Algoritmy počítačové grafiky III

Transkript

1 Algoritmy počítačové grafiky III (Algorithms for Computer Graphics III) Prof.Ing.Václav Skala, CSc.

2 Abstrakt Algoritmy počítačové grafiky a jejich implementace je nedílnou součástí jak grafických systémů, tak i CAD/CAM systémů. V této práci jsou uvedeny základní algoritmy, metody a postupy, které se používají v různých modifikacích i v dnešních systémech Abstract Algorithms for computer graphics and their implementation is a part of graphical systems and CAD/CAM systems. Fundamental algorithms, methods and approaches used in today s systems are explained. Algoritmy počítačové grafiky III Algorithms for Computer Graphics III Published & printed by: Vaclav Skala UNION Agency Na Mazinach 9 CZ Plzen Czech Republic Year 20 ISBN Electronic version

3 Profil autora Prof. Ing. Václav Skala, CSc. se zabývá počítačovou grafikou od r.975, kdy na Vysoké škole strojní a elektrotechnické v Plzni zavedl a následně vyučoval předmět Počítačová grafika a umělá inteligence. V roce 98 obhájil disertační práci na témate relačních databází se specializací na reprezentaci relací a optimalizaci dotazů uživatele. V současné době se odborně věnuje především algoritmům počítačové grafiky a vizualizaci dat a algoritmům včetně matematických aspektů. Je vedoucím Centra počítačové grafiky a vizualizací ( při Katedře informatiky a výpočetní techniky na Fakultě aplikovaných věd Západočeské univerzity v Plzni. V letech působil na Brunel University v Londýně a později přednášel na NATO Advanced Study Institute v zahraničí. V roce 996 se stal profesorem na Západočeské univerzitě, odborně působil na Bath University v U.K., Gavle University ve Švédsku a na dalších zahraničních odborných pracovištích. Prof.Skala je řešitelem zahraničních i národních odborných výzkumných projektů, členem několika redakčních rad prestižních zahraničních odborných časopisů, členem programových výborů mezinárodních odborných konferencí. Od r.992 je organizátorem mezinárodních odborných konferencí WSCG zaměřených na počítačovou grafiku, vizualizaci dat a počítačové vidění ( V současné době je prof. Skala profesorem na Západočeské univerzitě v Plzni a VŠB-Technické univerzitě v Ostravě. V roce200 odborně působil též na Přírodovědné fakultě Ostravské univerzity v Ostravě ( V roce 200 získal významné ocenění mezinárodní asociace pro počítačovou grafiku Fellow of the Eurographics Association za dlouhodobé odborné výsledky a organizační aktivity v oblasti počítačové grafiky.

4

5 Poznámky pro laskavého čtenáře Toto je rekonstrukce učebního textu Algoritmy počítačové grafiky I III, který vznikl pro studenty Západočeské univerzity v Plzni v roce 99. Tato publikace vznikla rozšířením publikace Počítačová grafika I - II, která vznikala v roce 989 pro potřeby studentů Vysoké školy strojní a elektrotechnické a která byla vydána v roce 990. Jde tedy o text zohledňující algoritmy, metody a stav technologie před více než před 20 lety. Je nutné si uvědomit, že obor počítačové grafiky je poměrně velmi mladý, bouřlivě se rozvíjející a poměrně hodně závislý na dostupných technologiích. Nicméně většina metod, postupů a algoritmů je používána dodnes. Pochopitelně je oblast počítačové grafiky dnes podstatně širší a zahrnující mnohé jiné oblasti, které jsou odborně rozvíjeny kolegy v Centru počítačové grafiky a vizualizací při Katedře informatiky a výpočetní techniky Fakulty aplikovaných věd, viz Rád bych proto požádal čtenáře, aby uvedený text a kvalitu tisku posoudil v kontextu té doby, kdy: nebyl prakticky přístup k zahraniční literatuře a publikace se velmi obtížně získávaly přes mezinárodní výpůjčky, resp. přes osobní kontakty nebyl k dispozici Internet, , WEB a digitální knihovny byly k dispozici první 8mi bitové PC systémy s fantastickou kapacitou paměti 52 KB byly k dispozici první jehličkové tiskárny (9 tiskových bodů na textovou řádku) a unikátní textové procesory T602 a výborný graficko-textový procesor Chi-Writer ( ve kterém byl text napsán. Je nutné si uvědomit, že před rokem 989 bylo velmi obtížné získávat odborné publikace a publikovat odborné výsledky v mezinárodně uznávaných časopisech a na mezinárodních konferencích. Již v roce 975 na Vysoké škole strojní a elektrotechnické, Fakultě elektrotechnické vzniká předmět Počítačová grafika a umělá inteligence Nové odborné výsledky, algoritmy a metody laskavý zájemce nalezne na URL: Také bych rád zájemce o počítačovou grafiku odkázal na publikace z mezinárodních konferencí WSCG, na časopis Journal of WSCG a GraVisMa workshopy: WSCG International Conferences on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision GraVisMa Computer Graphics, Vision and Mathematics

6 Tento text, který vznikl rekonstrukcí z archivu autora, byl doplněn o seznam publikací tak, aby tvořil ucelenou publikaci. Předpokládá se, že další části původní publikace budou rekonstruovány následně. Je mi milou povinností poděkovat všem, kteří mi stimulovali moje odborné aktivity a které jsem měl tu čest nejen potkat na Brunel University a na NATO Advanced Study Institutes, ale i s mnohými odborně spolupracovat. Patří k nim zejména: Prof. M.L.V. Pitteway Brunel University, U.K. Prof. F.R.A.Hopgood Rutherford Appleton Laboratory, U.K. a Oxford Brookes University, U.K. Prof. Jack E. Bresenham IBM Corp., USA a Winthrop University, USA Prof. David F.Rogers U.S. Naval Academy, USA V Plzni dne: prof.ing.václav Skala, CSc.

7 Předmluva Je mou milou povinností poděkovat všem, kteří přispěli ke vzniku této publikace, ať už vytvořením podmínek nebo stimulací k vlastní práci. Chtěl bych zejména poděkovat ing.i.kolingerové za její konkrétní, podnětné a kritické připomínky, bývalým i současným studentům Západočeské univerzity v Plzni se zaměřením Počítačová grafika a CAD systémy, kteří byli neoceni telnými pomocníky při ověřování algoritmů a tvorbě demonstračních a výukových programů.

8

9 . Úvod V publikaci jsem se pokusil zachytit princip a rozvoj vybraných algoritmů počítačové grafiky z oblasti použití světla, barev a barevných systémů. Vzhledem k prudkému rozvoji použití barev je tato publikace pojata jako přehledová, přičemž podrobnosti lze nalézt v literatuře. Některé pasáže bylo nutno zredukovat na téměř informativní úroveň z důvodů přílišné teoretické složitosti, složitosti algoritmů, případně pro jejich nedostupnost, neboť firmy skutečně použité metody nepublikují. Počítačová grafika se dnes používá v nejrůznějších odvětvích lidské činnosti. Je poněkud paradoxní, že ačkoliv byla tato oblast rozvinuta především z hlediska možných technických aplikací, je jednou z nejvíce finančně výhodných oblastí právě oblast ryze netechnická, a tou je animace filmů. V dnešní době existují specializované společnosti, které nejenže vytvářejí speciální programové vybavení, ale též i příslušné systémy. zřejmé, že tato oblast vyžaduje zcela odlišné prostředky než jsou technické aplikace. Mezi prvními filmy, které byly vytvořeny za pomoci animace, je známý film TRON. Je nezbytné též upozornit na ty aplikace, které nejsou sice, tak "efektní", nicméně stejně důležité. Jednou z nich je použití počítačové grafiky pro komunikaci s člověkem v systémech řízení technologických procesů a ve výrobě vůbec. Z hlediska samotné počítačové grafiky jde o "nezajímavý" problém, neboť jde o výstupy téměř statické a jednoduché, které zobrazují např. schéma zapojení v rozvodně elektrického proudu, schéma potrubního hospodářství v petrochemickém provozu apod. Do těchto základních "statických" výstupů se pak promítají změny, např. přepnutí rozvaděčů v rozvodně s barevným vyjádřením těch částí, které jsou pod napětím apod. Kromě uvedených aplikací je a bude těžiště aplikací počítačové grafiky především v technických aplikacích, kdy půjde zejména o podporu konstrukčních prací. Takové systémy (někdy též nazývané CAD systémy) však neobsahují jen prostředky počítačové grafiky, které musejí být z technického hlediska velmi výkonné, ale musejí též obsahovat části pro práci s rozsáhlými databázemi a vazbu na vlastní přípravu výroby. Tyto systémy, které se připravují "na míru" určité aplikace, doznaly asi největšího použití v automobilovém, leteckém a loďařském průmyslu. Je - -

10 IRIS GRAPHICS - :, -- '. \ J 5% /5Of. 2..5% 50"' 75% '5"'0 Obr.. Další oblastí aplikace počítačové grafiky je oblast systémů usnadňujících publikační činnost. Jednodušší systémy se nazývají textovými procesory, resp. WP systémy (Word Processor Systems), - 2 -

11 mezi které lze zařadit WordPerfect, Chi-Writer apod. Tato třída systémů je určena pro psaní rozsahem malých publikací. Systémy typu DTP systémy (Desk Top Publishing Systems) jsou určeny k usnadnění činností nutných k vydávání rozsáhlých publikací, které mají být tištěny v kvalitě knižního tisku. Do této třídy lze zahrnout systém VENTURA, resp. TEX. Obě třídy dnes velmi uspokojivě řeší problematiku práce pouze s černobílými obrázky. Ve všech výše uvedených aplikacích počítačové grafiky je použito barev k získání výsledného žádaného vjemu. Barva je novou dimenzí, která vstupuje do oblasti vizualizace dat. U všech systémů a periferních zařízení je zcela jasný postup stále častějšího využívání barev, přičemž rozlišovací schopnost a poskytovaná paleta barev je stále větší. U některých zařízení, např. u laserových nebo inkoustových tiskáren bude však vždy omezen počet tzv. základních barev na určitý počet. Je proto nutné nejen pochopit některé základní principy použití barev v počítačové grafice, ale i porozumět principům jejich míchání a speciálním technikám, které umožňují, aby pozorovatel získal vjem boha té palety barev na výsledném obrázku, i když skutečný počet barev poskytovaný zařízením je velmi omezený. Jako příklad je možné uvést výstup z inkoustové tiskárny firmy Iris Graphics, Inc. (U.S.A.), která používá pouze čtyř barev a rozlišení 500 dpi, viz obr.. (bohužel vzhledem k možnostem reprodukční techniky lze předložit pouze černobílou kopii)

12 L.. Barva Rozvoj prostředků počítačové grafiky umožnil, aby se barva a různé úrovně jasu, resp. šedi, staly nedílnou součástí počítačové grafiky. Ačkoliv proces vnímání barvy lidským mozkem je předmětem psychologického a fyziologického zkoumání a není dosud zcela vysvětlen, může být fyzikální podstata vyjádřena na základě formálního aparátu ověřeného teoretickými a experimentálními výsledky. V roce 666 objevil Isaac Newton, že sluneční paprsek procházej ící skleněným hranolem není na výstupní straně bílý, ale obsahuje spojité spektrum barev od barvy fialové na jednom konci k barvě červené na konci druhém. Toto barevné spektrum může být rozděleno do šesti oblastí, a to purpurové (magen ta), modré (blue), modrozelené (cyan), zelené (green), žluté (yellow) a červené (red), přičemž přechod z jedné oblasti do druhé je pozvolný, viz obr. 2.. spektrum vlnění.... :..... : TVroxsah II vlny viditelné záření červená ' nm oranžová žlutá zelená modrá purpurová m nm hranol bílé světlo rentgenové yzáření pa p rsky kcmnické záření Obr.2. Rozsah barev je dán rozsahem viditelného vlnění, které je pouze malou částí širokého spektra elektromagnetického vlnění, jež od nejkratších vlnových délek, tj. od kosmického záření a o-záření, přechází v ultrafialové záření a do oblasti vlnění, které je naše oko schopno vnímat. Oblast viditelného vlnění ohraničuje infračervené záření. Se zvětšující se vlnovou délkou pak následuje mikrovlnná oblast a oblast pro TV a radiové signály atd. Barva objektu, kterou vnímáme, je dána povahou - 4 -

13 (přesněji řečeno spektrálním složením) světla přicházejícího od pozorovaného objektu. Ta pak záleží na povaze (přesněji spektrálním složení) zdroje světla a na povaze (přesně spektrální odraznosti či propustnosti) pozorovaného tělesa. Některé materiály světlo nejen odrážejí, ale částečně i propouštějí, např. sklo, celofán apod. Materiály lze tedy dělit na průhledné, průsvitné a neprůsvitné. Je-li použit např. červený zdroj světla k osvětlení odrážej ícího povrchu, který odráží pouze modré světlo, pak se povrch bude jevit jako černý. Tento povrch nemůže odrazit světlo modré barvy, je-li použit k osvětlení zdroj červeného světla. Obsahuje-li světlo všechny vlnové délky o přibližně stejné intenzitě, je zdroj světla, resp. objekt, achromatický, neboli nepestrý. Achromatický zdroj světla se jeví bílý. Je-li odražené nebo prbpuštěné světlo (u transparentního objektu) achromatické, jeví se jako bílé, černé anebo šedé o určité úrovni intenzity. Z experimentů vyplývá, že objekty odrážející achromaticky více než 80% světla ze zdroje bílého světla se jeví jako bílé. Jestliže objekty odrážejí méně než 3% světla, jeví se jako černé. Intenzitu odraženého světla je vhodné uvažovat v rozsahu < O, >, kde černé barvě odpovídá hodnota O a bílé barvě odpovídá hodnota. 2. Achromatické světlo Achromatické světlo je vlastně to, co může vidět např. uživatel černobílého televizního přijímače. Jediným atributem achromatického světla je jeho intenzita. Počet úrovní intenzity je závislý na konkrétním zařízení. Na rozdíl od TV přijímače, kde je možné zobrazit několik úrovní šedi, zařízení typu tiskárna, zapisovač, monochromatický display mohou zobrazit většinou pouze dvě úrovně. Je přirozenou otázkou, kolik úrovní šedi jsme schopni rozlišit, resp. kolik je jich zapotřebí. V případě použití šestnácti a méně úrovní šedi deteguje oko čáry ohraničující jednotlivé úrovně. Pro 64 úrovní již téměř nelze detekovat jednotlivé přechody úrovní šedi. Pro reprezentaci plynulého přechodu jednotlivých úrovní šedi je postačujících 256 úrovní. Nicméně pro speciální rastrové zobrazovací jednotky může být v některých případech zapotřebí i více než 256 úrovní šedi

14 Je-li k dispozici např. 2S6 úrovní intenzity, vzniká otázka, jak budou jednotlivé úrovně šedi přiřazeny k intenzitám světla tak, aby nevznikaly detekovatelné přechody. Z Lambert-Beerova zákona (fyziologické hledisko) vyplývá, že má-li být stupnice úrovní šedi (jasová stupnice) rovnoměrná, musí být intenzita záření odstupňována logaritmicky. vnímané úrovně k6 k5 k4 k3 k2 kl ko 5 intenzita Obr. 2.. Označíme-li jednotlivé intenzity I k ' kde I O je nejmenší dosaži telná intenzita, a je-li počet rozliš i telných intenzit např. 2S6, pak lze psát (I O je nenulová prahová hodnota): I O I r 2 k r. kde r je poměr mezi intenzitami, a tedy: r [ o ) /255 (2SS-j)/2SS I I j O O!S j!s 2SS Nicméně zobrazení jednotlivých intenzit na stínítku, resp. na filmu není tak jednoduchou záležitostí vzhledem k existujícím nelinearitám. Z tohoto důvodu je nutné použít tzv. gama korekci, která je založena na tom, že intenzita světelného bodu na luminoforu je úměrná napětí U na řídicí elektrodě obrazovky: - 6 -

15 kde c,d jsou konstanty. Pro intenzitu I je tedy nutné určité napětí U, a tedy: U ( ) l/d Nyní pro požadovanou intenzitu I určíme nejbližší intenzitu I, j a to buď prohledáním tabulky dostupných intenzit nebo určením indexu ze vztahu: j ROUND ( log (/ 0 ) ) r kde ROUND ( x ) určí nejbližší celou hodnotu k hodnotě Nyní: x. a tedy: U. J Vzhledem I. r j 0 J k ( I. _J c tomu, že hodnoty 0 ' c, d jsou závislé obrazovky, je obvyklé zapsat příslušné hodnoty do \ příslušné zobrazovací jednotky; podrobně viz (Experimentálně $ d $ 4-2,2 $ c $ 2,3 ). na typu tabulky [24] 2. 2 Půl tónování V některých případech je nutné zobrazit obraz s více úrovněmi šedi, resp. jasu, než je na daném zařízení možné. Techniky řešící tuto problematiku se nazývají půl tónování. Byly vyvinuty zejména pro reprodukci fotografií na zařízeních se dvěma úrovněmi šedi (černé a bílé), zejména pro účely tisku novin a levných periodik. Následkem omezené rozlišitelnosti oka, dané mozaikovou strukturou sítnice, integruje oko intenzity světla v oblastech menších než je mez rozlišení. Základní myšlenkou je použití vzorů používajících černých a bílých bodů nakupených tak, aby vytvářely dojem příslušné intenzity. Techniky půl tónování byly vyvinuty vlastně pro transformaci obrázků s více úrovněmi šedi na obrázky se dvěma úrovněmi šedi, přičemž je po transformaci obrázku požadován přibližně "stejný vjem". Proto se také někdy tyto algoritmy nazývají transformační

16 Metoda vzorů Principem metody vzorů je přímá náhrada pixelu (obrazového elementu), který má určitou úroveň jasu, vzorem rozměru n x m, jehož body (bílé nebo černé) vytváří dojem požadovaného jasu. Pro jednotlivé úrovně je pak nutné stanovit, jak vzor bude definován. Např. pro 5 úrovní šedi je zapotřebí použít vzor 2 x 2 bodů, tj.: o Vzory typu: nemohou být použity, neboť vytvářejí ve výsledném obrazu nežádoucí vodorovné nebo svislé čáry. Pro 0 úrovní šedi je nutné použít vzor 3 x 3 bodů, tj. : o

17 Některé vzory mohou být formálně reprezentovány Pro danou intenzitu se aktivují všechny pomocí matice. pixely vzoru, jejichž hodnota v matici je menší nebo rovna požadované intenzitě. Např. pro vzor 3 x 3 může být matice určena takto: [ 9 3 Rozměr matice pak obecně definuje maximální počet úrovní šedi, které lze reprezentovat. Pro danou matici pak dostaneme vzory: o \ 8 9 Dříve uvedený vzor 2 x 2 bodů lze pak reprezentovat maticí: Pro více úrovní je někdy výhodný vzor 4 x 4 bodů, je definována: jehož matice (4) T

18 V některých případech je nutné nebo vhodné použít vzory, které jsou reprezentovány obdélníkovou maticí, např. pro 7 úrovní šedi o je vzor definován maticí: ( 3, 2 )T [ Použitím obdélníkové matice lze někdy zcela nebo alespoň částečně eliminovat problém různých vzdáleností mezi sousedními body v horizontálním a vertikálním směru u konkrétního zařízení. V případě některých zařízení je možné zobrazit různě velké body (o malý, _ velký bod). Pak lze použít např. vzor 2 x 2 bodů k reprezentaci 9 úrovní šedi: o ' Jsou-li k dispozici např. 2 bity na pixel (lze případně realizovat i přetiskem), pak vzory mohou mít tvar (čísla označují intenzity - nula se neuvádí) : O EEJEEEEEEJEEJ - 0 -

19 CDCD CIJ 0 2 Více bitů na pixel nebo větší vzory vedou k odpovídaj ícímu zvýšení dostupných úrovní intenzit. Používání vzorů vede ke zvětšení výsledného obrazu. Nedochází ke ztrátě obrazové informace, což např. u zařízení s nastavitelnou hustotou zobrazovaných bodů nevadí a technika poskytuje dobré výsledky. Při omezené velikosti výsledného obrazu však vlastně dochází ke zmenšení rozlišovací schopnosti, což je u některých aplikací nežádoucí. Proto byly vyvinuty speciální techniky pro zlepšení vizuálního rozlišení. Metoda konstantního prahu Metoda konstantního prahu je nejjednodušší technikou půl tónování. Přesáhne-li intenzita pixelu určitou pevnou prahovou hodnotu, pixel se zobrazí jako bílý, v opačném případě jako černý. { White odpovídá barvě bílé, Black barvě černé } for y : ymax downto ymin do for x : xmin to xmax do if I (x,y) ' > T then PutPixel(x,y,White) else PutPixel(x,y,Black); kde I(x,y) je požadovaná intenzita pixelu (x,y) <xmin,xmax> je rozlišovací schopnost ve směru osy x <ymin,ymax> je rozlišovací schopnost ve směru osy y Algoritmus 2.2. Prahová hodnota T je nastavena na vhodnou hodnotu, např. přibližně na střední hodnotu - -

20 T I - I. max mln 2 kde I a I. jsou maximální a minimální hodnota jasu v daném max mln obrázku. Použití prahových funkcí vede však při skutečných aplikacích k příliš velké ztrátě obrazové informace viz obr I, neboť dochází k poměrně velkým chybám při zobrazování jednotlivých pixelů a je prakticky nepoužitelná. Obr Floyd-Steinbergova metoda Floyd a Steinberg [43] navrhli adaptivní metodu, která chyby částečně distribuuje do sousedních pixelů, a to tak, že chyba je distribuována ve směru vpravo a dolů podle pravidla znázorněného na obr

21 I ( 3/8 /4 Obr const xmin O, xmax lo23i { rozsah rastru pro ymin Oi ymax lo23i { rozsah rastru pro Black _gray O.Oi White _gray. Oi var T, Error: reali x, y: integeri begin T : (I max end + I. ) / 2i mln for y : ymax downto ymin do směr x } směr y } for x : xmin to xmax do begin { určení hodnoty pixelu pro práh T } { a chyby Error } if (x,y) < T then begin PutPixel(x,y,Black)i \ Error : (x,y) - Black_gray end else begin PutPixel(x,y,White)i Error : (x,y) - White_gray endi if x < xmax then (x+,y) : (x+,y) + 3*Error/8i if y > ymin then (x,y-) : (x,y-) + 3*Error/8i if (x ' < xmax) and (y > ymin) then (x+,y-) : (x+,y-) + Error/4 end Algoritmus Pak Floyd-Steinbergův algoritmus pro prahovou hodnotu I - I. max mln T 2 popisuje algoritmus

22 Obraz zpracovaný uvedeným algoritmem vykazuje podstatně lepší zobrazení v detailech, viz obr.2.2.3, oproti jednoduchému použití prahové funkce při zobrazování. Obr Tato metoda navíc umoznuje zvýraznit změny kontrastu [2], [76], [72], jsou-li hodnoty I(x,y) upraveny před vlastním zpracováním Floyd-Steinbergovým algoritmem takto If (x,y) A A I(x,y) - a I(x,y) - a kde: I(x,y) je průměrná hodnota intenzit okolí bodu (x,y). Pak pro a > O dostáváme větších rozdílů hodnot mezi sousedními body, tj. zvětšuje se kontrast, prlcemž průměrná hodnota intenzit zůstává zachována. Např pro okolí o velikosti 3 x 3 a a 0,9 dostáváme: - 4 -

23 x+ I ' (x,y) 9 I(x,y) - y+ I(x,y) ux- vy- Vzhledem k tomu, že takto získané hodnoty mohou nabývat hodnot mimo interval I(x,y) E < O, I max >, je nutné vypočtené hodnoty I'(x,y) vhodně upravit, např. pomocí vztahu I" (x,y) min { I max ' max { O, I' (x,y) } } přičemž I max je maximální realizovatelná intenzita. Takto získané hodnoty I" (x,y) se pak zpracují pomocí již dříve uvedeného Floyd-Steinbergova algoritmu. Zobrazují-li se motivy s homogenním pozadím, pak se doporučuje superponovat obraz náhodným šumem k zamezení pravidelné textury, která by vznikala na pozadí. Ke generaci šumu lze např. použít generátor náhodných čísel tak, že noise E < ± 0,05 2 I. mln > Algoritmus je pak nutno modifikovat takto: if I(x,y) + noise < T then... Případné zvětšení konstanty 0,05 vede k celkovému zhoršení kvality obrázku. Metoda dvourozměrného rozptylu chyb Metoda dvourozměrného rozptylu chyb je rozšířením metody konstantního prahu a Floyd-Steinbergova algoritmu. Ke každé poloze (x,y) obrazu I se přičítá hodnota přenášené chyby, která vyplývá ze statistického stanovení průměru již dříve spočítaných chyb. Rozsah úrovní šedi v obraze zahrnuje hodnoty od I. do mln I max Přenos chyb je zajištěn pomocí váhové funkce Weight. Váhové koeficienty je vhodné volit jako 2 n pro zlepšení výpočetní účinnosti, např. viz [0]

24 Pixel je aktivován tehdy, jestliže hodnota odstínu šedi v bodě (x,y) obrazu I včetně přenášené chyby je menší nebo rovna prahové hodnotě, tj. T 2 Pak příslušné podmínky mají tvar if (I(x,y) + ErrorCarry(x,y)) > T then PutPixel(x,y,White) if (I(x,y) + ErrorCarry(x,y)) T then PutPixel(x,y,Black) Hodnota přenášené chyby je výsledkem ze statistického průměru z dříve spočítaných chyb Error(x+i,y+j) * Weight(i,j) ErrorCarry(x,y) (i,j)earea L Error(i,j) (i,j)earea, Statistický průměr se počítá pomocí funkce Weight a pole Area, které jsou definovány takto Weight Area (-2,-2),(-2,-),(-2, O), (-2,),(-2,2) ( -,-2 ),(-,-),(-2,0 ),(-2, ), (-,2) 4 8 X( ( 0,-2 ), ( 0,-), X( kde X( je aktuální poloha v obraze. Funkce Carry je závislá na funkci Error, která je závislá na tom, zda byl či nebyl určitý pixel aktivován. V poloze (x,y) se chceme přiblížit úrovni I(x,y) + přenášená chyba. šedi, která je Je-li pixel v této dána poloze hodnotou zobrazen jako černý bod, pak obraz je příliš tmavý a funkce Error je rovna I(x,y) + přenášená chyba - I.. Pokud je pixel v této mln poloze pixel zobrazen jako bod bílý, pak obraz je příliš světlý a funkce Error je rovna I(x,y) + přenášená chyba - I max - 6 -

25 Funkce Error je pak definována takto: if GetPixel(x,y) if GetPixel(x,y) black then Error(x,y) : I(x,y) + ErrorCarry(x,y) - I. mln white then Error(x,y) : I(x,y) + ErrorCarry(x,y) - I max Výsledek metody dourozměrného rozptylu chyb je uveden na obr Pokud je homogenní pozadí, lze opět superponovat šum k odstranění pravidelné textury na pozadí. Obr Dithering Dithering (někdy též rozmývání) je jinou technikou, která také umožňuje zobrazení při nezměněné rozlišovací schopnosti. Je založena na principu vložení náhodných chyb do obrazu. Chyba je do obrazu vkládána na základě pozorování prahové funkce a hodnoty intenzity pixelu. Přidávání zcela náhodných chyb nevede k požadovanému výsledku, nicméně existuje adaptivní vzor, který vede k uspokojivým výsledkům. Rozhodnutí, zda aktivovat - 7 -

26 daný pixel, je závislé nejen na hodnotě příslušné intenzity (n) I(x,y), ale též na matici o rozměru n x n, která obsahuje hodnoty od O do n 2 -. Je-li x, y poloha pixelu a I(x,y) jeho intenzita, pak po určení odpovídajícího prvku ve vzoru o souřadnicích i, j, kde: j x mod n + i y mod n + je daný pixel aktivován jen tehdy, je-li (n) o.. < I(x,y) l, J Nejmenší vzor podle [76] je reprezentován maticí 2 x 2, a to: (2) 0 [ 0 3 Větší vzory mohou pak být získány pomocí rekurentních vztahů takto: kde [... ]... a n je rozměr matice. Pro n 4 pak dostáváme: (n) o 2 4 O Celý postup je znázorněn algoritmem const xmin O; xmax 023; { rozlišení ve směru x } var ymin O', ymax 023; { rozlišení ve směru y } n 4; { velikost matice } x, y, i, j: integer; D: array [ O.. 3, O.. 3 ] of byte «0,8,2,0),(2,4,4,6),(3,,,9),(5,7,3,5)); { matice O se indexuje od O - pro zrychlení výpočtu indexu } - 8 -

27 begin for y begin ymax downto ymin do I i : y mod ni for x : xmin to xmax do begin { určení polohy (i,j) v matici D } j : x mod ni if D[i,j] < I(x,y) then PutPixel(x,y,White) else PutPixel(x,y,Black)i end end end; Algoritmus Obr Výše uvedené algoritmy, které byly původně určeny pro vykreslení daného obrazu pomocí dvou úrovní jasu, je možné modifikovat pro některá výstupní zařízení poskytující více úrovní jasu, např. pro EGA/VGA karty apod. Využitím těchto - 9 -

28 možností získáme výstup podstatně lepší kvality. Vzhledem k velké rozšířenosti karty EGA, která poskytuje 4 úrovně šedi, je vhodné na tomto místě uvést modifikaci Floyd-Steinbergova algoritmu. Předpokládejme, že chceme zobrazit obraz, který má 6 úrovní jasu, pomocí EGA karty, která má k dispozici úrovně Black, Dark, Light a White, viz obr const Black_gray O; Dark_gray 5; Light_gray 0; White_gray 5; { Definice prahových hodnot } { pro ovládání EGA karty pak Black, Gray, Light a White } var T,T2,T3: real; Error: real; x,y: integerj begin T: (Dark_gray - Black_gray) / 2; T2: (Light_gray - Dark_gray) / 2; T3: (White_gray - Light_gray) / 2; for y ymax downto ymin do for x xmin to xmax do begin { určení hodnoty pixelu pro práh T a chyby Error } if I(x,y) < Dark_gray then if I(x,y) < Tl then begin PutPixel(x,y,Black); Error : I(x,y) - Black_gray end else begin PutPixel(x,y,Dark); Error : I(x,y) - Dark_gray end else if I(x,y) Light_gray then if I(x,y) > T3 then begin PutPixel(x,y,White); Error : I(x,y) - White_gray end else

29 end end begin PutPixel(x,y,Light)i Error : I(x,y) - Light_gray end else { prostřední interval } if I(x,y) < T2 then begin PutPixel(x,y,Dark)i Error : I(x,y) - Dark_gray end else begin PutPixel(x,y,Light)i Error : I(x,y) - Light_gray endi if x < xmax then I(x+,y) : I(x+,y) + 3*Error/8i if y > ymin then I(x,y-) : I(x,y-) + 3*Error/8i if (x < xmax) and (y > ymin) then I(x+,y-) : I(x+,y-) + Error/4 Algoritmus Prahové hodnoty Tl T2 T3 Úrovně jasu o 0 5 i White_gray Obr Uvedené techniky lze modifikovat i pro barevný výstup na barevné tiskárny, ať inkoustové či laserové. Na obr.!. 2.6 je ukázka barevného výstupu při použití modifikované Floyd-Steinbergovy metody. Bohužel zařízení s uvedenými parametry nej sou za tím, pokud je autorovi známo, v CSFR k dispozici

30 Poznámka takto: Matice () 0 [ (n) o a (n) u lze též určit pomocí rekurentních vztahů O ] () U [ ] pak (2n) 0 kde [ (n)u (n)u ] "{ ri'} ( ri'}... Poznámka 2 Srovnejte matice s maticí vzorů a najděte souvislosti. Příklad Pro Floyd-Steinbergův algoritmus anvrhněte i jiná schémata distribuce chyby, paralelizujte výpočet chyby a expemintálně ukažte jejich vlastnosti

31 2.3. Chromatické světlo Vidíme-li světlo určité vlnové délky, získáváme určitý vjem barvy. Přirozené zdroje světla neobsahují pouze jednu určitou vlnovou délku, i když vnímáme určitou barvu. Je známo., že většina reálných barev může být tvořena pomocí základních barev, a to: - červené (R-Red), zelené (G-Green) a modré (B-Blue) v aditivním RGB systému, viz obr.2.3..a - modrozelené (C-Cyan), purpurové (M-Magenta), žluté (Z-Zellow) v subtraktivním barevném systému, viz obr.2.3..b obr.2.3..a obr.2.3..b Aditivní systém RGB se nejčastěji používá pro barevné monitory (jde o sčítání světelných zdrojů), zatímco subtraktivní systém CMZ se používá při záznamu např. na filmový materiál nebo na papír pomocí barevných inkoustů (barvy se odečítají od bílého pozadí). I když je možné černou barvu získat kombinací všech tří základních složek (modrozelené, purpurové a žluté), bývá četná barva k dispozici samostatně. Mezinárodní komise pro osvětlení CIE (Commission International de l Eclairage u nás též známá pod zkratkou MKO) stanovila vlnové délky základních barev takto: červená (R) zelená (G) modrá (B) 780,0 nm 546, nm 435,8 nm

32 Systém RGB Jsou-li za základní barvy vybrány barvy červená (R), zelená (G) a modrá ( B ), pak téměř všechny barvy jsou vyj ádřitelné pomocí váhového součtu jednotlivých složek. Vezmeme-li v úvahu viditelné spektrum vlnových délek, pak každé vlnové délce odpovídá jistá barva. Na obr jsou ukázány průběhy jednotlivých váhových koeficientů r, g, b, které se též nazývaj í trichromatickými spektrálními členiteli. Jejich hodnoty, získané kolorimetrickými měřeními, jsou ur čeny tak, abychom obdrželi příslušné barvy odpovídaj ící jednotlivým vlnovým délkám ve viditelném spektru ( nm ). spektrální trojbarvé čeniteé r 0,3 0,2 0, O - 0, A. [nm] Obr relativní citlivost oka.0 denní vidění o,s o A. [nm] Obr

33 Poznamenejme, že trichromatické spektrální členi tele závisejí na daném pozorovateli. Relativní citlivost oka v závislosti na vlnové délce je znázorněna diagramem na obr , přičemž je na místě poznamenat, že lidské oko je schopno rozlišit asi různých odstínů barev. Z obr vyplývá, že ne všechny barvy jsou reprezentovatelné pomocí smísení tří základních barev, neboť pro urči tou část vlnových délek viditelného spektra je hodnota koeficientů záporná, zejména pak pro barvu červenou. V případě, že barva c je tvořena vektorem [ r, g, b ] T trichromatických spektrálních členitelů, jehož složka r má zápornou hodnotu, pak barva získaná sloučením barvy c a barvy reprezentované vektorem [ -r, O, O ] T odpovídá barvě s vektorem [ O, g, b ] T. Lze tedy říci, že při kladných koeficientech [ r, g, b ] T je barva definována jako : c rr + gg + bb Při záporném koeficientu r je však nutné provádět kolorimetrické srovnání tak, že přimísíme k barvě c ještě červenou složku, a tedy : c + rr gg + bb B b T c[r,g,b] Bl g G r R Obr Z uvedených vztahů vyplývá, že smísíme-li dvě barvy pak výsledná barva C je dána součtem jednotlivých složek, tj. : a

34 prlcemž výsledný jas je samozřejmě dán součtem jednotlivých jasů. Jestliže každé složce vektoru přiřadíme osu v třírozměrném souřadném systému, které označíme R, G, B, pak lze vektor barvy prostorově znázornit jako tělesovou úhlopříčku kvádru, viz obr Snižováním a zvyšováním jasu se vlastně mění jen délka vektoru c, zatímco při změně barvy se pak mění prostorový směr vektoru barvy. Pokud jednotlivé složky r, g, b nabývají hodnot od O do, lze si barevný prostor představit ve tvaru jednotkové krychle, kde vrchol [, ] T odpovídá bílé barvě, viz obr Vektor bílé barvy prochází vrcholem krychle a tvoří tělesovou úhlopříčku krychle RGB. Je nutné si uvědomit, že stejně dlouhé vektory různých barev neodpovídaj í stejným jasům, neboť pro poměr jednotlivých složek I r : g : b : dostáváme poměr odpovídajících jasů : 4, 6 0, 06 (jas se udává v cd/m 2 ), a že jednotková rovina není rovinou konstantního jasu. B B [0,0,] T C [0,,] T B rovina R+G+Bl T W M [,0,] [,,] T Bl G [0,,0] T [0,0,0] T G G R [,0,0] T -... T R y [,,0] Obr Obr

35 V předchozím textu nabývaly jasové úrovně rozsahu hodnot od O do. Tuto konvenci je vhodné dodržet. Promítneme-li trichromatické souřadnice na jednotkovou rovinu, viz obr , pak dostáváme r r g b r + g + b g r + g + b b r + g + b a tedy : r + g + b Nyní je zřejmé, že v normalizovaném tvaru je možné vyjádřit třetí složku ze dvou známých složek. Pro určení druhu barvy, tj. chromatičnosti (tónu a sytosti bez udání jasu), tedy stačí rovinné znázornění barvy. Takovým zobrazením by mohl být rovnoramenný trojúhelník, kterým je např. jednotková rovina, v jehož středu by byla bílá barva a ve vrcholech pak základní barvy RGB. Přehlednějším znázorněním je však pravoúhlý trojúhelník, který vznikne promítnutím jednotkové roviny do roviny R-G. Pak druh barvy je zcela určen koeficienty příslušejícími jednotlivým osám R-G, neboť platí: b - r - g Pak poloha bodu reprezentuj ícího barvu bílou je v těžišti pravoúhlého trojúhelníka, viz obr , přičemž sytost barvy je dána vzdáleností bodu reprezentuj ícího barvu od bodu W reprezentuj ící barvu bílou. (G) g vyjádření sytosti základních barev R+G+Bl 0,5 červená se sytostí 0% o (B) O w 0,5 (R) r červená se sytootí 00% - Obr

36 Máme-li dvě barvy, které jsou dány C. [ r., g., b. ]T C2 [ r 2, g2, b2 ]T pak výsledná barva je dána součtem jednotlivých složek, tj. : C3 [ r. + r 2, g. + g2, b. + b2 ]T Po promítnutí na jednotkovou rovinu dostáváme přičemž : - C. [ - -, r. g., b. ]T C3 [ r3 - - g3 C2, [ b3 r 2 ]T r. r2 r3, g2, b2 ]T r. r2 r3 T. T2 T3 g. g. g2 g3 g2 g3 T. T2 T3 b. b. b2 b3 b2 b3 T. T2 T3 kde : T. r. + g. + b. T2 r2 + g2 + b2 (G) g R+G+Bl Obr

37 Z výše uvedených rovnic lze odvodit tzv. pákové pravidlo, tj. : T2 ( r2 - r3 ) TI ( r3 - r I ) T2 ( g2 - g3 ) TI ( g3 - gi ) T2 ( b2 - b3 ) TI ( b3 - b I ) Úpravou dostáváme, že : Lze tedy říci, že výsledná barva je středem dvouj ramenné páky, kde se součin síly (hodnota T2, resp. TI) a délky páky (r2-r3' resp. r3-ri pro osu červené ) sobě rovnaj í. Příklad Smícháme-li dvě barvy, které jsou ur čeny vektory : CI [ 4, 0, 6 f C2 [ 26, 6, 8 ] T \ pak výsledná barva je určena vektorem : C3 [ 30, 6, 4 ] T Po promítnutí na jednotkovou rovinu dostáváme pro jednotlivé barvy vektory : CI [ O, 2, O, 5, O, 3 ] T C2 T [ O, 65, O, 5, O, 2 ] C3 [ O, 5, O, 27, O, 23 f Poloha jednotlivých bodů v R-G rovině je znázorněna na obr Systémy XYZ, ClE-xy, ClE-uv Nevýhodou barevného systému RGB jsou zejmena záporné hodnoty. trichromatického členitele pro spektrální barvy od vlnové délky 436 nm do 546 nm, tj. pro ur či té zelené a modré barvy (viz obr b), přičemž jas je nutné řešit výpočtem

38 (Y) - g w + (Z) l--_(b) O ::3S:(R) x - r (X) Obr Zavedením nových virtuálních souřadnic XYZ se vyhneme problému záporných koeficientů, avšak některé barvy mají sytost větší než 00%, a jde tedy o barvy neskutečné (nelze je získat rozkladem bílého světla). Komisí CIE byl definován též převod mezi RGB systémem a systémem XYZ virtuálních souřadnic takto : [ ] [ : : Z 0, 0000, 758 4, , 0565 : : ] [ 5, 5943 :b ] přičemž výsledný jas je určen složkou Y. Promítneme-li opět souřadnice XYZ na jednotkovou rovinu, pak : x Y Z x y z x + Y + Z x + Y + Z x + Y + Z přičemž :

39 x + y + z Souřadnici z není nutné uvádět, neboť z - x - y. Takto získáme ClE-xy souřadný systém. 2, z -- Obr ,0 Obr o o 0,5,0 CX) Nevýhodou ClE systému je, že neobsahuje informaci o jasu. Proto je každá barva reprezentována vektorem [ x, y, Y ] T a zpětný přepočet je pak dán vztahy : x x y y y y z ( - x - y ) y y Přepočtením trichromatických spektrálních členitel v RGB systému z obr do systému XYZ dostaneme trichromatické spektrální členitele v XYZ systému, jej ichž závislost na vlnové délce je znázorněna na obr Protože trichromatický členi tel Y je nositelem jasu, je jeho pr běh totožný s křivkou jasové citlivosti oka, viz obr

40 Zobrazíme-li nyní jednotlivé barvy po promítnutí na jednotkovou rovinu pouze v rovině x-y, pak obdr žíme standardní CIE-xy barevný diagram, který je zobrazen na obr Bílé izoenergetické světlo, x /3 a y /3, odpovídaj ící a y 0, 329. označené W, je definováno souřadnicemi zatímco normalizované světlo D6500 bílému světlu obrazovky má souřadnice x 0, 33 Bílé světlo odpovídaj ící bodu R užívané v NTSC systému (systém barevného televizního vysílání používaný zejména v USA) má souřadnice x 0, 30 a y 0, 36. Sytost barvy F je dána poměrem vzdáleností WF /WE, přičemž bod E reprezentuje danou barvu se sytostí 00%. Z toho vyplývá, že mísením barvy E s bílou barvou dostáváme tutéž barvu s menší sytostí které odpovídá určitý bod na spojnici WE. Tón barvy je určen náhradní vlnovou délkou barvy F, která je určena průsečíkem polopřímky WF a cary spektrálních barev (vlnovou délku je možné např. odečíst z CIE-xy diagramu ). Každé dvě barvy, které smísením dávají bílé světlo, se nazývají barvami doplňkovými. Pro smísení dvou barev platí tzv. první Grassmanův zákon. Jsou-li dány dvě barvy v systému CIE reprezentované vektory : c [ x, y, y ]T C2 [ X2, Y2, Y2 ] T pak barva, která vznikne jej ich smísením, je dána vektorem: kde C3 [ X3, Y3, Y3 ] T X3 x T + X2 T2 T + T2 Y3 y T + Y2 T2 T + T2 přičemž Při mísení více barev lze postupovat tak, že výše uvedený postup aplikujeme postupně na všechny barvy, ať už původní, či vzniklé smísením ostatních barev

41 (Y),0 y SOO 0,5 0,0 0,0 380 (B) 0,5 x,0 (X) Obr a V systému XYZ i v ClE-xy trojúhelníku, viz obr a, neodpovídaj í stejné lineární vzdálenosti v různých místech prostoru nebo trojúhelníku stejným subjektivně vnímaným rozdílům vjemu barvy a naopak. Proto tam, kde je nutné chromatičnost světla nebo předmětů reprezentovat charakteristikami odpovídajícími subjektivním vjemům, doporučuj e se používat znázornění pomocí systému stejných barevných rozdílů, tj. systému ClE-uv (960) nebo sytému ClE-UVW (964), kde v celém prostoru nebo rovině stejným subjektivně vnímaným rozdílům vjemů barvy odpovídají přibližně stejné vzdálenosti (podrobně viz [89], [25] ). Diagram systému ClE-uv (v literatuře označovaný jako ClE Uniform Color Space ) je znázorněn na obr b

42 ,0 ClE-uv Diagram 0,5,0 Obr b Pro systém CIE-UVW pak platí převodní vztahy : kde Pro u' v' w' w převod W 25 y /3-7 V 3 W ( jsou hodnoty u', v' ze systému XYZ byly u 3 W ( u' v' - v' ) w pro smluvní bílé definovány vztahy : - u' ) w světlo. u' 4 X X + 5 Y + 3 Z v' 9 Y X + 5 Y + 3 Z Pro převod z trichromatických souřadnic xy byly definovány převodní vztahy : u' 4x v' -2x + 2y + 3-2x + 2y + 3 9y Diagram pro systém CIE-uv je definován v souřadnicích u' a v'. V literatuře lze nalézt i původně definovaný systém, který však již není CSN uváděn (proměnné jsou značeny bez znaku ' ),

43 jehož převodní vztahy byly určeny takto : u 4x v - 2x + 2y + 3-2x + 2y + 3 6y Příklad Určete ClE barevné souřadnice barvy vzniklé smísením tří barev reprezentovaných vektory : c [ O,, O, 3, 0 ] T C2 T [O, 35, O, 2, 0 ] C3 [ O, 2, O, 05, 0 ] T Aplikací prvního Grassmanova zákona dostáváme, smísením barev c a C2 je ur čena vektorem: C4 [ X4, Y4, Y4 ] T že barva vzniklá přičemž pak Y 0 T y 0, 3 33, 33 Y2 0, 2 50 X4 x T + X2T2 T + T2 0, 25 Y4 y T + Y2 T2 T + T2 0, 24 tj. C4 [ 0, 25, 0, 24, 20 ] T Nyní je nutné smísit barvu C3 a C4. Pak výsledná barva Cs je ur čena vektorem Cs [ Xs, Ys, Ys ] T přičemž Y3 0, T4 Y4 20 Y4 0, 24 83, 3 Xs X3T3 + X4T4 T3 + T4 0,

44 Ys 0, Výs ledná barva vzniklá smísením barev CI, systému souřadnicemi : C2 a C3 je dána v CIE T Cs [ O, 25, O, 06, 3 O ] Rozdělení jednotlivých barev v diagramech CIE-xy a CIE-uv je znázorněno na obr R červená 2 gb zelenavě modrá 2 ro oranžově červená 3 B modrá 3 O oranžová 4 pb purpurově modrá 4 yo žlutooranžová 5 bp modře purpurová 5 Y žlutá 6 P purpurová 6 gy 7 YG 8 yg 9 G zelená 0 bg BG nazelenale žlutá 7 rp načervenale purpurová žlutozelená 8 RP červeně purpurová nažloutle zelená 9 pr purpurově červená, 20 ppk růžově purpurová modravě zelená 2 Pk růžová modrozelená 22 OPk oranžově růžová 23 iluminační oblast y.0 + NTSC standard.. grafický monit or o 05.0 x Obr

45 l když by bylo možné volit tři základní barvy tak, aby obsáhly co největší plochu ClE-xy diagramu, viz tab , jsou zvoleny tak, aby luminofory byly vyrobitelné a energetické nároky nebyly příliš vysoké. Zakreslením bodů reprezentuj ících jednotlivé barvy do ClE-xy diagramu dostáváme palety barev zobrazitelných na daném zařízení, viz obr ClE NTSC bar. monitor x y x y x Y R 0, 735 0, 265 0, 670 0, 330 0, 628 0, 346 G 0, 274 0, 77 0, 20 0, 70 0, 268 0, 588 B 0, 67 0, 009 0, 40 0, 080 0, 50 0, 070 W 0, 448 0, 408 0, 30 0, 36 0, 33 0, 329 tab Převod mezi RGB a ClE systémem je obecně dán vztahem : Xg ] Yg Zg [ ] kde [ Xr, Yr, Zr ] T reprezentuj e bod v diagramu ClE, který odpovídá bodu [ r O O ] T v systému RGB. Jsou-li známy hodnoty x, y pro jednotlivé RGB základní barvy, pak: xr Xr + Yr + Zr Yr Yr Xr + Yr + Zr Zr - Xr - Yr Tr Yr Tr Zr Xr + Yr + Zr Analogicky pro Xg, Yg, Zg a Xb, Yb, Zb s tím, že: Tr Xr + Yr + Zr Tg Xg + Yg + Zg

46 Lze tedy psát: Xr Tr Yr Tr ( l-xr-yr).tr Xg Tg Yg Tg (l-xg-yg).tg Xb Tb Yb Tb ( l-xb-yb). Tb ] [ ] ( ) V maticovém tvaru lze psát : x T. r Aby transformace byla zcela definována, je nutné určit hodnoty Tr, Tg a Tb. Js ou-li známy složky odpovídaj ící jasům Yr, Yb, pak platí: Yr Tr Tg Yr Je stliže jsou známy souřadnice [ Xv, Yv, Z V Yg pak řešením rovnice ( ), kde x [ Xv, Yv, ZV ]T ]T a r [ Tr Tg Tb ] T,, Yg a pro bílou barvu, dostaneme požadované hodnoty. Js ou-li však k dispozici,,, ]T, Yv pak platí: chromatické souřadnice, tj. vektor [ Xv Yv Tr Yv Yv _ o [ Tg _ Yv Yv o [ Tb Yv _ o[ Yv kde : D Xr. ( Yg - Yb ) + xg. ( Yb - Yr ) + Xb ( Yr - Yg ) Inverzní transformace z XYZ souřadného systému do systému RGB je dána transformací: kde : - r T x W x w W 2 W 3 [ ( Yg - Yb ) - Xb Yg + Yb.Xg [ ( Xb - Xg ) Xg Yb - Xb Yg - Xb Yg + Xg Yb ] / ( Tr D ) / ( Tr / ( Tr D ) D )

47 W2 [ ( Yb - Yr ) - Yb.Xr + Yr Xb ] / ( Tg D ) W22 [ ( Xr - Xb ) - Xr Yb + Xb Yr ] / ( Tg D ) W23 [ Xb Yr - Xr Yb ] / ( Tg D ) W3 [ ( Yr - Yg ) - Yr.Xg + Yg Xr ] / ( Tb D ) W32 [ ( Xg - Xr ) - Xg Yr + Xr Yg ] / ( Tb D ) W33 [ Xr Yg - Xg Yr ] / ( Tb D ) Z výše uvedeného je zřejmé, že matice převodu závisí nejen na souřadnicích základních barev, ale též na poloze bodu odpovídaj ícímu bílé barvě v CIE diagramu. Poznámka D je dvojnásobek plochy trojúhelníka vymezeného souřadnicemi základních barev v CIE-xy diagramu. Příklad Určete CIE-xy chromatické souřadnice barvy dané vektorem [ 255, O, O ] T v RGB systému, má-li monitor níže uvedené \ souřadnice pro trichromatické členitele [09 ] Xr 0, 628 Xg 0, 268 Xb 0, 50 Yr 0, 346 Yg 0, 588 a jsou-li souřadnice pro bílou barvu: Yb 0, 070 Xw 0, 33 Pak platí Yw 0, 3 29 Yw, 0 Xw.{Yg - Yb) - Yw. {Xg-Xb) + x9 Yb - Xb Yg 0, 0539 a tedy : Analogicky Tr 0, 762 Tg, 4 Dosazením do rovnice Tb, 64 x T. r

48 dostáváme : [ X 0, 478 0, 299 0, , 94 [ ] H ] [ Y 0, 263 0, 655 0, 08 O 67, 9 Z 0, 020 0, 60 0, 908 O 5, 05 Matice převodu je poněkud odlišná od dříve uvedené matice vlivem různosti chromatických souřadnic pro trichromatické členi tele a barvu bílou. ClE chromatické souřadnice dané barvy pak jsou ] x x 0, 628 Y xx x + y + z X+-Y +-i y Y X+ y + z \.-t-y t- 2, 94 2, , 9 + 5, 05 67, 9 94, 8 0, 346 2, 94 94, 8 Y 67, 9 což jsou souřadnice červené barvy uvedené v tab Příklad Určete souřadnice barvy v RGB systému, jsou-li ClE chromatické souřadnice dány vektorem [ \ 0, 25, 0, 2, 0, 0 ] T, a jsou-li chromatické souřadnice pro bílou barvu např. rovny [ 0, 33, 0, 329,, 0 ] T. Po dosazení pak dostáváme : D 0, 25 D. Tr / ( Yw/Yw) 0, 0539 Pak platí a analogicky : Tr 0, 0539 / D Yw / Y0 0, 762 Tg, 4 Tb, 64 Výpočtem trichromatických členitelů XYZ souřadnic ClE dostáváme : z chromatických X x - Y y 0, 25 0 Q,2 2, 5 Z ( ) Y - y - x - y

49 0 ( - 0, 25-0, 2 ) 27, 5 Q,2 Transformace do RGB systému je dána vztahem tj. [ ] r T - x [ 2, 739 -, 9 0, 38 -, 43 2, 029-0, 333-0, 424 0, 033, 05, 33 ] 7, , 772 Systém CMY Vedle aditivního barevného systému RGB existuj e též subtraktivní barevný systém CMY, který je velmi důležitý zejména v případě, že budeme pracovat s něj akým typem zařízení používajícího barevných přetisků. Barevný prostor si lze opět představit ve tvaru krychle se souřadnými osami CMY, viz obr y T [0,0,] T R [0,,] T G [l,o,l] Bl [,,] T w M [O,l,o] T [0,0,0] T M C [l,o,o] T C B [l,l,o]t Obr

50 Převod mezi CMY a RGB systémy je dán vztahem : kde vektor [ ] T reprezentuje v systému RGB barvu bílou. Opačný převod je definován vztahem: kde vektor [,, ] T reprezentuje v systémy CMY barvu černou. Poznamenejme, že význam a hodnoty y v ClE, YlQ a CMY systémech jsou rozdílné. V případě systémů RGB a CMY lze využít technik půl tónování tak, že i při použití levných zařízení lze obdržet na výstupu 024 i více barevných odstínů. Například vzor 4 x 4 může být definován maticí pro - černou barvu B [ purpurovou barvu - žlutou barvu - modrozelenou barvu A M B A Y M A C Y, kde : A značí "otočení " matice o 90 vpravo. I když je možné černé barvy docíli t pomocí přetisku všech barev, používá se z důvodů rychlosti, zlepšení kontrastu a snížení ceny barva černá jako speciální složka. Tento systém se pak obvykle označuje jako CMYK. Přesnou definici převodních vztahů do RGB, resp. ClE systému lze nalézt v [27]

51 Systém YIQ Pro televizní vysílání je používán systém YIQ zavedený NTSC (National Television Standart Committee ) v r Tento systém byl použit zejména z důvodu kompatibility barevných a černobílých televizních přij ímačů. Hodnota složky Y obsahuj e informaci o sytosti a barevném odstínu a je vlastně přijímána černobílým TV přijímačem. Složka I obsahuj e informaci o odstínu barvy v rozmezí oranžová-modrozelená, zatímco složka Q obsahuje informaci o odstínu barev zelená-purpurová. Vzhledem k citlivosti je šířka frekvenčního pásma pro I rovna. 5 MHz, pro Q rovna 0. 6 MHz, zatímco pro Y rovna 4 MHz. Převod systému RGB a YIQ je definován vztahy 0, 299 0, 587 0, 4 0, 596-0, 274-0, 322 0, 2-0, 522 0, 3 a [ r 000 [, ] g, 000 b, 000 0, 956-0, 272 -, 05 [ Y ] -0, 648 i 0, 623 ], 705 q Uvedené převodní vztahy definuj í i převod barevných odstínů pro případ výstupu na monochromní display, na kterém lze zobrazit jen různé úrovně šedi, neboť jas je určen složkou y v systému YIQ, tj. y [ 0, 299, 0, 587, 0, 4 ] T [ r, g, b ] Vzhledem k tomu, že počet úrovní šedi je u zařízení omezen, je nutné v praktických aplikacích řešit problém výběru vhodných subintervalů pro sdružování jasů obsažených v obrázku do skupin tak, aby byl výsledný obrázek co nejvěrnější předloze

52 Systémy HLS a HSV Nevýhodou dosud uvedených barevných systémů je, že jsou víceméně orientované na vlastnosti zařízení. Je jen velmi obtížné si představit, jak běžný uživatel vyjádří hnědou barvu pomocí jednotlivých složek v systému RGB. Z tohoto důvodu byly odvozeny i jiné barevné systémy, kt ré jsou orientovány uživatelsky a které maj í za základ opět tři složky, a to (viz obr ) : barevný tón (Hue - označuj e se písmenem H) - sytost barvy (Saturation - označuj e se písmenem S) - jas (někdy označováno jako světlost/tmavosti Value,resp. Lightness - označuje se písmenem V, resp.l). Odtud jsou pak odvozeny názvy základních systémů, HSV resp. HLS. Na obr je ukázán systém HSV, zatímco systém HLS je znázorněn na obr bílá _<c _--C:.- s.ly-c- to _ s,-, t ----:>;:.- čistá ( tint ) barva w šedost ( gray ) světlost ( shade ) Bl černá Obr Nevýhodou systémů HL S a HSV je, že odstín barvy v těchto systémech není lineárně závislý na hodnotě barevného odstínu v systému RGB a ani jeho změna není spoj itá. Např. hrana R-G v krychli RGB se zobrazí jako oblouk R-G v systémech HSV a HLS

53 v H c Bl 0,0 s Obr Systém HSV (Hue, Saturation, Value ) je založen na představě, že hexagon barev vzniká vlastně promítnutím základních barev na rovinu kolmou k tělesové úhlopříčce spojuj ící bílou a černou barvu v RGB krychli, viz obr G y c R B M Obr

54 Převod z RGB do HSV systému a naopak není též realizovatelný jednoduchou transformací. Převod z RGB do HSV systému je popsán algoritmem alg a převod opačný je popsán algoritmem alg procedure zrgbdohsv ( r, g, b: reali var h, s, v: real )i { vstup : r, g, b E < O, > } { výstup : h E < O, 360) s, v E < O, > } var q, rc, gc, bc, max, min : reali begin max : MAXIMUM ( r g, b ) i min - MINIMUM ( r g, b ) i v : maxi { hodnota v } if max <> O then s else s ( max - min O i ) / max if s O then h : nedefinováno else begin q -. 0 / ( max - min ) i rc - ( max - r ) * qi { vzdálenost od červené } gc - ( max - g ) * qi { vzdálenost od zelené } bc - ( max - b ) * qi { vzdálenost od modré } - if r max then h bc - gc { barva mezi žlutou a purpurovou } else if g max then h : 2 + rc - bc { barva mezi modrozelenou a žlutou } else if b max then h : 4 + gc - r C i { barva mezi modrozelenou a purpurovou } h : h * 60i { konverze do stupňů } if h < 0. 0 then h : h { konverze do stupňů } end { chromatický případ } end { zrgbdohsv }i Algoritmus

55 procedure zhsvdorgb ( var r, g, b: real i h, s, v: real)i { vstup : h E < O, 360)i s, v E < O, > } { výstup : r, g, b E < O, > } var f, p, q, t: real i begin if s O then { achromatický případ } if h begin r g b end nedefinováno then Vi Vi V else ERROR else begin { if h h - i - chromatický 360 then h H / 60i { h TRUNC ( h ) i případ - O i f - h - i, { zbytek } E < O, 6 ) } { celá část } } p - v * ( - s ) i q - v * ( - s * f ) ; t - v * ( - s * ( - f»i case i of O: (r, g, b) - ( v t p ) i : (r,g,b) 2: (r,g,b) - ( - ( q p v v P ) i t ) i 3: (r,g,b) - ( p q v ) i 4: (r,g,b) - ( t P v ) i 5: (r,g,b) - ( v p q ) end { case } end { barevný odstín } end { zhsvdorgb } i Algoritmus Rozšířením HSV systému Saturation ). Na obr je systému. Způsob definování je systém HL S (Hue, Lightness, transformovaná RGB krychle do HL S barvy v HL S systému je obdobný způsobu v HSV systému s tím rozdílem, že barevný odstín není definován pro S O a S, což odráží více realitu, neboť při

56 mezních hodnotách saturace není barevný rozdíl dobře rozlišite lný. s W,0 c Bl 0,0 s Obr Převod ze systému RGB do systému HL S a naopak je definován algoritmy alg a alg procedure zrgbdohl S ( r, g, b: reali var h, I, s: real )i { vstup : r, g, b E < O, > } { výstup : h E < O, 360 ) i I, s E < 0, > } var max, min, rc, gc, bc, q : reai

57 begin max. - MAXIMUM ( r, g, b )i min MINIMUM ( r, g, b )i : ( max + min ) / 2 i { světlost } { výpočet saturace } if max min then { achromatický případ } begin s - O ' h - nedefinováno end, else begin { chromatický případ } if ( 0. 5 then S. - ( max - min ) / ( max + min ) - else S : ( max - min ) / ( 2 - max + min )i { výpočet odstínu } q - / ( max - min ) i rc - ( max - r ) * qi gc - ( max - g ) * qi bc - ( max - b ) * qi - if r max then h bc - gc { výsledná barva mezi žlutou a purpurovou } else if g max then h : 2 + rc - bc { výsledná barva mezi modrozelenou a žlutou } else if b max then h : 4 +'gc - r C i { výs ledná barva mezi purpurovou } { a modrozelenou } h: h * 60i if h ( 0. 0 then h : h end { chromatický případ } end { zrgbdohls }i Algoritmus procedure zhlsdorgb ( var r, g, b: reali h, I, s: real )i { vstup : h E ( O, 360 ) i I, s E ( O, l > } { výstup : r, g, b E ( O, > } var Ml, M2 : reali function VAL ( ni, n2, h: real ): reali begin if h > then h h i if h ( 0. 0 then h h i

58 if h < 60.0 then VAL : n + ( n2 - n ) * h / 60.0 else if h < 80 then VAL : end { VAL } i begin if 0. 5 Ml - 2 * if s begin end else begin end else if h < 240 then VAL else VAL O then then M2 else M2 - M2i n2 n + ( n2 - n ) * ( h ) / n - * ( - + s if h nedefinováno then begin r : li g : li b else ERROR r - VAL ( Ml, M2, h + 20 g - VAL ( Ml, M2, h ) i b - VAL ( Ml, M2, h - 20 end { zhlsdorgb } i - + s ) * Si ) i ) end Algoritmus Systém HS! Mnohé grafické systémy (Tektronics ) využívají systému HSI (barevný tón-hue, sytost-saturation, jas-intensity ), kt rý bývá zaměňován za systém HLS. Konverze mezi HSI a RGB systémy může být provedena ve dvou krocích, a to zavedením pomocného vektoru T [ M l ' M 2 ' l l ] a transformací: {6 [ 2 O {2"" - - ] -r3 {2"" [ ] pak : s ff I -3- I I

59 COlOR STANDARD 00% ln the HLS color coordinate system, the color space is represented as a double-ended cone. The HUE coordinate runs counterclockwise around the cone. (O to 360 degrees.) The LlGHTNESS coordinate runs vertically up the cone. (0% to 00%.) The SATURATION coordinate runs radially outward from the axis of the cone. The SATURATION coordinate is a percentage of the maximum possible saturation at a particular LIGHTNESS level. (0% to 00%.) HUE 0 Blue Obr % - 5 -

60 Pro zpětnou transformaci pak platí, že inverzní matice je rovna matici transponované, přičemž: Ml S sin CH) V2 M2-3 S cosch) K systému HSI lze vytvořit i odpovídající model, který je podobný systému HSV a který je znázorněn na obr Systémy vzorníků, tabulek a barevné atlasy Barevné vzorníky, tabulky a atlasy se používají zejména v textilním, chemickém průmyslu a všude tam, kde je zapotřebí rychlá a ne přilis přesná kontrola barev. Principem je roztřídění barev do skupin, přičemž každé barvě je přiřazen jednoznačný kód., I "BILA 25 6Y 9/2 9f 9.t i 8/t / b/ /2 "IP, '2 GI'I "I/G 8 a.,, - (O "Pl!. b - 5 'PB c - 0 c/., - 58 <Z. - f h - i - lo G 5BC o G 5G 0 GY - J 5f;Y k. - {O Y L - 5Y m - lo Y tj - 5YR o - 0 "'R P - 5"R Obr

61 Jedním takovým barevným systémem je Munsellův systém, který bere v úvahu i citlivost oka k jednotlivým barvám. Tento systém je zobrazen na obr Každému políčku v diagramu odpovídá určitá barva, která je v katalogu barev reprezentována barevným lístkem, přičemž číslo barvy, např. SY 7/7, jednoznačně barvu identifikuje. Tento systém je důležitý zejména v oblasti průmyslu keramického, textilního, tiskařského apod. Kromě Munsellova systému se ještě používá systém Ostwaldův nebo Hickethierův _-. -._ -. Obr "" ::.::::,;-:::: :: _- _ _._ _ /-... Obr

62 Je vhodné poznamenat, že lineární interpolaci barev v RGB systému, resp. v CMY, YlQ, neodpovídá lineární interpolace barev v HLS, resp. HSV systému, neboť obecně nejde o afinní transformaci. Na obr je ukázáno, jak se transformuje RGB krychle do systému HSV, na obr pak transformace do HLS. Kromě výše uvedených barevných systémů, které jsou používány nejvíce v počítačové grafice, je celá řada dalších systémů používaných zejména v kolorimetrii. S rozvojem výpočetní techniky a periferních zařízení abývají tyto systémy na důležitosti zejména v oblastech, kde jde '0 věrnost podání barev, viz [93], [20], [204], [20], [27]. Systém ClE LAB Jedním ze systémů, který se prosazuj e a který je využíván celou řadou profesionálních kolorimetrů, je systém ClE LAB, viz [20]. Systém udává jas barvy L *, odstín barev mezi červenou a zelenou a * a odstín barev mezi modrou a žlutou b *. Převodní vztahy mezi systémem XYZ a ClE LAB jsou definovány takto [26]: Y L * X * a ) 3-3 X + Y Y Y w 500 w ( Y 3 Z L * Z + Y E <, 00 > w 200 ( - b * _ ) kde X w ' Y, Z jsou souřadnice smluvního bílého světla w w v systému XYZ. Pro opačný převod platí vztahy [28]: L * Y q ( ) / Y * a b * přičemž 500 [ ( w 200 [ ( Y ) /3 _ ( X Y -X - - Y - w ) /3 _ ( w Z Y Z w w ) /3 ] ) /3 ]

63 6 Y pro -Yw > 0, q { 903, 29 Y pro -Yw :s; 0, Někteří autoři [22] uvádějí vztahy, kde hodnota q je ur čena: q 25 pro :s; Y :s; 00 Podobným systémem je systém ClE L * u * v *. Systém ClE L * u * v * Systém ClE L * u * v * [27] je výhodný zejména z důvodu možnosti přesné definice rozdílnosti barev. Systém ClE L * u * v * je definován převodními vztahy L * ( q Y -v;; q 6 pro _ Y - > 0, Y w { 903, 29 pro _ Y - :s; 0, Y w kde u' w ' u * 3 L * ( u' v * 3 L * ( v' u' ) w v' ) w v' jsou hodnoty u', v' pro smluvní bílé světlo, přičemž w 4 X 9 Y u' v' X + 5 Y + 3 Z X + 5 Y + 3 Z v [22] je hodnota q definována : q 25 pro :s; Y :s; 00 * * * * * * * Pak vzdálenost E uv barvy L u v a barvy L 2 u Z v 2 je definována [27] takto kde :

64 Kromě výše uvedených systémů jsou používány též systémy respektuj ící způsob vnímání barev. Podle teorie jsou na sítnici oka tři druhy čípků, které produkuj í tři různé signály na základě světelného podnětu [204], a to : signál jasový jako souhrnný vj em v oblasti červené a zelené, signál pro odlišení barev v oblasti červená - zelená - signál pro odlišení barev v oblasti žlutá - modrá. Systémy založené na uvedeném principu vysvětlují celou řadu jevů v oblasti vnímání barev. Systém Opponent Jedním z nejjednodušších systémů je systém Opponent [26], který předpokládá, že barvy jsou ur čeny polohou v diagramu, (Y),0 viz obr R G B y L Y-B soo 0,5 R-G Obr ,0 x (X) Obr Obr pak znázorňuj e, jak jsou jednotlivé složky definovány při převodu ze systému ClE-xy, resp. RGB. Je-li barva c v systému Opponent určena polohou v diagramu RYGB a jasem L, pak je poloha barvy c v systému ClE-xy určena úhlem (3, vzdáleností od bodu reprezentujícího barvu bílou a jasem, viz [26]. Úhel (3 je definován vztahy :

65 p q {3 2:0 2:0 'l'} y + ('I'}G - 'I'} Y ) 2 Tl arctg ( ) <O 2:0 <O <O 'l'}g + ('I'}B + 'l'}b ('I'}R - 'I'} ) 2 B Tl 2 - 'I'} ) arctg ( - k. ) G Tl q arctg ( ) 2:0 <O 'l'}r + ('I'} y - 'l'}r ) 2 Tl arctg( - ) q kde úhel 'l'} y je úhel sevřený osou x a spojnicí bodu x w ' který reprezentuje bílou barvu, a bodu Y, který reprezentuje žlutou barvu (Yellow) ; analogicky pro 'l'}g ' 'l'}r ' 'l'}b Vzdálenost od bodu x je pak určena vztahem : w Pak souřadnice barvy c v systému ClE-xy jsou přibližně určeny takto : x X w + R. cos {3 x x + R. sin {3 w V souřadném systému XYZ má barva c souřadnice : z - x - y x x L Y Y L L Z z ȳ Tento přepočet je sice poměrně hrubý, ale je kvalitativně správnou aproximací fyziologického vizuálního systému. Pro případné srovnávání je vhodné přesně definovat referenční body systému Opponent, viz [26]: x y z R 0, 62 0, 33 0, 05 G 0, 2 0, 68 0, B 0, 5 0, 06 0, 79 Y 0, 5 0, 49 0, 00 W 0, 3 0, 32 0,

66 I když tento systém vysvětluje mnohé jevy, je však výpočetně poměrně nárocny [204], prlcemž gamut barev pro display je nel ineární a systém neposkytuje jednoduchá pravidla pro mísení barev. Z tohoto důvodu byl zaveden systém RGYB. Systém RGYB Systém RGYB [204] byl zaveden pro odstranění některých vad systému Opponent. Jeho princip je znázorněn na obr G -'\ B Obr Z obrázku je zřejmé, že achromatické barvy, tj. bílá, odstíny šedé a černá, jsou ur čeny bodem 0, 5, 0, 5 přičemž A určuj e úroveň jasu, tj. šeď. Pro systém RGYB platí následuj ící převodní vztahy pro převod do systému RGB R. A G. A B ( - max (,». A kde : e ( O, > e ( O, > A e ( O, l > Z hlediska výpočetní náročnosti jsou požadavky zanedbatelné. Uvedený systém vykazuj e navíc i jiné dobré vlastnosti, např. z hlediska mísení barev, kdy pravidla maj í lineární charakter. Pro A e (, 2 > systém respektuj e i vliv saturace, viz [204]

67 Systém RGYB lze též modifikovat tak, že R 2 l; - A l; + A - G 2 ) - A ) + A - B max (l;, ) (A - 2) + Pak "horní vrstva", tj. A 2, 0 je celá bílá, za tímco "dolní vrstva", tj. A 0, 0 je celá černá a "prostřední vrstva", tj. A, 0 obsahuj e úplnou paletu barev. Až dosud byly předloženy různé barevné systémy a jej ich vzájemné převody. Při použití moderních barevných výstupních zařízení je nezbytné zkoumat i otázku zaj ištění stejného barevného vjemu jak na obrazovce, tak i na výstupu z barevné tiskárny. Uspokoj ivé řešení tohoto problému je velmi náročné, viz [93], [20], a zcela překračuj ící možnosti dostupné techniky. Nicméně jde o problém, který v krátké budoucnosti jistě nabude na významu vzhledem k velkému pokroku v oblasti grafických barevných výstupů. Systém ACC2 Systém AC C 2 odvodil Meyer, viz [9]; [22], který definoval převodní vztahy takto : -0, 077, , , , 946, 082-0, , , 5264 ] [ ] Systém S W Systém S W není příliš znám a jde vlastně o vyjádření systému ClE UVW v polárním souřadném systému. Proměnná S popisuj e saturaci barvy, barevný tón a W jas barvy, viz ClE-UVW. Pro souřadnice S,, W platí následuj ící převodní vztahy : S 3 W Ý (u - u ) 2 + (v - v ) 2 w w arctg (v/u) arctg [(v-v w )/(u-u w )] kde (u w v w ) je pozice smluvního bílého světla v diagramu ClE uv

68 Mnohá grafická zařízení nemají k dispozici velkou paletu barev, např. laserové nebo inkoustové tiskárny, zatímco např. dnes již standardní Super VGA karta poskytuj e alespoň 256 barev současně zobrazitelných. Výs tupní rastrová grafická zařízení lze rozdělit z hlediska použití barev takto : výs tupní zařízení { s pevnou paletou inkous tové, laserové tiskárny 3-4 barvy v paletě s volitelnou paletou { VGA 6 barev/256 možných Super VGA 256 barev/4k možných peciální 4K barev/0 6 možných Je zřejmé, že docílení velmi věrného barevného výstupu není víceméně problémem, pokud je použit vhodný video interface a display. Naproti tomu docílit velmi kvalitního výstupu např. na laserové nebo inkoustové tiskárně při použití pouze 3-4 barev je velmi obtížné. Obecně lze říci, že je možné použít modifikovaných technik půltónování k docílení velmi věrného barevného výstupu, viz obr... \ Tento obrázek dokumentuje, jaké kvality lze docílit při použití systému CMYK (CMY + černá barva ). Velmi důležitá je i hus tota tisku, která mus í být alespoň 300 dpi (bodů na palec). Další speciální skupinou modifikací algoritmů je modifikace technik půl tónování barev, resp. slučování jednotlivých barev dříve uvedených pro případ použití palety a vytváření palety nové, pro zařízení maj ící barev k docílení vjemu ekvivalentního mnohem větší paletě barev [0 ]. Tato úloha je vlastně úlohou nalezení takové omezené palety barev a barevných odstínů, že výsledný vjem obrazu zobrazeného s takovou paletou je co "nejbližší" vjemu obr azu, který byl zadán. Tato úloha se řeší několika základními metodami, a to : - prostor RGB se rozdělí do boxů, které reprezentují jednu barvu. Počet boxů je dán dostupnou paletou barev. Vzhledem k menší citlivosti oka na modrou barvu se obvykle volí počty bitů reprezentuj ící jednotlivé barevné složky takto : R : G : B 3 : 3 :

69 l když je pixel definován obvykle nízká i při použití v literatuře nazývá Standard pomocí osmi bitů, je kvalita ditheringu. Tento algoritmus se Algorithm. - vybere se K nejvíce používaných barev v daném obraze, přičemž K je dáno počtem současně zobrazitelných barev. Má-li obraz hodně rozdílných barev, pak výsledky nejsou uspokojivé. Tento algoritmus se nazývá Popularity Algorithm. - vezme se prvých K barev jako počáteční aproximace. Při přečtení barvy, která není v tabulce, jsou dvě nejbližší barvy z K + sloučeny a nahraženy váženým průměrem. Tento postup se opakuj e, pokud není zpracován poslední pixel daného obrazu. Tento algoritmus se v literatuře vyskytuj e pod názvem Octree Algorithm. RGB prostor se rozdělí rovnoměrně do K boxů. V každém kroku se box s největším počtem výskytů rozdělí ve směru nejdelší osy tak, že nové sub-boxy reprezentuj í přibližně stejný počet výskytů v zadaném obraze. Algoritmus je označován v literatuře jako Median eut Algorithm. \ Z výše uvedeného je zřejmé, že jde o problematiku velmi rozsáhlou, přičemž dosažené výsledky jsou nejen velmi závislé na technických prostředcích, ale i na zpracovávaných obrazech. Je vhodné podotknout, že experimenty popsané v literatuře nelze jednoduchým způsobem ověřit vzhledem k nedostupnosti příslušných technických prostředků. Příklad v systémech založených na RGB systému se používá k promítnutí jednotková rovina. Odvoďte analogické vztahy pro případ promítání na jednotkovou kouli, zobrazte rozložení barev, a diskutuj te dosažené výs ledky. Jak vypadá diagram analogický diagramu ClE-xy? Poznámka Pro vše chny experimenty využijte hodnot uvedených v následuj ící tabulce udávaj ící závislost r, g, b a x, y, z na vlnové délce A: - 6 -

70 I A[nm] II r I g I b II x I z y I 380 0, , , ,74 0, , , , , ,740 0, , , , , ,738 0, , , , , ,736 0, , , , , 024 0,733 0, , , , , ,730 0, , , , , ,726 0, , , , , ,72 0, , , 002-0, ,54 0,74 0, 005 0, , , ,8575 0,703 0, , , , , ,689 0, , , , , ,669 0, , , , , ,644 0, , , , , ,6 0, 0 38 O, , 023 0, , ,566 0, , , , , ,50 0, , , , , ,440 0, , , , , ,355 0, , , , , ,24 0, , , , ,8592 0,096 0, , , , ,4494 0, 093 0,327 0, , , ,0968 0, , , , , , , , , , , , , , 427 0, , , , , , , , ,0593 0, , , , , ,2860 0, 02698,0, , , , ,5262 0, , , 820 0, , ,7468 0, , , , , ,9 3 0, ,42 0, , , , , ,547 0, , , , , ,929 0, 786 0, , , , , , , , , , , , , , , , , 306 0, , , , , , , , , ,9702-0, , 373 0, , ,2840 0,8522-0, , , , ,6768 0,7087-0, , 444 0, , , ,5429-0, , , , , ,360-0, , 525 0, , , ,686-0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 354 0, , , , , , , , , , , 680 0, , , , , , 695 0, , , , , 000 0, , , , , , , , , ,9233 0, , , 740 0, , , , , , 790 0, , I

71 Pokračování závislosti r, g, b a x, y, z na vlnové délce: i\. [nm] r g b x Y z 645 0, , , , , , , 067 0, 006-0, , , , , , , , , 277 0, , , , , , , , , , , 73 0, , , , 000 0, , , , , , , , , , , , , , , , , 087 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Q, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 0000 Na obr je ukázka použití techniky půl tónování při použití mozaikové tiskárny (9 jehliček). Obr ukazuj e možnost použití techniky vzorů pro zobrazování scén s více úrovněmi šedi při použití laserové tiskárny. Z obr , kde je zobrazena krychle RGB v systému HS!, je zřejmá nelinearita převodních vztahů mezi RGB a HS! systémy

72 Obr

73 ; Obr , H S I Si'STEM Obr

74 3. Osvětlení a stínování Po provedení geometrických transformací (posuv, rotace apod. ) s objekty tvořícími zadanou scénu, následuje poměrně složitá a dlouhotrvaj ící operace odstranění neviditelných hran, resp. povrchů (hidden-line, resp. hidden surface elimination ). Řešení problému stínování povrchů (rendering ), což je v podstatě metoda umožňuj ící získat obrázky, které se blíží realitě, je dalším krokem. Jde tedy o proces, který zahrnuje nejen fyziologickou stránku, ale též i psychologickou. Je známo, že fyzikální a chemické změny v oku vytvářejí podněty, které jsou přijímány mozkem a interpretovány jako jas, barva atd., viz kap. 2. Navíc jsou stejné vnější podněty různě interpretovány různými osobami. Proto j sou mnohá pravidla založena na výsledcích experimentů a nejsou přesně ve shodě s očekávanými zákonitostmi. 3. Modely osvětlení Světlo dopadající na povrch fyzikálního tělesa je částečně pohlceno a přeměněno na teplo. V případě, že těleso pohlcuje veškeré světlo, je těleso neviditelné 4 nazývá se "absolutně černým tělesem". Zbytek světla je buď tělesem odražen nebo propuštěn. Viditelnost tělesa je tedy ur čena světlem odraženým a propuštěným, přičemž "množství " odraženého či propuš těného světla je závislé na vlnové délce. Pokud těleso odráží, resp. propouští, všechny vlnové délky stejně, pak se těleso při osvětlení bílým světlem jeví jako šedé, v ostatních případech barevné, viz kap. 2. n n v rozptyluj ící odraz' Obr. 3.. zrcadlový odraz Obr

75 Odraz světla na povrchu může být dvojího charakteru, a to : - Rozptyluj ící (diffuse reflection ), který světelné paprsky rozprostře do všech směrů, viz obr Výsledným vjemem je pak matný povrch maj ící rovnoměrný jas, který je nezávislý na úhlu pozorování dané plochy. - Zrcadlový (specular reflection), kdy se paprsek odrazí od povrchu, viz obr Jas plochy je tedy závislý na úhlu pozorování dané plochy. Na obr. 3.. a jsou uvedeny typy odrazů světla od povrchu, přičemž : L je směrový vektor světelného zdroje n je normála plochy R je směrový vektor odraženého paprsku S je směrový vektor pozorovatele Pro rozptyluj ící typ odrazu platí tzv. Lambertův zákon, určuj ící intenzitu rozptýleného světla v závislosti na úhlu, ve tvaru kde k je koeficient ur čuj ící "množství " 'odraženého d rozptýleného světla, přičemž k E < o, ) d I je intenzita daného bodového zdroje světla p je úhel dopadu světelného paprsku, E < - rr /2, rr/2 ) Pak lze psát A A T I d k d I L n p A kde L a n jsou normované vektory, tj. : A L A n L n L A Uvedený výpočet intenzity je však ekvivalentní situaci, těleso je uvnitř černé místnosti. n kdy dané Z důvodu přirozenějšího vjemu je nutné kromě odražené intenzity respektovat ještě intenzitu danou okolím (ambient light ), tj. povrchů ve místnosti). intenzitu I ur čit : světlem odraženým od ostatních scéně, případně scénu ohraničuj ících Pak v nejjednodušším iluminačním (např. modelu stěn lze

76 I k a. I a + k d I p. cos kde : k a je koeficient určuj ící vliv okolního světla, k a E < 0, > I a intenzita okolního světla Přepsáním do vektorového tvaru dostáváme + " " L T. n Pokud by nyní byly na scéně dvě stejné rovnoběžné plochy, viz obr , jež se z pozice pozorovatele částečně byly by plochy od sebe nerozpozna telné, i vzdálenostech od pozorovatele. překrývaj í, při různých y z x z x Obr Jedním z důvodů tohoto jevu je nerespektování vlivu vzdálenosti na jas, neboť energie světla klesá s kvadrátem vzdálenosti zdroje světla od plochy. Označíme-li tuto vzdálenost d, lze psát : I k. I a a Nicméně výsledky, + " " T L. n / d 2 které bychom získali pomocí uvedené rovnice, jsou nerealistické, tj. neodpovídaj í skutečnosti. Při paralelní projekci je zdroj světla v nekonečnu, při perspektivní projekci hodnota /d 2 pro d E ( O, 00 ) nabývá velkého rozsahu hodnot,

77 neboť pozice pozorovatele bývá blízko zobrazované scéně. Pro d < dochází navíc k nežádoucímu zvýšení jasu. Realističtějších výsledků lze docílit, pokud intenzita bude vyhodnocena pomocí rovnice + / ( k + d ) kde : k je libovolná kladná konstanta reprezentuj ící vzdálenost zdroje světla od plochy d je vzdálenost pozorovatele od zobrazovaného povrchu. Pokud je povrch barevný, je nutné apl ikovat uvedený vztah na jednotlivé složky použitého barevného systému, a tedy např. pro subtraktivní barecný systém CMY lze psát : I c k a c I a c + k d c I P c L n / ( k + d ) A T A I m k a m I a m + k d m I P m L n / ( k + d ) A T A I k I + k d I L n / ( k + d ) Y a a P y y Y Y Je nutné podotknout, A T že použití subtraktivního barevného systému (CMY ) při výstupu není jednoduché vzhledem k tomu, že vlivem nepřesností daných fyzikální realizací zařízení dochází k mísení principu subtraktivního a aditivního. Analogické rovnice lze psát pro jednotlivé složky r,g,b, pokud se zvolí tyto tři základní barvy, tj. systém RGB. Dalším typem odrazu je zrcadlový odraz, který je na rozdíl od rozptyluj ícího odrazu velmi směrový, viz obr Přísně vzato by vektor R mě l být totožný s vektorem S. Empirický model osvětlení pro "reálné " povrchy, je definován rovnicí A který vytvořil Bui-Tuong Phong, n cos ex kde I je intenzita odraženého světla s W('tJ, A) je odrazová křivka určuj ící "množství" odraženého světla v závislosti na vlnové délce A, viz obr ex je úhel mezi vektory R a S, viz obr n určuj e charakteristiku povrchu, tj. jak rychle "mizí" jev úplného odrazu, viz obr i hodnota n E < O, 00 ) podle materiálu

78 odrazivost [%] 00 Obr.3--4 odrazivost [%] o o o t /6 t /3 t /2 A [nm] Obr t /2 o t/2 a Obr Vzhledem ke své složitosti je funkce W( / A) nahrazena konstantou k s. Pak lze psát " " kde R a S I s jsou n k I cos o: s P k s normalizované vektory I P R a S r ( tj. : " T R. " S ) n " R R " S R S S

79 I pro zrcadlový odraz je nutné respektovat vliv vzdálenosti světelného zdroje na intenzitu světla. Intenzita světla je dána prostým součtem všech složek, tj.: Přepsáním do vektorového tvaru dostáváme [ " " " " T T I k I + I kd. (L + k. (R S) n a a p s " " " " kde L, n, R, S jsou normalizované vektory. n) ] / ( k + d ) V případě více zdrojů světla dostáváme : I k a + L I p. i : m kde : m je počet světelných zdrojů. Ve vektorovém tvaru pak : m I a + L I p. ' [ k d ' (LI. : : " " " " T n) + k. (R. S) n ] / ( k + d ) S : Uvedený výraz je možné pro ur čité situace zjednodušit, např. maj í-li všechny zdroje stejnou intenzitu. V případě uvažování barvy je nutné opět uvedenou rovnici aplikovat na základní barvy použitého barevného systému, přičemž koeficienty k, k, k budou obecně záviset na vlnové délce, d s a a budou tedy rozdílné pro jednotlivé základní barvy

80 3.2 Metody stínování Konstantní stínování Technika konstantního stínování vychází ze zjednodušuj ících předpokladů, kdy zdroje světla jsou v nekonečnu, takže součin konstantní pro celý zobrazovaný n-úhelník, T L. n je - pozorovatel je též v nekonečnu, a tedy součin R T. S je též konstantní. Konstantní stínování je postačuj ící k zobrazení těles ohraničených lineárními ploškami, prlcemž prakti cky nepřináší zvýšení výpočetní složitosti, neboť jas, resp. barva je konstantní v rámci daného n-úhelníka. nevhodná pro zobrazování neplanárních povrchů, Nicméně tato technika je které jsou pouze aproximovány lineárními ploškami. V tomto případě se na styku dvou plošek s různými normálami intenzita mění skokem. intenzity oko vnímá jako hranu, neexistuje, viz obr Tuto změnu která na původním oblém tělese skutečná intenzita vnímaná intenzita \ x x Obr Tento jev působící dosti rušivě se nazývá Machův efekt podle svého objevitele Ernsta Macha (* ), původem z Chrlic u Brna. Nežádoucí efekt lze částečně eliminovat interpolací jasu. Přes uvedené nevýhody tato technika pro svoj i výpočetní nenáročnost v mnoha aplikacích plně postačuje

81 Gouraudovo stínování Metoda Gouraudova stínování [52 ] je založena na interpolaci jasu vycházející ze znalosti normály plošek ve vrcholech n-úhelníka sítě, která zakřivenou plochu aproximuje. Normála ve vrcholu se určuje jako aritmetický průměr normál plošek, které obsahuj í daný vrchol. Obr Obr Např. normála n v z obr je pak určena : n v ( n I + n 2 + n 3 + n 4 + n 5 ) / 5 Tento výpočet je zakřivenou plochu, a která neobsahuj e hranu. možný z toho důvodu, že zobrazuj eme která je aproximována lineárními ploškami V případě existence hran, např. válec, kužel apod., je nutné použít k výpočtu normálového vektoru vrcholu jen normály plošek aproximujích příslušnou zakřivenou plochu. Např. v situaci na obr plocha s normálou n I nesmí být použita k výpočtu normálového vektoru vrcholu n, a tedy : v Nyní je možné provést lineární interpolaci jasu pro zobrazovaný n-úhelník (většinou trojúhelník), neboť jsou známy intenzity ve vr cholech. Při realizaci se k minimalizaci výpočetních nároků s výhodou využívá toho, že hodnoty l A a l B se v rámci zobrazovaného řádku nemění, viz obr

82 Y Ys x Obr Hodnoty I a a l b lze pak vypočítat: I A [ I I ' ( Y s - Y 2 ) + 2, ( Y l - Y s ) ] / ( Y l - Y 2 ) Hodnotu intenzity I pro daný pixel ležící na řádku y lze určit p s I Q [ I A (x B - x Q ) + l B ' ( X Q - X A ) ] / ( X B - X A ) nebo alternativně : I A I I + ( 2 - I I u l B I I + ( 3 - I I ) w I Q I A + ( l B - I A ) t u, w, t E < O, > V případě barevného výstupu je nutné uvedený postup aplikovat na jednotlivé primární barvy daného barevného systému

83 Phongovo stínování Na rozdíl od Gouraudova stínování, které interpoluje intenzi tu, resp. barvu v rámci zobrazovaného řádku, Phongovo stínování [50] interpoluje normálový vektor podél zobrazovaného řádku, čímž je zajištěna lepší aproximace křivosti povrchu podél řádky, a tedy výsledný vjem se blíží očekávanému, zej ména pokud se týče odrazů. Při Phongově stínování je opět nutné určit normálové vektory vrcholů příslušejících jednotlivým ploškám, viz obr , podobně jako v případě Gouraudova stínování. Y Ys x Obr Pro normálové vektory lze psát : n A n + ( n 2 - n ) u u E < O > n B n + ( n 3 - n ) w W E < O > n Q n A + ( n B - n ) t t E < O > A přičemž pro n a n v rámci daného řádku lze psát q q 2 n n + ( n B - n ( t 2 - t l ) q 2 q A kde t l a t 2 jsou odpovídaj ící hodnoty parametru t v bodech q a q

84 Normálový vektor lze pro každý bod v řádku určit jako : n n + n. t q 2 q l Z uvedeného vyplývá, že výpočtové nároky prl použití Phongova stínování vzrostou, neboť je nutné počítat normálu plochy a odpovídaj ící intenzitu v každém bodě. Lze nahlédnout, že vektor R je závislý na vektoru L a normále povrchu n, viz obr a. n \ n n x L Obr Lze ukázat, že : L x n n x R nebo n x L R x n rozepsáním vektorových součinů dostáváme pro jednotlivé složky : L n - L n n R - n R y z z y y z z Y L n - L n n R - n R z x x z z x x z L n - L n n R - n R x y Y x x Y Y x Uvedená soustava rovnic však nemá jedno řešení, neboť rovnice soustavy jsou závislé, tj. hodnost matice soustavy není rovna 3. Je tedy nutné nalézt další dodatečnou rovnici. Vzhledem k tornu, že úhel odrazu se mus í rovnat úhlu dopadu, tj. 2 ' mus í platit: tj. T T L. n n. R

85 Z obr lze odvodit, že obecně pro * lze určit 2 jednoparametrické řešení vektorů R takové, že L x n n x R. Přepíšeme-li uvedené rovnice do maticového tvaru pro vektor R [ R ' R, R ] T, dostáváme : x y z o -n n n L n L z y z y y z O -n n L n L x x z z x o R n O n L n L x y x x y n n n L + n L + n L y z x x y y z z Řešení v uvedeném případě je možné, neboť jedna rovnice je nadbytečná. Obecně je nutné soustavu rovnic typu A. x b řešit pomocí metody nejmenších čtverců, pokud je počet nezávislých rovnic větší než počet neznámých, tj.: " Výhodněji je možné vektor R a R určit pomocí vztahů " R " T " " " 2. ( L. n ).n - L " R I L I. R viz obr b : Příklad Určete vektor R, je-li dáno : n [ O,, O ] T a L [ -, 2, - ] T Pak O O R x [ O O O R Y - O O R z O O O - 2 Úpravami dostáváme (a vyškrtnutím 2. řádku) : [ O O O O

86 a tedy výsledný vektor : R [, 2, ]T Obr Příklad pokud : Určete intenzitu vnímanou pozorovatelem, viz obr , n[ 0,, 0 ] T L [ -, 2, - ]T S [,, 5, 0,5 ] T Lze ukázat (viz předchozí příklad ), že : T R[, 2, ] Dále předpokládejme, že poměr intenzity okolního k intenzitě zdroje světla je :0, tj. např. : I a a I 0 P Pro kovový povrch nabývají konstanty hodnot : k 0,80 s (povrch absorbuj e Je-li d "T " L n a 5% energie, k, pak LT n L I. I n neboť k s 2 r6 k 0, 5 a + k d 0, 95). světla n 5 tj. arccos ( 2 / {6 ) 35 26'

87 Dále Á T Á R S s. R ex arccos (4, 5 / f""2t ) 4, 5 / f""2t 0 89' Á Á T Á n) + k s. (R. S) n ] / ( k + d ) 0, [ 0,5.( 2 / rr ) + 0, 8. (4, 5 / {2T ) 5 ] 8, 65 Vzhledem k tomu, že vektor pozorovatele S je téměř s vektorem odrazu R, je výsledkem velký jas dané Změní-li se však poloha pozorovatele tak, že S [,, 5, - O, 5 ] T pak Á S a tedy 3, 5 / f""2t ex 40, 2 Pak výsledná intenzita je rovna I 0, (0, 2 + 0, 2) 3, 45 což je podstatně menší úroveň jasu. totožný plochy. Obr

88 Příklad Ukažte rozdíl mezi jednotlivými modely osvětlení pro povrch, který je aproximován rovinnými ploškami [ 09 ], viz obr.3.2.8: : 2: 3: 4: Dále Pak A S - x - 2,25 x S S A R +,732 Y + + 3, 897 Y + 2 z - 4 O 7,5 z - 7 O 0 z - 24, 5 O 5, 5 z - O pak: S [,, ] T L [ O, O, ] T d O k I a I p 0 n 2 k s 0, 8 k d O, 5 k a 0, 5 A Pro konstantní stínování je nezbytné určit normálový vektor n 3 : A n n 3 3 [ -0, 2, 0, 36, 0, 9 ] T n 3 Lze opět ukázat, že: [ -0, 38 [ 0, 66, 0, 66 ] T T,, ],[ 0, 58, 0, 58, 0, 58 A A n 0, 9 a S 0, 55 Dosazením do rovnice pro výpočet intenzity pro konstantní stínování dostáváme A T A A A I a + I p. [ k d o (L. n) + k s (R T. S) n ] / (k + d) 0, [ 0, 4 + 0, 24 ] / I, O 3,95 Celá plocha bude tedy zobrazena s intenzitou: I 3, 95 Pro Gouraudovo stínování je nutné nejdříve určit normály ve vrcholech A, B, C, tj.: n A n 2 + n 3 [ -3, 25 5,63, 7, 5 ] T n B n I + n 2 + n 3 + n 4 [ -3, 25, 5, ] T n C n 3 + n 4 [ -2, 25 3, 897, 5, 5 ] T ] T

89 Normalizované vektory: A n A n A / n A A [ -0, 7 0, 3, 0, 94 n B n B / n B [ -0, 2 0, 22 0, 97 A n e n / n e [ -0, 4 0, 24 0, 96 e Pak směrové vektory odražených paprsků jsou určeny : A R A [ -0, 33 0, 57 0, 76 ] T ] T ] T ] T A R B [ -0, 24 0, 42 0, 87 A R C [ -0, 27, 0, 46, 0, 84 ] T ] T Pak odpovídající intenzity ve vrcholech A, B, e jsou opět určeny rovnicí. [ A A A A T T ] S) I k a I a + I p k d. (L. n) + k s. ( R. a tedy : I A 0, [ 0, 4 + 0, 27 ] / 4, 25 l B 0, [ O, 5 + 0,30 ] / '4, 65 n / (k + d) I e 0, [ 0, 4 + 0, 29 ] / 4,45 Označíme-li u AQ / AB 0, 6 Q w CR / BC 0, 3 R pak interpolováním intenzit dostáváme pro bod Q, resp. R: I Q I A + ( l B - I A ) I R I e + ( l B - I e ) u 4, 25 + (0, 4). 0, 6 4, 49 w 4, 65 + ( -0, 2). 0, 3 4, 59 Je-li nyní bod E na řádku v pozici odpovídající hodnotě parametru te QE /QR 0, 5, pak dostáváme : IE I Q + ( I R - I Q ). t 4, 49 + (0,). 0, 5 4, 54 V případě použití Gouraudova stínování bude bod E aktivní s intenzitou: - 8 -

90 V případě Phongova stínování je nutné interpolovat normály a dosazením za u dostáváme : A A A A n Q n A + ( n B - n A ). u [ -0, 7, 0, 3, 0, 94 ] T + ( [ 0, 05, -0, 08, 0, 03 ] T J. 0, 6 [ -0, 4, 0, 25, 0, 96 ] T Analogicky dosazením za w: A A A A n R n B + ( n e - n B ). w [ -0, 04, 0, 23, 0, 97 ] T Interpolací normály v rámci řádky po dosazení za t dostáváme: A A A A ne n Q + ( n R - n Q ). t [ -0, 09, 0, 24, 0, 97 ] T Lze ukázat, že: A T RE [ -0, 7, 0, 46, 0, 87 ] (je nutné řešit dříve uvedenou soustavu rovnic, nebo použít A dříve uvedené vzorce pro výpočet R). Pak intenzita IE je určena opět rovnicí I k a A T A A T A. I a + I p. [ k d o (L. n) + k s (R. s) n ] / ( k + d ) dosazením pak: IE 0, [ 0, 5 + 0, 36 ] / S, 25 V případě Phongova stínování bude bod E aktivován s intenzitou : IE 4, 54 Porovnáme-li získané výsledky, pak dostáváme následující hodnoty intenzit v bodě E pro jednotlivé typy stínování: konstantní Gouraudovo Phongovo IE 3, 93 IE 4, 54 IE 5,

91 Model Torrance - Sparrow Až dosud uvedené modely osvětlení aproximovaly více či méně reali tu. Odraz světla od reálného povrchu byl předmětem mnoha experimentů, které lze datovat až do r. 90 a dokonce ještě dříve. Výsledky z Gouraudova a Phongova modelu se přibližuj í k experimentálně získaným hodnotám, v určitých situacích jsou však rozdíly dosti značné. V roce 967 byl odvozen tzv. Torrance - Sparrowův model, viz [ 57], [ 58], který velmi dobře aproximuje experimentálně získané hodnoty, ale je výpočtově poměrně náročný. n a) b) c) Obr Tento model vychází z představy, že povrch není ideálně hladký, ale že se skládá z "mikroplošek", které způsobují zrcadlový odraz. Jednotlivé "mikroplošky" jsou orientovány

92 náhodně a odraz na ploše se určí jako celkový příspěvek od všech "mikroplošek". V obecném případě mohou nastat tyto případy: - nenastává žádná interference odraženého paprsku s ostatními "mikroploškami", viz obr a nastává "maskování" odraženého světla, viz obr b, tj. odražený paprsek dopadá na jinou "mikroplošku" a není přímo vnímán pozorovatelem dochází k tvoření stínu vlivem zastínění části plochy jinou "mikroploškou", viz obr c (úsek označený m) Zaveďme následující označení (viz obr. 3.2.): n normálu plochy bez uvažování "mikroplošek" L směrový vektor zdroje světla R směrový vektor odraženého paprsku S směrový vektor pozorovatele H normálový vektor "mikroplošky" (malé L) délka hrany "mikroplošky" (udává vlastně hrubost povrchu - hodnota se volí) m určuje část "mikroplošky", která se\ svým odrazem podílí na osvětlení sousední "mikroplošky", viz obr b, nebo část, která určuje zastíněnou část "mikroplošky", viz obr c A A A A A n, L, R, S, H normované tvary odpovídajících vektorů. L n Obr

93 n L Obr Z obr vyplývá: A T A A T A cos 4> H L S H A H L + S L + S L + S 2 To znamená, že pouze "mikroploška" s normálou H může přispět k celkové intenzitě vnímané pozorovatelem. V prvém případě, tj. v případě ad a,nenastává žádné zeslabení intenzity světla, zatímco v ostatních případech zeslabení nastává. Podle [ 6], [ 57 ] je odraz obecně určen výrazem: D G F A T A n S kde D je distribuční funkce směrů "mikroplošek" daného povrchu F koeficient odrazivosti respektující Fresnelův zákon odrazu G je funkce určující zeslabení intenzity vlivem maskování a zastínění Blinn [ 5 ], [6] určil, že pro případ, kdy "mikroplošky" mají tvar symetrického V, lze psát (význam jednotlivých proměnných viz obr ) : m sin f sin b d + a Tf / 2 f + b + c Tf A c 2 d

94 Použitím výše uvedených předpokladů a trigonometrických identit lze ukázat, že: - pro případ maskování, viz obr.3.2., platí A m T A A T A A T A H. S - 2. (n. H). (n. S) A T A H. S Označíme-li G m pak poměrné zeslabení intenzity vnímané pozorovatelem lze vyjádřit výrazem ( - m ) /, a tedy : - m Pro případ stínování pak analogicky G s - m A T A A T A 2. (n. H). (n. L) A T A H. L Celkové zeslabení intenzity je pak určeno výrazem [6]: G min {, G m, G s } Distribuční funkce D byla ve Phongově modelu představována funkcí ve tvaru cos n o. Použitý Torrance-Sparrowův model předpokládá Gaussovo rozložení D c e - ( O.c ) 2 kde D je počet "mikroplošek" orientovaných ve směru odchýleném o úhel o od normály n c, c l jsou volitelné kladné konstanty. Volbou volíme "drsnost" povrchu. Beckmann [ 55 ] ukázal, že D lze též určit jako: D e - tg o ( s: / m 2 ) 2 přičemž není nutné volit žádnou konstantu. Nicméně existují

95 i jiné distribuční funkce, které jsou vhodné např. pro předměty [59]. Pro výpočet k s je nezbytné Fresnelova zákona, tj. ur čit hodnotu odrazivosti skleněné F podle F [ 2. 2 Sln (. 2 Sln ( 4> - ť)- ) + tg 2 ( 4> - ť}- ) 4> + ť)- ) tg 2 ( 4> + ť}- ) ] kde 4> je incidenční úhel, TJ je index odrazu cos 4> A T L A H sin ť}- sin 4> / TJ Vzhledem k tomu, že index odrazu TJ je závislý na vlnové délce, tj. TJ TJ(A), je též F funkcí vlnové délky. Pokud funkce TJ(A) není známá, může být určena z experimentálně získaných dat. Cook a Torrance [56 ] navrhli, aby funkce F byla určena jako F kde c cos 4> 2 [ c - g c + g A T L r { A H + [ c. ( g + c ) - J 2 [ c. ( ) + J 2 g - c } 2 2 g TJ + C 2 - Pro 4> O c F O F 4> 0 ), že [ TJ - TJ + Je-li funkce F O (A) známá, r g TJ lze ukázat [09 ] (označme lze vyjádřit TJ(A) jako TJ ( A ) + v' F O (A) - v' F O (A) Uvedený postup je nutné aplikovat pro každou mikroplošku. Celkový odraz na ploše se ur čí jako celkový příspěvek od všech "mikroplošek". Nyní lze psát

96 D.G. F ] nebo v případě více zdrojů světla I k. I + a a q I jl [ "T " I. k o (n. L.) + d J p. J D.. G.. F. J J J ] Pro získání vjemu odpovídaj ícího realitě je možné opět vypočtenou intenzitu zeslabit v závislosti na vzdálenosti pozorovatele od plochy stejným způsobem jako v předchozím textu. Je zřejmé, že uvedené vztahy j sou poměrně hodně výpočtově náročné. I přes tuto nevýhodu jsou uvedené metody používané v komerčně dostupných programových celcích. Obr l 2 Příklad Zobrazte závislost průběhu intenzit v závislosti na poloze pozorovatele pro různé hodnoty vektoru L. Předpokládejte, že normálový vektor plochy n' je konstantní. Závislost vyj ádřete ve sférických souřadnicích, kde a jsou definovány vektorem S,

97 koeficient n ur čuj e charakteristiku povrchu viz kap. 3., a souřadnice r je úměrná vypočtené intenzitě. Uvedená závislost vytvoří obecnou plochu v E 3 ' viz obr Obr

98 3.3 Lom světla Uvedené základní iluminační modely je vhodné doplnit o možnost respektovat nejen odrazy vznikající na povrchu, ale i průhlednost či průsvitnost těles, tzn. respektovat lom světla na rozhraní dvou prostředí. Ze Snellova zákona je známo (viz obr !), že :! sin! 2. sin 2 A B Obr ! Obr Navíc intenzita propuštěného světla závisí exponenciálně na délce dráhy, kterou paprsek v daném prostředí urazí, tj. -ad I 0. t. e kde a, t jsou koeficienty charakteristické pro daný materiál, d je délka dráhy paprsku v daném prostředí. Koeficient t určuje množství propouštěného světla, zatímco koeficient a určuje, jak rychle je světlo absorbováno. Na obr je ukázáno posunutí paprsku při průchodu jiným prostředím, přičemž A označuj e geometrický paprsek nerespektuj ící zákon lomu světla. Paprsek označený B představuje optickou dráhu, po které se paprsek pohybuj e vlivem lomu. Je nutné si uvědomit, že při respektování zákonů týkajících se lomu 'světla může docházet k neočekávatelným efektům, viz obr

99 Obr Zjednodušené modely pro zobrazování scén tělesy mohou být použity pro modifikaci s transparentními algoritmů řešení viditelnosti, s výj imkou algoritmů založených na myšlence z-bufferu, kde pořadí vykreslování ploch je libovolné. Modifikace vycházej í z následuj ící představy : Pokud právě zobrazovaná plocha s intenzi tou I I je transparentní a plocha naposledy zobrazovaná má intenzitu 2 ' pak výsledná intenzita zobrazované plochy je dána jako t E < O, l > kde pro t O je zobrazovaná plocha průhledná, pro t je zobrazovaná plocha neprůhledná. Lineární model však nedává pro oblá tělesa očekávané výsledky, což je způsobeno zanedbáním proměnné tloušťky materiálu. Je tedy nezbytné modifikovat uvedený vztah tak, aby výsledná hodnota závisela na normále zobrazovaného povrchu. Vztah, který navrhl Kay [53], [54], [09], vystihuje požadovanou závislost, přičemž t t min + ( t max - t min ). [ - ( - I n z I ) ] kde t., t je minimální a maximální hodnota míry mln max transparentnosti; t., t E < O, > mln max A n je z-ová složka nor álového vektoru n v daném bodě z p koeficient, jehož hodnota se obvykle volí v rozsahu - 3. P - 9 -

100 Z uvedeného je zřejmé, že hodnota t je závislá na hodnotě normálového vektoru n v bodě, který je právě zobrazován. I když uvedený nelineární model pro zobrazování transparentních objektů nemůže být přímo použit pro z-buffer algoritmus, může být algoritmus z-bufferu modifikován použitím dodatečných seznamů transparentních ploch tak, aby bylo možné zobrazovat i scény s transparentními plochami. Algoritmus využívá obrazovou paměť (frame-buffer ) k zobrazení neprůhledných ploch, z-buffer k reprezentaci největší z-ové souřadnice zobrazovaného pixelu, I-buffer pro uložení transparentních intenzit a T-buffer pro reprezentaci váhových funkcí. Vzhledem k paměťovým nárokům je nutné uvedený algoritmus realizovat tak, aby scéna byla řešena vždy po řádkách, tj. použít řádkový z-buffer. Algoritmus jednoduše řeší problematiku transparentních ploch, avšak výsledek nebude vždy perfektní. n: počet n-úhelníků; for i: to n do if n-úhelník. then else je transparentní ulož jej v seznamu transparentních n-úhelníků zpracuj jej pomocí algoritmu z-bufferu; m: počet transparentních n-úhelníků ; for i: to m do if z s z then buffer begin end; vypočti novou intenzitu jako I N t ol o + t c l c ; ulož I N do I-bufferu; ulož t c do T-bufferu; { tímto způsobem je určena váhová suma intenzit všech } { ploch, které jsou před nejbližší neprůhlednou plochou } urči nyní váhový součet intenzity I F uložené ve frame bufferu a intenzity 0 uložené v I -bufferu pomocí rovnice : kde I N je I je c t o je t c je I I + ( - I ) t F 0 F o nová intenzita, je původní intenzita, 0 intenzita pro zpracovávaný n-úhelník původní koeficient transparence z T-bufferu koeficient transparentnosti zpracovávaného n-úhelníka Algoritmus

101 Z výše uvedeného je zřejmé, že k zobrazování scén s vysokou výslednou věrností obrazu je nutné použít kvalitativně jiných algoritmů. Obecně lze říci, že iluminační model je dán rovnicí: kde člen k. ur čuj e vliv okolního světla a a k d o I d určuje vliv rozptýleného odrazu k. s s k t l t určuj e vliv zrcadlového odrazu ur čuje vliv propuštěného světla Dosud uvedené přístupy k zobrazení dané scény neumožňuj í však věrné zobrazení dané scény a většina dosud realizovaných' algoritmů využívá různých zjednodušení iluminačního modelu. Pro získání vysoce jakostních výstupů je nutné použít dokonalejších technik

102 3.4 Globální model osvětlení Globální model osvětlení vychází z představy, že úkolem je zjistit intenzitu odraženého světla pro každý pixel výsledného obrazu. Dosud uvedené techniky umožňovaly vypočítat intenzitu, která byla určena dopadem světelného paprsku na plochu. Nebylo možné zachytit vliv zvysení intenzity osvětlení odrazem světelného paprsku od jiné plochy. Obr Z obr vyplývá, že pokud odraz tělesa bude mít charakter zrcadlového odrazu, pak pozorovatel uvidí u tělesa 3 i ty plochy, které jsou zakryty nebo od pozorovatele odvráceny. V případě, že těleso 3 odráží světlo alespoň částečně zrcadlovitě, pak pozorovatel uvidí i odvrácenou plochu tělesa 2. Je vhodné poznamenat, že při každém odrazu dochází k vytváření zdánlivého obrazu scény, který je stranově či výškově převrácený. Navíc uživatelův vjem musí být ovlivňován též zdrojem světla, které se odráží od ploch těles 4, 3,, i když tento zdroj světla není přímo viditelný z pozice pozorovatele. Z uvedeného vyplývá, že metodu sledování paprsku lze doplnit vhodným modelem osvětlení 'tak, aby výsledné zobrazení scény bylo velmi věrné. Kay [53], [54] a Whitted [43 ] realizovali metodu

103 sledování paprsku doplněnou globálními celkového osvětlení jednotlivých ploch. metodami určování +v' " Obr Paprsek, viz obr , který je určen vektorem v, dosáhne povrchu v bodě Q, kde se v obecném případě částečně odrazí ve směru určeném vektorem r a částečně je propuštěn ve směru p. Paprsek o intenzitě I t přicházející ve směru -p je propuštěn rozhraním ve směru -v. Analogicky pro paprsek o intenzitě I s přicházející k bodu Q ve směru -r je odražen do směru určeného vektorem -v. Pak intenzita, kterou pozorovatel vnímá, je dána vztahem, viz [43 ]: m + I I p. [. A T A A T A n k d o (L l n ) + k. (R.. S. ) S l l kde k a, k d ' k s, k t jsou v tomto obecném případě závislé na vlnové délce a úhlu mezi normálou a směrovým vektorem paprsku

104 Nicméně Whi tted [ 43 ] pokládá tyto koeficienty za konstantní a člen k I za nezávislý na úhlu dopadu. s s Ze zákonů optiky vyplývá, že odražený paprsek r, resp. propuštěný paprsek a normála n. Podle A r Vf + 2. n kde V f v p, mus í ležet ve stejné rovině jako paprsek v obr platí, že A n A P k f ( n + A V f ) - n ( k Tl k 2 Tl Tl l Tl 2 2 n A V f - V f + 2 ) -/2 přičemž k je podíl indexů lomu jednotlivých materiálů Tl A n je normálový vektor ve směru přicházejícího paprsku. Na rozdíl od metody sledování paprsku pro scény s neprůsvitnými plochami není proces ukončen při nalezení nej bližšího průsečíku, neboť paprsek se vlastně na rozhraní dvou prostředí rozštěpí obecně na paprsek odražený a na paprsek propuštěný do druhého prostředí, viz obr V případě, že k < O, pak jde o celkový interní odraz a předpokládá se, že I O. t v Obr Obr

105 Obr v Obr Obr Uvedený proces končí v okamžiku, kdy paprsek opouští scénu. Určení intenzity v místě průsečíku paprsku s povrchem vyžaduje vyhodnocení celého stromu. Intenzita v odpovídajícím uzlu stromu je zmenšena úměrně dráze, kterou paprsek prošel, tj. vzdálenosti vstupního bodu a průsečíku paprsku s další stěnou. Po vyhodnocení celého stromu je odpovídající pixel aktivován s odpovídající intenzitou. Teoreticky je ' strom nekonečný, avšak při realizaci je výpočet ukončen, pokud paprsek opustí scénu nebo pokud intenzita klesne pod ur čitou mez, nebo pokud je dosažena povolená hloubka rekurze. Obr a ukazuj í případ vnitřní reflexe pro uzavřený průsvitný obj ekt. V případě, že při návratu paprsku z tělesa dochází na rozhraní k zrcadlovému odrazu, je paprsek "uvězněn " a absorbován. Nemůže tedy přispět k intenzitě vnímané uživatelem. V obecných případech je generován paprsek p, který "opouští" těleso a který může ovlivnit intenzitu, která je pozorovatelem vnímána. Uvedený postup umožňuj e zobrazování scén s poměrně vysokou věrností, lze však vytvořit scény, které vypadaj í nepřirozeně. Vysokého stupně věrnosti, zejména pokud se týče barevných scén, je možné docílit až použitím globálních iluminačních technik založených na výpočtu vyzařované energie

106 Příklad Určete intenzitu vnímanou pozorovatelem, je-li dána jednoduchá scéna s plochami kolmými na rovinu zx, viz obr Pozorovatel je v nekonečnu ve směru osy z, přičemž x 5. Uvažme dále jeden bodový zdroj světla v poloze x 3, Y O, z 0 a nechť plochy jsou definovány rovnicemi, viz [09 ] : : 2: 3: x + z - 2, 5 O x - z - 2 O x - 3z + 9 O 4 < x < 6 4 < x < 6 < x < 3 Jejich iluminační charakteristiky jsou určeny jednotlivými koeficienty : : k O, 5 a k d l 0, 5 k s l 0, 8 k t l 0, 5 k / I, 2: k 0, 5 a 2 k d 2 0, 5 k s 2 0, 8 k t 2 0, 5 k I, 2 3: k 0, 5 a 3 k d 3 0, 5 k s 3 0, 8 k t 3 0, 0 k I, 3 Intenzita okolního světla I, 0 a intenzita zdroje světla a I 0, přičemž koeficient n pro Phongovo stínování je pro p všechny plochy roven 50. Paprsek je orientován od pozorovatele směrem ke scéně a je určen rovnicemi x 5 y O přičemž výsledný strom znázorňuj ící dělení paprsku je na obr Průsečík paprsku s plochou je ur čen řešením soustavy rovnic, která je dána rovnicemi roviny a paprsku x + z - 2, 5 O x 5 a y O a tedy z 7, 5 Prvním průsečíkem s plochou je bod x l [ 5, který tvoří první uzel stromu. Normovaný normálový plochy je: T O, 7, 5 ], A vektor n I T [, 0, ]

107 Z polohy pozorovatele lze určit pohledový vektor vl : a tedy : vl [,, - ] T V ' VT l A n I T - ff [ 0, 0, Směrový vektor odraženého paprsku je A r l ví + 2 n I - ff [,, ] T + 2 T [, 0, ] ff [ přičemž : + v ' T [,, - ] Pak -/2 2 - ], 238 A A P k f. ( n I + ví ) - n I ff. [, 238 ( [,, - ] T J - [,, ] T ] [ 0, 68,, -, 582 ] T Odražený paprsek r l opouští scénu a nebude proto dále uvažován. (V uvedeném příkladě toto vyplývá z obrázku, jinak by bylo nutné hledat průsečík s plochami! ) Nyní je možné zapsat rovnice propuštěného paprsku P l v parametrickém tvaru, tj. x 5 + 0, 68. t y z 7, 5 -, 582. t Průsečík paprsku P l s druhou rovinou je těchto rovnic do rovnice 2. plochy, tj. x - z , 68. t - 7, 5 +, 582: t - 2 určen dosazením a tedy, 75. t - 4, 5 t 2,

108 Dosazením hodnoty t do parametrických rovnic pro paprsek P l , 68. (2, 57) 5, 432 z 2 7, 5 -, 582. (2, 57) 3, 433 Vzdálenost mezi průsečíky x l ' x 2 je dána : d 2 I x 2 - x l I vl ( 5, 432-5) 2 + (3,433-7, 5) 2 4, 09 Paprsek P l je nyní vzat jako nový paprsek určený : - směrovým vektorem v 2 P l - bodem x 2. Pak [ 5, 432,, 3, 433 ] T P l [ 0, 68,, -, 582 ] T A Normalizovaný vektor n druhé plochy (pozor na její orientaci!) 2 je určen : Pak A n 2 r 2 P 2 [ [ ff [ -, 278 0, 25, -,, ] T,, 0, 36 ] T, -, 999 ] T Paprsek P opouští scénu a nebude tedy dále uvažován. 2 Pro pap sek r lze psát : 2 tj. x 5, 432 -, t y z 3, , 36. t Dosazením do rovnice pro třetí plochu dostáváme : x - 3 z + 9 5, 432 -, t - 3 (3, , 36.t ) + 9 -l, 686.t + 4, 33 O Řešením dostáváme t 2,

109 Dosazením do parametrické rovnice pro paprsek r 2 5, 432 -, , 45 2, 299 3, 433-0, 36. 2, 45 3, 766 Vzdálenost mezi dvěma průsečíky x 2 ' x 3 je určena Nyní je paprsek r 2 vzat opět jako nový paprsek určený - bodem x 3 [ 2, 999, 0, 36 ] T - vektorem v 3 r 2 [ -, 278,, 0, 36 ] T Nyní lze opět určit A n ] T [,, -3 3 no P [ -, 73 0, 483 ] T 3 r 3 [ -, 765 -, 643 ] T Vzhledem k tomu, že oba paprsky opouštějí scénu, je výpočet ukončen. Navíc 0, a tedy se negeneruj e žádný paprsek vzniklý průchodem plochou, neboť je neprůsvitná. Z obrázku vyplývá, že světelný zdroj je plochou zakryt, a tedy 3. plocha se nachází ve stínu. Tudíž bod x obdrží pouze jas okolí, tj. 3 Uvedená intenzita je přenášena podél 2. plochy, přičemž jas je zeslaben [43], na hodnotu : vektoru - r 2 na povrch vlivem vzdálenosti, viz 0, 5 3, 5 0, 0476 Z polohy průsečíku na druhé ploše vyplývá, že nic nezakrývá světelný zdroj (spojnice bodu se světelným zdrojem neprotíná jinou plochu)

110 Směrový vektor L 2 paprsku přicházejícího od zdroje světla k ploše 2 je určen kde x p je poloha zdroje světla I p x je průsečík paprsku s druhou plochou 2 Dosazením L [ -2, 432, 0, 6, 567 ] T 2 a normalizací dostáváme A T L [ -0, 347,, 0, 938 ] 2 Následně lze určit A n 2 T [ -0, 347, 0, 0, 938 ]. 0, 909 T [ -,, ] Paprsek dopadající na plochu 2 ve směru L se odrazí ve 2 R, přičemž : 2 A T R [ - 0, 938,, 0, 347 ] 2 směru Směrový vektor pozorovatele je a tedy Pak A A S - P 2 A A T T T R S -[ -0, 938,, 0, 347 ]. [ 0, 68,, -, 582 ] 2 2-0, 707 0, , , , , 8. 0, , 5., 552 Tato intenzita je přenášena podél vektoru - P l a je vlivem vzdálenosti zmenšena na hodnotu: na první povrch

111 2, 552 I t -- 0, 379 d 2 4, 09 Průsečík x l není zastíněn žádnou plochou. Analogicky L 2 a R 2 lze ur čit L l a R l : T L l x p - x l [ - 2, O, 2, 5 ] a po normalizaci A T L [ -0, 625, O, 0, 78 ] l, Následně A A T L. n l I [ -0, 625, O, 0, 78 T ]. T [, 0, ] 0, 0 Odražený paprsek R l je ur čen vektorem: A R [ 0, 78, O, -0, 625 ] T l A Nyní pohledový vektor S -v l l ' a tedy A A T R l. S -0, 625 l Tudíž A A A A T T I I k. + k d.. (L l.n l ) + k.. (R l. S l ) + k. + k t.i t a l a l P s l p S I s l l 0, S. + 0, , + 0, O + 0, 8. O + 0, 5 0, 379 0, 505 Toto je intenzita, která je vnímána pozorovatelem. Nízká hodnota je způsobena tím, že první povrch je osvětlen "téměř " tečně. Vzhledem k velké hodnotě n nejsou odlesky zobrazovány. n V případě barevného světla či barevných ploch je nutné uvedený výpočet provést pro všechny základní barvy (např. pro RGB ). Je zřejmé, že je nutné zadat i iluminační charakteristiky pro příslušné základní barvy. Celý algoritmus sledování paprsku prl použití globálního modelu pro osvětlení je znázorněn algoritmem Algoritmus využívá zásobník pro ukládání informací např. o odraženém

112 a propuštěném paprsku. Je tedy nutné mít zásobník tak dlouhý, jak je dlouhá nejdelší větev stromu při sledování paprsku. Ukončení algoritmu pro danou větev stromu zpracovávaného paprsku nastává za těchto podmínek: paprsek odražený i propuštěný opouští scénu - naplnění zásobníku (pro jednoduchost se v algoritmu používá pouze tato podmínka ) intenzita, která je ur čena pouze intenzitou okolního, rozptýleného a odraženého světla v bodě průsečíku, klesne pod zvolenou minimální hodnotu Princip algoritmu je obdobný algoritmu sledování paprsku, viz [24], pro neprůhledná tělesa s tím, že zásobník obsahuje tyto informace číslo paprsku - jednoznačné prlrazení pro každý paprsek typ paprsku - ur čení typu paprsku (v, r nebo p) číslo zdrojového paprsku - číslo paprsku, z něhož vznikl tento paprsek typ zdrojového paprsku - ur čení typu zdrojového paprsku (v, r nebo p) indikátor průsečíku - indikace, zdali byl nalezen průsečík daného paprsku s některou plochou ukazatel na obj ekt - udává polohu protnutého tělesa v seznamu popisů objektů souřadnice průsečíku - souřadnice x, y, z průsečíku pro daný paprsek směrové úhly - specifikace směru daného paprsku vzdálenost mezi nalezeným průsečíkem daného paprsku a průsečíkem zdrojového paprsku s některou plochou - odpovídá hodnotě d intenzita propouštěného světla - I t intenzita zrcadlově odraženého světla - I s Při inicializaci, když je paprsek ukládán do zásobníku, jsou hodnoty I ' s I ' t d nastaveny na nulu, indikátor průsečíku na false. Algoritmus končí naplněním zásobníku

113 { xmax, ymax - maximální prostor adresace } for x : O to xmax do for y : O to ymax do begin indikátor průsečíku end; typ paprsku : v; false ; číslo paprsku: 0; číslo generace : O; I t : O; I s : O; d: O; generuj paprsek v pro daný pixel; ulož paprsek v do zásobníku; while not zásobník prázdný do begin { Vypočti intenzitu } end; SOLVE RAY ( I ) Display pixel x, y s intenzitou I procedure SOLVE RAY ( var I: real ); { deklarace lokálních proměnných } begin Vyber paprsek ze zásobníku ; if indikátor průsečíku true then begin Vypočti intenzitu( I); if typ paprsku v then EXIT else begin if typ paprsku r then nastav I v zásobníku pro zdrojový paprsek s else nastav I v zásobníku pro zdrojový paprsek; t Dekrementuj číslo generace; EXIT end end else if not průsečík { není průsečík se žádnou plochou } then begin if typ paprsku v then begin I: barva pozadí; Vyber paprsek ze zásobníku end

114 end; else EXT if typ paprsku r then Nastav s v zásobníku pro zdrojový paprsek else Nastav t v zásobníku pro zdrojový paprsek; end else if číslo generace Stackmax { zásobník je plný? } then begin : O; : O; d: l; s t Vypočti intenzitu(); if typ paprsku r then Nastav I v zásobníku pro zdrojový paprsek s else Nastav v zásobníku pro zdrojový paprsek; t EXT end else begin Vypočti vzdálenost d mezi průsečíky paprsku ; indikátor průsedčíku : true ; Zvyš číslo generace paprsku; Vypočti odražený a propuštěný paprsek; { propuštěný paprsek je nutné určit pouze } { v případě, že se respektuje lom světla } if odražený paprsek existuj e then begin Zvyš číslo generace paprsku; ulož odražený paprsek do zásobníku end; if propuštěný paprsek existuje then begin Zvyš číslo generace paprsku; ulož propuštěný paprsek do zásobníku end ; end; EXT

115 procedure Vypočti intenzitu ( var I: real )i { lokální deklarace } begin I: Oi for j to počet světelných zdrojů do begin 9: Generuj spojnici mezi průsečíkem a zdrojem I P j if existuj e takový průsečík then begin if je alespoň jeden obj ekt neprůsvitný then goto 9 else pro každý průsvitný obj ekt spočti zeslabení intenzity zdroje I Pj endi A A Generuj R. a S.i [ J J A T I I + I. k o (L. p. d J J endi I endi A A T n.) + k. (R. J s J I + k a a + ( k s.l s + k t. t ) / d i ' Algoritmus Experiment Realizujte program, který bude umožňovat zadávání scény z obr Za základní volte tato tělesa: optický hranol, kvádry obecné velikosti, planární plochy s nesymetrickým vzorem. Po zadání plochy simuluj te "procházku" pozorovatele ve směru k optickému hranolu a zobrazuj te scénu. Co se stane s částí vzoru, který je "zakryt " hranolem. Jaký bude vjem pozorovatele uvnitř hranolu?

116 3.5 Model založený na radiačním principu Radiační model pro výpočet osvětlení zobrazované scény byl navržen v [ 74] a v současné době je známá celá řada jeho modifikací. Tento model odstraňuj e některé nedostatky metody sledování paprsku, která v některých případech nerespektuj e fyzikální zákony, ale využívá empirických poznatků a aproximací; to znemožňuje zobrazit řadu efektů, které nastávají zejména při použití barev, např. zbarvení stínů vlivem barvy odraženého světla od jiného tělesa. Radiační model je založen na energetické rovnováze a byl odvozen z metod používaných při tepelných výpočtech. V určitém smyslu nahrazuj e lokální Phongův model přesným globálním modelem, nicméně se předpokládá, že všechny plošky ve scéně maj í pouze difúzní odraz. V radiační me todě se předpokládá, že zobrazovaná scéna je obklopena "uzávěrem" nebo jej sama tvoří. Tento uzávěr, který může být i hypotetický, pak zaj išťuje, že energie je zachována v daném prostoru. Scéna se sestává ze světelných zdrojů nebo odrážejících ploch. Předpokládá se, že každá plocha může difúzně ideálně odrážet, nebo ideálně difúzně emitovat světlo, nebo oboj í. plocha j plocha i Obr Uvažme případ z obr Metoda vychází z principu rovnováhy energie uvnitř uzávěru. Radiace (vyzařování ) i-té plochy je označena B.. Ta se sestává z vlastní emise E. dané plochy (energetický zdroj ) a z odražené části přijaté radiace H

117 dopadaj ící na i-tou plochu. Za předpokladu, že uzávěr je konvexní obsahuj ící N ploch, pak jde o příspěvek od všech ostatních ploch, tj. N- ploch. Poznamenejme, že při použití této metody není zapotřebí pracovat zvlášť s emitovanou energií a zvlášť s odraženou energií, neboť jsou obě difúzního charakteru a jsou pro pozorovatele nerozeznatelné. Celková radiace (energie na jednotku plochy - [w/m 2 ]) i-té plochy je určena vztahem B. E. + p. kde : B. je radiace i-té plochy E. je vlastní emise i-té plochy p. je odrazivost plochy ; určuj e, jak velká část z energie přijaté i-tou plochou bude emitována zpět H. je radiace, která je i-tou plochou přijímána od ostatních ploch Je zřejmé, že přijímána jen H. radiace H. přijatá od ostatních N- ploch je od těch ploch, které jsou z i-té plochy "viditelné ", tj. nej sou odvrácené. Pouze část energie, kterou vyzařuj e j-tá plocha, dosáhne i-tou plochu. Tato část je určena konfiguračním faktorem F.. lj i-té a j-té plochy., který reprezentuj e vzájemnou po ohu Pro energe tickou bilanci lze psát (počítá se celková energie, tj. nikoliv radiace ) N H. A. B. A. F.. L J J J l j l il,...,n kde A., resp A. je velikost i-té, resp. j-té plochy. J Úpravou pak N H. L A. jl B. A. F.. J J Jl il,...,n Vzhledem k přirozené dualitě konfiguračního platit, že : faktoru F.. musí Jl A.. F.. lj A. J F.. Jl i, jl,...,n Pak lze

118 H. A. A. J F Jl.. N L j l B. J F.. J il,...,n Emitovaná radiace i-té plochy je pak dána jako N B. E. + p. 'L B. J j l F.. J a tedy B. p. N 'L j l B. J F.. J E. i l,...,n Uvážíme-li všech N ploch, pak lze soustavu lineárních rovnic přepsat do tvaru - P lf ll - P lf 2-2F2l - P2F22 B l E l P lf ln F2N PNFNl PNFNN B N E N kde neznámými je vektor proměnných B [ B l '...,B N ] T. Uvedená soustava lineárních rovnic má parametry E., F.. J a p., které mus í být dány, nebo ur čeny pro každou plochu. Hodnota E. je nenulová pro plochy, které přispívaj í k radiaci uvni tř uzávěru. Jde tedy o plochy, kde dochází k difúznímu odrazu od bodového zdroje světla nebo plošný zdroj záření. Pokud platí, že pak také platí, že E. O Vi E {,..., N } B. O Obecně E. a p. jsou funkcemi vlnové délky, přičemž je obvykle vybrána určitá hodnota reprezentuj ící "průměrnou" hodnotu pro uvažovaný rozsah vlnových délek, např. pro jednotlivé vlnové délky základních barev RGB. Soustavu rovnic je tedy nutné řešit třikrát, vždy pro vlnovou délku každé základní barvy. Pro řešení soustavy lineárních rovnic může být použita Gauss- Seidlova - 0 -

119 metoda, neboť matice soustavy je diagonálně dominantní a k řešení obvykle stačí pouze 6 až 8 iterací, viz [7 3]. Nyní je zapotřebí vypočtenou radiaci převést do vrcholů příslušného n-úhelníka tak, aby tato radiace mohla být použita k interpolaci radiace, např. pomocí Gouraudova stínování. Celý postup generace výstupu pomocí radiační metody může být vyjádřen takto : - zadání vstupní geometrie a případné rozdělení ploch pomocí záplat - výpočet konfiguračních faktorů F.. J - výpočet radiace B. i-té plochy pro každou základní barvu - extrapolace hodnot B. do vrcholů n-úhelníka s následným stínováním Je zřejmé, že konfigurační faktory F.. jsou pro danou scénu J konstatní a nemusejí být přepočítávány při změně p. a E.. Podstatnou výhodou je, že pokud se nezmění geometrie scény, pak pro jiný pohled na scénu se musí znovu provést pouze stínování. To je nesmírnou výhodou pro systémy maj ící VLSI grafické procesory, které přímo a stínování, viz např. Model 835 Turbo SRX. podporuj í řešení viditelnosti grafické pra ovní stanice HP SOOO plocha j n' CP. r.. ) plocha i Obr

120 Nyní je nezbytné ur čit konfigurační faktor F.., lj energie vyzařované plochou i, které bude k energetické bilanci j-té plochy. tj. množství příspěvkem Pro plochy ničím nezakryté platí (v diferenciálním tvaru): F da.da. J cos IP. cos IP. J 2 Tl r.. lj kde r.. je vzdálenost elementárních plošek da. a da., přičemž lj J r.. r.. lj Jl Integrací přes j-tou plochu dostáváme F J da.a. J A. J cos IP. cos IP J Tl 2 r.. lj da. J což je celkový energe tický příspěvek od elementární plošky da. obdržený celou plochou A.. Pak celková energie získaná j -tou J plochou od i-té plochy je dána A. A. J cos IP. cos IP J 2 Tl r.. lj da. da. J Průměrný radiační příspěvek i-té plochy od j-té plochy lze označit jako F.. lj A. F A.A. J A. J J A. A. J cos IP cos Tl 2 r.. l J IP J da. da. J Ze symetrie vyplývá, že F.. Jl A. J F A.A. J A. J J J cos A. A. J IP J cos Tl 2 r.. lj IP da. da. J Ze zákona o zachování energie vyplývá, že - 2 -

121 :: :: N L jl F.. lj il,...,n Vzhledem k tomu, že plocha "nemůže vidět" sama sebe, plati: F.. O II il,...,n Pro skutečné připady je nutné zakryté nějakou jinou plochou. jako zvážit situaci, kdy jsou plochy Pak konfiguračni faktor je dán F.. l J A. J J A. A. J cos IP. cos IP J Tl 2 r.. lj ( HlD ) da. da. J kde HlD je funkce nabývajici pouze hodnot O a podle toho, elementárni ploška da. je viditelná z elementárni plošky da., tj. J neni-li nějakou jinou plochou zakrytá. Z dosud uvedeného vyplývá, že analytický výpočet konfiguračnich faktorů F.. je téměř nemožný, neboť jde o dvojný lj plošný integrál. Tento integrál může bý sice řešen numericky, avšak za cenu obrovských požadavků na numerické výpočty. V připadě, že vzdálenost ploch je velká ve srovnáni s rozměry ploch A. a A. a pokud nej sou plochy něj akou jinou plochou J zakryty, pak lze psát zda F.. lj F A.A. J A. A. da. kde K J A. J cos IP Tl cos 2 r.. lj IP J da. J F da.a. J neboť K se v těchto připadech prakticky neměni. V připadě, že plochy jsou blizko sebe nebo jsou částečně zakryty, je nutné dané plochy A. a A. dělit na menši tak dlouho, J až bude F dobře aproximováno hodnotou K (např. hodnota K se da.a. J nebude dělenim měnit )

122 Technika radiačních výpočtů může být při určitých předpokladech dále zjednodušena, přičemž je nutné brát v úvahu, že řešení soustavy lineárních rovnic je složitosti O(N 2 ) a dělení ploch na menší přináší též složitost O(N 2 ). Další podrobnosti radiačních výpočtů lze nalézt např. v [72], [74], [75], přičemž grafické. pracovní stanice Turbo SRX firmy Hewlett Packard podporuj í jak techniku radiačních výpočtů, viz obr a obr , tak i sledování paprsku pomocí VLSI grafického procesoru. Obr

123 Obr