STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta

Transkript

1 STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach vlož do fronty kořen opakuj, dokud není fronta prázdná 1. vyber uzel z fronty a zpracuj jej 2. vlož do fronty levého následníka 3. vlož do fronty pravého následníka Prohledavani do hloubky (pre-order) De dohloubky kam az to de a pak se vraci vlož kořen na zásobník dokud není zásobník prázdný, opakuj vyber uzel z vrcholu zásobníku a zpracuj jej vlož na zásobník pravého potomka vlož na zásobník levého potomka Post-order Bere nejdriv levy a obe vetve a az pak rodice vlož kořen na zásobník dokud není zásobník prázdný, opakuj vyber uzel z vrcholu zásobníku pokud je neoznačkovaný o označkuj jej a ulož jej zpět na zásobník o ulož na zásobník pravého potomka o ulož na zásobník levého potomka pokud je označkovaný o zpracuj jej In-order Po vertikalnich carach zleva vlož kořen na zásobník dokud není zásobník prázdný, opakuj v := uzel na vrcholu zásobníku dokud má v nezpracovaného levého potomka, opakuj o vlož levého potomka uzlu v na zásobník o v := uzel na vrcholu zásobníku opakuj o vyber uzel z vrcholu zásobníku a zpracuj jej dokud vybraný uzel nemá pravého potomka a zásobník není prázdný má-li vybraný uzel pravého potomka, vlož tohoto potomka na zásobník

2 Vlozeni prvku do AVL stromu Vložíme uzel jako v BVS Aktualizujeme koeficienty vyváženosti Provedeme vyvážení pomocí cyklických záměn ukazatelů levá nebo pravá rotace: novým kořenem se stává kořen vyššího podstromu maximálně dvě (protisměrné) rotace na jedno vložení Vkládání do prioritního stromu Vložíme nový uzel na nejbližší volnou pozici tak, aby strom zůstal zleva úplný Dokud má vkládaný uzel větší prioritu, než jeho rodič, vyměníme je o probubláváme s uzlem směrem nahoru na správné místo Maximální počet výměn je h = log2n Vybírání z prioritního stromu Vždy vybíráme kořen o protože má nejvyšší prioritu Na jeho místo vložíme nejpravější list (L) maximální výšky o kvůli zachování levé kompletnosti stromu Dokud má L nižší prioritu než některý z jeho potomků, vyměníme jej s potomkem vyšší priority o probubláváme s uzlem směrem dolů Maximální počet výměn je h = log2n KLASICKE GRAFY Obecny algoritmus prohledavani Vstup: Souvislý graf G Výstup: Posloupnost všech uzlů grafu G Inicializace: Libovolný uzel označkuj a vlož do D Dokud je D neprázdné, opakuj Vyber uzel, který je na řadě Zpracuj / vypiš jej Všechny jeho neoznačkované následovníky označkuj a vlož do D D = fronta / zásobník podle způsobu prohledávání Díky značkování zpracujeme každý uzel právě jednou

3 Počet koster obecného artikulacemi rozdělíme graf na části, které vždy obsahují všechny hrany mezi danými uzly jsou buď stromy, cykly nebo úplné grafy určíme počty koster jednotlivých podgrafů vynásobíme počty koster mezi sebou MINIMALNI KOSTRY Jarníkův-Primův-Dijkstrův algoritmus Vyber libovolný uzel Dokud existují nevybrané uzly Vyber nejkratší hranu spojující některý vybraný uzel s nevybraným Přidej vybranou hranu a nevybraný incidentní uzel Kruskalův hladový algoritmus Množinu hran seřadíme vzestupně podle hranového ohodnocení Postupně budujeme nový graf začínáme pouze s uzly (tj. diskrétní faktor ) přidáváme hrany dle pořadí délek pokud by přidáním hrany vznikla kružnice, hranu nepřidáváme spojujeme tedy jen uzly ležící v různých komponentách pokusíme se přidat všechny hrany Borůvkův-Sollinův algoritmus Je dán souvislý graf G = (U, H) s hranami různé délky T := Dokud (U, T) není souvislý graf, opakuj: E := Pro všechny komponenty (U, T) Do E přidej nejkratší hranu spojující uzel dané komonenty s uzlem mimo komponentu T := T E (U, T) je minimální kostra grafu G

4 Hledani mostu Vstup: Souvislý graf G Výstup: Seznam mostů v grafu G Inicializace: Nastav H := G Opakuj dokud U H > 1 buduj DFS-cestu tak dlouho, dokud nedosáhne dokončeného vrcholu t jestliže stupeň t je roven 1 označ hranu incidentní s t jako most H := H t jinak (uzel t a všichni jeho sousedé leží na cyklu C) Proveď kontrakci cyklu C Terryho algoritmus (cesta z bludiste) Založen na značkování dveří podle následujících pravidel: vstoupíš-li do místnosti, kde žádné dveře nejsou označeny, označkuj vstupní dveře IN jsi-li v místnosti s alespoň jedněmi neoznačkovanými dveřmi, vyber si libovolné, označ je OUT a projdi chodbou za nimi do následující místnosti jsi-li v místnosti, kde jsou všechny dveře označeny, vstup do dveří označených IN vstoupíš-li do místnosti, kde jsou všechny dveře označeny OUT, z bludiště není východ NEJKRATSI CESTA Moorův algoritmus Prohledávání grafu do šířky Každý uzel má značku (p,d), kde d je délka cesty (počet hran) a p je předcházející uzel Počáteční uzel s dostane značku (-,0), ostatní (-,nekonecno). V0 = {s}, k=0 Pro kazde i z Vk uděláme každého neoznačkovaného následníka uzlu i označkujeme (i, k+1) a vložíme jej do množiny Vk+1 Zvýšíme k o 1 a pokud Vk není prazdna mnozina, opakujeme Výsledkem je distanční rozklad množiny uzlů Dijkstrův algoritmus Každý uzel má značku (p,d), kde d je délka cesty (součet délek hran) a p je předcházející uzel Značky jsou trvalé (množina S) a netrvalé (množ. Š) Počáteční uzel s dostane trvalou značku (-,0), jeho následníci (s, d), ostatní (-,nekonecno). S = {s}, Š=U-S Dokud Š není prazdna mnozina V množině Š vybereme uzel k s nejmenší vzdáleností od množiny S Přesuneme jej do S Prověříme značky všech následníků uzlu k z množiny Š a v případě potřeby je aktualizujeme

5 Bellman-Fordův algoritmus Každý uzel dostává značku (a, p, d), kde a je počet hran nejkratší cesty, d její délka a p předposlední uzel Počátek s dostane značku (0, -, 0), ostatní uzly (0, - Dokud je k< U Pro každý uzel j, kde a=k Prověříme značky všech následníků i uzlu j a v případě potřeby je aktualizujeme di = dj + dij pj = i aj = ai+1 Zvýšíme k o 1 Floyd-Warshallův algoritmus Graf zadaný maticí sousednosti (D(0)) obsahující délky hran nebo nekonecno; na diagonále nuly Výstupem je matice, z níž lze zjistit nejkratší cesty mezi všemi uzly Konstruujeme posloupnost matic D(1), D(2), D(n) tak, že Každý prvek matice obsahuje délku nejkratší cesty z i do j, obsahující vnitřní uzly 1..k Pro všechna k = 1.. U konstruujeme k-tou matici z k-1-ní po řádcích, k-tý řádek se nemění Cestu z i do j pak rekonstruujeme rekurzivně, hledajíce postupně taková l, kde dij=dil+dlj Záporné číslo na diagonále znamená existenci záporného cyklu Algoritmus hledání uzavřeného eulerovského tahu Vstup: Souvislý graf G s uzly jen sudého stupně Inicializace vyber libovolný uzel a najdi kružnici T, která jím prochází Iterace: dokud existují hrany nepoužité v tahu T najdi libovolný uzel u ležící v T obsahující nepoužité hrany vytvoř kružnici D z nepoužitých hran obsahující uzel u lze využít modifikovaný algoritmus prohledávání do hloubky přidej k T odbočku D

6 OBCHODNI CESTUJICI Hladová strategie nejbližšího souseda z každého města se vydáme tam, kam to máme nejblíže velmi rychlý algoritmus mnohdy poskytující velmi špatná řešení Algoritmus zdvojení stromu Vstup: úplný graf G s hranovým ohodnocením splňujícím trojúhelníkovou nerovnost Výstup: HC maximálně 2x delší,než nejkratší Příprava Najdi minimální kostru T grafu G Zdvoj každou hranu a sestroj eulerovský tah E kostrou T Konstrukce HC H začni v libovolném uzlu sleduj tah E a přidávej navštívené uzly do H, dokud následující hrana nevede do již navštíveného uzlu najdi nejbližší nenavštívený uzel na E a přidej jej do H tím vyrobíme zkratku obcházející již navštívené uzly opakuj poslední dva kroky, dokud nedosáhneš počátečního uzlu Algoritmus párování ve stromu Vstup: úplný graf G s hranovým ohodnocením splňujícím trojúhelníkovou nerovnost Výstup: HC maximálně 1,5x delší,než nejkratší Najdi minimální kostru T grafu G Nechť O je množina uzlů lichého stupně v kostře T Najdi minimální perfektní párování M v O Najdi eulerovský tah v grafu E Najdi hamiltonovskou kružnici stejně jako v algoritmu zdvojení stromu (pomocí zkratek)

7 MAXIMALNI TOK V SITI Fordův-Fulkersonův algoritmus U každé hrany udržujeme dvojici (tok, kapacita) Nalezneme rezervní polocestu ze zdroje do stoku Identifikujeme nejmenší rezervu d hrany na této cestě to je rezerva polocesty Na hranách ve směru cesty zvýšíme tok o d Na hranách proti směru cesty snížíme tok o d Opakujeme tak dlouho, dokud existuje rezervní cesta Edmonds-Karpův algoritmus Inicializace nastav tok ve všech hranách na nulu Iterace Najdi nejkratší rezervní cestu Moorovým algoritmem Každý uzel dostane značku (p,+-,d, s) p = předchůdce + = hrana je ve směru cesty (následník) = hrana je proti směru cesty (předchůdce) d = vzdálenost od zdroje s = rezerva cesty Při zpracování uzlu i dostane každý neoznačkovaný následník j značku (i,+,di+1,min(s,cij-fij)) předchůdce j značku (i,-,di+1,min(s,fij)) Zvyš/sniž tok všech hran rezervní cesty o její rezervu Opakuj, dokud existuje rezervní cesta Dinicův algoritmus Začneme s libovolným tokem f (např. prázdným) Dokud to jde, zlepšujeme tok opakováním: Vytvoříme rezervní síť uzly jsou tytéž, kapacity hran jsou dány rezervami Najdeme nejkratší s-t cestu pomocí prohledávání do šířky => distanční rozklad uzlů => vrstvy Pročistíme síť odstraníme hrany spojující uzly ve stejné vrstvě odstraníme hrany vedoucí zpět Najdeme blokující tok fb v pročištěné síti alespoň jedna hrana se nasytí zlepšíme původní tok f podle fb

8 Goldbergův algoritmus I. U každého uzlu udržujeme jeho výšku Ke každé hraně přidáme protisměrnou hranu s nulovou kapacitou Vždy platí, že f(u,v) = -f(v,u) Vlna splňuje kapacitní omezení hran, nemusí splňovat zákon zachování toku v uzlech jsou povoleny přebytky uzel s přebytkem je aktivní Dvě operace zvednutí uzlu = zvýšení výšky tak, aby byl o 1 výš než nejnižší z následníků na rezervních hranách protlačení vlny = zvýšení toku hrany o minimum z rezervní kapacity a přebytku počátku postup: Nastav v(s) = U, výšku ostatních uzlů na 0 Nasyť všechny hrany vedoucí ze zdroje koncové uzly se stávají aktivními přidej je do fronty Dokud není fronta aktivních uzlů prázdná odeber uzel z fronty existuje-li nižší následník na rezervní hraně, protlač vlnu po této hraně jinak zvedni uzel je-li uzel stále aktivní, přidej jej na konec fronty HLEDANI PAROVANI Algoritmus hledání maximálního párování pomocí střídavých cest najdeme zlepšující cestu C začínající ve volném vrcholu z A a končící ve volném vrcholu z B opakujeme dokud existuje zlepšující cesta Algoritmus hledání zlepšující cesty Iterace: Dokud jsou v S neoznačené uzly, opakuj neobsažené v párování je-li y nepokrytý, našli jsme zlepšující cestu tuto cestu zrekonstruujeme pomocí značek u každého uzlu přidej y do T, zaznamenej k němu x označ uzel x Nejsou-li v S S) minimální uzlové pokrytí

9 Největší párování pomocí toku Předpokládejme bipartitní graf G = ((A,B),H) orientace hran je vždy z uzlu ležícího v A do uzlu ležícího v B Graf G rozšíříme na síť přidáním nových uzlů s a t pro každé u z A přidáme hranu (s,u) o kapacitě 1 pro každé v z B přidáme hranu (v,t) o kapacitě 1 pro každou hranu h z H nastavíme c(h)=l kde L je libovolné velké číslo najdeme maximální tok z s do t tok jednoznačně určuje maximální párování BARVENI GRAFU Sekvenční barvení grafu Položme K=0 počet dosud použitých barev Dokud existuje neobarvený uzel Vybereme neobarvený uzel Určíme nejnižší přirozené číslo b, které může být obarvením uzlu a obarvíme jej Je-li b>k, aktualizujeme K pravidla pro výběr uzlu Náhodně Nerostoucí posloupnost podle velikosti stupňů nejdříve barvíme uzly s nejvyšším stupněm nakonec barvíme uzly s nejnižším stupněm Pro každý uzel určíme počet barev, které již byly použity k obarvení jeho sousedů vybereme uzel s nejvyšší hodnotou v případě rovnosti volíme ten, který má více neobarvených sousedů Smyslem je zbavit se nejprve nejobtížnějších uzlů Barvení grafu pomocí nezávislých množin Množina uzlů A se nazývá nezávislá právě tehdy, když neexistuje hrana, která by spojovala dva uzly ležící v množině A Pro dané obarvení grafu je každá barevná třída nezávislá Algoritmus barvení grafu zvolíme neobarvený uzel u (podobně jako u sekvenčního barvení) určíme největší nezávislou množinu N(u) uzlů obsahující u obarvíme uzly z množiny N(u) novou barvou opakujeme tak dlouho, dokud existují neobarvené uzly

10 Barvení grafu slepováním uzlů Dokud graf není úplný vyber dva nesousední uzly u a v vybrané uzly nahraď jedním, který bude sousedit se všemi, s nimiž sousedily uzly u a v Obarvi každý uzel úplného grafu jinou barvou Uzly znovu rozděl Nedokonalé barvení v hranově ohodnoceném grafu Problém: Sestavování rozvrhu hodin uzly = předměty hrany = požadavky na umístění v různou hodinu ohodnocení hran = vážnost požadavku stejný vyučující počet studentů registrujících stejný předmět obarvení = umístění do časových slotů H(G) Kolize = hrana spojující uzly obarvené stejnou barvou Hledáme obarvení grafu s nejmenším součtem kolizí Algoritmy založené na sekvenčním barvení grafu nejprve se zbavujeme uzlů spojených hranami s nejvyšší váhou