Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Transkript

1 Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky - opakování Definice 1.1 Výrok je formule, která má nějakou pravdivostní hodnotu (má smysl rozhodnout, zda je toto tvrzení pravdivé nebo nepravdivé). Definice 1.2 Nechť V a W jsou výroky, pak zavedeme pojmy... disjunkce (nebo)... konjunkce (a)... negace (ne)... implikace... ekvivalence 1

2 následující tabulkou: V W V V W V W V W V W Dále zaveďme vantifikátory... existenční kvantifikátor (existuje)... obecný kvantifikátor (pro všechna) Příklad 1.1 Negace implikovaná na výrok s kvantifikátorem: ( x : V (x)) x : V (x) ( y : W (y)) y : W (y) Například ( x R y R : x = y + 1) x R ( y R : x = y + 1) x R y R : (x = y + 1) x R y R : x y Množiny - opakování Uvedeme nepřesnou naivní definici množiny (George Cantor ). Definice 1.3 Množina je soubor objektů, které jsou přesně určené a různé a kde vždy nastává pouze jedna z následujících možností: a M... a patří do množiny M. a / M.. a nepatří do množiny M. Tyto objekty nazveme prvky množiny Poznámka 1.1 Množina je svými prvky jednoznačně určena. Definice 1.4 Nechť A a B jsou množiny.

3 A B... A je podmnožina množiny B, tj. x : a A x B. A B... sjednocení množin A a B, tj. množina všech prvků x, které jsou alespoň v jedné z množin A, B. A B = {x : x A x B} A B... průník množin A a B, tj. množina všech prvků x, které jsou jak v A tak v B. A B = {x : x A x B} A \ B... rozdíl A a B, tj. množina všech prvků x, které leží v A a zároveň neleží v B. A \ B = {x : x A x / B}... prázdná množina, tj. množina která neobsahuje žádný prvek. Nechť A i jsou množiny, pak i=1 A i = A 1 A 2... = {x : i N : x A i } i=1 A i = A 1 A 2... = {x : i N : x A i } Následující větu uvedeme bez důkazu. přenecháme jako cvičení pro čtenáře. Jelikož je množina jednoznačně určena svými prvky, tak stačí ukázat, ze pro libovolné x platí: Je-li x prvkem množiny na pravé straně rovnosti, tak je prvkem množiny na levé straně rovnosti a naopak. Věta 1.1 (de Morganova pravidla) Nechť M, A i jsou množiny a A i M, pak a M \ (A 1 A 2 ) = (M \ A 1 ) (M \ A 2 ) M \ (A 1 A 2 ) = (M \ A 1 ) (M \ A 2 ) M \ ( i=1 A i) = i=1 (M \ A i) M \ ( i=1 A i) = i=1 (M \ A i) Definice 1.5 Kartézský součin A a B značený A B je množina všech uspořádáných dvojic (a, b) takových, že a A a b B, tj. A B = {(a, b) : a A b B}. Příklad 1.2 Nechť A = {{1}, {2}} a B = {{0}, {3}}, pak. A B = {(1, 0), (1, 3), (2, 0), (2, 3)}

4 Definice 1.6 Nechť K R, m R. Řekněme, že m je horní odhad množiny K, právě tehdy, když x K : x m. Řekněme, že m je dolní odhad množiny K, právě tehdy, když x K : x m. Řekněme, že m je maximální prvek množiny K (max K), právě tehdy, když m K a x K : x m. Řekněme, že m je minimální prvek množiny K (min K), právě tehdy, když m K a x K : x m. Řekněme, že m je suprémum množiny K (sup K), právě tehdy, když x K : x m, m < m x K : x > m. Řekněme, že m je infimum množiny K (inf K), právě tehdy, když x K : x m, m > m x K : x < m. Řekněme, že K je shora omezená, právě tehdy, když existuje horní odhad K. Řekněme, že K je zdola omezená, právě tehdy, když existuje dolní odhad K. Řekněme, že K je omezená, právě tehdy, když existuje horní i dolní odhad K m R, x K : x < m. Platí následující věta: Každá = A R, která je shora omezená, má v R suprémum. Definice 1.7 A R je induktivní, pokud platí: 1 A x A platí x + 1 A. Nejmenší induktivní množina je N. Příklad 1.3 K = {1, 2, 3}, pak 1 = min K = inf K a 3 = max K = sup K.

5 Příklad 1.4 K = { n 1, n N}. Pak min K = inf K = 0, sup K = 1 a maximum K n neexistuje. Skutečně, 0 K (pro n = 1) a n 1 0 n N, proto 0 = min K = inf K. n 1 je horní závora, neboť 1 > n 1 n N. Nechť m < 1, pak pro n splňující 1 < 1 m n n 1 n 1 tedy < n platí, že > 1 m n m, proto sup K = 1 a max K neexistuje. Příklad 1.5 = K Z, K je shora omezená, potom sup K Z. Ukážeme, že sup K = max K. Nechť sup K / K. Označme m = sup(k) 1 a K, a > m. Zároveň ale platí, že a < sup K (neboť sup K / K). Pak ale b K takové, že b > a, tedy sup K 1 < a < b < sup K a zároveň a b Z SPOR. Příklad 1.6 = A R je shora omezená množina, nechť navíc sup A / A, pak má A nekonečně mnoho prvků. x 0 = sup A 1 x 1 A : x 0 < x 1 x 1 < sup A x 2 A : x 1 < x 2 x 2 < sup A x 3 A : x 2 < x 3. x 1 < x 2 < x 3 < < sup A 1.4 Zobrazení Definice 1.8 Nechť M, N jsou neprázdné množiny, pak f M N nazýváme zobrazení z množiny M do množiny N, jestliže x M y 1, y 2 N : ([x, y 1 ] f [x, y 2 ] f) y 1 = y 2. Pro přehlednost používáme pro zobrazení značení f(x) = y. Definičním oborem zobrazení f nazýváme množinu D f = {x M; y N : f(x) = y}. Nechť X D f, pak f(x) := {y N, x D f : f(x) = y} nazýváme obraz množiny X při zobrazení f. Nechť Y N, pak f 1 (Y ) := {x D f, y N : f(x) = y} nazýváme vzor množiny Y při zobrazení f. f(d f ) nazýváme obor hodnot zobrazení f a značíme H f.

6 Poznámka 1.2 Nechť M a N jsou množiny, pak symbolem f : M N značíme fakt, že f je zobrazení z množiny M do množiny N, M je definiční obor zobrazení f, Obor hodnot f je podmnožinou množiny N. Poznámka 1.3 Speciální případy: Je-li f : R R, pak f nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné. Je-li f : N R, pak f nazýváme posloupností reálných čísel. Definice 1.9 Nechť f : M N. f je prosté zobrazení, jestliže x 1, x 2 D f, x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). f je zobrazení na, jestliže y N x D f : y = f(x). f je bijekce, jestliže je prosté a na. f je identita (značíme I), jestliže x D f, f(x) = x. f je konstantní zobrazení, jestliže c N takové, že x D f, f(x) = c. Nechť f je prosté zobrazení, pak f 1 : H f D f takové, že (x, y) f (y, x) f 1, je inverzní zobrazení k zobrazení f. Řekněme, že zobrazení f a g se rovnají, jestliže D f = D g a f(x) = g(x), x D f. Nechť D f D g a f(x) = g(x) x D f, pak f je zúžením zobrazení g a g je rozšířením zobrazení f. Je-li D f = B, značíme f = g B. Příklad 1.7 Nechť f(x) = x 2 x D f, pak pro D f = R + je f prosté zobrazení, pro D f = R f není prosté (f( 1) = f(1)). Nechť D f = R, pak pro N = R + je f zobrazení na, pro N = R není na (např. y = 3). Definice 1.10 Nechť f : M N, g : N P. Pak zobrazení g f : M P takové, že (g f)(x) = g(f(x)), x M, se nazývá složené zobrazení, kde f nazýváme vnitřním zobrazením a g nazýváme vnějším zobrazením. Příklad 1.8 Nechť f(x) = sin x a g(x) = x 2, pak f g(x) = sin x 2 a g f(x) = sin 2 x. Příklad 1.9 Nechť f(x) = e x, x R, pak f 1 = ln x. f f 1 = I a f 1 f = I, ale f f 1 f 1 f, jelikož D f f 1 = R +, ale D f 1 f = R.

7 Kapitola 2 Posloupnosti Definice 2.1 Zobrazení z N do R nazýváme posloupností (reálných čísel). Značíme {a 1, a 2,...}, {a n } n=1 nebo {a n }. Definice 2.2 Posloupnost {a n } je konstantní, jestliže a n = a R x N. rostoucí, jestliže a n < a n+1 x N. klesající, jestliže a n > a n+1 x N. nerostoucí, jestliže a n a n+1 x N. neklesající, jestliže a n a n+1 x N. monotónní, jestliže platí jedna z předchozích variant. shora omezená, jestliže K R : a n < K x N. zdola omezená, jestliže K R : a n > K x N. omezená, jestliže K R : a n < K x N. Příklad 2.1 Posloupnost a n = 3 + 2n (aritmeticka posloupnost) je rostoucí, zdola omezená. 7

8 Příklad 2.2 Posloupnost a n = n 1 n navíc 0 n 1 n < 1. je rostoucí a omezená. Skutečně, n 2 1 < n 2 (n 1)(n + 1) < n 2 n 1 n < n n + 1, Definice 2.3 Řekněme, že posloupnost {a n } má limitu a R (vlastní), jestliže ε > 0 n 0 N takové, že a n a < ε n > n 0. Značíme lim a n = a nebo a n a. Řekněme, že posloupnost {a n } je konvergentní, má-li limitu, tj. existuje-li a R takové, že lim a n = a. Příklad 2.3 n 1 lim n Musí platit: ε > 0 n 0 N takové, že n 1 1 < ε n > n n 0. Zvolme ε > 0 a hledejme n 0. Chceme, aby n 1 1 = 1 = 1 < ε n > 1, tedy n n n n ε 0 = 1. ε = 1. Příklad 2.4 Posloupnost 1, 1, 1, 1, 1, 1,... nemá limitu Zvolme ε = 1, pak a 4 2n 1 a = 1 a < 1 a ( 3, 5 ). Zároveň platí, že a 2n a < 1 a a 4 2n 1 n N a 3 SPOR. 2 4 Definice 2.4 Řekneme, že posloupnost reálných čísel a n má nevlastní limitu + (resp. ), jestliže K R n 0 N takové, že a n > K(resp. a n < K) n > n 0. Píšeme lim = (resp. lim = ). Příklad 2.5 lim n =. Stačí zvolit n 0 = K. Věta 2.1 (Jednoznačnost limity) Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Nechť a n a, a n b a a b (obě limity vlastní). BÚNO b > a, volme ε = b a, pak n 3 0 N takové, že n > n 0 a n a < b a a a 3 n b < b a, tedy 3 a n (a b a, a + b a b a ) (b, b + b a) = SPOR

9 Nechť a n a je vlastní a zároveň a n. Pak pro ε > 0 n 0 N n > n 0 : a n a < ε a zároveň pro K > 0 ñ 0 N n > ñ 0 : a n > K. Zvolme K > a + ε, pak pro n > max{n 0, ñ 0 } platí a n < a + ε a zároveň a n > a + ε SPOR. Obdobně pro a n a a a n. Nechť a n a a n, pak a n > K pro n > n 0 a zároveň a n < K pro n > ñ 0 SPOR. Věta 2.2 (O limitě součtu) Nechť a, b R, lim a n = a a lim b n = b, pak lim (a n + b n ) = a + b. Zvolme ε > 0, pak n 0 N : a n a < ε 2 a ñ 0 N : b n b < ε 2. Pro n > max{n 0, ñ 0 } platí a n + b n (a + b) a n a + b n b < ε 2 + ε 2 = ε. Věta 2.3 (O limitě součinu) Nechť a, b R, lim a n = a a lim b n = b, pak lim (a n b n ) = a b. a n b n ab = (a n a)(b n b) + ab n + a n b 2ab Pro ε > 0 stačí najít n 1 0, n 2 0 a n 3 0 takové, že: n > n 1 0 : (a n a)(b n b) < ε 3, n > n 2 0 : a(b n b) < ε 3, n > n 3 0 : b(a n a) < ε 3. Pak n 0 = max{n 1 0, n 2 0, n 3 0}. = (a n a)(b n b) + a(b n b) + (a n a)b (a n a)(b n b) + a(b n b) + (a n a)b Lemma 2.4 Nechť lim b n = b, b 0 a b n 0 n N. Pak lim 1 b n = 1 b.

10 BÚNO b > 0, pak existuje n 0 takové, že n > n 0 : b n > b b n b = b b n b b n 2 b b n n > n b 2 0. Zvolme ε > 0 a nechť pro n > ñ 0 N platí b b n < εb2, pak b n b < ε n > max{n 0, ñ 0 }. Věta 2.5 (O limitě podílu) Nechť lim a n = a, lim b n = b, b 0 a b n 0 n N. Pak a n lim = a b n b. Viz lemma 2.4 a věta 2.3 Věta 2.6 (O limitě monotónní posloupnosti) Nechť a n je monotónní posloupnost. i) Je-li posloupnost a n omezená, pak existuje a R takové, že lim a n = a. ii) Je-li posloupnost a n neomezená neklesající, pak lim a n =. iii) Je-li posloupnost a n neomezená nerostoucí, pak lim a n =. i) a n omezená a neklesající, pak existuje s = sup{a n, n N} (axiom supréma). Zvolme ε > 0, pak existuje a n0 takové, že a n0 > s ε, tedy n > n 0 platí s ε < a n s lim a n = s. Obdobně pro nerostoucí posloupnosti. ii) Je-li a n neklesající a neomezená, pak a n a 1, tedy a n je omezená zdola a n není omezená shora. Zvolme K, pak n 0 N : a n0 > K, z monotónie plyne a n a n0 > K n > n 0. iii) obdobně jako v předešlém případě. Věta 2.7 Každá konvergentní posloupnost je omezená. Je-li lim a n = + (resp. ), pak je posloupnost a n omezená zdola (resp. shora).

11 Nechť a n je konvergentní, pak pro ε = 1 existuje n 0 N takové, že a n a < 1 n > n 0, tedy a n < a + 1. Pro M = max{a 1, a 2,..., a n0, a + 1} + 1 tedy platí, že a n M n N. Je-li lim a n =, pak stačí zvolit K, k němu najdeme n 0 takové, že a n > K n > n 0, a zvolme M = min{a 1,..., a n0, K} 1. Obdobně u nevlastní limity. Lemma 2.8 Je-li lim a n = 0 a {b n } je omezená posloupnost, pak lim a n b n = 0. a n b n a n b n a n K εk n n 0, kde b n < K. Lemma 2.9 Je-li posloupnost a n omezená zdola (resp. shora) a lim b n = (resp. ), pak lim n + b n ) = (resp. ). Nechť L R je takové, že a n > L n N, pak K n 0 takové, že b n > K L n > n 0, tedy a n +b n > K L+L = K n > n 0. Lemma 2.10 i) Je-li a n α > 0 n > n 0 a lim b n = (resp. ), pak lim a nb n = + (resp. ). ii) Je-li a n α < 0 n > n 0 a lim b n = (resp. ), pak lim a nb n = (resp. ). iii) Je-li lim a n = ± a lim b n = (resp. ), pak lim a nb n = ± (resp. ).

12 i) Je-li lim b n =, pak n 1 takové, že b n > 0 n > n 1, tedy pro n > max{n 0, n 1 } platí a n b n αb n. Stačí volit K n = K α a najít n 2 takové, že b n > K n n > n 2. Pak a n b n αb n K n > max{n 0, n 1, n 2 }. ii) Viz. i) iii) Plyne z i) a ii). Lemma 2.11 Nechť je lim b n =, b n 0 n N, pak lim 1 b n = 0. 1 < ε b n > 1 ε. b n Lemma 2.12 Nechť lim b n = 0, b n > 0 (resp. b n < 0) n > n 0, pak lim Viz důkaz předchozího lemmatu. 1 b n = + (resp. ). Definice 2.5 Označme R množinu R {, + } a pro každé a R definujme < a < a ± = ± a(± ) = ± pro a > 0 a(± ) = pro a < 0 a ± = 0 ± = ± pro b > 0 b ± = pro b < 0 b ± = + + = = + (± ) = ± (± ) =

13 Nedefinujeme výrazy: 0 (± ), +, ± ± a a 0 pro a R. Věta 2.13 (O aritmetice limit) Nechť a n, b n jsou posloupnosti, potom platí: i) ii) lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n, lim a n b n = lim a n lim b n, iii) pokud jsou pravé strany definovány. a n lim = lim a n, b n lim b n iii ) Je-li b n > 0, lim b n = 0, lim a n > 0 (resp. < 0), pak a n lim = (resp. ). b n iii ) Je-li b n < 0, lim b n = 0, lim a n > 0 (resp. < 0), pak a n lim = (resp. + ). b n i) Viz. věta 2.2 (vlastní limity), věta 2.7 a lemma 2.9 (nevlastní limity). ii) Viz. věta 2.3 (vlastní limity), lemma 2.10 (nevlastní limity). iii), iii ) a iii ) Viz. věta 2.5 (vlastní limity), ii) + lemma 2.11 a lemma 2.12 (nevlastní limity). Příklad 2.6 Nechť a n = n a b n = k n, pak lim a n + b n = k. Ale tuto limitu nelze určit z limit lim a n = a lim b n = (neurčitý výraz ). Příklad 2.7 Nechť a n = n a b n = k n, pak lim a n b n = k. Ale tuto limitu nelze určit z limit lim a n = a lim b n = 0 (neurčitý výraz 0).

14 Věta 2.14 Nechť posloupnosti {a n } a {b n } mají limity (vlastní či nevlastní) a a n b n n > n 0 N, pak lim a n lim b n. Nechť lim a n > lim b n, pak existuje q R takové, že lim a n > q > lim b n. Tedy n 0 N takové, že a n > q a b n < q n > n 0, což je spor s předpokladem a n b n. Věta 2.15 ( O dvou policajtech ) Nechť {a n }, {b n } a {c n } jsou tři posloupnopsti, pro něž platí a n b n c n, n > n 0, lim a n = lim c n = a R, pak lim b n = a. a R, pak n > n 0 a ε < a n b n c n < a + ε, tedy lim b n = a. lim a n =, pak n > n 0 b n a n > K, tedy lim b n =. Obdobně pro lim c n =. Definice 2.6 Nechť {a n } je posloupnost prvků z množiny M a k 1, k 2,... je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Potom posloupnost {b n = a kn } n=1 nazýváme vybranou (pod)posloupností z posloupnosti {a n }. Poznámka 2.1 Je-li k n, n N, rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak k n n n N. Věta 2.16 Nechť lim a n = a R, pak každá vybraná posloupnost z posloupnosti {a n } má také limitu a. Nechť a R, pak a n (a ε, a + ε) n > n 0, pak b n (a ε, a + ε) n > n 0 z poznámky 2.1, jelikož b n = a kn a k n n. Obdobně pro nevlastní limitu.

15 Příklad 2.8 Dokažte, že a) lim a n = pro a > 1, b) lim n! =, c) lim n k a n = 0 pro k Z, a > 1 d) lim a n n! = 0 pro a R. e) lim n n = 1. a) a n > K n > log a K. b) n! n a n. c) Jelikož (n+1)k = nk +( k 1)n k ( k k) 1+( = k 1)/n+...( k nk k)/(n k ) a 1+(k 1)/n+...( k k)/(n k ) a n+1 a n+1 a n a a 1 < 1, pak a a n > a n+1 pro n dostatečně velké existence vlastní limity ({a n } 1 klesající a nezáporná). Je-li α = lim a n = lim a n+1 = lim n a n = α, a a tedy α = 0. d) a n+1 = an+1 = an a = a (n+1)! n! n+1 n a, tedy a n+1 n > a n+1 pro n > a 1 a lim a n+1 = a lim a n lim = 0. n+1 e) Jelikož n n > 1, pak n n = 1 + h n, tedy n = (1 + h n ) n = n ( n ) k=0 k h k n > ( n 2) h 2 n 2 h n <, proto h n 1 n 0, a tedy n n 1. Věta 2.17 Z každé neomezené posloupnosti lze vybrat podposloupnost, která má nevlastní limitu. Nechť {a n } není omezená shora. Ukážeme, že existuje rostoucí posloupnost přirozených čísel k n takových, že a kn > n. Jelikož {a n } není omezená shora, pak existuje a k1 > 1. Nechť k 1 < k 2 <... < k n taková, že a ki > i i = 1,..., n, pak existuje k n+1 > k n takové, že a kn+1 > n + 1. Skutečně, nechť takové k n+1 neexistuje, pak je ale posloupnost {a n } omezená shora např. číslem max{a 1, a 2,..., a kn, n+1}, což je ve sporu s předpokladem neomezenosti, proto lze takové k n+1 najít. Jelikož a kn > n n, pak lim a kn = z důkazu věty Obdobně pro {a n } omezenou zdola.

16 Věta 2.18 (Weierstrassova) Z každé omezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat konvergentní vybranou posloupnost. Existují A, B R takové, že A < a n < B n N (z omezenosti posl {a n }). Označme A 1 = A, B 1 = B a k 1 = 1. Jelikož v intervalu [A 1, B 1 ] leží nekonečne mnoho prvků posloupnosti {a n }, pak alespoň v jednom z intervalů [A 1, A 1+B 1 ], [ A 1+B 1, B ] musí ležet nekonečně mnoho prvků posloupnosti {a n }. Označme tento interval [A 2, B 2 ] a nechť k 2 = min{n > k 1 : a n [A 2, B 2 ]} (existence minima plyne z toho, že v [A 2, B 2 ] je nekonečně mnoho členů posloupnosti {a n }). Obdobně označíme [A 3, B 3 ] ten z intervalů [A 2, A 2+B 2 ], [ A 2+B 2, B ], ve kterém leží nekonečně prvků posloupnosti (v případě, že v obou intervalech leží nekonečně prvků posloupnosti, tak si můžeme vybrat, jaký z těchto intervalů označíme [A 3, B 3 ]). Označíme k 3 = min{n > k 2 : a n [A 3, B 3 ]} a pokračujeme stále stejným způsobem dále. Takto sestrojíme posloupnost intervalů {[A n, B n ]} a vybranou posloupnost {a kn }, pro něž platí: [A n+1, B n+1 ] [A n, B n ], n N, B n A n = B A 2 n 1, a kn [A n, B n ]. Jelikož {A n } a {B n } jsou monotónní a omezené posloupnosti, tak jsou konvergentní B A (věta 2.6). A jelikož lim (B n A n ) = lim = 0, tedy lim 2 n 1 A n = lim B n, tak dle věty 2.15 je lim a k n = lim A n. Definice 2.7 Posloupnost {a n } splňuje Bolzano-Cauchyovu podmínku (je cauchyovská), jestliže ε > 0 n 0 N n, m > n 0 je a n a m < ε. Věta 2.19 (Bolzanova-Cauchyova) Posloupnost {a n } je konvergentní tehdy a jen tehdy, když splňuje Bolzano-Cauchyovu podmínku. Nechť lim a n = a R, pak ε > 0 n 0 N : a n a < ε 2 pro n > n 0. Tedy a n a m = a n a (a m a) a n a + a m a < ε pro všechna m, n > n 0. Nechť {a n } je cauchyovská:

17 1) Ukažme si, že {a n } je omezená. Pro ε = 1 existuje n 0 N takové, že a n a m < 1 n, m > n 0, tedy a n < a m < a n m n 0. Pak tedy a n max{a 1,..., a n0 1, a n0 +1} a a n min{a 1,..., a n0 1, a n0 1} pro všechna n N. 2) Jelikož je {a n } omezená, pak dle věty 2.18 existuje vybraná konvergentní posloupnost {a kn } z posloupnosti {a n }, označme lim a kn = a. 3) Zvolme ε > 0, pak a kn a < ε 2 n > n1 0 (lim a kn = a) a a n a m < ε 2 n, m > n 2 0 (B-C podmínka). Zvolme m > n 1 0 takové, že k m > n 2 0, pak a n a = a n a km + a km a a n a km + a km a < ε pro n > n 2 0. Definice 2.8 ( lim n = e. n)