Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta. Jaderný rezonanční rozptyl

Transkript

1 Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Jaderný rezonanční rozptyl Mössbauerova spektroskopie pomocí synchrotronového záření Vít Procházka Olomouc, duben 2012 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky v rámci projektu Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky (CZ.1.07/2.2.00/ ).

2 Obsah 1 Úvod 3 I Synchrotron jako zdroj záření 4 2 Synchrotronové záření Dipólové záření Synchrotronové záření Části synchrotronu Ohýbací magnety a superbending magnety Wiglery a Undulátory Mód práce synchrotronu Vlastnosti synchrotronového záření Monochromátory a ostatní zařízení Monochromátory Kolimátory, clony, fokusace, zrcadla Synchrotrony v Evropě a ve světě ESRF, Grenoble, Francie DESY, Hamburk, Německo Další synchrotrony II Jaderný rezonanční rozptyl 23 5 Historický úvod a základní pojmy Vlastnosti jader Mössbauerův jev Mössbauerova spektroskopie

3 OBSAH 2 6 Hyperjemné interakce Izomerní posuv Magnetická interakce Kvadrupólová interakce Interakce jader s elektrickým a magnetickým polem Teoretický popis rozptylu záření 35 8 Koherentní elastický rozptyl Odvození základních rovnic Spektrum koherentního elastického rozptylu Kvantové zázněje Polarizace Mnohonásobný rozptyl Speed up Zachytávání záření Dynamické zázněje Hybridní zázněje Jaderný Braggův rozptyl Izotopy vhodné pro NRS Využití NFS Neelastický rozptyl Základní princip, experimentální uspořádání Teoretický popis Analýza experimentů

4 Kapitola 1 Úvod Synchrotron a synchrotronové záření se staly během posledních dvou desetiletí nenahraditelnými nástroji vědeckého zkoumání světa kolem nás. K získání nových poznatků jsou využívány širokou škálou oborů, například fyzikou, chemií, biologií, medicínou a řadou dalších. Ve všech těchto oborech využití synchrotronového záření přineslo zcela nové poznatky a často se také otevřel nový směr výzkumu. První část textu čtenáře stručně seznamuje s tím, jak synchrotronové záření vzniká, jaké má vlastnosti, jak může být toto záření pro čtenáře užitečné. Tato část textu má sloužit také jako úvod ke druhé části. Druhá část tohoto textu je věnována jadernému rezonančnímu rozptylu a klade si za cíl seznámit čtenáře jak s tímto jevem, jeho teoretickým popisem, tak s experimentálními metodami, které tohoto jevu využívají ke studiu vlastností látek. Text má sloužit všem zájemcům o tuto metodu jako základní seznámení s problematikou. Text předpokládá znalost základních poznatků z elektřiny a magnetismu a kvantové mechaniky na úrovni základních kurzů na vysoké škole, nicméně i když čtenář při četbě vynechá kapitoly věnované kvantově mechanickému popisu získá základní informace o fyzikálních principech jaderného rezonančního rozptylu a jeho využití. K textu je dostupný také podrobný popis analýzy typických případů spekter jaderného dopředného rozptylu. K jednotlivým příkladům jsou dostupná i data, aby si zájemci mohli vyzkoušet zpracování těchto dat sami. 3

5 Část I Synchrotron jako zdroj záření 4

6 Kapitola 2 Synchrotronové záření V souvislosti se synchrotronem a se vznikem synchrotronového záření se vždy dozvídáme, že nabité částice vyzařují elektromagnetické vlny. Položme si však otázku, čím je tento jev způsoben a za jakých okolností k tomuto vyzařování dochází. Hledejme také odpověď na to, jaké má takové záření vlastnosti. Vyzařovaní elektromagnetických vln nabitou částicí je důsledkem konečné rychlosti světla a s tím související konečné rychlosti šíření informace. Představme si nabitou částici pohybující se rovnoměrným přímočarým pohybem. Siločáry znázorňující působení elektrického pole kolem uvažované částice budou přímky kolmé k povrchu a končící v nekonečnu. Tyto siločáry budou pohyb tělesa kopírovat a budou se tedy také pohybovat rovnoměrným přímočarým pohybem. Uvažme nyní, že se toto těleso bude po jistou krátkou dobu pohybovat zrychleně, načež bude opět pokračovat v rovnoměrném přímočarém pohybu. Siločáry, jež jsou výrazem prostorového rozložení náboje v prostoru, se musí s tělesem také pohybovat zrychleným pohybem. Co však bude vnímat pozorovatel sledující pohyb dané částice z určité vzdálenosti? K němu signál o tom, že se částice začala pohybovat zrychleně, ještě v důsledku konečné rychlosti šíření světla (informace) nedoputoval. Siločáry zrychleně pohybující se částice míří kolmo k povrchu, zatímco siločáry daleko od částice stále míří do směru, kde by částice byla, kdyby se částice nezačala pohybovat zrychleně. Siločáry však musí být spojité, a tedy mezi pozorovatelem a částicí musí být siločáry zakřiveny. Toto zakřivení se však ve směru k pozorovateli šíří rychlostí světla a ve chvíli, kdy toto zakřivení dorazí k pozorovateli, je jím zaznamenáno, že se nabitá částice pohybovala zrychleně [1]. Toto zakřivení, které se šíří podél siločár rychlostí světla, je vlastně oním vyzářeným elektromagnetickým zářením. V dalších kapitolách se pokusíme tyto úvahy formalizovat, abychom dokázali exaktně vlastnosti tohoto záření popsat. V dalších kapitolách nastíníme, jakým způsobem můžeme vznik a vlastnosti takového záření formálně popsat. Teorie synchrotronového záření je úzce spojena s teorií záření pohybujících se nabitých částic. 5

7 KAPITOLA 2. SYNCHROTRONOVÉ ZÁŘENÍ Dipólové záření V této kapitole se budeme věnovat vyšetření pohybu elektronu v elektrickémmagnetickém poli ve vakuu, kde ǫ r = 1 a současně µ r = 1. Elektromagnetické pole budeme dále popisovat pomocí Maxwellových rovnic [2]. V této části vyšetříme chování nabité částice v externím magnetickém poli. Jedná se o situaci, kdy nabitá částice, zpravidla elektron, prochází ohýbacím magnetem (ang. bending magnet) synchrotronu. Máme tedy nabitou částici, zde uvažujme elektron, s počáteční rychlostí v 0 = (v 0,0,0), která prochází homogenním magnetickým polem B 0 = (0,B 0,0), toto pole je prostorově omezené a částice tímto polem prochází po určitou omezenou dobu. Nás bude zajímat především elektromagnetické pole této částice, které pozorujeme v místě P (pozorovatel) po dobu průletu částice externím magnetickým polem B (polem ohýbacího magnetu). Na částici v homogenním magnetickém poli působí Lorentzova síla F F = q E +q( v B). (2.1) V našem případě máme vnější elektrické pole nulové, a tedy se nám síla redukuje pouze na F = q( v B). (2.2) Síla působí kolmo na směr pohybu a způsobuje zakřivování trajektorie. Protože elektrony v prstenci synchrotronu jsou urychleny na rychlosti blízké rychlosti světla, musíme částici uvažovat jako relativistickou. Síla působící na částici je také dána kde F = d p dt, (2.3) p = γm v (2.4) a γ je Lorentzův faktor daný vztahem γ = 1 1 ( v )2. c (2.5) Rozepíšeme-li rovnici (2.3), získáme rovnici kde F = m(γ dv dt +γ3β c β = v c dv v), (2.6) dt (2.7)

8 KAPITOLA 2. SYNCHROTRONOVÉ ZÁŘENÍ 7 a c je rychlost světla. Z rovnic (2.6) a (2.2) poté získáme q( v B) = m(γ dv dt +γ3β c dv v). (2.8) dt Řešením této rovnice je pohyb po kruhové trajektorii. Elektromagnetické pole kolem nabité částice je dané vektorovým potenciálem a elektrickým potenciálem, takzvanými Lienard-Wiechertovými potenciály [3] (tyto vztahy zde nebudeme odvozovat) A(P,t) = µ 0 q 4πR β 1+ n β, (2.9) t r φ(p,t) = 1 q 1 4πǫ 0 R1+ n β, (2.10) t r kde R je vzdálenost mezi pozorovatelem (bod P) a částicí a n je jednotkový vektor ve směru R. Tyto potenciály jsou vztaženy do místa pozorovatele v čase t. Veličiny v nich vystupující jsou ale hodnoty v redukovaném čase. Redukovaný čas je dán vztahem t r = t R/c. (2.11) Redukce času je důsledkem konečné rychlosti světla a zohledňuje to, že změny v pohybu částice jsou pozorovatelné se zpožděním daným faktorem R/c. Vektor elektrické intenzity a vektor magnetické indukce získáme ze vztahů (2.9), (2.10) použitím Maxwelových rovnic: E = A t φ (2.12) B = A. (2.13) Postupně provedeme operace gradient, derivace, rotace a získáme výraz popisující elektromagnetické pole v místě pozorovatele 4πǫ E q = 1 β2 ( R+ r Rβ) 3 r + 1 ( [ R ( R+Rβ) cr 3 r dβ r (2.14) dt r]) 4πǫc B q = R cr 2(dβ dt n) r + R ( ) dβ [ β R cr 2 dt ] n. (2.15) r První člen v (2.14) je takzvaný coulombovský člen a pro náboj v klidu rovnice přejde do Coulombova zákona. Tento člen nabývá na významu pouze v místech blízko náboje. V místech dostatečně vzdálených od samotného náboje nabývá na

9 KAPITOLA 2. SYNCHROTRONOVÉ ZÁŘENÍ 8 významu druhý člen a bývá zpravidla nazýván jako vyzařovací člen, radiační člen (ang. radiation regime). Protože nás zajímá situace především v místě dostatečně vzdáleném od náboje, budeme se dále zabývat už pouze radiačním módem 4πǫ E q = 1 cr 3 ( R [ ( R+Rβ) r dβ dt r]) r. (2.16) Obdobné úvahy platí i pro magnetické pole, vektor magnetické indukce, kde můžeme také rovnici (2.15) rozložit na příspěvek blízko nabité částice, který se pro částici (náboj) v klidu zjednoduší na Biot-Savartův zákon. Druhý člen pak vyjadřuje vyzařovací režim 4πǫc B q = R ( ) dβ [ β R cr 2 dt ] n. (2.17) r Pro magnetické pole E a magnetické pole B z rovnic (2.16), (2.17) platí vztah B = 1 c [ E n] r, (2.18) což znamená, že elektrické a magnetické pole jsou na sebe kolmá a že jsou také kolmá na směr n. Snadno vyjádříme Poyntingův vektor jako Nakonec pro Pointingův vektor získáváme S = 1 cµ 0 [ E B] r = ǫ 0 c[ E ( E n)] r. (2.19) S = ǫ 0 ce 2 r n r. (2.20) Rovnice (2.20) vyjadřuje tok hustoty energie v bodě pozorování v čase t ve formě dipólového záření (synchrotronového záření) jednotkovou plochou ve směru pozorování. Jestliže se částice nesoucí elektrický náboj pohybuje nerovnoměrným pohybem (je urychlována), pak vyzařuje elektromagnetické vlnění a hustota energie tohoto vlnění je dána rovnicí (2.20). Zrychlení může působit jak ve směru pohybu (zrychlený pohyb), tak kolmo k pohybu, pak rychlost zůstává stejná, ale zakřivuje se trajektorie pohybu. Ekvipotenciální plochy tohoto záření, je-li rychlost malá, mají typický tvar dipólového záření, obr Pohybuje-li se však částice rychlostí blížící se rychlosti světla, musíme pro přechod ze soustavy spojené s částicí do soustavy laboratorní použít Lorentzovu transformaci a pak v laboratorní soustavě pozorujeme elektromagnetické záření vyzařované v úzkém kuželi ve směru pohybu, jak je patrné z obr. 2.2.

10 KAPITOLA 2. SYNCHROTRONOVÉ ZÁŘENÍ 9 Obrázek 2.1: Dipólové záření. Obrázek 2.2: Dipólové záření po Lorentzově transformaci. 2.2 Synchrotronové záření Označení synchrotronové záření má historický původ, neboť rozvoj synchrotronového záření a jeho využití byl úzce spjat s experimenty jaderné a subjaderné fyziky na velkých urychlovačích, které byly označovány jako synchrotrony. V těchto experimentech byly studovány srážky nabitých částic, jež byly urychlovány na rychlosti

11 KAPITOLA 2. SYNCHROTRONOVÉ ZÁŘENÍ 10 blížící se rychlosti světla. Sráženými částicemi byly zpravidla elektrony a pozitrony. Pro urychlování částic na tak velké energie (rychlosti) byly využívány urychlovače, kde částice byly urychlovány určitým způsobem synchronizovaným elektrickým a magnetickým polem. A odtud pochází pro takové zařízení název synchrotron. Nabité urychlované částice jsou v takovém zařízení udržovány na kruhové dráze prostřednictvím magnetů (ohýbacích magnetů), jež zakřivují jejich dráhu. V ohýbacích magnetech se částice pohybuje zrychleným pohybem a při něm dochází k vyzařování elektromagnetického záření. Toto záření bylo pozorováno poprvé v roce Již brzy po prvním pozorování emise tohoto záření, pro které se vžil název synchrotronové záření, bylo toto záření využíváno pro různé fyzikální experimenty. Synchrotrony první generace jsou zpravidla nazývána zařízení, která byla primárně určena pro experimenty částicové fyziky a kde generace synchrotronového záření nebyla optimalizována pro získání intenzivního záření. Intenzita takového záření například v rentgenové oblasti byla přibližně pětkrát větší než u běžně používaných rentgenových lamp. Mezi taková zařízení patřili například urychlovače DORIS v Hamburku, CESR v Cornell High Energy Synchrotron Source (CHESS) nebo SPEAR ve Stanfordu. Mezi synchrotrony druhé generace se řadí ta zařízení, která již ke generaci synchrotronového zařízení používala speciálně upravených dipólových, kvadrupólových nebo sextupólovýchmagnetů. Intenzita emitovaného záření v porovnání se synchrotrony první generace byla asi dvojnásobná. Příklady těchto zařízení jsou National Synchrotron Light Source (NSLS) v Brookhaven National Laboratories (BNL) na Long Islandu v New Yorku nebo Photon Factory (KEK) v Japonsku. S rozvojem využití synchrotronového záření a se vzrůstem poptávky byly budovány synchrotronové urychlovače už ne za účelem experimentů částicové fyziky, ale jako zdroj intenzivního elektromagnetického záření pro nejrůznější fyzikální experimenty. Tyto synchrotrony díky unikátním vlastnostem generovaného záření se na konci 90. let staly důležitým centrem základního a aplikovaného výzkumu. V těchto zařízeních jsou jako nabité částice výhradně použity elektrony a ke generaci synchrotronového záření slouží speciálně zkonstruované zařízení skládající se z pole magnetů s opačnou orientací pólů takzvaných insertion devices, které se vkládají do přímých úseků akumulačního prstence. Synchrotronem třetí generace je například ESRF v Grenoblu, APS v Argone National Laboratories nebo SPring-8 v Japonsku. 2.3 Části synchrotronu Synchrotron jako zdroj elektromagnetického záření pro fyzikální experimenty se zpravidla skládá ze čtyř základních částí, obr 2.3. První částí je předurychlovač, často je používán lineární urychlovač (LInear ACcelerator). Dalšími částmi jsou BOOSTER, akumulační prstenec (ang. storage ring) a můžeme k nim také přiřadit

12 KAPITOLA 2. SYNCHROTRONOVÉ ZÁŘENÍ 11 takzvané insertion devices (český výraz pro toto zařízení není používán). LINAC - V lineárním urychlovači jsou elektrony urychleny elektrickým polem na určitou rychlost a poslány do BOOSTERu. BOOSTER - je kruhový urychlovač částic, ve kterém jsou LINACem urychlené elektrony dále urychleny na pracovní energii synchrotronu. Takto urychlené elektrony jsou přivedeny vstříknuty do akumulačního prstence ringu. Akumulační prstenec - je hlavní prstenec synchrotronu, ve kterém již elektrony nejsou dále urychlovány na vyšší energie, ale pouze krouží dokola po přibližně kruhové trajektorii. V akumulačním prstenci ringu je však elektronům dodávána energie vyrovnávající energetické ztráty, ke kterým dochází během oběhu. Vyrovnávání energie probíhá tak, aby distribuce energií elektronů v akumulačním prstenci byla co nejmenší. Insertion devices - jsou v podstatě součástí akumulačního prstence a jedná se o zařízení, v nichž je při průletu elektronů generováno synchrotronové záření. Základní charakteristiky, funkce a specifika insertion devices jsou popsány v kapitole 2.5. LINAC storage ring BOOSTER exp. komora Obrázek 2.3: Schéma synchrotronu. Předurychlovacím zařízením je zde lineární urychlovač (LINAC). Synchrotronové záření je přivedeno do experimentální komory, kde probíhají konkrétní experimenty. Jak již bylo zmíněno, u synchrotronů třetí generace jsou pro generaci synchrotronového záření používány insertion devices, které jsou vkládány do přímých částí

13 KAPITOLA 2. SYNCHROTRONOVÉ ZÁŘENÍ 12 1e+14 Fotony/sec/mr 2 /0.1%BW 1e+13 1e+12 1e Energie (ev) Obrázek 2.4: Typické spektrum ohýbacího magnetu. Převzato z /publicfolder_view akumulačního prstence a jejich parametry jsou voleny tak, aby co nejlépe odpovídaly potřebám konkrétních experimentálních technik, jimž slouží jako zdroj záření. Nejběžnějšími insertion devices jsou ohýbací magnety, superbending magnety, wiglery a undulátory Ohýbací magnety a superbending magnety Jedním z insetion devices je ohýbací magnet, který poskytuje méně inteznivní záření než undulátory a wiglery, nicméně pro některé aplikace je vhodnější. Superbending magnety jsou konstruovány obdobně jako ohýbací magnety, avšak jejich parametry jsou voleny tak, aby záření, které poskytují co nejvíce vyhovovalo požadavkům experimentu. Typické spektrum ohýbacího magnetu je znázorněno na obrázku 2.4

14 KAPITOLA 2. SYNCHROTRONOVÉ ZÁŘENÍ Wiglery a Undulátory Konstrukce wiglerů a undulátorů je obdobná avšak záření, které generují se ve svých parametrech výrazně liší. Undulátory i wiglery jsou tvořeny dvěma řadami permanentních magnetů obr. 2.5, kdy se vedle sebe střídá severní a jižní pól. Tímto způsobem je vytvořeno periodicky se měnící magnetické pole jimž prochází elektrony. V důsledku působení tohoto magnetického pole je dráha elektronu periodicky zakřivována a elektron se pohybuje po trajektorii připomínající funkci sinus. Při tomto pohybu samozřejmě musí vyzařovat a vhodnou konstrukcí (mezerami mezi magnety) můžeme dosáhnout toho, že fotony generované v jednotlivých zatáčkách se b ude koherentně sčítat. Výsledkem je pak velice intenzivní záření které je navíc koherentní. Wiglery a undulátory se liší především v rozmístění magnetů, které určuje vlastnosti a následně i možnosti využití generovaného záření. 2.4 Mód práce synchrotronu Ve akumulačním prstenci se elektrony nepohybují ve formě rovnoměrného proudu elektronů, ale jsou soustředěny do malých skupin, kterým se říká balík nebo shluk (ang. bunch). Tyto balíky elektronů krouží v akumulačním prstenci a vždy při zakřivení trajektorie (v ohýbacím magnetu nebo v insertion device) tento balík elektronů vyzáří pulz intenzivního synchrotronového záření. Synchrotronové záření má tedy pulzní charakter. V akumulačním prstenci může obíhat několik balíků elektronů současně. Jejich počtem, vzdáleností a rychlostí je určena doba mezi jednotlivými pulzy záření. Počet těchto balíků se může pohybovat od jednoho až po několik desítek a typická doba mezi dvěma impulzy je 20/-/400 ns. Délka impulzu bývá řádově stovky pikosekund. Pulzní charakter synchrotronového záření umožňuje studovat například rychlé relaxační procesy. Podle počtu elektronových balíků v akumulačním prstenci se potom nazývá mód práce synchrotronu, například čtyř balíkový mód, osmi balíkový mód atd. Pro některé experimenty, jako například pro jaderný rezonanční rozptyl, je výhodnější mód s malým počtem balíků, na druhou stranu pro experimenty vyžadující intenzivní záření je vhodnější mód s velkým počtem balíků. Některé synchrotrony umožňují i kontinuální (spojitý) režim, kdy elektrony nejsou v akumulačním prstenci v elektronových balících, ale jsou rozloženy rovnoměrně po celém obvodu akumulačního prstence. Je možná i kombinace obou modů, hybridní režim, kdy část elektronu je v jedné části akumulačního prstence rozvržena rovnoměrně a část elektronů je v balících v další části akumulačního prstence.

15 KAPITOLA 2. SYNCHROTRONOVÉ ZÁŘENÍ 14 Obrázek 2.5: Undulátor: foto, schéma, zdroj a

16 KAPITOLA 2. SYNCHROTRONOVÉ ZÁŘENÍ Vlastnosti synchrotronového záření Jak již bylo zmíněno v kapitole 2.4, synchrotronové záření má pulzní charakter. V této kapitole se budeme podrobněji zabývat dalšími charakteristikami synchrotronového záření, mezi něž patří spektrální hustota, divergence, světlost (brightness), briliance a další. Tyto charakteristiky se liší podle použitého insertion device a pro každou experimentální metodu je vhodné záření o jiných parametrech, kdy podle požadavků konkrétních metod jsou insertion devices konstruovány. Pro výpočet charakteristik synchrotronového záření vycházejícího z insertion devices existuje celá řada počítačových programů, které jsou zpravidla dostupné na webových stránkách synchrotronů. Mezi takové patří například program SPECTRA8 ze synchrotronu SPring8 nebo program XOP z ESRF v Grenoblu. Synchrotronové záření je emitováno v úzkém kuželu ve směru tečny k trajektorii pohybu elektronů. Rozbíhavost svazku je dána úhlem otevření kužele. Tento úhel σ r je dán vztahem: σ r = 1 γ, (2.21) kde γ = E/m 0 c 2, m 0 je klidová hmotnost částice (nezaměňovat s Lorentzovým faktorem γ) a E je celková energie částice. Doba trvání záblesku, který pozorovatel uvidí při pohledu ve směru tečny k trajektorii elektronů, je dána vztahem: t = 4R 3cγ3, (2.22) kde R je poloměr zakřivení dráhy elektronu. Obvykle se tento čas pohybuje v rozmezí s. První charakteristikou synchrotronového záření je počet fotonů emitovaných obíhajícím elektronem za sekundu, který je úměrný vyzářenému výkonu. Vyzářený výkon je dán vztahem [4]: P = E2 C 6πǫ 0 1 (m 0 c 2 ) 4 E 4 R 2 = e2 c 6πǫ 0 1 R 2γ4, (2.23) E je celková energie částice a R je poloměr zakřivení trajektorie částice. Celkový tok (Total flux) je definovaný jako Total flux F otony/s. (2.24) Celkový tok však zahrnuje fotony všech vlnových délek, a proto je to údaj zajímavý pouze pro některé experimenty, které využívají celé spektrum záření, takzvané bílé záření. Většina spektroskopických metod vyžaduje monochromatické záření, a

17 KAPITOLA 2. SYNCHROTRONOVÉ ZÁŘENÍ 16 tedy je nutné zohlednit spektrální distribuci záření. Energetické spektrum synchrotronového záření z ohýbacích magnetů je obvykle podobné záření černého tělesa s kritickou energií E c danou energií obíhajících částic: kde E c = 3 cγ3 2R = CE3 R, (2.25) C = m/gev 2. (2.26) Kritická energie určuje horní hranici prakticky použitelné energie. Zařízení s energií částic nižší než 2.5 GeV jsou vhodnější pro experimenty s energií částic záření pod 1.5 kev (soft X-ray), zařízení s E > 2.5 GeV jsou vhodná pro měření Hard X-ray. Pro charakterizaci spektrální distribuce se používá jednotka spektrální hustota, která je definovaná vztahem: Spectral flux Photons/s 0.1%bandwidth, (2.27) což je tok normalizovaný na relativní spektrální šířku pásma E/E = Úhel otevření kužele záření může být pro undulátory a wiglery redukován. Parametr K je deflekčním koeficientem a je dán vztahem: K = 0.934λ u (cm)b 0 (T). (2.28) Úhel otevření pro wiglery a undulátory je pak dán vztahem σ r = 1 ( K2 ), (2.29) γ 2Nn kde N je počet period, n je harmonický řád a λ u je perioda střídání magnetických pólu ve wigleru nebo undulátoru. Pro popsání úhlové kolimace svazku je zavedena veličina světlost (brightness) definovaná jako Photons/s Brightness mrad 2 0.1%bandwidth, (2.30) která vyjadřuje spektrální tok na jednotku prostorového úhlu. Parametry (vlastnosti) emitovaného záření nezávisí pouze na parametrech insertion devices, ale také na parametrech svazku částic (elektronů). Jedním z parametrů, které výrazně ovlivňují vlastnosti synchrotronového záření, jsou příčné oscilace částic při pohybu na své trajektorii (orbitu) akumulačního prstence. Tyto oscilace probíhají v obou příčných směrech ke směru letu částic, nazývají se betatronové oscilace a značí se jako funkce β(s), s je bod trajektorie. Dalším parametrem popisujícím záření je emitance.

18 KAPITOLA 2. SYNCHROTRONOVÉ ZÁŘENÍ 17 Vlastnost/veličina Synchrotronové záření Zdroj 57 Co Brightness (ph/s/ev/sr) Brilliance (ph/s/ev/sr/mm 2 ) Typický rozměr svazku (mm 2 ) Energetické rozlišení (ev) proměnné Polarizace 100% lineární nepolarizované Tabulka 2.1: Srovnání parametrů záření klasického mossbauerovského zdroje a synchrotronu třetí generace. Tabulka byla převzata z [6] Pro aplikace, které potřebují vysoce intenzivní svazek záření aplikovat na malý vzorek (do malé plochy), je podstatný parametr briliance definovaný jako: Briliance Photons/s mrad 2 mm 2 0.1%bandwidth. (2.31) Jedná se o světlost (brightness) normovanou na jednotkovou plochu. Dalším důležitým aspektem generace synchrotronového záření je jeho polarizace. Záření vycházející přesně v rovině akumulačního prstence je kompletně polarizované v této rovině. Fotony generované mimo tuto rovinu vykazují určitý stupeň eliptické polarizace. V důsledku konečné úhlové akceptance zařízení, záření obsahuje vždy určitou složku s eliptickou polarizací. Pro některé experimenty je nutná čistá lineární polarizace záření a potom je nutné použít speciálních polarizačních filtrů k odfiltrování nežádoucí elipticky polarizované složky. Jiné experimenty však vyžadují kruhovou polarizaci záření. Pro tyto účely je nutné konstruovat speciální helikální undulátory [5]. Pro představu, jakých intenzit záření můžeme díky synchrotronovému záření dosáhnout, uvádíme v tabulce 2.1 srovnání konvenčního radioaktivního zdroje pro Mössbauerovu spektroskopii a synchrotronového záření. U Mössbauerovy spektroskopie je důležitý poměr signálu a šumu, kdy tento poměr roste s intenzitou použitého zdroje a s časem, po který je spektrum načítané. Tento poměr je úměrný počtu detekovaných fotonů. Proto pro zvýšení tohoto poměru je tedy klíčová doba měření. Zvýšíme-li však intenzitu záření, snižuje se nutná doba akumulace dat potřebná pro získání dat s dostatečným poměrem signálu a šumu.

19 Kapitola 3 Monochromátory a ostatní zařízení 3.1 Monochromátory Pro některé aplikace je možné použít takzvané bílé záření, čili záření obsahující všechny vlnové délky (energie) záření. Častější je však situace, kdy z celého spektra je nutné vybrat pouze určitou úzkou část, čili musíme provést monochromatizaci záření. Monochromatizace je zpravidla také nutná, abychom snížili intenzitu záření tak, aby například nedocházelo k přehřívání vzorků. Způsob monochromatizace se liší podle energie záření, kterou z celého spektra pro náš experiment potřebujeme využít a podstatné jsou také požadavky na šířku spektrálního pásma. Pro nižší energie je možné například použít optických mřížek nebo filtrů. U větších energií už je nutné použít sofistikované konstrukce založené na difrakci záření na speciálně upravených monokrystalech. Návrhy a konstrukcí takových zařízení se zabývá rentgenovská optika. Často je nutné pro dosažení optimálních parametrů monochromatizovaného svazku záření použít vícestupňovou monochromatizaci. Pro potřeby jaderného rezonančního rozptylu je nutné monochromatizaci rozdělit do dvou stupňů, neboť tato metoda vyžaduje poměrně velké energie záření (pro 57 Fe je to například 14.4 kev), ale s šířkou pásma jen několik mev. První stupeň monochromatizace je realizován pomocí monochromátoru s velkou tepelnou zátěží (ang. heat load monochromátor), který má za cíl vybrat z celého spektra záření o potřebné energii (např kev) s šířkou pásma řádově jednoho ev. Tento monochromátor absorbuje převážnou většinu záření a v důsledku této absorpce se velice intenzivně zahřívá. Aby nedošlo k jeho přehřátí, je nutné zajistit velice intenzivní chlazení. To může být realizováno například prouděním chladící kapaliny v úzkých kanálech těsně pod povrchem, na které dochází k absorpci záření. Druhý stupeň monochromatizace dále snižuje šířku pásma až na několik mev. V současné době již existují monochromátory s šířkou pásma pod 1 mev. Tyto monochromátory jsou zpravidla založeny na dvou až čtyřech po sobě následujících 18

20 KAPITOLA 3. MONOCHROMÁTORY A OSTATNÍ ZAŘÍZENÍ 19 difrakcích na monokrystalech. Tyto monochromátory jsou velice citlivé na jakkoliv i nepatrné změny vnějších podmínek, které mohou způsobit i ztrátu svazku. Proto jsou umísťovány do speciálních klimatizovaných komor. 3.2 Kolimátory, clony, fokusace, zrcadla Monochromatizovaný svazek je někdy také nutné prostorově omezit, nebo jeho intenzitu fokusovat na vzorek, případně jinak upravit. K tomu jsou používána další x-ray optická zařízení. Kolimátory, clony, fokusační zrcadla atp.

21 Kapitola 4 Synchrotrony v Evropě a ve světě V posledním desetiletí byla vybudována celá řada nových synchrotronů třetí generace. Některé starší jsou stále modernizovány, aby vyhovovaly novým požadavkům experimentátorů. Přehled velké většiny synchrotronů je možné nalézt na adrese Zde uvádíme pouze některé, které jsou významnější především pro českou komunitu vědců využívající synchrotronové záření a na kterých se nachází stanoviště pro experimenty jaderného rezonančního rozptylu. 4.1 ESRF, Grenoble, Francie Synchrotron ESRF (European Synchrotron Radiation Facility) v Grenoblu ve Francii je pro české uživatele jeden z nejvýznamnějších, neboť Česká republika je společně s Maďarskem a Slovenskem členem konsorcia CentralSync, které přispívá do rozpočtu ESRF. Z tohoto důvodu mají čeští vědci snadnější přístup k experimentům v ESRF. Členy ESRF jsou Francie, Německo, Itálie, Velká Británie, Španělsko, Švýcarsko, Benesync (Belgie, Nizozemí), Nordsync (Dánsko, Finsko, Norsko a Švédsko). Dalšími zeměmi přispívajícími do rozpočtu ESRF jsou Portugalsko, Izrael, Rakousko, Polsko a konsorcium Centralsync. Obvod akumulačního prstence v ESRF měří metrů a elektrony jsou v něm urychlovány na energii 6 GeV. Elektrony jsou udržovány na přibližně kruhové dráze pomocí 64 bending magnetů a svazek elektronů je fokusován pomocí 320 kvadrupolóvých magnetů. Jako insertion devices jsou používány undulátory a wiglery konstruované z bloků permanentních magnetů. Proud svazku je 200 ma. Nyní je synchrotronové záření využíváno 49 beamlineami (experimentálními stanovišti) zabývajícími se strukturní biologií, strukturou materiálů, elektronovou strukturou a magnetismem, dynamikou a extrémními podmínkami, strukturami lehkých materiálů, rentgenovým zobrazováním, teorií pevných látek a rentgenovskou optikou Webové stránky ESRF naleznete na 20

22 KAPITOLA 4. SYNCHROTRONY V EVROPĚ A VE SVĚTĚ 21 Obrázek 4.1: Synchrotron třetí generace ESRF, Grenogle, Francie, zdroj DESY, Hamburk, Německo Hamburkské centrum DESY je místem, kde probíhá intenzivní vývoj jak na poli částicové fyziky, tak na poli technickém týkající se urychlování částic na vysoké energii. V DESY je možné také využít několika zdrojů synchrotronového záření. Liší se v energiích částic i v parametrech emitovaného záření. Jednotlivé akumulační prstence nacházející-náležící do komplexu DESY jsou PETRA, DORIS a HERA. Podrobné informace je možné najít na webových stránkách Další synchrotrony Dalšími synchrotrony jsou například: ANKA, Německo BESY, Berlín, Německo SOLEIL, Francie Barcelona, Španělsko APL, USA, Synchrotron umožňující provádění experimentů jaderného rezonančního rozptylu. Spring8, Japonsko, Synchrotron umožňující provádění experimentů jaderného rezonančního rozptylu.

23 KAPITOLA 4. SYNCHROTRONY V EVROPĚ A VE SVĚTĚ 22 Rozsáhlý přehled o různých zdrojích záření mimo jiné i o synchrotronech je možné nalézt také na webové stránce

24 Část II Jaderný rezonanční rozptyl 23

25 Kapitola 5 Historický úvod a základní pojmy Jaderný rezonanční rozptyl (ang. Nuclear Resonant Scattering (NRS), v textu je dále používána pro jaderný rezonanční scattering zkratka NRS) prošel na konci 80. a začátku 90. let rychlým rozvojem spojeným s vybudováním synchrotronů třetí generace [7], [8]. Jak již samotný název této metody napovídá, jedná se o rozptyl záření na jádrech. Konkrétní vlastnosti tohoto jevu jsou předmětem tohoto textu. Jaderný rezonanční rozptyl je jedna z experimentálních metod vhodných ke studiu hyperjemných polí a hyperjemných interakcí. Mezi takzvané hyperjemné metody (čili metody studující hyperjemná pole) dále patří nukleární magnetická rezonance [9], [10], [11], Mössbauerova spektroskopie, [12], [13], a muonová spinová rezonance [14]. Jaderný rezonanční rozptyl ale umožňuje také například měření fononových spekter. Již krátce po objevení Mössbauerova jevu se objevily teoretické práce popisující jev jaderného rezonančního rozptylu. V roce 1974 navrhl S. L. Ruby [15], že k excitaci jader může být použito synchrotronové záření a Yu. M. Kagan následně vypracoval teorii nukleárního rezonančního rozptylu [16]. Deset let později byl publikován první úspěšný experiment [17], [18]. Následně se metoda dále rozvíjela. V roce 2005 existovalo na světě již několik beamline, které umožňovaly experimenty NRS. Mezi tato pracovistě patří DESY Hamburg, ESRF Grenoble, APL Argon National Laboratories, USA a Spring8 v Japonsku. 5.1 Vlastnosti jader Jádra atomů, jak je dobře známo, se skládají z elementárních částic, které se nazývají nukleony. Jedná se o kladně nabité protony a elektricky neutrální neutrony. To, jakým způsobem jsou tyto základní stavební kameny v jádře poskládány, určuje vlastnosti jednotlivých jader [10]. Mezi základní charakteristiky, kterými jsou jádra popisována, patří: 24

26 KAPITOLA 5. HISTORICKÝ ÚVOD A ZÁKLADNÍ POJMY 25 Hmotnost M Protonové číslo Z, které současně určuje i náboj jádra Nukleonové číslo A, A 57 ZFe, 26Fe Elektrický náboj q = pe Kvadrupólový moment Q Spin s (různý pro základní a excitovaný stav, Fe: s g = 1 2, s e = 3 2 ) Magnetický moment m = γs, γ - gyromagnetický poměr (neplést s předchozími dvěma použitími symbolu γ) Parita Π Jednotlivé nukleony mají spin (vlastní moment hybnosti) o velikosti 1/2, kdy spin jednotlivých nukleonů se skládá do výsledného spinu celého jádra. V přírodě je běžné, že jádra jednoho prvku mohou mít více izotopů. Izotopy jednoho prvku jsou taková jádra, která mají stejné protonové číslo p, ale různé nukleonové číslo n. Základní stav většiny jader má poločíselný spin. Výjimku tvoří jádra se sudým počtem protonů a sudým počtem neutronů (sudo sudá jádra) a lichým počtem protonů a lichým počtem neutronů (licho lichá jádra), která mají výsledný spin jádra v základním stavu nulový, respektive celočíselný. Jaderné rezonanční metody jsou založeny na možnostech jádra přecházet mezi různými stacionárními stavy (stavy nezávislými na čase). Jednotlivé stacionární stavy mají různou energii, kde stacionární stav s nejnižší energií nazýváme základní stav. Přechody mezi jednotlivými stavy jsou zpravidla doprovázeny emisí nebo absorpcí fotonu (kvanta elektromagnetického záření). Jednotlivé stacionární stavy mohou mít různý spin. Například základní stav jádra 57 Fe má spin s = 1, zatímco první 2 excitovaný stav má spin s = Mössbauerův jev Při přechodech mezi jednotlivými stacionárními stavy jádra dochází k vyzáření nebo pohlcení fotonu. K těmto přechodům může dojít i jinými mechanizmy než vyzářením fotonu, těmi se zde ale zabývat nebudeme. Při procesu absorpce nebo emise fotonu jádrem musí platit zákony zachování energie, hybnosti, momentu hybnosti, parity. Uvažujme jádro s nulovou rychlostí v prvním excitovaném stavu. Toto jádro následně spontánní deexcitací přejde do základního stavu za současného vyzáření fotonu. Každý foton má nenulovou hybnost a současně pro celou studovanou soustavu (jádro a foton) musí platit zákon zachování hybnosti, tedy celkový součet hybnosti

27 KAPITOLA 5. HISTORICKÝ ÚVOD A ZÁKLADNÍ POJMY 26 soustavy po vyzáření musí být nulový (nulová rychlost jádra před deexcitací). Aby byl splněn zákon zachování hybnosti, musí jádro po deexcitaci mít hybnost stejné velikosti jako vyzářený foton, ale opačného znaménka. Dojde k takzvanému zpětnému rázu. Tento jev je v podstatě shodný s jevem, kdy střílíme z pušky (při výstřelu nám puška cukne rukou dozadu) nebo když budeme stát na loďce a odhodíme před sebe těžký předmět. Loďka se s námi bude pohybovat v protějším směru ke směru, do kterého jsme odhodili předmět. Jinak bude vypadat situace v látce, například v krystalu, kde jsou jádra pevně vázána v určitých krystalografických pozicích. Při vyzáření fotonu vázaným jádrem musí také platit zákon zachování hybnosti. Zpětný ráz jádra v krystalu však vede ke generaci kmitu mříže (fononu). Ne vždy však může být fonon o dané hybnosti generován (fononové spektrum neumožňuje vybuzení takového fononu) a tehdy zpětný ráz získává krystal jako celek. Tento jev se nazývá jako bezodrazová emise záření nebo také Mössbauerův jev podle německého fyzika Rudolfa Mössbauera, který tento jev poprvé popsal. Analogicky k bezodrazové emisi fotonu známe také jev bezodrazové absorpce gama záření. V anglicko-jazyčné literatuře se zpravidla používá název recoilless absoption/emission of gamma radiation, nebo také Mössbauer effect. Další podrobnosti je možné se dočíst ve speciálních publikacích věnovaných Mössbauerově spektroskopii, například [13], [17], [10] a mnoho dalších. 5.3 Mössbauerova spektroskopie Mössbauerova spektroskopie je, jak již název napovídá, spektroskopickou metodou využívající jevu bezodrazové absorpce a emise fotonu jádrem (Mössbauerova jevu). Jedná se o měření absorpce (emise pro emisní Mössbauerovou spektroskopii) v závislosti na energii dopadajícího záření. Nejčastěji využívaným jádrem pro Mössbauerovu spektroskopii je 57 Fe. Jako zdroje energie se využívá radioaktivního kobaltu a různých energií použitého záření se dosahuje na základě Dopplerova jevu, kdy je zdroj záření (zářič s úzkou spektrální čárou) umístěn na rezonátor, který pohybuje zářičem vůči studovanému vzorku (absorbéru) tak, že vlivem Dopplerova jevu se mění energie emitovaného záření v požadovaném rozsahu. Záření emitované zářičem je nekoherentní a nepolarizované.

28 Kapitola 6 Hyperjemné interakce Jaderný rezonanční rozptyl je užitečným nástrojem pro studium hyperjemných interakcí. V této kapitole stručně představíme magnetickou a elektrickou hyperjemnou interakci. 6.1 Izomerní posuv Jaderný rezonanční rozptyl je metodou citlivou na elektrostatické pole působící na jádro, je citlivá na izomerní posuv. Ten je možné měřit pouze relativně. Stejná situace nastává i u klasické transmisní Mössbauerovy spektrokopie. Hodnotu izomerního posuvu vztahujeme vždy k nějaké referenční hodnotě, k nějakému kalibračnímu vzorku. V experimentech transmisní Mössbauerovy spektrokopie je změřeno spektrum referenčního (kalibračního) vzorku a následně je určen izomerní posuv emisní čáry zářiče vůči referenčnímu vzorku. Pak můžeme vůči tomuto zdroji určovat i izomerní posuvy měřených vzorků. V experimentech jaderného dopředného rozptylu takovýto normál (referenční hodnotu) nemáme, proto při experimentech jaderného rozptylu, u kterých je pro nás důležité určení izomerního posuvu, musíme do měření přidat ještě referenční vzorek se známým izomerním posuvem a k němu poté budeme izomerní posuv studovaného vzorku vztahovat. Takový normál musíme pečlivě vybírat, aby nám nevhodně neovlivnil (neznehodnotil) měření samotného vzorku. Zde se s výhodou využije koherence záření na velkou vzdálenost a toho, že záření prostorově separovaných vzorků spolu interferuje a vytváří charakteristické kvantové zázněje. U měření, kde není použit žádný normál isomerního posuvu, můžeme určovat vzájemný rozdíl isomerních posuvů jednotlivých složek. 27

29 KAPITOLA 6. HYPERJEMNÉ INTERAKCE Magnetická interakce Na jádra v látce působí tzv. efektivní magnetické pole B ef, které je složeno z několika různých příspěvků. Zpravidla nejvýznamnějším příspěvkem je hyperjemné pole B hf. Jedná se o příspěvek spinových a orbitálních momentů elektronů vlastního elektronového obalu. Další součástí efektivního magnetického pole je pole dipolární B dip, jenž vyjadřuje působení magnetických momentů okolních iontů. K celkovému efektivnímu poli Bef může také přispívat externí magnetické pole B 0. Efektivní magnetické pole B ef můžeme potom zapsat jako B ef = B hf + B dip + B ext. (6.1) Obecně hyperjemnou interakcí nazýváme vzájemné působení jaderného magnetického momentu a magnetických momentů elektronů, jejichž vlnová funkce se alespoň částečně překrývá s vlnovou funkcí jádra. Hyperjemnou interakci zpravidla popisujeme pomocí hamiltoniánu hyperfemné interakce: H hf = µ 0 2π γ eγ I 2 I l r + 1 3(3 r s r 3 r r s) π sδ(r). (6.2) Stříška označuje operátor. V magneticky uspořádaných materiálech je nejvýznamnějším příspěvkem poslední člen rovnice (6.2), který se nazývá Fermiho kontaktní člen, nebo také Fermiho kontaktní interakce. Jedná se o interakci jaderného magnetického momentu s magnetickými momenty s-elektronů, které jsou polarizované elektrony neúplně zaplněných orbitalů 3d nebo 4f. Pole indukované polarizovanými s-elektrony v místě jádra dosahuje hodnot až desítek tesla. U magnetických oxidů železa T, u kubického železa je hodnota B hf asi 33 T. Hyperjemné pole na jádře je ovlivněno strukturou elektronového obalu příslušného iontu a mění se podle toho, v jaké látce a jakými vazbami je iont vázán. Hyperjemné magnetické pole může pro různé ionty nabývat hodnot od nuly až po několik desítek tesla. Různých hodnot také nabývá ve stejné látce, ale různých krystalografických a magneticky neekvivalentních polohách. Hamiltonián jádra v interakci s efektivním magnetickým polem má tvar Vztah (6.3) můžeme přepsat do tvaru H = µ B ef. (6.3) H = γ I B ef, (6.4) kde γ je gyromagnetický poměr uvažované částice, je Planckova konstanta a I je operátor momentu hybnosti.

30 KAPITOLA 6. HYPERJEMNÉ INTERAKCE 29 Vztah (6.4) lze, bez újmy na obecnosti, zjednodušit tím, že uvažujeme magnetické pole orientované do směru osyz zvolené soustavy souřadné. Statické pole B 0 má tedy tvar B ef 0 = (0,0,B ef ). Zjednodušený hamiltonián má poté tvar H = γ I z B ef, (6.5) kde J z je operátor průmětu momentu hybnosti částice do osy z. Řešením stacionární Schrödingerovy rovnice Hψ = Eψ (6.6) jsou ekvidistantní energetické hladiny E m, které jsou nazývány Zeemanův multiplet E m = γ B ef m. (6.7) E ω ω ω Obrázek 6.1: Zeemanův multiplet. Štěpení energetických hladin jádra se spinem I= 3 2 v magnetickém poli B ef. 6.3 Kvadrupólová interakce Atomové jádro je složeno z protonů a neutronů. Má tedy určitou vnitřní strukturu, a proto ho nemůžeme chápat jako bodovou částici ale jako částici s prostorově rozloženým nábojem popsaným nábojovou hustotou ρ( r). V této části budeme studovat interakci jádra s elektrickým polem. částice s nábojovou hustotou ρ( r) vložená do elektrického pole popsaného potenciálem ϕ( r) má energii E danou vztahem E = ϕ( r)ρ( r)dv. (6.8) Potenciál ϕ( r) rozvineme v mocninnou řadu ϕ( r) = ϕ(0)+ V 3 x j V j + 1 2! j=1 3 x i x j V ij +, (6.9) i j=1

31 KAPITOLA 6. HYPERJEMNÉ INTERAKCE 30 kde V ij a V j jsou ( ) ϕ V j =, (6.10) x j ( ) 2 ϕ V ij =. (6.11) x i x j Po dosazení rovnice (6.9) do rovnice (6.8) získáme vztah E = ϕ(0) ρ( r)dv + 3 V j j=1 x j ρ( r)dv + 1 2! 3 i j=1 V ij x i x j ρ( r)dv +. (6.12) První člen vyjadřuje elektrostatickou energii jádra v přiblížení bodového náboje q = ρ( r)dv = Ze, (6.13) V kde Z je počet protonů v jádře. Druhý člen je nulový díky nulovosti dipolárního momentu jádra p = rρ( r)dv, (6.14) kde ρ( r) je dáno výrazem V ρ( r) = e ψ 2. (6.15) Díky paritě vlnové funkce ψ( r) = ψ( r) je ψ 2 sudá funkce. Integrál součinu liché a sudé funkce je roven nule, a tedy platí rρ( r)dv = 0. (6.16) V Uvážíme-li, že kvadrupólový moment jádra Q ij je dán vztahem Q ij = (3x i x j δ ij r) 2 ρ(r)dv, (6.17) (Q ij je symetrický tenzor druhého řádu s nulovou stopou), můžeme třetí člen z rovnice (6.12) upravit na E III = 1 6 V 3 V jj j=1 r 2 ρ( r)dv V ij Q ij, (6.18) i j=1

32 KAPITOLA 6. HYPERJEMNÉ INTERAKCE 31 neboť platí x i x j ρdv = 1 3 (Q ij + δ ij r 2 ρdv). (6.19) První člen v (6.18) můžeme zavedením středního kvadratického poloměru jádra < r 2 > r < r 2 2 ρ( r)dv r >= 2 ρ( r)dv = (6.20) ρ( r)dv Ze a užitím Poissonovy rovnice zjednodušit na tvar ϕ = 3 j=1 V jj = ρ(0) ε 0 = e ψ(0) 2 ε 0 (6.21) E I = Ze2 6ε 0 ψ(0) 2 r 2, (6.22) kde ψ(0) 2 je pravděpodobnost výskytu elektronu v místě jádra. Tento člen je tzv. izomerní posuv, který je jednou z veličin, kterou je možné pomocí jaderného rezonančního rozptylu studovat. Hodnota izomerního posuvu závisí na celkovém náboji studovaného atomu nebo iontu, a je tedy citlivá na valenční stav studovaného atomu. Druhý člen v (6.18) popisuje interakci kvadrupólového momentu jádra s vnějším elektrickým polem. Přepíšeme-li Q ij do operátorového tvaru, dostaneme hamiltonián této interakce, jak je uvedeno v [9] H Q = eq 6I(2I 1) i j=1 V ij [ 3 2 (I ii j +I j I i ) δ ij I 2 ]. (6.23) Vyjádříme-li hamiltonián (6.23) v soustavě souřadné spojené s hlavními osami tenzoru V ij, celý výraz se zjednoduší na : H Q = eq ( Vxx (3Ix 2 I 2 )+V yy (3Iy 2 I 2 )+V zz (3Iz 2 I 2 ) ). (6.24) 6I(2I 1) Budeme-li navíc předpokládat, že má elektrické pole osovou symetrii, tj. V xx = V yy a 3 V ii = 0, zjednoduší se hamiltonián (6.23) na rovnici i=1 Vlastní hodnoty energie jsou dány vztahem H Q = eqv zz ( 3I 2 4I(2I 1) z I 2). (6.25) E m = eqv zz ( 3m 2 I 2). (6.26) 4I(2I 1)

33 KAPITOLA 6. HYPERJEMNÉ INTERAKCE 32 Přechody mezi energetickými hladinami lze indukovat střídavým magnetickým polem B 1. Pravděpodobnost přechodu mezi hladinami P m m je úměrná kvadrátu maticového elementu hamiltoniánu H 1. P m m m±1 H 1 (t) m 2. (6.27) Protože < m±1 H 1 (t) m > 0 pouze pro m = m±1, jsou možné přechody pouze mezi sousedními hladinami. Rozdíl energií sousedních hladin je E m±1,m = eqv zz 3 1±2m. (6.28) 4I(2I 1) Frekvence střídavého magnetického pole je tedy dána vztahem ω m±1,m = 3eQV zz 1±2m. (6.29) 4I(2I 1) 5 2 E Obrázek 6.2: Kvadrupólové štěpení energetických hladin pro jádro se spinem I = Interakce jader s elektrickým a magnetickým polem Na jádro v látce může působit jak magnetické, tak elektrické pole. Obě tato pole mohou mít anizotropní charakter. Hamiltonián interakce jádra s elektrickým a magnetickým polem má tvar H = γh 3 eq B ef,i I i + 6I(2I 1) i=1 3 i j=1 V ij [ 3 2 (I ii j +I j I i ) δ ij I 2 ]. (6.30)

34 KAPITOLA 6. HYPERJEMNÉ INTERAKCE 33 Efektivní pole B ef je dáno předpisem B ef,i = A 0 n i + 3 A ij n j, (6.31) kde složka A 0 je izotropní část pole a A ij jsou anizotropní složky efektivního magnetického pole, n i jsou složky jednotkového vektoru ve směru magnetizace. Pro interakci elektrického a magnetického pole s jádrem mohou nastat vzhledem k velikosti jednotlivých členů tři případy. První případ, magnetická interakce je malá oproti elektrické, potom magnetickou interakci chápeme jako malou poruchu vůči interakci elektrické a pro výpočet vlastních energií jádra můžeme použít poruchový počet, více viz [10]. V druhém případě je elektrická interakce malá vzhledem k interakci magnetické a dochází ke změně struktury Zeemanova multipletu a k štěpení spektra nukleární magnetické rezonance na více čar, více viz [10]. I v tomto případě můžeme pro výpočet vlastních energií jádra užít poruchového počtu, kdy elektrická interakce je vůči magnetické interakci slabou poruchou. Třetí a poslední možnost je taková, že obě části, jak elektrická tak magnetická, jsou srovnatelné. Energetické hladiny jsou dány řešením stacionární Schrödingerovy rovnice j=1 Hψ = Eψ. (6.32) Hamiltonián H vyjádříme v maticové reprezentaci v bázi vlastních stavů operátoru z-tové složky momentu hybnosti I z H mn = m H n, (6.33) H = H m +H e, (6.34) kde m jsou vlastní funkce operátoru I z a m je jeho vlastní číslo. Hamiltonián H m upravíme zavedením zvyšovacích a snižovacích operátorů I + a I do tvaru I x = I+ +I, 2 I y = I+ I 2i (6.35) H m = γ [(A 0 +A zz )I z +A xz I x +A yz I y ] = γ [ A I I z +A 1 I + +A 1 I ], (6.36) kdea I = A 0 +A zz aa ±1 = 1 (A 2 xz ±ia yz ). Jelikož platí m I z m = m a m±1 I ± m = (I 1)(I ±m+1), má matice Hm pro případ jádra se spinem 3 tvar 2 γ 3 A 2 I γ 3 A γ 3 H m = A 2 1 γ 1A 2 I γ A γ A 1 γ 1A 2 I γ 3 A γ 3 2 A 1 γ 3 2 A I. (6.37)

35 KAPITOLA 6. HYPERJEMNÉ INTERAKCE 34 kde Hamiltonián H e má po zavedení operátorů I + a I podle vztahů (6.35) tvar H e = eq 4I(2I 1) [(3I2 z I 2 )V 0 +(I + I z +I z I + )V (I I z +I z I )V 1 +I +2 V 2 +I 2 V 2 ], (6.38) V 0 = V zz V ±1 = V xz ±iv yz V ±2 = V xx V yy 2 ±iv xy. Matice kvadrupólové části interakce také pro případ jádra se spinem 3 2 je H e = eq 3V 12 0 eq 12 V eq eq eq V eq V V eq V V eq 3V 12 0 eq V eq 0 V eq V eq 3V (6.39) Diagonalizací matice H mn získáme vlastní hodnoty energií. V případě vyšetřování jevu jaderného rezonančního rozptylu je nutné hledat vlastní hodnoty hamiltoniánu jádra jak v základním, tak excitovaném stavu. Následně pak pomocí dipólové aproximace studujeme pravděpodobnosti přechodu z excitovaného stavu do základního stavu s uvážením hyperjemného štěpení obou hladin.

36 Kapitola 7 Teoretický popis rozptylu záření Nyní budeme studovat jaderný rezonanční rozptyl jako jeden z mnoha případů rozptylu elektromagnetického záření látkou. V této kapitole ukážeme kvantově mechanický popis studovaného problému, který povede ke klasifikaci jaderného rezonančního rozptylu [19]. Uvažujme tedy krystal libovolného materiálu, na který dopadá elektromagnetické záření. Studovaný systém, čili zvolený krystal, popíšeme pomocí hamiltoniánu H S. Elektromagnetické záření popíšeme pomocí hamiltoniánu H R. Dále interakci mezi krystalem a zářením vyjádříme hamiltoniánem H int. Celkový hamiltonián studovaného problému potom má tvar H = H S +H R +H int. (7.1) Pro kvantově mechanický popis rozptylu je zpravidla využito interakční reprezentace (interaction picture) [20]. V interakční reprezentaci je časově závislá jak vlnová funkce, tak operátor. Pro časový vývoj operátoru Ô v interakční reprezentaci platí Podobně pro časový vývoj vlnové funkce ψ(t) platí d ] [ĤS dtô(t) = i +ĤR,Ô(t). (7.2) d dt ψ(t) = iĥint(t) ψ(t). (7.3) Hamiltonián interakce elektromagnetického záření s látkou Ĥint(t) můžeme vyjádřit pomocí operátorů proudů ĝ µ (x,t) (které jsou vlastně obdobou materiálových konstant v Maxwellových rovnicích [2]) a operátoru elektromagnetického pole a  µ (x,t) je operátor vektorového potenciálu fotonu. Ĥ int (t) má tedy tvar Ĥ int (t) = ĝ µ (x,t)âµ(x,t)d 3 x. (7.4) 35