Úvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží

Transkript

1 Úvod do TI - logika Výroková logika - pokračování (3.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

2 Normální formy formulí výrokové logiky Každé formuli výrokové logiky přísluší právě jedna pravdivostní funkce, zobrazení {p, q, r } {0, 1} (pravdivostní tabulka). Naopak však jedné takové funkci odpovídá nekonečně mnoho formulí, které jsou navzájem ekvivalentní. Definice: Formule A, B jsou ekvivalentní, značíme A B, mají-li přesně stejné modely, tj. vyjadřují stejnou pravdivostní funkci. Jinými slovy, A B iff A B a B A. Příklad: p q p q (p q) (p q) (p p) (p q) (p p)... Pozn.: Nesmíme plést ekvivalenci formulí A B s formulí tvaru ekvivalence A B. Platí však, že A B právě když formule A B je tautologie. Př.: (p q) [(p q) (q p)] if [(p q) ((p q) (q p))] 2

3 Normální formy formulí výrokové logiky (p q) [(p q) (q p)] [( p q) ( q p)] [(p q) ( p q)]. Je užitečné stanovit nějaký normální tvar formule tj. vybrat mezi těmito nekonečně mnoha ekvivalentními formulemi jeden nebo dva kanonické normální tvary. Třída ekvivalentních formulí je pak reprezentována touto vybranou formulí v normálním tvaru. V našem příkladu jsou v normálním tvaru formule na druhém a třetím řádku. 3

4 Normální formy formulí výrokové logiky Literál je výrokový symbol nebo jeho negace. Př.: p, q, r,... Elementární konjunkce (EK) je konjunkce literálů. Př.: p q, r r,... Elementární disjunkce (ED) je disjunkce literálů. Př.: p q, r r,... Úplná elementární konjunkce (ÚEK) dané množiny výrokových symbolů je elementární konjunkce, ve které se každý symbol z dané množiny vyskytuje právě jednou (buďto prostě nebo negovaný): Př.: p q Úplná elementární disjunkce (ÚED) dané množiny výrokových symbolů je elementární disjunkce, ve které se každý symbol z dané množiny vyskytuje právě jednou (buďto prostě nebo negovaný). Př.: p q Disjunktivní normální forma (DNF) dané formule je formule ekvivalentní s danou formulí a mající tvar disjunkce elementárních konjunkcí. Příklad: DNF(p p): (p p) ( p p), p p Konjunktivní normální forma (KNF) dané formule je formule ekvivalentní s danou formulí a mající tvar konjunkce elementárních disjunkcí. Příklad: KNF(p p): ( p p) ( p p) Úplná disjunktivní normální forma (UDNF) dané formule je formule ekvivalentní s danou formulí a mající tvar disjunkce úplných elementárních konjunkcí. Příklad: UDNF(p q): (p q) ( p q) Úplná konjunktivní normální forma (UKNF) dané formule je formule ekvivalentní s danou formulí a mající tvar konjunkce úplných elementárních disjunkcí. Příklad: UKNF(p q): ( p q) 4

5 Normální formy formulí výrokové logiky Jak nalézt kanonický tvar (tj. UDNF, UKNF) formule? UDNF: disjunkce = 1, když alespoň jedna UEK = 1, tj. všechny literály v této UEK = 1. UKNF: konjunkce = 0, když alespoň jedna UED = 0, tj. všechny literály v této UED = 0. Proto: UDNF (UKNF) sestrojíme z pravdivostní funkce tak, že si všímáme řádků, kde je hodnota 1 (0) a zajišťujeme správnou hodnotu literálů 1 (0). 5

6 Nalezení UDNF, UKNF - tabulkou Nalézt UDNF, UKNF formule: (p q) p q (p q) UEK UED p q p q p q p q UDNF: p q UKNF: ( p q) (p q) (p q) 6

7 Nalezení UDNF, UKNF - úpravami Metoda ekvivalentních úprav: p q p q (p q) UDNF [p (q q ] [ q (p p ] p q p q p q UKNF Pozn.: Využíváme zde tautologie výrokové logiky, viz předchozí presentace. Ve druhém řádku využíváme toho, že disjunkce libovolné formule A s kontradikcí (F) je ekvivalentní A: A F A Ve třetím řádku jsou použity distributivní zákony. Každá formule, která není kontradikce, má UDNF a Každá formule, která není tautologie, má UKNF 7

8 Opačná úloha: k UDNF, UKNF nalézt jednodušší původní formuli Alchymista je zavřen ve vězení a dostane 5 motáků s výroky: p: Podaří se ti přeměna olova ve zlato q: 1.4. bude tvůj švagr jmenován prokurátorem r: Po 1.4. bude soud. První moták zní: p q r Druhý moták zní: p q r Třetí moták zní: p q r Čtvrtý moták zní: p q r Pátý moták zní: Alespoň jeden z předchozích motáků je pravdivý. Otázka: Co se vlastně nebohý alchymista dověděl? Řešení: (p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r). Máme tedy nalézt formuli, k níž je tato UDNF ekvivalentní. Za pomoci distributivních zákonů dostaneme: (p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r) (p q) (r r) ( p q) (r r) (p q) ( p q) (p q) Odpověď: Podaří se ti přeměna olova ve zlato tehdy a jen tehdy, když bude 1.4. tvůj švagr jmenován prokurátorem. 8

9 Otázka: kolik binárních pravdivostních funkcí (a tedy logických spojek) existuje? p q A B C D E F NO R NAND 9

10 Kolik nejméně a které spojky potřebujeme? Dle věty o normálních tvarech stačí:,, (funkcionálně úplná soustava) Ostatní vytvoříme skládáním funkcí Následující soustavy pravdivostních funkcí jsou funkcionálně úplné: 1. pravdivostní funkce příslušející spojkám {,, }, 2. pravdivostní funkce příslušející spojkám {, } nebo {, }, 3. pravdivostní funkce příslušející spojkám {, }, 4. pravdivostní funkce příslušející spojce { } nebo { }. Tedy k vyjádření libovolné pravdivostní funkce, tj. libovolné formule ekvivalentním způsobem stačí jedna spojka! Buď Scheferova NAND nebo Pierceova NOR. 10

11 Kolik nejméně a které spojky potřebujeme? Soustava {,, } stačí dle vět o normálních formách. Převod na soustavu {, } nebo {, }: A B ( A B), A B ( A B) Převod na soustavu {, }: A B A B, A B (A B) Převod na soustavu { } nebo { }: A A A, A B (A B) (A B), kde značí NAND, A A A, A B (A B) (A B), kde značí NOR. 11

12 Sémantická tabla: metoda tvorby DNF, KNF Disjunktivní tablo: strom jehož listy jsou konjunkce literálů. Konjunktivní tablo: strom jehož listy jsou disjunkce literálů. A (tautologie) všechny listy konjunktivního tabla musí být uzavřené, tj. obsahovat opačný pár literálů: p, p: (p p) tautologie A (kontradikce) všechny listy disjunktivního tabla musí být uzavřené, tj. obsahovat opačný pár literálů: p, p: (p p) kontradikce 12

13 Postup tvorby sémantického tabla 1. Formuli upravíme tak, aby negace byla všude uvnitř, tj. u jednotlivých proměnných (tedy provedeme ekvivalentní negace). 2. Tam, kde je nějaká podformule ve tvaru implikace nebo ekvivalence, převedeme na disjunkci resp. konjunkci s využitím logických zákonů: (p q) ( p q), (p q) ( p q) ( q p) (p q) ( p q) 3. Konstruujeme tablo uplatňováním distributivního zákona. 13

14 Disjunktivní normální forma Větvení znamená disjunkci, čárka znamená konjunkci. Postupujeme zleva a jakmile narazíme na disjunkci, rozvětvíme. Levý disjunkt do levé větve + zbytek formule oddělený čárkami, pravý disjunkt do pravé větve + zbytek. Větvíme tak dlouho, až žádná podformule neobsahuje disjunkci a strom má v listech pouze seznamy literálů oddělené čárkami, které značí elementární konjunkce. 14

15 Konjunktivní normální forma: duální k disjunktivní Větvení znamená konjunkci, čárka znamená disjunkci. Postupujeme zleva a jakmile narazíme na konjunkci, rozvětvíme. Levý konjunkt do levé větve + zbytek formule oddělený čárkami, pravý do pravé + zbytek. Větvíme tak dlouho, až není nikde konjunkce a strom má v listech pouze seznamy literálů oddělené čárkami, které značí elementární disjunkce. 15

16 Důkaz, že formule je a) tautologie, b) kontradikce a)důkaz, že formule F je kontradikce: Zkonstruujeme disjunktivní tablo. Pokud se všechny větve uzavřely, tj. každý list sémantického stromu tvoří elementární konjunkce s dvojicí literálů s opačným znaménkem (např. p, p, což znamená p p), je formule F kontradikce. b)důkaz, že formule F je tautologie: Zkonstruujeme konjunktivní tablo. Pokud se všechny větve uzavřely, tj. každý list sémantického stromu tvoří elementární disjunkce s dvojicí literálů s opačným znaménkem (např. p, p, což znamená p p), je formule F tautologie. 16

17 Důkaz, co vyplývá z dané formule Disjunktivní sémantické tablo, které se neuzavřelo, doplníme takovou formulí (konjunkcí literálů), aby se všechny větve uzavřely. Negace toho, co jsme doplnili, vyplývá. Např. doplníme-li p, q, pak jsme doplnili p q, tedy vyplývá p q, tj. p q. Duálním způsobem můžeme použít konjunktivní normální formu. 17

18 Úplné normální formy. Z tabla se dá snadno zdůvodnit, proč tautologie nemá úplnou konjunktivní normální formu (UKNF) a proč kontradikce nemá úplnou disjunktivní normální formu (UDNF): Je-li formule tautologie, pak se všechny větve konjunktivního tabla uzavřou, tj. v každé ED je dvojice literálů s opačným znaménkem (p, p), resp. p p, což je vyloučeno v UED. Tedy neexistuje UKNF. Analogicky pro UDNF. 18

19 UDNF tautologie o jedné (T1), dvou (T2) a třech (T3) proměnných T1: p p T2: (p q) (p q) ( p q) ( p q) T3: (p q r) (p q r) (p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r) ( p q r) ( p q r) V každé možné valuaci musí být alespoň jedna UEK pravdivá. 19

20 UDNF tautologie Není-li formule tautologie, pak musí v UDNF nějaká z těchto UEK chybět. Proto, konstruujeme-li UDNF z tabulky, vyjdeme z těch řádků pravdivostní funkce, ve kterých je hodnota = 1 (hodnoty nepravda v disjunkci nehrají roli, neboť A F A) a konstruujeme UEK tak, aby byla při této valuaci pravdivá. Zcela analogicky pro UKNF vyjdeme z 0. 20

21 Dokažte, že formule F je tautologie: F: [(p (q r)) ( s q) (t r)] (p (s t)) Nepřímý důkaz (sporem). Pomocí disjunktivní normální formy dokážeme, že formule F je kontradikce: (p (q r)) ( s q) (t r) p s t ( p q r) (s q) (t r) p s t Konstrukce disjunktivního tabla (větvení disjunkce, čárka konjunkce): 21

22 Dokažte, že formule F je tautologie: ( p q r) (s q) (t r) p s t p,(s q),(t r),p, s, t q,(s q),(t r),p, s, t + r,(s q),(t r),p, s, t q,s,(t r),p, s, t q, q,(t r),p, s, t + + r,s,(t r),p, s, t r, q,(t r),p, s, t + r, q,t,p, s, t + + r, q, r,p, s, t

23 Co vyplývá z formule G? G: (p (q r)) ( s q) (t r) Řešení: Kdybychom udělali sémantické tablo formule G, pak ve všech listech předchozího sémantické stromu budou chybět literály p, s, t. Doplníme-li je tedy do všech větví, všechny větve se uzavřou. Tedy formule (G p s t) je kontradikce. Proto: G (p s t). Tedy: G (p s t), G ( p s t), G (p (s t)) Není divu, vždyť formule F (sl. 22) je tautologie! 23

24 Dokažte, že formule F je tautologie: F: [(p (q r)) ( s q) (t r)] (p (s t)) Přímý důkaz: Pomocí konjunktivní normální formy dokážeme, že formule F je tautologie: Větvení konjunkce, čárka disjunkce. F (p q r) ( s q) ( t r) p s t Atd., analogicky (duálně) k nepřímému důkazu disjunktivní normální formou. 24

25 Rezoluční metoda ve výrokové logice Sémantické tablo není výhodné z praktických důvodů. Chceme-li dokázat, že P 1,...,P n Z, stačí dokázat, že (P 1... P n ) Z, tj. P 1... P n Z je kontradikce. Ale, pro důkaz sémantickým tablem potřebujeme formuli v disjunktivní normální formě. To znamená, že musíme převádět tuto formuli, která je téměř v konjunktivní formě, za použití distributivního zákona do disjunktivní formy. Použití sémantického tabla vede často k mnoha distributivním krokům. Jednodušší prakticky bude dokázat přímo spornost, tj. nesplnitelnost, formule P 1... P n Z. 25

26 Rezoluční pravidlo dokazování ve výrokové logice Nechť l je literál. Z formule (A l) (B l) odvoď (A B). Zapisujeme: (A l) (B l) Toto pravidlo není přechodem k ekvivalentní formuli, ale zachovává splnitelnost. (A B) Důkaz: Nechť je formule (A l) (B l) splnitelná, tedy pravdivá při nějaké valuaci v. Pak při této valuaci musí být pravdivé oba disjunkty (tzv. klausule): (A l) a (B l). Nechť je dále v(l) = 0. Pak w(a) = 1 a tedy w(a B) = 1. Nechť je naopak v(l) = 1. Pak w( l) = 0 a musí být w(b) = 1, a tedy w(a B) = 1. V obou případech je tedy formule A B pravdivá v modelu v původní formule, a tedy splnitelná. 26

27 Rezoluční pravidlo dokazování ve výrokové logice Uvědomme si, že důkaz byl proveden pro jakýkoli model, tj. valuaci v. Jinými slovy platí, že pravidlo zachovává také pravdivost: (A l) (B l) (A B). To nám poskytuje návod, jak řešit úlohu, co vyplývá z dané formule, resp. množiny formulí. Navíc, platí že konjunktivní rozšíření formule o rezolventu (A B) nemění pravdivostní funkci formule: (A l) (B l) (A l) (B l) (A B) 27

28 Klauzulární forma Konjunktivní normální forma formule se v rezoluční metodě nazývá klauzulární forma. Jednotlivé konjunkty (tj. elementární disjunkce) se nazývají klauzule. Příklad: Převod formule do klauzulární formy: [((p q) (r q) r) p] ((p q) (r q) r) p ( p q) (r q) r p Formule má čtyři klauzule. Důkaz, že je to kontradikce provedeme tak, že postupně přidáváme rezolventy, až dojdeme ke sporné klauzuli ( p p), značíme: ( p q) (r q) ( p r) r p p 28

29 Důkazy rezoluční metodou R(F) konjunktivní rozšíření formule F o všechny rezolventy. R 0 (F) = F, R i (F) = R(R i-1 (F)) rezoluční uzávěr formule F. Platí, že R i (F) F Důkaz, že A je kontradikce (nesplnitelná): existuje n takové, že R n (A) obsahuje prázdnou klausuli: Důkaz, že A je tautologie: A je kontradikce. Důkaz, že množina formulí {A 1,,A n } je nesplnitelná: dokážeme, že formule A 1... A n je kontradikce. Odvodit, co vyplývá z {A 1,,A n } znamená odvodit všechny rezolventy. Důkaz správnosti úsudku A 1,,A n Z Přímý: postupným vytvářením rezolvent odvodíme, že z A 1,...,A n vyplývá Z Nepřímý: dokážeme, že A 1... A n Z je tautologie, neboli A 1... A n Z je kontradikce, neboli množina {A 1,..., A n,, Z} je nesplnitelná. 29

30 Příklady, postup Jednotlivé klausule napíšeme pod sebe a odvozujeme rezolventy (které vyplývají). Při nepřímém důkazu se snažíme dojít k prázdné klauzuli. Důkaz nesplnitelnosti formule: ( q p) (p r) (q r) p 1. q p 2. p r q r p 5. p r rezoluce 1, 3 6. p rezoluce 2, 5 7. spor 4, 6 Dotaz: Co vyplývá z formule ( q p) (p r) (q r)? Formule p. 30

31 Příklady, postup Přímý důkaz platnosti úsudku: p q r, s q, t r p (s t) p q r 2. s q 3. t r p s r rezoluce 1, 2 p s t rezoluce 3, 4 p s t p (s t) Q.E.D. 31

32 Příklady Nepřímý důkaz platnosti úsudku: p q r, s q, t r p (s t) 1. p q r 2. s q 3. t r 4. p s r rezoluce 1, 2 5. p s t rezoluce 3, 4 Negovaný Závěr (řádky 6.,7.,8.) 6. p 7. s 8. t 9. p s t, p, s, t s t, s, t t, t 32

33 Logické programování Strategie generování rezolvent. Rezoluční uzávěr generujeme všechny rezolventy strategie generování do šířky Může být implementačně neefektivní kombinatorická exploze rezolvent Proto v logickém programování se používá strategie generování do hloubky: není úplná může uvíznout v nekonečné větvi, i když řešení existuje. 33

34 Příklad neúplnosti strategie do hloubky d e (b a) (e b) (d a) a (?) - Logický program (strategie do hloubky, řízená cílem): 1. D. fakt 2. E. fakt 3. A : B. pravidlo (A pokud B) 4. B : E. pravidlo (B pokud E) 5. A : D. pravidlo (A pokud D) 6.?A dotaz, cíl snaží se splnit cíl A, prohledává program shora dolů a hledá klauzuli s A vlevo najde klauzuli 3. generuje nový cíl B najde klauzuli 4. nový cíl E je splněn klauzulí 2. ANO. nebo generuje proces navracení: znovu?a klauzule 5 cíl D klauzule 1. ANO. 34

35 Příklad neúplnosti strategie do hloubky, zleva Malá úprava programu: 1. D. 2. E : B. 3. A : B. 4. B : E. 5. A : D. 6.?A A B D E 2. B 4. atd. Řešení nenajde, i když existuje. 35

36 Výroková logika shrnutí úloh 1. Důkaz, že daná formule je tautologie / kontradikce, nesplnitelná. 2. Důkaz, že daná množina formulí je nesplnitelná. 3. Důkaz (přímý / nepřímý), že úsudek je platný. 4. Odvození, co vyplývá z daných předpokladů.. Umíme řešit: Sémanticky, tj. tabulkou nebo sporem. Úpravami formulí a použitím základních pravidel odvozování (modus ponens, transpozice, eliminace disjunkce). Pomocí normálních forem: konjunktivní a disjunktivní, tj. pomocí sémantického tabla. Rezoluční metodou: klazulární forma (konjuktivní normální forma). 36