Sémantické úvahy o modální logice

Transkript

1 Sémantické úvahy o modální logice Saul A. Kripke Tento příspěvek si klade za úkol objasnit některé vlastnosti sémantických teorií modální logiky.' Pro určité rozšíření systému SS o kvantifikátory byla příslušná teorie předložena již v práci "A Completeness Theorem in Modal Logic"2 a zásadní výsledky byly sumarizovány v "Semantical Analysis of Modal Logic".l Zde se proto soustředíme pouze na jeden aspekt teorie - zavedení kvantifikátorů - a omezujeme se téměř výhradně na jeden z více způsobů, jak tohoto cne dosáhnout. Důraz práce je čistě sémantický, proto opomíjíme metodu sémantických tabulek, která je pro plnou prezentaci teorie naprostou nezbytností. (K tomu viz práce "A Completeness Theorem in Modal Logic"4 a "Semantical Analysis of Modal Logic 1"5.) Rovněž exaktním důkazům se snažíme spíše vyhnout. V práci zkoumáme čtyři modální systémy.6 Formule A, B, C,... konstruujeme na základě atomických formulí P, Q, R.... pomocí výrokových spojek /\ [konjunkce, tj. spojka "a"v -, [negace, tj. zápor "ne_"] a operátoru o ["nutně"]. Systém M obsahuje následující axiomová schémata a odvozovací pravidla: A. oa--.ta Oestliže je tvrzení A nutně pravdivé, pak je pravdivé] A2. o(a--.tb)--.t(oa--.tob) Oestliže implikace A--.tB je nutně pravdivá, pak je-i nutně pravdivé tvrzení A, je nutně pravdivé také tvrzení B] Pr. A, A--.tBf-B Oe-i pravdivé tvrzení A a jestliže je pravdivá rovněž implikace A--.tB, pak můžeme vyvodit, že je pravdivé také tvrzení B] Pr2. jestliže f-a, pak f-oa Oestliže formule A je teorémem (logickým zákonem), pak můžeme vyvodit, že tato formule je nutně pravdiva1 8 Přidáme-i další axiomové schéma, dostaneme systém $4: oa--.tooa Oestliže tvrzení A je nutně pravdivé, pak je nutně pravda, že je nutně pravdivé] jestliže k M přidáme níže uvedené schéma, dostaneme brouwerovský systém: A--.toOA Oestliže je tvrzení A pravdivé, pak je nutně pravda, že může být pravdivé] Podobně, přidáme-i k M následující schéma, dostaneme systém SS: OA--.toOA Oestliže tvrzení A může být pravdivé, pak je nutně pravda, že může být pravdivé] 9 Modální systémy uzavřené'o na odvozovací pravidla Prl a Pr2, které dále obsahují všechny teorémy systému M, označujeme jako "normální" modální systémy. Přestože jsme vyvinuli teorii, kterou lze úspěšně použít i na nenormální systémy, jako např. Lewisovy systémy S2 a S3, v této práci se zabýváme pouze normálními systémy. K vybudování sémantiky modální logiky potřebujeme nejprve zavést pojem (normálno modelové struktury. Modelovou strukturou (dále též m. s.) rozumíme uspořádanou trojici (G,K,R), kde K je nějaká množina, R reflexivní'2 relace na množině K a pro G platí GE K [G je prvkem množiny K]. ntuitivně lze pojem modelové struktury vyložit následovně: K je množina všech "možných světů", G je reálný (aktuálno svět. jestliže H a H 2 jsou dva světy, pak HRH2 intuitivně znamená, že svět H 2 je "možnou alternativou" (v relaci R) vůči světu H ' tedy že každé tvrzení pravdivé ve světě H 2 je možné (možná pravdivé) ve světě H. Nyní je zřejmé, proč by relace R měla být reflexivní: jelikož každé tvrzení pravdivé ve světě H je a fortiori možné ve světě H, je každý svět H také možnou alternativou sama sebe. Reflexivita tedy představuje velmi přirozený požadavek. Můžeme však klást rovněž další požadavky, které odpovídají různým "redukčním axiomům"'l modální logiky: jestliže relace R je tranzitivní,'4 řekneme, že (G,K,R) je S4-modelová struktura; je-i R symetrická,'s řekneme, že (G,K,R) je brouwerovská modelová struktura; jestliže R je relace ekvivalence,'6 řekneme, že (G,K,R) je SS-modelová struktura. Modelovou strukturu, v níž na relaci R neklademe žádné dodatečné požadavky, budeme označovat také jako M-modelová struktura. K dokončení sémantiky potřebujeme pojem modelu. Vycházíme z toho, že již máme k dispozici modelovou strukturu (G,K,R). Model každé atomické formuli P (každé vý- 155

2 ~ c Cl. (1) Vl. 156 rokové proměnné) přiřazuje ve všech světech HE K pravdivostní hodnotu "pravda" nebo "nepravda".17 Poněkud formálněji řečeno, modelem cp na modelové struktuře (G,K,R) rozumíme binární funkci rp(p,h), kde oborem proměnné P je množina všech atomických formulí, oborem proměnné H množina K a oborem hodnot této funkce množina pravdivostních hodnot {,O}. Máme-i nějaký model, můžeme indukcí přiřadit pravdivostní hodnoty také složeným formulím. Předpokládejme, že již známe hodnoty rp(a,h) [čteme: pravdivostní hodnota formule A ve světě H modelu cp] a rp(b,h) pro všechny prvky HE K. Pak jestliže platí rp(a,h)= rp(b,h)=, definujeme rp(aj\b,h)= [čteme: formule AJ\B je ve světě H modelu cp pravdivá]; v jiném případě definujeme cp(aj\b,h) =0. Pro --A definujeme, že rp(--a,h)=o právě tehdy, když rp(a,h)= ; vopačném případě definujeme rp(--a,h) =. Konečně, pro oa definujeme, že rp(oa,h) = právě tehdy, když rp(a,h')= pro všechny prvky H'E K takové, že platí HRH; v jiném případě definujeme cp(oa,h) =0. Tato podmínka nám intuitivně říká, že formule A je ve světě H nutně pravdivá právě tehdy, když je pravdivá ve všech světech H', které jsou možnými alternativami vůči světu H. Věta o úplnosti. f-a platí v M (resp. v 54, SS, v brouwerovském systému) právě tehdy, když rp(a,g) = pro každý model cp na M-modelové struktuře (G,K,R) (resp. na 54-modelové struktuře, SS-modelové struktuře, na brouwerovské modelové struktuře). (Důkaz věty viz práce "Semantical Analysis of Modal Logie ".) Věta o úplnosti klade v rámci modálního systému rovnítko mezi syntaktickým pojmem dokazatelnosti a sémantickým pojmem logické platnosti. Zbývající část této práce se - s výjimkou několika závěrečných poznámek - zabývá problémem, jak do studovaných systémů zavést kvantifikátory. K tomuto cni musíme každému světu přiřadit nějaký obor individuí, čili objektů, jež v tomto světě existují. Formálně můžeme kvantifikační modelovou strukturu definovat jako modelovou strukturu (G,K,R) doplněnou o funkci lj, která každému světu HE K přiřazuje množinu 1j!(H), kterou označujeme jako obor individuí světa H. ntuitivně můžeme množinu 1j!(H) považovat za množinu všech individuí, která ve světě H existují. Poznamenejme ještě, že pro různé argumenty H nemusí funkce lj přiřazovat světu H pokaždé stejnou množinu individuí. To intuitivně znamená, že ve světech odlišných od našeho světa nemusejí některá aktuálně existující individua existovat, a naopak se v těchto světech mohou objevit nějaká nová individua, například okřídlený kůň Pegas apod. K dosud uvedeným symbolům modální výrokové logiky tedy přidáme nekonečný seznam individuálních proměnných x, y, z, '" a pro každé nezáporné celé číslo n nekonečný seznam n-árních predikátových symbolů pn, Qn,... (horní index, tj. aritu predikátů, vynecháváme v případě, že ji lze dovodit z kontextu). Výrokové proměnné (atomické formule) považujeme za nulární ("O-ární") predikátové symboly. Správně utvořené formule predikátové logiky definujeme běžným způsobem. Tím máme k dispozici všechny pojmy potřebné k definici kvantifikačního modelu. K zavedení kvantifikačního modelu však musíme rozšířit náš původní pojem funkce cp. Ve výrokové logice tato funkce v každém světě přiřazuje všem atomickým formulím určitou pravdivostní hodnotu. Analogicky předpokládáme, že ve všech světech H determinuje každý n-ární predikát určitou množinu uspořádaných n-tic individuí, extenzi tohoto predikátu v daném světě. Mějme nějaký monadieký predikát P(x). Chceme jednoduše říci, že predikát P(x) je ve světě H o některých individuích z množiny ljj(h) pravdivý a o ostatních nepravdivý. Formálně to znamená, že při některých ohodnoceních individuální proměnné x prvky množiny 1j!(H) platí rp(p(x),h)=, při ostatních ohodnoceních qj(p(x),h)=o. Množinu všech individuí, o kterých lze pravdivě říci, že jsou P, nazveme extenzí predikátu P ve světě H. Je zde však následující problém: máme qj(p(x),h) přiřadit funkční hodnotu v případě, že ohodnocení proměnných přiděluje proměnné x nějaký prvek, který sice patří do oboru individuí nějakého světa H', ale nikoli do oboru individuí světa H? Předpokládejme kupříkladu, že P(x) znamená "x je holohlavý". Máme v našem světě přiřadit pravdivostní hodnotu větě "Sherlock Holmes je holohlavý", která vznikla z P(x) dosazením jména "Sherlock Holmes" za proměnnou,,x"? Sherlock Holmes aktuálně neexistuje, ale za nějakého jiného stavu věcí by mohl existovat. Máme tedy tvrzení, že je plešatý, přiřadit nějakou konkrétní pravdivostní hodnotu, nebo ne?18 Frege '9 a Strawson 20 by tomuto tvrzení ne-

3 přiřadili žádnou pravdivostní hodnotu. naproti tomu Russell 21 by přiřadil pravdivostní hodnoty i tomuto a podobným tvrzením. 22 Z hlediska modální logiky však tvrdíme. že odlišné odpovědi na tuto otázku představují dvě alternativní konvence. Obě konvence jsou přitom stejně oprávněné. Jediná diskuse tohoto problému. s níž jsem se dosud setkal - v Hintikkově práci 23 a v Priorově monografij24 - se přiklání spíše k Fregovu a Strawsonovu stanovisku. Toto rozhodnutí však nutně musí vést k určitým modifikacím modální logiky. Příčina spočívá v tom. že sémantika modální výrokové logiky. kterou jsme právě nastínili. předpokládá. že každá formule má ve všech světech určitou pravdivostní hodnotu. Jestliže však formule A(x) obsahuje volnou proměnnou x. pak podle Fregova a Strawsonova stanoviska nemůžeme ve světě H této formuli udělit žádnou pravdivostní hodnotu v případě. že ohodnocení proměnných přiděluje proměnné x individuum. jež není prvkem oboru individuí světa H. Nemůžeme tedy nadále předpokládat ani to. že pro tvrzení. která obsahují volné individuální proměnné. platí původní zákony modální výrokové logiky. Jsme tak postaveni před následující volbu: musíme buď revidovat modální výrokovou logiku. nebo musíme omezit pravidlo substituce. 25 Prior si zvolil první možnost. Hintikka druhou. Existují však také další problémy. s nimiž se Fregova a Strawsonova volba musí vyrovnat. Má formule ClA (ve světě H) znamenat. že tvrzení A je pravdivé ve všech možných světech (které jsou v relaci R se světem H). nebo jen to. že toto tvrzení není v žádném z těchto světů nepravdivé? Podle druhé možnosti stačí. aby tvrzení A bylo v každém z uvažovaných světů pravdivé nebo v něm nemělo žádnou pravdivostní hodnotu. Prior ve svém systému Q skutečně připouští oba "typy" nutnosti - jeden označuje jako "L". druhý jako "NMN". Podobný problém platí také pro konjunkci: je-i tvrzení A nepravdivé a tvrzení B nemá žádnou pravdivostní hodnotu. máme konjunkci A\B považovat za nepravdivou. nebo za tvrzení. které nemá žádnou pravdivostní hodnotu? V podrobném pojednání o sémantice bychom nejprve důkladně prozkoumali všechny varianty Fregova a Strawsonova postoje. Zde však přejděme přímo ke druhému stanovisku. tj. předpokládejme. že tvrzení obsahující volné proměnné mají pravdivostní hodnoty ve všech světech a pro všechna ohodnocení volných individuálních proměnných?' Formálně lze naše stanovisko formulovat následovně: Uvažujme množinu U=UHeKlp(H) [U je sjednocení všech množin lfch) pro všechny světy HE 1<].27 un je n-tá kartézská mocnina U.28 Kvantifikační model na modelové struktuře (G.K.R) definujeme jako binární funkci cp(p".h). kde oborem první proměnné je třída všech n-árních predikátových proměnných a oborem proměnné H třída všech možných světů K. Jestliže n=o. pak cp(p".h)=. nebo CP(P".H)=O?9 Pokud n~l. pak hodnotou funkce cp(p".h) je nějaká podmnožina Uno Nyní můžeme induktivně definovat pravdivostní hodnotu formule A. tj. funkci cp(a,h). pro každou formuli A a pro každý svět HE K a relativně vůči ohodnocení volných individuálních proměnných formule A prvky množiny U. V případě výrokových proměnných je situace zřejmá. Vezměme atomickou formuli P"(xl... x), kde '" je n-ární predikátový symbol an~1. Jestliže nějaké ohodnocení přiřazuje proměnným X'... x n prvky al'... a n množiny U. pak relativně vůči tomuto ohodnocení individuálních proměnných definujeme. že CP(P'(x l...x).h)= [formule P"(x l....x) je ve světě H pravdivá] právě tehdy. když uspořádaná n-tice (al... a) je prvkem cp(p".h) [tj. právě tehdy. když mezi objekty al'... a n ve světě H platí vztah 1"']; v opačném případě definujeme. že <P(P"(xl'....x).H)=O. Víme-i. jak přiřadit pravdivostní hodnoty atomickým formulím. můžeme induktivně přiřadit pravdivostní hodnoty také složeným formulím. Příslušné indukční kroky pro výrokové spojky 1\..., a o jsme již explicitně uvedli. Předpokládejme. že ve formuli A(x.Y... Y n ) jsou jedinými volnými proměnnými X a Y' j kde $i$n a že jsme již určili hodnotu funkce CP(A(x.y l... y),h) pro všechna ohodnocení volných proměnných formule A(x.y l. yj Pak relativně vůči ohodnocení proměnných Y'... Y n prvky bl'... b n (kde všechna individua b j jsou prvky U) definujeme. že <p(\ixa(x.y... Yn).H)= [čteme: v modelu cp je ve světě H pravdivé tvrzení "pro všechna X platí A(x.y l... yj'; symbol,,\ix" je tzv. obecný kvantifikátor] právě tehdy. když cp(a(x.yl... y).h)= platí pro všechna ohodnocení proměnných x. Y'... Y n individui a. bl'... b n kde ae lfch); v jiném případě vůči týmž ohodnocením proměnných definujeme. že <p(\ixa(x.y l y).h)=o. Poznamenejme. že podmínka ae lfch) znamená. že ve světě H se kvantifikátory vztahují pouze na ta individua. která v tomto světě H aktuálně existují.. Vl 157

4 tl) M e Cl. (t) Vl. 158 Jako ilustraci této sémantiky sestrojíme proti příklady ke dvěma známým zákonům modální predikátové logiky - formuli Ruth Barcanové [Barcan formula] VxoA(x)~VxA(x) Oestliže pro všechna x je tvrzení A(x) nutně pravdivé, pak je nutně pravda, že pro všechna x je tvrzení A(x) pravdivé] a její konverzi ovxa(x)-nxoa(x) Oestliže je nutně pravda, že pro všechna x je tvrzení A(x) pravdivé, pak pro všechna x je tvrzení A(x) nutně pravdivé]. Pro obě formule uvažujeme modelovou strukturu (G,K,R), kde K={G,H}, G;tH ar definujeme jednoduše jako K 2, tj. jako druhou kartézskou mocninu K. lo Je zřejmé, že R je reflexivní, symetrická a tranzitivní, tudíž následující úvahy platí také pro systém SS. Pro ověření formule Ruth Barcanové rozšíříme modelovou strukturu (G,K,R) na kvantifikační modelovou strukturu pomocí funkce 0/, pro niž postulujeme f/(g) = {a} [ve světě G existuje pouze individuum a], f/(h)={a,b} [ve světě H existují individua a, b], kde a a b jsou dvě různá individua. Nyní můžeme definovat takový model cp, že pro extenzi monadického predikátu P ve světech G a H platí cp(p,g)={a} [ve světě G se predikát P vztahuje na individuum a], q>(p,h)={a} [ve světě H se predikát P vztahuje na individuum a]. Formule op(x) je zřejmě pravdivá ve světě G v případě, že proměnné x přiřadíme individuum a, a jelikož a je jediný objekt v oboru individuí světa G [tj. jediný objekt, který ve světě G existuje], platí v něm rovněž formule VxoP(x). Jelikož je však formule VxP(x) nepravdivá ve světě H (protože přiřadíme-i proměnné x individuum b, platí q>(p(x),h)=o), je formule ovxp(x) ve světě G nepravdivá. ll Sestrojili jsme tedy proti příklad formule Ruth Barcanové. Poznamenejme ještě, že tento proti příklad je zcela nezávislý na tom, zda tvrzení, že individuum b je P, přiřazujeme ve světě G nějakou pravdivostní hodnotu nebo nikoliv, a proto zůstává v platnosti i pro systémy, které studovali Hintikka a Prior. Tento a podobné proti příklady můžeme zneškodnit - a obnovit tak platnost formule Ruth Barcanové - jedině pomocí striktního požadavku na kvantifikační modelovou strukturu, tedy podmínka f/(h')<:;;;f/(h) [množina individuí existujících ve světě H' musí být podmnožinou množiny individuí existujících ve světě H] musí platit pokaždé, kdykoli HRH' (kde H, H'E K).32 Pro ověření konverze formule Ruth Barcanové postulujme f/(g)={a,b} [ve světě G existují individua a a b], f/(h)={a} [ve světě H existuje pouze individuum a], kde opět a;tb. Definujme model cp tak, že pro daný monadický predikátový symbol P platí q>(p,g)={a,b} [ve světě G se predikát P vztahuje na obě individua a i b], q>(p,h)={a} [ve světě H se predikát P vztahuje na individuum a]. Pak formule VxP(x) platí v obou světech G i H, tudíž q>(voxp(x),g)=. Avšak q>(p(x),h)=o v případě, že proměnné x přiřadíme individuum b, tj. pro toto ohodnocení proměnné x platí q>(op(x),g)=o. To však znamená, že q>(vxop(x),g)=o.ll Tím jsme dostali protipříklad pro konverzi formule Ruth Barcanové. Tento proti příklad nicméně spočívá na předpokladu, že formule P(x) je ve světě H nepravdivá v případě, že proměnné x přiřadíme individuum b. Protipříklad tedy můžeme zpochybnit tak, že připustíme, že formule P(x) nemá v uvažovaném případě ve světě H žádnou pravdivostní hodnotu. 34 Proti příklad však nabude zpět své platnosti v případě, požadujeme-i, aby nutně pravdivá tvrzení byla pravdivá ve všech možných světech (Priorova modalita.. L U ); naopak proti příklad se rozplyne, požadujeme-i po nutně pravdivých tvrzeních pouze to, aby nebyla v žádném světě nepravdivá (Priorova modalita.. NMN U ). Podle námi použité konvence můžeme sestrojený protipříklad eliminovat pouze v případě, že pro každou kvantifikační modelovou strukturu požadujeme, aby podmínka f/(h)<:;;;f/(h') [množina individuí existujících ve světě H musí být podmnožinou množiny individuí existujících ve světě H'] platila pokaždé, kdykoli HRH'.l5 Tyto dva protipřlklady však vedou k následujícímu problému: V kvantifikačním modálním systému SS jsme zkonstruovali protipříklady k formuli Ruth Barcanové a její konverzi. Prior však v prád 6 sestrojil formální důkaz formule Ruth Barcanové. Konverzi této formule lze pomocí následující úvahy formálně dokázat i v kvantifikačním modálním systému M: (A) VxA(x)~A(y) (axiom predikátové logiky) (B) o[vxa(x)~a(y)] (pravidlo přidání nutnosti Pr2) (C) o[vxa(x)~a(y)]~[ovxa(x)~oa(y)] (axiom 2) (D) ovxa(x)~oa(y) (na základě (B) a (C) podle pravidla Prl) (E) Vy[oVxA(x)~oA(y)] (zavedení obecného kvantifikátoru do (D)) (F) ovxa(x)~vyoa(y) (z (E) na základě axiomů predikátové logiky)l7

5 Zdá se, že závěr (F) jsme dokázali na základě takových principů, které jsou v naší teorii modelů logicky platné. Chyba je však zřejmě hned na začátku, kde jsme na formuli (A) použili pravidlo přidání nutnosti. Volné proměnné ve formulích typu formule (A) totiž obvykle používáme ve významu "co největší obecnosti".38 Tvrdíme-i, že (A) je teorémem, pak vlastně tvrdíme, že teorémem je její univerzální uzávěr: 39 (Pi) 'v'y['v'xa(x)~a(y)] Použijeme-i pravidlo přidání nutnosti na formuli (Pi), dostaneme: (B') o'v'y['v'xa(x)~a(y)] Za druhé, formuli (B) bychom měli analogicky interpretovat jako zkratku za: (B") 'v'yo['v'xa(x)~a(y)] K odvození (B") na základě (B') potřebujeme nějaký logický zákon ve tvaru o'v'yc(y)~'v'yoc(y), který je však sám variantou konverze formule Ruth Barcanové, již máme dokázat. Můžeme se také snadno přesvědčit, že formule (B") není platná ve výše uvedeném kontramodelu pro konverzi formule Ruth Barcanové, dosadíme-i v (B") místo A(x) predikát P(x). S tímto problémem se můžeme snadno vypořádat, jestliže v návaznosti na Quina 40 formulujeme naši teorii predikátové logiky takovým způsobem, že za teorémy považujeme pouze uzavřené formule. 41 Hovoříme-i o nějaké formuli obsahující volné proměnné, pak se jedná pouze o úsporný způsob vyjadřování. Jestliže tedy tvrdíme, že teorémem je nějaká formule A(x) s volnou proměnnou x, pak toto tvrzení můžeme pokaždé nahradit přesnějším tvrzením, že teorémem je formule 'v'xa(x). Je-i A formule obsahující nějaké volné individuální proměnné, pak zobecněný univerzální uzávěr4 2 formule A definujeme jako takovou formuli, která neobsahuje žádné volné proměnné a kterou z A dostaneme tak, že před začátek formule připojíme v libovolném pořadí potřebný počet obecných kvantifikátorů a symbolů pro nutnost. Axiomy systému modální predikátové logiky M můžeme definovat jako zobecněné univerzální uzávěry následujících axiomových schémat: (O) Tautologie výrokové logiky () oa~a (2) o(a~b)~(oa~b) (3) A~'v'xA, kde proměnná x není volná ve formuli A (4) 'v'x(a~b)~('v'xa~'v'xb) (5) 'v'y['v'xa(x)~a(y)] Jediným odvozovacím pravidlem je pravidlo eliminace materiální implikace [tj. Pr ]. Pravidlo přidání nutnosti můžeme získat jako odvozené pravidlo. Abychom na systémy modální predikátové logiky rozšířili systémy výrokové logiky S4, SS a brouwerovský systém, stačí doplnit axiomová schémata pro příslušné redukční axiomy těchto systémů. Takto sestavené systémy se vyznačují následujícími vlastnostmi: (a) Jedná se o přímočará rozšíření příslušných systémů modální výrokové logiky bez využití modifikací typu Priorova systému Q. (b) Na rozdo od Hintikkovy prezentace modální predikátové logiky platí pravidlo substituce bez omezení. (c) V systémech není odvoditelná formule Ruth Barcanové, ani její konverze. Konečně (d), v systémech platí všechny logické zákony teorie kvantifikátorů, ovšem s modifikací připouštějící prázdná univerza individuí. Sémantické důkazy úplnosti, které jsme podali pro systémy modální výrokové logiky, lze rozšířit i na tyto nové systémy. Jestliže to považujeme za vhodné, můžeme nyní do našeho systému zavést predikát existence. Ze sémantického hlediska je existence monadický predikát E(x), který pro každý model cp definovaný na modelové struktuře (G,K,R) splňuje pro všechny prvky HE K identitu CP(E,H) = f/(h). Axiomaticky můžeme tento predikát zavést tak, že k uvedeným axiomovým schématům přidáme rovněž zobecněné univerzální uzávěry všech formulí ve tvaru ['v'xa(x)\e(y)]~a(y) a 'v'xe(x). Kupříkladu predikát P, který jsme výše použili k sestrojení protipříkladu konverze formule Ruth Barcanové, mužeme považovat jednoduše za predikát existence. Tyto úvahy dokazují, že je velký rozdíl mezi tímto predikátem a tautologickým predikátem A(x)v--A(x) [x splňuje A nebo -A], a to navzdory faktu, že tvrzení o'v'xe(x) je dokazatelné. Ačkoli je totiž pravdivé tvrzení. Vl 159

6 tl) "'t C c... ('[) Vl. 160 'v'xo[a(x)v-.4(x)], tvrzení 'v'xoe(x) pravdivé není. Přestože je nutně pravda, že všechny věci existují, není určitě pravda, že všechny věci existují nutně, tj. neplatí, že každá věc má vlastnost nutné existence. V naší teorii modelů můžeme zavést identitu sémantickým způsobem pomocí definice, že tvrzení x=y je ve světě H pravdivé tehdy, jestliže model přiřazuje proměnným x a y stejnou hodnotu (stejný objekt), a nepravdivé v jiném případě. Existenci pak můžeme definovat pomocí identity; jmenovitě postulujeme, že E(x) znamená 3y(x=y) [existuje takové y, že x=y]. Na základě důvodů, kterými se zde nebudeme zabývat, platí, že kdybychom pracovali s poněkud komplikovanějším pojmem kvantifikační modelové struktury, mohli bychom zavést ještě obsažnější teorii identity. Na závěr práce uvedeme několik stručných a spíše jen náznakových poznámek o interpretaci modální logiky jako logiky "dokazatelnosti"; zabýváme se však pouze systémy výrokové logiky. čtenář, který přeskočí tuto část, se již dověděl to podstatné, co jsme chtěli říci. nterpretace modality nutnosti ve významu dokazatelnosti je míněna jako pokus přidat operátor o k nějakému formálnímu systému - např. systému Peanovy aritmetiky - takovým způsobem, aby pro každou formuli A systému byla modální formule oa pravdivá tehdy, jestliže formule A je v systému dokazatelná. Někteří autoři tvrdí, že interpretace modálního operátoru o jako dokazatelnosti je zbytečná, protože místo ní vystačíme s predikátem dokazatelnosti, který operuje s Godelovým číslem formule A. Příspěvek profesora Montagua v tomto časopise 43 však tento názor přinejmenším zpochybňuje, ne-i vyvrací. Uvažujme tedy formální systém PA Peanovy aritmetiky prvního řádu, jak je formalizován např. 5tephenem C. Kleenem. 44 K tomuto systému přidáme formační pravidla pro operátory /\, --, a o (v případě konjunkce a negace se musí jednat o odlišné operátory než ty, které již máme k dispozici v původním systému), jež jsou definovány na všech uzavřených formulích. Ve výše popsané teorii modelů jsme za atomické formule považovali výrokové proměnné a predikátové symboly následované potřebným počtem (podle arity predikátu) v závorkách uzavřených individuálních proměnných. Zde za "atomické" formule považujeme všechny uzavřené formule systému PA, nikoli jen atomické formule systému PA. Nyní můžeme definovat modelovou strukturu (G,K.R), kde K považujeme za množinu všech od sebe odlišných (neizomorfních) spočetných modelů PA, prvkem G rozumíme standardní model vybudovaný na přirozených číslech a R definujeme jako kartézskou druhou mocninu K. tj. R=K 2 Model cp definujeme tak, že pro všechny atomické formule P a všechny prvky HE K platí CP(P,H)= právě tehdy. když formule P je pravdivá v modelu H, resp. CP(P,H)=O právě tehdy, když P je nepravdivá v modelu H. (Připomeňme, že P je nějaká správně utvořená formule systému PA a že H je spočetný model PA.) Nyní můžeme definovat pravdivostní podmínky pro složené formule analogickým způsobem jako výše. 45 Řekneme-i, že formule A je pravdivá, rozumíme tím jednoduše to, že je pravdivá v "reálném světě" G; a konečně, pro každou atomickou formuli P je cp(op,g)= právě tehdy, jestliže P je dokazatelná v systému PA. (Poznamenejme, že cp(p,g)= platí právě tehdy, jestliže formule P je pravdivá v běžném smyslu.) Jelikož (G.K.R) je SS-modelová struktura, platí při této interpretaci všechny teorémy systému SS. Mohli bychom rovněž dokázat, že obecně platné jsou výhradně teorémy systému SS. Kupříkladu je-i P Godelova nerozhodnutelná sentence, pak cp(opvo-.p,g)=o, což je proti příklad zdánlivého "zákona" oav0-.4. Jinou interpretaci modality o jako dokazatelnosti dostaneme následujícím způsobem: Opět předpokládejme, že atomické formule jsou všechny uzavřené formule systému PA a že složené formule sestavujeme z atomických formulí pomocí připojených operátorů /\, --, a o. Za K považujme množinu všech uspořádaných dvojic (E,a), kde E je nějaké bezesporné rozšíření PA a a (spočetný) model systému E. "Reálný svět" G definujeme jako G=(PA,aO>, kde a o je standardní model PA Řekneme, že pro (E,a)E K a (E',a')E K platí (E,a)R(E',a') právě tehdy, když E' je nějaké rozšíření E. Pro atomickou formuli P definujeme, že cp(p,(e,a»= právě tehdy, když P je pravdivá v a, resp. cp(p,(e,a»=o tehdy, je-i P nepravdivá v a. Pak lze dokázat, že pro libovolnou atomickou formuli P platí CP(oP,(E,a»= právě tehdy, jestliže P je dokazatelná v E; speciálně cp(p,g)= právě tehdy, je-i P dokazatelná v PA Jelikož (G,K,R) je 54-modelová struk-

7 tura, platí zde všechny teorémy systému 54. Neplatí však všechny teorémy systému 55. Kupříkladu je-i P Gi:idelova nerozhodnutelná sentence, pak cp(-.op-7d--;:::jp,g)=o. Naopak platí některé zákony, které nejsou dokazatelné v systému 54. Pro každou formuli A tak lze například dokázat, že cp(o-.o(oa"o-.a),g)=, což je jeden z teorémů McKinseyho systému Pomocí vhodných úprav lze tyto potíže odstranit, podrobným výkladem se však v naší práci zabývat nebudeme. Podobné interpretace lze navrhnout také pro systém M a pro brouwerovský systém, avšak podle našeho mínění mají podstatně menší význam než v případě systémů 54 a 55. Zmíníme se proto pouze o jedné třídě interpretací modality o jako dokazatelnosti, jmenovitě o.. reflexivních u rozšířeních systému PA. Jako E označíme formální systém, který obsahuje systém PA a jehož správně utvořené formule jsou všechny uzavřené formule systému PA a formule, které lze na jejich základě zkonstruovat pomocí spojek..&u,.. _u a.. ou. (Hovořím-i o spojkách..&u a.. _u, pak výslovně naznačuji, že v tomto systému používám stejné symboly pro konjunkci a negaci, jaké se vyskytují již v PA, tj. nezavádím žádné nové spojky. Viz též poznámku 45.) 5ystém E je reflexivním rozšířením PA právě tehdy, když: () E není zásadním rozšířením systému PA. (2) Formule oa je dokazatelná v systému E právě tehdy, když je dokazatelná formule A. (3) Existuje taková valuace (tj. pravdivostní funkce) a z množiny formulí E na množinu pravdivostních hodnot {,O}, že funkční hodnoty pro konjunkci dvou formulí a pro negaci vyhovují běžným pravdivostním tabulkám, že funkční hodnota všech pravdivých uzavřených formulí systému PA je, že a(oa)= právě tehdy, když formule A je dokazatelná v systému E, a konečně že funkční hodnota všech teorémů systému E je. Lze dokázat, že existují reflexivní rozšíření systému PA, která obsahují axiomy modálního systému 54, a dokonce systému 54.1, ale nikoli taková rozšíření, jež by obsahovala všechny axiomy systému 55. Poznamenejme dále, že s použitím běžného zobrazení intuicionistické logiky do modálního systému 54 můžeme zkonstruovat teorii modelů pro intuicionistickou predikátovou logiku. Tuto teorii modelů nebudeme budovat, ale zmíníme se o jedné užitečné interpretaci intuicionistické logiky (opět zůstaneme na úrovni výrokové logiky), která je důsledkem této teorie. Jako E označme libovolné bezesporné rozšíření systému PA. Řekneme, že formule P systému PA je verifikována v E právě tehdy, jestliže je dokazatelná v E. Za atomické formule systému považujeme uzavřené správně utvořené formule systému PA a z nich konstruujeme složené formule pomocí intuicionistických spojek ", v, -. a ~. Nyní definujeme: Konjunkce A"B je verifikována v E právě tehdy, jsou-i ve verifikovány obě formule A i B; AvB je verifikována v E tehdy, jestliže je verifikována alespoň jedna z formulí A a B; -.A je verifikována v E tehdy, neexistuje-i žádné bezesporné rozšíření E' systému E, které by verifikovalo A; a konečně A~B je v E verifikována právě tehdy, když každé bezesporné rozšíření E' systému E, jež verifikuje formuli A. verifikuje rovněž formuli B. Pak každá formule, která vznikne konkrétním dosazením do nějakého zákona intuicionistické logiky, je verifikována v systému PA. Formule Av-.A však verifikována být nemusí, například dosadíme-i za A Gi:idelovu nerozhodnutelnou sentenci. V zamýšlené práci hodláme tuto interpretaci dále rozšířit a dokázat, že s její pomocí můžeme najít interpretaci Kreiselova systému Fe pro systém absolutně volných výběrových posloupností. 47 Dále je zřejmé, že systém PA lze při interpretaci modality o jako dokazatelnosti v systémech 54 a 55 nahradit libovolným jiným extenzionálním formálním systémem (tj. takovým systémem, jehož modely každou uzavřenou formuli vyhodnocují jako pravdivou nebo nepravdivou) a že nastíněná interpretace intuicionistické logiky platí pro vůbec všechny formální systémy.. Vl Přeložil Petr Hromek. Přeloženo z anglického originálu Saul A. Kripke,.. Semantieal Considerations on Modal Logie U, Aeta Phi/osophica Fennica 16, 1963, s Aluze děkuje šéfredaktorovi Acta Phi/osophica Fennica kkovi Niiniluotovi za svolení k otištění překladu. The publisher wishes to thank the editor in ehief of Acta Phi/osophica Fennica lkka Niiniluoto for his permission to a one time translation into Czech. 161

8 V),... c a. CD Vl. 162 Zde předložená teorie má několik styčných bodů s pracemi mnoha jiných autorů. Pro podrobnější seznam viz Saul A. Kripke,.. Semantical Analysis of Modal Logic ", Zeitschrift {ůr mathematische Lagik und Grundlagen der Mathematik 9, 1963, s , a Jaakko Hintikka,.. Modality and Quantification", Theoria 27, 1961, s Názory nejbližší této práci prezentují Jaakko Hintikka a Stig Kanger, viz S. Kanger, Probability in Logic, Stockholm, Almquist and Wiksell Teorie kvantifikace předložená v této práci je však, pokud vím, původní, přestože se do jisté míry inspiruje jinými, avšak velmi odlišnými metodami, které použili Arthur Prior a Jaakko Hintikka. 2 Saul A. Kripke,.. A Completeness Theorem in Modal Logic", The journal of Symbolic Logic 24, 1959, s Saul A. Kripke,.. Semantical Analysis of Modal Logic" (abstract), The journal of Symbolic Logic 24, 1959, s Viz Pozn. Č Saul A. Kripke,.. Semantical Analysis of Modal Logic ", Zeitschrift {ůr mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 9, 1963, s Jde o systémy M, S4, SS a tzv. brouwerovský systém B. Pozn. překl. 7 Na přání redakce byl český překlad doplněn o poznámkový aparát, který má usnadnit četbu textu i čtenářům, kteří nemají žádné speciální znalosti moderní logiky. Do hranatých závorek vkládáme překlad výrokových spojek a formulí do přirozeného jazyka, případně výklad některých sémantických zápisů. Je-i zapotřebí podrobnější komentář, uvádíme jej v poznámkách. Pazn. překl. 8 Jedná se o tzv. "rule of necessitation", tj... pravidlo (přidáno nutnosti". Pravidlo nesmíme zaměňovat s formulí A~oA Oe-i formule A pravdivá, pak je nutně pravdivá]. Pozn. překl. 9 V uvedených třech formulích se vyskytují tzv. iterované modality. Ještě markantnějším případem použití iterovaných modalit je například formule ooooooa~ooa, která je teorémem systémů S4 a SS. Jak bychom do přirozeného jazyka asi přeložili tuto formuli? Žádný překlad neuvádíme, protože iterované modality se v přirozeném jazyce běžně nevyskytují, tudíž formule s iterovanými modalitami obvykle nemají žádný intuitivní význam. V sémantice možných světů lze těmto formulím sice přiřadit exaktní význam, obvykle se je však snažíme zjednodušit. Tvrzení ooooooa je tak v systému S4 ekvivalentní podstatně jednoduššímu tvrzení ooa, a v systému SS dokonce tvrzení OA. Pozn. překl. 10 Formální systém je uzavřený na nějaké odvozovací pravidlo Pr právě tehdy, jestliže všechny formule, které lze vyvodit z axiomů, resp. teorémů systému pomocí pravidla Pr, jsou rovněž teorémy systému. Pozn. překl. Sémantické pojmy Kripke důsledně označuje tučným písmem. Vyskytuje-i se tedy v textu symbol.. G", rozumí se jím aktuální svět, vyskytuje-i se v textu symbol.. R", rozumí se jím pokaždé relace na možných světech atd. Viz níže. Pozn. překl. 12 Relace R je na množině reflexivní právě tehdy, jestliže pro všechny prvky x dané množiny platí xrx. Například relace... je stejně vysoký jako... " na množině všech lidí je reflexivní, protože platí, že Saul Kripke je stejně vysoký jako Saul Kripke apod. V případě sémantiky možných světů jde o to, že každý možný svět musí být "možnou alternativou sama sebe". Pozn. překl. 13 Redukční axiomy nám umožňují redukovat komplikované iterované modality na jednodušší modality. Viz též poznámku 9. Pozn. překl. 14 Relace R je na množině tranzitivní, jestliže pro všechna x, y, z platí, že pokud xry a yrz, pak rovněž xrz. Například relace... je předkem..." na množině všech lidí je tranzitivní, protože je-i Pavel Tomášovým předkem (např. jestliže Tomáš je Pavlův vnuk) a Tomáš Valentýnovým předkem (například jeho otcem), pak Pavel je praprarodičem Valentýna, tj. jeho předkem. V případě sémantiky možných světů je důležité to, že pokud svět H 2 je.. možnou alternativou" světa H a svět H3.. možnou alternativou" světa H2' pak svět H3 musí být rovněž.. možnou alternativou" světa H' Pozn. překl. 15 Relace R je na množině symetrická právě tehdy, jestliže pro všechny prvky x, y dané množiny platí, že pokud xry, pak rovněž yrx. Např. relace... je sourozencem..." na množině všech lidí je symetrická (jestliže Petr je sourozencem Pavla, pak Pavel je sourozencem Petra). Naproti tomu relace... miluje... symetrická být nemusí, protože např. Pavel může milovat Marii, ale Marie nemusí milovat Pavla. V případě sémantiky možných světů jde o to, že pokud svět H 2 je.. možnou alternativou" světa H' pak rovněž naopak H musí být.. možnou alternativou" světa H 2 Pozn. překl.

9 16 Relace R je ekvivalencí. jestliže je zároveň reflexivní. symetrická a tranzitivní. Ekvivalence množinu rozkládá do tzv. ekvivalenčních tříd. Ekvivalenční třídy mají následující dvě vlastnosti: () mezi všemi prvky jedné ekvivalenční třídy platí daná relace. (2) mezi žádnými dvěma prvky různých ekvivalenčních tříd daná relace neplatí. Např. relace... je stejně vysoký jako... " na množině všech lidí rozkládá tuto množinu do ekvivalenčních tříd. Kupřfkladu je-i Petr vysoký 175 cm. pak existuje ekvivalenční třída. do níž patří každý. kdo je :.,ysoký jako Petr. tj. 175 cm. jestliže Pavel je vysoký 180 cm. pak existuje ekvivalenční třída. do níž patří každý. kdo je stejně vysoký jako Pavel. tj. 180 cm. přičemž nikdo. kdo je stejně vysoký jako Petr. není stejně vysoký jako Pavel. V případě sémantiky možných světů relace ekvivalence rozkládá množinu K do ekvivalenčních tříd Kl' ~. ~ atd. přičemž pro všechny světy H a Hr které náleží do téže ekvivalenční třídy K,. platí HRH2 a H2RH (tj. všechny tyto světy jsou navzájem.. možnými alternativami"). a naopak pro žádné světy HlE Km a H 2 E Kn' kde Km ;l'kn' neplatí HRH2 ani H2RH' Pozn. přek/. 17 Nadále pravdivostní hodnoty označujeme číslovkami.. " a.. O". tj... " pro.. pravda" a.. O" pro.. nepravda". Pozn. přek/. 18 K nemožnosti připsat pravdivostní hodnoty větám. v nichž se referuje k aktuálně neexistujícím entitám. mimo jiné tedy všem větám jakéhokoli literárního dna viz např. studie Thomas G. Pavel... Fikční entity". Aluze s jedná se samozřejmě o problém. který provází každou úvahu o povaze fikčního světa literárního dna. včetně osob a věcí v něm vystupujících. Pro literární fikcionalismus využívající sémantiky modální logiky to platí především. Pozn. red. 19 Gottlob Frege. "Uber Sinn und Bedeutung". Zeitsehrift fůr Phi/osophie und philosophisehe Kritik s Anglický překlad in: Trans/ations from the Philosophica/ Writings of Gott/ob Frege. P. Geach. M. Black (eds.). Oxford. Basil Blackwell Do češtiny přeloženo jako.. O smyslu a významu". Scientia & Philosophia s překlad jiří Fiala. 20 Peter F. Strawson... On Referring". Mind s Do slovenštiny přeloženo jako.. O referencii". in: Filozofia prirodzeného jazyka: Štúdie. predncíšky. eseje. M. Oravcová (ed.). Bratislava. Archa 992. s Bertrand Russell... On Denoting". Mind s Do češtiny přeloženo jako.. O označení". in: Bertrand Russell. Logika. jazyk a věda (Výbor z d,1a). Praha. Svoboda s Nicméně Russell by odtud vyvodil. že.. Sherlock Holmes" není vlastním jménem. Naproti tomu Frege by všechna podobná jména eliminoval. resp. odsunul do říše umění. 23 jaakko Hintikka... Modality and Quantification". Theoria s Arthur N. Prior. Time and Modality. Oxford. Clarendon Press Kripke zde má na mysli následující pravidlo substituce (dosazování do formulo:.. Nechť B je nějaká správně utvořená formule. Formulí B[NP] rozumíme formuli. která vznikne z B tak. že na všechna místa. kde se v B vyskytuje výroková proměnná p. dosadíme nějakou formuli A. Pak formule B a B[NP] jsou ekvivalentní." Kupříkladu formule Pv-.P je tautologií výrokové logiky. tj. formulí. která je pravdivá za všech okolností. Dosadíme-i však za výrokovou proměnnou P formuli A(x). dostaneme A(x)v-.A(x). jestliže ohodnocení proměnných přiřazuje proměnné x individuum. které ve světě H neexistuje. nemá formule A(x)v-.A(x) v tomto světě žádnou pravdivostní hodnotu. Formule PV-.P a A(x)v-.A(x) nejsou tedy ve světě H ekvivalentní. Pozn. přek/. 26 je přirozené předpokládat. že nějaký atomický predikát by v určitém světě H měl být nepravdivý o všech individuích. která v tomto světě neexistují. jinými slovy. extenze predikátu by měla obsahovat pouze aktuálně existující individua. Sémanticky toho dosáhneme pomocí požadavku. že množina qj(p".h) musí být podmnožinou kartézské mocniny ['f(h)]n. Popis sémantiky, který následuje v textu. by se tímto výkladem nijak nezměnil. K níže uvedenému axiomatickému systému bychom však museli přidat všechny zobecněné univerzální uzávěry [viz níže] formulí ve tvaru [pn(xl... x.)/\ V'yA(y)]~A(x,) (kde g~) [zápis V'yA(y) čteme: všechna y splňují predikát AJ. Nevolíme tuto možnost. protože bychom se museli vzdát pravidla substituce; platily by totiž některé teorémy. které obecně neplatí pro všechny substituce za atomické formule. (Tím je zároveň zodpovězena otázka. kterou vznesli Putnam a Kalmar.) 27 jinými slovy: U je množina všech individuí. která existují alespoň v jednom možném světě H uvažovaného modelu. neboli množina všech aktuálně i potenciálně existujících individuí. Pozn. přek/. 28 Tj. množina všech uspořádaných n-tic individuí množiny U. Např. pro U={a.b.e} se množina U2 skládá ze všech uspořádaných dvojic (0.0). (a.b). (a.e). (b.a) atd. Podobně se množina Ul skládá ze všech uspořádaných trojic (0.0.0). (a.a.b). (a.b.e) atd. Pozn. přek/. Vl 163

10 ,... Vl c a. ([) Vl Jestliže n=o, pak predikátem pn se rozumí formule výrokové logiky. Formulím výrokové logiky přiřazujeme význam tak, že jim v každém světě H udělíme nějakou pravdivostní hodnotu (viz výklad výše). Pozn. překl. 30 Viz pozn. Č. 28. Pozn. překl. 31 Světu G je totiž v modelu <p dosažitelný svět H, v němž je tvrzení 't/xp(x) nepravdivé. Jinými slovy není pravda, že ve všech světech dosažitelných ze světa G je toto tvrzení pravdivé - což je přeci podmínka nutné pravdivosti. Formule je nutně pravdivá tehdy, když je pravdivá ve všech možných světech dosažitelných ze světa G. Formule o't/xa(x) tedy není pravdivá. Proto má formule 't/xoa(x)~o't/xa(x) ve světě G pravdivý antecedent a nepravdivý konsekvent, tj. není pravdivá. Pozn. překl. 32 Uvažovaný příklad právě tuto podmínku porušuje. Máme zde totiž ijf(g)={a}, ~!(H)={a,b} a GRH, přičemž ijf(h) není podmnožinou j(g), tj. {a,b} není podmnožinou {a}. Pozn. pře kl. 33 Dosadíme-i za x konstantu b, dostaneme formuli P(b), která je pravdivá ve světě G, ale nepravdivá ve světě H. Existuje tedy takový svět, který je možnou alternativou světa G, v němž po dosazení konstanty b za proměnnou x je formule P(x) nepravdivá. Formule op(x) tedy ve světě G není pravdivá pro všechna dosazení za proměnnou x. To však znamená, že ve světě G není pravdivá ani formule 't/xop(x). Formule o't/xa(x)~'t/xoa(x) má tedy ve světě G pravdivý antecedent a nepravdivý konsekvent, čili je nepravdivá. Pozn. překl. 34 Jak to učinili již několikrát zmiňovaní Frege a Strawson. Pozn. red. 35 Uvažovaný příklad tuto podmínku porušuje. Tentokrát platí j(g)={a,b}, ijf(h)={a} a GRH, přičemž ijf(g) není podmnožinou ijf(h), tj. {a,b} není podmnožinou {a}. Viz rovněž pozn. Č. 32. Pozn. překl. 36 Arthur N. Prior, "Modality and Quantification in SS", The journal or Symbolic Logic 21, 1956, s Čtenář možná ocení následující slovní přepis, resp. komentář tohoto důkazu: Formule (A) nám říká, že jestliže tvrzení A(x) je pravdivé pro všechna x (tj. pro všechna dosazení za x), pak je pravdivá formule A(y) (kde jsme za x dosadili proměnnou y). (B) dostaneme tak, že na (A) aplikujeme pravidlo přidání nutnosti. Jestliže totiž je (A) teorémem, můžeme odtud vyvodit, že je tato formule nutně pravdivá. Formuli (C) dostaneme tak, že do axiomu (2), tj. o(a~b)~(oa~b), dosadíme místo A formuli 't/xa(x) a místo B formuli A(y). Protože (C) vznikla dosazením do axiomu systému, musí se jednat o teorém systému. Formule (C), o níž předpokládáme, že je teorémem systému, má tvar implikace a formule (B) tvar antecedentu této implikace. Formuli (D) tedy vyvodíme pomocí pravidla modus ponens, tj. Pr, na základě (B) a (C). (Pr nám umožňuje z A a implikace A~B vyvodit závěr B.) Můžeme tedy vyvodit, že teorémem (připomeňme, že uvažovaný systém je uzavřený na pravidla Pr a Pr2) musí být rovněž závěr implikace (C), tj. formule (D) čili o't/xa(x)~oa(y). Je-i tato formule teorémem, pak na základě pravidel pro kvantifikátory je pravdivá pro všechna dosazení za y. Můžeme tedy zavést obecný kvantifikátor. Tak dostaneme 't/y[o't/xa(x)~oa(y)], tj. formuli (E). Na základě pravidel pro kvantifikátory však odtud můžeme vyvodit o't/xa(x)~'t/yoa(y), tj. závěr (F). Konečně, proměnné x a y jsou vázány odlišnými kvantifikátory. To znamená, že proměnná x je v závěru implikace substituovatelná za proměnnou y. (F) tak můžeme zapsat jako o't/xa(x)~'t/xoa(x). Tím je dokázána konverze formule Ruth Barcanové. Pozn. překl. 38 Zde nechceme tvrdit, že interpretace, podle níž teorémy obsahující volné proměnné jsou ve skutečnosti formule "co největší obecnosti", je jediná možná. Mohli bychom kupříkladu definovat, že formule A je teorémem právě tehdy, když pro každý model <p platí <p(a,g) = pro všechna ohodnocení volných proměnných ve formuli A. Pak by ovšem formule 't/xa(x)~a(y) nebyla teorémem. [Pro pravdivost formule 't/xa(x) jsou totiž rozhodující pouze taková dosazení za proměnnou x, že individuum přiřazené této proměnné existuje v uvažovaném světě. Naproti tomu ve formuli A(y) můžeme y přiřadit také individua, která v daném světě neexistují a která tudíž nemusí být prvkem extenze predikátu A v daném světě. Pozn. překl.] Vskutku, ve výše uvedeném kontramodelu pro formuli Ruth Barcanové platí <p('t/xp(x)~p(y),g)=o, přiřadíme-i proměnné y individuum b. V takovém případě by naše teorie kvantifikace musela být revidována podle pokynů, které jsou popsány například v Jaakko Hintikka, "Existential Presuppositions and Existential Commitments", The journal or Phi/osophy 21, 1959, s a v Hughes Leblanc a Theodore Hailperin, "Nondesignating Singular Terms", Phi/osophical Review 68, 1959, s Tuto proceduru lze jistě vřele doporučit, v této práci se však

11 podle ní neřídíme, protože chceme dokázat, že se tyto potíže dají vyřešit i bez podstatného přepracování predikátové logiky, resp. přepracování modální výrokové logiky. 39 jestliže formule A je otevřená, tj. obsahuje nějaké volné individuální proměnné, např. x"..., x n ' pak formuli '<:x,...'<:xna. v níž všechny volné proměnné vážeme obecným kvantifikátorem, označujeme jako univerzální uzávěr formule A. Pozn. pře kl. 40 Willard Van O. QUine, Mathematical Logic, Cambridge, Mass., Harvard University Press 1940, second ed., revised, Uzavřené formule jsou takové formule, které neobsahují žádné volné proměnné. Pozn. překl. 42 Autor na tomto místě definuje pojem "universal closure", používá jej však v jiném významu než ve smyslu námi použitého výrazu "univerzální uzávěr" (viz pozn. č. 39). Proto tento výraz překládám jako "zobecněný univerzální uzávěr". Pozn. překl. 43 jedná se o článek Richard M. Montague, "Syntactical Treatments of Modality with Corollaries on Reflection Principles and Finite Axiomatizability", Acta Phi/osophica Fennica 16, 1963, s Pozn. překl. 44 Stephen C. Kleene, ntroduction to Metamathematics, New York, D. Van Nostrand Někdo by mohl protestovat, že formální systém PA již obsahuje symboly pro konjunkci a negaci, např.,,&" a,,_"; proč tedy připojovat nové symboly,,/\" a,,-,"? jako odpověď poznamenejme, že jsou-i P a Q atomické formule, pak formule P&Q je také atomická v našem současném významu, protože se jedná o uzavřenou správně utvořenou formuli systému PA, přičemž formule P/\Q atomická není. Abychom výše popsanou teorii, podle níž konjunkci dvou atomických formulí nepovažujeme za atomickou formuli, mohli aplikovat i na tuto situaci, potřebujeme nový symbol,,/\", Nicméně pro všechny atomické formule P a Q a všechny prvky HE K zřejmě platí q>(p&q,h)=tp(p/\q,h), takže záměna spojek,,&" a,,/\" je z praktického hlediska neškodná. Podobné poznámky platí i pro negaci a interpretaci modality o jako dokazatelnosti v systému S4, o níž hovoříme v následujícím odstavci. 46 j. C. C. McKinsey, "On the Syntactical Construction of Systems of Modal Logic", The journal or Symbolic Logic 10, 1945, s Viz Georg Kreisel, "A Remark on Free Choice Sequences and the Topological Completeness Proofs", The journal or Symbolic Logic 23, 1958, s Vl Cl) -O ::J 1;; 165