vhodná pro strojové dokazování (Prolog) metoda založená na vyvracení: dokazuje se nesplnitelnost formulí

Transkript

1 Rezoluce: další formální systém vhodná pro strojové dokazování (Prolog) metoda založená na vyvracení: dokazuje se nesplnitelnost formulí pracujeme s formulemi v nkf (též klauzulárním tvaru), ale používáme jinou notaci: klauzule je konečná množina literálů (chápaná jako jejich disjunkce); je pravdivá, pokud alespoň jeden prvek je pravdivý. Prázdná klauzule ¾ je vždy nepravdivá neobsahuje žádný pravdivý prvek. Příklad klauzule: Ô Õ Ö (původně značeno Ô Õ Ö) formule je (ne nutně konečná) množina klauzulí (chápaná jako jejich konjunkce, tedy nkf); je pravdivá, je-li každý prvek pravdivý. Prázdná formule je vždy pravdivá neobsahuje žádný nepravdivý prvek. Příklad formule: Õ Ô Õ Ô Õ Ö (původně značeno Õ Ô Õµ Ô Õ Öµ) popel, glum & nepil 42/48

2 jejich rezolventou je ¼ ½ ¼ ¾ Rezoluce důkazy (rezolvovali jsme na literálu Ô) rezoluční pravidlo: nechť ½ Ô Ø ¼ ½ ¾ Ô Ø ¼ ¾ jsou klauzule, rezoluční pravidlo zachovává splnitelnost (lib. valuace splňující ½ a ¾ splňuje i ; klauzule ¾ ½ označujeme jako rodiče, jako potomka) rezoluční důkaz klauzule z formule Ë je konečná posloupnost klauzulí ½ ¾ Ò, kde Ò a každé je buď prvkem Ë, nebo rezolventou klauzulí pro. Existuje-li tento důkaz, je rezolučně dokazatelná z Ë (píšeme Ë Ê ). Odvození ¾ z Ë je vyvrácením Ë. příklad: dokažte Õ z Ë Ô Ö Õ Ö Ô ½ Ô Ö (prvek Ë), ¾ Õ Ö (prvek Ë), Ô Õ (rezolventa ½ ¾ ), Ô (prvek Ë), Õ (rezolventa ) popel, glum & nepil 43/48

3 Rezoluce stromy přehlednější formou rezolučních důkazů jsou stromy strom rezolučního důkazu z Ë je binární strom Ì s vlastnostmi: Ì kořenem je listy Ì jsou prvky Ë libovolný vnitřní uzel s bezprostředními následníky je rezolventou příklad: strom důkazu Õ z Ë Ô Ö Õ Ö Ô Ô Ö Õ Ö Ô Õ Ô Õ popel, glum & nepil 44/48

4 Rezoluce příklad příklad: vytvořte strom rezolučního vyvrácení Ë (dokažte Ë Ê ¾), je-li Ë Ô Ö Õ Ö Õ Ô Ø Ø Ô Ö Õ Ö Ô Ø Ø Ô Õ Õ Ô Ô Ô ¾ popel, glum & nepil 45/48

5 Rezoluce vlastnosti Věta (korektnost a úplnost rezoluce): rezoluční vyvrácení formule Ë existuje právě tehdy, když Ë je nesplnitelná. důsledek: existuje-li rezoluční strom s listy z množiny Ë a kořenem ¾, pak je nesplnitelná Ë obecné schéma důkazu formule je log. důsledkem množiny formulíì : vytvoříme Ì konjunkci všech prvků z Ì, formuli Ì ¼ převedeme do nkf ¼ a ukážeme nkf Ì ¼ µ Ê ¾ výhody pro strojové zpracování: systematické hledání důkazu, práce s jednoduchou datovou strukturou, jediné odvozovací pravidlo problém: strategie generování rezolvent prohledávaný prostor může být příliš velký; Ô Ô Õ Ô Õ Ö Ô Ö Ö př.: postup, kdy rezolvujeme 2. a 3. klauzuli na Ô a výsledek poté se 4. na Ö, k důkazu nevede popel, glum & nepil 46/48

6 Zjemnění rezoluce I snaha omezit prohledávaný prostor (přestože problém splnitelnosti formulí SAT je NP-úplný): ukončením prohledávání neperspektivních cest určením pořadí při procházení alternativních cest uvedená omezení vedou ke zjemnění rezoluce obecně mají omezení podobu dalších podmínek kladených na rodičovské klauzule nebo rezolventu v definici rezoluce každé omezení rezolučního pravidla je korektní (ale ne každé zachovává úplnost) popel, glum & nepil 47/48

7 Zjemnění rezoluce II vyloučení klauzulí obsahujících literál, který se ve formuli Ë vyskytuje pouze v jedné paritě T-rezoluce jsou rezoluce, kde žádná z rodičovských klauzulí není tautologie klauzule je tautologie, obsahuje-li týž literál v obou paritách (pozitivní bez negace i negativní s negací), např. Ô Õ Ô Ö T-rezoluce je korektní a úplná, tedy Ë je nesplnitelná Ë Ê Ì ¾ nechť je libovolná valuace, -rezoluce (sémantická rezoluce) je rezoluce, kde alespoň jedna z rodičovských klauzulí je v nepravdivá budou-li rodiče v dané valuaci pravdiví, bude v ní pravdivý i potomek touto cestou k nesplnitelnosti nedojdeme -rezoluce je korektní a úplná popel, glum & nepil 48/48