Tabulky, grafy a diagramy v matematice 1. stupně ZŠ

Transkript

1 MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Tabulky, grafy a diagramy v matematice 1. stupně ZŠ Diplomová práce Brno 2018 Vedoucí diplomové práce: Mgr. Eva Nováková, Ph.D. Vypracovala: Kateřina Klekarová

2 Bibliografický záznam: KLEKAROVÁ, Kateřina. Tabulky, grafy a diagramy v matematice 1. stupně ZŠ. Diplomová práce. Brno: Masarykova univerzita, Pedagogická fakulta, Katedra matematiky s. Vedoucí práce: Mgr. Eva Nováková, Ph.D. Anotace: Diplomová práce se zabývá tabulkami, grafy a diagramy v matematice 1. stupně základní školy. Teoretická část je zaměřena na vymezení pojmů graf a diagram a jejich typů. V souvislosti s žáky prvního stupně se pak soustředí na zařazení tématu do Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání a učebnic pro první stupeň. Dále obsahuje kapitoly týkající se mezinárodního šetření TIMSS a metody práce s videozáznamem, jež byly užitečné při zpracování praktické části práce. Cílem praktické části práce je vytvoření souboru úloh různé obtížnosti, na nichž jsem u žáků 5. ročníku ověřovala dovednost pracovat s úlohami a následně vytvořit vlastní grafy na základě reálných situací. Poté žákovská řešení pomocí videozáznamu analyzovat a pokusit se interpretovat chybná řešení. Klíčová slova: Tabulky, grafy, diagramy, žák 1. stupně základní školy Annotation: This diploma thesis deals with charts, graphs and diagrams in primary school mathematics. The theoretical part defines terms graph and diagram and its types. In connection with primary school pupils the thesis is focused on inclusion of this topic in the Framework Educational Programme and textbooks for primary schools. It includes chapters dealing with the international survey TIMSS and the video recording method that were useful for writing the practical part of this thesis. The aim of the practical part of the thesis is to create a file of activities of varying difficulty on which I verified the skills of the 5 th graders to understand these tasks and then to create own graphs based on the real situations. Then analyze the pupil s solutions with the video record and try to interpret the wrong solutions. Key words: Charts, graphs, diagrams, primary school pupil

3 Čestné prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala samostatně, s využitím pouze citovaných pramenů, dalších informací a zdrojů v souladu s Disciplinárním řádem pro studenty Pedagogické fakulty Masarykovy univerzity a se zákonem č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon), ve znění pozdějších předpisů. V Brně dne 30. března 2018 Kateřina Klekarová

4 Poděkování Na tomto místě bych ráda poděkovala především vedoucí této práce Mgr. Evě Novákové, Ph.D. za odborné vedení, ochotu a cenné připomínky, dále učitelům na ZŠ v Dolní Čermné, kteří mi poskytli podmínky pro uskutečnění výzkumu, a také rodině za podporu po celou dobu mého studia.

5 Obsah Úvod... 7 I. TEORETICKÁ ČÁST 1 Grafy a diagramy Vymezení pojmů Části grafu Typy grafů Sloupcový graf Pruhový graf Výsečový graf Spojnicový graf Ostatní typy grafů Kurikulární dokumenty Tabulky, grafy a diagramy v kurikulu ČR RVP ZV Standardy pro základní vzdělávání Metodické komentáře ke Standardům pro základní vzdělávání Učebnice pro 1. stupeň ZŠ Alter Nová škola Prodos SPN Fraus Shrnutí TIMSS Organizace výzkumu... 27

6 4.2 Česká republika a TIMSS Metoda práce s videozáznamem Realizace videostudie Videostudie TIMSS II. PRAKTICKÁ ČÁST 6 Cíl výzkumu Metody výzkumu Soubor úloh Realizace výzkumu Úspěšnost řešení jednotlivých úloh Analýza a interpretace žákovských řešení Zadané úlohy Grafy a diagramy zpracované žáky Shrnutí samostatné práce Závěr Resumé Summary Zdroje Literatura Internetové zdroje Učebnice Seznam použitých zkratek a symbolů... 98

7 Úvod Již od pradávna si lidé všímali různých závislostí jevů a změn, které je přirozeně obklopovaly. Poznávali, že se střídajícími se ročními obdobími se mění kvantita srážek, délka dne nebo teplota vzduchu. Pozorovali i to, že čím větší náklad nesou, tím je těžší nebo naopak, že ne všechny objekty stejné velikosti jsou rovnocenně těžké. Postupně zjišťovali, že čím větší stádo mají, tím větší pastvu jim je nutné poskytnout a podobně. S přibývajícími a prohlubujícími se poznatky vyvstala potřeba získaná data nějakým způsobem zapisovat, předávat dál a následujícím generacím tak poskytnout možnost určité jevy předvídat a vyvarovat se chybám. V dnešní době se nejen tyto jevy zaznamenávají nejčastěji pomocí tabulek, grafů a diagramů, jež jsou součástí našeho běžného života. Setkáváme se s nimi téměř denně ať už v tisku, na internetu nebo v práci. Pozorování okolního světa a vnímání jevů je navíc přirozené a důležité pro děti už útlého věku. Skloubením problematiky žáků a grafického znázornění dat tak mohlo vzniknout téma práce: Tabulky, grafy a diagramy v matematice 1. stupně ZŠ. Stěžejním cílem diplomové práce je vytvoření souboru úloh různé obtížnosti, ve kterých jsou údaje zaznamenány pomocí tabulek, různých typů grafů a diagramů. Výzkumem v pátém ročníku základní školy pak ověřit, jak žáci s úlohami dovedou pracovat a jaká je jejich schopnost vytvořit vlastní graf z reálných údajů, které samostatně zjistí. Na základě studia odborné literatury pak shrnout teoretické poznatky týkající se typů grafů, vymezit téma v kurikulárních dokumentech a vybraných řadách učebnic pro základní školy. Výzkum uskutečněný na ZŠ Dolní Čermná je smíšeného typu, úspěšnost řešení jednotlivých úloh je vyjádřena kvantitativně, analýza způsobu řešení jednotlivých žáků je formou kvalitativního výzkumu. Užitými metodami jsou konkrétně analýza prací, participační pozorování, interview a práce s videozáznamem. Práce je rozdělena na dvě části- teoretickou a praktickou. V teoretické části se práce zaměřuje na samotné grafy a diagramy, jejich typy a části, dále na obsažení tématu v Rámcovém vzdělávacím programu a učebnicích pro základní školy. V neposlední řadě se teoretická část zabývá mezinárodním šetřením TIMSS a metodě práce s videozáznamem, jež byly přínosem při tvorbě souboru úloh a samotném výzkumu. Hlavním přínosem práce je pak praktická část, jež obsahuje nejen soubor úloh, ale i stručný popis každé úlohy, analýzy vybraných žákovských řešení s ukázkami a přepisy rozhovorů nahraných na kameru. 7

8 I. TEORETICKÁ ČÁST 1 Grafy a diagramy 1.1 Vymezení pojmů Grafy a diagramy jsou dozajista součástí našeho běžného života. Běžně se s nimi potkáváme ať už v různých odborných pracích, článcích, prezentacích či knihách aniž o tom přemýšlíme. Porozumět těmto znázorněním nám většinou nečiní problémy. Ale co to vlastně grafy a diagramy jsou? A jaký je mezi těmito pojmy rozdíl? Walkenbach (2009, s. 25) uvádí, že grafy jsou vizuálním znázorněním číselných hodnot. Hlavní výhodou dobře zpracovaného grafu je podle něj hlavně to, že získaná data jsou zpracována do obrázku, kterým se čísla, normálně zapsaná například v tabulce, stanou přehlednými a srozumitelnými. Díky tomuto znázornění dat máme možnost vypozorovat skutečnosti, které by bylo z tabulky velmi obtížné vyčíst. Novými zjištěními mohou být především vazby mezi daty, jež jsou touto vizuální prezentací lehce čitelné a uplatnitelné například při prezentaci výsledků. Již v nadpisu jsou uvedeny oba pojmy graf a diagram. Rozdíl mezi nimi je však v rámci této práce téměř zanedbatelný. Torbert (2011) říká, že všechny grafy lze považovat za diagramy, ne všechny diagramy jsou ale zároveň grafy. Diagramem je i grafické znázornění děje, tedy například znázornění postupu práce nebo vysvětlení principu chodu konkrétního stroje. Známý je rovněž Vennův diagram znázorňující překrývající se množiny a mezi diagramy patří i v dnešní době moderní myšlenkové mapy. Většinu zmíněných diagramů lze lehce sestavit i pomocí programů Microsoft Office. Grafy jsou pak využívány především pro zpracování statistických dat a závislostí. Na základě výše zmíněného lze konstatovat, že v mé práci se vyskytují pouze takové diagramy, které patří mezi grafy. Z tohoto důvodu jsou oba termíny v práci užívány volně a nejsou vnímány jako rozdílné. 8 Obrázek 1: Vennův diagram

9 1.2 Části grafu Při vlastní tvorbě grafů je dobré alespoň zběžně znát jeho části proto, abychom si ulehčili a zrychlili práci při jeho nastavování a úpravách. Franců (2005, s ) je popisuje následovně. Obraz datového bodu představuje znázornění dané hodnoty v grafické podobě. U jednotlivých typů grafu má tento obraz jinou podobu. Tou je například sloupec u grafu sloupcového, pruh u pruhového, výseč u výsečového atd. Datovou řadou souhrnně nazýváme takové datové body, které spolu souvisejí a používají stejné značky. Téměř u každého typu grafu lze použít více než jednu datovou řadu s výjimkou grafu výsečového, který dokáže zobrazit datovou řadu pouze jednu. Osy udávají rozměr a měřítko grafu. U dvourozměrného sloupcového a pruhového grafu jsou osy dvě, pokud zvolíme prostorovou variantu, znázorňují se osy tři. Osy grafu se v případě výsečového grafu nezobrazují. Názvy kategorií jsou obvykle zobrazovány jako údaje, které jsou zapsány ve výchozí tabulce, je však možné s nimi dál pracovat a měnit je. Dále je na nás, abychom se rozhodli, na jakém místě budou názvy kategorií zobrazeny. Názvy datových řad jsou zobrazeny v legendě a stejně jako názvy kategorií se většinou shodují s údaji zapsanými v tabulce. Název bývá zapsán v legendě spolu s ukázkou grafického znázornění. Legenda určuje barevné či vzorkové rozlišení daných datových řad nebo kategorií grafu. Značky a mřížky jsou prvky, které nám umožňují číst data z grafu přesně. Značky jsou čárky, které protínají osy v pravidelných rozestupech. Vedle hlavních značek jsou zobrazeny hodnoty. Lze nastavit i značky vedlejší, které jsou pouze pomocné pro lepší odhad hodnoty. Mřížky jsou dlouhé rovnoběžné čáry s osami grafu, pomáhají nám při odčítání údajů z grafu. Stejně jako u značek mohou být hlavní a vedlejší. Je na našem zvážení, zda jsou v konkrétním grafu užitečné a nepůsobí rušivě. Texty v grafu jsou volitelnými položkami, které můžeme doplňovat a upravovat. Patří mezi ně například popisy jednotlivých os, nadpis grafu nebo popisky datových hodnot. Popisy a šipky v textovém poli využijeme v případě, kdy potřebujeme zdůraznit některé hodnoty. 9

10 1.3 Typy grafů Jedním z prvních problémů na které při tvorbě grafu narazíme, je výběr toho správného typu. Ne všechny se totiž musí hodit pro znázornění naší konkrétní situace. Musíme si uvědomit, na co chceme grafickým znázorněním přesně poukázat a zda má výsledný graf patřičnou vypovídající hodnotu. Možným postupem při řešení této situace je pak tvorba různých typů grafů z jednoho souboru dat, následné vyhodnocení a výběr toho nejvhodnějšího. V této kapitole uvádím výčet často používaných tradičních typů grafů a digramů, které lze vytvořit pomocí běžně používaných softwarů (v případě této práce Microsoft Excel). Podrobněji popisuji ty, které jsou z mého pohledu důležité. Přihlížím k uplatnitelnosti daných typů grafů a diagramů ve výuce žáků na prvním stupni základní školy a tedy i k tomu, zda jsem je v praktické části práce použila Sloupcový graf Podle Walkenbacha (2009, s ) je sloupcový typ grafu (Eiblová, (2010) užívá termín sloupkový) jedním z nejčastěji používaných, přičemž základem je to, že každý bod řady je zobrazen jako sloupec. Výška sloupce pak odpovídá hodnotě daného bodu. Sloupcový graf je možné vykreslit i pro více datových řad, přičemž body těchto řad jsou skládány na sebe nebo vedle sebe a obvykle jsou odlišeny barvou, kterou uživatel může libovolně měnit. Jak je již naznačeno výše, existuje velké množství dílčích typů sloupcového grafu. Je pouze na našem uvážení, jaký se pro konkrétní situaci hodí a vyhovuje naší představě. Při tvorbě sloupcového grafu můžeme zvolit, zda sloupce budou znázorněny pomocí běžného sloupce nebo kvádru, kužele či jehlanu v trojrozměrném zobrazení. Existuje i tzv. prostorový graf, který má tři osy, osa řady slouží vždy k vyjádření kategorie, znázornění číselné hodnoty nedokáže. Další nevýhodou prostorového grafu je i to, že je v něm těžší přesné srovnávání údajů z toho důvodu, že mnohdy jsou některé zadní sloupce zakryté. Tento nedostatek však často lze vyřešit správným natočením grafu. Dále je pak pouze na nás, jestli potřebujeme graf vykreslit pro jednu, nebo více datových řad a zda na ose chceme mít data vyjádřena pomocí číselných hodnot, či v procentech. Výběr typu grafu se rozšiřuje i tím, že jednotlivé typy lze kombinovat (například skládaný válcový vyjádřený v procentech). 10

11 Prodej zboží Prodej zboží Region 1 Region Leden Únor Březen Duben Květen Červen Region 1 Region 2 Graf 1: Skupinový sloupcový Graf 2: Prostorový sloupcový Prodej zboží 100% Prodej zboží % 0 Region 2 0% Region 2 Region 1 Region 1 Graf 3: Skládaný sloupcový Graf 4: 100% skládaný kuželový Sloupcový graf je nejvíce zastoupeným typem v soboru úloh, vyskytuje se konkrétně v úlohách 1, 3, 4, 5, 7, 11, 16 a 18. Většina z nich je zpracována tím způsobem, že údaje jsou zobrazeny pomocí číselných hodnot v sloupcové plošné variantě, liší se pouze číselné jednotky osy. V úloze 18 se nachází graf, který zobrazuje dvě datové řady Pruhový graf Pruhový graf lze vnímat jako graf sloupcový, který je otočený o 90 po směru hodinových ručiček. I z tohoto důvodu se můžeme setkat s termíny, které používají především internetové zdroje. Je to termín graf pruhový vertikální pro sloupcový graf a pruhový horizontální pro graf pruhový. V nabídce Microsoft Excel navíc můžeme najít označení vodorovný graf. V této práci se budu držet termínů sloupcový a pruhový graf. Problematikou rozdílu mezi zmíněnými grafy sloupcovým a pruhovým se zabývám v praktické části, konkrétněji v úloze 4. Pruhový graf se dále vyskytuje i v úlohách 3 a 13. Souhlasím s názorem Walkenbacha (2009, s. 53), který uvádí hlavní výhodu pruhového oproti sloupcovému, kterou je podstatně lepší čitelnost zejména delších popisků kategorií, protože v případě tohoto typu grafu je pro popisek podstatně více místa, viz graf 5 11

12 a 6. Franců (2005, s. 42) navíc říká, že pruhový graf je vhodnější pro vyhodnocování anket, či srovnávání výsledků výzkumu. Pruhový graf má ale z důvodu pouhého natočení srovnatelnou vypovídající funkci jako graf sloupcový. Stejně jako u předchozího typu i zde existuje mnoho dílčích typů pruhového grafu. Výběr se víceméně shoduje s typy předchozího grafu sloupcového. Uživatel může zvolit, zda graf bude běžný skupinový, skládaný, kuželový, jehlanový, či s prostorovým efektem a dále také to, jestli pruh bude znázorněn v procentech, či nikoliv. Jediný dílčí typ, který v pruhovém typu grafu nelze vytvořit, je prostorové zobrazení na třech osách. Výsledky dotazníku Nejsem spokojený s výběrem polévek. Jídlo mi nestačí, porce jsou malé. Nabídka jídel je velmi omezená. Přeji si zařadit více sladkých jídel. Jídlo mi vždy chutná. Souhlasím Nedokážu posoudit Nesouhlasím Výsledky dotazníku Graf 5: Skládaný pruhový Nejsem spokojený s výběrem Jídlo mi nestačí, porce jsou malé. Nabídka jídel je velmi omezená. Nesouhlasím Nedokážu posoudit Souhlasím Přeji si zařadit více sladkých Jídlo mi vždy chutná Graf 6: Skupinový vodorovný válcový bez mřížky 12

13 1.3.3 Výsečový graf Nejprve je důležité vymezit si běžně užívané označování tohoto typu grafu, které se může zdát komplikované. Walkenbach (2009) i Franců (2005) ve svých publikacích užívají termín výsečový graf, ve Standardech pro základní vzdělávání (Dvořáková, 2013) nebo v učebnicích nakladatelství Nová škola (Novotný, 2016) je používán termín kruhový diagram a Mullis (2017) pracuje s termínem graf (případně diagram) koláčový. Různorodost v pojmenování grafu je možné sledovat i v anglickém jazyce, kde se vyskytuje termín jak kruhový- circle (Circle Graph, c ), tak koláčový- pie (Pie Chart, c ). Z důvodu jasné vizuální představy žáků na prvním stupni se mi jeví jako nejvhodnější poslední zmíněný termín koláčový. Žáci se setkávají s koláči jako pekařskými výrobky již od útlého věku, ve škole například při výuce dělení a dále se v matematice objevují i v různých slovních úlohách. Z výše zmíněných důvodů jsem se při realizaci praktické části práce rozhodla používat termín koláčový graf. Na druhé straně pro část teoretickou používám termín stejný jako autoři, ze kterých čerpám, a tím je graf výsečový. Výsečový typ grafu používáme tehdy, pokud v něm potřebujeme zobrazit poměr či podíl jednotlivých dat vůči celku. Dokáže tedy zobrazit pouze jednu datovou řadu a ani v takovém případě nelze říci, že je užití pokaždé vhodné. Walkenbach (2009, s. 58) upozorňuje, že do tohoto typu grafu není vhodné zahrnovat více než pět či šest hodnot. V opačném případě se graf stává nepřehledným a vyhodnocování se stává obtížným. Dále je důležité mít na paměti, že zadávané hodnoty by měly být vždy kladné, záporné hodnoty totiž program automaticky převede na kladné a tím se význam grafu podstatně mění a ztrácí vypovídající hodnotu. I výsečový graf nabízí řadu dílčích typů, mezi které patří možnost nastavení prostorového efektu, možnost oddělení jednoho nebo více kousků koláče od celku pro jeho zdůraznění, vyjádření poměru jednotlivých dat v procentech nebo nastavení takového grafu, že jedna část koláčového grafu je rozdělena na další výsečový nebo sloupcový graf. V takovém případě se dá mluvit o tzv. druhotném grafu, který podrobně popisuje právě jednu vybranou část dalším grafem. 13

14 Výdaje na výlet strava ubytování doprava ostatní 9% 13% 28% 50% Výdaje na výlet strava ubytování doprava ostatní Graf 7: Rozložený výsečový v procentech Graf 8: Výsečový s prostorovým efektem Za zmínku znovu stojí téma užití prostorového znázornění, které může být při nesprávném zacházení problematické u všech typů grafu. Konkrétně u výsečového je nutné promyslet a vyzkoušet si natočení a případné oddělení jednotlivých částí, v případě špatného nastavení graf ztrácí vypovídající hodnotu a data se pozorovateli mohou jevit zkresleně. Koláčové grafy se v souboru úloh vyskytují v úlohách 2, 3, 6, 9 a Spojnicový graf Walkenbach (2009, s. 55) říká, že spojnicové grafy jsou užitečné především v případě, kdy potřebujeme zobrazit souvislá data a sledovat určitý trend. Z toho vyplývá, že spojnicový graf není vhodný pro všechny druhy údajů a to především takových, které vzájemně nesouvisí. Například zobrazení počtu žáků ve třídě s danou barvou vlasů by bylo nevhodné z toho důvodu, že výsledný graf nemá za cíl sledovat vývojový trend v určitém časovém rozmezí. Funkcí grafu je pouze grafické znázornění hodnot jednotlivých kategorií, jejichž pořadí navíc můžeme libovolně zaměnit. Graf je vykreslen pomocí bodů, které jsou propojeny čarou. Uživatel může zvolit barvu, styl čáry a značky bodů, což umožňuje zobrazení velkého množství datových řad do jednoho grafu. Znovu je možné vybrat z dílčích typů grafu, přičemž některé lze kombinovat. Těmito typy jsou běžný spojnicový graf, spojnicový graf se skládanými řadami, graf s datovými značkami, možnost zobrazení hodnot v procentech či v prostorové variantě. Tento typ grafu se v souboru úloh vyskytuje konkrétně v úloze 12. Záznam naměřené teploty může být považován za jednu z příkladových ukázek použití spojnicového grafu, protože sleduje vývoj situace. 14

15 počet žáků Absence žáků Řady dny Graf 9: Spojnicový počet žáků Absence žáků dny Graf 10: Prostorový spojnicový Ostatní typy grafů V této podkapitole se věnuji dalším typům grafů, které popisuje Walkenbach (2009, s ). Běžně dostupné programy nabízí jejich tvorbu, ale z pohledu zaměření mé práce nepatří mezi ty základní. V rámci své praktické části práce jsem je nevyužila z toho důvodu, že pro žáky pátých tříd jsou prozatím příliš obtížné a nedůležité. Prstencový graf se podle Walkenbacha (2009, s ) na první pohled podobá grafu výsečovému. Rozdíl je v tom, že prstencový graf je schopen zobrazit více datových řad, které jsou v něm znázorněny jako souřadné prstence. Jednotlivé datové řady pak určuje legenda. Uživatel dále může ručně přidat šipky a popisky datových řad pro přehlednost, samotný program (Microsoft Excel) prozatím označení řad automaticky nenabízí. Druhým rozdílem oproti výsečovému grafu je to, že prstencový graf má uprostřed díru. Je nutné řádně promyslet vhodnost užití tohoto typu grafu zejména z toho důvodu, že díly jednotlivých prstenců jsou odlišné. Vnější prstenec je větší a tím se jeho části mohou zdát jako poměrově významnější 15

16 než u prstence vnitřního. Proto je někdy vhodné zvážit jiný typ grafu, který je schopný myšlenky vyjádřit srozumitelněji. XY bodové grafy jsou od ostatních grafů odlišné v tom, že žádná z os nezobrazuje kategorie, ale obě zobrazují hodnoty. Bývají tedy používány k znázornění vztahu mezi dvěma proměnnými. Nevýhodou je, že nedokážou zobrazit například časovou posloupnost údajů. Do XY bodového grafu je možné vložit spojnici trendu, čímž se graf může zdát vizuálně podobný spojnicovému typu. Pomocí povrchového grafu jsou data z dvou či více datový řad vykreslena jako prostorový povrch. Je však důležité zmínit, že graf nedokáže zobrazit prostorové body řady, ale pracuje jako ostatní prostorové grafy- osa datové řady je pouze osou kategorie, nikoliv osou hodnot. Bublinový graf lze chápat jako vylepšený XY bodový graf, který je schopen vyjádřit o jednu datovou řadu více pomocí velikosti bublin. Pro některé z nás však může být nesnadné přesně posoudit velikost bublin. Už z názvu burzovní grafy vyplývá, že se tento typ využívá především pro zobrazení přesných burzovních dat. Většinou se používá tři až pět datových řad a pro práci s žáky na prvním stupni základní školy je považuji za nevhodné. Plošný graf je možné chápat jako spojnicový graf, který má část pod spojnicí zabarvenou. V případě užití prostorové varianty je nutné zvážit natočení grafu tak, aby všechna data byla čitelná. Paprskový graf funguje na principu zobrazení každé datové řady na vlastní osu, která směřuje ze středu ven, přičemž na dané ose je zobrazena vždy hodnota odpovídající řady. Výsledné grafické zobrazení připomíná pavučinu, a proto se domnívám, že pro žáky prvního stupně by mohl být vizuálně zajímavý. Kombinovaný graf spojuje dva různé typy grafů do jednoho, přičemž každou datovou řadu zobrazuje typ jiný. Při vhodném výběru jednotlivých částí je tento typ grafu na pohled velmi působivý. Posledním zmíněným typem grafu je histogram, jenž se řadí mezi grafy sloupcové. Skládá se ze stejně širokých sloupců, které vyobrazují intervaly, do nichž jsou zobrazovaná data rozčleněna. Výšku sloupce pak určuje četnost výskytu dat v daném intervalu. 16

17 2 Kurikulární dokumenty Téma tabulek grafů a diagramů je dozajista nepostradatelnou součástí výuky matematiky na prvním stupni základních škol, a proto je zakotveno i v závazných dokumentech pro všechny školy na území České republiky. Pro systém vzdělávání v České republice je v současné době charakteristická tvorba vzdělávacích programů na více úrovních. Průcha (2003, s. 110) připouští užití termínu kurikulum. Často se tedy můžeme setkat i s pojmem kurikulární dokumenty. Na státní úrovni je zpracován Rámcový vzdělávací program (dále RVP), na jehož základě konkrétní školy různých stupňů a zaměření vytváří vlastní Školní vzdělávací programy, které musí být ve shodě s výše postaveným dokumentem, tedy s již zmiňovaným RVP (Rámcové vzdělávací programy, c ). Vzhledem k zaměření práce se věnuji pouze Rámcovému vzdělávacímu programu pro základní vzdělávání (dále RVP ZV). RVP ZV navazuje na RVP pro předškolní vzdělávání a konkretizuje klíčové kompetence, jejichž rozvíjení je důležité pro správný rozvoj žáků, a vzdělávací obsah, který určují očekávané výstupy a učivo. Zároveň zařazuje průřezová témata, jež mají být nedílnou součástí vzdělávání (RVP ZV 2016, s. 6). RVP ZV (2016) vymezuje celkem 6 klíčových kompetencí, které představují souhrn vědomostí, dovedností, schopností, postojů a hodnot důležitých pro osobní rozvoj a uplatnění každého člena společnosti. (RVP ZV 2016, s. 11) Konkrétně se jedná o tyto kompetence: - kompetence k učení - kompetence k řešení problémů - kompetence komunikativní - kompetence sociální a personální - kompetence občanské - kompetence pracovní Ty jsou následně systematicky rozvíjeny nejen v matematice, ale i ve všech ostatních předmětech po celou dobu vzdělávání žáků na základní škole. Vzdělávací obsah základního vzdělávání je rozčleněn do devíti vzdělávacích oblastí, každá oblast pak obsahuje jeden, nebo více vzdělávacích oborů, které jsou dále rozčleněny do tematických okruhů. 17

18 Pro téma práce je stěžejní vzdělávací oblast Matematika a její aplikace a stejnojmenná vzdělávací oblast, která je na prvním stupni dále rozčleněna do čtyř tematických okruhů, kterými jsou: - Číslo a početní operace - Závislosti, vztahy a práce s daty - Geometrie v rovině a prostoru - Nestandardní aplikační úlohy a problémy Fuchs (2015, s. 5) se zamýšlí nad nevýhodami zavedení tohoto systému, ve kterém je školám nabízena značná volnost při tvorbě školních vzdělávacích programů. Rozdílností vytvořených školních programů je zapříčiněna nesrovnatelnost úrovně absolventů jednotlivých stupňů vzdělávání. Z výše zmíněného důvodu v roce 2010 vyvstal problém při plánovaném plošném testování žáků základních škol proto, že tehdejším RVP nebyla jednotně stanovena úroveň znalostí a dovedností žáků. Na základě těchto nejasností začaly vznikat Standardy pro základní vzdělávání pro vzdělávací obory Český jazyk a literatura, Cizí jazyk a Matematika a její aplikace, které si našly uplatnění i po ukončení testování a od roku 2013 se staly závaznou přílohou RVP ZV stanovující tzv. minimální úroveň, která konkretizuje očekávané výstupy na konci 3., 5. (první a druhé období prvního stupně) a 9. třídy základní školy. Minimální úroveň je pak určována pomocí indikátorů, které jsou dokresleny na ilustrativních úlohách. V návaznosti na Standardy pro základní vzdělávání Matematika a její aplikace (Dvořáková, 2013) vznikl ještě podrobnější materiál, který reaguje na upozornění učitelů (dále také jako Standardy). Ti Standardům vytýkali zaměření pouze na očekávané výstupy RVP na minimální úrovni, chybějící metodické návody či návody pro práci s žáky se specifickými potřebami. Všechny výše zmíněné připomínky byly zapracovány do Metodických komentářů ke Standardům pro základní vzdělávání (Fuchs, 2015), jež byly i mně osobně při vypracovávání této práce značným přínosem a rádcem zejména při tvorbě úloh a následném vyhodnocování řešitelských postupů. 18

19 2.1 Tabulky, grafy a diagramy v kurikulu ČR V této kapitole se podrobněji zabývám těmi částmi RVP a jemu příslušným Standardům, které se týkají tématu tabulek, grafů, diagramů a žáků prvního stupně základní školy RVP ZV Tabulky, grafy a diagramy podle RVP ZV (2016) patří do vzdělávací oblasti Závislosti, vztahy a práce s daty. Charakteristickým rysem celé vzdělávací oblasti je, že matematika v základním vzdělávání má být založena na reálných situacích, což i pro mou vlastní tvorbu úloh bylo stěžejní. Tematický okruh Závislosti, vztahy a práce s daty je v RVP ZV (2016) charakterizován následovně. Žáci rozpoznávají určité typy změn a závislostí, které jsou projevem běžných jevů reálného světa, a seznamují se s jejich reprezentacemi. Uvědomují si změny a závislosti známých jevů, docházejí k pochopení, že změnou může být růst i pokles a že změna může mít také nulovou hodnotu. Tyto změny a závislosti žáci analyzují z tabulek, diagramů a grafů, v jednoduchých případech je konstruují a vyjadřují matematickým předpisem nebo je podle možností modelují s využitím vhodného počítačového softwaru nebo grafických kalkulátorů. Zkoumání těchto závislostí směřuje k pochopení pojmu funkce. (RVP ZV 2016, s. 32) RVP ZV (2016, s ) dále uvádí očekávané výstupy, minimální doporučenou úroveň a učivo. Tématu tabulek, grafů a diagramů se dotýkají tyto body: Očekávané výstupy 1. období - M popisuje jednoduché závislosti z praktického života - M doplňuje tabulky, schémata, posloupnosti čísel Minimální doporučená úroveň - M p doplňuje jednoduché tabulky, schémata a posloupnosti čísel v oboru do 20 Očekávané výstupy 2. období - žák M vyhledává, sbírá a třídí data - M čte a sestavuje jednoduché tabulky a diagramy 19

20 Minimální doporučená úroveň - M p vyhledá a roztřídí jednoduchá data (údaje, pojmy apod.) podle návodu - M p orientuje se a čte v jednoduché tabulce Učivo: diagramy, grafy, tabulky, jízdní řády Standardy pro základní vzdělávání Standardy (Dvořáková, 2013, s ) určují již zmiňované indikátory nastavené na minimální úroveň pro 5. ročník ZŠ. Žák by měl být schopen například provést a zapsat jednoduchá pozorování, porovnávat data dle kritéria, posuzovat reálnost zjištěných údajů, do připravené tabulky nebo diagramu doplnit údaje a umět v tabulce či diagramu vyhledat data. Indikátor, který je pro práci stěžejní, udává, že žák vyhledá údaje z kruhového a sloupcového diagramu bez použití procent. Z důvodu nastavení indikátorů na minimální úroveň, jsem do souboru úloh zařadila navíc diagram pruhový a spojnicový. Z mého pohledu je důležité podotknout, že tematickému okruhu Závislosti, vztahy a práce s daty je ve Standardech věnována pozornost pouze ve dvou ilustračních úlohách, z nichž ani jedna se nevěnuje přímo diagramům. První vyjadřuje data pomocí tabulky, druhá rovněž pouze s tím rozdílem, že se jedná o informační tabuli s příjezdy vlaků Metodické komentáře ke Standardům pro základní vzdělávání Oproti Standardům (Dvořáková, 2013) Metodické komentáře (Fuchs, 2015, s ) se tematickému okruhu Závislosti, vztahy a práce s daty věnují pozorněji. Je v nich zdůrazňováno, že se závislostmi a vztahy se děti nevědomě setkávají již v raném věku při hrách či běžných činnostech jako je přiřazování či rozdělování objektů nebo provádění úkonů v daném pořadí. Tím se formuje funkční myšlení, které se během základního vzdělávání již záměrně dále rozvíjí a prohlubuje zejména při počítání po jedné nebo při práci s tabulkami sledováním závislostí součtu na velikosti sčítanců či součinu na velikosti činitelů, přímé a nepřímé úměrnosti veličin. (Fuchs, 2015, s. 42) Během základní školy se tak u žáků postupně rozvíjí propedeutika pojmu funkce jako závislosti dvou nebo více proměnných, se kterou se v matematice později pracuje hlouběji. Pro první stupeň ZŠ Metodické komentáře učitelům doporučují, aby žáky vedli k vnímání závislostí a změn v běžném prostředí, které jim je blízké. Následně jim ukázali, jak tyto jevy lze matematicky zapsat a případně dále využít. Prozatím se nezavádí pojem proměnná a funkce, učitelé by však měli používat takové úlohy a aktivity, které k pojmům 20

21 směřují. Vhodné je například doplňování čísel podle zadaných pravidel (sčítací pyramidy, magické čtverce aj.) či různé druhy číselných tabulek (na kterých je se staršími žáky možné pozorovat přímou úměrnost). Výhodou je, že většinu těchto aktivit je možné použít už od první třídy Obrázek 2: Magický čtverec Co se týče přímé práce s grafy a diagramy, Fuchs (2015, s. 45) zdůrazňuje, že žák by měl umět diagramy použít k řešení různých situací. Měl by se v nich orientovat, číst je a sestrojit s důrazem na to, abychom nezapomínali na úlohy, ve kterých žáci sami měří hodnoty, a poté je zpracují. Výhodou vlastních naměřených údajů (například měření teplot během týdne ve stejný čas) je, že žáci mohou zjistit, že ne všechny údaje mají jednoduchou závislost nebo pravidlo. Žákovská měření rovněž pozitivně formují představu praktického využití grafů a diagramů. Materiál obsahuje několik ukázek aktivit pro rozvoj funkčního myšlení a 9 ilustrativních úloh pro žáky 5. tříd s možnými řešeními a metodickým komentářem. U každé ilustrativní úlohy je uvedena obtížnost, rozlišují se 3 úrovně- minimální, optimální, excelentní. Vedle grafu sloupcového a kruhového se zde navíc objevuje i graf spojnicový v úloze nesoucí označení excelentní obtížnosti. 2 Učebnice pro 1. stupeň ZŠ Do kontextu tabulek, grafů a diagramů a žáků prvního stupně základní školy neodmyslitelně spadají učebnice matematiky, které jsou většinou hlavní pomůckou ve výuce. Pojetí tématu a prostor, který mu učebnice věnují, se pak odráží v tom, do jaké míry jsou žáci s tabulkami, grafy a diagramy seznámeni. Rozhodla jsem se tedy nahlédnout do několika ucelených řad učebnic (učebnice a jim příslušné pracovní sešity) různých nakladatelství od prvního do pátého ročníku základní školy. Zaměřila jsem se nejen na přímou práci s grafy, ale i na kroky, jež porozumění grafům předchází, tedy například práce s číselnou osou, jednoduchou tabulkou, sběr dat atd. 21

22 V této kapitole učebnice porovnávám a na závěr nabízím vlastní názor na optimální zastoupení a rozložení tématu v učebnicích. Konkrétně to jsou nakladatelství Alter, Nová škola s.r.o. (Matýskova matematika), Prodos spol. s.r.o., SPN - pedagogické nakladatelství, a.s. (dále jen SPN) a Fraus s.r.o. (metoda profesora Hejného). Všechny zmiňované řady učebnic jsou zpracovány v souladu s RVP ZV a mají platné doložky (Schvalovací doložky učebnic, MŠMT ČR, 2017). Měly by tedy s tématem tabulek, grafů a diagramů pracovat tak, aby zajistily adekvátní prostor pro naplňování očekávaných výstupů RVP ZV. 2.1 Alter V učebnicích pro první ročník (Landová, ) se ještě nedá hovořit o práci s diagramy. Vyskytuje se zde řada jednoduchých tabulek pro zápis výsledků, na kterých lze později pozorovat přímou úměru. Pro porozumění většině grafů je stěžejní práce s číselnými osami. Ty jsou v této řadě učebnic ve značné míře zařazeny již zde, některé z nich jsou neúplně popsané. Ve druhém ročníku (Landová, , Eichlerová, 2011) autorky pokračují v práci s číselnými osami a grafickým znázorňováním. Žáci navíc zapisují údaje z textu, či výsledky příkladů do tabulky. Dalším zajímavým typem úlohy stavějící základy porozumění grafům a diagramům je zápis hodnoty do čtvercové sítě, který vizuálně připomíná pruhový diagram. Blažková (2010a) mezi úlohy pro třetí ročníky zařazuje obtížnější tabulky, dělení koláčů na třetiny a čtvrtiny a především dvojstranu věnovanou diagramům sloupcového a pruhového typu zakreslených ve čtvercové síti, kde jeden čtverec představuje danou hodnotu. Mezi úkoly pak patří zapsat údaje z diagramů do tabulky a sestavit diagram na nabízené nebo vlastní téma. Učebnice pro čtvrtý ročník (Blažková, 2010b) pokračují v gradaci obtížnosti práce s tabulkami, číselnými osami nebo dělení koláčů na části. Stěžejní jsou zde úlohy, které se přímo věnují práci s diagramy. Objevuje se jich poměrně hodně (dokonce sloupcový graf znázorňující dvě datové řady) a většinou jsou zařazeny do tematických bloků. Mezi témata patří počty žáků ve škole, měření teplot či vývoj váhy jednotlivce. Pomocí sloupcového diagramu je zobrazena přímá úměra a důraz je kladen i na sestavování vlastních diagramů. Justová (2010) v pátém ročníku navazuje na systém nastavený předchozími díly řady. Jsou zde zpracována zajímavá praktická témata jako věkové zastoupení obyvatelstva, naměřené teploty, návštěvnost podniků či podnikání a jeho statistiky. Zastoupeny jsou různé typy grafů- sloupcový, koláčový i spojnicový. Výrazný prostor je věnován přímé úměrnosti, 22

23 která je často doprovázena grafem, operuje se s termínem závisle/nezávisle proměnná. Navíc je v rámci geometrie zařazeno téma souřadnic bodů, v němž je sestavován bodový graf. 2.2 Nová škola Matýskova matematika pro první třídu (Novotný, 2013) obsahuje čárkovací metodu, různé formy znázorňování do připravených tabulek, stavby z kostek připomínající sloupcový diagram také tím, že žáci na nich počítají jednotlivé sloupce, práci s neúplně označenou osou nebo s osou s jednotkou větší než 1. Práce s číselnou osou žáky provází až do ročníku pátého s postupnou gradací. Vedle dělení koláče na části se v učebnicích pro druhou třídu (Novotný, 2013) vyskytuje zaznamenávání údajů do čtvercové sítě, čímž vzniká pruhový graf. Ten většinou slouží jako grafický podklad pro porovnávání údajů. Ve třetím ročníku se Novotný (2013) zaměřuje na práci se zlomky, v rámci tohoto tématu je věnována celá strana koláčovým grafům. Často zastoupeným typem cvičení je i nadále zvýrazňování slovních úloh na číselné osy, čímž vznikají pruhové grafy. Novotný (2015) v učebnicích pro čtvrtý ročník pokračuje v práci s číselnými osami, u nichž přidává záporná čísla, u zlomků znázorněných jako koláče využívá procenta. Z grafů se několikrát objevuje sloupcový, dále pruhový, koláčový a dokonce i spojnicový. Tématu je věnována celá kapitola, která se nazývá Grafy a diagramy. Hned na začátku je následující popis: Diagramy i grafy jsou grafická znázornění údajů. Znázorňujeme do nich údaje, které potřebujeme porovnat. Existuje mnoho typů grafů a diagramů. (Novotný, 2017, s. 64) Nepracuje se zde s názvy typů grafů, ale pouze s pojmem grafické znázornění. V kapitole jsou 4 úlohy a každá z nich pracuje s jiným typem. V počtu zastoupených grafů učebnice pro pátý ročník (Novotný, 2016) nemá mezi srovnávanými řadami konkurenci. Obsahuje nespočet úloh se všemi čtyřmi typy grafů (sloupcový, pruhový, koláčový, spojnicový). Autor věnuje grafům vlastní kapitoly Diagramy a grafy v níž uvádí názvy jednotlivých grafů, pro graf pruhový používá termín sloupcový, pro koláčový kruhový. Diagramy se však neobjevují pouze v této kapitole, ale jsou rovnoměrně rozmístěny po celé učebnici. Úlohy směřují přes zaznamenání údajů v tabulce do grafu i opačným směrem, tedy z grafu do tabulky. Grafy se většinou zakreslují do předem připraveného prostoru s osami a mřížkou. Obtížnosti některým úlohám přidává zobrazení až tří datových řad najednou v sloupcovém i spojnicovém grafu nebo výpočet průměru. Co se týče témat, tak jsou velmi různorodá, poměrně velká část je věnována jednotkám (hodnoty 23

24 teplot jsou i záporné) či tématu finanční gramotnosti, objevují se však i jednoduché náměty jako počet obyvatel v zemích nebo žáků ve třídě. 2.3 Prodos Učebnice pro první ročník (Molnár, 2006) obsahují jednoduché tabulky, schémata, číselné osy, počítání objektů a jejich následné zaznamenání čárkovací metodou. Úloha, která vizuálně může předcházet sloupcovému grafu, je stavba, kde žáci počítají počet kostek ve sloupci. Již do druhého ročníku Molnár (c2007a) zařazuje sloupcový graf, který žáci dokreslují podle údajů v tabulce. Dále se často objevují úlohy pracující se znázorňováním příkladů na číselnou osu či doplňování údajů do složitějších tabulek. V třetím ročníku (Molnár, c2007b) pokračuje v práci s číselnými osami a také tabulkami, kterých však není tolik, jako v jiných řadách. Čtvrtý ročník (Molnár, 2008) nabízí práci se souřadnicemi bodů, dělení koláče na části, více složitějších tabulek nebo číselné osy. Objevuje se zde hned několik úloh na doplňování sloupcových diagramů s mřížkou podle tabulek. Většinou se jedná o poměrně složité úlohy. V jedné z nich žáci vyznačují výdaje za domácnost. Ve sloupci musí barevně odlišit kolik peněz zbylo/chybělo a sestavují tak skládaný sloupcový graf. V pátém ročníku (Molnár, c2008) se objevuje sloupcový, koláčový a spojnicový graf, z nichž některé zaznamenávají více datových řad najednou. Učebnice grafům věnuje celou kapitolu nazvanou Grafy a jako jediná zařazuje tvorbu koláčového grafu, v němž jsou předem graficky naznačeny dílky. Proces tvorby pak pro žáky není neadekvátně složitý. Dále jsou zde náměty pro vlastní měření a následnou tvorbu grafu či vyhledávání grafů v tisku a okolí žáků, což zprostředkovává lepší náhled na reálné uplatnění grafů. Dále se často pracuje se soustavou souřadnic a přímou úměrou zakreslovanou do grafů. Celkově pátý ročník grafům a diagramům věnuje nejvíce prostoru a nabízí řadu zajímavých námětů. Zaměření učebnic pro 5. třídu na grafy a diagramy dokresluje i to, že se objevují na titulní straně všech tří dílů. 2.4 SPN Úlohy v učebnicích pro první ročník (Čížková, 2007a) se podobně jako v ostatních řadách nesou v duchu doplňování jednoduchých tabulek a orientaci ve čtvercové síti, do které žáci například zakreslují počet objektů, objevuje se zde čárkovací metoda záznamu údajů. 24

25 Čížková (2007b) navazuje na učebnici pro první ročník, přidává neúplně popsanou číselnou osu a dělení koláče na poloviny a čtvrtiny a ve stejném duchu bez výrazných změn pokračuje i v učebnici pro třetí ročník (Čížková 2008). Poprvé se žáci s grafy setkávají až v učebnici pro čtvrtý ročník (Eiblová, 2010) v rámci kapitoly Práce s daty, a to konkrétně s diagramem sloupcovým a pruhovým. Objevuje se zde úloha, kterou shledávám matoucí. V první části jsou žáci vyzýváni k doplnění nákresu čárkovací metodou podle vzoru. Ten však spíše než čárkovací metodu připomíná vybarvování políček čtvercové sítě, čímž vzniká grafická podoba pruhového grafu. Ve druhé části je ten stejný nákres označován jako diagram. Kapitola Závislosti a vztahy mezi čísly obsahuje sloupcové grafy znázorňující přímou úměru nebo další témata z běžného života. Učebnice dále věnuje celou stranu práci s daty, kde žáci sami zjišťují údaje (například délku chodidla), kterou zaznamenávají do tabulky a následně počítají aritmetický průměr. Je zde používán termín sloupkový diagram. V pátém ročníku (Vacková, 2010) je věnována velká pozornost sloupcovým grafům a výpočtům aritmetického průměru v kapitole Práce s daty. Na rozdíl od ostatních řad učebnic je zde zaváděn termín sloupkový graf. Jsou zde zpracována zajímavá témata, postrádám tu však další typy grafů. 2.5 Fraus Už v pracovní učebnici pro první ročník (Hejný, 2007-) se objevuje úloha, v níž žáci zapisují hody hrací kostkou čárkovací metodou (viz úloha č. 17 souboru úloh) a dále také doplňování různých tabulek. Ve druhém ročníku (Hejný, 2008) jsou dva bodové grafy, první zaznamenává teploty během dne, druhý růst žáka s úkolem zpracování vlastního grafu. Hejný (2009) do třetího ročníku zařazuje histogram a vývojový diagram. Žádná ze zmiňovaných řad se těmito typy diagramů podrobněji nezabývá. Učebnice pro čtvrtý ročník (Hejný, 2010) obsahuje kapitolu Práce s daty. Jsou zde sloupcové grafy (počty žáků ve třídě a jejich mazlíčci) i námět pro vlastní tvorbu grafu. V ročníku pátém pak Hejný (2011) rozšiřuje učivo o Vennův diagram a bodový graf znázorňující i několik datových řad a dále pokračuje s úlohami, které mají data znázorněna pomocí sloupcového grafu. Náměty úloh jsou žákům blízké- oblíbené předměty, sportovní výsledky atd. 25

26 2.6 Shrnutí Ve všech řadách se s tématem pracuje, avšak s rozdílnou intenzitou. Prodos a Fraus zařazují grafy do druhého ročníku, Alter a Nová škola do třetího. Z tohoto pohledu nejhůře vychází řada učebnic SPN, která obsahuje grafy až v ročníku čtvrtém a to pouze ve variantě grafu sloupcového, což považuji za nedostačující. Indikátor minimální úrovně obsažený ve Standardech navíc říká, že žák vyhledává údaje nejen ze sloupcového, ale i z kruhového diagramu (Dvořáková, 2013). Domnívám se, že zařazení tématu grafů a diagramů do učebnic nemusí být složité a nucené. Vedle celistvých kapitol věnovaných pouze tématu je možné grafy vložit do někdy jednotvárně zadávaných slovních úloh. Žákům se řešení úloh ozvláštní, získají tím další dovednosti a téma nezabírá žádný prostor navíc, protože na úlohách lze procvičovat rozmanité matematické situace. 4 TIMSS TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) je název pro mezinárodní šetření, které u žáků 4. a 8. tříd základních škol zjišťuje znalosti a dovednosti v matematice a přírodních vědách. S ohledem na zaměření této práce se zabývám především takovými aspekty a výsledky šetření, které se týkají žáků 4. tříd v matematice. Cílem zkoumání je nejen zjišťování úrovně, ale i sledování změn a vývoje výsledků. Toho je docilováno tím, že výsledky žáků čtvrtých tříd jsou při účasti v následném šetření porovnávány s výsledky těch stejných žáků v osmém ročníku (Mullis, 2017). Dále se porovnává obsah, metody a podmínky zúčastněných zemí. V neposlední řadě se zjišťuje to, co zapříčiňuje rozdíly ve výsledcích. Výsledky pak umožňují zúčastněným zemím získat kvalitní informace, které mohou pomoci při zlepšování úrovně výuky a tím i výsledků vzdělávání. Podle Najvara (2011, s. 21) největší přínos takového mezikulturně srovnávacího výzkumu spočívá v tom, že pomáhá uvědomit si specifika vlastní kultury při porovnání s jinou kulturou. Stále větší zájem o šetření dokazuje fakt, že prvního ročníku se zúčastnilo 17 zemí, toho posledního uskutečněného v roce 2015 už 57 zemí (Tomášek, 2016), v připravovaném výzkumu se očekává účast až 70 zemí z celého světa (Mullis, 2017). Česká školní inspekce uvádí vzdělávací oblasti matematiky, v nichž se u žáků 4. tříd dovednosti ověřují. Jsou to oblasti čísla, geometrie a měření, práce s daty (Česká školní 26

27 inspekce, 2012). Právě poslední uvedená oblast je pro mou práci stěžejní. Z některých uvolněných úloh, zveřejněných na webu České školní inspekce, jsem čerpala pro svou praktickou část. Mullis (2013, s ) zmiňuje význam dovednosti porozumět datům vyjádřeným v tabulkách a grafech a tím i důvod zařazení tématu do šetření TIMSS. Podle ní by žáci měli chápat, že grafy a tabulky pomáhají organizovat informace tak, abychom je byli schopni účelně srovnávat. Tato dovednost je cenná především kvůli tomu, že se s tabulkami, grafy a diagramy setkáváme téměř denně. Dále uvádí, že žák čtvrté třídy by měl být schopen číst a rozpoznat různé formy zobrazení dat. Těmi jsou konkrétněji tabulky, piktogramy, sloupcové, spojnicové a koláčové grafy. Na jednoduché problémové situaci a zadaných datech pak umět tato data přečíst a odpovědět na otázku. 4.1 Organizace výzkumu Šetření se uskutečňuje pravidelně ve čtyřletém cyklu už od roku 1995, poslední výzkum tedy proběhl v roce 2015 jako šestý v pořadí. Celý projekt organizuje a zaštiťuje organizace Mezinárodní asociace pro hodnocení výsledků vzdělávání (The International Association for the Evaluation of Educational Achievement IEA). Před samotným výzkumem probíhá tzv. pilotní šetření, které má za cíl ověřit nástroje pro sběr dat a metodiku. V rámci projektu je sbíráno velké množství dílčích informací, mezi které patří například kurikulární dokumenty jednotlivých zemí, rodinné zázemí žáků, vzdělávací podmínky ve školách nebo informace o průběhu výuky. Dále je pak pomocí dotazníků pro učitele zjišťováno, nakolik byla daná témata s žáky probrána. Jedním z dalších způsobů sběru dat byla v letech 1995 a 1999 i videostudie, o které pojednává kapitola 5.2. Tomášek (2016, s. 5-6) uvádí, že výsledky šetření jsou prezentovány dvěma způsoby. Tím prvním je skóre vyjádřené body na škále, která reprezentuje průměrný výsledek. Druhým způsobem je vyhodnocování výsledků na základě čtyř vědomostních úrovní (nízká, střední, vysoká a velmi vysoká), přičemž výsledky jsou vyjádřeny jako procentuální zastoupení žáků v jednotlivých úrovních. V současné době je v přípravné fázi šetření, jehož hlavní část se uskuteční v roce Z důvodu nově plánovaného elektronického testování je zařazeno navíc předpilotní šetření, v němž byla na jaře 2017 testována aplikace pro zadávání testů (Česká školní inspekce, 2017). Mullis (2017, s. 9-10) uvádí, že TIMSS 2019 v matematice bude oproti předchozím šetřením obsahovat méně složité úlohy pro žáky čtvrtých tříd. Důvodem je 27

28 možnost rozšíření hodnoticích škál zejména pro ty žáky, kteří dosahují horších výsledků. K dispozici proto budou dvě verze testů- běžná a méně složitá varianta. Jedna třetina úloh obou variant se však shoduje, a z tohoto důvodu bude možné následné srovnání zmíněných verzí. 4.2 Česká republika a TIMSS Česká republika se zúčastnila již prvního uskutečněného průzkumu v roce 1995 a dále i ostatních šetření s výjimkou roku 2003 (Tomášek, 2016). Realizaci výzkumu v rámci České republiky zajišťuje Česká školní inspekce ČR. Výsledky českých žáků v roce 2007 vyhodnocuje Hejný (2013, s ) i Tomášek (2016, s. 7) jako historicky nejhorší. V porovnání s ostatními Česká republika od roku 1995 zaznamenala největší propad ze všech evropských zemí, které se průzkumu zúčastnily. V šetření z roku 2011 se výsledky začaly znovu zlepšovat, zatím se bohužel ani nepřiblížily úrovni, které žáci dosahovali v 90. letech. Až rok 2015 přinesl dobré výsledky, které lze označit za nadprůměrné (v matematice mělo pouze 9 členských zemí EU výsledek lepší). Česká školní inspekce na svém webu pravidelně zveřejňuje národní a školní zprávy, uvolněné testové úlohy, sekundární analýzy, dotazníky užívané při šetření či zprávy týkající se přípravy a realizace šetření. Tyto zajímavé informace jsou tak lehce přístupné veřejnosti. 5 Metoda práce s videozáznamem Domnívám se, že práce s videozáznamem je v dnešní době velmi oblíbenou a díky rozvoji techniky hlavně přístupnou metodou pedagogického výzkumu. Janík (2006) i Najvar (2011) používají ve svých publikacích termín videostudie. Najvar (2011, s. 16) tvrdí, že jedním z přínosů videostudií v pedagogickém výzkumu je to, že videozáznam umožňuje zpětné zkoumání problematiky s postupným zaměřováním se na různé prvky pedagogické situace, kterou je možné shlédnout několikrát. Dále podrobněji popisuje výhody, které videodata přinášejí. Rozhodla jsem se vybrat a popsat z mého pohledu ty nejpodstatnější, díky kterým jsem se rozhodla tuto metodu v mém výzkumu použít. První z nich je spolehlivost. Je velmi obtížné zachytit realitu přímo v procesu výuky, protože se mnoho situací odehraje velmi rychle a i pro zkušeného pozorovatele může být těžké zachytit vše najednou a najít podstatu jevu, který zkoumá. 28

29 Videodata obsahují spoustu informací. Pomocí záznamů jsme schopni zkoumat vizuální i verbální obsah výuky jako celek, můžeme podrobně pozorovat jednání učitele i žáků například v návaznosti na text napsaný na tabuli. Další výhodou je trvanlivost videodat. Díky uchovatelnosti dat je možná následná další analýza, při které můžeme realitu pojednávat z různých pohledů s odstupem času a zároveň srovnávat s dalšími materiály. Další značnou výhodou je, že videodata můžeme předložit několika nezávislým pozorovatelům. Porovnáváním jejich záznamů a výsledků pozorování je možné zajistit poměrně velkou objektivitu oproti zkoumání reality pouze jedním výzkumníkem. Dalším způsobem práce s videodaty je pak diskuse několika pozorovatelů a opakované zkoumání videozáznamu společně, při kterém je často dosahováno zpřesňování pohledu na věc. Díky videodatům můžeme integrovat oba výzkumné postupy- kvalitativní i kvantitativní. Zcela souhlasím s tím, že pomocí videodat je výzkumník schopen po kvantitativní analýze nalézt skutečnosti, které jeho kvantitativně pojatý výzkum zcela opomine. Díky takto realizovanému výzkumu jsou z mého pohledu výsledky komplexnější a lze je považovat za spolehlivější. Jako vše, co má nějaké výhody s sebou nese nesporně i nevýhody. Mezi negativní aspekty videostudie jako takové podle Najvara (2011, s ) patří například to, že přítomnost kamer ve výuce může způsobit změnu chování učitele i žáků od běžné vyučovací hodiny. Za další nevýhodu je považováno, že kamery v důsledku špatného nastavení a nasměrování nejsou schopny zabrat veškeré edukační situace. 5.1 Realizace videostudie Janík (2006, s ) rozděluje realizaci videostudie do čtyř kroků, kterými jsou příprava videostudie, fáze sběru dat, fáze zpracování dat a fáze vyhodnocování dat. V první fázi by se výzkumník měl zabývat teoretickými východisky, tím co chce zkoumat a jaké jsou jeho cíle. Zároveň je však důležité, aby byly naplánovány praktické části výzkumu, tedy například domluva s učiteli, se školou, dohodnutí se na termínu uskutečnění studie a v neposlední řadě zajištění materiálního vybavení- kamery a dalšího potřebného příslušenství. Pořizování záznamu může výzkumníkovi připadat jako fáze jednoduchá, má však svá úskalí. V případě, že chceme dosáhnout kvalitního záznamu a tím i možnosti kvalitního zpracování dat, musíme promyslet nastavení pozice kamer a dalšího zařízení (např. mikrofonu). V případě, že je videozáznam výuky vyhodnocován v rámci srovnávání 29

30 více nahrávek z různých hodin, někdy i zemí, používá se takzvaný standardizovaný způsob, při kterém je důležité, aby kamery byly nastaveny shodně a podle předem určených pravidel. Tím pak zaručíme možnost kvalitního porovnávání daných videozáznamů. Před samotným pořizováním záznamu je dobré mít zodpovězeny následující otázky: Jakou kamerou budu natáčet? Jak a kde budu záznam zpracovávat? Je dobré mít předem vyzkoušené, zda jsme s kamerou dostatečně seznámeni, jestli dokážeme se záznamem pracovat v počítači, umíme ho sestříhat, případně z něj pořídit fotografie. Kam umístím kameru/kamery? V případě užití pouze jedné kamery se stává, že chybí značná část edukačních situací. Nejsme například schopni vidět zároveň obličej žáka a učitele, a to může vést ke špatné interpretaci situace, případě špatné srozumitelnosti mluveného slova. Proto se doporučuje užití alespoň dvou kamer. První z nich je většinou tzv. třídní kamera, která snímá třídu jako celek a doporučuje se ji umístit do rohu třídy mezi tabuli a okna (při snímání obrazu proti oknu může být obraz nepřiměřeně tmavý a celkově nekvalitní). S touto kamerou by se nemělo během nahrávání manipulovat. Druhou kamerou bývá tzv. učitelská kamera, která snímá učitelovy pohyby a zaměřuje se na třídní interakce. Doporučuje se tuto kameru umístit do první třetiny třídy ke stěně tak, abychom byli schopni zabírat i tabuli. Zároveň je vhodné, abychom si předem vyzkoušeli, zda jsme schopni zaznamenat to, co máme v plánu. V průběhu natáčení s touto kamerou natáčíme a zachycujeme pohyb učitele, v žádném případě bychom neměli procházet mezi žáky, protože tato skutečnost může působit rušivě a ovlivňovat chování. Při svém vlastním výzkumu jsem tuto zásadu porušila a s druhou kamerou manipulovala. Bylo to dáno tím, že jsem neměla ve třídě další osobu, která by mohla zachycovat děj na video. Dalším faktem je, že mým cílem nebylo zkoumat můj (tedy učitelův) pohyb po třídě, primární funkcí této kamery bylo zaznamenávat rozhovory s žáky, což se mi podařilo a nedomnívám se, že by v tomto případě pohyb kamery působil rušivě. Ve fázi zpracování dat se získaný materiál převádí do takové podoby, aby se s ním dalo pracovat dále. V dnešní době už existuje spoustu programů, jež nám pomáhají při zpracování. Mého výzkumu se tato fáze týkala v tom, že jsem přepisovala rozhovory s žáky, snažila se z videozáznamů zachytit jejich uvažování a pořizovala výseky z videí, ze kterých následně vznikly obrázky. Nepoužívala jsem, a z důvodu zaměření a rozsahu mé práce, ani nepotřebovala žádné speciální programy. Vyhodnocením dat se rozumí vyjádření toho, co se během výzkumu zjistilo. V některých případech jsou s touto fází schopny výrazně pomoci počítačové programy, kterou dokážou zadaná data shrnout. 30

31 5.2 Videostudie TIMSS Jednou z nejznámějších mezinárodně realizovaných srovnávacích videostudií je videostudie TIMSS 1995/1999. Pro mou práci jsou tyto studie důležité tím, že jsem z nich čerpala při tvorbě některých úloh uvedených v praktické části. O tomto šetření podrobněji pojednává kapitola 4 výše. Stiegler (2000, s. 92) uvádí, že v rámci mezinárodního šetření TIMSS 1995 se do videostudie zapojily tři země- USA, Japonsko a Německo. Janík (2006, s ) dále popisuje cíl tohoto šetření, kterým bylo zjistit, jak se v daných zemích matematika vyučuje a jak američtí učitelé pohlížejí na reformy a zda ve svém vyučování realizují inovace. Studie v roce 1999 byla realizována v návaznosti na studii výše zmíněnou. Byla rozšířena tím, že se jí zúčastnilo více zemí. Konkrétně se jednalo o Austrálii, Českou republiku, Hongkong, Nizozemí, Švýcarsko, USA a Japonsko. Uvedené země byly vybírány na základě úspěšnosti v šetření z roku 1995, Francie účast na videostudii odmítla, naopak jiné státy se samy připojily i přes menší úspěšnost. Rozšíření se týkalo i vzdělávacích oblastí, zkoumány byly i další přírodovědné předměty. Obě zmíněné videostudie byly realizovány standardizovaným postupem tak, aby bylo možné nahrávky daných hodin porovnávat. Videostudie z roku 1995 byla nahrávaná na jednu kameru, která zabírala učitele, v roce 1999 už byly použity kamery dvě, jedna zabírala učitele, druhá třídu. Videozáznam byl následně doplněn dotazníkem, který po realizaci nahrávání vyplňovali učitelé, v roce 1999 učitelé i žáci. 31

32 II. PRAKTICKÁ ČÁST 6 Cíl výzkumu Cílem mé diplomové práce bylo vytvoření souboru úloh různé obtížnosti, v nichž jsou údaje zaznamenávány pomocí tabulek, grafů a digramů. Ve výuce ověřit, jak žáci 5. ročníku ZŠ dovedou pracovat s úlohami (porozumět zadání, zpracovat zadaná data k samostatnému vytvoření grafu/diagramu, který využijí k řešení) a zjistit jejich schopnost samostatně data zpracovat a vytvořit vlastní grafy a diagramy na základě reálných informací. Zároveň zachytit činnosti žáků ve výuce prostřednictvím videozáznamů, na jejich základě následně analyzovat žákovská řešení úloh s využitím autentických písemných záznamů a pokusit se interpretovat chybná žákovská řešení. 7 Metody výzkumu Pro svou diplomovou práci jsem zvolila smíšený typ výzkumu, ve kterém se jedná o kombinaci kvalitativního i kvantitativního pojetí výzkumu (Vlčková, 2011). Tento typ jsem si vybrala z toho důvodu, že umožňuje celistvější pochopení daného problému. V případě této práce kvantitativní vyjádření úspěšnosti řešení jednotlivých úloh doplňuje převážně kvalitativně pojatý výzkum, ve kterém jsem se zabývala způsoby řešení konkrétních žáků. Podle Gavory (2000, s. 32) je kvalitativní výzkum charakteristický slovním popisem a vyhodnocováním zkoumaných jevů. Cílem takového výzkumu je porozumět člověku, tedy především chápat jeho vlastní hlediska jak on vidí věci a posuzuje jednání a nejedná se tedy o snahu zevšeobecnit údaje. Žádoucí je pochopení způsobu myšlení a uvažování zkoumaného subjektu. Zvolenými výzkumnými metodami byla obsahová analýza žákovských prací, participační pozorování a interview. Dále jsem se rozhodla použít kamery a pořídit videozáznam, který mi byl při zpracování praktické části diplomové práce velkým přínosem pro zpětné pozorování a zaměřování se na různé situace a jevy, které je při přímém pozorování velmi obtížné zachytit. 32

33 8 Soubor úloh Část úloh jsem vytvořila sama a jedná se tedy o úlohy autorské, většina ale vznikla obměnou takových úloh z mezinárodního šetření TIMSS či Metodických komentářů ke Standardům pro základní vzdělávání (Fuchs, 2015), které jsou zaměřeny na práci s daty, přičemž data jsou zde zaznamenána pomocí tabulek grafů a diagramů. O šetření TIMSS podrobněji pojednává kapitola 4 výše. Soubor se skládá celkem z 18 úloh, které byly cíleně sestaveny pro zkoumanou skupinu žáků. Některé úlohy jsou vystavěny na základě zcela přesných, případně lehce upravených dat týkajících se školy, kterou žáci navštěvují, a tím žákům přibližuji danou problematiku v reálném kontextu. Některé úlohy označuji jako jednoduché. Za jednoduchou považuji takovou slovní úlohou, pro jejíž správné řešení žák musí umět přečíst zadaná data z grafu nebo tabulky a případně následně provést jednoduchou numerickou operaci (například sčítání hodnot). Na žáka se zde neklade požadavek komplexnějšího porozumění grafu či doplňování chybějících údajů. 9 Realizace výzkumu Vyučovací pokusy jsem realizovala se žáky páté třídy na ZŠ Dolní Čermná. Výuka proběhla ve dvou dnech na konci června Celkově se jednalo o tři vyučovací hodiny, kdy první hodinu žáci vyplňovali pracovní list s jednoduššími úlohami (do úlohy č. 8), druhou hodinu pracovali se zbytkem úloh. V poslední části pak pracovali na dokončení úloh a ve dvojicích či trojicích zpracovávali vlastní graf. Jejich úkolem byl sběr dat a následné zpracování do libovolného typu grafu nebo diagramu. První hodiny se zúčastnilo 13 žáků (7 dívek, 6 chlapců), druhé a třetí 16 žáků (9 dívek, 7 chlapců), přičemž všech 13 řešitelů z první části se zúčastnilo i částí následujících. Během výuky se projevily odlišnosti v tempu jednotlivých dětí. Situaci jsem řešila těžšími otázkami a úkoly navíc, v případě druhé hodiny rychlejší a šikovnější žáci pomáhali ostatním. Jejich pomoc a vysvětlování jsem se snažila důkladně zaznamenat na videokameru. Všichni žáci, rodiče i paní učitelka souhlasili s natáčením pro účely následného zpracování praktické části mé diplomové práce, nikoliv se zveřejněním celého obrazového a zvukového záznamu. Z tohoto důvodu se v mé práci vyskytují pouze přepisy rozhovorů, případně fotografie utvořené z videozáznamů zachycující zajímavé situace, na kterých zároveň nejsou zúčastnění respondenti identifikovatelní a je tak zachována anonymita. 33

34 Pro záznam jsem použila dvě videokamery. První kamera (třídní) snímala celou třídu a byla umístěna vpředu na tabuli. Díky tomuto frontálnímu záznamu jsem zpětně mohla pozorovat interakci, jakým způsobem žáci spolupracovali ve dvojicích, kdy se radili, případně opisovali. S druhou kamerou jsem procházela po třídě a primárně byla určena pro podrobnější zachycení zajímavých momentů. Nahrávala jsem na ni rozhovory, ptala jsem se na postupy řešení, zaznamenávala jejich dotazy a konverzace. Právě z těchto videozáznamů jsem měla možnost tvořit autentické přepisy rozhovorů s žáky. Průběh vyučovacích pokusů byl téměř bezproblémový. Reakce na přítomnost kamer a nahrávání lze rozdělit na dvě protikladné. Jedna část žáků se zpočátku styděla, druhá část se předváděla a vymýšlela hlouposti před kamerou v souvislosti s youtuberstvím, které je mezi žáky tohoto věku nyní velmi populární. Postupem času ale zájem o kameru i ostych vymizel a proto se domnívám, že chování žáků ani jejich výsledky nebyly kvůli přítomnosti kamer viditelně ovlivněny. 10 Úspěšnost řešení jednotlivých úloh Pomocí kvantitativního vyjádření dat jsem zaznamenala, jaký je poměr úspěšných řešitelů vůči neúspěšným řešitelům jednotlivých úloh. Výsledky jsem pro přehlednost zaznamenala do tabulky. 34 Tabulka 1: Úspěšnost řešení jednotlivých úloh správné řešení nesprávné řešení neřešil/a úloha č. 1 a) 10/13 2/13 1/13 b) 13/ úloha č. 2 13/ úloha č. 3 12/13-1/13 úloha č. 4 a) 13/ b) 12/13 1/13 - c) 11/13 2/13 - úloha č. 5 11/13 2/13 - úloha č. 6 12/13 1/13 - úloha č. 7 13/ úloha č. 8 a) 13/ b) 3/13 10/13 - c) 12/13 1/13 - úloha č. 9 14/16 2/16 - úloha č /16 1/16 -

35 úloha č / úloha č /16 3/16 - úloha č /16 1/16 3/16 úloha č. 14 a) 7/16 5/16 4/16 b) 10/16 5/16 1/16 c) 9/16 5/16 2/16 d) 9/16 6/16 1/16 úloha č /16 1/16 - úloha č. 16 sloupcový 3/7 4/7 - pruhový 6/9 3/9 - úloha č / úloha č /16 1/16 - Údaje v tabulce jsou zapsány vždy ve formě x/y, kde x udává počet řešitelů, jejichž výsledky odpovídají hlavičce sloupce, y je celkový počet řešitelů, kteří se výuky účastnili. Z výsledků vyplývá, že žákům činila největší obtíže úloha č. 8 b), dále úlohy č. 14 a 16. Jako bezproblémové se jeví úlohy 1 b), 2, 3, 4 a), 7, 8 a), 11 a

36 11 Analýza a interpretace žákovských řešení 11.1 Zadané úlohy Úloha č. 1 Zadání: Diagram ukazuje počet obědů vydaných v jednotlivé dny během týdne. a) Kolik obědů se v jídelně celkem uvařilo/vydalo? b) V jaký den uvařili/vydali nejvíce obědů? c) Co může být důvodem, že se v pátek uvařilo nejméně obědů? Vydané obědy pondělí úterý středa čtvrtek pátek Úloha je zaměřena na základní orientaci ve sloupcovém grafu s jednotkou 20 na číselné ose. Otázka c) dává žákům volnost pro jejich vlastní tvořivost a představivost. Žáci si při čtení z grafu pomáhali ukazováním prstem/tužkou po čarách, z toho dva si pak nadepsali hodnoty nad jednotlivé sloupce, což jim pomáhalo při zodpovídání daných úkolů. Důvodem dvou chybných řešení v úloze a) byla v jednom případě pouze numerická chyba v součtu, kde žák správně vyčetl hodnotu 120 z grafu, což si i poznačil do písemného sčítání, ale poté bezdůvodně počítal s hodnotou 220. Pravděpodobně však šlo pouze o chybu 36

37 z nepozornosti. V druhém případě dívka určila jako celkové množství vydaných obědů nejvyšší hodnotu vyčtenou z grafu. Je tedy možné, že dívka neporozuměla struktuře grafu tohoto typu. Druhým možným vysvětlením je to, že dívka pouze nepochopila zadání nebo si ho špatně přečetla, protože na druhou otázku v této úloze už odpovídá správně. Na otázku: Jak jsi přišel na odpověď? žáci odpovídají následovně: To všechno sečtu. Obrázek 3: Chyba ve sčítání Na otázku, jaký den v jídelně uvařili nejvíce obědů, odpověděli všichni řešitelé správně. Jako důvody, které mohou být příčinou nejmenšího počtu vydaných obědů v pátek, žáci označili tyto (seřazené od nejčetnější odpovědi): přišlo nejméně dětí; v pátek nechodí na obědy, protože se doma vaří; špatný výběr jídel; jeli na prodloužený víkend; v jídelně neměli suroviny; nemoc; lékař. 37

38 Úloha č. 2 Zadání: Ve školním bufetu se prodávají různé druhy pečiva. Který druh se prodává nejvíce? Pečivo sladké pečivo z pšeničné mouky ze žitné mouky Jednoduchá úloha, ve které žáci uplatní dovednost číst zadané údaje z kruhového rozloženého diagramu a porovnávat vztahy mezi nimi. K dosažení správného výsledku není potřeba pracovat s přesnými čísly či poměry jednotlivých dat, výsledek je vizuálně snadno čitelný. Tato úloha žákům nedělala žádné problémy. Jejich zdůvodnění jsou tato: Jde to vidět, je to největší. Viděl jsem, že toho tady je nejvíc. U koláčového grafu jsem předpokládala potíže, a proto jsem graf a úkol k němu vystavěla jednodušší. Úloha by byla obtížnější, pokud by rozdíly mezi jednotlivými částmi nebyly tak velké a jasně patrné, respondenti by pak museli volit různé strategie k řešení. 38

39 Úloha č. 3 Zadání: Žáci na základní škole v Dolní Čermné po celý rok sbírali pomerančovou kůru. Paní ředitelka sestavila graf, který ukazuje počet kilogramů kůry nasbírané jednotlivými třídami na prvním stupni třída paní uč. Zpěvákové třída paní uč. Moravcové třída paní uč. Vychytilové třída paní uč. Pokorné třída paní uč. Ježkové Které ze tříd nasbíraly 25 kg kůry? a) Třídy paní učitelky Zpěvákové a Pokorné. b) Třídy paní učitelky Ježkové a Vychytilové. c) Třídy paní učitelky Moravcové a Pokorné. d) Třídy paní učitelky Ježkové a Zpěvákové. V této úloze s výběrem správné odpovědi žáci musí prokázat schopnost číst ze sloupcového diagramu s jednotkou 5 a porovnávat vyobrazené sloupce. Vzhledem ke konkrétnímu zadání lze úlohu považovat za jednoduchou. Z vyhodnocování výsledků a strategií řešení vyplynulo, že tři žáci, jedno z řešení viz obrázek Obrázek 44, nadepisovali čísla nad sloupce a tím si pomáhali s orientací v grafu. Úlohu zvládli všichni správně, jenom jeden chlapec si nejprve nebyl jistý odpovědí- domníval si, že správné odpovědi jsou dvě. Existovaly dvě dvojice tříd (Moravcová a Pokorná, Vychytilová a Ježková), které měly stejné množství nasbírané kůry, jedna z dvojic však nesplňovala podmínku 25 kg. Po upozornění a pečlivém přečtení zadání si chybu opravil. 39

40 Obrázek 4: Nadepsání hodnot do sloupcového diagramu Rychlejší řešitelé samostatně vymýšleli další možné otázky vztahující se ke grafu, z nichž některé jsou zobrazeny na obrázcích 5 a 6. Obrázek 5: Příklady otázek Žákyně, viz obrázek 5, dokázala vymyslet celkem 5 otázek, z nichž první se objevila u více řešitelů, byla podobná těm, se kterými se žáci již setkali (například úloha č. 1 výše). Obrázek 6: Příklady otázek 40

41 Z třetí uvedené otázky na obrázku 6 je zřejmé, že se dívka nedržela zadání vymyslet otázky tak, aby se odpovědět dalo pouze pomocí grafu. Vytvořila úlohu typově podobnou těm, které jsou v jejich učebnicích matematiky a žáci s nimi tedy často pracují. V uvedených otázkách se objevují věcné chyby. Vedle tohoto nedostatku se zde vyskytují i některé pravopisné chyby, což však v mé práci není předmětem zkoumání. Za nejnápaditější a nejoriginálnější považuji otázku, zda se dá vypočítat, kolik průměrně každá ze tříd nasbírala. Otázku vymyslel jeden z nejrychlejších a matematicky nejnadanějších žáků ve třídě. Žáci by ale podle třídní paní učitelky nedokázali bez pomoci učitele zodpovědět a aritmetický průměr vypočítat. Sám autor otázky řešení a výsledek písemně neuvedl, svůj další postup ale popsal ústně: Nejdřív bych sečetl no a potom bych to vydělil pěti, protože tam je pět tříd. 41

42 Úloha č. 4 Zadání: Žáci během jarních prázdnin měli za úkol měřit každý den ve 14 hodin teplotu vzduchu a zaznamenávat ji do grafu. a) Který den Tomáš naměřil 11 C? b) Jaký den byla teplota nejnižší? c) Které dny Tomáš naměřil stejnou teplotu? teplota v C Teplota vzduchu dny Jedná se o úlohu, která se jako jediná ze souboru zabývá vyjádřením dat pomocí spojnicového diagramu. Žáci mají za úkol číst a orientovat se v diagramu, který má na svislé číselné ose jednotku větší než 1. Při řešení této úlohy žáci příliš nechybovali, byla pro ně lehce čitelná, v zadání nebyl žádný chyták. I přesto však při reflexi většina třídy označila spojnicový typ grafu za nepřehledný a jejich slovy se jim prostě nelíbil, což naplnilo má očekávání. 42

43 Úloha č. 5 Zadání: Na začátku roku si žáci vybírali, zda se chtějí učit angličtinu, nebo němčinu. Chybějící údaje vypočítej pomocí tabulky. třída angličtina němčina celkem Ve kterém ročníku je nejvíce žáků? Jednoduchá úloha, která se zaměřuje na orientaci v tabulce a elementární sčítání a odčítání. Smyslem úlohy je ukázat žákům příklad, jak se údaje o třídě dají do tabulky zaznamenat. V této úloze chybovali pouze dva řešitelé. Nešlo o neporozumění tabulce, ale v prvním případě o nedostatky v pamětném sčítání a odčítání, v tom druhém o chybu z nepozornosti, kterou udělal žák, který na otázku týkající se ročníku s nejvíce žáky, počítal a porovnával první a druhý stupeň školy. Jednalo se tedy o chybu ve čtení a porozumění textu. S tímto typem příkladu se žáci často setkávají v učebnicích, kde je tabulka využívána jako způsob zápisu sčítání jako takového bez ohledu na kontext a zadání. Žáci podle mého názoru nechybovali i z toho důvodu, že jsou zvyklí pracovat s tabulkami mnohem více než s grafy a diagramy. Po pochopení principu tabulky se jednalo pouze o užití spojů sčítání a odčítání v oboru do

44 Úloha č. 6 Zadání: Kruhový diagram znázorňuje místo na Radkově flash disku. a) Kolik GB je ještě volných, když flash disk má kapacitu 10 GB? b) Vejde se tam film, který je velký 2 GB? volné místo fotky; 3 GB hudba; 5 GB Vzhledem k jednoznačnosti zadání a numerickému vyobrazení údajů v kruhovém diagramu se jedná o poměrně jednoduchou úlohu. Při případném dalším využití proto doporučuji údaj 10 GB ze zadání odstranit a nechat tak na logickém uvažování žáků, zda dokážou celek odvodit. V otázce b) se předpokládá jistá míra idealizace situace, kdy flash disk lze naplnit do posledního volného místa. Z rozboru videozáznamů a rozhovorů s žáky je patrné, že žáci při řešení této úlohy operovali především s číselnými hodnotami, které byly v grafu vepsané. Žádný z 6 dotázaných respondentů nepracoval s grafem takovým způsobem, že by celkovou kapacitu flash disku odvodil z faktu, že hudba, která zabírá 5 GB, je zřetelná polovina. Proto se domnívám, že až na případné výjimky všichni řešitelé pracovali s hodnotou 10 GB ze zadání. Naprosto odlišná situace by nastala, kdyby v zadání nebylo napsáno, kolik celková kapacita flash disku je a žáci by museli logicky zauvažovat. Při případném dalším zkoumání a užití úlohy bych proto zadání pozměnila a tento údaj do něj nevložila. Chybu udělal pouze jeden řešitel, který své rozhodnutí odůvodnil takto: Nevejde se to, místo je 2 GB a film taky 2 GB, kdybych to tam dal, tak by to bylo přes 10 GB. Za svým tvrzením si stál i přes mé další otázky a snahu přimět ho k zamyšlení. Můžeme tedy vyvodit, že žák buď nerozumí vztahu 2 = 2 (tedy mám dva 2 GB velký soubor a na něj 2 GB místa, 44

45 což se splňuje podmínku, že soubor musí být menší nebo roven místu volnému), nebo svou odpověď staví na nějaké vlastní praktické zkušenosti s flash diskem, kdy nabyl dojmu, že flash disk nelze zcela naplnit. Obrázek 7: Způsob řešení koláčového grafu Úloha č. 7 Zadání: Ve třídě, kde je celkem 25 žáků, má 10 žáků hnědé oči, 5 žáků modré a zbytek třídy zelené oči. Doplň do grafu počet žáků se zelenýma očima. zelené barva očí modré hnědé počet žáků Kombinovaná úloha ověřuje, zda jsou žáci schopni vypočítat a do pruhového diagramu s neúplně popsanou vodorovnou číselnou osou zaznamenat číselný údaj. Všichni respondenti tuto úlohu vypočítali numericky správně, někteří však měli problém se zaznamenáním do grafu a neprovedli ho, zodpověděli pouze číselně. Jeden řešitel 45

46 vyznačil hodnotu pouze čarou, viz obrázek 8. Řešení nelze považovat za špatné, žák rozumí grafu, nedržel se pouze grafické předlohy a typu grafu pravděpodobně i z nedbalosti, a protože chtěl výsledek zaznamenat co nejrychleji. Celkem 5 děvčat z 13 žáků použilo k vyznačení pruhu znázorňující zelené oči zelenou barvu i přesto, že ostatní sloupce jsou černé. Lze tedy pozorovat odlišnosti v znázorňování chlapců a děvčat. Obrázek 8: Nepřesné zakreslení pruhu 46

47 Úloha č. 8 Zadání: Klára dělala průzkum, ve kterém zjišťovala oblíbenost animovaných filmů. a) Který film je nejoblíbenější v první třídě? b) Ve které třídě si nejvíce žáků vybralo film Zootropolis? c) Který film skončil ve 3. třídě na posledním místě? Jedná se o obtížnější úlohu, ve které žáci mají za úkol číst údaje ve sloupcovém grafu a navzájem je porovnávat. Jednotlivé grafy mají svislé číselné osy s různými jednotkami a lze je tak považovat za opticky matoucí. 47

48 Otázky a) a c) žáci zodpověděli, jak jsem očekávala, bez obtíží. V tomto typu úlohy četli údaje jen z jednoho grafu, ve kterém hledali nejvyšší nebo nejnižší sloupec. Problém však nastal v otázce b), kde bylo úkolem porovnávat všechny zobrazené grafy. Úlohu zodpověděli správně pouze 3 řešitelé, ostatní udělali tutéž chybu a to takovou, že považovali sloupec, který se jevil jako vyšší, jako ten s největší hodnotou. Neposuzovali tedy podle číselné osy, ale pouze vizuálně odhadem. U dvou řešitelů lze pozorovat ještě větší míru vizuální reprezentace. Tito žáci správně nadepsali hodnotu sloupců do grafu, i přesto však při posuzování udělali chybu. Obrázek 9: Špatné řešení úlohy 8 b) 48

49 Úloha č. 9 Zadání: Petr zjišťoval oblíbenost barev ve třídě a výsledky zaznamenal do tabulky. Pomoz mu dokončit diagram, který začal tvořit. Pojmenuj osy. barva počet kamarádů modrá 6 zelená 3 růžová 4 červená 5 žlutá modrá zelená růžová červená žlutá Úloha nečinila řešitelům z matematického hlediska potíže. Bez problémů se orientovali v diagramu a dokreslovali sloupce. Odlišný pohled na problematiku nám nabízí výčet několika přiložených řešení, na kterých můžeme pozorovat různé grafické projevy žáků. Pouze 3 chlapci nevyznačili sloupce barevně, například řešení 10c), ostatní řešitelé pokračovali v barevném zpracování podle předlohy (z toho jen v jednom řešení se barva sloupce neshodovala s barvou, kterou sloupec vyznačoval- viz obrázek 10d). Chlapec, viz obrázek 10b), vyznačil správně první sloupec, poté ale pokračoval nesprávným způsobem, kde nepřesně zakresloval pouze vrchní část sloupců. Důvodem mohla být nesoustředěnost, málo času na dokončení úkolu, neochota pracovat důsledně nebo mu toto znázornění připadalo dostačující. Kvůli nejednoznačnosti řešení uvádím přepis rozhovoru, na kterém je patrný žákův postup. U: Kolik dětí tedy má rádo červenou barvu? Ž: No 5 a žlutou jen 2. Z rozhovoru tak vyplývá, že žák úlohu číselně vyřešil správně, ale jeho grafické znázornění je nepřesné. Pro mě neočekávané problémy se vyskytly při pojmenovávání os. Žáci nechápali pojem osa, více než půl třídy zaměnilo osu s názvem a pojmenovalo celý graf (viz obrázek 10a). Někteří respondenti nesplnili zadání vůbec, správně osy pojmenovalo pouze 5 žáků z 16 (viz obrázek 10f) řešení dívky). Tato žačka navíc zvolila strategii nadepisování hodnot nad sloupce. Na řešení dívky, viz obrázek 10e) můžeme vidět snahu o pojmenování os. Počet barev však není přesné vyjádření, za správné řešení považuji například počet žáků nebo žáci. 49

50 a) b) c) d) e) f) Obrázek 10: Ukázky řešení sloupcového diagramu 50

51 Úloha č. 10 Zadání: Týden před Velikonocemi se ve škole konal velikonoční jarmark. Který z grafů správně zobrazuje tabulku návštěvnosti v jednotlivé dny? den počet návštěvníků pondělí 200 úterý 100 středa 150 čtvrtek 60 Cílem úlohy je porovnat vyobrazené koláčové grafy a vybrat takový, který odpovídá údajům v tabulce a splňuje tím podmínku. Koláčové grafy neobsahují numerické údaje, pouze vztahy mezi jednotlivými částmi. Vzhledem k velké rozdílnosti jednotlivých grafů je ale úloha poměrně jednoduchá. Nechyboval žádný žák, pouze jeden řešitel úlohu vůbec nezodpověděl. Dva žáci zvolili strategii nadepisování/vpisování čísel do grafu, což jim pomáhalo při porovnávání. Dívka, viz řešení níže, vepsala hodnotu počtu návštěvníků v pondělí do 3 zadaných grafů. Variantu c) vyloučila ihned, protože pondělí udávalo jednoznačně nejmenší část. Vylučovací metodou se tak dopracovala ke správnému řešení, které označila a dopsala do něj ostatní číselné údaje. 51

52 Obrázek 11: Příklad nadepisování hodnot do koláčového grafu Na tomto místě uvádím přepis postupu řešení jednoho z respondentů, který pracoval s poměrem části vůči celku a velmi obratně tak operoval se zlomky. Ž: Když to je dohromady 510 lidí, tak vidím, že 200 je víc než třetina, ale ne polovina. Není to teda za a). Pondělí bude ale stejně největší, středa musí být větší než úterý. Čtvrtek úplně nejmenší, takže to není b) ani c). Dívka, viz obrázek 12, zvolila strategii jednotně barevného vyznačení tabulky i grafu, čímž se řešení stává přehlednější a z pohledu dívky hezčím. Práce s barvami byla typická pro všechna řešení úloh této žákyně. Obrázek 12: Barevné vyznačení tabulky a koláčového grafu 52

53 Úloha č. 11 Zadání: Ve 2. třídě žáci rozhodovali o výběru mazlíčka do třídy. Hlasovali pomocí lístečků. Výsledky zaznamenej do tabulky a sestroj sloupcový diagram křeček rybička šnek Úkolem žáka je v této úloze sesbírat informace zobrazené pomocí lístečků a zaznamenat je do předem připraveného prostoru pro sloupcový diagram, kde je navržena svislá číselná osa s jednotkou 2. V této úloze jsem neočekávala problémy ve spočítání lístečků a tím vytvoření tříd rozkladu. Překvapením bylo, že téměř žádný z žáků nevěděl, jak má úlohu začít řešit. Měli problém s pochopením způsobu, jakým jsou data zaznamenána. Nejdříve se mohli poradit 53

54 ve dvojici, i přesto někteří dále nechápali. Proto jsem zvolila společné řešení nenadálé situace, kdy jeden žák, který úlohu pochopil, ji vysvětlil celé třídě. Problém vznikl z toho důvodu, že si žáci nedokázali představit reálné hlasovací lístečky. Přepis výsledného vysvětlení zadání žákem: Nahoře jak máte ty lístečky, tak je prostě jen spočítejte, kolik tam je křečků, kolik rybiček a kolik šneků a máte to, pak jen udělejte ten graf. Po vysvětlení prvního kroku se v řešení úlohy už žádné obtíže nevyskytly. I přes prvotní neočekávané komplikace se můj předpoklad potvrdil, všichni respondenti vyřešili úlohu nakonec numericky správně. Chyba by v dalším kroku mohla nastat například v případě, že by žák lísteček vynechal nebo naopak počítal některý dvakrát, což se však nestalo. Většina řešitelů (11 z 16) intuitivně volila různé strategie v podobě grafických záznamů, aby se případné chybě vyvarovala. Obrázek 13: Strategie počítání hlasů pomocí teček Mým hlavním cílem pozorování v této úloze tedy byly různé strategie záznamu a zpracování informací. Při počítání hlasů respondenti volili strategie následující: vybarvuje vždy stejné lístečky stejnou barvou (3x), dělá barevné tečky vedle lístečků (3x), kroužkuje 54

55 (2x), píše čísla nad lístečky (2x), škrtá (1x). Pouze pět žáků nepoužilo žádné grafické vyznačení a odlišení daných souborů. Dále mě zajímalo i použití barev, jež při grafickém znázornění použilo celkově 10 z 16 respondentů. Chlapec, viz obrázek 14, nesplnil zadání v tom smyslu, že ze získaných hodnot nesestrojil sloupcový diagram, ale zakreslil pouze body, čímž nevědomě vytvořil jiný typ diagramu, se kterým se zatím v mém souboru úloh nesetkal, a to diagram bodový. Obrázek 14: Sestrojení bodového diagramu Zaujalo mne i řešení chlapce (viz obrázek 15), který utvořil diagram sloupcový, avšak pro horní hranici sloupce využil vytištěnou linku. Nakreslil vždy dvě vertikální čárky, které začínají na vodorovné ose s hodnotou 0 a končí v nejvyšší hodnotě daného sloupce. Diagram tak může působit nedokončeně a sloupce otevřeně. Řešení však nelze považovat za nesprávné. Obrázek 15: Zdánlivě nedokončený sloupcový diagram 55

56 Úloha č. 12 Zadání: V tabulce jsou zapsány naměřené teploty během 5 dnů v různé časy. Kdy byla naměřena nejvyšší teplota? pondělí -2 C 5 C 4 C 0 C úterý 0 C 8 C 9 C -1 C středa 1 C 5 C 4 C 0 C čtvrtek 2 C 11 C 12 C 8 C pátek -1 C 6 C 5 C 3 C Úloha je zaměřena na orientaci v tabulce, ve které jsou zaznamenány teploty vzduchu i v záporných hodnotách. Přestože se v zadání vyskytují, pro správné vyřešení úlohy s nimi není nutné pracovat. Mým cílem nebylo testovat žáky ze znalostí a z porozumění záporných čísel. Tyto hodnoty jsou v tabulce zahrnuty z toho důvodu, aby se s nimi žáci setkávali a vnímali je jako něco, co patří i do jejich ještě dětského světa a vyskytuje se v různých podobách kolem nich. Zároveň se touto úlohou posilují mezipředmětové vztahy mezi matematikou a přírodovědou, případně prvoukou v případě nižších ročníků. Při další práci s úlohou by bylo žádoucí se této problematiky dotknout hlouběji. V rámci mého průzkumu na to však nebyl prostor. Odpověď dvou žáků byla ve čtvrtek. I takto vyřešenou úlohu jsem vyhodnotila jako správnou, protože otázka zněla: Kdy byla naměřena nejvyšší teplota? v zadání nebylo určit i přesný čas. Ten ale uvedlo zbývajících 11 úspěšných řešitelů. Úlohu správně nevyřešili tři respondenti, z toho dva uvedli jako odpověď v hodin. Tito dva chlapci navíc seděli vedle sebe, takže výsledky od sebe mohli opsat. Příčinou těchto chyb může být záměna dat. Žáci mohli při nalezení nejvyšší hodnoty (12 C) odpovědět bezmyšlenkovitě ve 12 hodin. Dalším možným vysvětlením by mohlo být nalezení nesprávné hodnoty, druhá nejvyšší (11 C) byla opravdu ve 12 hodin. Zcela odlišné řešení, viz obrázek 16, uvedl chlapec, který byl v průběhu vyučování jednoznačně nejslabší. Byl nesamostatný, s každým úkolem chtěl od někoho pomoci, protože nechápal zadání. Někteří rychlejší žáci se mu snažili pomoci. Nejprve chlapec, poté se zapojily ještě dvě další dívky. Po rozhovoru s žáky a paní učitelkou jsem zjistila, že mu jsou tímto způsobem zvyklí pomáhat automaticky. Jeho řešení tak vzniklo na základě vysvětlení a pomoci jednoho z rádců: Koukni se, která teplota je vždycky nejvyšší. Chlapec následně úlohu vypracoval tak, že seřadil teploty od nejnižší (označoval jako číslo 1) po nejvyšší v rámci sloupců, tedy časů, ve kterých byly hodnoty měřeny. Odpověď neuvedl, 56

57 považoval tímto úkol za splněný. Interpretaci v podání žáka, který se v té chvíli ujal pozice rádce, jako takovou nepovažuji za chybnou, ale hodnotím ji jako originální přístup k problematice, kdy žák postupoval logicky a s jasným záměrem. V žákově řešení se vyskytla jediná chyba a tou bylo nesprávné seřazení teplot ve sloupci, kde se objevily i záporné hodnoty. Respondent označil teplotu -1 C za nižší než -2 C, čímž je zřetelné, že žák ještě není schopen se zápornými čísly operovat a porovnávat je. Obrázek 16: Seřazení hodnot podle hodin 57

58 Úloha č. 13 Zadání: V 5. třídě žáci zpracovali dotazník týkající se oblíbenosti předmětů. Výsledky zaznamenali do tabulky. U každého z grafů rozhodni, zda odpovídá výsledkům v tabulce, či ne. Sestroj graf týkající se vaší třídy. 7 2 M 5 VV TV 4 jiný předmět jiný předmět TV VV M M VV TV jiný předmět Komplexnější úloha, v níž žáci vybírají takový graf z nabídky (koláčový, pruhový, sloupcový), který odpovídá údajům v tabulce. Údaje jsou v ní zaznamenány pomocí čárkovací metody. Dalším úkolem je použití dovedností k sběru dat a sestrojení vlastního grafu o třídě řešitele. 58

59 Řešení této úlohy celkově považuji za jedno z nejproblémovějších, ačkoliv ve výsledku chyboval pouze jeden respondent a 3 žáci úlohu vůbec nevypracovali. Tabulku znázorňující oblíbenost předmětů ve třídě samostatně pochopili pouze 2 žáci. Ostatní nechápali způsob zaznamenání. Nepochopili, že čísla udávají jednotlivé žáky a volba, pro kterou se daní žáci rozhodli, je znázorněna čárkou v tabulce. Zjednodušením by mohlo být upravení tabulky tak, aby místo čísel byla napsána například jména žáků, poté by tabulka mohla být pro žáky srozumitelnější a jasnější. Po vysvětlení principu tabulky jednou dívkou všichni respondenti vybrali správný graf. Nebyl tedy problém v porozumění grafům a diagramům, ale pouze v pochopení způsobu záznamu v tabulce. Tento typ tabulky jsem zvolila proto, aby se žáci setkali s různými způsoby záznamu informací a poté si sami mohli zvolit způsob, který vyhovuje jim nejlépe v následném vlastním šetření a zpracování do grafu nebo diagramu. Tabulka však byla pro žáky moc složitá a způsob záznamu krkolomný. Tento výrok byl potvrzen i tím, že při vlastním žákovském šetření žádná z dvojic nepoužila tabulku podobné této. Volili mnohem jednodušší způsoby, viz dále. Na obrázku 17 můžeme vidět strategii dívky, která při počítání hlasů použila barvy. Tento způsob zvolilo celkem 5 žáků. Obrázek 17: Barevné vyznačení tabulky Na obrázku 18 je jiný způsob počítání hlasů, který zvolili dva respondenti. Není zcela patrné, z jakého důvodu daní žáci vpisovali číslo do každého volného pole. Je možné, že pouze měli potřebu tabulku vyplnit, protože jsou zvyklí mít všechna pole plná a navíc tak učinili tabulku přehlednější pro své vlastní účely a následné rozhodování. Takto doplněnou tabulku ale považuji za nekorektní a matoucí, protože v ní jsou obsaženy dva různé způsoby záznamu (číslem a čárkovací metodou), a tím se tabulka pro dalšího možného řešitele stává nevypovídající a hodnoty v ní zaznamenané lze pochopit i nesprávně. Hlasy by mohl počítat například následujícím způsobem. Matematika:

60 Obrázek 18: Vpisování čísel do tabulky Za zmínku rovněž stojí strategie zpracování údajů do tabulky jednoho chlapce, viz obrázek 19. Pomocí jednoduchého záznamu se mu lépe vybíral graf, který k hodnotám náleží. Obrázek 19: Záznam do tabulky Další částí této úlohy bylo sestavení vlastního grafu z reálných údajů o jejich třídě. Graf stihlo zpracovat pouze 5 žáků, z toho 2 zvolili koláčový, 2 žáci sloupcový a jeden žák pruhový graf. Ze tří žákovských řešení lze vypozorovat, že daní respondenti nepochopili zadání (domnívám se, že se znovu pravděpodobně jedná o nedostatky ve čtení s porozuměním). Celkem 3 žáci z 5, kteří na úkolu pracovali, tvořili grafy na vlastní témata (místo bydliště, oblíbený sport). V některých případech žáci dokonce volili taková témata, která do grafu zpracovat nebylo možné. Z rozhovorů a videozáznamů je patrné, že žáci graf nevypracovali právě z toho důvodu, že se dostali do situace, ze které neznali východisko. Nevěděli jak pokračovat nebo došli k závěru, že graf z údajů opravdu zpracovat nelze, a tím úlohu ukončili. V obrázku níže vpravo žák svůj text mající sloužit ke sběru dat přeškrtl. Přepis rozhovoru s ním: Ž: Paní učitelko, co s tím teď mám dělat? U: No zkus to nějak zpracovat do grafu, půjde to? Ž: Nevím, asi ne, tak to dělat nebudu. 60

61 Obrázek 20: Vlevo: nepřesné zpracování koláčového grafu na jiné téma, vpravo: pokus o zpracování Na obrázku 21 níže je zobrazeno zpracování dívky na téma nejoblíbenější předmět i se záznamem získaných informací v podobě čárkovací metody. Dívka nejprve vytvořila osy a načrtla pomocné linky. Na zpracování mne zaujalo to, že automaticky očíslovala osu x do čísla 16, protože právě tolik je žáků ve třídě a dále neuvažovala nad tím, že díky získaným údajům nebude potřebovat tak vysokou hodnotu. Obrázek 21: Čárkovací metoda záznamu a pruhový diagram 61

62 Oproti tomu chlapec, jehož diagram je zobrazen na obrázku 22, se získanými údaji pracoval. Číselnou osu označil do takové hodnoty, kterou k zakreslení diagramu nutně potřeboval. Obrázek 22: Sloupcový diagram 62

63 Úloha č. 14 Zadání: V diagramu jsou zpracovány výsledky testu z přírodovědy v 5. A a 5. B podle dosažených bodů. a) Pojmenuj osy. b) Co udává sloupec X? c) Která třída byla podle tebe úspěšnější? d) Kolik žáků dohromady test nesplnilo, když pro úspěšné splnění bylo potřeba alespoň 50 bodů? A 5.B X Složitější úloha s více úkoly zabývající se schopností žáků číst dvojrozměrný sloupcový diagram a porozumět jednotlivým aspektům jako jsou například pojmy osa a sloupec. Zároveň se od žáků vyžaduje komplexní porozumění grafu a užití logického myšlení. Tuto úlohu jsem záměrně koncipovala jako obtížnější. Mým cílem bylo zjistit celkové porozumění grafu, který není tak jednoznačný jako předchozí. Z tohoto důvodu jsem se interpretaci výsledků věnovala podrobněji. V tomtéž grafu jsou zaznamenány výsledky testu dvou tříd. Jedná se tedy o graf sloupcový dvojrozměrný, se kterým se respondenti v předchozích úlohách ještě nesetkali. Dalším úskalím, na které jsem se zaměřila, je otázka c), která záměrně nemá jednoznačné řešení a k výsledku je možné dojít různými způsoby (například výpočtem aritmetického 63

64 průměru, odhadem). Celkově úloha od řešitelů vyžadovala větší schopnost orientace v grafu a logické i kreativní myšlení. V úkolu a) měli žáci pojmenovat osy. Stejný úkol se objevil i dříve, konkrétně v úloze č. 9. V obou těchto úlohách žáci hodně chybovali. Zaměňovali osu a název grafu nebo pojmenovávali osy zcela nesprávně. Viz řešení chlapce na obrázku 23. Z mého pozorování a vyhodnocování výsledků lze vyvodit, že žáci poměrně bez problémů dokážou číst údaje z různých typů grafů a diagramů, ale mají problémy s pochopením celku, skutečného významu a struktury grafu. Prokázalo se tak, že je pro žáky mnohem obtížnější vlastní tvorba a vyhledávání souvislostí než interpretace existujícího grafu. Obrázek 23: Chybné pojmenování os Dalším úkolem bylo nahrazení symbolu X za rozsah bodů, který v grafu chyběl. Správně vyřešilo 10 z 16 respondentů (mezi správná řešení počítám i odpověď chlapce, který nepoužil pro označení rozsahu pomlčku, ale mylně čárku- napsal tedy 11,19 ). Na otázku, kterou jsem se ho doptávala na způsob zápisu, odpověděl: No, že je to 11 až 19 bodů. Ostatní řešitelé zadání buď vůbec nepochopili a nevypracovali, uvedli jako odpověď špatný rozsah bodů (10-20, 11-19) nebo doplnili pouze jedno číslo, například 10. Nepochopili tedy, že sloupec udává rozsah bodů, nikoli konkrétní hodnotu. Celkem 7 žáků z 10 správně odpovídajících vepsalo rozsah bodů i do grafu, ostatní odpověděli do řádku k otázce a neměli potřebu graf doplnit, což nepovažuji za chybu. Za zmínku stojí řešení dívky, viz obrázek 24, která odpověděla 5. B nesplnila. Formulace odpovědi není správná, lze však pochopit dívčinu myšlenku, která směřovala k tomu, že žáci v 5. B neměli výsledky v rozsahu bodů, což o sloupci X skutečně lze říci. 64

65 Obrázek 24: Odpověď dívky Přepis rozhovoru s jedním z žáků: Ž: X je 11 až 19. U: Jsi si jistý? Ukaž mi, do kterého sloupce bys zapsal výsledek 9 bodů. Ž: ukáže na první sloupec. U: pokračuje se zadáváním čísel, žák správně ukazuje. U: Dokázal bys najít nějaký výsledek testu, který nevíš, kam zapsat? Žák neví. U: Tak to zkus postupně. Z přepisu je zřejmé, že jsem se snažila žáka navést na správné řešení, aniž bych mu chybu přímo řekla. Ke správnému řešení se nakonec podařilo dospět. Výpočtem aritmetického průměru byla úspěšnější třídou prokazatelně 5. B. Tuto odpověď zvolilo 9 z 16 žáků, žádný z nich však výpočet aritmetického průměru nepoužil. Tento způsob řešení jsem ani neočekávala, protože správná odpověď byla z grafu poměrně jasně čitelná pouhým odhadem. Navíc podle slov paní učitelky žáci ještě nemají aritmetický průměr dostatečně procvičený a slabší žáci ho neumí samostatně použít. Proto se domnívám, že pokud by výsledek nebyl čitelný pouhým okem, někteří žáci by nebyli schopni úlohu vyřešit bez pomoci a navedení na tento způsob výpočtu. Upravení grafu na méně jasný rozdíl mezi třídami proto navrhuji jako možnou modifikaci úlohy. Celkem 5 řešitelů odpovědělo špatně, z čehož jejich nesprávná pojetí jsou pouze dvě. Prvním špatným postupem bylo spočítání počtu žáků v každé ze tříd. V tomto případě byl výsledek 20 a 20 žáků. Na základě tohoto výsledku respondenti odpověděli, že třídy jsou stejně úspěšné. Z mého pohledu daný postup nelze označit za zcela nelogický. Žáci se ale ubírali špatným směrem a odpovídají tak jejich výpočtem na jinou otázku, kterou by mohla být V jaké třídě je více žáků? Domnívám se, že tato chyba mohla být způsobena i značným množstvím předešlých úloh, které podobné výpočty požadovaly. Jejich postup lze také považovat za první krok k výpočtu aritmetického průměru, který není dokončen. Druhým nesprávným řešením byla odpověď 1, 3, kterou uvedli 3 respondenti (všichni chlapci). U dvou z nich je ale patrné, že výsledek přepsali z výsledku původně správného (5. B) na tento. Domnívám se, že k tomuto výsledku nepřišli samostatně, ale pouze ho opsali od žáka, který se po celou dobu projevoval jako největší rádce a žáci jeho výsledek považovali za správný. Na obrázcích níže můžeme vidět, že oba chlapci přepsali i výsledky dalších úkolů. 65

66 Obrázek 25: Řešení prvního chlapce Obrázek 26: Řešení druhého chlapce Zpočátku bylo obtížné najít způsob, jakým žáci postupovali, protože jsem si této situace při výuce nevšimla a nemám ji tedy detailně nahranou na videozáznamu. Domnívám se, že nejpravděpodobnější varianta je, že žáci 1, 3 považovali za správný výsledek v tom smyslu, že tyto hodnoty popisují sloupce, které označují počet žáků dosahujících výsledků od 90 do 100 bodů (v 5. A 1 žák, v 5. B 3 žáci). Řešitelé tedy odpověděli na otázku, Kolik žáků z jednotlivých tříd bylo nejúspěšnějších? což lze znovu považovat za chybu z nedbalosti a v porozumění textu. Nedomnívám se, že žáci považovali tyto sloupce jako zároveň vyhodnocující úspěšnost třídy jako celku. Část 14d) se ukázala jako jedna z úloh s kvantitativně největší chybovostí. Nesprávně odpovědělo 6 z 15 odpovídajících respondentů, přičemž je navíc nutné podotknout, že jsem při řešení tohoto úkolu žákům poměrně značně napovídala a snažila se je navést ke správnému postupu. Domnívám se tedy, že by bez mé pomoci bylo špatných odpovědí mnohem více. Důležitým faktem zůstává, že varianty špatných odpovědí jsou celkem 4 (z 6 špatných odpovědí), takže nebylo možné opsání nesprávného výsledku od jednoho řešitele a nejedná se tak pouze o jednoho původce chyby. Většina těchto řešitelů udělala chybu samostatně a jejich důvod je tedy jiný. Za zmínku rovněž stojí různé strategie řešitelů. Žáci nadepisovali čísla nad sloupce, někteří tvořili hranici/linii mezi sloupci podle kritéria splnění či nesplnění testu, viz obrázek

67 První špatný výsledek uvedla dívka, viz obrázek 27, jejíž příčinou byla pouhá nepozornost a nedostatek koncentrace při jednoduchém součtu. Jak můžeme vidět na obrázku, dívka zvolila strategii nadepsání číselných údajů nad sloupce a graficky znázornila hranici mezi úspěšnými a neúspěšnými řešiteli testu. Hodnoty jednotlivých sloupců nadepsala do grafu správně. Postup sčítání ale provedla takto: =23. Při procesu sčítání si tedy neuvědomila, že dvě číslice 1 vedle sebe napsané v tomto případě neznamenají číslo 11, ale každá z nich označuje hodnotu jiného sloupce. Správný součet by tedy měl vypadat takto: =14. Lze odvodit, že dívka při sčítání nepracovala s grafem, ale operovala pouze s číslicemi a dál se nad řešením logicky nezamýšlela. V případě zkoušky celé úlohy by dívka mohla přijít na chybu například takovou úvahou, že kdyby měl sloupec hodnotu 11, byl by výrazně vyšší než ostatní. Rovněž je zajímavé, že právě tato dívka odpověděla na úkol 14c) tak, že třídy jsou úspěšné stejně, protože v každé z nich je 20 žáků. Je tedy jasné, že dívka v předchozím, i když ne ve správném, řešení úlohy použila součet, v němž správně vyčetla hodnotu z grafu a přičetla 1, nikoliv 11. Z tohoto důvodu se domnívám, že chyba vznikla pouze na základě nepozornosti. Obrázek 27: Chyba v součtu Další chybný postup dívky můžeme vidět na obrázku 28. Nejvýraznějším prvkem daného řešení je, že dívka dokreslila sloupce na místa, kde žádné vyobrazené nejsou. Při rozhovoru na téma těchto sloupců odpovídá: Nevím, proč jsem je tam dodělala. Své rozhodnutí neumí obhájit, ale je možné, že dívka má potřebu graf doplnit z toho důvodu, že se jí graf zdál nedokončený nebo i kvůli tomu, že podobné úkoly byly zadány 67

68 v předchozích úlohách. Plně nechápe, že je logicky možné, aby žádný z testovaných žáků nedosáhl tohoto výsledku, a proto v tomto rozmezí není vyznačen žádný sloupec- označuje tedy hodnotu 0. Neuvědomuje si důsledky dokreslení sloupců se samostatně zvolenou hodnotou do grafu a to takových, že tím mění zadání úlohy a ovlivňuje své další výsledky. Žákyně správně nadepsala hodnoty jednotlivých sloupců (i těch dokreslených), s nimiž ale paradoxně dále nepracovala. Počet žáků, kteří nesplnili test, chápe jako počet sloupců v grafu, přičemž nezohledňuje, že každý ze sloupců má jinou hodnotu. Odpověď je v rozporu s jejím předchozím postupem, protože nadepsáním čísel dívka dokazuje, že hodnotu sloupců vyčíst umí. Prakticky ji ale využít neumí. Je možné, že dívka čísla nadepisovala bezděčně a o jejich významu dál nepřemýšlí. Přepis odpovědi dívky: To tady jenom spočítám, kolik je sloupců. 1,2,3,4,5,6,7,8. Takže jich nesplnilo 8. Řešení této žačky ukazuje asi nejmenší porozumění grafům jako celku. Obrázek 28: Dokreslení sloupců do diagramu Za chybu, která vyjadřuje nedostatky v porozumění čteného textu, považuji odpověď chlapce, kterou je 26. Tato odpověď by mohla být považována za správnou v případě, kdyby otázka zněla: Kolik žáků test splnilo? Chlapec i po mém upozornění, aby si otázku přečetl znovu a pozorněji, trval na svém výsledku. Příčinou chybné odpovědi jsou nedostatky v porovnávání přirozených čísel a s tím spojenými výrazy méně, více než. Přepis vysvětlení žáka: Ti, kteří nesplnili, takže to jsou ti nad 50 a to jsou tyhle sloupce. Přitom ukazuje prstem. Posledním chybným výsledkem je 12, kterou zvolila dvě děvčata sedící vedle sebe. Jejich popis řešení se mi bohužel nepodařilo získat, takže neznám příčinu jejich chyby. 68

69 Je tedy možné, že se jedná pouze o numerickou chybu ve sčítání, protože žádnou jinou souvislost mezi výsledkem a grafem jsem nenalezla. Níže jsou uvedeny nesprávné postupy dalších žáků, kteří po případné radě nakonec zodpověděli správně, a proto se jejich výsledky kvantitativně nezapočítaly do chybných řešení. Chlapec dokresloval sloupce stejné hodnoty vždy ke sloupcům znázorňujícím výsledky 5. A, v případě, že třída 5. B v tomto rozmezí neměla zastoupeného žádného žáka a sloupec takzvaně chyběl. Jedná se konkrétně o sloupce 0-9, 10-19, Následně chlapec počítá tímto způsobem: 2+1+2, takže 5 žáků nesplnilo. Obrázek 29 a,b: Dokreslení sloupců Postup řešení dalšího chlapce jsem zaznamenala na video. U: Kolik žáků tedy test nesplnilo? Ž: Tady to bylo vidět, 50. (ukazuje tužkou) U: Jak jsi na to přišel? Ž: Protože tady to je těch 49 bodů a k tomu patří 50. U: Kolik těch žáků bylo? Ž: No 50, protože to je tady v desítkách. U: Tak se zkus podívat na první sloupec 0-9 bodů, kolik žáků mělo tolik bodů? Ž: No 20. U: 20? Tady je napsáno 2. Jak jsi na to přišel? Ž: Protože jsem myslel, že to je takhle. Následně žák všechny nuly umaže. Příčinou této chyby tedy byla pouhá domněnka žáka, kterou si vykonstruoval sám. 69

70 Obrázek 30 a, b: Chlapec ukazuje a následně gumuje připsané nuly Dále uvádím přepis rozhovoru s dvěma žáky, kteří rovněž označili 26 jako správnou odpověď. Proběhlo upozornění a společná diskuse, při které žáci na chybu nepřišli. Následně si však výsledek získali od spolužáka a v pracovním listu ji opravili: U: Jak jste postupovali kluci? Ž1: Nevím, že jsme to vypočítali. U: Jak jste to vypočítali? Ž1: Jsme to tady vypočítali od padesáti až to U: Otázka ale je, kolik žáků nesplnilo. Ž2: Ale paní učitelko, tady je potřeba od 50 bodů, no tak to jsou tyhle. U: Já se ale ptám, kolik žáků nesplnilo. Ž1: Takže 50! Ze záznamu je patrné, že chlapci nedokázali během rozhovoru přijít na svou chybu a snažili se ji vyřešit tím, že hádali odpověď, abych se už dál nevyptávala. Neměli chuť na chybu přijít a opravit si ji samostatně. Zobrazení části jejich písemných odpovědí můžeme vidět na obrázcích 25 a 26 výše (kde postupně přepisovali výsledky). 70

71 Úloha č. 15 Zadání: Ve třídě je 20 žáků. Kolik je chlapců a kolik dívek? chlapci dívky Úloha ověřuje, zda žáci umí číst v kruhovém grafu bez kvantitativních údajů a dokážou tak vyjádřit část z celku. V této úloze bylo mým cílem zjistit, jak žáci páté třídy chápou koláčový graf v souvislosti se zlomky. Zajímalo mě, zda žáci výsledek hned uvidí a budou počítat pamětně a dále jakým způsobem budou své výsledky zaznamenávat, tedy jestli výsledek zapíší pouze numericky, pomocí zlomků nebo oběma způsoby. Čísly odpovědělo 11 z 15 správných řešitelů, z nichž 2 své výsledky zapsali i přímo do grafu, čímž vytvořili popisek, který se objevuje například i v jiném koláčovém grafu, se kterým žáci dříve pracovali (úloha č. 6). Na obrázku 32 je zobrazeno správné řešení dívky. Graficky vyznačila 4 stejné díly a následně celek vydělila čtyřmi. Je tedy zřejmé, že dívka použila princip čtvrtin i přes to, že výsledek přímo nezapsala jako zlomek. Své řešení ještě doplnila ústní výpovědí: Vidím, že to jsou čtvrtiny, takže chlapci jsou čtvrtina z 20, takže 5. 71

72 Obrázek 31: Řešení kruhového grafu Dívka, řešení viz obrázek 33, se pokusila o zápis pomocí zlomku, ve kterém však chybovala. Graf vnímá jako rozčleněný na třetiny. Vidíme, že výpočet není dokončen, protože dívka si uvědomila špatný postup při samotném výpočtu proto, že nevyšlo celé číslo. Poté postup změnila a výsledek zapsala pouze numericky. Myslela jsem si, že to jsou třetiny, ale to mi nějak nevycházelo, tak jsem přišla na to, že to je vlastně rozdělený na čtyři a pak už to vyjde. Chyby založené na stejném principu se dopustili další čtyři řešitelé. Do pracovního listu numericky správně odpověděli 15 dívek a 5 chlapců, proto jsou jejich odpovědi po vyhodnocení brány jako správné. Na videozáznamech jsou ale tyto ústní odpovědi- popisy postupu ke správnému řešení. To vidím, z 20 jedna třetina je 5, takže dívek je pak 15. Výpovědi dalších třech žáků jsou podobné nebo stejné. Z těchto rozhovorů vyplývá, že žáci si odporují ve výpovědích. Správně vypočítají čtvrtinu, přesto při rozhovoru nebo zápisu do zlomku uvedou chybně třetinu. Učivo o zlomcích ještě nemají zcela zafixované. Je vidět, že zlomky používají a umí je zapsat i vypočítat. V reálném kontextu slovní úlohy, ale ještě nedokážou zlomky správně použít a zpětně si ověřit správnost. 72 Obrázek 32: Zápis zlomku

73 Graf jako rozdělený na třetiny vnímal i další žák, viz obrázek 34. Jako jediný z chybujících si na svém tvrzení o třetinách trval a následně dělil třemi. Svůj postup slovně popsal. Přepis rozhovoru: Ž: Jsou to třetiny, takže když 20 vydělím třemi tak mi vyjde, 6 a zbytek 2. Chlapců je tedy 6 a pak jsem dopočítal dívky, takže těch je 14. Z chlapcovy výpovědi můžeme vidět, že při výpočtu uvažuje nad tím, že pro počítání lidských jedinců využíváme oboru celých čísel, a proto výsledky jako celá čísla uvádí. Nepřemýšlí pak dále nad tím, že by graf byl v takovém případě nepřesný. Výsledek se zbytkem ho nenavedl k opětovnému zamyšlení se nad postupem a případné opravě. Zajímavá situace by nastala v případě, kdy by žák byl schopen zapsat výsledek jako desetinné číslo, tedy 6,6 6 a zda by poté zaokrouhloval na číslo 7. Obrázek 33: Rozdělení grafu na třetiny Vyhodnocování úlohy vnímám jako jedno z nejzajímavějších. Poprvé jsme se s žáky dotkli tématu zlomků, které se ukázalo jako problémové. Paní učitelka obdobné výsledky neočekávala. Domnívala se, že žáci se zlomky v této úloze mít problém nebudou. 73

74 Úloha č. 16 Zadání: Diagram znázorňuje počet žáků navštěvující ZŠ. a) Kolik žáků navštěvuje tuto školu dohromady? b) Kolik žáků je na prvním stupni? c) Kolik žáků je na druhém stupni? Hodnoty zaznamenej do tabulky. Ročník Počet žáků Počet žáků Třída třída počet žáků první stupeň druhý stupeň 74

75 Jednoduchá úloha obsahující dvě varianty grafů (sloupcový a pruhový) se stejnými údaji, která ověřuje, zda žáci upřednostňují některý z těchto dvou typů grafů. Mým cílem zde bylo zjistit, zda je pro žáky jednodušší číst z diagramu pruhového, nebo sloupcového. Na základě jednoho zadání jsem hodnoty zobrazila pomocí dvou výše zmíněných typů diagramu. Jako problémovější z diagramů se projevil diagram sloupcový, kde se vyskytly dvě chyby v přečtení dat z grafu. V případě diagramu pruhového se ve čtení dat vyskytla chyba pouze jedna i přes to, že variantu pruhového diagramu řešilo o dva žáky více. Nepřesné rozdělení žáků podle variant pracovních listů vzniklo tím, že jeden z žáků přišel později a já jsem už bohužel nevěděla přesný poměr rozdaných variant. Ostatní chybné výsledky vznikly v důsledku nesprávného sčítání čísel. Zajímalo mě také, zda si řešitelé nejprve přečtou celé zadání a budou tedy postupovat tak, že spočítají počet žáků na prvním a na druhém stupni zvlášť a až potom pomocí jednoduššího součtu spočítají počet žáků na celé škole, nebo zda budou řešit nejprve úkol a) a v tom případě jaké další postupy po přečtení dalších úkolů zvolí- spočítají jeden ze stupňů a pak odečtou od celé školy, případně budou znovu sčítat všechna čísla. První variantu, tedy rozdělení na stupně a poté součet pro získání počtu celé školy, zvolilo 7 z 16 řešitelů. Všichni žáci, kteří nejprve spočítali počet žáků všech tříd dohromady, následně počítali jednotlivé stupně znovu zvlášť. Žádný z nich si nepomohl operací odčítání, kterou jsem očekávala a zjednodušila by práci. Dále jsem na výpočtech sledovala různé podoby zápisu součtů, z nichž některé byly matematicky nesprávné. Výpočet v obrázku 35 umístěný vlevo nahoře je pravděpodobně nejjednodušší, řešitel nejprve spočítal stupně zvlášť, výsledky poté sečetl. Na výpočtu vpravo nahoře vidíme, že řešitel zvolil sčítání čísel pod sebou tak, že sčítal postupně. Nejprve sečetl první čtyři položky a tím mu vyšel mezisoučet. Výsledek pak použil do dalšího sčítání, kde dopočítal počet žáků zbylých tříd. Až poté si přečetl další zadání. Počet žáků na prvním stupni už nezjišťoval sčítáním všech hodnot daných pěti tříd, ale poradil si jednodušeji a s důvtipem. K prvnímu součtu žáků čtyř tříd připočítal ročník pátý. Druhý stupeň nezískal odčítáním od celé školy, ale spočítal ho delším způsobem. Je důležité dodat, že tento řešitel udělal početní chybu hned v prvním součtu, kde mělo vyjít 80, ne 79. Postup vlevo dole zvolil chlapec, který přičítal vždy jedno číslo. Jeho záznam však není správný, tvoří jakéhosi hada a v momentě kdy mu připadal příliš dlouhý, započal nového. Zajímavé je, že řešitel počet žáků na prvním stupni počítal v pořadí 5. třída + 4. třída + 3. třída + 2. třída + 1. třída, druhý stupeň už vzestupně. Řešitel nepoužil své předchozí výpočty a počet žáků na celé škole sčítal celý znovu. 75

76 Vpravo dole vidíme graficky přehledné řešení, kde žák stále sčítal. Nejprve počítal celou školu dohromady a potom jednotlivé stupně. Nevyužil tak svých předchozích postupů a zbytečně počítal příklady navíc. Obrázek 34: Různé způsoby výpočtů Na obrázku 36 můžeme vidět řešení dívky. Zvolila strategii nadepsání hodnot sloupců nad ně, které jí pomohlo při orientaci a zápisu čísel do tabulky (tuto strategii zvolili pouze 2 řešitelé), zároveň si vyznačila pomyslnou hranici mezi prvním a druhým stupněm ZŠ jak v grafu, tak i v samotném výpočtu, který realizovala pomocí sčítání všech hodnot pod sebou. Z pozorování je patrné, že nejprve řešila úlohu a) a proto sčítala všechna čísla najednou. Až poté si přečetla další úkoly, čímž si ztížila situaci. 76

77 Obrázek 35: Řešení sloupcového diagramu Obrázek 36: Řešení pruhového diagramu Při reflexi jsme diskutovali o těchto konkrétních grafech a hlasovali. Pruhový diagram po vyřešení úlohy považuje za jednodušší 5 žáků, sloupcový 8, zbylí 3 žáci nehlasovali, protože jim připadají jednoduché oba. Kritéria, podle kterých řešitelé grafy hodnotili, jsou tyto: výraznost, tloušťka a barva sloupců, přehlednost, množství čar. Přepis některých argumentů: Lepší jsou ty sloupce nahoru, je to takový přehlednější. Podle mě to je jedno, můžeš to otočit a je to stejný. Druhý z argumentů jsem očekávala, předpokládala jsem, že žáky napadne. Při samotném řešení úlohy, ale respondenti tento postup nevyužili a grafy pro lepší orientaci neotáčeli. 77

78 Úloha č. 17 Zadání: Ve skupinách házejte kostkou a každý pokus zaznamenejte čárkou do tabulky. Pozorujte výsledky. Každý hodí alespoň 30x. padnuté číslo Úloha, v níž si žáci vyzkouší způsob záznamu informací pomocí čárkovací metody a zároveň se mohou zamýšlet nad svými výsledky z hlediska pravděpodobnosti. Tuto úlohu jsem do souboru zařadila proto, aby se vyrovnal případný rozdíl v tempu jednotlivých žáků. Zároveň měla žákům ukázat další možný způsob zaznamenávání dat do tabulky- tedy čárkovací metodu, a tím jim dále pomoci při zpracování jejich vlastních grafů a tabulek. Úlohu beru jako nadstavbovou a považuji ji za zajímavou v souvislosti se zařazením prvků statistiky do učiva matematiky na prvním stupni. Následně jsem se žáků dotazovala, zda by dokázali jev vysvětlit. Přepis jedné z odpovědí: Nevím, je to všechno skoro stejně, nevím proč. Obdobně na tom byli ostatní žáci. Předpokládala jsem, že vysvětlení jevu nebudou schopni, a proto výsledky nepovažuji za zklamání. Cílem této úlohy nebylo jev vysvětlit, ale seznámit řešitele se způsobem záznamu do tabulky, který mohli využít při vlastním zpracování dat. Obrázek 37: Způsob záznamu do tabulky 78

79 Úloha č. 18 Zadání: Paní učitelka zpracovala počet zameškaných hodin ve 3. A do tabulky. Na základě údajů v tabulkách doplň vynechané údaje v textu. žák Počet zameškaných hodin žák Počet zameškaných hodin Adéla 2 Filip 0 Hynek 8 Klára 9 Lucie 25 Michal 12 Roman 0 Sára 22 Tomáš 4 Veronika 6 Adéla 3 Filip 0 Hynek 1 Klára 15 Lucie 5 Michal 7 Roman 2 Sára 30 Tomáš 1 Veronika 4 září 2016 říjen 2016 V září nejvíce hodin zameškal/a. nechyběl/a ani jednu hodinu v září, ani v říjnu. Veronika v říjnu zameškala hodin. Hynek za září a říjen zameškal dohromady hodin. Lucie v září zameškala méně hodin než v říjnu. ANO x NE 79

80 Poslední ze série úloh je zaměřena na orientaci v dvou jednoduchých tabulkách a porozumění textu. Můžeme říci, že řešitelé v jednotlivých bodech neměli větší problémy. Jedna chyba se vyskytla v prvním bodu, dvě chyby v posledním. Chyby v odpovědích na otázku, kde se žáci měli rozhodnout ano, či ne, mohou působit potíže, protože se žáci jasně musí orientovat v textu a umět si odůvodnit, případně přeformulovat otázku. 80

81 11.2 Grafy a diagramy zpracované žáky Jedním z cílů předešlého výzkumu/vyučovacích pokusů bylo poskytnout žákům inspiraci a vhled do tématu za účelem samostatného zpracování dat a vytvoření jejich vlastních grafů a diagramů na základě reálných informací. V této části tak žáci mohli uplatnit své nově nabyté zkušenosti a využít získané dovednosti při vlastní tvorbě. Zároveň si tím vyzkoušeli, že do grafů a diagramů lze zpracovat mnoho údajů, které se jich týkají a vyskytují se reálně kolem nich. Mají tak pro samotné žáky opravdové využití a smysl. V poslední části výuky tedy žáci ve dvojicích či trojicích zpracovávali grafy a diagramy na své náměty. Volba způsobu zpracování a záznamu informací, typu grafu a dalších aspektů byla zcela na nich. Jedinou podmínkou pro zpracování bylo vytvoření grafů a diagramů z reálných údajů, které si žáci měli samostatně získat. I proto byla jedním z aspektů, které žáci museli zvážit, reálná schopnost získání dat během jedné hodiny ve škole. Tuto strategii jsem zvolila z toho důvodu, aby si žáci vyzkoušeli tvoření grafů a diagramů, které mají faktickou vypovídající hodnotu o světě kolem nich, dozvěděli se něco nového o své třídě a tím zlepšovali sociální vztahy. Při dalším setkání s grafy tak budou mít lepší představu o využitelnosti a smyslu tohoto stylu zpracování dat. Žáci nakonec převážně volili takovou strategii, že obcházeli třídu s papírem a získávali informace otázkami. I přes to se některé dvojice tématu nedržely a údaje si samy vymyslely. Obrázek 38: Náměty na zpracování grafů Na obrázku 40 můžeme vidět zpracování bodového grafu dvěma chlapci, kteří si jako téma zvolili počet žáků ve třídách na prvním stupni, které není originální, protože žáci s tímto námětem v předchozích úlohách již pracovali. Důvodem jejich rozhodnutí bylo to, že nebyli schopni vymyslet námět jiný. Dalším faktem je, že žáci měli zpracovat graf, který vypovídá 81

82 něco o jejich třídě, škole nebo životě a je založený na reálných údajích. Tuto podmínku chlapci nesplnili tím, že si data si sami vymysleli. Nejvýraznějším prvkem na grafu je, že výslednicí jsou izolované body, které po propojení tvoří přímku. Z tohoto pohledu se může zdát, že by se mohlo jednat o úměrnost. Při bližším zkoumání však zjišťujeme, že graf je zpracován zcela špatně. Zpracovatelé nanesli hodnoty na osy postupně, na ose x zleva doprava, na ose y shora dolů. Nepracovali s osou jako s lineárním uspořádáním, ale hodnoty nanášeli podle tabulky, ve které jsou zpracovány s tím, že na jednu osu nanáší i stejná čísla vedle sebe. Takto nanesené hodnoty mají mezi sebou vždy stejný rozestup. Vytvořený záznam dat by mohl fungovat jako určitý způsob zobrazení hodnot, ze kterého je lze vyčíst. Nejedná se ale o graf, ze kterého by na první pohled byly patrné základní znaky (například ve které třídě je nejvíce žáků). Dále můžeme pozorovat typický projev chlapců- tedy žádné vybarvování, což můžeme vidět i v následujícím grafu (obrázek 41). Jako poslední stojí za zmínku to, že dvojice spočítala celkový počet žáků na prvním stupni. S tímto údajem ale dále nepracuje a je tedy nadbytečný. Obrázek 39: Bodový graf Dalšími zpracovateli grafu byli rovněž dva chlapci, kteří se rozhodli vytvořit graf na téma oblíbenost předmětů, viz obrázek 41. Toto téma rovněž není vymyšlené žáky, protože s ním pracovali už dříve. Znovu se jedná o hodnoty smyšlené i přes to, že žáci by teoreticky byli schopni v rámci jedné vyučovací hodiny přesné informace získat. Chlapci se rozhodli pro graf sloupcový, kde k přesnějšímu vyznačení údajů využili pomocné rovnoběžné přímky. Vyskytují se zde drobné nedostatky. Oproti předchozímu řešení se žákům podařilo seřadit údaje podle velikosti, přesné uspořádání grafu jako číselné osy ale zcela nedodrželi. Prvním nedostatkem je, že rozestup mezi hodnotami 5 a 10 je stejný jako mezi 10 a 20. Chyba vznikla z toho důvodu, že si žáci nepředstavili číselnou osu a zákonitosti, které musí splňovat. Myslím si, že kdyby řešitelé hodnoty nanášeli 82

83 na čtverečkovaný papír nebo do již předtištěné osy s rozestupy, pravděpodobnost výskytu této chyby by se snížila. Druhým nedostatkem je, že chybí popis sloupců, takže graf bez zadání postrádá logiku. Navíc o sloupci s hodnotou 30 v zadání zmínka není vůbec. Poslední zajímavostí je, že žáci rovněž hodnoty seřadily tak, že výsledek tvoří jakousi úměru. Promyšlenost takového zobrazení lze vyvodit z toho, že žáci hodnoty nenanášeli v pořadí, v jakém měli hodnoty zaznamenány. Možným vysvětlením je, že žákům připadá logické promyslet si pořadí sloupců předem, když je to možné. Téma grafu toto řazení umožňuje, protože se jedná o sloupce, které jsou na sobě nezávislé. Obrázek 40: Oblíbenost předmětů Sloupcový a koláčový graf na téma domácí mazlíčci vypracovaly dvě dívky. Získané údaje nezapisovaly do tabulky, ale pouze ve formátu žák- zvíře. Hodnoty nakonec spočítaly a přímo zakreslily do sloupcového grafu, jinam už čísla nezaznamenaly. Sloupcový graf je vypracován zcela správně. Dívky dodržely linearitu číselné osy a zároveň je pojmenovaly. U koláčového grafu se setkaly s problémem přesného zobrazení. Z mého pohledu se s úkolem vypořádaly velmi dobře. Nejprve si vypočítaly celkový počet respondentů, kde polovina odpověděla, že doma mají psa. Vyznačily tedy přesnou polovinu. Poté se zabývaly dalšími odpověďmi. Zpracování sice není zcela přesné, ale při prvním pohledu na graf vidíme, že žákyně rozumí způsobu, jakým mají graf tvořit. Rovněž musím podotknout, že úplnou přesnost od žáků páté třídy jsem neočekávala. Takové požadavky by byly neodpovídající s ohledem na poskytnuté podmínky pro vypracování a dovednosti žáků. Přepis výpovědi jednoho z žáků: Ono to je těžký ten koláč udělat jen tak, prostě jsme to odhadli. Znovu si můžeme všimnout, že dívky zvolily barevné zpracování, které je stejné u obou grafů, čímž výsledek působí velmi přehledně. 83

84 Obrázek 41: Koláčový a sloupcový graf na téma domácí mazlíčci Postup vytváření koláčového grafu ilustruji na popisu rozhovoru a ukázce tvorby dívky, která si vybrala téma místo, kde jednotliví žáci bydlí. U: Jak vám tenhle graf jde? Ž: Jo, dobrý. U: A jak to děláte, aby vám to vycházelo? Ž: Že..že když to tady sečteš, tak to je, tak to je 16, potom polovina z toho je 12, takže desítka musí být trochu menší než půl a pak to dodělám. Z přepisu rozhovoru je zřejmé, že dívka se dopustila několika chyb a její vysvětlení v některých momentech postrádá logiku. Nejprve správně uvedla, že celek je dohromady 16. Z výroku polovina z toho je 12 není jasné, jakým způsobem na výsledek přišla a z čeho ho vypočítala, v momentě kdy v předchozí větě celek uvedla správně jako 16. Nicméně ji tento mezivýpočet navedl na další chybný krok, kde uvádí, že 10 je méně než polovina (pravděpodobně v této chvíli operuje s číslem 24 jako s celkem), což je špatně, protože přesnou polovinou v tomto případě bylo 8. Postup jako takový dává smysl a považuji ho za správný, projevily se ale nedostatky ve výpočtu poměru části k celku, což vedlo k chybnému zakreslení výseku grafu. Další nepřesnosti se žákyně dopustila tím, že méně než polovinu graficky zakreslila pomocí tětivy, nikoliv jako výseč vycházející ze středu kružnice. Dodržela tím své tvrzení, že 10 je méně než polovina, neuvědomila si ale to, že výseče v kruhovém diagramu vychází vždy ze středu. Možné také srovnat s obrázkem 20 výše, kde řešitel zpracoval stejné téma rovněž do koláčového grafu. Výseče vychází ze středu, znovu se ale objevuje podobná nepřesnost (10/16 je znázorněno jako méně než polovina). 84

85 Obrázek 42 a, b: Tvorba koláčového grafu Téma věk žáků a sloupcový diagram si zvolili další dva chlapci. Jejich způsob záznamu informací je poněkud nepřehledný. Není zcela jasné, kolik kterým dětem je let, protože žáci při zpracování nepoužili pravítko. Pouze se domnívám, že čárou jsou odděleny děti 11leté a 12leté. Chlapci jednotlivé žáky označili čísly, hodnoty posléze vyznačovali svislými čarami. Je zajímavé, že po nakreslení všech čar spojili vždy ty stejně velké sousedící nebo ty, které šly spojit, aniž by se tím přeškrtla jiná čára. Pravděpodobně se chtěli přiblížit vnější podobě sloupcového grafu, nebo se snažili diagram zpřesnit a sloupci tím lépe přiřadit patřičnou hodnotu. O nedbalosti při tvorbě grafu vypovídá i to, že si žáci nedali velkou práci se záznamem informací a především s jeho jazykovou úrovní. Jména žáků jsou psána s malými počátečními písmeny, často chybí interpunkce. Je však také možné, že žáci mají dyslektické potíže, tyto informace mi bohužel třídní paní učitelka neposkytla. I přes velké nedostatky oceňuji výběr tématu, které bylo zajímavé pro následující rozhovor, který jsem s nimi nahrála. U: Dokážete sami popsat váš graf? Ž: No udělali jsme tam kolik je komu roků a vyšlo nám to takhle. U: Jak takhle? Ž: No že to je všechno stejný, protože jsme všichni skoro stejně starý ve třídě. U: A myslíte, že byste mohli sestrojit graf na stejné téma a nevyšlo by to tak stejně? Ž: No to asi jo, třeba jak je kdo starej doma nebo ve vesnici. Z rozhovoru vyplývá, že žáci bez obtíží dokážou logicky uvažovat nad touto problematikou. 85

86 Obrázek 43: Nepřehledný sloupcový graf Sloupcový graf si zvolili i další dva chlapci, kteří do něj zapracovali informace o barvě vlasů jednotlivých žáků ve třídě. Za nápadité považuji očíslování osy sudými čísly, lichá jsou vyznačena pouze tečkou. Žáci si uvědomili, že by bylo nepřehledné vepisovat všechna čísla. Řešitelé bohužel znovu ke grafu nepřiložili způsob, jakým si zaznamenávali údaje. Z videozáznamu je ale možné vypozorovat, že jeden ze dvojice se rozhlížel po třídě a počítal, druhý žák si zapisoval výsledné počty, které následně nanášel do grafu. Z pořízeného skenu obrázku je vidět, že žáci mnohokrát svůj postup umazávali a přepisovali. Jejich grafické znázornění s přihlédnutím jak k procesu tvorby, tak k výslednému zpracování považuji za nekvalitní. Z grafu se přesné informace špatně získávají. Rovněž je zajímavé, že chlapci zvolili jakousi formu sloupcového grafu, který ve výsledku však může působit spíše jako bodový. 86 Obrázek 44: Barva vlasů

87 Dvojicí, která se nejvíce přiblížila podobě pruhového grafu, byly dvě dívky. Zpracovávaly téma hudebních nástrojů, na které žáci ve třídě umí hrát. Zvolenou metodou pro záznam údajů byla metoda čárkovací. Získané informace byly naneseny do předem připravené mřížky, kterou si žačky samy narýsovaly. Můžeme vidět, že dívky nejprve uvažovaly nad tím, jaká je nejvyšší hodnota, kterou budou potřebovat a podle toho si připravily rozsah číselné osy. Tento postup byl typický téměř pro všechny dvojice zpracovatelů, čímž dokázali porozumění problematice a vytvořili tak grafy přehledné a čitelné. Číselné údaje jsou vyznačeny numericky správně. Hodnoty 2 a 9 jsou vyznačeny vybarvením až posledního pole, čímž graf znovu může působit spíše jako bodový. Obrázek 45: Pruhový graf Na obrázku 47 můžeme vidět tabulku, do které žáci zpracovali téma velikosti chodidel všech žáků ve třídě. Na zapracování hodnot do formy grafu ale bohužel nezbyl čas. Zajímavé je, jak žáci se získanými hodnotami pracovali. Nejprve údaje získali tak, že se dotazovali ostatních a zapisovali čárkovací metodou do tabulky. Následně si do řádků zapsali získané hodnoty číselně. Nakonec ještě vytvořili jiný způsob zápisu, kde údaje zapsali zcela obráceněvypsali vedle sebe vždy velikosti noh, které má stejný počet žáků a seřadili je od nejvyšší četnosti po nejnižší (velikosti noh s nejvyšším zastoupením jsou označeny jako 1). Postupně tedy informace zpracovávaly tak, aby byly co nejčitelnější a nejpřehlednější. Nastává tím poměrně kuriózní situace, se kterou se žáci dobře vypořádali a nechybovali v ní. Hodnoty, které v prvním záznamu mají vepsané například číslo 1 (pouze jeden žák má 87

88 takovou velikost), se v druhém zpracování stává číslem 3, protože se umisťuje na třetím, tedy posledním, místě (nejméně početné zastoupení této velikosti). Obrázek 46: Zaznamenání údajů do tabulky Shrnutí samostatné práce Žáci po celou dobu práce na vlastních grafech pracovali samostatně. V průběhu zjišťování dat ve třídě panoval pracovní ruch, který však ostatní výrazněji nerušil a byl přirozeným vyústěním situace. Většina dvojic pracovala soustředěně a se zájmem o téma. Zvláště pečlivé a produktivní byly zejména ty dvojice, které grafickému znázornění dat porozuměly, a tím pádem pro ně práce byla snadná. 88