PLANARITA A TOKY V SÍTÍCH
|
|
- Tomáš Konečný
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 PLANARITA A TOKY V SÍTÍCH Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 9 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce 49 1 / 25 15
2 Separabilita a planarita Seznámíme se s následujícími pojmy: hranový řez artikulace neseparabilní graf planární graf Eulerova formule základní neplanární grafy homeomorfismus Skripta odst. 3.3, str Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce 94 2 / 15 25
3 Separabilita a planarita Jak rozdělit graf na dvě části odebráním hran? Hranový řez... minimální S H: h(g - S) = h(g) - 1 Artikulace grafu... u U: G - {u} má více komponent než G G S 2 S 3 S 5 S 1 u S 4 G-{S i } Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce 94 3 / 15 25
4 Vlastnosti hranových řezů a artikulací Množina hran incidujících s uzlem u souvislého grafu je jeho hranovým řezem, právě když u není artikulací. Hranový řez obsahuje alespoň jednu větev každé kostry.? Hranovéřezy stromů, kružnic, E-grafů...? Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce 94 4 / 15 25
5 Jak hledat hranové řezy? Začneme rozkladem U = U 1 U 2 takovým, že podgrafy indukované množinami uzlů U 1 a U 2 jsou souvislé. H = H(U 1 x U 1 ) H(U 2 x U 2 ) H(U 1 x U 2 ) Fundamentální soustava hranových řezů / kružnic Neseparabilní graf: pro G 1 G (G 1 obsahuje aspoň dva uzly) mají G 1 a G-G 1 alespoň dva uzly společné Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce 94 5 / 15 25
6 Planární grafy Planární graf... lze nakreslit v rovině bez křížení hran? Je K 4 planární?? a co K 5?? a K 3,3? Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce 94 6 / 15 25
7 Eulerova formule V: Nechť G = H,U, ρ je (souvislý) planární graf. Potom platí H - U + 2 = r (Eulerova formule) kde r je počet stěn grafu G (včetně vnější). Jinak řečeno: r = µ(g)+1 H = 18 U = 13 r = 8 8 = O 1 O 5 O 2 O 3 O 4 O 6 O 8 O 7 Důkaz: indukcí podle r Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce 94 7 / 15 25
8 Vlastnosti planárních grafů Důsledek: Je-li každá stěna planárního grafu ohraničena kružnicí o k hranách, pak H = k. ( U -2) / (k-2) D: r= H - U +2, r.k = k. H -k. U +2k = 2. H k.( U -2) = H.(k-2) Takže: H 3. ( U - 2) (pro k=3) H 2. ( U - 2) pokud G neobsahuje K 3 planární grafy jsou řídké! K 5 a K 3,3 jsou neplanární (základní neplanární grafy) Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce 94 8 / 15 25
9 Kuratowského věta V: (Kuratowski) Graf G je planární neobsahuje podgraf homeomorfní s K 5 a K 3,3. Homeomorfismus G 1 ~ G 2... jsou izomorfní nebo se jimi stanou po provedení půlení hran v jednom nebo obou Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce 94 9 / 15 25
10 Kontrolní otázky 8.8 Charakterizujte neorientovaný graf, jehož každý uzel stupně většího než 1 je jeho artikulací. 8.9 Charakterizujte neorientovaný graf, jehož každý hranovýřez je tvořen pouze jednou hranou Dokažte, že každý hranový řez má s každou kostrou grafu alespoň jednu společnou hranu Jak se mohou změnit hodnoty charakteristických čísel hodnost h(g), cyklomatické číslo µ(g), nezávislost α(g), dominance β(g) a chromatickéčíslo χ(g) pokud v grafu G provedeme rozpůlení jedné hrany? 8.12 Nalezněte neorientovaný graf s co nejmenším počtem hran, který je neplanární a má průměr roven Mějme dvojici homeomorfních grafů G1 a G2. Existuje nějaký vztah mezi jejich hodnostmi h(g1) a h(g2) nebo jejich cyklomatickými čísly µ(g1) a µ(g2)? 8.14 Určete všechny neizomorfní faktory úplného grafu s pěti uzly K 5, které mají tři nebo čtyři hrany a neobsahují žádnou kružnici. Tyto faktory rozdělte do skupin vzájemně homeomorfních grafů Nechť T1 a T2 jsou dva homeomorfní neorientované stromy. Co bude platit pro soubory stupňů těchto dvou stromů? Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce / 15 25
11 TOKY V SÍTÍCH I Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce / 15 25
12 Toky v sítích Seznámíme se s následujícími pojmy: síť, kapacita hran, tok v síti, velikost toku maximální tok, řez sítě, kapacita řezu, zlepšující cesta algoritmus Forda-Fulkersona, sítě s omezeným tokem párování, maximální párování, přiřazovací úloha Skripta kap. 8, str Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce / 15 25
13 Definice sítě Síť S = G,q,s,t G = H, U je orientovaný graf q: H Z + je kapacita hran, q(u,v) = q uv s U je zdroj sítě S, t U je spotřebič sítě S (Přípustným) tokem v síti S je přiřazení f: H Z splňující podmínky: 0 f(u,v) q(u,v) pro všechny hrany (u,v) H (u,v) H f(u,v) - (v,u) H f(v,u) = 0 pro všechny uzly u U, u s,t t Velikost f toku f je rozdíl (s,v) H f(s,v) - (v,s) H f(v,s) = (v,t) H f(v,t) - (t,v) H f(t,v) 0 Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce / 15 25
14 Základní úlohy na síti Jaká je maximální velikost s t toku v síti? Jak se maximální tok určí? Jak je maximální tok rozložen do jednotlivých hran? zdroje spotřebiče Variantní zadání: sítě s více zdroji a spotřebiči sítě s omezenou kapacitou uzlů s t sítě s omezeným minimálním tokem (ukážeme později) sítě s oceněným tokem 0 r(u,v) f(u,v) q(u,v) c(f) = f(u,v). c(u,v) ( (u,v) H) - cena toku hledá se (přípustná) cirkulace s minimální cenou Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce / 15 25
15 Maximální tok a řezy sítě Řez sítě - hranový řez, který oddělí zdroj s a spotřebič t {U s, U t } - odpovídající rozklad množiny uzlů H(U s U t ) - hranový řez určený rozkladem uzlů Kapacita řezu sítě: q(u s U t ) = q(u,v) přes hrany (u,v), U t u U s, v U t U s V: Pro libovolný tok f a řez sítě H(U s U t ) platí f q(u s U t ) Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce / 15 25
16 Řešení základní úlohy Velikost toku tedy nepřekročí kapacitu (žádného) řezu sítě. Jak poznáme, že daný tok je maximální? V: Tok f je maximálním tokem v síti S= G, q, s, t neexistuje (neorientovaná) cesta (tzv. zlepšující cesta) P= u 0,u 1,...,u n, u 0 =s, u n =t taková, že platí: f(u i, u i+1 ) < q(u i, u i+1 ) pro hrany (u i, u i+1 ) H (s t) f(u i+1, u i ) > 0 pro hrany (u i+1, u i ) H (s t) Zvýšení toku podél zlepšující cesty: δ a = min(q(u i, u i+1 ) - f(u i, u i+1 )) δ b = min(f(u i+1, u i )) δ = min (δ a, δ b ) +δ +δ -δ -δ +δ Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce / 15 25
17 Algoritmus Forda-Fulkersona V: (max flow - min cut) Velikost maximálního toku sítě je rovna kapacitě jejího minimálního řezu. Ford-Fulkerson (S) 1 for ( Edge (u,v) in H(G) ) f(u,v) = 0; 2 while ( NajdiCestu(S) ) ZvyšTok(S); 3 return f; Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce / 15 25
18 Algoritmus Forda-Fulkersona NajdiCestu hledá zlepšující cestu prohledáváním sítě d[u] průběžně počítané δ, stav[u], p[u] (+ pro, - pro ) boolean NajdiCestu (Node s) { 1 for ( Node u in U(G) ) stav[u]=fresh; 2 p[s] = +s; d[s] = ; stav[s] = OPEN; 3 do { u = "libovolný otevřený uzel"; 4 stav[u] = CLOSED; 5 for ( Node v in Γ(u) ) { 6 if ( (stav[v]==fresh) && (f(u,v)<q(u,v)) ) { 7 stav[v]=open; p[v]=+u; d[v]=min(d[u],q(u,v)-f(u,v)); 8 } } 9 for ( Node v in Γ -1 (u) ) { 10 if (stav[v]==fresh) && (f(v,u)>0) ) { 11 stav[v]=open; p[v]=-u; d[v]=min(d[u],f(v,u)); 12 } } 11 } while ( ( "neexistuje otevřený uzel" ) (u == t) ); 12 return (u == t); 13 } Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce / 15 25
19 Algoritmus Forda-Fulkersona void ZvyšTok (Node s) { 1 x = t; δ = d[t]; 2 do { v = x; sgn = p[v]; u = abs(sgn); 3 if (sgn>0) f(u,v) += δ; 4 else f(v,u) -= δ; 5 x = u; 6 } while ( v==s ); } u ux=v x=v u x=v s +δ -δ +δ t? Složitost? NajdiCestu... O( U + H ) ZvyšTok... O( U )? Celý algoritmus? O( U. H **2), O( U **2. H ), O( U **3) Další zrychlení pro speciální případy (planární sítě) O( U 2 )... až na O( U. lg U ) Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce / 15 25
20 Sítě s omezeným minimálním tokem Metoda řešení: převod na základní úlohu r1/q1 q1-r1 q4-r4 r4/q4 r4 s q3-r3 r3/q3 t r3 r1 r1 q2-r2 r2/q2 r4 r2 r3 r2 s' t' Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce / 15 25
21 Sítě s omezeným minimálním tokem? Co dál? Nalezneme maximální tok s' t'.?nasycuje nově přidané hrany? ANO - máme přípustný tok a zlepšujeme jej standardně podél zlepšujících cest (ale nesmí klesnout pod hodnotu omezení ve hranách, kde to je požadováno!!!) NE - úloha nemářešení Úprava definice kapacity hranového řezu (odečíst minima ve směru t s) kde (u,v) U s U t, (x,y) U t U s q(u s U t ) = q(u,v) - r(x,y), Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce / 15 25
22 Další varianty sítě Sítě se zápornými toky r(u,v)<0 nebo i q(u,v)<0 pro r(u,v) q(u,v) 0 obrátíme orientaci hrany (u,v) na (v,u) a určíme meze 0 -q(v,u) -r(v,u) pro r(u,v) < 0 < q(u,v) přidáme opačně orientovanou hranu (v,u) s kapacitou q(v,u) = -r(u,v), minima v obou bude 0 Tok v neorientované síti předp. nulový minimální tok neorientovanou hranu nahradíme dvojicí opačně orientovaných hran se stejnou kapacitou q(u,v) = q(v,u) výsledný tok je rozdílem toků a má směr většího ze dvou Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce / 15 25
23 Cirkulace v síti Cirkulace splňuje podmínku (u,v) H f(u,v) - (v,u) H f(v,u) = 0 pro všechny uzly u U (předpokládáme síť s omezením 0 r(u,v) f(u,v) q(u,v) ) Základní otázka KDY existuje přípustná cirkulace? Právě tehdy, když každý hranový řez má nezápornou kapacitu q(u1 U2) = q(u,v) - (u,v) U1 U2 (x,y) U2 U1 r(x,y) 0, "může odtéct aspoň tolik, kolik musí přitéct" pro konkrétní tok je f(u,v) - f(x,y) = 0 Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce / 15 25
24 Hledání přípustné cirkulace Cirkulace splňuje podmínku (u,v) H f(u,v) - (v,u) H f(v,u) = 0 pro všechny uzly u U (předpokládáme síť s omezením 0 r(u,v) f(u,v) q(u,v) ) Základní otázka KDY existuje přípustná cirkulace? Právě tehdy, když každý hranový řez má nezápornou kapacitu q(u1 U2) = q(u,v) - (u,v) U1 U2 (x,y) U2 U1 r(x,y) 0, "může odtéct aspoň tolik, kolik musí přitéct" pro konkrétní tok je f(u,v) - f(x,y) = 0 Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce / 15 25
25 Aplikace toků - maximální párování Párování v grafu - "nezávislá" podmnožina hran (žádné dvě nemají společný uzel). Perfektní párování pokrývá všechny uzly. Maximální párování pokrývá co nejvíce uzlů. Při ohodnocených hranách můžeme hledat nejlevnější maximální párování. Nejdražší párování má největší součet cen. Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce / 15 25
26 Úlohy na párování Přiřazovací úloha - určit nejlevnější perfektní párování v úplném bipartitním grafu K n,n. Příklad na maximální párování v neorientovaném bipartitním grafu G s rozkladem uzlů U = X Y původní graf X Y s t 1 1 Nalezneme maximální tok pomocí algoritmu Ford-Fulkerson získáme maximální párování (hrany s nenulovým tokem). Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce / 15 25
27 Kontrolní otázky 9.9 Určete maximální tok ze zdrojů do spotřebičů v sítích G 1 až G 3. Dvojitě vytažené uzly v síti G 3 mají kapacitu omezenu uvedenou hodnotou. Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce / 15 25
28 Kontrolní otázky 9.10 Předpokládejte, že síť má tvar kořenového stromu, zdroj sítě je umístěn v kořeni s. Navrhněte efektivní algoritmus, který pro každý list u i stromu uvažovaný jako jediný spotřebič určí maximální tok s u i Předpokládejte, že síť má tvar kořenového stromu, zdroj sítě je umístěn v kořeni s. Navrhněte efektivní algoritmus pro určení takových minimálních kapacit jednotlivých hran, které zajistí, že do všech listů {u i } stromu lze současně dopravit maximální tok velikosti 1. Doc. Josef Kolář (ČVUT) Planarita Prohledávání a toky grafů v sítích GRA, LS 2010/11, Lekce / 15 25
TOKY V SÍTÍCH II. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze
TOKY V SÍTÍCH II Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 010/011, Lekce 10 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší
VíceVLASTNOSTI GRAFŮ. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5
VLASTNOSTI GRAFŮ Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší
VíceORIENTOVANÉ GRAFY, REPREZENTACE GRAFŮ
ORIENTOVANÉ GRAFY, REPREZENTACE GRAFŮ Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2/2, Lekce Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme
VícePROHLEDÁVÁNÍ GRAFŮ. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze
PROHLEDÁVÁNÍ GRAFŮ Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 4 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do
VíceVLASTNOSTI GRAFŮ. Vlastnosti grafů - kap. 3 TI 5 / 1
VLASTNOSTI GRAFŮ Vlastnosti grafů - kap. 3 TI 5 / 1 Pokrytí a vzdálenost Každý graf je sjednocením svých hran (jak je to přesně?).?lze nalézt složitější struktury stejného typu, ze kterých lze nějaký graf
VíceNEJKRATŠÍ CESTY I. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze
NEJKRATŠÍ CESTY I Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 7 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší
VíceSTROMY A KOSTRY. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 6
STROMY A KOSTRY Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 010/011, Lekce 6 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší
VíceNP-ÚPLNÉ PROBLÉMY. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze
NP-ÚPLNÉ PROBLÉMY Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 13 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do
Více= je prostý orientovaný graf., formálně c ( u, v) 0. dva speciální uzly: zdrojový uzel s a cílový uzel t. Dále budeme bez
Síť Síť je čtveřice N = ( G, s, t, c) kde G ( V, A) = je prostý orientovaný graf a každé orientované hraně ( u, v) je přiřazeno nezáporné číslo, které se nazývá kapacita hrany ( u, v), formálně c ( u,
VíceTEORIE GRAFŮ TEORIE GRAFŮ 1
TEORIE GRAFŮ 1 TEORIE GRAFŮ Přednášející: RNDr. Jiří Taufer, CSc. Fakulta dopravní ČVUT v Praze, letní semestr 1998/99 Zpracoval: Radim Perkner, tamtéž, v květnu 1999 ZÁKLADNÍ POJMY Říkáme, že je dán prostý
Více5 Orientované grafy, Toky v sítích
Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost
VíceGrafy. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta.
6 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info množina vrcholů a množina hran hrana vždy spojuje
VíceVzdálenost uzlů v neorientovaném grafu
Vzdálenosti a grafy Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu Je dán neorientovaný neohodnocený graf G = (V,E,I) vzdálenost uzlů u a v v neorientovaném souvislém grafu G je délka nejkratší cesty spojující
VíceSTROMY A KOSTRY. Stromy a kostry TI 6.1
STROMY A KOSTRY Stromy a kostry TI 6.1 Stromy a kostry Seznámíme se s následujícími pojmy: kostra rafu, cyklomatické číslo rafu, hodnost rafu (kořenový strom, hloubka stromu, kořenová kostra orientovaného
VícePoužití dalších heuristik
Použití dalších heuristik zkracování cesty při FIND-SET UNION podle hodností Datové struktury... p[x] - předchůdce uzlu x MAKE-SET(x) p[x] := x hod[x] := 0 hod[x] - hodnost (aprox. výšky) UNION(x,y) LINK(FIND-SET(x),
VíceKostry. 9. týden. Grafy. Marie Demlová (úpravy Matěj Dostál) 16. dubna 2019
Grafy 16. dubna 2019 Tvrzení. Je dán graf G, pak následující je ekvivalentní. 1 G je strom. 2 Graf G nemá kružnice a přidáme-li ke grafu libovolnou hranu, uzavřeme přesně jednu kružnici. 3 Graf G je souvislý
VíceGRAFOVÉ MODELY. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 1
GRAFOVÉ MODELY Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 1 Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaší
VíceZákladní datové struktury III: Stromy, haldy
Základní datové struktury III: Stromy, haldy prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní
VíceDefinice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský
Dále budeme předpokládat, že každý graf je obyčejný a má aspoň tři uzly. Definice 1 Graf G se nazývá eulerovský, existuje-li v něm uzavřený tah, který obsahuje každou hranu v G. Definice 2 Graf G se nazývá
VíceHledáme efektivní řešení úloh na grafu
Hledáme efektivní řešení úloh na grafu Mějme dán graf následující úlohy: G = ( V, E), chceme algoritmicky vyřešit Je daný vrchol t dosažitelný z vrcholu s? Pokud ano, jaká nejkratší cesta tyto vrcholy
Více1. Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus
1. Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus V této kapitole nadefinujeme toky v sítích, odvodíme základní věty o nich a také Fordův-Fulkersonův algoritmus pro hledání maximálního toku. Také ukážeme,
VíceJan Březina. 7. března 2017
TGH03 - stromy, ukládání grafů Jan Březina Technical University of Liberec 7. března 2017 Kružnice - C n V = {1, 2,..., n} E = {{1, 2}, {2, 3},..., {i, i + 1},..., {n 1, n}, {n, 1}} Cesta - P n V = {1,
VíceGrafové algoritmy. Programovací techniky
Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být
VíceMatice sousednosti NG
Matice sousednosti NG V = [ v ij ] celočíselná čtvercová matice řádu U v ij = ρ -1 ( [u i, u j ] )... tedy počet hran mezi u i a u j?jaké vlastnosti má matice sousednosti?? Smyčky, rovnoběžné hrany? V
VíceJan Březina. Technical University of Liberec. 21. dubna 2015
TGH11 - Maximální párování a související problémy Jan Březina Technical University of Liberec 21. dubna 2015 Bipartitní grafy Bipartitní graf - je obarvitelný dvěma barvami. Tj. V lze rozělit na disjunktní
VíceJan Březina. Technical University of Liberec. 30. dubna 2013
TGH11 - Maximální párování a související problémy Jan Březina Technical University of Liberec 30. dubna 2013 Bipartitní grafy Bipartitní graf - je obarvitelný dvěma barvami. Tj. V lze rozělit na disjunktní
VíceGrafové algoritmy. Programovací techniky
Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být
VíceTGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Grafová formulace CPM (critical path method) Orientovaný acyklický graf (DAG) je orientovaný graf neobsahující
VíceÚvod do teorie grafů
Úvod do teorie grafů Neorientovaný graf G = (V,E,I) V množina uzlů (vrcholů) - vertices E množina hran - edges I incidence incidence je zobrazení, buď: funkce: I: E V x V relace: I E V V incidence přiřadí
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceStromy, haldy, prioritní fronty
Stromy, haldy, prioritní fronty prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačů FEL České vysoké učení technické DSA, ZS 2008/9, Přednáška 6 http://service.felk.cvut.cz/courses/x36dsa/ prof. Pavel Tvrdík
VíceTeorie grafů Jirka Fink
Teorie grafů Jirka Fink Nejprve malý množinový úvod Definice. Množinu {Y; Y X} všech podmnožin množiny X nazýváme potenční množinoumnožiny Xaznačíme2 X. Definice. Množinu {Y; Y X, Y =n}všech n-prvkovýchpodmnožinmnožiny
VíceSTROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta
STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach vlož do fronty kořen opakuj, dokud není fronta prázdná 1. vyber uzel z fronty a zpracuj jej 2. vlož do fronty levého následníka
VíceTGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky Jan Březina Technical University of Liberec 28. března 2017 Grafová formulace CPM (critical path method) Orientovaný acyklický graf (DAG) je orientovaný graf neobsahující
Více07 Základní pojmy teorie grafů
07 Základní pojmy teorie grafů (definice grafu, vlastnosti grafu, charakteristiky uzlů, ohodnocené grafy) Definice grafu množina objektů, mezi kterými existují určité vazby spojující tyto objekty. Uspořádaná
VíceTGH10 - Maximální toky
TGH10 - Maximální toky Jan Březina Technical University of Liberec 23. dubna 2013 - motivace Elektrická sít : Elektrická sít, jednotlivé vodiče mají různou kapacitu (max. proud). Jaký maximální proud může
VíceOperační výzkum. Síťová analýza. Metoda CPM.
Operační výzkum Síťová analýza. Metoda CPM. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
VíceH {{u, v} : u,v U u v }
Obyčejný graf Obyčejný graf je dvojice G= U, H, kde U je konečná množina uzlů (vrcholů) a H {{u, v} : u,v U u v } je (konečná) množina hran. O hraně h={u, v} říkáme, že je incidentní s uzly u a v nebo
VíceZdůvodněte, proč funkce n lg(n) roste alespoň stejně rychle nebo rychleji než než funkce lg(n!). Symbolem lg značíme logaritmus o základu 2.
1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n log(n) 1 n 1/ roste rychleji než funkce g(n) = n. Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n 3/ log(n) roste
VíceKapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů
Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti
VíceGrafy (G) ρ(h) = [u,v]
Grafy (G) Neorientované: (NG) H hrany, U-uzly, ρ-incidence (jestli k němu něco vede) ρ: H UΞU Ξ neuspořádaná dvojice ρ(h) = [u,v] Teoretická informatika Str.1 Izolovaný uzel neinciduje s ním žádná hrana
Více8 Přednáška z
8 Přednáška z 3 12 2003 Problém minimální kostry: Dostaneme souvislý graf G = (V, E), w : E R + Našim úkolem je nalézt strom (V, E ) tak, aby výraz e E w(e) nabýval minimální hodnoty Řešení - Hladový (greedy)
Více4 Pojem grafu, ve zkratce
Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,
Více10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
Více4EK311 Operační výzkum. 5. Teorie grafů
4EK311 Operační výzkum 5. Teorie grafů 5. Teorie grafů definice grafu Graf G = uspořádaná dvojice (V, E), kde V označuje množinu n uzlů u 1, u 2,, u n (u i, i = 1, 2,, n) a E označuje množinu hran h ij,
VíceVybíravost grafů, Nullstellensatz, jádra
Vybíravost grafů, Nullstellensatz, jádra Zdeněk Dvořák 10. prosince 2018 1 Vybíravost Přiřazení seznamů grafu G je funkce L, která každému vrcholu G přiřadí množinu barev. L-obarvení je dobré obarvení
VíceKolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
VíceStromové rozklady. Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom,
Stromové rozklady Zdeněk Dvořák 25. října 2017 Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom, β je funkce přiřazující každému vrcholu T podmnožinu vrcholů v G, pro každé
VíceDrsná matematika III 10. demonstrovaná cvičení Kostry grafů
Drsná matematika III 10. demonstrovaná cvičení Kostry grafů Martin Panák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 21.11. 2006 1 Domácí úlohy z minulého týdne Příklad 1 Příklad 2 Příklad 3 2 Borůvkův algoritmus
VíceStromy. Strom: souvislý graf bez kružnic využití: počítačová grafika seznam objektů efektivní vyhledávání výpočetní stromy rozhodovací stromy
Stromy úvod Stromy Strom: souvislý graf bez kružnic využití: počítačová grafika seznam objektů efektivní vyhledávání výpočetní stromy rozhodovací stromy Neorientovaný strom Orientovaný strom Kořenový orientovaný
VíceModely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT
PEF ČZU Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT Okruhy SZB č. 5 Zdroje: Demel, J., Operační výzkum Jablonský J., Operační výzkum Šubrt, T., Langrová, P., Projektové řízení I. a různá internetová
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceŘešení rekurentních rovnic 2. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 11
Řešení rekurentních rovnic 2 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce
VíceVrcholová barevnost grafu
Vrcholová barevnost grafu Definice: Necht G = (V, E) je obyčejný graf a k N. Zobrazení φ : V {1, 2,..., k} nazýváme k-vrcholovým obarvením grafu G. Pokud φ(u) φ(v) pro každou hranu {u, v} E, nazveme k-vrcholové
VíceGraf. Uzly Lokality, servery Osoby fyzické i právní Informatické objekty... atd. Hrany Cesty, propojení Vztahy Informatické závislosti... atd.
Graf 2 0 3 1 4 5 Uzly Lokality, servery Osoby fyzické i právní Informatické objekty... atd. Hrany Cesty, propojení Vztahy Informatické závislosti... atd. Běžné reprezentace grafu Uzly = indexy Stupně uzlů
Více1 Nenulové toky. 1.1 Úvod. 1.2 Definice
1 Nenulové toky 1.1 Úvod Naším výchozím bodem bude grafová dualita. Nechť G je graf s daným vnořením v rovině, které určuje jeho duální graf G. V rámci duality si navzájem odpovídají například následující
VíceÚvod do vybíravosti grafů, Nullstellensatz, polynomiální metoda
Úvod do vybíravosti grafů, Nullstellensatz, polynomiální metoda Zdeněk Dvořák 12. prosince 2017 1 Vybíravost Přiřazení seznamů grafu G je funkce L, která každému vrcholu G přiřadí množinu barev. L-obarvení
VíceDůkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
VíceMetody síťové analýzy
Metody síťové analýzy Řeší problematiku složitých systémů, zejména pak vazby mezi jejich jednotlivými prvky. Vychází z teorie grafů. Základní metody síťové analýzy: CPM (Critical Path Method) deterministický
VíceDefinice 5.1 Graf G = (V, E) je tvořen množinou vrcholů V a množinou hran, kde
Kapitola 5 Grafy 5.1 Definice Definice 5.1 Graf G = (V, E) je tvořen množinou vrcholů V a množinou hran E ( V 2), kde ( ) V = {{x, y} : x, y V a x y} 2 je množina všech neuspořádaných dvojic prvků množiny
VíceDrsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa
Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 14. 11. 21 Obsah přednášky 1 Literatura
VícePřijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
VíceLineární algebra : Lineární (ne)závislost
Lineární algebra : Lineární (ne)závislost (4. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií
VíceDefinice 7.2. Nejmenší přirozené číslo k, pro které je graf G k-obarvitelný, se nazývá chromatické číslo (barevnost) grafu G a značí se χ(g).
7 Barevnost grafu Definice 71 Graf G se nazývá k-obarvitelný, jestliže každému jeho uzlu lze přiřadit jednu z barev 1 k tak, že žádné dva sousední uzly nemají stejnou barvu Definice 72 Nejmenší přirozené
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceTURINGOVY STROJE. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze
TURINGOVY STROJE Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 12 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší
VíceTeorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Teorie grafů zadání úloh letní semestr 2008/2009 Poslední aktualizace: 19. května 2009 Obsah Úloha číslo 1 5 Úloha číslo 2 6 Úloha číslo 3 7 Úloha číslo 4 8 Úloha číslo 5 9 Úloha číslo 6 10 Úloha číslo
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek Barvení grafů Platónská tělesa
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Barvení grafů Platónská tělesa strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to prohledávání grafu? Jaké způsoby prohledávání grafu známe? Jak nalézt východ z bludiště?
VíceGrafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.
Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy
VíceAlgoritmy na ohodnoceném grafu
Algoritmy na ohodnoceném grafu Dvě základní optimalizační úlohy: Jak najít nejkratší cestu mezi dvěma vrcholy? Dijkstrův algoritmus s t Jak najít minimální kostru grafu? Jarníkův a Kruskalův algoritmus
Více3. Grafy a matice. Definice 3.2. Čtvercová matice A se nazývá rozložitelná, lze-li ji napsat ve tvaru A =
3 Grafy a matice Definice 32 Čtvercová matice A se nazývá rozložitelná, lze-li ji napsat ve tvaru A = A 11 A 12 0 A 22 kde A 11 a A 22 jsou čtvercové matice řádu alespoň 1 a 0 je nulová matice, anebo lze-li
VíceDynamické programování
Dynamické programování prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy (BI-EFA)
VíceBipartitní grafy. Karel Klouda c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. března, letní semestr 2010/2011
MI-MPI, Přednáška č. 7 Karel Klouda karel.klouda@fit.cvut.cz c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. března, letní semestr 2010/2011 Bipartitní graf definice Definice Graf G = (W, E) se nazývá bipartitní / bipartite,
VíceEkvivalence. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5
doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5 Evropský sociální fond.
VíceTGH09 - Barvení grafů
TGH09 - Barvení grafů Jan Březina Technical University of Liberec 15. dubna 2013 Problém: Najít obarvení států na mapě tak, aby žádné sousední státy neměli stejnou barvu. Motivační problém Problém: Najít
VíceZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE Název: Rekurzivně konstruovatelné grafy Student: Anežka Štěpánková Vedoucí: RNDr. Jiřina Scholtzová, Ph.D.
VíceAlgoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem
1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval
VícePokročilé haldy. prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010
Pokročilé haldy prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy (I-EFA) ZS 2010/11,
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Vícea jiné elektronické přístroje včetně mobilů. Pracujte samostatně. Povolen je 1 list A4 vlastnoručně psaných poznámek k předmětu...
Písemný test MA010 Grafy: 11.1. 2007, var A... 1). Dány jsou následující tři grafy na 8 vrcholech každý. 1 A B C Vašim úkolem je mezi nimi najít všechny isomorfní dvojice. Pro každou isomorfní dvojici
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceSTROMY. v 7 v 8. v 5. v 2. v 3. Základní pojmy. Řešené příklady 1. příklad. Stromy
STROMY Základní pojmy Strom T je souvislý graf, který neobsahuje jako podgraf kružnici. Strom dále budeme značit T = (V, X). Pro graf, který je stromem platí q = n -, kde q = X a n = V. Pro T mezi každou
VíceTeorie grafů. Kostra grafu. Obsah. Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 2013/2014
Teorie grafů Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 013/014 Obsah Kostra grafu. Tahy,. Úloha čínského pošťáka. Zdroj: Vítečková, M., Přidal, P. & Koudela, T. Výukový modul k předmětu Systémová
Více10 Podgrafy, isomorfismus grafů
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 470-2301 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 25, 2018) 1 10 Podgrafy, isomorfismus grafů 10.1. Určete v grafu G na obrázku Obrázek 10.1: Graf G. (a) největší
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Více4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.
4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a
Vícezejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.
Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 206 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceCvičení z logiky II.
Cvičení z logiky II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 https://edux.fit.cvut.cz/courses/bi-mlo/lectures/
VíceTGH08 - Optimální kostry
TGH08 - Optimální kostry Jan Březina Technical University of Liberec 14. dubna 2015 Problém profesora Borůvky řešil elektrifikaci Moravy Jak propojit N obcí vedením s minimální celkovou délkou. Vedení
VícePříklady z Kombinatoriky a grafů I - LS 2015/2016
Příklady z Kombinatoriky a grafů I - LS 2015/2016 zadáno 1.-4. 3. 2016, odevzdat do 8.-11. 3. 2016 1. Zjistěte, které z následujících funkcí definovaných pro n N jsou v relaci Θ(), a vzniklé třídy co nejlépe
VíceUkážeme si lineární algoritmus, který pro pevné k rozhodne, zda vstupní. stromový rozklad. Poznamenejme, že je-li k součástí vstupu, pak rozhodnout
Ukážeme si lineární algoritmus, který pro pevné k rozhodne, zda vstupní graf má stromovou šířku nejvýše k, a je-li tomu tak, také vrátí příslušný stromový rozklad. Poznamenejme, že je-li k součástí vstupu,
Více3. Třídy P a NP. Model výpočtu: Turingův stroj Rozhodovací problémy: třídy P a NP Optimalizační problémy: třídy PO a NPO MI-PAA
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceMatematika III 10. přednáška Stromy a kostry
Matematika III 10. přednáška Stromy a kostry Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 20. 11. 2007 Obsah přednášky 1 Izomorfismy stromů 2 Kostra grafu 3 Minimální kostra Doporučené zdroje
VíceŘešení rekurentních rovnic 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 12
Řešení rekurentních rovnic 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce
VíceDynamické programování
ALG 0 Dynamické programování zkratka: DP Zdroje, přehledy, ukázky viz https://cw.fel.cvut.cz/wiki/courses/a4balg/literatura_odkazy 0 Dynamické programování Charakteristika Neřeší jeden konkrétní typ úlohy,
VíceTeorie grafů a diskrétní optimalizace 1
KMA/TGD1 Teorie grafů a diskrétní optimalizace 1 Pracovní texty přednášek Obsahem předmětu KMA/TGD1 jsou základy algoritmické teorie grafů a výpočetní složitosti Kapitoly 1 5 rozšiřují a prohlubují předchozí
Více