý uzel se vytvoří samostatný podstrom (je tam sám) otec je reprezentantem množiny (kořenem) operace MAKE-SET. V operaci UNION mohu kořen menšího stromu zavěsit rovnou pod kořen většího (pak rychlé hledání). Ve FIND-SET mohu uzly, které jsem prošel při hledání kořene připojit rovnou na ten nalezený kořen, aby se to příště hledalo rychleji. Minimální kostry: (hranám je přiřazena nezáporná reálná délka)

4 Teoretická informatika Str.4 Borůvkův-Kruskalův alg O( H.lg H ): upravený KOMP(G) udělám MAKE-SET, uspořádám hrany do neklesající posloupnosti, ze které pak vybírám vhodné (FIND-SET) a popř. spojuji do jednoho stromu (UNION). Prostě vybírám hrany s min. ohodnocením (kdekoli z (G) ) a pokud bych přidáním nevytvořil kružnici, tak o nich prohlásím, že jsou v min. kostře. Jarníkův-Primův alg O( H.lg U ): Přidávám k dosud nalezené kostře takové hrany, které sousedí s již nalezenou kostrou, mají nejmenší ohodnocení a nevytvoří kuržnici. Provedení: Do fronty ulož všechny uzly a urči jim nekonečnou vzdálenost od podstromu. Pouze kořen nemá předchůdce. Dokud není fronta prázdná, vyber nejbližší uzel u a u jeho sousedů, kteří jsou ještě ve frontě zkus, zda mají blíže k u. Pokud ano, zadej jim předchůdce u a menší vzdálenost. Hladové programován: ke globálně optimálnímu řešení lze dospět prostřednictvím lokálně optimálních výběrů (shora dolů) Dynamické programování: (zdola nahor - optimalizační problém rozkládám na podproblémy (na začátku nejsme schopni říct, jako rozložení je to správné). Alg typu rozděl a panuj Huffmanovo kódování: Aby se pravděpodobnější případy hledali rychleji než ty méně pravděpodobné. Pro zadanou posloupnost vah se vytvoří list pro každou váhu w i a uloží se do prioritní fronty Q. (n 1)krát se opakuje sloučení uzlů s min. vahami. Vytvoří se jejich předchůdce, kterému se jako váha dá součet vah těch dvou předchůdců. Takto nově vzniklý uzel se vloží do Q, ze které se ti 2 zpracovaní vyjmou. Jde o prefixový kód začátek žádného kódového slova není stejný jako jiného. Nejkratší cesty z jednoho uzlu: Chceme i záporné ohodnocení hran. Pokud by cesta procházela záporně ohodnoceným cyklem (procházela by jím donekonečna) min.spojení neexistuje. Označujeme d w (u, =. d w (u, 0, d w (u, = 0 iff u = v; d w (u, d w (u,z) + d w (z, Nejkratší cesty do jediného cílového uzlu stačí řešit standardní úlohu, ale v opačně orientovaném grafu Relaxace hrany alg. RELAX(u,v,w): Lze-li d[v] zmenšit (d[u]+w(u, < d[v]), pak to provedeme a také upravíme předchůdce (nově nalezená cesta je menší než ta dříve nalezená) Dijkstrův alg. O( H.lg U ): ohodnocení hran musí mít nezáporné čísla; modifikované prohledáváním do hloubky Prioritní fronta Q seřazená podle d[u]. Vem nejmenší prvek z Q, uzavři jej a pro každého jeho následovníka proveď RELAXaci hrany (uprav jeho následovníkům vzdálenost (pro něž je to výhodné)). Pozn: Musím postihnout to, že měním vzdálenosti prvků, které jsou v prioritní frontě a prvek tam nesmí být 2x. Bellman-Fordův alg O( H. U ): lze použít i pro záporně ohodnocené hrany Alg: Opakovaně relaxuj ( U 1 krát ) všechny hrany grafu. Pro všechny hrany zkus, jestli ještě neexistuje hrana, která zmenšuje d. Pokud ano je zde záporný cyklus. Upravený: Ulož počáteční uzel do fronty. Pak v cyklu, dokud je něco ve frontě, tak to vyber a všechny vycházející hrany relaxuj: Jako původní relaxace, jen když se to povede, tak krom změny délky a předchůdce ten uzel vlož do fronty. U záporně ohodnoceného cyklu se fronta nikdy nevyprázdní. Pokud je graf acyklický, mohu vyhodit tu kontrolu na záporný cyklus a pak je složitost jen O( H + U ). Nejkratší cesty mezi všemi páry uzlů: Floydův-Warshallův alg: matice předchůdců a matice D, jejíž každý prvek d ij vyjadřuje w-délku nejkratší cesty z u i do u j. ( k ) ( k 1) ( k 1) ( k 1) 3 cykly v sobě k,i,j = 1 do n. dělej d = min( d, d + d ) ij ij ik kj. Musím také iteračně upravovat matici předchůdců. Odhalení nějakého záporného cyklu: na diagonále nějaké záporné číslo. Johnsonův alg O( H. U ): pro řídké grafy Pomocí Bellmana-Forda zjistím, jestli tam jsou cykly záporné délky. Když ne, přehodnotím hrany, aby tam nebyly záporná čísla w ) = w(u, + h( h(. Pak provedu n-krát Dijkstra a pro všechny uzly udělej = d ) ( u, + h( h( ). d u, v u Jak zvolit fci h: přidám do grafu uzel s orientovaně spojený se všemi ostatními hranou o w = 0. Pak h( = d(s,. Ta fce vrací nuly, jestliže tam nejsou záporné cesty. Dynamické programování: např. vyhledání optimálního stromu (nějak, že se dělají ty horní diagonály z dolních ) Nejdelší společná podposloupnost: Do 1. řádku a sloupce obdélníkové matice (podle délek posloupností) dám nuly. Pak 2 cykly v sobě vnořené. Je li a i = b i, tak se to použije (do toho políčka se dá velikost předchozího (na diagonále vpravo)+1). Jinak se bere delší ze dvou uvažovaných možností. Toky v sítích Def: Sítí nazýváme čtveřici S = <G,q,s,t>, kde G=<H,U> je obyčejný (OG), s U je zdroj sítě S, t U, t s je spotřebič sítě S a q: H R + je nezáporné ohodnocení hran, nazývané kapacita sítě S. Pro každou hranu h H nazýváme příslušnou hodnotu q(h) kapacitou hrany h.

5 Teoretická informatika Str.5 Def: Tokem v síti S = <G,q,s,t> nazýváme takové hodnocení hran f: H R +, které splňuje následující podmínky pro každou hranu (u, H platí 0 f(u, q(u, tok hranou nesmí překročit její kapacitu pro každý uzel u sítě různý od s i od t platí: f ( u, = f ( w, tok se nehromadí v žádném vnitřním uzlu ( u, H ( w, H Velikost toku f udává, kolik ve zdroji toku vzniká = kolik ho ve spotřebiči zaniká. Když je tam víc zdrojů/spotřebičů, udělám jeden a od něj vedu hrany s nekonečnou kapacitou ke skutečným zdrojům. Když má i uzel omezenou kapacitu, tak tento rozdělím na dva spojené hranou s touto kapacitou. Do jednu přivedu všechny hrany, které do původního vstupovali a do druhého všechny, které z něj vystupovali. Sítě s omezeným min. tokem: Síť doplníme umělým zdrojem S a a spotřebičem t a a pro všechny hrany (u, mající r uv > 0 zavedeme dvojici hran (u,t a ), (s a, s kapacitou r uv (a dolní mezí = 0) Snížíme kapacitu q uv r uv a dolní mez toku hranou (u, stanovíme = 0 Doplníme novou zpětnou hranu (t,s) s kapacitou q ts = a dolní mezí = 0 Má-li takto vzniklá síť max. tok z (s a do t a ) nasycující všechny případné hrany, pak lze v původní síti nalézt tok f ts. Jinak přípustný tok neexistuje. Řez sítě: množina hran, po jejímž odebrání se budou zdroj a spotřebič nacházet v různých komponentách. Kapacita řezu = velikost max. toku v síti = součet jednotlivých kapacit hran, které do řezu patří. Párováním v grafu G nazýváme takovou podmnožinu P H jeho hran, ve které žádné dvě hrany nemají společný uzel. Perfektní párování je, když P je faktorem grafu G. Maximální párování je takové, které obsahuje největší počet hran. Maximální tok v síti Alg. Fordův-Fulkersonův: Všechny uzly na FRESH; pak jdu jako prohledávání do šířky, dokud nedojdu do spotřebiče; Zapíši si zlepšující tok, změním propustnost (teď už tam něco teče už se tam toho vleze méně) a opakuji od 1. bodu dokud to jde. Pokud v 2. bodu narazím na uzel, kterým už odtéká celá jeho kapacita a já bych tam tou svou cestou mohl dopravit taky něco, tak ten původní zkusím poslat zpět a jdu tam já. S daty, co jsem poslal zpět (aspoň část) zkusím projít jinudy. Algoritmy umělé inteligence (UI) Stavový prostor je množina všech stavů systému společně s operátory nebo akcemi, které způsobují přechody mezi těmito stavy. Možno chápat jako (OG) automat. Informované hledání: hodnotící (heuristická) funkce směruje hledání určitým směrem. Gradientní algoritmus (gradientní alg): Pomocí prohledávání do hloubky. Při expanzi se následníci seřadí podle hodnotící funkce a do zásobníku otevřených uzlů se uloží tak, že na vrcholu bude nejperspektivnější z nich. Alg paprskového prohledávání (beam-search): Varianta prohledávání do šířky. V každé hladině uzlů stejně vzdálených od počátku se do fronty otevřených uzlů zařadí nejvýše k nejlepších kandidátů expanze. Alg uspořádaného prohledávání: Jako gradientní, ale otevřené uzly ukládá do prioritní fronty. K expanzi se pak vybírá uzel s nejmenší hodnotou f Dijkstrův alg v němž se místo odhadované vzdálenosti od počátku používá hodnotící fce. (je-li výpočet f( závislý na hodnotě f pro předchůdce uzlu, je nutné upravit relaxaci a upravovat pro dříve generované uzly jejich ohodnocení a zařazovat je znovu do fronty otevřených uzlů. Výhodné je hodnotící fci mít: f( = g(+h(, kde g( je vzdálenost od začátku a h( vzdálenost od konce. Alg s takto uspořádanou hodnotící funkcí se nazývá algoritmus A. Přípustný alg prohledávání algoritmus, který zaručuje nalezení nejkratší cesty řešení Heuristické hledání: Funkce h ) ( je odhad h( a nazývá se heuristická funkce (zcela závislá na existenci kvantifikovatelných heuristic. pravidel). alg A*: jako A, jen je tam ta hodnotící funkce aproximovaná. ) alg A* je přípustný h( h( a ohodnocení každého operátoru je > 0. ) ) alg A1* je lépe informovaný než A2*, když h1( h2( pro každý stav u stavového prostoru. Aby to však A1 nalezl dříve, musela by heuristická fce být konzistentní: h ) ( h ) ( d( u,, kde d(u, je přesná vzdálenost. SOH (symetrické obousměrné hledání), která je přípustná a kterou lze docílit nižšího počtu expandovaných uzlů než při prohledávání jednostranném. Mohu použít i heuristiku se směrováním je to hodně složité. IDA* (iterative deepining A*): SKRIPTA: Iterativní prohlubování, při níž se na počátku nastaví prahová hodnota hodnotící funkce a uzly s vyšší hodnotou se neuchovávají. Pokud hledání neuspěje, nový práh se nastaví na nejblíže vyšší hodnotu dosaženou v minulém průchodu. PŘEDNÁŠKY: Jako alg. do hloubky s omezenou hloubkou. Určím hloubku, kam až to má jít. Když se to tam nenajde, zvětší se prohledávaná hloubka.

6 Teoretická informatika Str.6 SMA* - jako A*, ale fronta je omezena velikostí. Když se fronta naplní, některé uzly vyhodím. Alg najde optimální řešení, jestli vzdálenost toho uzlu je menší než počet míst ve frontě. Řád růstu funkce (ASI): Když mám zjisti, která z fcí roste asymptoticky rychleji: a n = b, b = exp(n ln a). Např. vyšetřit: exp f = n ( n) n a ( ) n g ( n) = 1 ( n ln n)??exp( nln n ) = exp( n ln n) n ln n?? n n ln n 1?? n neplatí g(n) roste řádově rychleji n 2

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10

1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 Úlohy- 2.cvičení 1. Převeďte dané číslo do dvojkové, osmičkové a šestnáctkové soustavy: a) 759 10 b) 2578 10 2. Převeďte dané desetinné číslo do dvojkové soustavy (DEC -> BIN): a) 0,8125 10 b) 0,35 10

Více

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Teorie grafů zadání úloh letní semestr 2008/2009 Poslední aktualizace: 19. května 2009 Obsah Úloha číslo 1 5 Úloha číslo 2 6 Úloha číslo 3 7 Úloha číslo 4 8 Úloha číslo 5 9 Úloha číslo 6 10 Úloha číslo

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

Volné stromy. Úvod do programování. Kořenové stromy a seřazené stromy. Volné stromy

Volné stromy. Úvod do programování. Kořenové stromy a seřazené stromy. Volné stromy Volné stromy Úvod do programování Souvislý, acyklický, neorientovaný graf nazýváme volným stromem (free tree). Často vynecháváme adjektivum volný, a říkáme jen, že daný graf je strom. Michal Krátký 1,Jiří

Více

Ohodnocené orientované grafy

Ohodnocené orientované grafy Ohodnocené orientované grafy Definice Buď G graf Funkce w : H( G) (, ) se nazývá (hranové) ohodnocení grafu G; graf se zadaným ohodnocením se nazývá ohodnocený graf Definice Nechť G je orientovaný graf

Více

Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy.

Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy. Problém obchodního cestujícího(tsp) Vstup: Množina n měst a vzdálenosti mezi nimi. Výstup: Nejkratší okružní cesta procházející všemi městy. Poznámka:Slovem okružní myslíme,žecestakončívestejném městě,

Více

Kapitola 1. Grafy a podgrafy

Kapitola 1. Grafy a podgrafy Petr Kovář, 1. Grafy a podgrafy 25. února 2011 Kapitola 1. Grafy a podgrafy 1.1. Grafy a jednoduché grafy 1.1.1. Ukažte, že platí G = G, tj. doplněk doplňku grafu G je právě graf G. 1.1.2. Může být graf

Více

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úvod do problematiky diskrétní matematiky Cíl: Cílem tohoto tématického celku je vymezení oblasti diskrétní matematiky a příprava na další výklad kurzu. Jedná

Více

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace Význam triangulace trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy příklad triangulace Definice Triangulace nad množinou bodů v rovině představuje takové planární

Více

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus 5 Minimální kostry, Hladový algoritmus Kromě teoretických hrátek mají kostry grafů (Oddíl 4.4) následující důležité praktické použití: Dříve jsme uvažovali spojení v grafech cestami jdoucími z jednoho

Více

Datové typy a struktury

Datové typy a struktury atové typy a struktury Jednoduché datové typy oolean = logická hodnota (true / false) K uložení stačí 1 bit často celé slovo (1 byte) haracter = znak Pro 8-bitový SII kód stačí 1 byte (256 možností) Pro

Více

2 Datové struktury. Pole Seznam Zásobník Fronty FIFO Haldy a prioritní fronty Stromy Hash tabulky Slovníky

2 Datové struktury. Pole Seznam Zásobník Fronty FIFO Haldy a prioritní fronty Stromy Hash tabulky Slovníky Pole Seznam Zásobník Fronty FIFO Haldy a prioritní fronty Stromy Hash tabulky Slovníky 25 Pole Datová struktura kolekce elementů (hodnot či proměnných), identifikovaných jedním nebo více indexy, ze kterých

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Algoritmy I, složitost

Algoritmy I, složitost A0B36PRI - PROGRAMOVÁNÍ Algoritmy I, složitost České vysoké učení technické Fakulta elektrotechnická v 1.01 Rychlost... Jeden algoritmus (program, postup, metoda ) je rychlejší než druhý. Co ta věta znamená??

Více

Definice barevnosti grafu, základní vlastnosti. Varinaty problému barvení.

Definice barevnosti grafu, základní vlastnosti. Varinaty problému barvení. 7 Barevnost a další těžké problémy Pro motivaci této lekce se podíváme hlouběji do historie počátků grafů v matematice. Kromě slavného problému sedmi mostů v Královci (dnešním Kaliningradě) je za další

Více

Teorie grafů, diskrétní optimalizace a

Teorie grafů, diskrétní optimalizace a KMA/TGD1 Teorie grafů, diskrétní optimalizace a výpočetní složitost 1 Pracovní texty přednášek http://wwwkmazcucz/tgd1 Obsahem předmětu KMA/TGD1 jsou základy algoritmické teorie grafů a výpočetní složitosti

Více

Automatizované řešení úloh s omezeními

Automatizované řešení úloh s omezeními Automatizované řešení úloh s omezeními Martin Kot Katedra informatiky, FEI, Vysoká škola báňská Technická universita Ostrava 17. listopadu 15, Ostrava-Poruba 708 33 Česká republika 25. října 2012 M. Kot

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 Pravděpodobnostní plánování zbynek.winkler at mff.cuni.cz, md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor05/cs 12. prosince 2005 1 Co už umíme a co ne? Jak řešit složitější případy? Definice konfiguračního

Více

Projekt programu Inženýrská Informatika 2

Projekt programu Inženýrská Informatika 2 Projekt programu Inženýrská Informatika 2 Realizace grafu v jazyce Java Ústav počítačové a řídicí techniky, VŠCHT Praha Řešitel: Jan Hornof (ININ 258) Vedoucí: doc. Ing. Jaromír Kukal, Ph.D. 1. Obsah 1.

Více

Předpokládané znalosti: v rozsahu KMA/DMA Diskrétní matematika. Skripta DMA: - R. 2004. - J. Holenda, Z. Ryjáček: Lineární algebra II - Skripta

Předpokládané znalosti: v rozsahu KMA/DMA Diskrétní matematika. Skripta DMA: - R. 2004. - J. Holenda, Z. Ryjáček: Lineární algebra II - Skripta KMA/TGD1 Teorie grafů a diskrétní optimalizace 1 Zdeněk Ryjáček, KMA UK 620 ryjacek@kmazcucz http://wwwkmazcucz/ryjacek 1545 1715, s přestávkou 15 minut Předpokládané znalosti: v rozsahu KMA/DMA Diskrétní

Více

Projekt Obrázek strana 135

Projekt Obrázek strana 135 Projekt Obrázek strana 135 14. Projekt Obrázek 14.1. Základní popis, zadání úkolu Pracujeme na projektu Obrázek, který je ke stažení na http://java.vse.cz/. Po otevření v BlueJ vytvoříme instanci třídy

Více

Předmluva. (ke druhému vydání) Toto skriptum odpovídá současnému obsahu předmětu Teoretická informatika pro obor

Předmluva. (ke druhému vydání) Toto skriptum odpovídá současnému obsahu předmětu Teoretická informatika pro obor 2 Předmluva (ke druhému vydání) Toto skriptum odpovídá současnému obsahu předmětu Teoretická informatika pro obor Výpočetní technika na Elektrotechnické fakultě ČVUT. Jak název napovídá, hlavním cílem

Více

Algoritmy a datové struktury

Algoritmy a datové struktury Algoritmy a datové struktury 1 / 34 Obsah přednášky Základní řídící struktury posloupnost příkazů podmínka cyklus s podmínkou na začátku cyklus s podmínkou na konci cyklus s pevným počtem opakování Jednoduchá

Více

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál)

Délka (dny) 150 - - 2 terénní úpravy (prvotní) 15-20 - příprava staveniště (výstavba přístřešku pro materiál) Skupinová práce. Zadání skupinové práce Síťová analýza metoda CPM Dáno: Výstavba skladu zásob obilí představuje následující činnosti: Tabulka Název činnosti Délka (dny) Optimální projekt. Optimální dělníků

Více

V případě jazyka Java bychom abstraktní datový typ Time reprezentující čas mohli definovat pomocí třídy takto:

V případě jazyka Java bychom abstraktní datový typ Time reprezentující čas mohli definovat pomocí třídy takto: 20. Programovací techniky: Abstraktní datový typ, jeho specifikace a implementace. Datový typ zásobník, fronta, tabulka, strom, seznam. Základní algoritmy řazení a vyhledávání. Složitost algoritmů. Abstraktní

Více

Kódy pro odstranění redundance, pro zabezpečení proti chybám. Demonstrační cvičení 5 INP

Kódy pro odstranění redundance, pro zabezpečení proti chybám. Demonstrační cvičení 5 INP Kódy pro odstranění redundance, pro zabezpečení proti chybám Demonstrační cvičení 5 INP Princip kódování, pojmy Tady potřebujeme informaci zabezpečit, utajit apod. zpráva 000 111 000 0 1 0... kodér dekodér

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Dokumentace k semestrální práci z předmětu PT

Dokumentace k semestrální práci z předmětu PT Dokumentace k semestrální práci z předmětu PT Vypracovali: Eva Turnerová (A08B0176P) Martin Dlouhý (A08B0268P) Zadání Zadání: Firma Mistr Paleta, syn a vnuci rozváží palety po celé České republice. Počet

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Toky v sítích. Ruský petrobaron vlastní ropná naleziště na Sibiři a trubky vedoucí do Evropy. Trubky vedou mezi nalezišti, uzlovými

Toky v sítích. Ruský petrobaron vlastní ropná naleziště na Sibiři a trubky vedoucí do Evropy. Trubky vedou mezi nalezišti, uzlovými Toky v sítích Ruský petrobaron vlastní ropná naleziště na Sibiři a trubky vedoucí do Evropy. Trubky vedou mezi nalezišti, uzlovými body a koncovými body, kde ropu přebírají odběratelé. Každá trubka může

Více

Obecné metody systémové analýzy

Obecné metody systémové analýzy Obecné metody systémové analýzy Graf jako pojem matematické teorie grafů (nikoliv např. grafické znázornění průběhu funkce): určitý útvar (rovinný, prostorový), znázorňující vztahy (vazby, relace) mezi

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Kristýna Slabá, kslaba@students.zcu.cz. 1. července 2010

SÍŤOVÁ ANALÝZA. Kristýna Slabá, kslaba@students.zcu.cz. 1. července 2010 SÍŤOVÁ ANALÝZA Kristýna Slabá, kslaba@students.zcu.cz 1. července 2010 Obsah 1 Úvod do síťové analýzy Hlavní metody síťové analýzy a jejich charakteristika Metoda CPM Metoda PERT Nákladová analýza Metoda

Více

ABSTRAKTNÍ DATOVÉ TYPY

ABSTRAKTNÍ DATOVÉ TYPY Jurdič Radim ABSTRAKTNÍ DATOVÉ TYPY Veškeré hodnoty, s nimiž v programech pracujeme, můžeme rozdělit do několika skupin zvaných datové typy. Každý datový typ představuje množinu hodnot, nad kterými můžeme

Více

Definice. B-stromu. B-strom řádu m je strom, kde každý uzel má maximálně m následníků a ve kterém platí:

Definice. B-stromu. B-strom řádu m je strom, kde každý uzel má maximálně m následníků a ve kterém platí: B-Strom Definice B-stromu B-strom řádu m je strom, kde každý uzel má maximálně m následníků a ve kterém platí: 1. Počet klíčů v každém vnitřním uzlu, je o jednu menší než je počet následníků (synů) 2.

Více

Druhá skupina zadání projektů do předmětu Algoritmy II, letní semestr 2014/2015

Druhá skupina zadání projektů do předmětu Algoritmy II, letní semestr 2014/2015 Druhá skupina zadání projektů do předmětu Algoritmy II, letní semestr 2014/2015 doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. 6. dubna 2015 Verze zadání 6. dubna 2015 První verze 1 1 Sledování elektroměrů V panelovém

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Definice 10.1 Postův systém nad abecedou Σ je dán neprázdným seznamem S dvojic neprázdných řetězců nadσ, S = (α

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Popis ovládání. Po přihlášení do aplikace se objeví navigátor. Navigátor je stromově seřazen a slouží pro přístup ke všem oknům celé aplikace.

Popis ovládání. Po přihlášení do aplikace se objeví navigátor. Navigátor je stromově seřazen a slouží pro přístup ke všem oknům celé aplikace. Popis ovládání 1. Úvod Tento popis má za úkol seznámit uživatele se základními principy ovládání aplikace. Ovládání je možné pomocí myši, ale všechny činnosti jsou dosažitelné také pomocí klávesnice. 2.

Více

Excel tabulkový procesor

Excel tabulkový procesor Pozice aktivní buňky Excel tabulkový procesor Označená aktivní buňka Řádek vzorců zobrazuje úplný a skutečný obsah buňky Typ buňky řetězec, číslo, vzorec, datum Oprava obsahu buňky F2 nebo v řádku vzorců,

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

PETRIHO SÍTĚ STOCHASTICKÉ PETRIHO SÍTĚ. Modelování Petriho sítěmi

PETRIHO SÍTĚ STOCHASTICKÉ PETRIHO SÍTĚ. Modelování Petriho sítěmi HPSim PETRIHO SÍTĚ STOCHASTICKÉ PETRIHO SÍTĚ 1962 - Carl Adam Petri formalismus pro popis souběžných synchronních distribučních systémů Modelování Petriho sítěmi Grafický popis a analýza systémů, ve kterých

Více

Práce s MS Excel v Portálu farmáře a využití pro stažení dat KN z LPIS a sestav z EPH

Práce s MS Excel v Portálu farmáře a využití pro stažení dat KN z LPIS a sestav z EPH Práce s MS Excel v Portálu farmáře a využití pro stažení dat KN z LPIS a sestav z EPH Leden 2012 1. Přehled sestav MS Excel v Portálu farmáře Registr půdy (LPIS) a Data ke stažení LPIS umožňuje na záložce

Více

Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Algoritmus

Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Algoritmus Pracovní listy - programování (algoritmy v jazyce Visual Basic) Předmět: Seminář z informatiky a výpočetní techniky Třída: 3. a 4. ročník vyššího stupně gymnázia Algoritmus Zadání v jazyce českém: 1. Je

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] 1 CÍL KAPITOLY V této kapitole si představíme Nástroje kreslení pro tvorbu 2D skic v modulu Objemová součást

Více

Použijeme-li prostorový typ grafu, můžeme pro každou datovou zvolit jiný tvar. Označíme datovou řadu, zvolíme Formát datové řady - Obrazec

Použijeme-li prostorový typ grafu, můžeme pro každou datovou zvolit jiný tvar. Označíme datovou řadu, zvolíme Formát datové řady - Obrazec Čtvrtek 15. září Grafy v Excelu 2010 U grafů, ve kterých se znázorňují hodnoty řádově rozdílné, je vhodné zobrazit ještě vedlejší osu 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 hmotná investice 500 550 540 500

Více

2. Svoje řešení pojmenujte podle čísel zadání úloh: uloha1.sgpbprj uloha4.sgpbprj

2. Svoje řešení pojmenujte podle čísel zadání úloh: uloha1.sgpbprj uloha4.sgpbprj Pokyny: 1. Řešení úloh ukládejte do složky, která se nachází na pracovní ploše počítače. Její název je stejný, jako je kód, který váš tým dostal přidělený (C05, C10 apod.). Řešení, uložené v jiné složce,

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Fyzikální korespondenční škola 2. dopis: experimentální úloha

Fyzikální korespondenční škola 2. dopis: experimentální úloha Fyzikální korespondenční škola 2. dopis: experimentální úloha Uzávěrka druhého kola FKŠ je 28. 2. 2010 Kde udělal Aristotelés chybu? Aristotelés, jeden z největších učenců starověku, z jehož knih vycházela

Více

Úvod do problematiky ÚPRAVY TABULKY

Úvod do problematiky ÚPRAVY TABULKY Úvod do problematiky ÚPRAVY TABULKY Zaměříme se na úpravy, které určují finální grafickou úpravu tabulky (tzv. formátování.). Měnit můžeme celou řadu vlastností a ty nejdůležitější jsou popsány v dalším

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Mistrovství České republiky v logických úlohách

Mistrovství České republiky v logických úlohách Mistrovství České republiky v logických úlohách Blok 1 - Logický mixer 10:00-11:40 Řešitel 1 Praha 013 Mrakodrapy 3 Heywake 4 Rybáři 5 Dvojblok Pentomina 7 Nádraží 8 Slalom 9 Plot 10 Kriskros 11 Cesta

Více

MS Excel 2007 Kontingenční tabulky

MS Excel 2007 Kontingenční tabulky MS Excel 2007 Kontingenční tabulky Obsah kapitoly V této kapitole se seznámíme s nástrojem, který se používá k analýze dat rozsáhlých seznamů. Studijní cíle Studenti budou umět pro analýzu dat rozsáhlých

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

MS OFFICE POWER POINT 2010

MS OFFICE POWER POINT 2010 MS OFFICE POWER POINT 2010 Program Power Point patří do rodiny programů Microsoft Office a slouží ke tvorbě prezentací. Prezentace je tvořena snímky, které jsou postupně zobrazovány a to buď po nějaké

Více

STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem

STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem 1) Otevření datového souboru Program Statistika.cz otevíráme z ikony Start, nabídka Programy, podnabídka Statistika Cz 6. Ze dvou nabídnutých možností vybereme

Více

Základní datové struktury

Základní datové struktury Základní datové struktury Martin Trnečka Katedra informatiky, Přírodovědecká fakulta Univerzita Palackého v Olomouci 4. listopadu 2013 Martin Trnečka (UPOL) Algoritmická matematika 1 4. listopadu 2013

Více

Hodnocení soutěžních úloh

Hodnocení soutěžních úloh Hodnocení soutěžních úloh Superciferný součet Koeficient 1 Kategorie mládež Soutěž v programování 24. ročník Krajské kolo 2009/2010 15. až 17. dubna 2010 Vaší úlohou je vytvořit program, který spočítá

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 md at robotika.cz, zbynek.winkler at mff.cuni.cz http://robotika.cz/guide/umor07/cs 27. listopadu 2007 1 Mapa světa Exaktní plánování 2 3 Plánování s otáčením Mapa světa - příklad Obsah Mapa světa Exaktní

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera

pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Jak jsou vysocí? Mirek Kubera Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Kombinatorika, pravděpodobnost, základy statistiky Mirek Kubera žák diskutuje a kriticky zhodnotí statistické informace a daná statistická sdělení, volí

Více

Řazení řádků ve vzestupném pořadí (A až Z nebo 0 až 9) nebo sestupném pořadí (Z až A nebo 9 až 0)

Řazení řádků ve vzestupném pořadí (A až Z nebo 0 až 9) nebo sestupném pořadí (Z až A nebo 9 až 0) Řazení oblasti Řazení řádků ve vzestupném pořadí (A až Z nebo 0 až 9) nebo sestupném pořadí (Z až A nebo 9 až 0) 1. Klepněte na buňku ve sloupci, podle kterého chcete řádek seřadit. 2. Klepněte na tlačítko

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 3/3 GPS - výpočet polohy stanice pomocí

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

Automatický optický pyrometr v systémové analýze

Automatický optický pyrometr v systémové analýze ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ K611 ÚSTAV APLIKOVANÉ MATEMATIKY K620 ÚSTAV ŘÍDÍCÍ TECHNIKY A TELEMATIKY Automatický optický pyrometr v systémové analýze Jana Kuklová, 4 70 2009/2010

Více

Přehledy pro Tabulky Hlavním smyslem této nové agendy je jednoduché řazení, filtrování a seskupování dle libovolných sloupců.

Přehledy pro Tabulky Hlavním smyslem této nové agendy je jednoduché řazení, filtrování a seskupování dle libovolných sloupců. Přehledy pro Tabulky V programu CONTACT Professional 5 naleznete u firem, osob a obchodních případů záložku Tabulka. Tuto záložku lze rozmnožit, přejmenovat a sloupce je možné definovat dle vlastních požadavků

Více

TÉMATICKÝ OKRUH TZD, DIS a TIS

TÉMATICKÝ OKRUH TZD, DIS a TIS TÉMATICKÝ OKRUH TZD, DIS a TIS Číslo otázky : 13. Otázka : Základní datové struktury (pole, zásobník, binární strom atd.), datové struktury vhodné pro fyzickou implementaci relačních dat v SŘBD (hašovací

Více

DIMTEL - dimenzování otopných těles v teplovodních soustavách

DIMTEL - dimenzování otopných těles v teplovodních soustavách Dimenzování těles Dialogové okno Dimenzování těles lze otevřít z programu TZ (tepelné ztráty), z programu DIMOS_W a také z programu DIMTEL. Při spuštění z programu TZ jsou nadimenzovaná tělesa uložena

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Měření součinitele smykového tření dynamickou metodou

Měření součinitele smykového tření dynamickou metodou Měření součinitele smykového tření dynamickou metodou Online: http://www.sclpx.eu/lab1r.php?exp=6 Měření smykového tření na nakloněné rovině pomocí zvukové karty řešil např. Sedláček [76]. Jeho konstrukce

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Hierarchický databázový model

Hierarchický databázový model 12. Základy relačních databází Když před desítkami let doktor E. F. Codd zavedl pojem relační databáze, pohlíželo se na tabulky jako na relace, se kterými se daly provádět různé operace. Z matematického

Více

Varianty Monte Carlo Tree Search

Varianty Monte Carlo Tree Search Varianty Monte Carlo Tree Search tomas.kuca@matfyz.cz Herní algoritmy MFF UK Praha 2011 Témata O čem bude přednáška? Monte Carlo Tree Search od her podobných Go (bez Go) k vzdálenějším rozdíly a rozšíření

Více

Optimizing Limousine Service with AI. David Marek

Optimizing Limousine Service with AI. David Marek Optimizing Limousine Service with AI David Marek Airport Limousine Services Ltd. (ALS) Jedna z největších firem zajišťujících dopravu v Hong Kongu Luxusní limuzíny a kyvadlová doprava 24 hodin denně 2

Více

ÚČTOVÁNÍ úvodní nastavení

ÚČTOVÁNÍ úvodní nastavení ÚČTOVÁNÍ úvodní nastavení Postup: V hlavním menu zvolte Vyúčtování Všechna nastavení týkající se účtování, jsou pod tímto odkazem, účetní v podstatě nepotřebuje operovat pod jiným odkazem v menu. otevře

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Transformátor trojfázový

Transformátor trojfázový Transformátor trojfázový distribuční transformátory přenášejí elektricky výkon ve všech 3 fázích v praxi lze použít: a) 3 jednofázové transformátory větší spotřeba materiálu v záloze stačí jeden transformátor

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více