TOKY V SÍTÍCH II. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "TOKY V SÍTÍCH II. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze"

Transkript

1 TOKY V SÍTÍCH II Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 010/011, Lekce 10 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 1 / 15 31

2 Toky v sítích II Seznámíme se s následujícími pojmy: algoritmus Forda-Fulkersona sítě s omezeným tokem sítě se záporným tokem, neorientovane sítě cirkulace, nejlacinější cirkulace párování, maximální párování, přiřazovací úloha Skripta kap. 8, str Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 // 15 31

3 Algoritmus Forda-Fulkersona V: (max flow - min cut) Velikost maximálního toku sítě je rovna kapacitě jejího minimálního řezu. Ford-Fulkerson (S) 1 for ( Edge (u,v) in H(G) ) f(u,v) = 0; while ( NajdiCestu(S) ) ZvyšTok(S); 3 return f; Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 3 // 15 31

4 Algoritmus Forda-Fulkersona NajdiCestu hledá zlepšující cestu prohledáváním sítě d[u] průběžně počítané δ, stav[u], p[u] (+ pro, - pro ) boolean NajdiCestu (Node s) { 1 for ( Node u in U(G) ) stav[u]=fresh; p[s] = +s; d[s] = ; stav[s] = OPEN; 3 do { u = "libovolný otevřený uzel"; stav[u] = CLOSED; 5 for ( Node v in Γ(u) ) { 6 if ( (stav[v]==fresh) && (f(u,v)<q(u,v)) ) { 7 stav[v]=open; p[v]=+u; d[v]=min(d[u],q(u,v)-f(u,v)); 8 } } 9 for ( Node v in Γ -1 (u) ) { 10 if (stav[v]==fresh) && (f(v,u)>0) ) { 11 stav[v]=open; p[v]=-u; d[v]=min(d[u],f(v,u)); 1 } } 11 } while ( ( "neexistuje otevřený uzel" ) (u == t) ); 1 return (u == t); 13 } Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 // 15 31

5 Algoritmus Forda-Fulkersona void ZvyšTok (Node s) { 1 x = t; δ = d[t]; do { v = x; sgn = p[v]; u = abs(sgn); 3 if (sgn>0) f(u,v) += δ; else f(v,u) -= δ; 5 x = u; 6 } while ( v==s ); } u ux=v x=v u x=v s +δ -δ +δ t? Složitost? NajdiCestu... O( U + H ) ZvyšTok... O( U )? Celý algoritmus? O( U. H **), O( U **. H ), O( U **3) Další zrychlení pro speciální případy (planární sítě) O( U )... až na O( U. lg U ) Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 5 // 15 31

6 Příklad 3 z kontrolní otázky 9.10 s t1 8 s t 5 3 s t Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 6 // 15 31

7 Příklad 3 z kontrolní otázky 9.10 s1 / 6/ 10/ 8/ t1 8 s t 5 3 s t Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 7 // 15 31

8 Příklad 3 z kontrolní otázky 9.10 s1 / 6/ 10/ 8/ t1 8 s t 5 3 s 8/6 9/6 10/6 6/6 t Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 8 // 15 31

9 Příklad 3 z kontrolní otázky 9.10 s1 / 6/ 10/7 8/7 t1 8 /3 s t 5 /3 /3 3 s 8/6 9/9 10/6 6/6 t Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 9 // 15 31

10 Příklad 3 z kontrolní otázky 9.10 s1 / 6/5 10/8 8/8 t1 8 /3 s t 5 / /3 3 s 8/6 9/9 10/6 6/6 t Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce // 15 31

11 Příklad 3 z kontrolní otázky 9.10 s1 / 6/5 10/8 8/8 t1 8 /3 s t 5 / /3 3 s 8/6 9/9 10/6 6/6 t Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce // 15 31

12 Příklad 3 z kontrolní otázky 9.10 s1 / 6/5 10/8 8/8 t1 8 /3 s t 5 /5 /3 3/1 s 8/6 9/9 10/6 6/6 t Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 1 // 15 31

13 Příklad 3 z kontrolní otázky 9.10 / 6/6 10/8 8/8 8 /1 s t 5 /5 /3 3/3 8/8 9/9 10/6 6/6 q(h s x H t )=17 Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce // 15 31

14 Sítě s omezeným minimálním tokem Přípustný tok hranou (u,v) musí splňovat podmínku 0 r(u,v) f(u,v) q(u,v) Metoda řešení: převod na základní úlohu r1/q1 q1-r1 q-r r/q r s q3-r3 r3/q3 t r3 r1 r1 q-r r/q r r r3 r s' t' Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 1 // 15 31

15 Sítě s omezeným minimálním tokem? Co dál? Nalezneme maximální tok s' t'.?nasycuje nově přidané hrany? ANO - máme přípustný tok a zlepšujeme jej standardně podél zlepšujících cest (ale nesmí klesnout pod hodnotu omezení ve hranách, kde to je požadováno!!!) NE - úloha nemářešení Úprava definice kapacity hranového řezu pro sítě s omezeným minimálním tokem (musí se odečíst minima ve směru t s) kde (u,v) U s U t, (x,y) U t U s q(u s U t ) = q(u,v) - r(x,y), Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce // 15 31

16 Další varianty sítě Sítě se zápornými toky: r(u,v)<0 nebo také q(u,v)<0 pro r(u,v) q(u,v) 0 obrátíme orientaci hrany (u,v) na (v,u) a určíme meze 0 q(v,u) r(v,u) pro r(u,v) < 0 < q(u,v) přidáme opačně orientovanou hranu (v,u) s kapacitou q(v,u) = r(u,v), minima v obou budou 0 Tok v neorientované síti (předpokládáme nulový minimální tok): neorientovanou hranu nahradíme dvojicí opačně orientovaných hran se stejnou kapacitou q(u,v) = q(v,u) výsledný tok je rozdílem toků a má směr většího ze dvou Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce // 15 31

17 Cirkulace v síti Cirkulace splňuje podmínku f(u,v) - f(v,u) = (u,v) H (v,u) H 0 pro všechny uzly u U předpokládáme síť s omezením 0 r(u,v) f(u,v) q(u,v) přípustná cirkulace musí splňovat toto omezení Základní otázka KDY v síti existuje přípustná cirkulace? Právě tehdy, když každý hranový řez má nezápornou kapacitu q(u1 U) = q(u,v) - (u,v) U1 U (x,y) U U1 r(x,y) 0, "může odtéct aspoň tolik, kolik musí přitéct" pro konkrétní tok je samozřejmě f(u,v) - f(x,y) = 0 Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce // 15 31

18 Určení nějaké přípustné cirkulace Algoritmus určení přípustné cirkulace Vstup: síť S s omezeními r (minimální tok) a q (kapacita), f je libovolná cirkulace v síti (např. nulová) 1. Najdeme hranu (u,v) s nepřípustným tokem, pokud neexistuje, cirkulace je přípustná.. a) je-li f(u,v)<r(u,v), položíme =r(u,v)-f(u,v) b) hledáme zlepšující cestu C(v u), pokud neexistuje, pak přípustná cirkulace neexistuje c) zvýšíme cirkulaci kružnicí C (u,v) pro (u,v) uvažujeme kapacitu, pokračujeme krokem a) je-li f(u,v)>q(u,v), položíme =f(u,v)-q(u,v) b) hledáme zlepšující cestu C(u v), pokud neexistuje, pak přípustná cirkulace neexistuje c) zvýšíme cirkulaci kružnicí C (v,u) pro (v,u) uvažujeme kapacitu, pokračujeme krokem 1. Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce // 15 31

19 Hledání přípustné cirkulace - ilustrace Situace podle bodu : tok f(u,v) pod dolní mezí r(u,v), f(u,v) < r(u,v) tok hranou (u,v) zvyšujeme o hodnotu =r(u,v)-f(u,v) >0 u v orientace zvýšení cirkulace Situace podle bodu 3: tok f(u,v) nad kapacitou q(u,v) f(u,v) > q(u,v) tok hranou (u,v) snižujeme o hodnotu =f(u,v)-q(u,v) > 0 u v Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce // 15 31

20 Variantní určení přípustné cirkulace Opět: převodem na základní úlohu 1/5 /6 /6 1/ 3/5 /6 /6 / (+)-(1+3)= > 0 (1+)-(+)=-3 < 0 3 Spočteme rozdíly dolních mezí toku vystupující minus vstupující hrany s t Kladné uzly napojíme na t, do záporných vedeme z s Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 0 // 15 31

21 Variantní určení přípustné cirkulace Opět: převodem na základní úlohu 3/5 1/5 /6 /6 /6 /6 1/ 3 / 3 Určíme nové kapacity q (u,v) = q(u,v)-r(u,v) s t Opakujeme pro všechny uzly i hrany Nalezneme maximální s t tok Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 1 // 15 31

22 Variantní určení přípustné cirkulace 3 3/5 1/5 /6 0 3 /6 /6 1 /6 1 1/ 3 / 3 Dostali jsme maximální tok, který saturuje přidané hrany s t Nalezneme maximální s t tok Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 // 15 31

23 Variantní určení přípustné cirkulace 1/ /5 +3 /6 1+ / /6 / / 3+1 / + Určíme nový tok přičtením dolní meze toku f (u,v) = f(u,v)+r(u,v) s t Provedeme pro všechny hrany Odstraníme s, t a všechny přidané hrany Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 3 // 15 31

24 Variantní určení přípustné cirkulace 3/5 5 1/5 /6 5 /6 /6 5 /6 3 1/ / Získali jsme přípustnou cirkulaci Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 // 15 31

25 Nejlevnější cirkulace S síť s kapacitou q, dolní mezí toku r a jednotkovou cenou toku c: H Z (cena může být i záporná) Cena cirkulace f: C(f) = (u,v) H f(u,v).c(u,v) Zlepšující kružnice definuje se analogicky jako zlepšující cesta: má jednu ze dvou možných orientací hrany ve směru (vpřed) musí mít rezervu q(u,v) f(u,v) > 0 hrany proti směru (vzad) musí mít rezervu f(u,v) r(u,v) > 0 hrana vpřed hrana vzad Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 5 // 15 31

26 Nejlevnější cirkulace Cena zlepšující kružnice je rovna součtu jednotkových cen hran vpřed minus součet jednotkových cen hran vzad. Je-li cena zlepšující kružnice p a změníme-li tok podle ní o hodnotu, pak celková cena cirkulace vzroste o hodnotu.p. Věta Přípustná cirkulace f je nejlevnější cirkulací v síti S právě tehdy, když v síti S neexistuje vzhledem k cirkulaci f žádná zlepšující kružnice se zápornou cenou. Přírůstková síť S f vzhledem k toku f má stejné uzly jako S a hrany H' pro (u,v) H: f(u,v) < q(u,v) je (u,v) H' a má kapacitu q(u,v)-f(u,v) pro (u,v) H: f(u,v) > r(u,v) je (v,u) H' a má kapacitu f(v,u)=f(u,v)-r(u,v) Zlepšující cesta (kružnice) v S = orientovaná cesta (cylus) v S' Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 6 // 15 31

27 Algoritmus nalezení nejlevnější cirkulace 1. Nalezneme přípustnou cirkulaci f v síti S, pokud neexistuje, končíme.. Sestrojíme přírůstkovou síť S f vzhledem k cirkulaci f. 3. Jednotkové ceny považujeme za délky hran v síti S f a najdeme zde cyklus se zápornou délkou. Pokud neexistuje, f je nejlevnější cirkulace.. V síti S sestrojíme zlepšující kružnici odpovídající nalezenému cyklu, provedeme úpravu cirkulace podél této kružnice a pokračujeme krokem. Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 7 // 15 31

28 Aplikace toků - maximální párování Párování v grafu - "nezávislá" podmnožina hran (žádné dvě nemají společný uzel). Perfektní párování pokrývá všechny uzly. Maximální párování pokrývá co nejvíce uzlů. Při ohodnocených hranách můžeme hledat nejlevnější maximální párování. Nejdražší párování má největší součet cen. Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 8 // 15 31

29 Úlohy na párování Přiřazovací úloha - určit nejlevnější perfektní párování v úplném bipartitním grafu K n,n. Příklad na maximální párování v neorientovaném bipartitním grafu G s rozkladem uzlů U = X Y původní graf X Y s t 1 1 Nalezneme maximální tok pomocí algoritmu Ford-Fulkerson získáme maximální párování (hrany s nenulovým tokem). Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce 10 9 // 15 31

30 Kontrolní otázky 9.9 Určete maximální tok ze zdrojů do spotřebičů v sítích G 1 až G 3. Dvojitě vytažené uzly v síti G 3 mají kapacitu omezenu uvedenou hodnotou. Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce // 15 31

31 Kontrolní otázky 9.10 Předpokládejte, že síť má tvar kořenového stromu, zdroj sítě je umístěn v kořeni s. Navrhněte efektivní algoritmus, který pro každý list u i stromu uvažovaný jako jediný spotřebič určí maximální tok s u i Předpokládejte, že síť má tvar kořenového stromu, zdroj sítě je umístěn v kořeni s. Navrhněte efektivní algoritmus pro určení takových minimálních kapacit jednotlivých hran, které zajistí, že do všech listů {u i } stromu lze současně dopravit maximální tok velikosti 1. Doc. Josef Kolář (ČVUT) Prohledávání Toky v sítíchgrafů II GRA, LS 010/11, Lekce // 15 31

PLANARITA A TOKY V SÍTÍCH

PLANARITA A TOKY V SÍTÍCH PLANARITA A TOKY V SÍTÍCH Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 9 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme

Více

PROHLEDÁVÁNÍ GRAFŮ. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze

PROHLEDÁVÁNÍ GRAFŮ. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze PROHLEDÁVÁNÍ GRAFŮ Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 4 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do

Více

NEJKRATŠÍ CESTY I. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze

NEJKRATŠÍ CESTY I. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze NEJKRATŠÍ CESTY I Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 7 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší

Více

ORIENTOVANÉ GRAFY, REPREZENTACE GRAFŮ

ORIENTOVANÉ GRAFY, REPREZENTACE GRAFŮ ORIENTOVANÉ GRAFY, REPREZENTACE GRAFŮ Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2/2, Lekce Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme

Více

VLASTNOSTI GRAFŮ. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5

VLASTNOSTI GRAFŮ. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5 VLASTNOSTI GRAFŮ Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší

Více

= je prostý orientovaný graf., formálně c ( u, v) 0. dva speciální uzly: zdrojový uzel s a cílový uzel t. Dále budeme bez

= je prostý orientovaný graf., formálně c ( u, v) 0. dva speciální uzly: zdrojový uzel s a cílový uzel t. Dále budeme bez Síť Síť je čtveřice N = ( G, s, t, c) kde G ( V, A) = je prostý orientovaný graf a každé orientované hraně ( u, v) je přiřazeno nezáporné číslo, které se nazývá kapacita hrany ( u, v), formálně c ( u,

Více

NP-ÚPLNÉ PROBLÉMY. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze

NP-ÚPLNÉ PROBLÉMY. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze NP-ÚPLNÉ PROBLÉMY Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 13 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do

Více

5 Orientované grafy, Toky v sítích

5 Orientované grafy, Toky v sítích Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost

Více

Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu

Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu Vzdálenosti a grafy Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu Je dán neorientovaný neohodnocený graf G = (V,E,I) vzdálenost uzlů u a v v neorientovaném souvislém grafu G je délka nejkratší cesty spojující

Více

STROMY A KOSTRY. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 6

STROMY A KOSTRY. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 6 STROMY A KOSTRY Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 010/011, Lekce 6 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší

Více

Použití dalších heuristik

Použití dalších heuristik Použití dalších heuristik zkracování cesty při FIND-SET UNION podle hodností Datové struktury... p[x] - předchůdce uzlu x MAKE-SET(x) p[x] := x hod[x] := 0 hod[x] - hodnost (aprox. výšky) UNION(x,y) LINK(FIND-SET(x),

Více

TEORIE GRAFŮ TEORIE GRAFŮ 1

TEORIE GRAFŮ TEORIE GRAFŮ 1 TEORIE GRAFŮ 1 TEORIE GRAFŮ Přednášející: RNDr. Jiří Taufer, CSc. Fakulta dopravní ČVUT v Praze, letní semestr 1998/99 Zpracoval: Radim Perkner, tamtéž, v květnu 1999 ZÁKLADNÍ POJMY Říkáme, že je dán prostý

Více

07 Základní pojmy teorie grafů

07 Základní pojmy teorie grafů 07 Základní pojmy teorie grafů (definice grafu, vlastnosti grafu, charakteristiky uzlů, ohodnocené grafy) Definice grafu množina objektů, mezi kterými existují určité vazby spojující tyto objekty. Uspořádaná

Více

Základní datové struktury III: Stromy, haldy

Základní datové struktury III: Stromy, haldy Základní datové struktury III: Stromy, haldy prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní

Více

Hledáme efektivní řešení úloh na grafu

Hledáme efektivní řešení úloh na grafu Hledáme efektivní řešení úloh na grafu Mějme dán graf následující úlohy: G = ( V, E), chceme algoritmicky vyřešit Je daný vrchol t dosažitelný z vrcholu s? Pokud ano, jaká nejkratší cesta tyto vrcholy

Více

TGH10 - Maximální toky

TGH10 - Maximální toky TGH10 - Maximální toky Jan Březina Technical University of Liberec 23. dubna 2013 - motivace Elektrická sít : Elektrická sít, jednotlivé vodiče mají různou kapacitu (max. proud). Jaký maximální proud může

Více

1. Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus

1. Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus 1. Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus V této kapitole nadefinujeme toky v sítích, odvodíme základní věty o nich a také Fordův-Fulkersonův algoritmus pro hledání maximálního toku. Také ukážeme,

Více

Matice sousednosti NG

Matice sousednosti NG Matice sousednosti NG V = [ v ij ] celočíselná čtvercová matice řádu U v ij = ρ -1 ( [u i, u j ] )... tedy počet hran mezi u i a u j?jaké vlastnosti má matice sousednosti?? Smyčky, rovnoběžné hrany? V

Více

Grafové algoritmy. Programovací techniky

Grafové algoritmy. Programovací techniky Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být

Více

Jan Březina. Technical University of Liberec. 21. dubna 2015

Jan Březina. Technical University of Liberec. 21. dubna 2015 TGH11 - Maximální párování a související problémy Jan Březina Technical University of Liberec 21. dubna 2015 Bipartitní grafy Bipartitní graf - je obarvitelný dvěma barvami. Tj. V lze rozělit na disjunktní

Více

Jan Březina. Technical University of Liberec. 30. dubna 2013

Jan Březina. Technical University of Liberec. 30. dubna 2013 TGH11 - Maximální párování a související problémy Jan Březina Technical University of Liberec 30. dubna 2013 Bipartitní grafy Bipartitní graf - je obarvitelný dvěma barvami. Tj. V lze rozělit na disjunktní

Více

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019

Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019 Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka

Více

Grafové algoritmy. Programovací techniky

Grafové algoritmy. Programovací techniky Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být

Více

Kostry. 9. týden. Grafy. Marie Demlová (úpravy Matěj Dostál) 16. dubna 2019

Kostry. 9. týden. Grafy. Marie Demlová (úpravy Matěj Dostál) 16. dubna 2019 Grafy 16. dubna 2019 Tvrzení. Je dán graf G, pak následující je ekvivalentní. 1 G je strom. 2 Graf G nemá kružnice a přidáme-li ke grafu libovolnou hranu, uzavřeme přesně jednu kružnici. 3 Graf G je souvislý

Více

STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta

STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach fronta STROMOVE ALGORITMY Prohledavani do sirky (level-order) Po vodorovnejch carach vlož do fronty kořen opakuj, dokud není fronta prázdná 1. vyber uzel z fronty a zpracuj jej 2. vlož do fronty levého následníka

Více

4EK311 Operační výzkum. 5. Teorie grafů

4EK311 Operační výzkum. 5. Teorie grafů 4EK311 Operační výzkum 5. Teorie grafů 5. Teorie grafů definice grafu Graf G = uspořádaná dvojice (V, E), kde V označuje množinu n uzlů u 1, u 2,, u n (u i, i = 1, 2,, n) a E označuje množinu hran h ij,

Více

VLASTNOSTI GRAFŮ. Vlastnosti grafů - kap. 3 TI 5 / 1

VLASTNOSTI GRAFŮ. Vlastnosti grafů - kap. 3 TI 5 / 1 VLASTNOSTI GRAFŮ Vlastnosti grafů - kap. 3 TI 5 / 1 Pokrytí a vzdálenost Každý graf je sjednocením svých hran (jak je to přesně?).?lze nalézt složitější struktury stejného typu, ze kterých lze nějaký graf

Více

Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT

Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT PEF ČZU Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT Okruhy SZB č. 5 Zdroje: Demel, J., Operační výzkum Jablonský J., Operační výzkum Šubrt, T., Langrová, P., Projektové řízení I. a různá internetová

Více

Stromy, haldy, prioritní fronty

Stromy, haldy, prioritní fronty Stromy, haldy, prioritní fronty prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačů FEL České vysoké učení technické DSA, ZS 2008/9, Přednáška 6 http://service.felk.cvut.cz/courses/x36dsa/ prof. Pavel Tvrdík

Více

Stromy. Strom: souvislý graf bez kružnic využití: počítačová grafika seznam objektů efektivní vyhledávání výpočetní stromy rozhodovací stromy

Stromy. Strom: souvislý graf bez kružnic využití: počítačová grafika seznam objektů efektivní vyhledávání výpočetní stromy rozhodovací stromy Stromy úvod Stromy Strom: souvislý graf bez kružnic využití: počítačová grafika seznam objektů efektivní vyhledávání výpočetní stromy rozhodovací stromy Neorientovaný strom Orientovaný strom Kořenový orientovaný

Více

STROMY A KOSTRY. Stromy a kostry TI 6.1

STROMY A KOSTRY. Stromy a kostry TI 6.1 STROMY A KOSTRY Stromy a kostry TI 6.1 Stromy a kostry Seznámíme se s následujícími pojmy: kostra rafu, cyklomatické číslo rafu, hodnost rafu (kořenový strom, hloubka stromu, kořenová kostra orientovaného

Více

Úvod do teorie grafů

Úvod do teorie grafů Úvod do teorie grafů Neorientovaný graf G = (V,E,I) V množina uzlů (vrcholů) - vertices E množina hran - edges I incidence incidence je zobrazení, buď: funkce: I: E V x V relace: I E V V incidence přiřadí

Více

Dynamické programování

Dynamické programování Dynamické programování prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy (BI-EFA)

Více

III přednáška Toky v sítích

III přednáška Toky v sítích S Dalsi aplikace OOOOOOOO Matematika III - 11. přednáška Toky v sítích Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 11. 2007 O Toky v sítích Q Problém maximálního toku v síti Q Další aplikace

Více

Zdůvodněte, proč funkce n lg(n) roste alespoň stejně rychle nebo rychleji než než funkce lg(n!). Symbolem lg značíme logaritmus o základu 2.

Zdůvodněte, proč funkce n lg(n) roste alespoň stejně rychle nebo rychleji než než funkce lg(n!). Symbolem lg značíme logaritmus o základu 2. 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n log(n) 1 n 1/ roste rychleji než funkce g(n) = n. Zdůvodněte, proč funkce f(n) = n 3/ log(n) roste

Více

TURINGOVY STROJE. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze

TURINGOVY STROJE. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze TURINGOVY STROJE Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 12 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší

Více

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem

Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem 1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval

Více

Jednoznačné a nejednoznačné gramatiky

Jednoznačné a nejednoznačné gramatiky BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 11. Bezkontextové gramatiky p. 2/36 Jednoznačné a nejednoznačné gramatiky BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 11. Bezkontextové gramatiky p. 4/36 Automaty a gramatiky(bi-aag) 11.

Více

Algoritmy na ohodnoceném grafu

Algoritmy na ohodnoceném grafu Algoritmy na ohodnoceném grafu Dvě základní optimalizační úlohy: Jak najít nejkratší cestu mezi dvěma vrcholy? Dijkstrův algoritmus s t Jak najít minimální kostru grafu? Jarníkův a Kruskalův algoritmus

Více

GRAFOVÉ MODELY. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 1

GRAFOVÉ MODELY. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 1 GRAFOVÉ MODELY Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 1 Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaší

Více

Dynamické programování

Dynamické programování ALG 0 Dynamické programování zkratka: DP Zdroje, přehledy, ukázky viz https://cw.fel.cvut.cz/wiki/courses/a4balg/literatura_odkazy 0 Dynamické programování Charakteristika Neřeší jeden konkrétní typ úlohy,

Více

Ekvivalence. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5

Ekvivalence. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5 Evropský sociální fond.

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

Řešení rekurentních rovnic 2. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 11

Řešení rekurentních rovnic 2. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 11 Řešení rekurentních rovnic 2 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce

Více

2.Tokyvsítích. Čajovod

2.Tokyvsítích. Čajovod 2.Tokyvsítích Představme si, že by v budově fakulty na Malé Straně existoval čajovod, který by rozváděl čaj do všech učeben. Znázorněme si to orientovaným grafem, v němž jeden významný vrchol představuje

Více

Obsah prezentace. Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest

Obsah prezentace. Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest Obsah prezentace Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest 1 Základní pojmy Vrchol grafu: {množina V} Je to styčná vazba v grafu, nazývá se též uzlem, prvkem

Více

Jan Březina. 7. března 2017

Jan Březina. 7. března 2017 TGH03 - stromy, ukládání grafů Jan Březina Technical University of Liberec 7. března 2017 Kružnice - C n V = {1, 2,..., n} E = {{1, 2}, {2, 3},..., {i, i + 1},..., {n 1, n}, {n, 1}} Cesta - P n V = {1,

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

Algoritmizace prostorových úloh

Algoritmizace prostorových úloh INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Grafové úlohy Daniela Szturcová Tento

Více

Bipartitní grafy. Karel Klouda c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. března, letní semestr 2010/2011

Bipartitní grafy. Karel Klouda c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. března, letní semestr 2010/2011 MI-MPI, Přednáška č. 7 Karel Klouda karel.klouda@fit.cvut.cz c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. března, letní semestr 2010/2011 Bipartitní graf definice Definice Graf G = (W, E) se nazývá bipartitní / bipartite,

Více

1. Toky v sítích (zapsala Markéta Popelová)

1. Toky v sítích (zapsala Markéta Popelová) 1. Toky v sítích (zapsala Markéta Popelová) První motivační úloha: Rozvod čajovodu do všech učeben. Představme si, že by v budově fakulty na Malé Straně existoval čajovod, který by rozváděl čaj do každé

Více

Operační výzkum. Síťová analýza. Metoda CPM.

Operační výzkum. Síťová analýza. Metoda CPM. Operační výzkum Síťová analýza. Metoda CPM. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY 4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení

Více

Řešení rekurentních rovnic 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 12

Řešení rekurentních rovnic 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 12 Řešení rekurentních rovnic 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické

Více

3. Grafy a matice. Definice 3.2. Čtvercová matice A se nazývá rozložitelná, lze-li ji napsat ve tvaru A =

3. Grafy a matice. Definice 3.2. Čtvercová matice A se nazývá rozložitelná, lze-li ji napsat ve tvaru A = 3 Grafy a matice Definice 32 Čtvercová matice A se nazývá rozložitelná, lze-li ji napsat ve tvaru A = A 11 A 12 0 A 22 kde A 11 a A 22 jsou čtvercové matice řádu alespoň 1 a 0 je nulová matice, anebo lze-li

Více

Jan Pavĺık. FSI VUT v Brně 14.5.2010

Jan Pavĺık. FSI VUT v Brně 14.5.2010 Princip výškovnice Jan Pavĺık FSI VUT v Brně 14.5.2010 Osnova přednášky 1 Motivace 2 Obecný princip 3 Příklady Světové rekordy Turnajové uspořádání Skupinové hodnocení Rozhledny 4 Geografická výškovnice

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

BI-EP1 Efektivní programování 1

BI-EP1 Efektivní programování 1 BI-EP1 Efektivní programování 1 ZS 2011/2012 Ing. Martin Kačer, Ph.D. 2010-11 Martin Kačer Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský

Více

Drsná matematika III 10. demonstrovaná cvičení Kostry grafů

Drsná matematika III 10. demonstrovaná cvičení Kostry grafů Drsná matematika III 10. demonstrovaná cvičení Kostry grafů Martin Panák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 21.11. 2006 1 Domácí úlohy z minulého týdne Příklad 1 Příklad 2 Příklad 3 2 Borůvkův algoritmus

Více

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13. Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová

Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Základy informatiky Teorie grafů Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Obsah přednášky Barvení mapy Teorie grafů Definice Uzly a hrany Typy grafů Cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy

Více

Operační výzkum. Přiřazovací problém.

Operační výzkum. Přiřazovací problém. Operační výzkum Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ..7/2.2./28.326

Více

TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky

TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Grafová formulace CPM (critical path method) Orientovaný acyklický graf (DAG) je orientovaný graf neobsahující

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Teorie grafů. zadání úloh. letní semestr 2008/2009. Poslední aktualizace: 19. května 2009. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Teorie grafů zadání úloh letní semestr 2008/2009 Poslední aktualizace: 19. května 2009 Obsah Úloha číslo 1 5 Úloha číslo 2 6 Úloha číslo 3 7 Úloha číslo 4 8 Úloha číslo 5 9 Úloha číslo 6 10 Úloha číslo

Více

Převoditelnost problémů nezávislé množiny na problém hamiltonovského cyklu () IS HC 1/10

Převoditelnost problémů nezávislé množiny na problém hamiltonovského cyklu () IS HC 1/10 Převoditelnost problémů nezávislé množiny na problém hamiltonovského cyklu () IS C 1/10 Cíle prezentace seznámit s problémem nezávislé množiny seznámit s problémem hamiltonovského cyklu seznámitspřevodemproblémup1naproblémp2(p1

Více

Vyhledávání. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 12.

Vyhledávání. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 12. Vyhledávání doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 12. září 2016 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Vyhledávání 201 / 344 Osnova přednášky

Více

Toky v sítích. Ruský petrobaron vlastní ropná naleziště na Sibiři a trubky vedoucí do Evropy. Trubky vedou mezi nalezišti, uzlovými

Toky v sítích. Ruský petrobaron vlastní ropná naleziště na Sibiři a trubky vedoucí do Evropy. Trubky vedou mezi nalezišti, uzlovými Toky v sítích Ruský petrobaron vlastní ropná naleziště na Sibiři a trubky vedoucí do Evropy. Trubky vedou mezi nalezišti, uzlovými body a koncovými body, kde ropu přebírají odběratelé. Každá trubka může

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Vrcholová barevnost grafu

Vrcholová barevnost grafu Vrcholová barevnost grafu Definice: Necht G = (V, E) je obyčejný graf a k N. Zobrazení φ : V {1, 2,..., k} nazýváme k-vrcholovým obarvením grafu G. Pokud φ(u) φ(v) pro každou hranu {u, v} E, nazveme k-vrcholové

Více

Základy algoritmizace c2005, 2007 Michal Krátký, Jiří Dvorský1/39

Základy algoritmizace c2005, 2007 Michal Krátký, Jiří Dvorský1/39 Základy algoritmizace Michal Krátký 1, Jiří Dvorský 1 1 Katedra informatiky VŠB Technická univerzita Ostrava Základy algoritmizace, 2006/2007 Základy algoritmizace c2005, 2007 Michal Krátký, Jiří Dvorský1/39

Více

Algoritmy výpočetní geometrie

Algoritmy výpočetní geometrie Algoritmy výpočetní geometrie prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní algoritmy (BI-EFA)

Více

Aproximativní algoritmy UIN009 Efektivní algoritmy 1

Aproximativní algoritmy UIN009 Efektivní algoritmy 1 Aproximativní algoritmy. 14.4.2005 UIN009 Efektivní algoritmy 1 Jak nakládat s NP-těžkými úlohami? Speciální případy Aproximativní algoritmy Pravděpodobnostní algoritmy Exponenciální algoritmy pro data

Více

bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda

bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda bfs, dfs, fronta, zásobník, prioritní fronta, halda Petr Ryšavý 20. září 2016 Katedra počítačů, FEL, ČVUT prohledávání grafů Proč prohledávání grafů Zkontrolovat, zda je sít spojitá. Hledání nejkratší

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010 Věty o přírustku funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

Metody síťové analýzy

Metody síťové analýzy Metody síťové analýzy Řeší problematiku složitých systémů, zejména pak vazby mezi jejich jednotlivými prvky. Vychází z teorie grafů. Základní metody síťové analýzy: CPM (Critical Path Method) deterministický

Více

Teorie grafů. Kostra grafu. Obsah. Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 2013/2014

Teorie grafů. Kostra grafu. Obsah. Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 2013/2014 Teorie grafů Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 013/014 Obsah Kostra grafu. Tahy,. Úloha čínského pošťáka. Zdroj: Vítečková, M., Přidal, P. & Koudela, T. Výukový modul k předmětu Systémová

Více

TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky

TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky Jan Březina Technical University of Liberec 28. března 2017 Grafová formulace CPM (critical path method) Orientovaný acyklický graf (DAG) je orientovaný graf neobsahující

Více

Základy informatiky. 07 Teorie grafů. Kačmařík/Szturcová/Děrgel/Rapant

Základy informatiky. 07 Teorie grafů. Kačmařík/Szturcová/Děrgel/Rapant Základy informatiky 07 Teorie grafů Kačmařík/Szturcová/Děrgel/Rapant Obsah přednášky barvení mapy teorie grafů definice uzly a hrany typy grafů cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy Kolik barev je

Více

4 Pojem grafu, ve zkratce

4 Pojem grafu, ve zkratce Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,

Více

H {{u, v} : u,v U u v }

H {{u, v} : u,v U u v } Obyčejný graf Obyčejný graf je dvojice G= U, H, kde U je konečná množina uzlů (vrcholů) a H {{u, v} : u,v U u v } je (konečná) množina hran. O hraně h={u, v} říkáme, že je incidentní s uzly u a v nebo

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

Vyhledávání. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 21.

Vyhledávání. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 21. Vyhledávání doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 21. září 2018 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Vyhledávání 242 / 433 Osnova přednášky

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

1. Toky v sítích. 1.1. Toky v sítích

1. Toky v sítích. 1.1. Toky v sítích 1. Toky v sítích Už jste si někdy přáli, aby do posluchárny, kde právě sedíte, vedl čajovod a zpříjemňoval vám přednášku pravidelnými dodávkami lahodného oolongu? Nemuselo by to být komplikované: ve sklepě

Více

CLARKEOVA-WRIGHTOVA METODA ŘEŠENÍ ÚLOHY VRP

CLARKEOVA-WRIGHTOVA METODA ŘEŠENÍ ÚLOHY VRP CLARKEOVA-WRIGHTOVA METODA ŘEŠENÍ ÚLOHY VRP 1. Definice úlohy Úloha VRP (Vehicle Routing Problem problém okružních jízd) je definována na obecné dopravní síti S = (V,H), kde V je množina uzlů sítě a H

Více

Automaty a gramatiky(bi-aag) Motivace. 1. Základní pojmy. 2 domácí úkoly po 6 bodech 3 testy za bodů celkem 40 bodů

Automaty a gramatiky(bi-aag) Motivace. 1. Základní pojmy. 2 domácí úkoly po 6 bodech 3 testy za bodů celkem 40 bodů BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 1. Základní pojmy p. 2/29 Hodnocení předmětu BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 1. Základní pojmy p. 4/29 Automaty a gramatiky(bi-aag) 1. Základní pojmy Jan Holub Katedra teoretické

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

Moderní algoritmy pro hledání maximálního toku v síti

Moderní algoritmy pro hledání maximálního toku v síti XXVI. ASR '2001 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, April 26-27, 2001 Paper 55 Moderní algoritmy pro hledání maximálního toku v síti PALUBJÁK, Petr Ing., Ústav automatizace a informatiky, FSI VUT

Více

Volné stromy. Úvod do programování. Kořenové stromy a seřazené stromy. Volné stromy

Volné stromy. Úvod do programování. Kořenové stromy a seřazené stromy. Volné stromy Volné stromy Úvod do programování Souvislý, acyklický, neorientovaný graf nazýváme volným stromem (free tree). Často vynecháváme adjektivum volný, a říkáme jen, že daný graf je strom. Michal Krátký 1,Jiří

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Generující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30

Generující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

Grafy. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta.

Grafy. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. 6 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info množina vrcholů a množina hran hrana vždy spojuje

Více